12晶格及其平移对称性.
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固体物理学-宏观对称性和晶格分类
ε xy ε yy
ε ε
xz yz
⎤ ⎥ ⎥
⎣⎢ε zx ε zy ε zz ⎥⎦
立方对称晶体：
⎡ε0 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε0
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε0 ⎥⎦
六方对称晶体：
⎡ε ⊥ 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε⊥
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε // ⎥⎦
11
晶体宏观对称性及其分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
群为一组“元素”的集合，G≡（E, A, B, C, …)，且这些“元素”在定义 一定的“乘法法则”下（不等价于数学乘法），满足下列性质： 1. 闭合性--- 集合内任意两元素“乘积”仍为集合元素
A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G 2. 单元性---存在单位元素E，使得所有元素A：
AE= A 3. 可逆性---任意元素A存在逆元素A-1 满足
4
立方对称（sc、bcc、fcc）操作
(a)
(b)
(c)
•沿图（a）立方轴转动π/2、 π、 3π/2，有3个立方轴，共9个对称操作。 •沿图（b）面对角线转动π，有6条面对角线，共6个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。 •以上共24个对称操作，以上操作再加上反演为新的对称操作。 •共48个对称操作。
5
正四面体对称操作
•沿立方轴转动 π，有3个立方轴，共3个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。以上共12个对称操作。 •相对立方对称，少去的12个对称操作，即绕立方轴转π/2、3π/2以及绕 面对角线转动π，再加上中心反演为正四面体的对称操作。 •共24个对称操作。
晶体的对称性
对称面的交点上产生一个对称中心。
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系
第一位
第二位
第三位
点群(32个）
可能对称 元素
三斜 1,`1 单斜 2,m,2/m 正交 2，m
方向 可能对称 元素
任意 无
Y无 X 2，m
方向 可能对称 元素
无 无 Y 2，m
方向 Z
1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一 个在y = 0，另一个在y = ½位置。
通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将
必须是0或½)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
Wyckoff位置 （2）
多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间 群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。
P21/m, Imm2, Ccca, I422, P4/mmm, R3, P3212, P63mc, Fd-3, Im-3m 6. 什么是等效点系，特殊等效点系有什么特点？ 7. 什么是wyscoff 晶位，如何表示？ 8. 原子参数中的占有率指的是什么？ 9. 一般晶体结构数据描述中的Z值指的是什么？ 10.完整描述晶体结构的要素有哪些？
记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。
Pm空间群的 Wyckoff位置
多重性 Wyckoff记号 点对称
坐标
2
c
1
(1) x， y， z
(2) x， - y， z
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系
第一位
第二位
第三位
点群(32个）
可能对称 元素
三斜 1,`1 单斜 2,m,2/m 正交 2，m
方向 可能对称 元素
任意 无
Y无 X 2，m
方向 可能对称 元素
无 无 Y 2，m
方向 Z
1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一 个在y = 0，另一个在y = ½位置。
通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将
必须是0或½)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
Wyckoff位置 （2）
