接触问题的有限元分析

（2）接触约束算法
min
U
1 2
UT
K
U
UT
F
s.t. g U 0
接触约束算法就是通过对接触边界约束条件的适当
处理，将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。
根据无约束优化方法的不同，可分为罚函数方法和
Lagrange 乘子法。
1）罚函数方法
将接触非线性问题转化为材料非线性问题。分为障
碍函数法和惩罚函数法
虚力法：用沿边界的虚拟等效压力来模拟接触状态， 这样在每次迭代中并不重新形成刚度矩阵，所做的只是 回代工作。
有限元混合法：以结点位移和接触力为未知量，并 采用有限元形函数插值，将接触区域的位移约束条件和 接触力约束条件均反映到刚度矩阵中去，构成有限元混 合法控制方程
6.1 接触边界的有限元算法
（1）直接迭代法
6.1 接触边界的有限元算法
（1）直接迭代法 在用有限元位移法求解接触问题时，首先假设初始
接触状态形成系统刚度矩阵，求得位移和接触力后，根 据接触条件不断修改接触状态，重新形成刚度矩阵求解， 反复迭代直至收敛。
每次迭代都要重新形成刚度矩阵，求解控制方程， 而实际上接触问题的非线性主要反映在接触边界上，因 此，通常采用静力凝聚技术，使得每次迭代只是对接触 点进行， 大大提高了求解效率。
p
其中
K
p
P
T
U
E p
P
U
K
p
P
T
U
E p
P
0
由于人为假设了很大 的罚因子，可能引起 方程的病态。
2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
c
U
1 2
g
U
T
λ
min
U
1 2
UT
K
U
U T
F
s.t. g U 0
约束最小化问题转化 为无约束最小化问题
《有限元基本理论及应用》
接触问题的有限元分析
接触问题存在两个较大的难点： 1）在求解问题之前，接触区域不确定，表面之间是否接 触或分开是未知的、瞬时变化的，它由载荷、材料、边界 条件和其它因素而定； 2）大多的接触问题需要计算摩擦，有多种摩擦及其模型 可供挑选，但它们都是非线性的，摩擦使问题的收敛性变 得困难。
pT
ET u T
g pT
v 0
v 0
v 0
0
有了上述摩擦接触条件的互补关系，就可以利用参
变量变分原理或虚功原理建立摩擦接触问题的有限元二 次规划(线性互补)模型。
g0
U
考虑Lagrange 乘子的物理意义，可将其用接触对的接 触应力代替，通过迭代计算得到问题的正确解。
在迭代过程中，接触应力作为已知量出现，这样既吸
收了罚函数方法和Lagrange 乘子法的优点，又不增加系统 的求解规模，而且收敛速度也比较快。
另一种增广Lagrange 乘子法主要是为了弥补 Lagrange 乘子法中控制矩阵存在零主元的弱点：
K
L
J 0
U C
F
0
对弹塑性接触问题，在求解过程中接触非线性和材料 非线性都需要迭代求解。
通常是利用系统刚度矩阵的变化来反映材料非线性的 影响，在每次塑性修正迭代过程中都要结合对接触状态的 判断进行接触迭代计算，并且，荷载增量更是受到不允许 在一个增量步中出现两种非线性的限制。
6.1 接触边界的有限元算法
惩罚函数法对接触约束条件的处理是通过在势能泛函中
增加一个惩罚势能。
p
U
源自文库
1 2
P T
EP
P
惩罚因子
嵌入深度，是节点位移的函数
接触问题就等价于无约束优化问题:
min U U p U
K K U FF
p
p
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
1）罚函数方法
K K U FF
p
增广Lagrange 乘子法：最直接的一种方法是构造修 正的势能泛函：
U U p U c U
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法 2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
U U p U c U
相应的控制方程为：
K Kp
G
GT 0
U
λ
F Fp
p
n
u n
0
经有限元离散后，无摩擦接触问题被归结为二次规划
( 线性互补) 问题求解。把摩擦条件可以写成如下带导数的
互补形式：
wT
pT 0
0
0
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
3） 数学规划法 对摩擦条件的另一种处理方法是引进惩罚因子，然后仿
照塑性力学将摩擦接触条件表示成有惩罚因子的互补形式:
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法 2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
min U, λ 1 UT K UUT F g U T λ
2
代入
g
U
g0
U
g U U
U
g0
U
GU
K GT U F
G
0
λ
g0
U
Lagrange 乘子法中 接触约束条件可以精 确满足
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
1）罚函数方法 障碍函数法假设接触面之间充满某虚拟物质，在未接触
时其刚度趋于零，不影响物体的自由运动，在接触时其刚度 变得足够大，能阻止接触物体之间的相互嵌入。
常用的间隙元等方法均属于此类，该方法处理简单，编 程方便，只是在传统有限元分析中增加一种单元模式而已；
2
系统的控制方程写为：
K GT E p
G
U F GT E p
g0
U
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
3） 数学规划法 基于势能或余能原理，并利用变分不等式等现代数学方
法而导出，最初该方法是针对无摩擦接触问题提出，它利用 了无摩擦接触问题的非穿透条件和互补条件：
un 0 pn 0
U
1 2
λT
E
p
1
λ
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
U
1 2
λT
E p
1
λ
min
U,
λ
1 2
UT
K
U
UT
F
g
U
T
λ
1 2
λT
Ep
λ
U
1 2
λT
Ep
1
λ
解收敛于
min U, λ 1 UT K UUT F g U T λ 解
接触问题基本类型：刚体─柔体接触，柔体─柔体接 触。
在刚体─柔体的接触中，接触面的一个或多个被当作 刚体(与它接触的变形体相比，有大得多的刚度)，一般情 况下，一种软材料和一种硬材料接触时，问题可以被假定 为刚体─柔体的接触，许多金属成形问题归为此类接触；
而柔体─柔体的接触，是一种更普遍的类型，在这种 情况下，两个接触体都是变形体(有近似的刚度)。