不等式和不等式组的认识与解法
不等式与不等式组知识点
不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中,不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x —a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。
3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。
4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是 。
6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7。
若x 〈１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空)8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x -〉10-a 的解集为x <３，则a10。
若a 〉b 〉c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x bx a x 的解集是11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x 〈１，则)1)(1(++b a 的值为 12.有解集２<x <３的不等式组是 （写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g14。
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。
” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。
2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。
专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。
不等式与不等式组
不等式与不等式组在数学中，不等式是描述数之间关系的一种表达方式。
不等式可以用于求解线性方程组、判断函数的增减性以及解决许多实际问题。
本文将介绍不等式及不等式组的概念、性质和解法。
1. 不等式的定义和性质不等式是用符号>、<、≥或≤表示数值之间相对大小关系的数学表达式。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
例如，对于两个实数a和b，若a>b，则称a大于b，记作a>b。
不等式满足如下的性质：（1）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
（2）反对称性：如果a>b且b>a，那么a=b。
（3）加法性：如果a>b，那么a+c>b+c，其中c为任意实数。
（4）乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。
2. 不等式的解法要求解一个不等式，需要确定不等式的解集。
解集是满足不等式条件的所有的实数集合。
（1）一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相类似。
例如，对于不等式2x+3<7，我们可以按照如下步骤解题：2x+3<72x<4x<2因此，解集为x<2。
（2）一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程相类似。
例如，对于不等式x^2-5x+6>0，我们可以按照如下步骤解题：(x-2)(x-3)>0根据零点的性质，我们可以得出两个解为x<2或x>3。
（3）不等式组的解法不等式组是由多个不等式组成的方程组。
解不等式组的方法与解方程组类似，需要找到所有满足所有不等式条件的解。
例如，考虑以下不等式组：x+y>32x-y<2我们可以通过图像法或代入法求解不等式组。
最终我们得到解集为x>1，y>2。
3. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
七年级数学下册第九章不等式与不等式组题型总结及解题方法
七年级数学下册第九章不等式与不等式组题型总结及解题方法单选题1、对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( )A．②③④B．①②④C．①③④⑤D．①③④答案：D分析：①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证，证实或证伪；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题；⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值．对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．故[1+a]-[1-a]的值为-1或1或-2，故⑤不正确．综上所述，正确的是①③④故选：D．小提示：本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．2、斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路，某人行横道全长24米，小明以1.2m/s 的速度过该人行横道，行至13处时，9秒倒计时灯亮了，小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（ ）A ．1.1倍B ．1.4倍C ．1.5倍D ．1.6倍答案：C分析：已经行至13，说明还剩24×(1−13)路程，设提速后的速度为x ，依题意列出不等式并求出解集即可． 解：设提速后的速度为x ，依题意可得9x ≥24×(1−13)， 解得x ≥169，则x ÷1.2≥4027≈1.48，故选：C ． 小提示：本题考查了一元一次不等式的应用，依题意能列出不等式并求出提速后的速度是解决问题的关键．3、关于x 的不等式{2(x −1)＞4a −x ＜0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为（ ） A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤3答案：D分析：先解第一个不等式得到x ＞3，由于不等式组的解集为x ＞3，则利用同大取大可得到a 的范围． 解：解不等式2（x -1）＞4，得：x ＞3，解不等式a -x ＜0，得：x ＞a ，∵不等式组的解集为x ＞3，∴a ≤3．故选：D小提示：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0答案：A解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、已知a <b ，下列式子不一定成立的是（ ）A ．a −1<b −1B ．−2a >−2bC ．12a +1<12b +1D ．ma >mb答案：D分析：根据不等式的性质解答．