高中数学基础知识手册(草稿)

高考数学总复习基础知识手册

一、 集合与简易逻辑

基本考点

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3.包含关系

A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=

4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-

()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-

()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.

5．子集个数 集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；

非空的真子集有2n –2个. 6.

7.

8.

9.充要条件

（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

常用结论

1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性.

2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.☹

3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依

次为，n 2，12-n ，12-n .22-n

4.“交的补等于补的并，即()U U U C A

B C A C B =”；“并的补等于补的交，即

()U U U C A B C A C B =”.

5.判断命题的真假

关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.

注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ☹.

8.充要条件 条件推结论为充分，结论反推条件为必要

二、 函 数

基础考点

1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

2.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式

()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<

⇔|()|22

M N M N

f x +--<⇔

()0()f x N M f x ->- ⇔

11

()f x N M N

>--.

3.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在

),(21k k 内,等价于0)()(21

2211k k a b

k +<-

<,或0)(2=k f 且22122k a

b

k k <-<+. 4.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a

=-=；

[]q p a

b

x ,2∉-

=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a

b

x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若

[]q p a

b

x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.

5.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402

p q p m ⎧-≥⎪

⎨->⎪⎩；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040

2

f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪

⎨-≥⎪

⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩

；

（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ⎧-≥⎪

⎨-<⎪⎩ .

6.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.

7.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么