运筹学4单纯形法迭代原理
单纯形法基本原理
否
含 有xa
是 无可行解
(a对ik
0 任一
j 0)
否
是 无界解
有某个 否 非基变量的
j 0
唯一 最优解
是
无穷多
最优解
循
环
停止
计 算 i
( bi alk
alk
0)
用 非 基 变 量xk 替 换 基 变 量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 17
解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
max Z 3 x1 4 x2
2x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
3x2
x4
30
x1
,
x2
,
x3
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
第四讲 单纯形法基本原理
则选取对应的基变量 xl
为换出变量。
假设 B 是线性规划 min z CX , AX b, X 0 的可行基
C ( 5, 2, 3,1, 1)
1 2 2 1 0 A= 3 4 1 0 1 8 b 7 解： (１)确定初始的基本可行解。
1 B=(P4P5 )= 0 0 ，基变量 1
x4 , x5 ，非基变量 x1 , x2 , x3。
x1 CB =(1, 1) x4 1 0 1 2 2 XB = ,X N = x 2 ,B= ,N= , C =( 5, 2, 3) x 0 1 3 4 1 N 5 x 3 8 X N =0 X B =B1b= X=(0,0,0, 8, 7)T 7
如果确定Xm+k 为换入变量，方程
X B B1b B1 NX N X B B1b B1 Pm k xm k
其中 Pm+k 为Ａ中与 Xm+k 对应的系数列向量。 现在需在XB=(x1,x2,…,xm)T 中确定一个基变量为换出变 量。 当 xm+k由零慢慢增加到某个值时，为保持解的非负 性，可以按最小比值原则确定换出变量：
的检验向量，它的各个分量称为检验数。 若 N 的每一个检验数均大于等于0，即 N 0 则目前的基本可行解就是最优解。 ，
1 如果向量 的第 k 个分量 k 0 ，且向量 B Am k 0，
定理 2 设 x 是对应基 B ( p1, p2, , pm ) 的基可行解，
单纯形法迭代原理
xm bm a mm1 xm 1 ... a mn xn
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2、最优性检验与解的判别
代入目标函数，有： Z c1 x2 c2 x2 ... cn xn c1 (b1'
j m 1 ' ' a x ) ... c ( b 1j j m m n j m 1 ' a mj x j ) n
1, 2 0, x1 , x2 均可换入。
一般选取 max( 1, 2 ) 对应的变量
（即选最大非负检验数对应的变量）
换入变量
x2
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x3 使换入的变量越大越好 x4 同时，新的解要可行。 x5 • 换出变量 选非负 i 的最小者对应的变量换出 x2 min( 8 / 2
均可作为换入变量
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3、基变换
Z大 xm k 大 • 换出变量确定 ' ' （在可行的范围内） x1 b1 a 1m k xm k 0
Z Z 0 m k xm k
x2 b2 a 2 m k xm k 0
'
'
........
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返回
1、初始基可行解的确定
• 观察法:直接观察得到初始可行基 • ≤约束条件: 加入松弛变量即形成 可行基。（下页） • ≥约束条件: 加入非负人工变量, 以后讨论.
