届高考理科数学第一轮总复习教案

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高考数学第一轮复习教案

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高三理科数学第一轮总复习教案13

第十五章复数高考导航知识网络15.1 复数的概念及其运算典例精析题型一复数的概念【例1】 (1)如果复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝；(2)在复平面内，复数1＋i i对应的点位于第象限； (3)复数z ＝3i ＋1的共轭复数为z ＝ .【解析】 (1)(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(1＋m 3)i 是实数⇒1＋m 3＝0⇒m ＝－1.(2)因为1＋i i ＝i(1＋i)i 2＝1－i ，所以在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.(3)因为z ＝1＋3i ，所以z ＝1－3i.【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.【变式训练1】(1)如果z ＝1－a i 1＋a i为纯虚数，则实数a 等于( ) A.0 B.－1 C.1 D.－1或1(2)在复平面内，复数z ＝1－i i(i 是虚数单位)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(1)设z ＝x i ，x ≠0，则x i ＝1－a i 1＋a i ⇔1＋ax －(a ＋x )i ＝0⇔⎩⎨⎧=+=+0,01x a ax ⇔⎩⎨⎧-==1,1x a 或⎩⎨⎧=-=.1,1x a 故选D.(2)z ＝1－i i＝(1－i)(－i)＝－1－i ，该复数对应的点位于第三象限.故选C.题型二复数的相等【例2】(1)已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝；(2)已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝；(3)已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则这个实根为，实数k 的值为 .【解析】(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z 0＝3＋2i ，代入z ·z 0＝3z ＋z 0得(x ＋y i)(3＋2i)＝3(x ＋y i)＋3＋2i ，整理得 (2y ＋3)＋(2－2x )i ＝0，则由复数相等的条件得⎩⎨⎧=-=+,022,032x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,23,1y x 所以z ＝1－i 23. (2)由已知得m ＝(1－n i)(1＋i)＝(1＋n )＋(1－n )i.则由复数相等的条件得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+=,1,210,1n m n n m所以m ＋n i ＝2＋i.(3)设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得0,i )2()2(0020=++++k x kx x由复数相等的充要条件得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++.02,020020k x kx x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==22,20k x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=.22,20k x所以方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.【点拨】复数相等须先化为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.【变式训练2】(1)设i 是虚数单位，若1＋2i 1＋i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值是( )A.－12B.－2C.2D.12 (2)若(a －2i)i ＝b ＋i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝ .【解析】(1)C.1＋2i 1＋i ＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i 2，于是a ＋b ＝32＋12＝2.(2)3.2＋a i ＝b ＋i ⇒a ＝1，b ＝2.题型三复数的运算【例3】 (1)若复数z ＝－12＋32i ，则1＋z ＋z 2＋z 3＋…＋z 2 008＝；(2)设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝ .【解析】 (1)由已知得z 2＝－12－32i ，z 3＝1，z 4＝－12＋32i ＝z .所以z n 具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3. 所以1＋z ＋z 2＋z 3＋…＋z 2 008＝1＋z ＋(z 2＋z 3＋z 4)＋…＋(z 2 006＋z 2 007＋z 2 008)＝1＋z ＝12＋32i. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==++,1,222y y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,1,43y x 所以z ＝43＋i. 【点拨】解(1)时要注意x 3＝1⇔(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0的三个根为1，ω，ω－，其中ω＝－12＋32i ，ω－＝－12－32i ，则 1＋ω＋ω2＝0， 1＋ω－＋ω－2＝0 ，ω3＝1，ω－3＝1，ω·ω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.解(2)时要注意|z |∈R ，所以须令z ＝x ＋y i.【变式训练3】(1)复数11＋i ＋i 2等于( ) A.1＋i 2 B.1－i 2 C.－12 D.12(2)(2010江西鹰潭)已知复数z ＝23－i 1＋23i＋(21－i )2 010，则复数z 等于( )A.0B.2C.－2iD.2i【解析】(1)D.计算容易有11＋i ＋i 2＝12. (2)A.总结提高复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.。