解：A 、不等式a ＜b 的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；B 、不等式a ＜b 的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即−2a >−2b ，故本选项不符合题意；C 、不等式a ＜b 的两边同时乘以12，不等式仍成立，即：12a <12b ，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即12a +1<12b +1，故本选项不符合题意；D 、不等式a ＜b 的两边同时乘以m ，当m>0，不等式仍成立，即ma <mb ；当m<0，不等号方向改变，即ma >mb ；当m=0时，ma =mb ；故ma >mb 不一定成立，故本选项符合题意，故选：D ．小提示：本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．6、实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a <−2B ．|a |<|b |C ．−a <−bD ．ab >0答案：D分析：先根据数轴的性质可得−2<a <b <0，再根据绝对值的性质、不等式的性质、有理数乘法法则逐项判断即可得．解：由数轴的性质得：−2<a<b<0．A、a>−2，此项错误，不符题意；B、|a|>|b|，此项错误，不符题意；C、−a>−b，此项错误，不符题意；D、ab>0，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．7、不等式组{x−2≤0x+3>0的解集是（）A．-3<x≤2B．-3≤x<2C．x≥2D．x<−3答案：A分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：{x−2≤0①x+3>0②解不等式①得：x ⩽ 2，解不等式②得：x>−3，∴不等式组的解集为：−3<x⩽2，故选：A．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8、已知x=m+15，y=5−2m，若m>−3，则x与y的关系为（）A．x=y B．x>y C．x<y D．不能确定答案：B分析：根据题意，直接利用作差法进行计算，得x−y=3m+10，比较3m+10与0的大小，即可得到答案．解：∵x−y=m+15−(5−2m)=3m+10，∵m>−3，∴3m>−9．∴3m +10>1>0．∴x >y ．故选：B ．小提示：本题考查了有理数的比较大小，以及代数式的变形和不等式的解法，难度适中．解题的关键是熟练掌握作差法比较大小．9、对于三个数字a ，b ，c ，用max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，例如max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝{a,(a ≥−1)−1,(a <−1),如果max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则x 的取值范围是（ ） A ．23≤x≤92B ．52≤x≤4C ．23＜x ＜92D ．52＜x ＜4答案：B分析：根据max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，可得不等式组{3≥8−2x 3≥2x −5，可得结论. ∵max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则{3≥8−2x 3≥2x −5， ∴x 的取值范围为：52≤x≤4，故选：B ．小提示：本题考查了不等式的应用及新定义问题，理解新定义，得到不等式组是解题的关键．10、在数学表达式：−3<0，a +b ，x =3，x 2+2xy +y 2，x ≠5，x +2>y +3中，是一元一次不等式的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：A分析：一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；a +b 是整式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1个故选：A．小提示：本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．填空题11、某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售．答案：七##7分析：设按标价的x折出售，利用利润=售价-成本，结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．解：设按标价的x折出售−800≥800×5%由题意得：1200×x10解得：x≥7∴最低可按标价的7折出售故答案为7小提示：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12、如果不等式2x－m≤0的正整数解共3个，则m的取值范围是________．答案：6≤m＜8分析：先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．解：移项，得：2x＜m，系数化为1，得：x＜m，2∵不等式2x-m ＜0只有三个正整数解，∴3≤m 2＜4， 解得：6≤m ＜8，故答案为6≤m ＜8．小提示：本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解的应用，能得出关于m 的不等式组是解此题的关键．13、不等式12x −3>−14−52x 的最小负整数解______．答案：-3分析：移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．解：12x −3>−14−52x ， 移项，得12x +52x >−14+3， 合并同类项，得3x ＞-11，系数化成1，得x ＞−113，所以不等式的最小负整数解是-3，所以答案是：-3．小提示：本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．14、有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．答案：39或44或49分析：可设共有x 间宿舍，则学生数有（5x ＋14）人，列出不等式组为0＜5x ＋14−8（x−1）＜8解出即可． 设共有x 间宿舍，则学生数有（5x ＋14）人，根据题意得：0＜5x ＋14−8（x−1）＜8，解得143＜x ＜223，∵x 为整数，∴x ＝5或6或7，即学生有5x ＋14＝39或5x ＋14＝44或5x ＋14＝49．即，学生人数是39或44人或49；所以答案是：39或44或49．小提示：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．15、a 与b 的差是非负数，列出不等式为_______．答案：a -b ≥0．分析：先作差，然后根据非负列出不等式即可．解：由题意可得：a -b ≥0．故答案为a -b ≥0．小提示：本题主要考查了列不等式，理解非负的意义是解答本题的关键．解答题16、已知关于x 的不等式组{5x +1>3(x -1),12x ≤8-32x +2a 恰有两个整数解,求实数a 的取值范围. 答案：-4≤a<-3.试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a 的不等式组求得a 的范围．试题解析：解：由5x +1＞3（x ﹣1）得：x ＞﹣2，由12x ≤8﹣32x +2a 得：x ≤4+a ．则不等式组的解集是：﹣2＜x ≤4+a ．不等式组只有两个整数解，是﹣1和0．根据题意得：0≤4+a ＜1．解得：﹣4≤a ＜﹣3．