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返回
1、初始基可行解的确定
不妨设 x1 , x2 , , xm为松弛变量， 则约束方程组可表示为
x1 a1m 1 xm 1 ... a1n xn b1 a2 m 1 xm 1 ... a2 n xn b2 x2 .......................................... xm amm1 xm 1 ... amn xn bm x1 , x2 ,..., xn 0
运筹学课件 单纯形法的迭代原理
因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基 的线性组合表示：
pj
a
i 1
m
ij
pi
(pj
a
i 1
m
运筹学教程
ij
p i ) 0
pj
a
i 1
(0)
m
ij
p i 相减，然后乘上一个正数θ ,加上
i 1
m
pi xi
b
经过整理得到：
( p j a ij p i )
rL×(-al-1j) +rL-1
0 -(bL/aLj)+bL-1 L alj×(1/alj)=1
运筹学教程
所以，P1,P2,…,Pl-1,Pj,Pl+1,…,Pm,是一个基。
进行初等行变换，将第L行乘上1/alj,再分别乘以
-aij,(i=1,…,l-1,l+1,…,m)加到各行，增广矩阵
的左边变成一个单位矩阵，
cj
…
cn
CB
c1 c2 . cm cj-zj
基
x1 x2 . xm
b
b1 b2 . bm
x1
1 0 . 0
…
xm …
xj
a1j a2j . amj
…
xn
a1n a2n . amn
j c n c i a in
i 1 m
0
…
0
…
运筹学教程
第二步：最优性检验
计算检验数，检查：
所有检验数是否≤ 0？
运筹学教程
式中p1,„,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,„..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，„„,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。
单纯形法原理
单纯形法原理及步骤单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。
概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
第4章 单纯形法
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
18
§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了
运筹学单纯形法
X2
Q4 3 2 1
0
x1+2x2 =8 4x1=16
Q3
4x2=12
Q2
Q1
X1
1
2
3
4
解: 首先:将该问题化成标准形
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3 8
s.t
.
4 4
x1 x2
x4 x5
16 12
xj 0, j 1, 2 ,, 5
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量； 与基向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经常写 成XN。
基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。
(xi0 aij )Pi Pj b
(5)
i 1
由(5)式可以找到满足约束方程的另一个点X(1),其中是点X(1)的第j 个坐标值
X (1) x10 - a1j xm0 - amj 0 0
j
要使X(1)是一个基本可行解,则要求 xi0 - aij 0
§3 单纯形法（Simplex Method）
线性规划问题的最优解，可以从基可行解中找到 图解法有局限性； 枚举法计算量大；
§3.1 单纯形法的引入
例子：求解线性规划问题
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
单纯形法求解原理过程
单纯形法求解原理过程第一篇：单纯形法求解原理过程单纯形法需要解决的问题：如何确定初始基本可行解；如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降；如何判断一个基本可行解是否为最优解。
min f(X)=-60x1-120x2 s.t.9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 xi≥0(i=1,2,3,4,5)(1)初始基本可行解的求法。
当用添加松弛变量的方法把不等式约束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。
例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10xi≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10xi≥0(i=1,2,3,4,5)令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵⎡94100⎤⎥A=[P1,P2,P3,P4,P5]=⎢310010⎢⎥⎢⎣45001⎥⎦中可以看出其中有个标准基，即⎡100⎤⎥B=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x20 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 TX=[0,0,360,300,200]判别初始基本可行解是否是最优解。
