1解下列不等式并用区间表示不等式的解集

1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集： （1）74<-x ； （2）321<-≤x ；

（3）)

0(><-εεa x ； （4）

)0,(0><-δδa x ax ；

（5）062>--x x ； （6）

022≤-+x x ．

解：

1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .11

3．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<

-x 或321<-≤x ，可解得

11≤<-x ,53<≤x .即

]5,3[)1，1(⋃-

3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ； 4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得

a x x a x δδ+<<-00，即a

x a x δ

δ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-

(∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.

２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）x y 2cos 1+=与x cos 2； （3）)sin (arcsin x y =与x y =；

（4）)arctan (tan x y =与x y =； （5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；

（6）x

x

y +-=11lg

与)1lg()1lg(x x x +--=．

解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23

k k x k ++∈

+∞

-∞

- 时，

02cos 1 >+x ,而0cos 2

3）不同，因为只有在]2

, 2[π

π-上成立；

4）相同；

5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同

3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1

)4lg(--=

x x y ；

（2）4

5lg 2

x x y -=；

（3）x

x

y +-=

11； （4）)5lg(3

1

2x x x y -+-+

-=；

（5）342+-=x x y ； （6）x

y x

lg 11

3

1

--

=； （7）x y x

-+=1 lg arccos 21；

（8）6

712arccos

2

---=

x x x y ． 解：

1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩

⎨⎧<<-<41 1

x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.

2)原函数若想有意义必须满足0452

>-x x ,可解得 50<

011≥+-x

x

,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩

⎪⎨⎧>-≠-≥-0

5030

2x x x ,可解得 ⎩⎨

⎧<<<≤533

2x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩

⎪⎨

⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31

x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.

6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩

⎪⎨⎧≠-≠>0

lg 100

x x x ,可解得⎩⎨

⎧><<1010

0x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤

8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,

17

1

2≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.

4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：

（1）⎪⎩⎪⎨⎧

<≤-<-=43,13

,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；

（2）⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 121

0, 30,

1

，求)5( , )0( , )3(y y y -．

解：

1）原函数定义域为：)4 , 4(- 3)0(==y 8)3(==y .图略 2)原函数定义域为：) , (∞+-∞

3

1

)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略

5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：

(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=6sin πx y ．

解：x y sin =的图形如下

(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位

(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

（3）)2

sin(π

+=x y 是将x y sin =向2移动

6

π

个单值。

y 1 -1 0 π 2π x

y

2

1

0 2π

π 2

3π

2π

x

π 2

y 2 0 -2 π

2

π

2

3π

2π

y