高考数学一轮复习教案

高考数学一轮复习教案教案标题：高考数学一轮复习教案教案目标：1. 确保学生对高考数学考试的各个知识点有全面的了解和掌握。

2. 帮助学生提高解题能力，培养分析和推理的能力。

3. 强化学生的数学思维和解题策略，提高应试能力。

教学内容：本教案主要围绕高考数学考试的各个知识点展开复习，包括代数、函数、几何、概率与统计等内容。

教学步骤：第一步：复习代数知识1. 复习一元二次方程的求根公式和应用。

2. 复习指数与对数的性质和运算法则。

3. 复习不等式的性质和解法。

第二步：复习函数知识1. 复习函数的定义和性质。

2. 复习函数的图像与性质，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

3. 复习函数的运算法则和复合函数的求解。

第三步：复习几何知识1. 复习平面几何的基本概念和性质。

2. 复习三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切等。

3. 复习平面几何中的相似三角形和勾股定理等。

第四步：复习概率与统计知识1. 复习概率的基本概念和计算方法。

2. 复习统计学中的数据收集、整理和分析方法。

3. 复习概率与统计在实际问题中的应用。

第五步：解题技巧和策略的讲解1. 教授解题的基本思路和步骤，包括审题、分析、解答和检查等。

2. 引导学生掌握解题中常用的技巧和策略，如代入法、逆向思维和分类讨论等。

3. 提供一些典型例题和解题方法的讲解和练习。

第六步：模拟考试和反馈1. 安排模拟考试，模拟高考数学试卷的形式和要求。

2. 收集学生的答卷并进行批改，给予详细的评价和建议。

3. 针对学生的错误和不足，进行有针对性的指导和讲解。

教学评估：1. 教师对学生的参与度和理解程度进行观察和评估。

2. 模拟考试的成绩和学生的答卷质量作为评估指标。

3. 学生对教学内容的反馈和问题的解答情况作为评估依据。

教学资源：1. 高考数学教材和辅助教材。

2. 高考数学模拟试卷和真题。

3. 多媒体设备和投影仪等。

教学延伸：1. 鼓励学生进行自主学习和拓展阅读，加深对数学知识的理解和应用能力。

高三理科数学第一轮总复习教案9

第十七章坐标系与参数方程高考导航2.(知识网络17.1 坐标系典例精析题型一极坐标的有关概念【例1】已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5，π6)，B(5，π2)，C(－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为O ，由已知得∠AOB ＝π3，∠BOC＝5π6，∠AOC ＝5π6.又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝43，由余弦定理得|AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos ∠AOC ＝52＋(43)2－2×5×43·cos 5π6＝133，所以|AC|＝133.同理，|BC|＝133.所以|AC|＝|BC|，所以△ABC 为等腰三角形.又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5，所以AB 边上的高h ＝|AC|2－(12|AB|)2＝1332，所以S △ABC ＝12×1332×5＝6534.【点拨】判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A(5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为； (2)点P(－12，4π3)与曲线C ：ρ＝cos θ2的位置关系是 .【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P 在曲线C 上.题型二直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x ，即x2＋y2－4x ＝0为⊙O1的直角坐标方程.同理，x2＋y2＋4y ＝0为⊙O2的直角坐标方程.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x ＋y ＝0.【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sinθ)＝2的距离为d ，求d 的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化为x ＋3y ＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)，则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin(α＋30°)－2|2，它的最大值为4.题型三极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y －1)2＝1于点Q ，在直线OQ上取一点P ，使P 到直线y ＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P 的轨迹方程.【解析】以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P 作PR 垂直于直线y ＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x ＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程.【解析】取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设A(ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①因为△OPA 为等腰三角形，且∠OPA ＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA ＝30°，所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ可把平面直角坐标系上的点P(x ，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T变换后得到的点P′与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.(1)若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C 的标准方程，并求出当tan θ＝34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T 变换后得到的点F1′和F2′的坐标；(2)当tan θ＝34时，求(1)中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义知焦距2c ＝22⇒c ＝2，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即椭圆C 的标准方程为x23＋y2＝1，且椭圆C 两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)和F2(2，0).对于变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ当tan θ=43时，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=-'=+.5453,5354y y x x y x设F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分别是由F1(－2，0)和F2(2，0)的坐标经变换公式T 变换得到. 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--⨯=-=⨯+-⨯=,523054)2(53,524053)2(5411y x即F1′的坐标为(－425，－325)；又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-⨯==⨯+⨯=,523054253,52405325422y x即F2′的坐标为(425，325).(2)设P(x ，y)是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当tan θ＝34时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+y y x x y x 5453,5354⇒x ＝3y ，由点P(x ，y)∈C ，即P(3y ，y)∈C ，得(3y)23＋y2＝1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=,23,21x y 因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32，－12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x －2y ＝2经过伸缩变换后变成直线2x′－y′＝4.【解析】⎩⎨⎧='='.4,y y x x总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一参数方程与普通方程互化【例1】把下列参数方程化成普通方程：(1) ⎩⎨⎧+=-=θθθθ sin cos 2, sin 4 cos y x (θ为参数)； (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)e e (,2)e e (t t t t b y a x (t 为参数，a ，b ＞0).【解析】(1),1)94()92(94 cos ,92 sin sin cos 2, sin 4 cos 22=++-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧+=-=y x x y y x x y y x θθθθθθ所以5x2＋4xy ＋17y2－81＝0.(2)由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--②.e e 2，①e e 2t t t t b y a x所以①2－②2得4x2a2－4y2b2＝4，所以x2a2－y2b2＝1，其中x ＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)⎩⎨⎧=+=; cos sin , cos sin θθθθy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==;1,1t t y x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13222t t y t t x (4) ⎩⎨⎧-=+= 3. tan 5, sec 46θθy x【解析】(1)x2＝2(y ＋12)，－2≤x≤2，图形为一段抛物线弧.(2)x ＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.(3)x2＋y2－3y ＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3). (4)(x －6)216－(y ＋3)225＝1，图形是双曲线.题型二根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 3,2(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23,212(t 为参数).②把②代入①得(2＋t 2)2－(32t)2＝1，整理得t2－4t －6＝0.设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝42－4(－6)＝40＝210. 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)，代入x2－y2＝1，得2x2－12x ＋13＝0.设l 与C 交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝132，所以|AB|＝1＋3·(x1＋x2)2－4x1x2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531,541(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长. 【解析】将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531,541(t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0.将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x2＋y2－x ＋y ＝0.表示圆心为(12，－12)，半径为r ＝22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75. 题型三参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3, cos 4 (t 为参数)，C2：⎩⎨⎧==θθ sin 3, cos 8y x (θ为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C2上的动点，求PQ 中点M 到直线C3：⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t ＝π2时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ).C3为直线x －2y －7＝0，M 到C3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧==θθ sin 2, cos 4y x (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ(ρ＞0).(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C1与x 轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m ＞0)，经过点P 作曲线C2的切线l ，求切线l 的方程.【解析】(1)曲线C1：x216＋y24＝1；曲线C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆. (2)曲线C1：x216＋y24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m＞0，所以点P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k(x －4).由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得|k ＋2－4k|k2＋1＝5，解得k ＝3±102，所以切线l 的方程为y ＝3±102(x －4).总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x ，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1