点睛：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17、某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A ，B 两种型号的新型公交车，已知购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．(1)求A 型公交车和B 型公交车每辆各多少万元？(2)公交公司计划购买A 型公交车和B 型公交车共140辆，且购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A 型公交车？答案：(1)A 型公交车每辆45万元，B 型公交车每辆60万元；(2)80分析：（1）设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，由题意：购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该公司购买m 辆A 型公交车，则购买（140-m ）辆B 型公交车，由题意：购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．(1)解：设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，由题意得：{x +2y =1652x +3y =270， 解得：{x =45y =60， 答：A 型公交车每辆45万元，B 型公交车每辆60万元；(2)解：设该公司购买m 辆A 型公交车，则购买（140﹣m ）辆B 型公交车，由题意得：45m ≤60（140﹣m ），解得：m ≤80，答：该公司最多购买80辆A 型公交车．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18、某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？ 答案：（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析分析：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m 辆甲型货车，则租用(70−m)辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数，即可得出各租车方案．解：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，依题意得：{30x +50y =150020x +60y =1400， 解得：{x =25y =15． 答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．（2）设租用m 辆甲型货车，则租用(70−m)辆乙型货车，依题意得：{25m +15(70−m)≤124570−m ≤3m， 解得：352≤m ≤392． 又∵m 为整数，∴m 可以取18，19，∴该公司共有2种租车方案，方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。
不等式与不等式组的知识点
不等式与不等式组的知识点不等式与不等式组的知识点一、不等式的定义不等式是数学中用来表示两个数之间的大小关系的一种符号，他们通常使用箭头或相等号和符号连接。
在不等式中，将数字分为“左边”和“右边”，而箭头或符号则指示左边的数字要大于、小于、等于或不等于右边的数字。
例如，5<7表示5小于7，3>2表示3大于2，4≠8表示4不等于8，以及6≤9表示6小于或等于9。
二、不等式组的定义不等式组是指多个不等式组成的数学结构，能够用来描述一个特定的解决方案。
例如，在x + 2y ≥ 6 和 x - y ≤ 4 的不等式组中，每个不等式都有一个独立的变量，即x和y，并且它们之间具有相互作用，即它们可以用来确定一个特定的解决方案。
三、不等式与不等式组的解决方法1.解不等式解不等式是指求出满足不等式的所有可能的解的过程。
首先，需要确定不等式的类型，因为不同类型的不等式有不同的解决方法。
其次，需要对不等式进行消去或求解，使其右边的数字变为0。
最后，根据不等式的类型，求出所有可能的解。
2.解不等式组解不等式组是指求出满足不等式组中所有不等式的解的过程。
首先，需要将不等式组中的不等式进行消去或求解，使其右边的数字变为0。
其次，根据消去后的不等式，对不等式组中的变量进行求值，以确定其解。
最后，需要检查求得的解是否满足不等式组中的所有不等式，如果满足，则该解即为不等式组的解。
四、不等式与不等式组的应用1.不等式的应用不等式在日常生活中有着广泛的应用，例如可以用来确定某个数字是否在一定范围之内，也可以用来确定某个数字是否等于另一个数字。
例如，可以使用不等式来判断温度是否低于20度，由此可以判断是否需要加衣服。
此外，还可以使用不等式来确定某个数字是否等于另一个数字，例如可以用来判断两个数字是否相等。
2.不等式组的应用不等式组在商业、金融、经济和其他领域的应用非常广泛，例如在金融领域，可以使用不等式组来判断投资是否能够获得最大的收益；在经济领域，可以使用不等式组来判断某项投资是否会产生最大的利润等。
不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。
人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组
七年级数学拓展第五讲不等式与不等式组讲义
例 16.（2010 江苏）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆 你玩”.以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克。市政府决定采取价格临时 干预措施，调进绿豆以平抑市场价格。经市场调硏预测，该市每调进 100 吨绿豆，市场价格 就下降 1 元/千克。为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市 场价格控制在 8 元汘千克到 10 元/汘克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克）。问调进绿豆的吨 数应在什么范围内为宜？
例 17.某工厂现有甲种原料 36 千克，乙种原料 20 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种 产品共 12 件。已知生产一件 A 种产品需甲种原料 3 千克，乙种原料 1 千克；生 B 种产品需 甲种原料 2 千克乙种原料 5 千克 （1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组 （2）请你设计出符合题意的几种生产方案
第五讲 不等式与不等式组
不等式的概念
1.不等式的概念
用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
5 2, a 3 4 1, x 1 0,| x | 0,3a 4a
等都是不等式
常见的不等号有 5 种： " "," "," "," "," "
2.不等式的性质
（1）基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或是同一个整式，不等号方向不 变
其中空心点用来表示“>”和“<”，实心点用来表示“≥”和“≤”
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q
小结:关键是两两间大小关系要先表示或判定出来.