多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间 群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。
P21/m, Imm2, Ccca, I422, P4/mmm, R3, P3212, P63mc, Fd-3, Im-3m 6. 什么是等效点系，特殊等效点系有什么特点？ 7. 什么是wyscoff 晶位，如何表示？ 8. 原子参数中的占有率指的是什么？ 9. 一般晶体结构数据描述中的Z值指的是什么？ 10.完整描述晶体结构的要素有哪些？
记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。
Pm空间群的 Wyckoff位置
多重性 Wyckoff记号 点对称
坐标
2
c
1
(1) x， y， z
(2) x， - y， z
12 晶体的对称性一 对称性的概念二 晶体中允许的对称操作三 晶体
1.2 晶体的对称性一. 对称性的概念二. 晶体中允许的对称操作三. 晶体宏观对称性的表述：点群四. 七个晶系和14种晶体点阵五. 晶体的微观对称性：空间群六. 二维情形七. 点群对称性和晶体的物理性质参考：黄昆书1.5－1.7 节阎守胜书 2.2 节一.对称性的概念：一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。
即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。
点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。
有限大小的物体，只能有点对称操作。
对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
●●如何科学地概括和区别四种图形的对称性？从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形只能旋转才保持不变；后2个图形只有3,,πππ2π以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：111213212223313233'''x a a a x y a a a y z a a a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=∙ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111213212223313233i j a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 其中A ij 为正交矩阵从解析几何知道，符合正交变换的是：绕固定轴的转动(Rotation about an axis) 绕z 轴旋转θ角cos sin 0sin cos 0001i j A θθθθ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭数学上可以写作：如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。
一个物体可能的对称操作越多，它的对称性就越高。
立方体具有较高的对称性，它有48个对称操作：绕4 条体对角线可以旋转共8个对称操作；绕3 个立方边可以旋转共9个对称操作；绕6 条棱对角线可以转动π，共 6 个对称操作；加上恒等操作共24个。
晶体的结构及其对称性
配位数：8
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
晶体的平移性
2．请画出2种点阵素单位，要求一种顶点无原 子，另一种顶点有原子。
第五题：⑴ 两种铜溴配合物晶体中的一维聚合链结 构的投影图 (其中部分原子给出标记)如下。①分别指 出两种结构的结构基元由几个Cu原子和几个Br原子 组成： 图⑴为 个Cu原子， Br原子； 图⑵为 个Cu原子， 个Br原子。 ② 用笔在图中圈出相应的一结构基元。
一. 晶胞：
晶胞的定义：晶体的重复单元，通过晶胞在空间 平移无隙地堆砌而成晶体。 二.晶格：根据X射线研究晶体的结构表明：组成晶 体的质点（分子、原子、离子）以一定的规则排列 在空间确定的点上，这些质点在空间排列就构成各 种几何形状的空间格子简称晶格，可以看作是三维 空间点阵。 每个质点在晶体所占的位置称为晶格结点。晶体 结点上，可以是原子、分子、或离子。在晶格内可 表示晶格特征的最基本部分称为单位晶格或晶胞。 晶胞在空间重复排列就是晶格。两者既有联系又有 区别。
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体 晶体结构：原子规则排列，主要体现是原
子排列具有周期性，或者称长程有序。有 此排列结构的材料为晶体。 晶体中原子、分子规则排列的结果 使晶体具有规则的几何外形，X射线衍射 已证实这一结论。 非晶体结构：不具有长程有序。有此排列 结构的材料为非晶体。
石英晶体
NaCl晶体的二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