此时可将上式代入到目标函数中，得： F(X)=-60x1-120x20对应的函数值为f(X)=0。
0由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X)=0不是最小值。
因此所得的解不是最优解。
011(2)从初始基本可行解X迭代出另一个基本可行解X，并判断X 是否为最优解。
从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为两步进行：第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量；第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。
单纯形法的迭代步骤与解的讨论
解的最优性
在单纯形法的迭代过程中，通过比较检验数的大小来判断当前基本可行解是否最优。若所有非基变量对应的检验数均非正，则当前基本可行解为最优解。
当线性规划问题存在唯一最优解时，单纯形法一定能够找到该最优解。若存在多个最优解，单纯形法可能找到其中任意一个。
数值例子与计算过程展示
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅的阐述您的观点。
本例考虑一个线性规划问题，旨在最大化目标函数，同时满足一系列线性约束条件。
设决策变量为x1, x2, ..., xn，分别代表不同的资源或活动水平。
目标函数为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为各决策变量的系数，代表单位资源或活动的贡献。
约束条件包括m个线性不等式，形如ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi (i = 1, 2, ..., m)，表示资源或活动的限制。
迭代
根据一定的规则，选择进基变量和出基变量，进行基变换，更新单纯形表。
终止
当迭代过程中无法找到更优的解时，算法终止，当前单纯形表对应的解即为最优解。
单纯形法应用领域
如运筹学、管理科学、计算机科学等。
迭代步骤详解
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅的阐述您的观点。
01
02
03
计算结果分析
最优解解释
01
通过单纯形法迭代得到的最优解满足所有约束条件，并使目标函数达到最大值（或最小值）。
解的性质讨论
02
根据问题的不同，最优解可能是唯一的、不唯一的、无界的或不存在的。对于不同情况，需要具体分析并给出相应的解释和处理方法。
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
单纯形法图解法及原理
则称X为 D的顶点。
31
定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵
A的列向量是线性无关。？
32
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点。
10 20
30 40
x1
11
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
= 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
单纯形法原理以及步骤
,0)
4、单纯形法迭代原理
单纯形法是沿顶点寻找线性规划问题最优解的一种有效方法。该方法主要包括： 确定初始基可行解（即起始顶点）；从一个基可行解转移到另一个基可行解； 最优性检验三项内容。
1. 确定初始基可行解
对标准形式的线性规划问题
max z = ∑jn=1 cjxj
（1-6）
∑jn=1 Pjxj = b
0 0 … 0 amj 0 … 1 bm
bl alj
xj
min
bi aij
aij＞
0
x1
2 1 1 1 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x2 x3 x4
3 1 2
min
3, 2
1 1
,
2 4
1 2
x5
0
1 2
1
0
54
0
1
1 4
0
0
1 2
2
1
1 4
X (1) (x10 a1 j , x20 a2 j ,, xm0 amj ,0,, ,,0)T
由于Pj≤ 0，对任意的 0
xi0 aij 0
无限增大时，目标函数值无限增加，所以，线性规划问题具有无界解。
返回
第四节 单纯形法计算步骤
1.求初始基可行解，列出单纯形表 2. 最优性检验 3. 基变换（从一个基转换到另一个基） 4. 重复步骤2和3，求出最优解
…
xl 变为非基变量
xk 变为基变量
4 . 重复第2、3步，直到求出最优解（或计算结束）。
例：用表格式单纯形法求解下列线性规划问题。
max z =20x1 + 8x2 + 6x3
单纯形算法一般原理
单纯形算法的一般原理单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
考虑到如下线性规划问题：其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。
根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。
这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。
Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
求解思想如下图所示：maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。