4
精典范例
5.【例1】利用不等式的性质,填“＞”或“＜”.
(1)若x＞y,则x－10 ＞ y－10;
(2)若－1.25y＜10,则y ＞ －8;
(3)若a＜b且k＞0,则k＋a ＜ k＋b;
(4)若－1m＞－1n,则 m ＜ n;
2
2
(5)若a＞b,则2a＋1 ＞ 2b＋1;
(6)若a＜b且c＞0,则ac＋c ＜ bc＋c.
第九章 不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方 向 不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本 性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
不等式与不等式组
不等式与不等式组引言：不等式是数学中一种重要的表达式，它可以描述数值之间的大小关系。
而不等式组则是多个不等式的集合，通过不等式组可以更准确地描述多个数值之间的关系。
本文将介绍不等式的基本概念、解不等式的方法以及解不等式组的方法，并通过实例进行详细说明。
一、不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中一种比较两个数值大小关系的表达式。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
1.2 不等式的性质不等式有以下基本性质：（1）任意数与自身的不等关系是等式关系，即a = a；（2）如果a > b，那么b < a；（3）如果a > b，且b > c，则a > c（传递性质）；（4）两个不等式可以通过加法、减法、乘法和除法进行运算，运算的结果仍然是不等式。
二、解不等式的方法解不等式的方法主要有图解法、试值法和换元法。
下面将对这三种方法进行详细介绍。
2.1 图解法图解法是通过将不等式转化为图形进行分析和求解的方法。
以一元不等式为例，画出数轴并标出关键点，再根据不等式的符号来判断解的范围，从而得到不等式的解集。
2.2 试值法试值法是通过选择一些特定的数值，代入不等式进行验证，找出满足不等式的数值范围，进而得到不等式的解集。
2.3 换元法换元法是通过引入新的变量，将原不等式转化为一个更简单的形式进行求解。
常用的换元方法有代换法、平方取非负法等。
三、解不等式组的方法不等式组是由多个不等式组成的集合，解不等式组需要判断每一个不等式的解集并进行求交集的操作。
下面介绍两种解不等式组的方法。
3.1 图解法图解法也适用于解不等式组。
以二元不等式组为例，将每个不等式转化为平面直角坐标系上的图形，并找出所有满足条件的交集区域，便得到了整个不等式组的解集。
3.2 代入法代入法是通过将不等式组的某个解代入原不等式组进行验证，从而找出满足全部不等式的解集。
七年级数学第9章不等式与不等式组(整章知识详解)
X>-3
2、不等式组
X<2 X<5
的非负整数解是__0_,1____
方法：先求不等式(组)的解集，再确定整数解问题
七年级数学第9章不等式与不等式组
考点三:不等式（组）的特殊解
3.(烟台)不等式4－3x≥2x－6的非负整数
解是___0_,1__,2.
x 3≥0,
4.
（苏州）不等式组
x
2
考点四：求字母的取值范围
1. 如- -果- -不- - 等- - -式- -xxm5 有解，那么m的取值范围是
_m__<_5___.若 无解 ， 则m的 取值 范 围是_m__≥_5___.