例题1：点阵素单位是指最小的重复单位，将最小重 复单位的内容用一个点阵表示，最小重复单位中只含 一个点阵点，称为素单位。含2个或2个以上点阵点的 单位称为复单位。画出素单位的关键是能按该单位重 复，与单位预角上是否有圆圈无关。某平面周期性结 构系按右图单位重复堆砌而成。 1．写出该素单位中白圈和黑圈的数目。
⑵图⑶是由氯苯分子构成的平面点阵结构。 ①在图中标出一个正当单位来，并标明两个基本向 量和 ② 指出正当单位的组成 (内容)； ③ 指出这种平面格子的正当单位的形式。
晶体的微观对称性
对称元素必须交于一点
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
晶格与晶胞的名词解释
晶格与晶胞的名词解释1.引言1.1 概述晶格和晶胞是材料科学中非常重要的概念，用于描述晶体的结构和性质。
晶格是指晶体内部原子、离子或分子排列成有序、重复的结构。
晶胞则是晶格的最小重复单元，它可以完整地再现整个晶格的结构。
在材料科学领域，研究晶格和晶胞的性质是为了理解和解释材料的结构、性能和行为。
晶格的特征决定了晶体的物理、化学和电子性质，包括导电性、热导性、光学性质等。
晶胞的结构决定了晶体的晶体学性质，如晶胞的形状、尺寸和对称性。
通过对晶格和晶胞的研究，科学家能够更好地理解材料的内部结构，并预测和设计新材料的性能。
例如，在固态物理和材料科学中，晶格常常用于描述金属、半导体、陶瓷和晶体材料的结构和性能。
同时，晶格和晶胞的概念也广泛应用于其他领域，如光学、凝聚态物理和无机化学等。
本文将详细介绍晶格和晶胞的定义、特征以及它们之间的关系。
通过深入理解这些概念，我们可以更好地理解材料的微观结构与宏观性质之间的关联，为材料科学和工程领域的研究和应用提供指导。
希望本文可以帮助读者对晶格和晶胞的概念有一个清晰而全面的了解，并对材料世界有更深入的认识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述晶格与晶胞的名词解释。
首先，在引言部分，我们将简要概述晶格和晶胞的概念以及它们在材料科学中的重要性。
同时，我们将介绍本文的目的和意义，以便读者能够更好地理解本文所要传达的内容。
接下来，在正文部分，我们将详细解释晶格的定义和特征。
我们会介绍晶格是指由晶体内的原子、离子或分子排列所形成的规则三维结构。
同时，我们还会探讨晶格的一些重要特性，如晶胞的常见形状、晶体的晶型和晶系分类等。
然后，我们将进一步讨论晶胞的定义和构成。
晶胞是指在晶格中所选取的最小重复单元，它由原子、离子或分子构成。
我们将介绍晶胞的几何形状和晶格常量等关键概念，并解释晶胞在描述晶体结构中的重要性。
在结论部分，我们将对晶格和晶胞的理解与应用进行深入讨论。
固体物理课件第二章_晶体的结构
Na+构成面心立方格子 Cl－也构成面心立方格子
(6) CsCl: 由两个简单立方子晶格彼此沿 立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成
(7) 闪锌矿结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟 面心立方的嵌套
（8） 钙钛矿结构
钛酸钙（CaTiO3） 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
面心立方格子:原点和12个近邻格点连线的垂 直平分面围成的正十二面体
体心立方格子:原点和8个近邻格点连线的垂直 平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近 邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角， 形成的14面体 —— 八个面是正六边形，六个面是正四边形
§1.2 晶列和晶面
思考： 金刚石为什么有固定的面？ 这些面和晶格结构有什么关系？
根据周期性：
f e
k k
ikx
fk e
k
ik ( x na )
f k eikx f k eik( x na)
k k
e
ik na
1
m 0,1,2,
k na k Rn 2m
2 k h Gh a
k=b的波传过一个晶格长度，相位改变2π
晶面：所有结点可以看成分布在一系列相互平 行等距的平面族上，每个平面族称为一个晶面 晶面用法向或晶面指数标志
例：同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的性质： –晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 –一族晶面必包含了所有格点 –三个基矢末端的格点必分别落在该族的不 同晶面上（有理指数定理）
晶面（米勒）指数：晶面把基矢 a1 , a2 , a3 分别
晶格的对称性
用布拉伐格子来
对称操作的集合，
表征，平移一个
称为平移群。
布拉伐格子的晶 格矢量
空
晶格的对称性也可用一
间
tl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3
