3单纯形法基本概念与原理4对偶问题5灵敏度分析PPT课件
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运筹学 第三章 对偶理论 第二讲 对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
1
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB λ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基
变量；
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
(5)普通单纯形法的最小比值是 问题的基本解可行，
bi min aik 0 其目的是保证下一个原 i aik
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
例2.9 用对偶单纯形法求解：
m i n Z 9 x 1 12 x 2 15 x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 10 2 x 1 3 x 2 x 3 12 x 1 x 2 5 x 3 14 x j 0( j 1.2.3)
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
设线性规划问题为：
max Z CX ( P)
原始单纯形法的思想： 从满足可行性条件的一个基可行解(即基B满足
AX ＝ b X 0
B b 0 )出发，经过换基运算迭代到另一个基可行解，
直到找到满足最优性条件( C C B 1 A 0 )的基可行解， B 这就是原问题的最优解。
y1 y2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y2 3 y1 0, y2 0
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
管理运筹学ppt6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶ok
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
解：首先求出x3在最终表上的系数列B−1P'6，zj,σj
迭代 基变
x1
x2
s1
s2
s3
x3
次数 量
cB
50 100
0
0
0
160
x1
50
1
0
1
0
-1
10.5
s2
0
0
0
-2
1
1
20
2
x2
100
0
1
0
0
1
1
zj
50
100
50
0
50 125
σj=cj-zj
0
0
-50
0
-50 35
➢ 基变量系数cB变化 ➢ 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
(cB1, cB2,…, ck+ck ,…,cBm)
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
原最优单纯形表可表示如下。
迭代 基变
…
xk
…
xj
…
次数 量
cB
…
ck
…
cj
…
xB1
若要最优解不变
j = j ck akj
当j≠k时， j
0
akj 0
ck
j
akj
akj 0
ck
j
akj
当j=k时， k ck ck zk
xk为基变量 k 0, akk 1
k = 0
=ck ck zk ck akk
max{
j
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
ch6(1)单纯形法的灵敏度分析PPT课件
c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
我们也可以在最终的单纯形表中，对它进行灵
敏度分析，在最终的单纯形表中，用C’1代替原来的 C1=50,计算得下表：
管理运筹学
16
迭代 基 次数 变
量
X1
CB X1
C’1 C’1 1
S2 0 0
2 X2 100 0 ZJ C’1
CJ -ZJ 0
X2
S1
S2
100 0
管理运筹学
8
根据上式可知检验数 j(j1,2变, 成m 了) 且有：
j ,
j c j z j
c j ( z j c k a k j )
( c j z j ) c k a k j
j c k a k j
管理运筹学
9
要使最优解不变，只要 jk时 ， j 0,即 ：
j ck akj 0
管理运筹学
6
zj (cB1,cB2, ,ck , cBm)(a1j ,a2 j , ,akj, am j )T
变成了
zj (cB1,cB2,
,ck＋ ck ,
a1j
cBm
)
akj
am j
管理运筹学
7
＝cB1a1j＋cB2a2j＋（ck＋ck）akj＋cBmamj ＝cB1a1j＋cB2a2j＋ckakj＋cBmam j＋ckakj ＝zj＋ckakj
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管理运筹学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管理运筹学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管理运筹学
3
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
大学运筹学经典课件第六章单纯形法的灵敏度分析与对偶
12
§1 单纯形表的灵敏度分析
三、约束方程系数矩阵A灵敏度分析
下面分两种情况讨论
1.在初始单纯形表上的变量Xk的系数列Pk改变为P’k经过迭代后，在最终单纯 形表上Xk是非基变量。由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变换， Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列数据，包括Xk的系数列、Zk以及 k， 这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成CBB-1Pk’，新的检 验数 k=Ck-CBB-1Pk’。若 k≤0，则原最优解仍然为最优解。若 k 〉0，则继续进 行迭代以求出最优。
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 有关了。这将使得最优目
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件z j的对偶价格应取 值的相反
数- 。
zj
对z j于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 值。
zj
管理运筹学
成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原来的最优解 仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤- K。
2.在最终的单纯形表中， X k是基变量 当Ck变成Ck+ Ck时，最终单纯形表中约束方程的增广矩阵不变，但是基变量的目 标函数的系数CB变了，则ZJ(J=1,2,…..,N)一般也变了，不妨设CB=(CB1, CB2。。。, Ck, …， CBm),当CB变成=(CB1, CB2。。。,Ck+ Ck,…,CBm),则：
如要使XB成为可行解，只要使上述等式的右边>0，就可求出
b
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
4.5 单纯形法的灵敏度分析解析
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
26000
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
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am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm Xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
(二)、矩阵型
Max Z=CX AX=b X 0
X1 X= X2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
第六章 对偶问题
• 某厂生产两种产品，需要三种资源，已 知各产品的利润、各资源的限量和各产 品的资源消耗系数如下表：
劳动力 设备 原材料
利润(元/kg)
产品A
9 4 3 70
产品B
4 5 10 120
资源限量
360 200 300
• 问题1：如何安排生产计划，使得获利最多？ 设生产A产品 x1 kg，B产品 x2 kg ，
检验数
j IN
若所有 j 0 ，则目前解为最优解。
单纯形法的基本步骤
3. 若 j ，0寻找更好的基
4.
