巧解抛物线的对称性和平移问题

巧解抛物线的对称性和平移问题

夹河镇黑虎中学李玉升

在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。

一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k关于x轴、y轴、原点对称的解析式，学生很容易想到先找到其顶点（h,k）关于x轴、y轴、原点的对称点，再根据对称后的开口方向决定是a还是-a，从而得出对称后的解析式。可对于求一般式y=ax2+bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时，学生还是想到先将其化为顶点式后，再根据顶点式来求其对称后的解析式。这样做固然正确，但解答过程比较繁琐。其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变为它的相反数；关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为其相反数；关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。

例：求抛物线y=-2x2+3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为－y，即：－y＝-2x2+3x-6，然后化为一般形式y=2x2－3x+6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为－x ，即：y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=－2x2－3x－6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为－x，y变为－y，即：－y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=2x2+3x+6即可。

二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题，即：上加下减，直接加、减在k上，左加右减，直接加、减在x上，而对于求一般式y=ax2+bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。其实没这个必要，也可直接在一般式中进行，即上或下平移时直接在c上加或减，左或右平移时直接在x上加或减。例：将抛物线y=5x2－2x+6向右平移3个单位再向上平移2个单位的解析式为：y=5（x－3）2－2（x －3）+6+2，化为一般式得：y=5x2－32x+59。

其实，这些规律学生也并非不能接受。因为抛物线是由一些点组成的图形，其对称性自然满足点的对称规律。平移只需总结出：上、下平移直接加、减在常数项上，左、右平移直接加、减在自变量上即可。