第九节离散型随机变量的期望与方差、正态分布1．均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 2．正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．知识点一均值1．一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . 3．(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .易误提醒理解均值E (X )易失误，均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．[自测练习]1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73 B ．4 C ．－1D ．1 解析：E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案：A知识点二方差1．设离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．D (aX ＋b )＝a 2D (X )．3．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 4．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．易误提醒 (1)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ)越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中在E (ξ)附近．统计中常用标准差D (ξ) 来描述ξ的分散程度．(2)D (ξ)与E (ξ)一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定．(3)D (ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同，而E (ξ)、D (ξ) 与ξ的单位相同． (4)注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[自测练习]2．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3ξ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：由E (ξ)＝13(1＋2＋3)＝2，得D (ξ)＝23，D (3ξ＋5)＝32×D (ξ)＝6. 答案：A3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案：916知识点三正态分布 1．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.(4)曲线与x 轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布的三个常用数据 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.易误提醒一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．[自测练习]4．若随机变量ξ～N (2,1)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________.解析：由ξ～N (2,1)，得μ＝2，因为P (ξ>3)＝0.158 7，所以P (ξ<1)＝0.158 7，所以P (ξ>1)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：0.841 3考点一离散型随机变量的均值|(2015·高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为X 200 300 400 P110310610E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值． (2)求X 的每个值的概率． (3)写出X 的分布列． (4)由均值定义求出E (X )．1．(2016·合肥模拟)某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分)，评分结果统计如表：学生数物理得分y化学得分x1分2分3分4分5分1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 2 6 0 1 5分1133分”的学生被抽取的概率；(2)从这50名参赛学生中任取1名，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有6名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为650＝325.(2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，则ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P1504503509508501650450250350∴E (ξ)＝2×150＋3×450＋4×350＋5×950＋6×850＋7×1650＋8×450＋9×250＋10×350＝31150.考点二方差问题|设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X 为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y 为取出此球所得分数．若E (Y )＝53，D (Y )＝59，求a ∶b ∶c .[解] (1)由题意得X ＝2,3,4,5,6. 故P (X ＝2)＝3×36×6＝14，P (X ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (X ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (X ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (X ＝6)＝1×16×6＝136.所以X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知Y 的分布列为Y 1 2 3 Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (Y )＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (Y )＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，b ＝2c .故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．2．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：X 甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X 乙 28 29 30 31 32 P0.130.170.40.170.13其中X 表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量．解：由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30， E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.又D (X 甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，D (X 乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)，故甲种棉花的质量较好．考点三正态分布|1．(2015·高考湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析：由正态分布密度曲线的性质可知，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x ＝μ1，x ＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误．又X ～N (μ1，σ21)的密度曲线较Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，B 错误．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，C 错误，D 正确．答案：D2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由已知μ＝0，σ＝3.所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.答案：B正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )．10.离散型随机变量的均值的综合问题的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .[思路点拨] (1)根据题意明确“三位递增数”的定义，从而得到个位数字是5的“三位递增数”．(2)首先根据题意确定随机变量X 的所有可能取值，然后求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，从而求得数学期望．[规范解答] (1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.(4分)(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.(8分)所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.(12分)[模板形成]理解题意求相应事件的概率↓由条件写出随机变量的取值↓求出每个取值对应事件的概率↓列出分布列并求均值↓反思解题过程注意规范化[跟踪练习] 据《中国新闻网》报道，全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查，调查统计的结果如下表：(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴120＋x3 600＝0.05，解得x ＝60. ∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720. ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600＝72(人)．(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生有120180×6＝4(人)，社会人士有60180×6＝2(人)，于是第一组的在校学生人数ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，即ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.A 组考点能力演练1．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12D ．1 解析：因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.答案：C2．(2016·长春质量监测)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15解析：P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C. 答案：C3．(2016·九江一模)已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7，故选B.答案：B4．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2解析：根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.答案：B5．设随机变量X ～B (8，p )，且D (X )＝1.28，则概率p 的值是( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8D ．0.16解析：由D (X )＝8p (1－p )＝1.28，∴p ＝0.2或p ＝0.8. 答案：C6．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点到6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是________．解析：共有36种可能，其中，甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种，甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，所以所求期望为6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋215＝143.答案：1437．(2016·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．解析：因为成绩ξ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78(人)．答案：788．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为________．解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，解得a ＝73.答案：739.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由直方图可得20x ＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x ＝0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以估计1 200名新生中有144名学生可以申请住宿． (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫344＝81256，P (X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128，P (X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫143×34＝364，P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫144＝1256.所以X 的分布列为E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1(或E (X )＝4×14＝1)．所以X 的数学期望为1.10．(2016·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)前6小时内的销售量t (单位：件)4 5 6 频数30xy(1)若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些商品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．解：(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A ，则P (A )＝C 14C 12C 26＝815.(2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商场每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件．当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x100＋150×6×70－x100＝780－2x ，由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为[45,70]，x ∈N *.B 组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A ．2 386 B ．2 718 C ．3 413D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.解析：由题意可得，P(0<x≤1)＝12P(－1<x≤1)＝0.341 3，设落入阴影部分的点的个数为n，则P＝S阴影S正方形＝0.341 31＝n10 000，则n＝3 413，选C.答案：C2．(2015·高考福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16，P(X＝3)＝56×45×1＝23.所以X的分布列为所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.3．(2015·高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得从而ET＝25×0.2＋30(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立．且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A)＝0.91.。

