离散数学课件_6 代数结构
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《离散数学》第六章 集合代数
例2:某学校有12位教师,已知有8位老师可以教数学,6位 可教物理,5位可教化学.其中有5位教师既教数学又教 物理.4位老师兼教数学和化学,3位老师兼教物理和化 学,3位老师兼教这三门课. 1.求不教任何课的老师有几位? 2.只教一门课的老师有几位? 3.正好教其中两门课的老师有几位?
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
离散数学代数结构部分-PPT
所以乘法运算就是封闭得。 而对于加法运算A上得 二元运算,如果对于任意得x,y∈A,都 有x*y＝y*x,则称该二元运算*就是可 交换得。
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
离散数学课件-6-集合代数
第六章集合代数§1 集合的基本概念集合用大写英文字母标记，A，B，C，…特别地，分别用N、Z、Q、R、C标记全体自然数的集合、全体整数的集合、全体有理数的集合、全体实数的集合、全体复数的集合。
元素用小写英文字母标记，a，b，c，…x∈A：x是A的元素，称x属于A。
x∉A：x不是A的元素，称x不属于A。
列元素法：{a1, a2, …, a n, …}谓词表示法：{x| F(x)}注①集合中的元素每个只写一次②集合中的元素不计排列次序A⊆B：A是B的子集，称A被B包含A B：A不是B的子集，称A不被B包含A=B ⇔A⊆B∧B⊆A：A与B相等A⊂B ⇔A⊆B∧A≠B：A是B的真子集N⊆Z⊆Q⊆R⊆C空集：是任意集合的子集，记为∅。
有限集，无限集n元集，k元子集n元集有2n个子集集合A的幂集P(A)（或2A）全集：E§2 集合的运算并：A∪B ={x| x∈A∨x∈B}交：A∩B ={x| x∈A∧x∈B}差（B对A的相对补集）：A-B ={x| x∈A∧x∉B} 对称差：A⊕B=(A-B)(∪B-A)=(A∪B)-(A∩B)绝对补集（简称A的补集）：∼A=A=E-A，文氏图：大矩形表示全集E，内部的圆表示不同集合。
例已知24人中，会英语的有13人，会日语的有5人，会德语的有10人，会法语的有9人。
其中，同时会英语和日语的有2人，同时会英语和德语、同时会英语和法语、同时会德语和法语的各有4人；此外，会日语的人不会德语和法语。
求只会英语、日语、德语、法语中一种语言的人数和同时会三种语言的人数。
解：设同时会三种 语言有x 人，只会只会 英语、法语、德语中一 种语言的人数分别为y 1、y 2、y 3人，则根据文氏图可得1231232(4)2132(4)92(4)103(4)24519y x x y x x y x x y y y x x +−++=⎧⎪+−+=⎪⎨+−+=⎪⎪+++−+=−=⎩解出x =1，y 1=4，y 2=2，y 3=3。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学课件第六章(第1讲)
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
《离散数学》第六章代数结构
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5 2020/2/14
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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3 2020/2/14
离散数学6(共15张PPT)
例2：下图所示的两个格都不是分配格。
1
a
bc
0
∵在左图中，
a∧ (b∨c)=a∧1=a
(a∧b) ∨(a∧c)=0∨0=0 a∧ (b∨c)≠(a∧b) ∨(a∧c) ∴左图不是分配格
1 b
a c∧1=b (b∧a) ∨(b∧c)=0∨c=c
b∧ (a∨c)≠(b∧a) ∨(b∧c) 右图不是分配格
第1页，共15页。
1
注意：按照定义证明某个格是分配格不容易，但要证明一个格 不是分配格，只要找出一组元素不满足某一分配式即可。上例 中的两个五元格可用来判断某格是否是分配格。
定理1：一个格是分配格的充要条件是在该格中没有任何子格与这
两个五元格中的任一个同构。
例3：右图所示的两个格都不是分配格
第2页，共15页。
(1) 设 b≤a且c≤a，∴a∧b = b，a∧c = c ∴ (a∧b)∨(a∧c) = b∨c 又∵ b∨c≤a，∴ a∧(b∨c) = b∨c
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) 设 a≤b或a≤c，不论b≤c还是c≤b ，都有a≤b∨c
∴ a ∧( b∨c) = a，(a∧b)∨(a∧c)=a
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 由定理1，有a∨ (b∧c) = (a ∨ b) ∧(a∨c)
因此<A, ≤>是分配格。
第4页，共15页。
4
定理4：设<A, ≤>是分配格，则对a,b,cA， 若有 a∧b = a∧c且a∨b = a∨c ，则必有b = c 。
证明：∵a∧b≤b b = b∨(a∧b) = b∨(a∧c) = (b∨a)∧(b∨c) = (a∨c)∧(b∨c)
1
a
bc
0
∵在左图中，
a∧ (b∨c)=a∧1=a
(a∧b) ∨(a∧c)=0∨0=0 a∧ (b∨c)≠(a∧b) ∨(a∧c) ∴左图不是分配格
1 b
a c∧1=b (b∧a) ∨(b∧c)=0∨c=c
b∧ (a∨c)≠(b∧a) ∨(b∧c) 右图不是分配格
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1
注意：按照定义证明某个格是分配格不容易，但要证明一个格 不是分配格，只要找出一组元素不满足某一分配式即可。上例 中的两个五元格可用来判断某格是否是分配格。
定理1：一个格是分配格的充要条件是在该格中没有任何子格与这
两个五元格中的任一个同构。
例3：右图所示的两个格都不是分配格
第2页，共15页。
(1) 设 b≤a且c≤a，∴a∧b = b，a∧c = c ∴ (a∧b)∨(a∧c) = b∨c 又∵ b∨c≤a，∴ a∧(b∨c) = b∨c