2.如
果
不
等
式
组xx
m m
1的 2
解
集
是x
-
1，
则m的 取 值 范 围 是______.
.
不等式组的解集是x>m+2，有因解集是x>-1
所以 m+2= -1，即 m = -3
（较小）
(1)若不等式组
xm1 （较大无） 解，则
x 2 m 1
m的取值范围为___m_____3_______
2m 2 m 1
(2)若不等式组
xБайду номын сангаас（1 较小的）解集为x>3，
x3 （较大）
3
的所有整数
解有（ B ）个
A、2
．
B、3
C、4
D、5
方法:先求不等式(组)的解集，再确定整数解的问题
（2 x-6）<3-x
①
求不等式组
初中数学中的不等式与解法
初中数学中的不等式与解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，其使用范围广泛，并且在解决实际问题中起着重要作用。
本文将介绍初中数学中的不等式及其解法。
一、不等式的基本概念不等式是描述两个数之间大小关系的数学表达式。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，对于两个数x和y，我们可以表示不等式x>y，表示x大于y。
二、不等式的解集表示方法不等式的解是使不等式成立的所有实数的集合。
解集可以用数轴上的图示或集合的形式表示。
例如，对于不等式3x+1>7，我们可以通过求解得到解集{x|x>2}，表示一切大于2的实数。
三、一元一次不等式的求解一元一次不等式是形如ax+b>0（或≥0、<0、≤0）的不等式，其中a 和b为已知实数。
解一元一次不等式的基本步骤如下：1. 化简不等式，使其形式为ax>c（或≥c、<c、≤c）；2. 根据a的正负情况，分析不等式解集的情况；a) 当a>0时，解集为x>c/a（或≥c/a、<c/a、≤c/a）；b) 当a<0时，解集为x<c/a（或≤c/a、>c/a、≥c/a）。
四、一元二次不等式的求解一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或≥0、<0、≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
解一元二次不等式的步骤如下：1. 将不等式化简为二次函数的形式；2. 找到二次函数的顶点（极值点）；3. 根据二次函数的凹凸性质，判断不等式的解集情况；a) 当a>0时，解集为x在顶点两侧的区域；b) 当a<0时，解集为x在顶点两侧和顶点上的区域。
五、不等式的加减乘除性质不等式具有一些特有的性质，使得我们可以利用这些性质快速求解不等式。
主要的加减乘除性质如下：1. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数；2. 乘除性质：若a>b且c>0，则ac>bc，若a>b且c<0，则ac<bc。
《不等式与不等式组》教案3：学习三元一次不等式组的求解技巧
本文主要介绍的是关于《不等式与不等式组》教案3：学习三元一次不等式组的求解技巧的相关知识内容。
在数学学科中，不等式是一个非常重要的概念和技巧，可以用来描述各种各样的数学问题。
而不等式组则更加复杂，需要运用一些特殊的方法和技巧来进行求解。
下面，我们来详细地分析一下如何学习三元一次不等式组的求解技巧。
一、三元一次不等式组的定义三元一次不等式组是由三个一次不等式组成的集合，其中每个不等式都是一元一次式（包括常数项）与 0 的大小关系。
举个例子，我们可以看一下下面这个三元一次不等式组：$ \begin{cases} 2x+y+z\le 5 \\ x+2y+z\le 6 \\ x+y+3z\le 7 \end{cases} $这个不等式组的意思是，当且仅当 $(x,y,z)$ 满足上述三个不等式时，这个不等式组才会成立。
二、三元一次不等式组的解法（一）图形法三元一次不等式组可以看做是三维的几何图形，我们可以通过图形的方法来求解。
具体步骤如下：1、将三个不等式都转化为等式，得到三个平面。
2、确定这三个平面的交点，求解出这个三元一次不等式组的解。
举个例子，我们可以看一下下面这个三元一次不等式组的图形：$ \begin{cases} x+y+z\le 4 \\ x+2y+3z\le 9 \\ y+2z\le 3 \end{cases} $通过画出这三个平面的交点，我们得到这个不等式组的解为 $(0,0,0)$。
（二）代数法代数法是解决不等式组最常用的方法，其步骤如下：1、将每个不等式都转化为等式，得到一个线性方程组。
2、通过这个方程组来求解出每个变量的取值范围。
举个例子，我们可以看一下下面这个三元一次不等式组的代数解法：$ \begin{cases} 2x+y+z\le 5 \\ x+2y+z\le 6 \\ x+y+3z\le 7 \end{cases} $将每个不等式都转化为等式，得到如下线性方程组：$ \begin{cases} 2x+y+z=5 \\ x+2y+z=6 \\ x+y+3z=7 \end{cases} $通过这个方程组，我们可以得到 $x,y,z$ 的取值范围为：$ -\infty<x\le2,\ -\infty<y\le2,\ -\infty<z\le\frac{4}{3} $故此不等式组的解为：$ \{ (x,y,z)|-\infty<x\le2,\ -\infty<y\le2,\ -\infty<z\le\frac{4}{3} \} $（三）消元法消元法是解决不等式组的方法之一，其实际上就是将一个未知量消去，得到一个只含两个未知量的不等式组。
一元一次不等式和一元一次不等式组讲义
一元一次不等式和一元一次不等式组知识点一：不等式1、 不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。
若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
若a>b 且c>0，则ac>bc 。
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
若a>b 且c<0，则ac<bc 。
2、同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。
知识点二：一元一次不等式1、定义：像276x x -<，39x ≤等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的标准形式： 0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。
3、一元一次不等式组的解集确定：若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时，则a x >，即“大大取大” （2）当⎩⎨⎧<<bx a x 时，则b x <，即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧><b x a x 时，则a x b <<，即“大小小大取中间”（4）当⎩⎨⎧<>b x a x 时，则无解，即“大大小小取不了” 知识点三：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：， 。