高三数学一轮复习教案

高三数学一轮复习教案教案标题：高三数学一轮复习教案教学目标：1. 复习高三数学的基础知识和重点概念，巩固学生的数学基础；2. 帮助学生理解数学知识的应用和解题方法；3. 提高学生的解题能力和应试技巧，为高考数学取得优异成绩做准备。

教学内容：1. 高三数学的基础知识回顾和概念梳理；2. 高考数学常见题型的解题技巧和方法；3. 高考数学试题的分析和解答。

教学步骤：一、复习基础知识和概念（2课时）1. 复习数列与数列的概念，包括等差数列、等比数列等；2. 复习函数与方程的基本概念，包括一次函数、二次函数等；3. 复习三角函数的基本概念和性质；4. 复习概率与统计的基本概念和计算方法。

二、解题技巧和方法（4课时）1. 高考数学常见题型的解题技巧和方法，包括选择题、填空题、解答题等；2. 解析高考数学试题中的典型题目，讲解解题思路和方法；3. 练习高考数学试题，让学生熟悉不同题型的解题方法。

三、高考数学试题分析与解答（4课时）1. 分析高考数学试题的命题思路和考点，帮助学生理解题目的出题思想；2. 解答高考数学试题，讲解解题步骤和思路；3. 强化练习，让学生熟悉高考数学试题的解答过程。

四、综合复习与提高（2课时）1. 综合复习高三数学各个章节的重点内容和难点；2. 解析高考数学真题中的典型题目，加强学生的解题能力；3. 模拟高考数学试卷，让学生在考试环境下进行综合复习和提高。

教学评估：1. 每节课结束时进行小测验，检查学生对所学知识的掌握情况；2. 每周安排一次模拟考试，评估学生的学习进展和应试能力；3. 针对学生的学习情况和问题，及时进行个别辅导和指导。

教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 题库：高考数学真题、模拟试题等；3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。

教学反思：1. 每节课结束后进行教学反思，总结教学过程中的优点和不足；2. 收集学生的反馈意见，了解他们的学习情况和需求，及时调整教学策略；3. 与其他教师进行交流和讨论，互相借鉴教学经验，提高教学质量。

【高三】2021届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案

【高三】2021届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案高考导航考试要求重而难1.导数概念及其几何意义（1）了解衍生概念的实践背景；(2)理解导数的几何意义.2.衍生工具的运作(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；（2）它可以使用基本初等函数的导数公式和四种导数算法来计算简单函数的导数和简单复合函数的导数（仅限于F（AX+b）形式的复合函数）3.导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性与导数的关系，能用导数研究函数的单调性，能找到函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分和微积分的基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）理解微积分基本定理的含义本章的要点：1.导数的概念；2.用导数计算切线的斜率；3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；4.用导数计算极值或最大值；5.利用导数求实际问题最优解.本章的难点：导数和定积分的综合应用是微积分的核心概念之一，由于其广泛的应用，也是中学选课内容中较为重要的知识之一，它为我们解决函数和序列问题提供了一种更通用、更有效的方法。