那么约束方程AX=b 就可表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量 ，则基变量由此可得初始的基本可行解B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→● 问题：➢ 要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
运筹学4单纯形法迭代原理
CB XB
b
xl x1 x2 … xm
xm+1
xm…t xn
c1 x1 b1' 1 0 .*.. 0 a1',m1 .0.. a1'n
c2 x2 b2' 0 1 ..*.. 0 a2',m1 .0... a2'n
: : : . cm+t xm+t b'm+t 0 .0 .*... 0. . a'l,m+1 ..1. .a'ln
0 0
0 ... 1
am,m1
... amn
bm
1 c1 c2 ... cm cm1 ... cn 0
第-Z一行x1 是x2价…值系xm数行，标xm+出1 了决策…变量xj的x价n 值系数右cj端
第0二行1 是0标.示.. 行0，标出a了1,m表1 中主体.各.. 行的含a1义n 。
xk1 i
bi'
a' i,mt
xmt
xik
a' i,mt
xmt
xk1 i
xik
a' i,mt
xmt
0
n
Z Z0 j x j
jm1
a' i ,mt < =
xmt
xik
a' i ,mt
xmt
若 mt 0 且pm' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0 时，为使
xik
a' i,mt
xmt
单纯形法检验数简单理解
单纯形法是一种线性规划的求解方法，它通过逐步优化目标函数值，找到满足约束条件的最优解。
简单来说，单纯形法就是在一个由线性方程组定义的多维空间中移动一个“顶点”，直到找到一个最优解。
在单纯形法中，每次迭代都会将当前的“顶点”沿着一个“可行方向”移动，直到找到一个更好的解。
这个“可行方向”是指当前解中有一些变量取得了非基变量的值为0，而这些变量可以通过增大或减小使目标函数值变得更小（或更大）。
在每一步迭代中，单纯形法会选择一个非基变量进入基变量集合，并选择一个基变量离开基变量集合，然后通过高斯消元法更新线性方程组，找到新的基解。
如果新的基解仍然满足约束条件，则继续迭代，否则找到最优解。
总之，单纯形法是一种迭代的求解方法，通过不断移动“顶点”来优化目标函数，直到找到最优解。
在每一步迭代中，单纯形法都会选择一个非基变量进入基变量集合，并选择一个基变量离开基变量集合，然后通过高斯消元法更新线性方程组，找到新的基解。
单纯形法原理
运筹学基础及应用
三、几个基本定理
(1) (2)得： ( x1 1 ) P 1 ( x2 2 ) P 2 ( xk k ) P k b
(1) (2)得： ( x1 1 ) P 1 ( x2 2 ) P 2 ( xk k ) P k b
运筹学基础及应用
运筹学基础及应用
§1.3 单纯形法原理
运筹学基础及应用
单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947 年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig） 提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，
但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对
的“市场”占有率。
运筹学基础及应用
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 ： max z CX s.t. AX b 其中A为m×n阶矩阵 X 0
C ( X ( 0) ) CX ( 0) C
因CX (0)为目标函数最大值 , 故有 ( 0) CX ( 0) CX• C ( 0) ( 0) CX CX• C
C 0
从而 C( X (0) ) CX (0) C( X (0) )
系数矩阵
2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 2 0 0 B2 1 1 0 1 0 1
B1对应的基解为 X (1) (0,0,2， 2,5)T , 因为X (1) 0, 所以是基可行解。
单纯形法基本原理
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤
单纯形法的计算步骤
cj
cB 0 0 基变量 x4 b 15 20
Page 11
1
x1 2 1/3
2
x2 -3 1
1
x3 2 5
0
x4 1 0
0
x5 0 1
θi
j
x5
－ 20 25 60
2
0
j
1
2
x2
x1
Hale Waihona Puke x475 3 20 1/3 1/3
25 35/3
1
0 1 0 0 1
0
2
17 5
－9
1
1 0 0
Page 14
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
Page 16
θi 4 5 1 3/5 8/3 —— —— 31/3 ——
j
→ →
j
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
Page 17
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编辑ppt
是否还是基本解？是
Z(k1) Z0
n
jxj
Z0
xk
mt mt
jm1
Z 0 Z(k)
从而，目标函数得到了改善。
编辑ppt
第四节 单纯形表
编辑ppt
（1）建立初始单纯形表，假定B=I，b≥0
设maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
x1
a1m1xm1 a1nxn b1
s. zj)xjZ0 jxj
Z
Z0 jxj
jm1
jm1
jm1
j 编辑ppt检验数
n
Z Z0 jxj
m
其中 Z0 cibi',