要点诠释： 在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点四：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)
专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小 一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。
高中数学不等式与不等式组的解法
高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式主要问题包括：大小比较(方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法);证明题(比较法，反证法，换元法，综合法…);恒成立问题(判别式法，分离参数法…)等，下面是店铺为大家精心推荐不等式与不等式组的解法，希望能够对您有所帮助。
不等式与不等式组的数轴穿根解法数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
做法：1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;⒊画数轴,并把根所在的点标上去;⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：x(x+2)(x-1)(x-3)>0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根x=0，x=1，x=-2，x=3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。
不等式(组)的概念、性质及解法
不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a-<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。
【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a是正数（2）a是非负数（3）a的相反数不大于1（4）x与y的差是负数（5）m的4倍不小于8（6）q的相反数与q的一半的差不是正数（7）x的3倍不大于x的1 3（8）a不比0大【巩固】用不等式表示：⑴x的15与6的差大于2；⑵y的23与4的和小于x；⑶a的3倍与b的12的差是非负数；⑷x与5的和的30%不大于2-．【巩固】用不等式表示：不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】 ⑴如果a b >，则2a a b >+，是根据；⑵如果a b >，则33a b >，是根据； ⑶如果a b >，则a b -<-，是根据； ⑷如果1a >，则2a a >，是根据； ⑸如果1a <-，则2a a >-，是根据．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴若a b <，则2a _______2b ；⑵若a b >，则4a -______4b -； ⑶若362x ->，则x ______4-；⑷若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++；⑵2_____2a b -- ⑶11______33a b ；⑷____a b --【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【例3】 已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【巩固】若0a b <<，则下列不等式成立的是( )A ．11a b< B ．2ab b < C ．2a ab > D ．||||a b < 【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ．a b ->-B ．11a b< C ．2a b b +> D ．2a ab > 【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x >②2xy y >③2x x >④112x <正确的式子的个数共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ．22a c b c +>+B ．22a c b c ->-C ．22ac bc >D ．2211a bc c >++不等式的解集1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】 下列说法中错误的是（）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <整数解有无限个【例5】 在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <；⑵2x ≥-；⑶2x <-或1x ≥；⑷21x -≤<不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图x a >x a ≥x a <x a ≤xa xa xa a x【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成b x a >或bx a<的形式)【例6】 求不等式3(1)5182x x x +-+>-的解集．【巩固】解不等式：5192311236x x x +--+≤【巩固】解不等式2110155364x x x ++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【巩固】不等式132x x+>的负整数解是_______．【巩固】不等式111326y y y+---≥的正整数解为__________．【巩固】求不等式12123x x+-≥的非负整数解．一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组（a b <）图示 解集 口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩x b ≥ 同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x a ≤同小取小x ab b ≥⎧⎨≤⎩a xb ≤≤ 大小，小大中间找x ax b ≤⎧⎨≥⎩空集 小小，大大找不到【例8】 解不等式组31422x x x ->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜①②的整数解．