系列转动（或转动加反
群
后，晶体自身重 合，称为平移对 称操作。
演）对称操作来描述， 这些对称操作的集合组 成点群。
增加的两类对称操作
对于布拉伐格子，在点群操作和平移操作下 都是不变的，但对于基元内多于一个原子的复 式晶格来说，晶格在点群操作后接着平移操作 才是不变的，单独的一种都不是独立的对称操 作。因此，全面分析晶格对称性，必须考虑平 移对称性。
§1-4 晶格的对称性(symmetry)
1、七个晶系 2、十四种布拉伐格子 3、空间群
七个晶系与十四个布拉伐格子关系图
晶体的32种 宏观对称性 类型可以分 成七类，即 七个晶系。 其中每个晶 系包含若干 种点群，它 们具有某些 共同的对称 素。
立方晶系 六角晶系 四方晶系 三角晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
考虑晶格的平移对称性后，增加两类对称操 作：
n度螺旋轴
滑移反映面
(1) n度螺旋轴
A4
定义：一个n度螺旋轴u表示绕轴每
4
A3
转2π/n角度后，再沿该 轴的方向平移 T/ n的l倍，则晶体中原子和相同的原
子重合（l为小于n 的整数；T为沿u轴
3
方向上的周期矢量）。
A2
A1
2
A
1
4度螺旋轴
晶体只能有1、2、3、4、6度螺旋轴。
面心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
立方晶系
立方晶系 简单立方
04_10_晶体能带的对称性
2 的状态中是相 ( x ) e [ e a i 2 n x a
in
2 x a
u
k n
2 a
( x )]
可以证明 e
u
2 k n a
( x ) uk ( x ) ——
2 k n a
( x ) eikx uk ( x ) k ( x ) 2 的状态中是相同的 a
固体物理讲义_第四章 能带理论
04_10 晶体能带的对称性
1 空间群操作与算符 空间群 —— 由晶体的全部对称操作构成 简单空间群的表示： ( tl1l2l3 ) —— 点群对称操作和平移对称操作
tl1l2 l3 l1a1 l2 a2 l3a3 —— 平移晶格矢量：平移对称操作 复杂空间群的表示： ( tl1l2 l3 a ) —— 点群对称操作和平移操作 a —— 表示晶格小位移，不是晶格矢量 ( R l1a1 l2 a2 l3a3 ) 位移
结果表明在波矢 k 的状态中所观察到的物理量与在波矢 k k n 即 E (k ) E (k n
2 ) a
2) 点群对称操作对电子态的影响 引入描述点群对称操作的算符 T ( ) 对于任意函数有： T ( ) f ( r ) f ( r )
1
1 —— 的逆操作，物理意义是点 1r 经过 操作后，变换到 r 点
p 带 点波函数
m
s T ( ) s ( 1r Rm ) —— 对所有格点求和 T ( ) s [ 1 ( r Rm )] —— 原子 s 波函数具有球对称性，波函数在旋转、反演后保持不变
固体物理(第3课)晶格分类
正交晶系
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
a≠b≠c
α=β=γ=90º
有3个互相垂直的2度轴
三角晶系
四方晶系
a
a
a 简单三方 一个3度轴 a=b=c α=β=γ≠90º
简单四方
体心四方
一个4度轴
a=b≠c α=β=γ=90º
六角晶系
晶系示意图
级别 晶系 三斜 布喇菲 原胞数 简单三斜 对称特征 没有对称轴或只有 一个反演中心 坐标系的性质 a≠b≠c α≠β≠γ a≠b≠c α=γ=90º β＞90º a≠b≠c α=β=γ=90º a=b=c α=β=γ≠90º
点群 符号
1，
低级
单斜
简单单斜， 底心单斜
简单正交， 底心正交， 体心正交， 面心正交。 简单三方 /三角 简单四方， 体心四方 简单六方/六 角
n
傅 里 叶 变 换 ： F ( )
-
f (t )e it dt
1 傅 里 叶 逆 变 换 ：(t ) f 2
-
F ( )e
it
d
2 T
总结：
晶体点阵 实际晶体结构 显微图像 倒易点阵 虚构 衍射图像
微观粒子
线度量纲：L
一族晶面
线度量纲：L－1
位置空间 坐标空间
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格 a1 ai
2 b1 i a
(2) 二维晶格 a1、a 2 b1 2 b2 2
1 晶体结构及其对称性(研)
第一章 晶体结构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵 §1.4 晶体的宏观对称性 §1.6 晶体X射线衍射
固体分类
晶体定义：原子、分子、离子、原子团有规则 地在三维空间的周期性重复排列形成的固体， 具有长程序。
晶体分单晶体和多晶体。
非晶体：内部粒子在三维空间不是周期性的有规 则的排列。长程无序，但在一个原子附近的若干 原子的排列是有一定规则的排列——短程有序。
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2。，n3 、 、
a1 a2
格点 与（n1, n2, n3）一一对应。