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) 设 a≤b或a≤c，不论b≤c还是c≤b ，都有a≤b∨c
∴ a ∧( b∨c) = a，(a∧b)∨(a∧c)=a
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 由定理1，有a∨ (b∧c) = (a ∨ b) ∧(a∨c)
因此<A, ≤>是分配格。
第4页，共15页。
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定理4：设<A, ≤>是分配格，则对a,b,cA， 若有 a∧b = a∧c且a∨b = a∨c ，则必有b = c 。
证明：∵a∧b≤b b = b∨(a∧b) = b∨(a∧c) = (b∨a)∧(b∨c) = (a∨c)∧(b∨c)
离散数学课件第六章第4讲
乘法幺元，并记为e，如果U中的元素存在乘法逆元，就 用a-1表示。
定理：在一个环中，加法的幺元必是对乘法的零元。
证明：对环<U，+， > ，a，b ，cU，有：
a（b +c）=a b +a c （b +c） a= b a+ c a ∵（U，+）是群，故必存在幺元，θU，使得 a （b+θ）=a b= a b +θ= a b + a θ 由于群满足消去律，故 θ=a θ （b+θ） a = b a =b a+θ= b a+θ a ∴θ=θ a ∴ a θ=θ a=θ 故加法幺元“θ”是乘法的零元，
注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。
例： 设代数系统V1=<I，+>，V2=<2I，+>，其中I是整 数集合，+ 运算是一般的加运算，V1 和 V2 是否同构？
解：作映射 f：I2I，f(x) =2x， 则 f 是双射。 对任何a，bI， f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b) 因此，V1 和 V2 同构
2、域的定义
对具有两个二元运算的代数系统（A，+，.>，如果 （1）<A， + >是交换群； （2）<A-{θ}，.>是交换群;
（3）“ . ”对“+ ”满足分配律
则称<U， + ， .>是域。
有理数、实数、复数集合对普通的加法及乘法运算 构成的代数系统是域。
<Q；+， . ><R；+， .>、 <C，+，.>都是域
定理：在一个环中，加法的幺元必是对乘法的零元。
证明：对环<U，+， > ，a，b ，cU，有：
a（b +c）=a b +a c （b +c） a= b a+ c a ∵（U，+）是群，故必存在幺元，θU，使得 a （b+θ）=a b= a b +θ= a b + a θ 由于群满足消去律，故 θ=a θ （b+θ） a = b a =b a+θ= b a+θ a ∴θ=θ a ∴ a θ=θ a=θ 故加法幺元“θ”是乘法的零元，
注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。
例： 设代数系统V1=<I，+>，V2=<2I，+>，其中I是整 数集合，+ 运算是一般的加运算，V1 和 V2 是否同构？
解：作映射 f：I2I，f(x) =2x， 则 f 是双射。 对任何a，bI， f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b) 因此，V1 和 V2 同构
2、域的定义
对具有两个二元运算的代数系统（A，+，.>，如果 （1）<A， + >是交换群； （2）<A-{θ}，.>是交换群;
（3）“ . ”对“+ ”满足分配律
则称<U， + ， .>是域。
有理数、实数、复数集合对普通的加法及乘法运算 构成的代数系统是域。
<Q；+， . ><R；+， .>、 <C，+，.>都是域
离散数学 代数结构-代数系统
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
4、子代数系统
定义14 设V＝ <S，fl，f2，…，fk> 是代数系统, B⊆S， 如果B对fl，f2， …，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数 常数，则称<B，fl，f2，…，fk > 是V的子代数系统，简称子 代数． 有时将子代数系统简记为B． 例 <N，+>是<Z，+> 的子代数，因为N对加法运算+是封闭的． < N，+> 也是<Z，+，0> 的子代数，因为N对加法运算封闭， 且N中含有代数常数0 注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构 成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同 的运算性质。 任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。 如果代数常数构成子代数，最小的子代数。 最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。 如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。
3 相同代数性质(同种类）的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同 代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
代数系统 V ＝ < S ， * >, 其中 * 是一个可结合的二元 运算, 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
离散数学 第六章的课件ppt
与
A(BC) =(AB)(AC)
-
25
集合算律
3．涉及补运算的算律： 德摩根律，双重否定律
德摩根律 双重否定律
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
(BC) = BC (BC) = BC
A=A
-
26
集合算律
4．涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律
补元律 零律
| ABC|
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
-
20
6.3 集合恒等式
