巧解抛物线的对称性和平移问题
抛物线平移、对称变换
抛物线平移、对称变换专题一：抛物线平移、对称变换学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系2. 利用对称性求点的坐标知识框架：【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。
【2】求抛物线2=++（0a≠）沿坐标轴平y ax bx c移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后利用抛物线平移变换的有y a x h k关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。
抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。
【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。
【4】求抛物线2=++（0a≠）绕其顶点旋转y ax bx c180°后的解析式，同样可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后将二次项系数直接改变成y a x h k其相反数即可。
【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。
⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。
【6】求抛物线2=++（0a≠）沿某条坐标轴y ax bx c翻折后的解析式，首先仍应将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后再根据翻折的方向来确定y a x h k新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。
真 题 汇 编：第一部分（选择题）（2013-2014海淀）二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A ．221y x =-- B ．221y x =+ C ．22y x = D ．221y x =-【方法总结】（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解 析式是（ ）．A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =++C ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+-【方法总结】（2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y x B ． 224=-+y xC ．224=-y xD ． 22=-y x【方法总结】（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）A.y ＝－2x 2－3B. y ＝2x 2-3C. y ＝2x 2＋3D. y ＝－2x 2+3【方法总结】（2015-2016北京三帆中学）二次函数23+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为 A ．231y x=-- B ．23y x =C ．231y x=+ D ．231y x=-【方法总结】丰台区2017-2018中，抛物线221x y =x x y 2212-=，的阴影部分的面积是( )A ．2 B. 4 C. 8 D. 16【方法总结】第二部分（填空题）海淀区2017-201822y x =平移后经过点(0,3)A，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2013-2014海淀）已知点P（-1，m）在二次函数21y x=-的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .【方法总结】（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像22x=xx-y，平=经过平移得到抛物线图像5y-422--移方法是______【方法总结】朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-x2通过9平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．【方法总结】丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的221x y =的图象，2C 是函数的221x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影部分的面积是______【方法总结】第三部分（解答题）（2013-2014东城）二次函数2y axbx c=++的图象与x轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．【方法总结】（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2016-2017北京西城铁路第二中学初三上期中） 如图，一段抛物线：(2)y x x =-（0≤x ≤2），记为1C ，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2 ，交x 轴于点A 2 ；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；… ，如此进行下去，直至得C 10．（1）请写出抛物线C 2的解析式： ；（2）若P （19，a ）在第10段抛物线C 10上，则a =_________．【方法总结】西城区2014-2015已知：抛物线1C ：2y axbx c=++经过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．⑴ 求抛物线1C 的解析式；⑵ 将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写出2C 的解析式；⑶ 把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标．【方法总结】【纠错回顾】。
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学作为一门重要的学科，其内容的难度也相对较高。
抛物线作为高中数学中的一个常见知识点，其涉及到的解题方法与技巧也非常重要。
在本文中，我将借助我的学习经验，向大家浅谈关于探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。
一、基本概念在探讨解题方法与技巧之前，首先我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一种在平面上呈现出u形的曲线。
其方程通常为y = ax² + bx + c。
抛物线有两个基本特性：首先，抛物线是对称的，它的对称轴是垂直于x轴的线，其公式为x = -b/2a。
其次，抛物线的最高点叫做顶点，其y坐标为y = c - b²/4a。
二、解题方法1. 求解抛物线的相关参数在解题的过程中，如果我们要求解抛物线的方程，我们需要知道其中的相关参数。
在抛物线方程y = ax² + bx + c中，参数a、b、c分别代表什么意思？我们可以这样理解：参数a代表抛物线的开口方向和开口的大小，参数b代表抛物线的上下平移位置，参数c代表抛物线的左右平移位置。
2. 求解抛物线与其他曲线的交点在解题的过程中，我们还需要求解抛物线与其他曲线（如直线、另一条抛物线等）的交点。
这时我们需要用到解方程的方法。
以求解抛物线和直线的交点为例，我们先将抛物线和直线的方程联立起来，然后将抛物线的方程中的x用直线的方程表示，我们最后就能够解出x的值。
将x的值代入其中一个方程就可以求出y的值。
3. 求解离散数据的抛物线方程在实际生活中，我们有时候需要通过一组离散的数据来求解抛物线的方程。
这时候我们需要用到最小二乘法。
最小二乘法是一种通用的解决线性回归问题的办法，将数据点投影到一个平滑的函数上，通过求解该函数的系数，最终得到最优的函数曲线。
三、解题技巧1. 确定坐标系在解题的过程中，我们应该确定好坐标系的选择，通常可以根据题目的要求来选择合适的坐标系。
如果我们要求解抛物线上的某一个点，可以选择原点为顶点，则求解过程更容易进行。
巧用对称性,妙解抛物线问题
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参 考 文 献
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２１ ０ ０年 第 ７期
中学 数学 月刊
・２ ・ ９
评 注 对 于 不 在 同一 单 调 区 间 的 三 个 点 来
解 析 Ａ， 两点关 于抛 物线 的对 称轴 对 称 ， Ｂ 故 抛物 线 的对称轴 为 直线 ｚ一 ６ 因顶点 Ｐ到 轴 ．