取 max j = m+k
进基变量 出基变. 量
Xm+k 进基变量
由最小θ比值法求：
m in aibm ik aimk0 arbm rk
Xr为出基变量
单纯形法的基本步骤
4. 以 a r mk 为主元，换基迭代。 5. 5. 这样，不断迭代，直至检验数 j 0，找到最优解。
XB = (X1 … Xm )T XN=( Xm+1 … Xn )T
例1、
X1+2X2 +X3 =30
3X1+2X2 +X4 =60
2… X5 0
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
4．基本解——对应于基B， X XXBNB01b 为 AX=b 的一个解。
max Z 70 x 1 120 x 2
9 x1 4 x 2 360
s .t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 0 , x 2 0
• 问题２：现在A、B两产品销路不畅，可以 将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我 们的价格底线是什么？
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元，原材料 售价y3 元
C=(C1 C2 …Cn )
… …
Xn
bm
基本概念与基本定理
Max Z=CX AX =b
X0
1．可行解
X 满足
AX b
X
0
2．最优解 X＊ 满足 CX* CX
３．基（基阵）
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n
A=
………… …………… am1 … amm amm+1 … amn P1 … Pm Pm+1 … Pn
单纯形法（Simplex Method）
• 线性规划模型的标准型
• 基本概念与基本定理 • 单纯形法的基本思想
线性规划模型的标准型
(一)、一般型 Max Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2
…………
s.t. 9 y1 4 y2 3 y3 70 4 y1 5 y2 10 y3 120 y1 0, y2 0, y3 0
原问题与对偶问题之比较
原问题：
max Z 70 x 1 120 x 2 s. t.
B
N
(m< n) r(A)=m , 至少有一个m阶子式不为0
定义：基(基阵) ——A中一个子矩阵B是可逆矩 阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(B N) 基向量 非基向量
X= (X1 … Xm
…
Xm+1
…
Xn )T=
X ( X
B N
)
基变量 非基变量
５．基本可行解——满足 B1b0 的基本解，
XB B1b 0 XN 0
基B---可行基
例题6 基可行解说明
max Z=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
9 41 00
4X1+5X2 +x4=200 A= 4 5 0 1 0
3X1+10X2+x5 =300
– 出租收入不低于生产收入：
9y1+4y2+3y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120 –目标：ω=360y1+200y2+300y3 出租收入越多越好？至少不低于某数
对偶模型
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元， 原材料售价y3 元
min 360 y1 200 y2 300 y3
• 定理２: 可行域顶点
基本可行解
单纯形法（Simplex Method)
I. 单纯形法 的基本思想——迭代法
初始可行基B0 XB0= B0-1b，XN=0
Y
检验是否最优？
N
确定新的可行基B， XB比原来好。
II. 单纯形法的基本步骤 Max Z=CX
AX =b
X0
1. 初始可行基（基本可行解）的确定. 2. ①AXb ，若A中有单位矩阵I，直接取初
始 可行基B0 I ．
3. ② A中不含有有单位矩阵I，用人工变量确定 B0 ．
单纯形法的基本步骤
2.
检验：已知B0可行基，
可行解
X X
B N
B 1b 0
，
判断基本
3.
X(XB, XN)T
是否最优．
4.
—通过目标函数表达式 Z C X C B B 1 b jx j j
其中：j cj CBB1Pj
x x x 量 2=30, 3=240, 4=50,可行解（P17图）
解的集合：
非可 可行 行解
解
解的集合：
可基最
基
行 解
本 可 行
优 解
本 解
解
可
基
行
本
解
解
基本可行解个数有限，当约束条件为m个，n 个变量时，基本可行解个数不超过:
n! Cnm = m!(n-m)!