下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。
幂等律
A∪A＝A
A∩A＝A
结合律
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)
交换律
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) A∪B＝B∪A
分配律
A∩B＝B∩A A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
书本98页 第18题 的 第（1）、（3）两个小题
-
17
有穷集合元素的计数
1. 文氏图法 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为
|A 1A2.. .An||S| |Ai| |AiAj|
1in
1ijn
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪A∪(∪- ∪A－∪∩A)＝b。
离散数学 代数系统 ppt课件
1
33 0 1 2 8
代数系统举例
设A={1，2，3，4，6，12} A上的运算*定义为：a*b=|a-b| （1）写出二元运算的运算表； （2）<A,*>能构成代数系统吗？
9
解答
由运算表可知*运算在集合A上不封闭
所以： <A,*>不能构成代数系统
* 1 2 3 4 6 12
1 0 1 2 3 5 11
U=<I,+, > 证明：V=< m,+m, m >
满同态
g:I→Nm 对于所有的iI,有：
g(i)=(i)(modm)
32
证明
类型映射f定义为：f(+)=+m,f()=m (1)显然U=<I,+, >和V=< Nm,+m, m >同类型
(2)运算的象=象的运算
对任意的x,yI: g(x+y)=g(x) +m g(y) g(x y)=g(x) m g(y)
12
4、同类型的代数系统
V1=<S1，Ω1>:代数系统 类型映射 V2=<S2，Ω2>:代数系统 同元运算
存在一个双射函数f: Ω1 → Ω2 每一个ω∈Ω1和f(ω) ∈Ω2具有相同的阶 ωf V1和V2是同类型的代数系统
13
同类型的代数系统举例
V1=<Nm,+m , m > 和V2=<R,+, >是 同类型的代数系统吗？其中：
41
满同态举例（续）
(5)对“＋”存在e=0,则: 对“+3”存在e=g(0)=0; (6)对“”存在e=1,则: 对“3”存在e=g(1)=1; (7)对“”存在零元=0,则: 对“3”存在零元=g(0)=0;
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
离散数学—代数11.24版.ppt
证 因为1l和1r是左么元和右么元。
1r = 1l·1r = 1l
证毕。
第六章 代 数 定理 6.1-2 设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右零元0r, 那么0l=0r, 这元素就是零元。 证明类似于定理6.1-1。
推论6.1-2 一个二元运算的么元(零元)是唯一的。
第六章 代 数
6.1.3 逆元
第六章 代 数
*
a
b
c
a
a
a
b
b
a
b
c
c
a
c
c
例6 (a) 代数A=〈{a, b, c}, *〉由上表定义。
b是么元。a的右逆元是c, b的逆元是自身, c的左逆元是a。
第六章 代 数
定理 6.1-3 对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右逆 元r, 那么l=r(即逆元是唯一的)。
证 设1对运算 。是么元, 于是 l 。x = x 。 r = 1
(1) S' S
(2) S′对S上的运算 。和△
(3) k∈S′ 那么A′=〈S′, 。, △, k〉是A的子代数。
如果A′是A的子代数, 那么A′和A有相同的构成成分和服从相 同的公理。A的最大可能的子代数是它自己, 这个子代数是常存 在的。如果A的常数集合在A的运算下是封闭的, 那么它组成A的 最小子代数。这两种子代数称为A的平凡子代数, 其余子代数称 为真子代数。
第六章 代 数 3. 载体的特异元素, 叫做代数常数
有些代数不含常数。这里所谓“不含”只是说我们研究该代 数时并不关注这些特异元素,
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。 例 整数、 加法和常数0 (1) 载体是整数集合I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… (2) 定义在I上的运算是加法(记为+) (3) 常数是0 这个代数可记为〈I, +, 0〉。
1r = 1l·1r = 1l
证毕。
第六章 代 数 定理 6.1-2 设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右零元0r, 那么0l=0r, 这元素就是零元。 证明类似于定理6.1-1。
推论6.1-2 一个二元运算的么元(零元)是唯一的。
第六章 代 数
6.1.3 逆元
第六章 代 数
*
a
b
c
a
a
a
b
b
a
b
c
c
a
c
c
例6 (a) 代数A=〈{a, b, c}, *〉由上表定义。
b是么元。a的右逆元是c, b的逆元是自身, c的左逆元是a。
第六章 代 数
定理 6.1-3 对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右逆 元r, 那么l=r(即逆元是唯一的)。
证 设1对运算 。是么元, 于是 l 。x = x 。 r = 1
(1) S' S
(2) S′对S上的运算 。和△
(3) k∈S′ 那么A′=〈S′, 。, △, k〉是A的子代数。
如果A′是A的子代数, 那么A′和A有相同的构成成分和服从相 同的公理。A的最大可能的子代数是它自己, 这个子代数是常存 在的。如果A的常数集合在A的运算下是封闭的, 那么它组成A的 最小子代数。这两种子代数称为A的平凡子代数, 其余子代数称 为真子代数。
第六章 代 数 3. 载体的特异元素, 叫做代数常数
有些代数不含常数。这里所谓“不含”只是说我们研究该代 数时并不关注这些特异元素,