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京 ： 京 大 学 出 版 社 ，９５ 北 １８．
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中学数 学月刊
２１ ０ ０年第 ７期
巧 用对 称 性 ， 解抛 物 线 问题 妙
王 瑾 （ 江苏省 张 家港 市第三 中学 ２５０ ） １ ６ ０
抛物线对称问题的探究与解答
抛物线对称问题的探究与解答引言：抛物线作为一种经典的曲线形状，具有许多独特的性质和特点。
其中一个引人注目的问题就是抛物线的对称性。
本文将探究抛物线对称的相关概念、公式推导以及实际应用，并尝试回答抛物线对称问题的范围。
一、抛物线的基本概念和性质1. 什么是抛物线？在几何学中，抛物线是一个平面曲线，其形状由一个动点到一个固定点和一个固定直线的距离比例确定。
抛物线由二次方程表示，通常形式为y=ax²+bx+c。
2. 抛物线的特点抛物线具有丰富的性质，如：顶点、焦点、准线、对称轴等。
二、抛物线的对称性1. 横轴对称性定义了一个抛物线的对称轴，也称为横轴，过抛物线的顶点并垂直于准线。
抛物线关于横轴对称，即在对称轴两侧的图形完全相同。
2. 纵轴对称性某些抛物线还表现出纵轴对称性，即围绕纵轴对称，对称轴为垂直于横轴过顶点的线。
三、抛物线的对称性证明1. 横轴对称性的证明以抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系。
利用二次方程的对称性质以及函数平移的知识，可以证明抛物线关于横轴对称。
2. 纵轴对称性的证明同样以抛物线的顶点为原点建立坐标系，利用奇偶函数的对称性质和函数平移的概念，可以证明抛物线关于纵轴对称。
四、抛物线对称问题的范围1. 抛物线对称轴的位置抛物线的对称轴是纵轴或横轴，具体取决于二次方程的系数，对称轴的位置可以通过系数的特性来判断。
2. 抛物线的顶点坐标顶点是抛物线上的一个特殊点，具有一定的几何意义。
顶点坐标的求解公式可以通过配方变形、导数等数学方法推导得出。
3. 抛物线的焦点和准线对于一些特殊的抛物线，还存在焦点和准线等概念。
焦点的位置可以通过一定的几何关系和推导得到，准线则是与焦点有关的一条直线。
五、抛物线对称性的实际应用1. 物理学中的抛物线抛物线的运动轨迹在物理学中具有广泛的应用，如自由落体、炮弹的弹道等。
了解抛物线对称性的概念，有助于解决实际问题和理解物理规律。
2. 工程学中的抛物线抛物线的形状特征在工程设计中也有重要的应用，如光学反射镜、设计拱桥的形状等。
巧用抛物线的对称性
“由于引进了直角坐标系,抽象的函数性质变得直观、易于理解;解题时若能灵活运用函数的性质,常能事半功倍.今天,我以抛物线的对称性为例来阐明这一点,希望能给大家一些启迪.”Z 老师点明了讲座的主题.例1(2007年常州市中考试题)二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表,则二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴为x=,x =2对应的函数值y=.x y ……-27-30135……0-8-9-57江苏镇江张希麟(特级教师)■③通过调查,你发现当地的自然景观受到了破坏,请写一条广告语,呼吁人们保护我们生存的环境,珍惜我们拥有的资源。
(不超过20字)答:(2007年四川乐山)解析:题①考查活动主题的设定,要与奥运会相关,如人文景观、自然景观、经济文化、体育设施、全民健身意识等。
题②考查活动过程,由于开展过“社会热点调查”实践活动,所以学生较为熟悉。
示例一:收集、整理当地的人文景观、自然景观的相关资料,并实地观察采访。
示例二:走访有关部门,了解经济文化、体育设施、全民健身意识等的现状。
题③属于语言文字在生活中的实际运用,将“绿色奥运”这一环保主题与公益广告有机结合,让学生尝试用广告的语言(有文采,句式基本工整,有一定号召性)进行创作,通过语言实践,提高语文素养,培养创新能力,达到情感、态度、价值观的整体提升。
示例:“行动起来,保护我们的家园!”“前人种下一棵树,后人得惠一片荫。
”责任编辑/梅香meixian g2@126.co m#######################巧用抛物线的对称性★图1H 同学说:利用抛物线上三个点就能确定它的解析式,本题中给出了六个点,我选三个坐标相对简单的点:(0,-8)、(-2,0)、(1,-9),代入抛物线的解析式y=ax 2+bx+c 中,则c=-8,4a-2b+c=0,a+b+c=-9"$$$#$$$%.解得a=1,b=-2,c=-8.即y =x 2-2x-8=(x-1)2-9,于是对称轴为x =1;当x=2时,y =-8.W 同学说:我想题中给出六个点,难道仅仅是为了造成条件多余的感觉吗?!我发现当x=-3和x =5时,y 都等于7,说明(-3,7)与(5,7)是抛物线上的两个对称点(图1).为此,对称轴是x=5+(-3)2=1.再利用对称性,x=2时y 的值就是x =0时y 的值,即y=-8.Z 老师说:H 同学利用待定系数法求解析式是解决此类问题的一般方法,应该掌握.但解题时注意到题中并未要求函数的解析式,且给出了六个点,是否还有其它解题途径?W 同学正是这样去思考的.由此,我们还可以得到一个结论:抛物线上有两个对称点,它们的横坐标是x 1、x 2,那么抛物线的对称轴为x=x 1+x 22.例2对称轴为直线x=72的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4),求抛物线的解析式.L 同学说:抛物线经过点A(6,0),对称轴为x=72,得抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0),因此设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -6),抛物线经过点B(0,4),得6a=4,a=23,所以y =23(x-1)(x-6)=23x 2-143x+4.S 同学插话:也可设抛物线为y =a(x -72)2+k,但需求出两个待定系数.Z 老师说:抛物线的解析式常用的有三种形式,L 同学用的是y =a (x-x 1)(x -x 2),试问:如果抛物线上的两个对称点不在x 轴上,设A(x 1,y 0)、B(x 2,y 0),那么过A 、B 两点的抛物线解析式又会是怎样呢?小清说:我想应该是y-y 0=a(x -x 1)(x-x 2).设y =ax 2+bx +c,因为x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c-y 0=0的两个根,这就是说ax 2+bx +c-y 0=a (x -x 1)(x -x 2),即y-y 0=a(x -x 1)(x-x 2).1在例1中,由(-3,7)和(5,7),可设抛物线的解析式为y -7=a(x +3)(x -5),抛物线经过点(0,-8),有-8-7=-15a,得a=1,抛物线的解析式为y -7=(x +3)(x-5),即y =x 2-2x-8,和H 同学的结果相同.例3(2007年昆明市中考试题)如图2,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.H 同学说:过B 作BD ⊥x 轴于D ,在Rt △BOD 中∠BOD=60°,则∠OBD=30°,所以OD=12OB=1,BD=3%,点B 的坐标为1,3%&’.A(-2,0),O(0,0)是抛物线与x 轴的两个交点,设抛物线为y =a(x -0)(x +2)=ax(x +2),由抛物线过点B 1,3%&(,所以3%=3a,即a=3%3,抛物线的解析式为y=3%3x 2+23%3x.显见,抛物线的对称轴为x =-1,由于OB=2为定值,因此,求△BOC 周长的最小值就转化为在直线x=-1上找一点C ,使CO+CB 的值为最小.这是一个大家熟悉的问题,所求C 点为O 、B 两点中的一点与另一点关于x =-1的对称点的连线与直线x =-1的交点,本题中A 、O 关于对称轴x=-1对称,故连接AB ,与对称轴x=-1的交点就是C.设直线AB 方程为y =kx +b,A(-2,0)、B 1,3%&(在直线上,有-2k+b=0,k+b=3%),解得k =3%3,b =23%3*,,,,,+,,,,,-.所以y =3%3x +23%3.令x =-1,则y =3%3,所以C -1,3%3.(.W 同学说:H 同学分析透彻.我补充一下,C 点的坐标也可这样求,在图2O★Rt △ACE 中,∠CAE=30°,CE AE =tan30°,又AE=1,所以CE=tan30°=3$3,C -1,3$3%&.例4(2007年南通市中考试题)某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出,每天可销售出6台.假设这种品牌的彩电每台降价100x (x 为正整数)元,每天可以多销售3x 台.(注:利润=销售价-进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元,试写出y 与x 之间的函数关系式;(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少?