3单纯形法基本概念与原理4对偶问题5灵敏度分析PPT课件
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– 出租收入不低于生产收入：
9y1+4y2+3y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120 –目标：ω=360y1+200y2+300y3 出租收入越多越好？至少不低于某数
对偶模型
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元， 原材料售价y3 元
min 360 y1 200 y2 300 y3
max Z 70 x 1 120 x 2
9 x1 4 x 2 360
s .t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 0 , x 2 0
• 问题２：现在A、B两产品销路不畅，可以 将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我 们的价格底线是什么？
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元，原材料 售价y3 元
x x x 量 2=30, 3=240, 4=50,可行解（P17图）
解的集合：
非可 可行 行解
解
解的集合：
wk.baidu.com
可基最
基
行 解
本 可 行
优 解
本 解
解
可
基
行
本
解
解
基本可行解个数有限，当约束条件为m个，n 个变量时，基本可行解个数不超过:
n! Cnm = m!(n-m)!
(m< n)
基本定理
• 定理１：线性规划问题的可行解域一定 是凸集。目标函数在凸集的顶点处达到 最优．
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
m
这里m=3,n=5。 C n=10
例题6 基可行解说明
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则基变量
x x x 3=360, 4=200, 5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0, x3=0基变量
x x x 2=90, 4=－250, 5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1, x5=0，则基变
始 可行基B0 I ．
3. ② A中不含有有单位矩阵I，用人工变量确定 B0 ．
单纯形法的基本步骤
2.
检验：已知B0可行基，
可行解
X X
B N
B 1b 0
，
判断基本
3.
X(XB, XN)T
是否最优．
4.
—通过目标函数表达式 Z C X C B B 1 b jx j j
其中：j cj CBB1Pj
s.t. 9 y1 4 y2 3 y3 70 4 y1 5 y2 10 y3 120 y1 0, y2 0, y3 0
原问题与对偶问题之比较
原问题：
max Z 70 x 1 120 x 2 s. t.
am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm Xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
(二)、矩阵型
Max Z=CX AX=b X 0
X1 X= X2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
C=(C1 C2 …Cn )
… …
Xn
bm
基本概念与基本定理
Max Z=CX AX =b
X0
1．可行解
X 满足
AX b
X
0
2．最优解 X＊ 满足 CX* CX
３．基（基阵）
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n
A=
………… …………… am1 … amm amm+1 … amn P1 … Pm Pm+1 … Pn
５．基本可行解——满足 B1b0 的基本解，
XB B1b 0 XN 0
基B---可行基
例题6 基可行解说明
max Z=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
9 41 00
4X1+5X2 +x4=200 A= 4 5 0 1 0
3X1+10X2+x5 =300
第六章 对偶问题
• 某厂生产两种产品，需要三种资源，已 知各产品的利润、各资源的限量和各产 品的资源消耗系数如下表：
劳动力 设备 原材料
利润(元/kg)
产品A
9 4 3 70
产品B
4 5 10 120
资源限量
360 200 300
• 问题1：如何安排生产计划，使得获利最多？ 设生产A产品 x1 kg，B产品 x2 kg ，
• 定理２: 可行域顶点
基本可行解
单纯形法（Simplex Method)
I. 单纯形法 的基本思想——迭代法
初始可行基B0 XB0= B0-1b，XN=0
Y
检验是否最优？
N
确定新的可行基B， XB比原来好。
II. 单纯形法的基本步骤 Max Z=CX
AX =b
X0
1. 初始可行基（基本可行解）的确定. 2. ①AXb ，若A中有单位矩阵I，直接取初
检验数
j IN
若所有 j 0 ，则目前解为最优解。
单纯形法的基本步骤
3. 若 j ，0寻找更好的基
4.
取 max j = m+k
进基变量 出基变. 量
Xm+k 进基变量
由最小θ比值法求：
m in aibm ik aimk0 arbm rk
Xr为出基变量
单纯形法的基本步骤
4. 以 a r mk 为主元，换基迭代。 5. 5. 这样，不断迭代，直至检验数 j 0，找到最优解。
单纯形法（Simplex Method）
• 线性规划模型的标准型
• 基本概念与基本定理 • 单纯形法的基本思想
线性规划模型的标准型
(一)、一般型 Max Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2
…………
XB = (X1 … Xm )T XN=( Xm+1 … Xn )T
例1、
X1+2X2 +X3 =30
3X1+2X2 +X4 =60
2X2
+X5=24
X1 … X5 0
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
4．基本解——对应于基B， X XXBNB01b 为 AX=b 的一个解。
B
N
(m< n) r(A)=m , 至少有一个m阶子式不为0
定义：基(基阵) ——A中一个子矩阵B是可逆矩 阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(B N) 基向量 非基向量
X= (X1 … Xm
…
Xm+1
…
Xn )T=
X ( X
B N
)
基变量 非基变量
9y1+4y2+3y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120 –目标：ω=360y1+200y2+300y3 出租收入越多越好？至少不低于某数
对偶模型
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元， 原材料售价y3 元
min 360 y1 200 y2 300 y3
max Z 70 x 1 120 x 2
9 x1 4 x 2 360
s .t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 0 , x 2 0
• 问题２：现在A、B两产品销路不畅，可以 将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我 们的价格底线是什么？
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元，原材料 售价y3 元
x x x 量 2=30, 3=240, 4=50,可行解（P17图）
解的集合：
非可 可行 行解
解
解的集合：
wk.baidu.com
可基最
基
行 解
本 可 行
优 解
本 解
解
可
基
行
本
解
解
基本可行解个数有限，当约束条件为m个，n 个变量时，基本可行解个数不超过:
n! Cnm = m!(n-m)!