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。 例 整数、 加法和常数0 (1) 载体是整数集合I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… (2) 定义在I上的运算是加法(记为+) (3) 常数是0 这个代数可记为〈I, +, 0〉。
离散数学 第六章 代数
设<A，*>为代数系统，*是定义在A上的二 元运算，则运算*的某些性质以及代数常元 可以直接从运算表中得到：
运算*是封闭的，当且仅当运算表中的每个元素 都属于A；
运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角 线对称；
2018/10/27
yuliang@
29
6.1本节小结
31
6.1习题
习题一
设<A,*>为代数系统，其中A={1,2,3,4},“*”定义 如下表所示： (a)运算*是可交换的吗？为什么？ (b)运算*是可结合的吗？为什么？
(c)求A中关于运算*的幺元，
并给出每个元素的逆元。 (d)A中有关于运算*的零元吗？
20
6.1代数结构
【例题8】
设集合S={a,b,c,d}, S上定义的两个二元运算*和★
的运算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右
幺元。
* a b c d ★ a b c d
a
b c d
2018/10/27
d
a a a
a
b b b
(a)
b
c c c
c
d c d
a
b c
a
b c
b
a d
d
c a
c
则称*对 是可分配的。
2018/10/27
yuliang@
12
6.1代数结构
代数运算的性质三
【例题6】设集合A={α,β},在A上定义两个二元 运算*和☆，如下表(a)和(b)所示。 * α β
(a)
α β α β β α
☆ α β
α β α α α β
d b
d
d
(b)
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4 2014-9-23
第三节
群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、 左(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左 单位元、左逆元替代,也可分别用右单 位元、右逆元替代,还可以用可除条件 替代; 2.任意群中消去律成立.
8 2014-9-23
第七节
群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个 代数系统中较难解决的问题转移到另一 个代数系统中成为较易解决的问题.例 如，我们常用的对数，实际上，它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个 同态.利用对数，我们实现了把较难的 乘法运算转化成较易的加法运算，因此， 同态是代数系统间十分重要的关系
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2 2014-9-23
第二节
置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论 里有重要的地位.例如，五次以上方程 不能用根号求解的问题的证明就用到置 换群.置换概念本身在计算机科学中也 起作重要作用.同时置换群的记法简单， 运算方便. 本节的概念有:置换、循环置换、不相 交置换、对换、奇置换、偶置换等;
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7 2014-9-23
第六节
拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基 本定理之一. 拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H). 本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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5 2014-9-23
第四节
子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部 分.它的结构对群的结构有重要影响. 主要概念有:平凡子群、非平凡子群、 由某个元素生成的子群、循环群、生成 元、元素的周期. 讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定 义循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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10 2014-9-23
第八节
商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的 某种代数运算来说作成群； 主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法 (aN)(bN)=abN 构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
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11 2014-9-23
第九节
同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造
商群G/Kerf,同态定理是: 同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则: பைடு நூலகம்/Kerf≌G’
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12 2014-9-23
第十节
环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统 , 本节我们介绍有两个代数运算 的代数系统——环 .环的两个被称为加 法、乘法的代数运算是我们最为熟悉的 代数运算,由于本课程的限制 ,我们对环 仅作极其初步,简单的介绍. 学习本节时 , 可以把整数、有理数、实 数、复数的加法、乘法运算与环的两个 运算加以对照.