因此，本章的知识往往反映在高考试题中函数、序列等相关的最大不等式问题上。

它不仅研究了数字和形状的结合，还通过分类讨论了概念，考查学生灵活运用所学知识和方法的能力。

考题可以以多项选择题或填空题的形式考查导数和定积分的基本运算和简单几何意义，全面考核学生以解题的形式分析问题、解决问题的能力知识网络3.1衍生工具的概念和操作典例精析第一类导数的概念【例1】已知函数f(x)＝2ln3x＋8x，求f（1-2）δx）－f（1）δx的值【解析】由导数的定义知：f（1－2δx）－f（1）δx＝2f（1－2δx）－f（1）－2δx＝2f′（1）＝20。

高三数学理一轮复习课件教案教案课程知识

考情
证明含综合法与分析法;间接证明的一种基本方法是反证法
课时知能训练
菜单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证：1＋y x<2 或1＋x y<2 中至少有
探究 ·
提
一个成立．
知
能
自主
【证明】假设1＋y x<2 和1＋x y<2 都不成立，
·
明
明理由
考
情
思路点拨根据理想函数的定义;证明gx满足理想函数的三个
Hale Waihona Puke 条件即可课时
知
能
训
练
菜单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
究
尝试解答 gx＝2x1x∈0;1是理想函数
· 提
证明如下：∵x∈0;1;
知能
自
∴2x≥1;∴2x1≥0;即对任意x∈0;1;总有fx≥0;满足条件①
主
落实
即证明|a－c|< c2－ab，
高考体
· 固基
即要证(a－c)2<c2－ab，即要证 a2－2ac<－ab，注意到 a>0，
础
即要证 a＋b<2c，
验 · 明考情
因此原不等式成立．,
课时知能训练
菜单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
反证法
例
探
已知 f(x)＝ax＋xx＋－12(a＞1)，
时知能
训
练
菜单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）

高三数学一轮复习教案5篇

高三数学一轮复习教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三数学一轮复习教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

高三数学一轮复习教案1一、夯实基础。

今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。

扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1、注重课本的基础作用和考试说明的导向作用;2、加强主干知识的生成，重视知识的交汇点;3、培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯;4、加强反思，完善复习方法。

二、解决好课内课外关系。

课内：1)例题讲解前，留给学生思考时间;讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正;讲解后，对解法进行总结。

对题目尽量做到一题多解，一题多用。

一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。

2)学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。

3)每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。

课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。

三、注重师生互动1、多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。

2、让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题;3、每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点;②怎样审题，怎样打开解题思路;③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里;④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。

高三数学第一轮教案模板范文

---课程名称：高三数学第一轮复习授课年级：高三授课班级：全班授课时间： 40分钟教学目标：1. 知识目标：- 系统复习高中数学的基础知识，包括代数、几何、三角函数、解析几何等。

- 巩固对概念、公式、定理的理解和应用。

2. 能力目标：- 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

- 提高学生的计算速度和准确性。

3. 情感目标：- 激发学生对数学的兴趣，培养学生克服困难的意志。

教学内容：本节课主要复习以下内容：1. 代数基础：实数的运算、二次函数、指数函数、对数函数等。

2. 几何基础：三角形、四边形、圆的基本性质和计算。

3. 三角函数：三角函数的定义、性质、图像和计算。

教学过程：一、导入新课（5分钟）1. 回顾上学期所学内容，引导学生回顾代数、几何、三角函数的基本概念和公式。

2. 提出本节课的学习目标，让学生明确学习方向。

二、知识梳理（15分钟）1. 代数基础：- 讲解实数的运算规则，强调运算的准确性。

- 通过例题讲解二次函数的性质和图像，让学生掌握二次函数的应用。

- 讲解指数函数和对数函数的定义、性质和图像，并进行相关计算练习。

2. 几何基础：- 回顾三角形、四边形的基本性质，讲解三角形内角和定理、平行四边形性质等。

- 讲解圆的基本性质，包括圆的半径、直径、圆心角等。

3. 三角函数：- 讲解三角函数的定义、性质和图像，强调特殊角的三角函数值。

- 讲解三角函数的诱导公式和恒等变换，进行相关计算练习。

三、例题讲解（10分钟）1. 选择典型例题，讲解解题思路和方法。

2. 引导学生分析解题步骤，总结解题技巧。

四、课堂练习（10分钟）1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

五、总结回顾（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：本节课通过系统复习高中数学基础知识，帮助学生梳理知识点，提高解题能力。

在教学过程中，应注意以下几点：1. 注重基础知识的教学，确保学生对基本概念、公式、定理的掌握。

高三数学(理科)第一轮复习计划(课堂PPT)