此时,每台彩电的销售价是多少时,彩电的销售量和营业额均较高?Z 老师说:这是一道应用题,列式并不难.如果每台降价100x 元,则销售量为3x +6台,有y =(3900-100x )(3x +6)-3000(3x +6)=(3x +6)(900-100x )=-300(x 2-7x -18)=-300x-72%&2-1214’(.当x =72时,函数y 有最大值.但由于x是正整数,x 不能取72,如何解决这个矛盾呢?S 同学说:由于x 只取正整数.因此函数的图象不是整条抛物线,而是抛物线y=-300(x 2-7x -18)上横坐标为正整数的一些点.由于抛物线开口向下,所以愈接近对称轴的点,y 值越大.而x=3与x =4的两个点关于对称轴x =72对称,它们的y值相同.本题所求的最大利润就是当x =3或x =4时,函数y 的值为9000元.比较x=3、x =4时的销售价、销售量、营业额,最终问题就能解决.Z 老师说:利用抛物线的对称性,为解题提供了便捷的途径.也许有的同学会说,这些题我都会解,这样的研究有实际的价值吗?我认为做事首要的是讲求效率,从现实情况看,因为考试时间不够,未能完成答卷,甚至出现自己会做都没有来得及做的现象,难道我们见得还少吗?研究解法,就能赢得时间.而对命题者来讲,这正反映了你对知识掌握的程度,体现你的学习能力,这也正是检测的重要目标之一.责任编辑/沈红艳czsshy@126.co m。
巧用抛物线的对称性解题（含答案）
巧⽤抛物线的对称性解题（含答案）专题训练(四)巧⽤抛物线的对称性解题类型⼀利⽤抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．⼆次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该⼆次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标．类型⼆利⽤抛物线的对称性⽐较函数值的⼤⼩4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1C．y35．若⼆次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从⼤到⼩排列是____________．类型三利⽤抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．类型四利⽤抛物线的对称性确定⾃变量的取值范围8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当9．⼆次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．?类型五利⽤抛物线的对称性求⾯积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的⾯积为________．图4－ZT－111．已知⼆次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此⼆次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此⼆次函数的图象经过点(0，－4)，正⽅形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的⾯积．图4－ZT－2类型六巧⽤抛物线的对称性求⼆次函数的表达式12．已知⼆次函数y有最⼤值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此⼆次函数的表达式为______________．13．已知⼆次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个⼆次函数的表达式为______________．14．⼆次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该⼆次函数的表达式．类型七利⽤对称性解决线段和最短问题15．已知⼆次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是⼀元⼆次⽅程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该⼆次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在⼆次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最⼩？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另⼀个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找⼀点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最⼩，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的⼀个动点，求使△BPC为直⾓三⾓形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析]B ∵⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B. 2．[解析]C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，⽽点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴⽅程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从⽽得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标为(1，－8)． 4．[解析]C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开⼝向下，∴当x ＝－2时y 取得最⼤值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离⼤于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.5．[答案]y 1＞y 3＞y 26．[答案]－2[解析]已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，⽽抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2.7．[答案]3[解析]设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案]－29．[答案]－1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析]当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，⼜抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案]2π[解析]利⽤图形的对称性可知图中阴影部分的⾯积为半圆⾯积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的⾯积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开⼝向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，∴y 1＜y 2，故答案为：＜.(2)∵⼆次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代⼊y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴⼆次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正⽅形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代⼊⼆次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2，∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的⾯积为正⽅形⾯积的⼀半，∴S 阴影＝12S 正⽅形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案]y ＝－14x 2－32x ＋74[解析]∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴⼆次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该⼆次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代⼊，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该⼆次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74. 