11 1
故采用截距的倒数 u、 、v ，w并约化为三个互质的整数
h、k、l
1 来标志晶面，即：u
:
1 v
:
1 w
h。:
k
:
l
将（hkl）放在圆括号中，就称为该晶面的密勒指数（hkl）． 如果有负数，负号标在该数的上面，与晶向指数中的表示相同。
一个晶面簇中的各个晶面，其晶面指数相同．
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
若方一法个：晶以面单在胞其基三矢个坐基标矢系方为向例上说的明截晶距面分的别密为勒ua、指数v、（b hk，lw）c．
用u、v 、w 三个数字就可以标志晶面的空间方位。
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵 §1.4 晶体的宏观对称性 §1.6 晶体X射线衍射
固体分类
晶体定义：原子、分子、离子、原子团有规则 地在三维空间的周期性重复排列形成的固体， 具有长程序。
晶体分单晶体和多晶体。
非晶体：内部粒子在三维空间不是周期性的有规 则的排列。长程无序，但在一个原子附近的若干 原子的排列是有一定规则的排列——短程有序。
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2。，n3 、 、
a1 a2
格点 与（n1, n2, n3）一一对应。
11 1
故采用截距的倒数 u、 、v ，w并约化为三个互质的整数
h、k、l
1 来标志晶面，即：u
:
1 v
:
1 w
h。:
k
:
l
将（hkl）放在圆括号中，就称为该晶面的密勒指数（hkl）． 如果有负数，负号标在该数的上面，与晶向指数中的表示相同。
一个晶面簇中的各个晶面，其晶面指数相同．
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
若方一法个：晶以面单在胞其基三矢个坐基标矢系方为向例上说的明截晶距面分的别密为勒ua、指数v、（b hk，lw）c．
用u、v 、w 三个数字就可以标志晶面的空间方位。
材料设计—5-晶格及其平移对称性
晶体结构
晶格(crystal lattice)：晶体空间中点的规则几何排 列叫做晶格；原子、分子或离子位于这些点上， 形成晶体。
晶体结构：晶体最常见的晶体结构：
简单立方(sc, simple cubic)
将同种元素原子放到立方体的顶角上，便得 到简单立方晶体结构。自然界中很少有实际材 料是这种结构的。
1个原子，1个不等价原子 配位数： 6 堆积效率(packing efficienty) f = 0.53
该结构中，所有原子完全等价，不管以哪个原 子作为原点，其晶体结构式完全一样的。
体心立方(bcc, body-centered cubic)
在简单立方的基础上，将一个相同原子放在立方体 中心，便得到体心立方晶体结构。
准晶：介于晶体和非晶之间，虽然原子分布完全 有序，但无周期性，仅仅具有长程取向序。可以 有晶体所不允许的旋转对称性。
平移周期性
一个结构平移之后能够完全复原：
固体中的原子都是摩尔量级的，那么如何来研究这么多的 原子呢？
固体物理主要研究的是晶体，基本出发点是周期性。首先
要了解晶体中原子是如何排列的。
常见如Cu, Ag, Au, Al, Ni等金属
4个原子，1个不等价原子 配位数：12 f=0.74
面心立方是一种密堆积结构，所以fcc也叫面心密堆 结构 (ccp, cubic close-packed)
ABCABCABC……
六角密堆结构（hcp, hexagonal colse-packed）
CsCl结构类似bcc，只是体心是一种离子，而顶点是另一 种离子。比如TiBr, TlI, NH4Cl具有CsCl结构。
两套简单立方结构组合而成
2个原子，2不等价原子 配位数：8
晶体的对称性讲解
7个晶系和32种晶体学点群的划分
对称 晶 特征对
点
群
性的 高低 系
称元素
晶胞类型
序 熊夫里 号 斯记号 国际记号
对称元素
三
斜
无
单 2 或m
斜
abc
1 c1
1
90 2 ci
abc
3 c2
c 4
s
1
i
2
2
mm
c 90 5
2h
2/m
2, m,i
低 正 两个互相垂 直的m或三
交 个互相垂的
晶体点群的记号
晶系
立方 Cubic 六方 hexagonal 四方 tetragonal 三方 rhombohetron 正交 orthorhombic 单斜 monoclinic 三斜 anorthic
1
a c c a＋b＋c a b
2
a＋b＋c a a a－b b ――
3
a＋b 2a＋b a＋b ―― c ――
晶体的32种对称类型32种点群符号符号的意义对称类型数目cnn度旋转对称轴c1c2c3c4c65ci对称心icis21cs对称面mcs1cnhn度轴与轴垂直的水平对称面c2hc3hc4hc6h4cnvn度轴通过该轴的铅垂对称面c2vc3vc4vc6v4dnn度轴n个与之垂直的2度轴d2d3d4d64符号符号的意义对称类型数目dnhdn与轴垂直的水平对称面d2hd3hd4hd6h4dnddn平分两个2度轴间夹角的对称面d2dd4d2sn经n度旋转后经垂直该轴的平面的镜像c3is6c4is42t4个3度轴3个2度轴t1thh与前面相同th1tdd与前面相同td1符号符号的意义对称类型数目o3个相互垂直的4度轴6个2度轴4个3度轴o1ohh与前面相同oh1总共32如果考虑平移还有两种情况即螺旋轴和滑移反映面