i 1
jm1
j cj zj,
m
z j ciai'j
i 1
（1）最优性判别定理
j 0,jm1,..n.,
（2）有无穷多个“最优解”的判别定
理
j 0 且mt 0
编辑ppt
3、进行基变换
n
Z Z0 jxj
jm1
（1）进基变量的确定——原则：正检验数（或最大正检验
数）所对应的变量进基，目的是使目标函数得到改善。
xmt
（2）离基变量的确定——在保持解的可行性的前提下， 使目标函数较快增大。
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T .,
希望在化LP的标准形 式时，A中都含有一 个m阶单位阵。
？
x1
a1m1xm1 a1nxn b1
x2 a2m1xm1 a2nxn b2
xm amm1xm1 amnxn bm
xj 0 ( j 1,2, ,n)
编辑ppt
➢观察法 ——观察系数矩阵中是否含有现成的单位阵？ ➢LP限制条件中全部是“≤”类型的约束 ——将新增的松弛变量(+)作为初始基变量，对应的 系数列向量构成单位阵； ➢LP限制条件有“≥”类型的约束 ——左端新增剩余变量(-)后，再加上一个非负的新 变量—人工变量。 ➢LP限制条件有“=”类型的约束 ——直接在左端加上人工变量。
于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
编辑ppt
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
三 单纯形法 迭代原理
编辑ppt
三. 单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
即从可行域的一个顶点（基本可行解） 开始，转移到另一个顶点（另一个基本可 行解）的迭代过程，转移的条件是使目标 函数值得到改善（逐步变优），当目标函 数达到最优值时，问题也就得到了最优解。
编辑ppt
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形或 凸多面体，一个线性规划问题有最优解，就 一定可以在可行域的顶点上找到。
编辑ppt
在引入人工变量后，与原先的约束方程不完全等价，为此， 需要在目标函数上做些“修正”——大M法或两阶段法
x1
x2
a1m1xm1 a1nxn b1 a2m1xm1 a2nxn b2
xm am x m1 m1 amnxn bm
xj 0 ( j 1,2, ,n)
非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解：
x2
a2m1xm1 a2nxn b2
xm amm1xm1 amnxn bm
i1
jm1
jm1
m
mn
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
jm1
n
xi bi' ai'jxj
jm1
i1
i1jm1
jm1
m
nm
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
i1
jm1i1
jm1
典式
m
n
m
cibi' (cj ciai'j)xj
zj
i1
jm 1
i1
n
Z 0
X(0)(b 1,b2,.b .m .,0 ,,.0 .)T .,
编辑ppt
2.建立判别准则
判断：初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基 本可行解—当前解—是否为最优解？
一般（经过若干次迭代），对于基B，用非 基变量表出基变量的表达式 为：
Axb BB xNN xb
xBB1bB1NN x 典式
n
xi bi' ai'jxj, jm1
i1,2,m
n
BI, 若
xi bi a x 编辑pptij j
jm1
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
m
n
m
n
Z c jx j cjxj cjxj cixi cjxj
j1
m
j1
n
jm1
i1
n
ci(bi' ai'jxj) cjxj
判断标准是什么？
编辑ppt
解LP问题单纯形法的基本思路： 初始可行基：设法在约
束矩阵 ARmn 中
构造出一个m阶单位阵
初始基本可行解
检验数
进基变量：检验数 离基编辑变ppt 量：最小比值准则
1.确定初始基本可行解
LP:
n
maxz cjxj
j1
n
s.t. j1
Pj xj
b
xj 0( j 1,2,3 ,n)
n
xi bi' ai'jxj
jm1
xj 0; j m 1,...,n
xik bi'
xm t 0
xj0;jm 1,..m . ,t1,m t1,..n.,
x a x x ba x k1 ' '
i
i编辑ppt i,mt mt
k' i i,mt mt
xik1xikai',mtxmt 0
n
Z Z0 jxj
a' i,mt
0
x
k l
a' l ,m t
xik1xikai',mtxmt
x k 1 mt
xlk a'
l ,mt
x ik 1 x ik a i',m tx m k 1 t,i 1 ,.m .,i. l,
xk1 l
0
x 离基变量： l
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T ., X ( k 1 ) ( x 1 k 1 ,x .l k 1 1 .,0 ,.x l k 1 1 ,0 .0 .,x . m k 1 t,0 ,.0 ) T .是 解.可 ！,行
jm1
a' i,m t < =
xm t
xik ai',mtxmt
若mt 0且pm' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0 时，为使
xikai',mtxmt 0，需要
最小比 值原则
xmt
x
k i
a' i,m t
x k 1 mt
x 从而， m t
最大可取到 m编i 辑ipnpt aix',mikt