4、结合实际，分类复习。第一轮复习从7月开始，基础知识复习阶段。在这一阶段,重温高中阶段所学的课程,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识和整合的重要过程。
主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合, 以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,侧重点在各个知识点之间的融会贯通。
2、重视“通性、通法”的落实。（通法就是针对某一类题型所用的一贯套路进行求解）
要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上；放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上。
3、渗透数学思想方法, 培养数学学科能力。《考试说明》明确指出要考查数学思想方法, 要加强学科能力的考查。我们在复习中要加强数学思想方法的复习, 对于这些数学基本方法都要有意识地根据自己学习实际予以复习及落实。
7 、规范答题。切实做到对基础训练限时完成，加强运算能力的训练，严格答题的规范化，特别是那些书写“像雾像雨又像风”的同学要加强训练，确保基本得分。要求：平时训练，一律不得用铅笔书写。
第一轮复习重在全面打好基础
复习主要是全面梳理知识，夯实基础，建立了以知识板块为体系的知识和方法系统。要实现这一目标，首先是要充分调动自己学习的积极性！ • 强调基础，注重通性、通法 • 抓住细节，注重落实
5、立足课本,迅速激活已学过的各个知识点。
“回归”课本,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度；明确课本从前到后的知识结构,将整个知识体系框架化、网络化；
6 、资料选取以《导与练》和课本为主，制定精品学案为辅；
高考复习要结合高考的实际，也要结合自己的实际，要了解自己的全面情况，实行综合复习。对于自己好的方面，重在保持和提高；对于自己差的地方，重在补缺。

高三第一轮数学教案设计模板

一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握高三第一轮数学复习的总体内容；（2）熟练运用各种数学公式、定理、法则和解题技巧；（3）提高学生解决实际问题的能力。

2. 能力目标：（1）培养学生良好的数学思维习惯；（2）提高学生分析问题和解决问题的能力；（3）培养学生团队协作精神。

3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣；（2）培养学生热爱数学、勇于挑战的精神；（3）提高学生的自信心和抗挫折能力。

二、教学内容1. 复习范围：高中数学教材中的重点、难点和考点。

2. 复习内容：（1）函数与导数：函数的基本概念、性质、图像；导数的概念、计算、应用；（2）三角函数：三角函数的定义、性质、图像；三角恒等变换、解三角方程；（3）数列：数列的概念、性质、通项公式；数列求和、极限；（4）立体几何：空间几何图形的性质、计算；空间向量、向量运算；（5）解析几何：解析几何的基本概念、性质、方程；直线、圆、圆锥曲线的性质、方程；（6）概率统计：概率的基本概念、性质、计算；统计方法、数据分析。

三、教学过程1. 导入新课（1）回顾已学过的知识，让学生了解高三第一轮数学复习的重要性；（2）介绍复习计划，让学生对整个复习过程有清晰的认识。

2. 复习内容讲解（1）针对每个章节，详细讲解重点、难点和考点；（2）运用实例、图表等多种教学手段，帮助学生理解和掌握知识；（3）针对学生易错点，进行重点讲解和练习。

3. 练习与巩固（1）布置课后作业，让学生巩固所学知识；（2）课堂上进行课堂练习，及时发现问题并进行解答；（3）组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。

4. 总结与反思（1）总结本节课的收获，让学生明确自己的不足；（2）引导学生制定下一步的学习计划，提高学习效率。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度；2. 作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度；3. 测试与考试：定期进行测试，检验学生对知识的掌握情况。