13．[答案]y ＝29x 2＋49x －169[解析]∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设⼆次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代⼊，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于⼆次函数图象的对称轴对称，∴⼆次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当⼆次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设⼆次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代⼊表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112，∴⼆次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ；当⼆次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得⼆次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故⼆次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x . 15．解：(1)解⽅程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代⼊y ＝ax 2＋bx ＋6，得4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得a ＝－12，b ＝2，∴⼆次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8，∴⼆次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于⼆次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交⼆次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最⼩．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代⼊y ＝mx ＋n ，得－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最⼩的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代⼊y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C (0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直⾓顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直⾓顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直⾓顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满⾜条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172 )．。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题作者：朱香彩来源：《中学生数理化·教研版》2008年第04期二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，是关于x=- 成轴对称的抛物线，它的对称轴是直线x=- ，利用它的对称性，常常能使求解变得简捷，优化解题过程.现举例说明.1.利用图象的对称性求代数式的值例1抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过P（3，0），则a+b+c的值为（）.A.-1B.0C.1D.2解析：因为抛线线的对称轴是直线x=2，且它经过P（3，0），又抛物线是轴对称图形，所以抛物线和x轴的另一个交点为（1，0）．当x=1时，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案为B.2.利用图象的对称性求对称轴方程例2已知抛物线经过A（2，5）和B（4，5），则该抛物线的对称轴是什么？解析：因为抛物线经过A（2，5），B（4，5）两点，由抛物线的对称性可知，当两点的纵坐标相同时，这两个点是对称点，所以A和B是对称点，对称轴方程为x= =3，即对称轴方程为x=3.3.利用图象的对称性求确定函数的表达式例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的表达式.解析：因为顶点坐标为（-1，4），所以对称轴为x=-1.又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为x =-1-3,x2=-1+3.则两交点的坐标为（-4,0）,（2,0）.设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4.再把（2，0）代入得a=- .所以抛物线的表达式为y=- （x+1）2+4.4.利用图象的对称性比较函数值的大小例4已知二次函数y=x2-4x+1.若x2-2>2-x1>0,试比较y1与y2的大小.解析:因为抛物线的对称轴为x=2,且x2-2>0，2-x1>0,所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧.又因x 到对称轴的距离为｜x1-2｜=2-x1，所以x2到对称轴的距离为｜x2-2｜=x2-2.由题意知x2-2>2-x1>0,即x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离.所以y2>y1.5.利用图象的对称性确定点的坐标例5已知抛物线经过A（-2，5）和B（4，5）、C（3，-2），则该抛物线上纵坐标为-2的另一个点的坐标为.解析：仔细分析可注意到：A、B两点纵坐标相同，且关于抛物线的对称轴对称，由A（-2，5）和B（4，5）可得对称轴x= =1，而抛物线上纵坐标为-2的一点是（3，-2），所以关于x=1的对称点是（-1，-2）.故抛物线上纵坐标为-2的另一点坐标为（-1，-2）.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
抛物线的知识点高二
抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。
一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。
当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。
2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。
4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。
三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。
2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。
3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。
4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。
五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。
2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。
3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。
4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种常见的二次函数形式，常用的标准方程为y=ax²+bx+c (a≠0)。
一、抛物线的平移和缩放1. 平移：平移抛物线的顶点到坐标轴原点的方法是将x轴和y轴分别平移a和b个单位，即将抛物线方程中的x替换为x-a，y替换为y-b。
2. 缩放：抛物线关于顶点的对称性使得在抛物线上多取任意一点，将这点关于顶点进行对称得到的点的纵坐标与原点的纵坐标成等差数列，且公差是常量。
我们可以通过改变a来改变抛物线的形态，使得抛物线开口向上或向下，并使得抛物线的开口程度变化。