【例9】 解不等式：32122x--<≤；ba a ba ba b【巩固】解不等式：23121 42xx-≤≤+【例10】解不等式组：11141010372xx xxx⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【巩固】解不等式组：323(1)12123x xx xx +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【例11】解不等式组：2(20)203(34)25 21623x x x x x-+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【巩固】解不等式组：73434 2555(4)2(4) 3x xx x x-+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【例12】 解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。
七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.2.2再探实际问题与一元一次不等式的应用(图文详解)
并,系数化为1。
解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并，得
2(2x+1) ≤6+9(x-1)
4x+2 ≤6+9x49x-9x ≤6-9-2
-5x ≤-5
系数化为1，得 x ≥1
七年级数学第9章不等式与不等式组 将不等式的解集在轴上表示为:
01
x
归纳:
解一元一次不等式的一般步骤: 去分母
去括号 移项 合并
当Y1 > Y2 即100+0.9(X-100) > 50+0.95(X-50) 时，X ＜ 150
议一
故宫博议物院门票是每位10元,20人以上(含20人)的
团体票8折优惠.现有18位同学结伴去博物院,当领队小 华准备好了零钱到售票处买18张票时,李明喊住了他: “买20张吧!”小华困惑了:18人买20张不是浪费吗? 你认为呢?为什么? 此外,不足20人时,多少人买20张的团体票比普通票便宜?
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按 原价的95%收费，顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
(3) 如果累计购物超过100元,那么在甲店花费一定少吗?
解:设累计购物X元(X>100)
在甲店购物花费：Y1 ＝ 100+0.9(X-100) 在乙店购物花费：Y2 ＝ 50+0.95(X-50)
购物花费小;累计购物150元时,在两店购物花费一样; 累计购物超过150元时,在甲店购物花费小.
甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品，并且 又各自推出不同的优惠方案：
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费； 在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费， 顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
《一元一次不等式与不等式组》知识讲解(1)
3
初一实验班——荣伟伟
一元一次不等式的解法
要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
2 x 50 是一个一元一次不等式． 3
要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1． (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一 元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
移项、合并同类项得： − 3 x 6 4
系数化 1，得 x −8 故原不等式的解集是 x −8
例 3.m 为何值时，关于 x 的方程： x − 6m −1 = x − 5m −1 的解大于 1？
63
2
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
x = 3m −1 5
要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为： x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母； (2)去括号； (3)移项；
(4)化为 ax b （或 ax b ）的形式（其中 a 0 ）；
例
4.若关于
x、y
的二元一次方程组
3x + y x + 3y
=1+ =3
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不等式和不等式组的认识与解法
知识梳理
一、不等式
1、概念：利用不等符号连接的式子叫不等式。
不等符号有：>、<、≥、≤、≠注：1、有些不等式中不含有未知数，有些不等式中含有未知数。
要与方程加以区别。
含有未知数的等式叫方程。
比如2x+5=0 是方程，而2x+5>0是不等式。
2、一些常见关键词的隐含条件：
“不大于、最多”就表示“小于等于”,不要把等于忘记了 ,符号：≤
“不超过”也表示“小于等于”符号：≤
“不小于、至少”表示“大于等于”符号：≥
“不是正数、非正数”表示“0和负数”符号：≤0
“非负数、不是负数”表示“0和正数”符号：≥0
二、一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。
不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。
而求不等式解集的过程叫做解不等式。
三、不等式的性质：【重点】
性质①、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质②、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质③、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。
注：不等式左右两边同乘或同除以一个数或已知符号的式子时，这个数或式子的值绝对不能是零，否则无意义；注意：要与等式的性质相区别：最大区别就是不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向。
不等式组
知识点一：一元一次不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：
(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；
1 耐心细心责任心。