金属材料中的晶格对称性理论
金属材料中的晶格对称性理论第一章：引言金属材料在现代工业中占据着重要的地位。
然而，作为一种特殊的物质，金属的物理性质和化学性质与其他材料有很大的不同。
晶体学是研究晶体的结构和性质的学科，而金属材料中晶格对称性理论是晶体学中的重要部分。
本文将重点介绍金属材料中的晶格对称性理论。
第二章：晶体对称性晶体对称性是指晶体具有的平移对称性、面对称性和旋转对称性。
晶体可以分为点阵和空间点阵两种，其中点阵是不考虑空间点阵的情况下，只考虑晶胞内的对称性而得到的。
空间点阵则是考虑了空间点阵的情况下，由一定数量的点和所应的对称性组成的。
空间点阵有17种基本种类，分别称作十四种布拉维格点阵和三种分组空间点阵。
这些空间点阵需要满足一些要求，比如点阵中任意点的环境必须是关于一个点群的元素的作用下保持不变的。
第三章：晶格对称性晶格对称性是指晶体的晶格点阵所具有的对称性。
晶格点阵是指由平移矢量和称为基本晶胞的实体所构成的几何图形。
一个晶体的晶格对称性可以通过对称元素来描述，对称元素包括平移、旋转、反演和镜面反射等。
对称元素可以用在晶格点上或者基本晶胞内的原子上。
具有晶格对称性的晶体，可以保持其对称性不变地进行一系列运动，比如旋转、反演和镜面反射。
第四章：晶格点群和晶系晶格点群是指一定数量的对称元素所组成的群。
晶格点群可以通过晶格对称性的表现来定义，它包括晶格的点群和平移群。
点群是指在特殊情况下，只考虑晶格点上的对称性所得到的对称群。
平移群则是指在任意情况下都考虑晶格点和晶格平移所得到的对称群。
根据晶格点群的不同，可以将晶体分为不同的晶系，包括三角晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱形晶系、正棱柱晶系和三斜晶系等。
第五章：晶格参数和晶面指数晶格参数是指晶体晶胞的基本参数，包括晶格常数、晶胞长度和晶胞角度等。
晶胞长度的单位是晶格常数，而角度则是晶体中不同面的夹角。
晶面指数是指晶体表面的投影坐标。
晶面指数可以表征晶体的表面形态和晶面的间隔。
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School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、晶体结构及基元（crystal structure and basis） （一）常见的晶体结构（common crystal structures） （二）基元和晶体结构（basis and crystal structure） （三）简单格子和复式格子（simple and compound lattice ） 二、原胞和基矢（primitive cell and primitive translation vectors） （一）原胞和基矢 （二）晶胞或惯用原胞(unit cell and conventional unit cell) （三）Wigner-Seitz原胞 ( Wigner-Seitz primitive cell )
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Solid State Physics School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
四、配位数和致密度
本节思路：首先给出常见的晶体结构，然后从晶格的周期性出发，介绍布拉菲
பைடு நூலகம்
格子、原胞、晶胞、等概念。
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Solid State Physics
Packing
Can pack with irregular shapes
密堆积
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Close packed structures
Most efficient way of packing equal sized spheres. In 2D, have close packed layers
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2、体心立方晶体结构（body-centered cubic struture；bcc）
如果把简立方堆积的原子球均匀地散开一些，在原子球的空隙内放一个全同 的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的8个原子球相切，便构成了体心立方结 构。下图分别是体心立方的堆积方式和结构单元。
Coordination number (CN) = 6. This is the maximum possible for 2D packing.