二、抛物线的顶点、焦点和直线1. 顶点：抛物线的顶点是二次函数的极值点，由公式x=-b/2a和y=f(x)得到。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
2. 焦点：抛物线焦点的纵坐标是顶点的纵坐标f(-b/2a)+1/(4a)，焦点的横坐标为-b/2a。
焦点到抛物线的距离等于焦半径r=1/(4a)。
3. 直线：抛物线的准线是与抛物线平行的一条直线，其方程为y=f(-b/2a)-1/(4a)。
三、抛物线的对称轴1. 对称轴：抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线，对称轴与x轴垂直。
通过求焦差得到对称轴的方程，对称轴的方程为x=-b/2a。
四、抛物线的焦半径和离心率1. 焦半径：焦半径是焦点到抛物线上任一点的距离，焦半径的长度为r=1/(4a)。
2. 离心率：离心率是抛物线焦点到焦点所在直线的距离与抛物线到准线的距离的比值，离心率的值为e=1。
五、抛物线的判别式和根的个数抛物线的判别式为Δ=b²-4ac，根的个数与判别式的大小有关。
1. 当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根。
2. 当Δ=0时，抛物线与x轴相切，即有一个实根。
3. 当Δ<0时，抛物线与x轴无交点，即无实根。
六、抛物线图像的性质1. 抛物线的开口方向与系数a的正负有关，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
中考数学复习指导：利用抛物线的对称性解题
1利用抛物线的对称性解题二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是关于直线x ＝－2b a成轴对称的图形，利用抛物线的对称性解题也是中考的热点之一，现分类例析如下，供教学参考．一、求顶点坐标例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表：该函数图象的顶点坐标为( )(A)（－3，－3） (B)（－2，－2）(C)（－1，－3） (D)（0，－6）解 观察表中当x ＝－3或－1时，y ＝－3，由抛物线的对称性，对称轴为直线x ＝－2，故顶点坐标为（－2，－2），所以应选B ．点评 本题是用表格给出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的信息，观察出当x ＝－3或－1时，y ＝－3，是解题的关键．二、判断点在图象上例2 若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )(A)(2，4) (B)（－2，－4）(C)（－4，2） (D)（4，－2）解 由二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴，又P(－2，4)关于y 轴的对称点为(2，4)，所以应选A ．点评 本题二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴是解题的突破口，根据抛物线的对称性，从而P （－2，4）关于y 轴的对称点在二次函数y ＝ax 2的图象上．三、比较大小例3 设A （－2，y 1），B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )(A)y 1>y 2>y 3 (B)y 1>y 3>y 22(C)y 3>y 2> y 1 (D)y 2>y 1>y3解 方法1 把A 、B 、C 三点的坐标分别代人y ＝－(x ＋1)2＋m ，得y 1＝－1＋m ，y 2＝－4＋m ，y 3＝－9＋m ，所以y 1>y 2>y 3．方法2 ∵函数的解析式是y ＝－(x ＋1)2＋a ，如图1，∴对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的点A'是(0，y 1)，那么点A'、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边'随x 的增大而减小，于是y 1>y 2>y 3，故选A ．点评 代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小．四、求与x 轴交点坐标例4 如图2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，下列结论中，正确的是( )(A)abc < 0 (B)2a ＋b < 0(C)a －b ＋c < 0 (D)4ac －b 2< 0解 (A)根据图2知，抛物线开口方向向上，则a>0．抛物线的对称轴x ＝－2b a ＝1>0，则b<0．抛物线与y 轴交于负半轴，则c<0，所以abc>0．故本选项错误．(B)∵x ＝－2b a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0．故本选项错误．3(C)对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，O)，∴该抛物线与x 轴的另一交点的坐标是（－1，0），∴当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0．故本选项错误．(D)根据图2知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，则＝b 2－4ac>0，则4ac －b 2<0．故本选项正确．故选D ．点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与），轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定，选项C 中求抛物线x 轴的另一交点，要妙用其对称性．五、求不等式的解集例5如图3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是( )(A)－1 <x<5(B)x>5(C)x <－1，且x>5(D)x <－1，或x>5解 由二次函数的对称性，已知了对称轴直线x ＝2和与x 轴的一个交点坐标(5，0)即可得出另一个交点坐标（－1，0）；再由不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集即得x 取值范围，故选D ．点评 本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系，利用数形结合思想不难选出D 选项，但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用，有可能会采取代入对称轴直线及与x 轴交点坐标的方法运算，则比较繁琐．六、求抛物线解析式4例6 如图4，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2．平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．点评此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．第(1)题解法多，方法1直接用一般式，是常用的方法，但需解三元一次方程组；方法2是用顶点式，根据对称性，求出对称轴直线x＝2，是解题的关键；方法3是与x轴的交点式，解法简洁，但一般教课书中没有．七、求线段和的最小值例7 如图5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0），B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图6，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；56②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7此时点E 的坐标为（－2，2）．点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础，第(2)题中利用抛物线的对称性是解题的突破口．。
巧解抛物线变换问题