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1 2014-9-23
第一节
代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系 . 现在我们要在一个集合的内部引入 运算，并研究其运算规律,主要内容为: 1. 代数系统的定义 , 然后用例子说明代 数系统的丰富性; 2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
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6 2014-9-23
第五节 陪集与正规子群
本节利用群 G 的一个子群 H 来作 G 的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念. 1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每 个类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集; 2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统. 本章以群为例讨论代数结构，它的思想和 方法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结 果已应用到计算机的不少方面，因此计算机科 学工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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13 2014-9-23
第十节
环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元 的环、零因子、左零因子、右零因子、 无零因子环、整环、除环、域、四元数 等; 本节介绍了与环有关的最基本的结论
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14 2014-9-23
本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定 义，接着我们又讨论子群、陪集、正规 子群、商群、同态、同构等.最后一节 我们还极其简单地介绍了具有两个代数 运算的系统——环.这些内容对于抽象 思维能力和逻辑推理能力的培养很有帮 助.
9 2014-9-23
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第七节
群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、 同构、零同态、同态象、同态核. 主要结论有: 1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H在f 下的象f(H)是G’的子群; 2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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3 2014-9-23
第二节
置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换 律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环 置换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶 置换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置 换只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.
4 2014-9-23
第三节
群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、 左(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左 单位元、左逆元替代,也可分别用右单 位元、右逆元替代,还可以用可除条件 替代; 2.任意群中消去律成立.
8 2014-9-23
第七节
群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个 代数系统中较难解决的问题转移到另一 个代数系统中成为较易解决的问题.例 如，我们常用的对数，实际上，它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个 同态.利用对数，我们实现了把较难的 乘法运算转化成较易的加法运算，因此， 同态是代数系统间十分重要的关系
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2 2014-9-23
第二节
置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论 里有重要的地位.例如，五次以上方程 不能用根号求解的问题的证明就用到置 换群.置换概念本身在计算机科学中也 起作重要作用.同时置换群的记法简单， 运算方便. 本节的概念有:置换、循环置换、不相 交置换、对换、奇置换、偶置换等;
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7 2014-9-23
第六节
拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基 本定理之一. 拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H). 本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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5 2014-9-23
第四节
子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部 分.它的结构对群的结构有重要影响. 主要概念有:平凡子群、非平凡子群、 由某个元素生成的子群、循环群、生成 元、元素的周期. 讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定 义循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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10 2014-9-23
第八节
商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的 某种代数运算来说作成群； 主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法 (aN)(bN)=abN 构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
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11 2014-9-23
第九节
同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造
商群G/Kerf,同态定理是: 同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则: பைடு நூலகம்/Kerf≌G’
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12 2014-9-23
第十节
环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统 , 本节我们介绍有两个代数运算 的代数系统——环 .环的两个被称为加 法、乘法的代数运算是我们最为熟悉的 代数运算,由于本课程的限制 ,我们对环 仅作极其初步,简单的介绍. 学习本节时 , 可以把整数、有理数、实 数、复数的加法、乘法运算与环的两个 运算加以对照.
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1 2014-9-23
第一节
代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系 . 现在我们要在一个集合的内部引入 运算，并研究其运算规律,主要内容为: 1. 代数系统的定义 , 然后用例子说明代 数系统的丰富性; 2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
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6 2014-9-23
第五节 陪集与正规子群
本节利用群 G 的一个子群 H 来作 G 的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念. 1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每 个类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集; 2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统. 本章以群为例讨论代数结构，它的思想和 方法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结 果已应用到计算机的不少方面，因此计算机科 学工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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第十节
环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元 的环、零因子、左零因子、右零因子、 无零因子环、整环、除环、域、四元数 等; 本节介绍了与环有关的最基本的结论
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14 2014-9-23
本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定 义，接着我们又讨论子群、陪集、正规 子群、商群、同态、同构等.最后一节 我们还极其简单地介绍了具有两个代数 运算的系统——环.这些内容对于抽象 思维能力和逻辑推理能力的培养很有帮 助.
9 2014-9-23
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第七节
群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、 同构、零同态、同态象、同态核. 主要结论有: 1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H在f 下的象f(H)是G’的子群; 2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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3 2014-9-23
第二节
置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换 律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环 置换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶 置换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置 换只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.