【知识学习】XX届高考理科数学第一轮总复习不等式教案

XX届高考理科数学第一轮总复习不等式教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第十八章不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式≥2、向量形式|α|•|β|≥|α•β|、一般形式，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络18.1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f＝|x－1|＋|x－2|.解不等式f＞3；若f＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】因为f＝|x－1|＋|x－2|＝所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；当1≤x≤2时，f＞3无解；当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f＞3的解集为∪.因为f＝所以fmin＝1.因为f＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值范围是.【变式训练1】设函数f＝|x＋1|＋|x－2|＋a.当a＝－5时，求函数f的定义域；若函数f的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为.由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围.【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f且a≠0得|a＋b|＋|a－b||a|≥f.又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f.解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得12≤x≤52.【变式训练2】若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【解析】∪{2}.题型三利用绝对值不等式求参数范围【例3】设函数f＝|x－1|＋|x－a|.若a＝－1，解不等式f≥3；如果∀x∈R，f≥2，求a的取值范围.【解析】当a＝－1时，f＝|x－1|＋|x＋1|.由f≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x ≥3，不等式组的解集为.综上得f≥3的解集为.若a＝1，f＝2|x－1|不满足题设条件.若a＜1，f＝f的最小值为1－a.由题意有1－a≥2，即a≤－1.若a＞1，f＝f的最小值为a－1，由题意有a－1≥2，故a≥3.综上可知a的取值范围为.【变式训练3】关于实数x的不等式|x－122|≤122与x2－3x＋2≤0的解集分别为A，B.求使A⊆B的a的取值范围.【解析】由不等式|x－122|≤122⇒－122≤x－122≤122，解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}.由不等式x2－3x＋2≤0⇒[x－]≤0，①当3a＋1≥2，即a≥13时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，因为A⊆B，所以必有解得1≤a≤3；②当3a＋1＜2，即a＜13时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，因为A⊆B，所以解得a＝－1.综上使A⊆B的a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3.总结提高.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，x＜a的解集是；x＞a的解集是∪，它可以推广到复合型绝对值不等式ax＋b≤c，ax ＋b≥c的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如3x＋1≤x－1⇒1－x≤3x＋1≤x－1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如x－a＋x－b≥c和x－a＋x－b≤c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.18.2 不等式的证明典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lga＋c2＞lga＋lgb＋lgc.【证明】由a，b，c为正数，得lga＋b2≥lgab；lgb＋c2≥lgbc；lga＋c2≥lgac.而a，b，c不全相等，所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lga＋c2＞lgab＋lgbc＋lgac ＝lga2b2c2＝lg＝lga＋lgb＋lgc.即lga＋b2＋lgb＋c2＋lga＋c2＞lga＋lgb＋lgc.【点拨】本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求证：|ac＋bd|≤1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤a2＋c22＋b2＋d22＝a2＋b2＋c2＋d22.又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.题型二用作差法证明不等式【例2】设a，b，c为△ABc的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2.【证明】a2＋b2＋c2－2＝2＋2＋2－a2－b2－c2＝[2－c2]＋[2－a2]＋[2－b2].而在△ABc中，b－a＜c，所以2＜c2，即2－c2＜0.同理2－b2＜0，2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2＜0.故a2＋b2＋c2＜2.【点拨】不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m ＋n＝1，求证：a2m＋b2n≥2.【证明】因为a2m＋b2n－2＝na2＋mb2mn－nmmn＝na2＋mb2－2mnabmn＝n2a2＋m2b2－2mnabmn＝2mn≥0，所以不等式a2m＋b2n≥2成立.题型三用分析法证明不等式【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.【证明】因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[＋a][＋b][＋c]≥8[－a][－b][－c]，也就是证[＋][＋][＋]≥8.①因为＋≥2＞0，＋≥2＞0，＋≥2＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f＝x－aln.求f的单调区间；求证：当m＞n＞0时，n＜m.【解析】f′＝1－aln－a，①a＝0时，f′＞0，所以f在上是增函数；②当a＞0时，f在单调递减.证明：要证n＜m，只需证nln＜mln，只需证lnm＜lnn.设g＝lnx，则g′＝x1＋x－lnx2＝x－lnx2.由知x－ln在单调递减，所以x－ln＜0，即g是减函数，而m＞n，所以g＜g，故原不等式成立.总结提高.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法，而只是两种互逆的证明题的书写格式.8.3 不等式的证明典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：2＋2≥252.【证明】方法一：因为a＋b＝1，所以左边＝2＋2≥2[＋2]2＝12[＋4]2＝252＝右边.方法二：假设2＋2＜252，则a2＋b2＋4＋8＜252.由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋2＋12＜252.所以2＜0，这与2≥0矛盾.故假设不成立，所以2＋2≥252.【点拨】根据不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，选用重要不等式a2＋b2≥22来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b＝1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，…，an－1，an满足a0＝an＝0，且有a0－2a1＋a2≥0，a1－2a2＋a3≥0，…an－2－2an－1＋an≥0，求证：a1，a2，…，an－1≤0.【证明】由题设a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.假设a1，a2，…，an－1中存在大于0的数，假设ar 是a1，a2，…，an－1中第一个出现的正数.即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，则有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.这与题设an＝0矛盾.由此证得a1，a2，…，an－1≤0成立.题型二用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an＝1×2＋2×3＋…＋n，n∈N*，求证：n2＜an＜22.【证明】方法一：n2＜n＜n＋2，即n＜n＜2n＋12.所以1＋2＋…＋n＜an＜12[1＋3＋…＋].所以n2＜an＜12•2，即n2＜an＜22.方法二：①当n＝1时，a1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n＝k时，不等式成立，即k2＜ak＜22.则当n＝k＋1时，ak＋1＝1×2＋2×3＋…＋k＋，所以k2＋＜ak＋1＜22＋.而k2＋＞k2＋＝k2＋＝2，22＋＜22＋＋2＝k2＋4k＋42＝22.所以2＜ak＋1＜22.故当n＝k＋1时，不等式也成立.综合①②知当n∈N*，都有n2＜an＜22.【点拨】在用放缩法时，常利用基本不等式n＜n＋2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n22，…，Sn为其前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想Sn＝2－12.证明：①当n＝1时，S1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n＝k时等式成立，即Sk＝2－12.则Sk＋1＝Sk＋822＝2－12＋822＝22－222＝[2＋1]2－1[2＋1]2.即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N＋，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.求an的表达式；为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a，如果b＝1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？【解析】依题意得a1＝a－b＝54a－b，a2＝54a1－b＝54－b＝2a－b，a3＝54a2－b＝3a－[2＋]b，由此猜测an＝na－[n－1＋n－2＋…＋54＋1]b＝na－4[n－1]b.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝54a－b，猜测成立.②假设n＝k时猜测成立，即ak＝ka－4[k－1]b成立.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝54ak－b＝54ka－4[k－1]b－b＝k＋1a－4[k＋1－1]b，即当n＝k＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n∈N＋，猜测成立.当b＝1972a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a，所以na－4[n－1]•1972a＜79a，整理得n＞5，两边取对数得nlg54＞lg5，所以n＞lg5lg5－2lg2＝1－lg21－3lg2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系为y＝920vv2＋3v＋1600.在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】依题意，y＝9203＋≤9203＋21600＝92083，当且仅当v＝1600v，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax ＝92083≈11.1.由条件得920vv2＋3v＋1600＞10，整理得v2－89v＋1600＜0，即＜0，解得25＜v＜64.答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：添加或舍去一些项，如a2＋1＞a，n＞n；将分子或分母放大；利用基本不等式，如n＜n＋2；利用常用结论，如k＋1－k＝1k＋1＋k＜12k，k2＜1k＝1k－1－1k；k2＞1k＝1k－1k＋1；k2＜1k2－1＝1＝12.3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.8.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，…，an都为正实数，证明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.【证明】方法一：由柯西不等式，有≥2＝2.不等式两边约去正数因式a1＋a2＋…＋an即得所证不等式.方法二：不妨设a1≤a2≤…≤an，则a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an.由排序不等式有a21•1a2＋a22•1a3＋…＋a2n－1•1an＋a2n•1a1≥a21•1a1＋a22•1a2＋…＋a2n•1an＝a1＋a2＋…＋an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，…，a2na1＋a1≥2an，将这n个不等式相加得a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2，整理即得所证不等式.【点拨】根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.【证明】左边＝[2]＝[＋＋]≥2＝9，＋＋]＝3＋a＋bb＋c＋a＋bc＋a＋b＋ca＋b＋b＋cc＋a＋c ＋aa＋b＋c＋ab＋c≥3＋2＋2＋2＝9)所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.题型二用柯西不等式求最值【例2】若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.【解析】由柯西不等式得，≥2＝4，所以14≥4.所以x2＋y2＋z2≥27.故x2＋y2＋z2的最小值为27.【点拨】根据柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要给x2＋y2＋z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x＋2y＋3z的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x＋2y ＋z的最小值.【解析】因为[32＋2＋2]≥2≥2，所以2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23，当且仅当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z取最小值，最小值为－23.题型三不等式综合证明与运用【例3】设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥xn.【证明】当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：顺序和≥反序和得•1＋x•x＋x2•x2＋…＋xn•xn≥1•xn＋x•xn－1＋…＋xn－1•x＋xn•1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥xn.①又因为x，x2，…，xn，1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1•x＋x•x2＋…＋xn－1•xn＋xn•1≥1•xn＋x•xn－1＋…＋xn－1•x＋xn•1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥xn，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥xn.③当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn.由①②仍然成立，于是③也成立.综合，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34≥342＝934⇒S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。