(m< n)
基本定理
• 定理１：线性规划问题的可行解域一定 是凸集。目标函数在凸集的顶点处达到 最优．
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
m
这里m=3,n=5。 C n=10
例题6 基可行解说明
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则基变量
x x x 3=360, 4=200, 5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0, x3=0基变量
x x x 2=90, 4=－250, 5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1, x5=0，则基变
始 可行基B0 I ．
3. ② A中不含有有单位矩阵I，用人工变量确定 B0 ．
单纯形法的基本步骤
2.
检验：已知B0可行基，
可行解
X X
B N
B 1b 0
，
判断基本
3.
X(XB, XN)T
是否最优．
4.
—通过目标函数表达式 Z C X C B B 1 b jx j j
其中：j cj CBB1Pj
s.t. 9 y1 4 y2 3 y3 70 4 y1 5 y2 10 y3 120 y1 0, y2 0, y3 0
原问题与对偶问题之比较
原问题：
max Z 70 x 1 120 x 2 s. t.
am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm Xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
(二)、矩阵型
Max Z=CX AX=b X 0
X1 X= X2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
C=(C1 C2 …Cn )
… …
Xn
bm
基本概念与基本定理
Max Z=CX AX =b
X0
1．可行解
X 满足
AX b
X
0
2．最优解 X＊ 满足 CX* CX
３．基（基阵）
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n
A=
………… …………… am1 … amm amm+1 … amn P1 … Pm Pm+1 … Pn
５．基本可行解——满足 B1b0 的基本解，
XB B1b 0 XN 0
基B---可行基
例题6 基可行解说明
max Z=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
9 41 00
4X1+5X2 +x4=200 A= 4 5 0 1 0
3X1+10X2+x5 =300
第六章 对偶问题
• 某厂生产两种产品，需要三种资源，已 知各产品的利润、各资源的限量和各产 品的资源消耗系数如下表：
劳动力 设备 原材料
利润(元/kg)
产品A
9 4 3 70
产品B
4 5 10 120
资源限量
360 200 300
• 问题1：如何安排生产计划，使得获利最多？ 设生产A产品 x1 kg，B产品 x2 kg ，
• 定理２: 可行域顶点
基本可行解
单纯形法（Simplex Method)
I. 单纯形法 的基本思想——迭代法
初始可行基B0 XB0= B0-1b，XN=0
Y
检验是否最优？
N
确定新的可行基B， XB比原来好。
II. 单纯形法的基本步骤 Max Z=CX
AX =b
X0
1. 初始可行基（基本可行解）的确定. 2. ①AXb ，若A中有单位矩阵I，直接取初
检验数
j IN
若所有 j 0 ，则目前解为最优解。
单纯形法的基本步骤
3. 若 j ，0寻找更好的基
4.
取 max j = m+k
进基变量 出基变. 量
Xm+k 进基变量
由最小θ比值法求：
m in aibm ik aimk0 arbm rk
Xr为出基变量
单纯形法的基本步骤
4. 以 a r mk 为主元，换基迭代。 5. 5. 这样，不断迭代，直至检验数 j 0，找到最优解。
单纯形法（Simplex Method）
• 线性规划模型的标准型
• 基本概念与基本定理 • 单纯形法的基本思想
线性规划模型的标准型
(一)、一般型 Max Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2
…………
XB = (X1 … Xm )T XN=( Xm+1 … Xn )T
例1、
X1+2X2 +X3 =30
3X1+2X2 +X4 =60
2X2
+X5=24
X1 … X5 0
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
4．基本解——对应于基B， X XXBNB01b 为 AX=b 的一个解。
B
N
(m< n) r(A)=m , 至少有一个m阶子式不为0
定义：基(基阵) ——A中一个子矩阵B是可逆矩 阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(B N) 基向量 非基向量
X= (X1 … Xm
…
Xm+1
…
Xn )T=
X ( X
B N
)
基变量 非基变量