巧解抛物线变换问题江西省会昌实验学校李扬一、抛物线的平移变换例1（2011•重庆市江津区）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是.巧解方法：直接在一般式的自变量和因变量上分别进行“左加右减”和“上加下减” .解：用x－4代替解析式中的x，并对其中的y（即原等式右边）加上3，就得到解析式：3)4(2)4(2+---=xxy，展开并整理得y=x2﹣10x+27.故答案为： y=x2﹣10x+27.点评：本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.二、抛物线的翻折与旋转变换例2（2011•江西）将抛物沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．（1）请直接写出拋物线c2的表达式.（2）现将拋物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.巧解方法：抛物线y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中的y换成-y，即y=-ax2-bx-c；若沿y轴翻折，所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中的x换成-x，即y=ax2-bx+c；分析：（1）根据抛物线翻折的性质可求拋物线c2的表达式；（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当AB=AE时两种情况讨论求解；②存在．理由：连接AN ，NE ，EM ，MA ．根据矩形的判定即可得出． 解：（1）把解析式y=﹣x 2+中的y 换成-y 得-y=﹣x 2+，即2y =（2）①令20=，得：121,1x x =-=，则抛物线c 1与x 轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.∴A （-1-m ，0），B （1-m ，0）. 同理可得：D （-1+m ，0），E （1+m ，0）.当13AD AE =时，如图①，()()()()111113m m m m -+---=+---⎡⎤⎣⎦， ∴12m =.当13AB AE =时，如图②，()()()()111113m m m m ----=+---⎡⎤⎣⎦， ∴2m =.1B ，D 是线段AE 的三等分点.②存在理由：连接AN 、NE 、EM 、MA .依题意可得：((,,M m N m -. 即M ，N 关于原点O 对称， ∴OM ON =.∵()()1,0,1,0A m E m --+， ∴A ，E 关于原点O 对称， ∴OA OE =， ∴四边形ANEM 为平行四边形. 要使平行四边形ANEM 为矩形，必需满足OM OA =,即()2221m m +=--， ∴1m =.∴当1m =时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形.点评：本题是二次函数的综合题型，考查了抛物线翻折和平移的性质，平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结果.例3 求抛物线y x x =++223经过下列变换后的抛物线的解析式：（1）绕其顶点旋转180°；（2）绕坐标原点旋转180°巧解方法：抛物线y=ax 2+bx+c 绕顶点旋转180°，先将一般式化成顶点式2()y a x h k =-+，再根据变换前后开口方向改变和顶点不变，即2()y a x h k =--+ ，最后整理成一般式；抛物线y=ax 2+bx+c 绕原点旋转180°（关于原点对称），所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中x 换成-x ，y 换成-y 即可，即y=-ax 2+bx-c.解：（1）把一般式化为顶点式y x =++()122。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题福建 周奕生我们知道，抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2b a为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点；（2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点；（3）抛物线上对称两点的纵坐标相等．利用抛物线的对称性解决抛物线有关问题十分简洁，异常巧妙．例1 已知抛物线y ＝2ax bx c ++经过Ａ（2，－5）和Ｂ（－6，－5）两点，求这条抛物线的对称轴．分析：此题的一般解法是：由已知，得 4253665a b c a b c ++=-⎧⎨-+=-⎩， 两式相减，得－32a ＋8b ＝０，即b ＝４a ，所以抛物线的对称轴是x ＝－2b a ＝42a a-＝－2； 从抛物线的对称性入手，解法十分简便．因为Ａ、Ｂ两点的纵坐标相同，所以Ａ、Ｂ两点关于抛物线的对称轴对称，因此，抛物线的对称轴经过线段ＡＢ的中点，而ＡＢ中点坐标是（－2，－5），所以抛物线的对称轴是x ＝－2．例2 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴是x ＝2，且经过点Ａ（2，1），试判断该抛物线是否经过点Ｂ（2，1）分析：本题一般解法是：由已知，得((222221b a a b c ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，然后验证当x ＝2时，y 是否等于1？这种解法显然是繁不胜繁．而从对称性入手那就简单多了．因为点Ｂ与点Ａ的纵坐标相同，而点Ａ在抛物线上，因此要判断点Ｂ是否在抛物线上，只须判断点Ｂ和Ａ是否关于抛物线的对称轴x ＝2对称即可．易知，点Ａ和Ｂ到直线x ＝2x ＝2对称，又点Ａ在抛物线上，直线x ＝2是抛物线的对称轴，所以点Ｂ在抛物线上，即抛物线经过点Ｂ．例3 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的顶点是Ｍ（2，－9），且在x 轴上截得的线段ＡＢ的长是6，求a ，b ，ｃ的值．分析：这是一道常见题，相信大家对此题的解法已是胸有成竹，但下面的解法将令你刮目相看．解：由对称性可知Ａ、Ｂ是关于抛物线的对称轴x ＝2对称的两点，又ＡＢ＝6，所以Ａ、Ｂ两点到直线x ＝2的距离都是3，因此，点Ａ、Ｂ的坐标是（－1，０），（5，０），故可设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －5），把x ＝2，y ＝－9代入，得－9＝a （2＋1）（2－5），解得a ＝－1，故y ＝－（x ＋1）（x －5），即y ＝24x x -+＋5，比较系数，得a ＝－1，b ＝４，ｃ＝5．。
(文章)利用抛物线的对称轴解题
利用抛物线的对称轴解题抛物线的对称轴是二次函数的一个重要特性，巧用这个对称性，能使求解变得简洁，下面举例说明；1. 用对称比大小例1、已知二次函数234y x x =--，若x x 2132320->->，试比较1y 与2y 的大小；解析：因为抛物线的对称轴为x =32，且3201->x ，x 2320->，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，因为x 1到对称轴x =32的距离为||x x 113232-=-，x 2到对称轴x =32的距离为||x x 223232-=-，由题意知：x x 2132320->->，即x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以21y y >2. 用对称求解析式例2. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解析：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的解析式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的解析式为顶点式：y a x =++()142，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的解析式为两点式：(4)y a x =+（x-2），把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为：4(4)9y x =-+（x-2）；3. 用对称性解答方程问题例3. 关于x 的方程x px 210++=（p >0）的两根之差为1，则p 等于（ ） A. 2 B. 4 C.3 D.5解析：设方程x px 210++=的两根为x 1、x 2，则抛物线y x px =++21与x 轴两交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0）因为抛物线的对称轴为x p =-2，所以x p 1212=--，x p 2212=-+， 因为x x 121⋅=，所以()()---+=p p 2122121，得：p 25=，因为p >0，所以p =5 故选D。
巧用抛物线的对称性解中考题