Can stack close packed (c.p.) to give 3D structures？
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体心立方晶格结构
原子球排列形式
体心立方原子球排列方式表示 —— AB AB AB ……
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Solid State Physics
体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于A－A层之间的 距离，A层原子球的间隙 ——
—— 原子球的半径
体心立方晶格结构的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外，在 体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。
体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的典型单元
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体心立方晶格
对于简立方结构的晶体，原子球只分布在立方体的顶角上，而且立方边 的边长等于一个原子球的直径。
原子球的正方排列
简单立方晶格的典型单元 School of Physics, Northwest University
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用圆点表示原子的位置 —— 得到简单立方晶格结构
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三、常见晶体结构的原胞和晶胞 （primitive cell and unit cell of common crystal structures ）
（一）简立方（simple cubic） （二）体心立方（body-centered cubic） （三）面心立方（face-centered cubic）
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1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、晶体结构及基元（crystal structure and basis） （一）常见的晶体结构（common crystal structures） （二）基元和晶体结构（basis and crystal structure） （三）简单格子和复式格子（simple and compound lattice ） 二、原胞和基矢（primitive cell and primitive translation vectors） （一）原胞和基矢 （二）晶胞或惯用原胞(unit cell and conventional unit cell) （三）Wigner-Seitz原胞 ( Wigner-Seitz primitive cell )
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
四、配位数和致密度
本节思路：首先给出常见的晶体结构，然后从晶格的周期性出发，介绍布拉菲
பைடு நூலகம்
格子、原胞、晶胞、等概念。
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Packing
Can pack with irregular shapes
密堆积
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Close packed structures
Most efficient way of packing equal sized spheres. In 2D, have close packed layers
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2、体心立方晶体结构（body-centered cubic struture；bcc）
如果把简立方堆积的原子球均匀地散开一些，在原子球的空隙内放一个全同 的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的8个原子球相切，便构成了体心立方结 构。下图分别是体心立方的堆积方式和结构单元。
Coordination number (CN) = 6. This is the maximum possible for 2D packing.
Can stack close packed (c.p.) to give 3D structures？
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原子球排列形式
体心立方原子球排列方式表示 —— AB AB AB ……
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体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于A－A层之间的 距离，A层原子球的间隙 ——
—— 原子球的半径
体心立方晶格结构的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外，在 体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。
体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的典型单元
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体心立方晶格
对于简立方结构的晶体，原子球只分布在立方体的顶角上，而且立方边 的边长等于一个原子球的直径。
原子球的正方排列
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用圆点表示原子的位置 —— 得到简单立方晶格结构
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三、常见晶体结构的原胞和晶胞 （primitive cell and unit cell of common crystal structures ）
（一）简立方（simple cubic） （二）体心立方（body-centered cubic） （三）面心立方（face-centered cubic）