离散数学习题1

离散数学集合论综合练习作业辅导（10秋）离散数学作为信息科学和计算机科学的数学基础，是教育部指定的计算机科学与技术学科核心课程，也是电大计算机科学与技术专业的统设必修学位课程，因此它也是该专业的一门很重要的基础课程，也是该专业的许多专业课程（包括数据结构、操作系统、网络编程技术、数据库应用技术等）的先修课程．本课程4学分，课内72学时，第二学期开设，主要是介绍离散量的结构及其相互关系，其包含的理论与方法在各学科领域都有着广泛的应用．本课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑三个部分．本课程的学习目标：通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法．同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础．本次教学活动是本学期的第一次综合作业辅导活动，主要是针对集合论单元的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握集合论的基本概念和方法，也使大家尽早地了解本课程期末考试的题型．下面是本学期第2，3次形考作业中的部分题目．一、单项选择题单项选择题主要是第2次形考作业的部分题目。

第2次作业由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分。

在每次作业关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩。

需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目。

1．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{1，2}∉A C．{a}⊆A D．∅∈A 正确答案：C2．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．A⊂B，且A∈B B．B⊂A，且A∈BC．A⊂B，且A∉B D．A⊄B，且A∈B正确答案：A注意：这两个题是重点，大家一定要掌握，还有灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做．例如，2010年1月份考试的试卷的第1题若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．A．{a}⊆A B．{{{a}}}⊆AC．{a，{a}}∈A D．∅∈A答案：A3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}正确答案：C注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．当n=10时，A的幂集的元素有多少个？（应该是1024个）4．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．传递的D．反自反的正确答案：C因为写出二元关系R的集合表达式为R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<3 , 3>，<4 , 4>}显然，R是一个恒等关系，因此它是自反的、对称的、传递的，不是反自反的．要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质．5．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．3正确答案：B教材第40页第三行指出，若R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2也是A上的自反关系．6．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反B．传递C．对称D．以上都不对正确答案：C利用教材第42页定义2.3.4可以判定S是R的对称闭包．由42页定义2.3.4知道，关系R的对称闭包s (R)是包含R并具有对称性的最小的关系，由此也可以判定S是R的对称闭包．7．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B的（）．A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不对5正确答案：C由教材第4页的定义2.5.11知道，集合B的最大元一定是B的上界，而且是B的最小上界．因此可以判定选项C 正确．8．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．8、1、6、1C．6、2、6、2 D．无、2、无、2正确答案：D Array集合A上的整除关系R的哈斯图如右图所示．由哈斯图可知，集合B的无最大元和上界，最小元和下界都是2，因此，选项D正确9．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1B．R2C．R3D．R1和R3正确答案：B由教材第55页的定义2.6.1知道，函数是单值性，也就是说，定义域A中任意一个a与值域B中唯一的b有关系，而R2中的a有两个值2，1与它有关系，所以而R2不是函数．10．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．A．2 B．3 C．6 D．8正确答案：D因为：f1= {<a , 1>，<b , 1>，<c , 1>}，f2= {<a , 1>，<b , 1>，<c , 2>}，f3={<a , 1>，<b , 2>，<c , 1>}，f4= {<a , 2>，<b , 1>，<c , 1>}，f5={<a , 1>，<b , 2>，<c , 2>}，f6= {<a , 2>，<b , 1>，<c , 2>}，f7={<a , 2>，<b , 2>，<c , 1>}，f8=<a , 2>，<b , 2>，<c , 2>}．下面的内容主要是第3次形考作业的部分题目。