(m< n)
基本定理
• 定理１：线性规划问题的可行解域一定 是凸集。目标函数在凸集的顶点处达到 最优．
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
m
这里m=3,n=5。 C n=10
例题6 基可行解说明
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则基变量
x x x 3=360, 4=200, 5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0, x3=0基变量
x x x 2=90, 4=－250, 5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1, x5=0，则基变
(二)、矩阵型
Max Z=CX AX=b X 0
X1 X= X2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
第六章 对偶问题
• 某厂生产两种产品，需要三种资源，已 知各产品的利润、各资源的限量和各产 品的资源消耗系数如下表：
劳动力 设备 原材料
利润(元/kg)
产品A
9 4 3 70
产品B
4 5 10 120
资源限量
360 200 300
• 问题1：如何安排生产计划，使得获利最多？ 设生产A产品 x1 kg，B产品 x2 kg ，
检验数
j IN
若所有 j 0 ，则目前解为最优解。
单纯形法的基本步骤
3. 若 j ，0寻找更好的基
4.
取 max j = m+k
进基变量 出基变. 量
Xm+k 进基变量
由最小θ比值法求：
m in aibm ik aimk0 arbm rk
Xr为出基变量
单纯形法的基本步骤
4. 以 a r mk 为主元，换基迭代。 5. 5. 这样，不断迭代，直至检验数 j 0，找到最优解。
XB = (X1 … Xm )T XN=( Xm+1 … Xn )T
例1、
X1+2X2 +X3 =30
3X1+2X2 +X4 =60
2… X5 0
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
4．基本解——对应于基B， X XXBNB01b 为 AX=b 的一个解。
max Z 70 x 1 120 x 2
9 x1 4 x 2 360
s .t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 0 , x 2 0
• 问题２：现在A、B两产品销路不畅，可以 将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我 们的价格底线是什么？
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元，原材料 售价y3 元
C=(C1 C2 …Cn )
… …
Xn
bm
基本概念与基本定理
Max Z=CX AX =b
X0
1．可行解
X 满足
AX b
X
0
2．最优解 X＊ 满足 CX* CX
３．基（基阵）
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n
A=
………… …………… am1 … amm amm+1 … amn P1 … Pm Pm+1 … Pn
单纯形法（Simplex Method）
• 线性规划模型的标准型
• 基本概念与基本定理 • 单纯形法的基本思想
线性规划模型的标准型
(一)、一般型 Max Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2
…………
s.t. 9 y1 4 y2 3 y3 70 4 y1 5 y2 10 y3 120 y1 0, y2 0, y3 0
原问题与对偶问题之比较
原问题：
max Z 70 x 1 120 x 2 s. t.
B
N
(m< n) r(A)=m , 至少有一个m阶子式不为0
定义：基(基阵) ——A中一个子矩阵B是可逆矩 阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(B N) 基向量 非基向量
X= (X1 … Xm
…
Xm+1
…
Xn )T=
X ( X
B N
)
基变量 非基变量
５．基本可行解——满足 B1b0 的基本解，
XB B1b 0 XN 0
基B---可行基
例题6 基可行解说明
max Z=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
9 41 00
4X1+5X2 +x4=200 A= 4 5 0 1 0
3X1+10X2+x5 =300
– 出租收入不低于生产收入：
9y1+4y2+3y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120 –目标：ω=360y1+200y2+300y3 出租收入越多越好？至少不低于某数
对偶模型
• 设每个工时收费y1元，设备台时租金y2元， 原材料售价y3 元
min 360 y1 200 y2 300 y3
• 定理２: 可行域顶点
基本可行解
单纯形法（Simplex Method)
I. 单纯形法 的基本思想——迭代法
初始可行基B0 XB0= B0-1b，XN=0
Y
检验是否最优？
N
确定新的可行基B， XB比原来好。
II. 单纯形法的基本步骤 Max Z=CX
AX =b
X0
1. 初始可行基（基本可行解）的确定. 2. ①AXb ，若A中有单位矩阵I，直接取初
始 可行基B0 I ．
3. ② A中不含有有单位矩阵I，用人工变量确定 B0 ．
单纯形法的基本步骤
2.
检验：已知B0可行基，
可行解
X X
B N
B 1b 0
，
判断基本
3.
X(XB, XN)T
是否最优．
4.
—通过目标函数表达式 Z C X C B B 1 b jx j j
其中：j cj CBB1Pj
x x x 量 2=30, 3=240, 4=50,可行解（P17图）
解的集合：
非可 可行 行解
解
解的集合：
可基最
基
行 解
本 可 行
优 解
本 解
解
可
基
行
本
解
解
基本可行解个数有限，当约束条件为m个，n 个变量时，基本可行解个数不超过:
n! Cnm = m!(n-m)!
(m< n)
基本定理
• 定理１：线性规划问题的可行解域一定 是凸集。目标函数在凸集的顶点处达到 最优．
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
m
这里m=3,n=5。 C n=10
例题6 基可行解说明
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则基变量
x x x 3=360, 4=200, 5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0, x3=0基变量
x x x 2=90, 4=－250, 5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1, x5=0，则基变