巧用抛物线的对称性解中考题同学们是否研究过这样一个结论：若10(,)x y 、20(,)x y 是抛物线2y ax bx c =++的两点，则抛物线的对称轴是：122x x x +=． 这是因为，将10(,)x y 、20(,)x y 分别代入抛物线2y ax bx c =++得：2011y a x b xc =++，2022y ax bx c =++，所以有：211ax bx c ++=222ax bx c ++，移项得：221212()()0a x x b x x -+-=，即：1212()[()]0x x a x x b -++=，由于12x x ≠，所以12()0a x x b ++=，即b=12()a x x -+，所以抛物线的对称轴是：2bx a =-=12()2a x x a-+-=122x x +． 利用这一结论解决某些问题，可以大大简化解题过程，降低题目的难度，从而节省大量的有效时间．下面以中考试题为例加以说明，供同学们参考．例1．如图1，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2分析：由抛物线的对称轴1=x ，及点P （3，0），可求出抛物线上点P 关于对称轴1=x 的对称点的坐标为Q （-1，0），由于Q 在抛物线上，所以问题可求．解：由对称轴1=x 及点P （3，0），所以P 的对称点为（-1，0），有（-1，0）满足关系式，所以c b a +-=0，故选A ．评注：本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法将有点麻烦．y33O x图1P1例2．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：x … 2-1- 0 1 2 … y…162- 4-122- 2-122- …根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y = ．分析：由表格可知：（0，122-）和（2，122-）是一对对称点，所以对称轴为0212x +==，因此x=3的值与x=-1的值相等．解：根据二次函数的对称性可知，其对称轴为直线x=1,所以3x =时的函数值与x=-1时相等，所以y=-4．评注：本题考查二次函数的对称性．本题若不用这种方法，则需由表格中的三个点的坐标代入列出三元一次方程组，求出抛物线的关系式，再将x=3代入，计算量大而且非常麻烦．例3．抛物线2y ax bx c =++经过点A （-2,7），B （6，7），C （3，-8），则抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是 ．分析：由于A （-2,7），B （6，7）的纵坐标相同，知A,B 关于抛物线的对称轴对称，利用上述公式易求出对称轴，从而问题可求．解：由于A （-2,7），B （6，7）的纵坐标相同，所以对称轴为2622x -+==，于是设该抛物线纵坐标为-8的另一点的坐标为（2x ，-8），则有2322x +=，所以2x =1，故应填（1，-8）．评注：本题两次运用抛物线的轴对称性，大大降低了难度及运算．若用常规解法为：由A 、B 、C 三点列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组求出抛物线的关系式，再令y=-8，解关于x 的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案，显然非常麻烦！。
寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第十讲 抛物线的对称平移问题(学生版)
第十讲 抛物线的对称平移问题明确目标﹒定位考点在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。
掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。
热点聚焦﹒考点突破考点1 抛物线关于x 轴、y 轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。
二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+注： 对于以上四种对称要在结合开个方向、对称轴的位置以及与y 轴的交点三个方面结合图像理解记忆。
而对于抛物线关于定点对称问题我们一般都是化成顶点式再变换.【例1】二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 ，关于X 轴的对称图象的解析式为 ，关于原点的对称图象的解析式为 ，关于顶点旋转180度的图象的解析式为 。
【例2】将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【变式训练1】1.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．【规律方法】掌握抛物线的四种对称方式，理解公式的推导过程。
抛物线平移、旋转、对称
已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．[解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（-1，5）．（1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积（保留π）；（3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A的函数关系式；（4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四点．【解析】（1）易得点C的纵坐标和点B的纵坐标相等，横坐标比点B的横坐标小8，过A 作AE⊥BC于点E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么点A的横坐标比点B的横坐标小3，纵坐标比点B纵坐标小4，点D的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标比点A 的横坐标小2；（2）绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为4，母线长为5的圆锥的侧面积和一个半径长为4，母线长为2的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；（3）设新函数解析式为y=（x-h）2，把（-4，1）代入即可求解；（4）可把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2上；进而设函数的解析式为y=mx2，A，B中的2点代入即可求解．如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．【解析】（1）本题需先根据题意把 A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示．（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．【解析】（1）由矩形的性质可知B点的坐标，因为点D是BC边上的中点，所以可求出点D关于y轴对称点D′的坐标，把A点和D点的坐标代入抛物线y=ax2+bx可求出a，c的值；（2）先设直线AD′的解析式为y=kx+n，有已知条件可求出k和n的值，再求出直线和y 轴的交点坐标即可；（3）设抛物线向下平移了m个单位，表示出点A1，点D1的点坐标，又O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式．如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2经过A，O，D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的．（1）求a的值；（2）求图2中矩形EFGH的面积；（3）求图3中正方形PQRS的面积．【解析】（1）根据题意可得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求得a的值；（2）根据图形分析得：正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT 重合，由平行移动的性质可知EH=15，同理可得EF=10，可得矩形的面积；（3）建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．【解析】（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N 两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．【解答】（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=-12x2+2x；②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），代入解出解析式为y=-12x2-3x；③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=-12x2+3x．在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．【解析】（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1⊥AB1，根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22)，由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方抛物线上是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．