二、填空题1．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈∈xyR⋂且=且<>∈x{B,,x}AAyyB则R的有序对集合为．应该填写：R = {<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<3 , 3>}因为A∩B={2, 3 }，所以从集合A，B中只能分别去2，3组成关系R．2．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}x∈y∈<y>=,,2,{ByxAx那么R－1＝应该填写：{<6，3>，<8，4>}因为R＝{<3，6>，<4，8>}，所以R－1＝{<6，3>，<8，4>}3．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则二元关系R具有的性质是．应该填写：反自反的根据教材第38页的定义2.3.1，若对任意a∈A，a与a都没有关系，即<a , a>∉R，则称R为A上反自反的关系．4．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性．应该填写：<c, b>, <d, c>注意：第3，4题是重点，我们不仅要熟练掌握，尤其是A和R的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？5．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为．应该填写：I A因为满足条件x∈A，y∈A, x+y =10的关系只有空关系，空关系的闭包是I A．6．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含等元素．应该填写：<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>等元素．7．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是．应该填写：{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解：正确．因为R1和R2是A上的自反关系，即I A⊆R1，I A⊆R2．由逆关系定义和I A⊆R1，得I A⊆ R1-1；由I A⊆R1，I A⊆R2，得I A⊆ R1∪R2，I A⊆ R1⋂R2．所以，R1-1、R1∪R2、R1⋂R2是自反的．2．若偏序集<A，R>的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．解：错误．集合A的最大元不存在，a是极大元．οοοοab cd οοοg e fh ο结论不成立．因为a与g、h没有关系，由关于最大元、最小元、极大元和极小元的定义2.5.9知道，A的最大元应该大于等于A中其它各元素，而A的极大元应该大于等于A中的一些元素，可以与A中另一些元素无关系．所以集合A的最大元不存在，a应该是极大元．3．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}；(2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解：(1) f不能构成函数．因为A中的元素3在f中没有出现．(2) f不能构成函数．因为A中的元素4在f中没有出现．(3) f可以构成函数．因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．四、计算题1．设集合A={{1}, {2}, 1, 2}，B={1, 2, {1, 2}}，试计算（1）A-B；（2）A∩B；（3）A×B．解：（1）A-B={{1}, {2}, 1, 2}- {1, 2, {1, 2}}={{1}, {2}}（2）A∩B ={{1}, {2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}（3）A⨯ B ={{1}, {2}, 1, 2}⨯{1, 2, {1, 2}}={<{1}, 1>, <{1}, 2>, <{1}, {1, 2 }>, <{2}, 1>, <{2}, 2>, <{2}, {1, 2 }>, <1, 1>, <1, 2>, <1, {1, 2 }>, < 2, 1>, < 2, 2>, < 2, {1, 2 }}2．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y≤4}，S={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y <0}，试求R，S，R•S，S•R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 1>}, S= ∅，R•S=∅，S•R=∅，R-1= R，S-1= ∅，r(S)=I A．s(R) ={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 1>}3．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．（1）写出关系R的表示式；（2）画出关系R的哈斯图；（3）求出集合B的最大元、最小元．解：（1）R=I⋃{<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>,<1, 6>, <1, 7>, <1, 8>, <2, 4>,<2, 6>, <2, 8>, <3, 6>, <4, 8>}（2）关系R的哈斯图如下图所示7（3）集合B没有最大元，最小元是：2．五、证明题1．试证明集合等式：A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)．证：若x∈A⋃ (B⋂C)，则x∈A或x∈B⋂C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．即x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈T=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，所以A⋃ (B⋂C)⊆ (A⋃B) ⋂ (A⋃C)．反之，若x∈(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，则x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈B⋂C，即x∈A⋃ (B⋂C)，所以(A⋃B) ⋂ (A⋃C)⊆ A⋃ (B⋂C)．因此．A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)．注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握．想一想：等式A⋂ (B⋃C)=(A⋂B) ⋃ (A⋂C)如何证明？2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A⨯B = A⨯C，且A则B = C．证明：设x∈A，y∈B，则<x，y>∈A⨯B，因为A⨯B = A⨯C，故<x，y>∈ A⨯C，则有y∈C，所以B⊆ C．设x∈A，z∈C，则<x，z>∈ A⨯C，因为A⨯B = A⨯C，故<x，z>∈A⨯B，则有z∈B，所以C⊆B．故得A=B．注意：这个题09秋学期的教学辅导活动重点强调了，但2010年1月份考卷中的证明题：设A，B是任意集合，试证明：若A⨯A=B⨯B，则A=B．许多同学不会做，是不应该的．我们看一看证明：设x∈A，则<x，x>∈A⨯A，因为A⨯A=B⨯B，故<x，x>∈B⨯B，则有x∈B，所以A⊆B．设x∈B，则<x，x>∈B⨯B，因为A⨯A=B⨯B，故<x，x>∈A⨯A，则有x∈A，所以B⊆A．故得A=B．大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，而且1月份考题更容易．3．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．证明：设∀x∈A，因为R自反，所以xRx，即< x, x>∈R；又因为S自反，所以xSx，即< x, x >∈S．即< x, x>∈R∩S故R∩S自反．。