【解析】（1）抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；（2）因为S△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D 的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【解析】（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P的为（-2，-5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a=59；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，根据点P、M关于点B成中心对称，证明△PBH≌△MBG，所以MG=PH=5，BG=BH=3，即顶点M的坐标为（4，5），根据抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，所以抛物线C3的表达式为y=-59（x-4）2+5；（3）根据抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34．分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=443，即Q点坐标为（193，0）；②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=103，∴Q点坐标为（23，0），③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．【解析】（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt △PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．【解析】（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得．②利用相似三角形的性质即可求得：过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB 于点M，要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．。
谈抛物线对称性的巧用
・ ． ．
当 ｙ ０时 ， ＜ 有 ＜ ３或 ｘ ｌ但这种解法计算 量大 ， 一 ＞， 费时又费力 。
】 ５８一
２ １—４ ０２ Ｄ
方 法交 流
例４ 知 次 数 ２ ＋ ，自 量 取 个 同 值；方 向 平 后 与 次 数， ＋的 象 交 点Ｐ ． 二 函 ＋ ３当 变 两 不 的 正 向 上 移 ， 一 函 ， ２ 图 相 于 ， 已 ４ 一 与
得 ， ｘ ２（ ）（ ）０ 的函数 值与 当 ＝ ｘ一 一一 ＝ 时
‘． 二
嘉舭 …２ 于 对 称
Ｊ
似： 的函数值 相 时
标 （ｎ） 入 次 数 ｎ 原 物 向 平 了 为３一， 一 函 得 ＝ ．抛 线 上 移 ，２代 手
个单位 。
等 。故选 Ｂ 。
例 ５已知二次函数的图象经过点 （ ， ）且与 轴两交 点间的 ． ２７， 距离是 ６ 对称轴是 直线 一 ２ 求此二次函数 的解析式 。 ， ， 分 析 ：由于 图象与 轴两交点 间的距离是 ６ ，对 称轴是直 线
由 论３ ， ｝和 一早 时 数 都 ‘ 一时Ｙ 结 得当 一 函 值 为Ｙ． ＞ ， 当 ２
（ － ３故选 Ｂ ｙ＜ Ｙ 。
，
条 具有对称性 的抛物线 ， 它给人 以对称美的享受。 在解题时合理使 用抛物线 的对称性 ， 会取得很好 的效果 。 对二次 函数 图象对称性的 考查， 已成为近些年中考的热 点。因此 ， 二次 函数这部 分内容的 在 教与学上 ，教师要 引导学生巧用抛物线的对称性解决所遇到的问 题 ，我们教师在 教学 时不妨用一堂或两堂课来专 门研究抛物线 的
Ｘ１ ＋Ｘ２
‘
Ｚ
； 反之亦然。
３ 又 ‘ 点 ｃ和所 求的点也 是一对对称 点 ． ， ． ’ 由结论 ３得 ， 求点 所 ３若 Ａ（ Ｙ） ． 。是抛 物线上 的一点 ， 它关 于抛物线 的对称 轴 的横坐标为 ２ ３ ４ ２ 所求点的坐标 为（ ，７ 则 ｘ － ＝ ． ２－ ） ｘ ｈ的对称点 Ｂ一定也在抛物线上 ， Ｂ点的坐标 为（＾ 。 。 ＝ 且 ２ ， ） Ｙ。 例 ３抛物线 ＇ ：ｂ ＋ ． ， ＋ｘ ｃ的部分 图象如 图 １ 示 ， ｙ ０ 则 ＝ 所 若 ＜， 特殊情况 ： 若抛物线 与 轴 的其 中一个交点是 Ａ（ ０ ， 对 的取值范围是（ ）其 ）
抛物线平移规律
抛物线平移规律
平移是变换的一种，它指的是使几何图形上的每一点都沿一定方向以一定长度的距离移动而形成的新几何图形，抛物线的平移也正是按照这个原理进行的。
抛物线的定义可以由一元二次方程表示，其中前因子为二次项、系数和常数因子，与抛物线解析式相关：
y=ax^2+bx+c (a≠0)
抛物线的直线对称轴方程为：
x=-b/(2a)
平移时要把其定义式整体向同一方向移动m个单位，y值在每一点上要Δy=m，通过替换，可把抛物线平移m个单位后的一元二次方程改写成：
平移时，抛物线的直线对称轴也要平移Δx = m/2a的距离：
即可得到抛物线平移m个单位后的新的对称轴方程。
抛物线平移也涉及到椭圆平移，它也可从函数通用公式来推出。
一般椭圆的参数方程如下：
(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1
可见，抛物线沿x轴方向平移m个单位后，原来的方程中的前因子未发生变化，只是最后的常数项发生了变化，即c+m；同时，椭圆的橙的方程中的h、k坐标随着平移m个单位而发生变化，即h+m、k+m。
平移的距离可以是负数，平移过程不改变图形，只是平移得到新的图形位置。
此时，抛物线的平移原理也可以相应地调整，即m可以变为m。
负数，对应的一元二次方程的平移格式就变成了：
椭圆的平移格式也会发生相应的变化：
由此可见，抛物线在平移过程中，前因子a不变，只有常数因子c或h、k坐标发生变化，对应的值与已知的m有关。
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巧解抛物线的对称性和平移问题
夹河镇黑虎中学李玉升
在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。
掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。
一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k关于x轴、y轴、原点对称的解析式，学生很容易想到先找到其顶点（h,k）关于x轴、y轴、原点的对称点，再根据对称后的开口方向决定是a还是-a，从而得出对称后的解析式。
可对于求一般式y=ax2+bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时，学生还是想到先将其化为顶点式后，再根据顶点式来求其对称后的解析式。
这样做固然正确，但解答过程比较繁琐。
其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变为它的相反数；关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为其相反数；关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。
例：求抛物线y=-2x2+3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为－y，即：－y＝-2x2+3x-6，然后化为一般形式y=2x2－3x+6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为－x ，即：y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=－2x2－3x－6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为－x，y变为－y，即：－y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=2x2+3x+6即可。
二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题，即：上加下减，直接加、减在k上，左加右减，直接加、减在x上，而对于求一般式y=ax2+bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。
其实没这个必要，也可直接在一般式中进行，即上或下平移时直接在c上加或减，左或右平移时直接在x上加或减。
例：将抛物线y=5x2－2x+6向右平移3个单位再向上平移2个单位的解析式为：y=5（x－3）2－2（x －3）+6+2，化为一般式得：y=5x2－32x+59。
其实，这些规律学生也并非不能接受。
因为抛物线是由一些点组成的图形，其对称性自然满足点的对称规律。
平移只需总结出：上、下平移直接加、减在常数项上，左、右平移直接加、减在自变量上即可。