【高三】2021届高考理科数学第一轮总复习不等式教案

【高三】2021届高考理科数学第一轮总复习不等式教案第七章不等式高考导航考试要求重难点击命题展望1.不平等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；（2）通过函数图像，我们可以了解一元二次不等式与相应的二次函数和一元二次方程之间的关系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元线性不等式和简单线性规划(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；（2）理解二元一阶不等式系统的几何意义，能用平面区域表示二元一阶不等式系统；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不平等：≥ （a、B）≥ 0)(1)了解基本不等式的证明过程；（2）能够用基本不等式解决简单的最大（最小）值问题本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.本章的难点：1.带参数不等式的求解；2.不平等的适用；3.线性规划不等式在高考中的应用具有应用广泛、知识全面、综合能力强的特点，它与函数、方程、级数、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题更具交叉性和综合性，并将不等式及其性质的应用渗透到这些问题的求解过程中线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.知识网络7.1 不等式的性质典型案例分析题型一比较大小[示例1]已知a>0≠ 1，P=loga（a3-a+1），q=loga（a2-a+1）。

试着比较P和Q的大小【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a>1时，a3-a+1>a2-a+1，P>Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，p＞q；总之，当a>0和a≠ 1，P>Q【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；② 变形；③ 判断符号；④ 得出结论【变式训练1】已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝x－2(x≥12)，则m，n之间的大小关系为( )a、 m＜nb。

高三一轮复习数学教案5篇最新

高三一轮复习数学教案5篇最新第一轮复习是对高中所学的数学知识进行全面的梳理和复习，即系统地整理知识，优化知识结构。

其指导思想是全面、扎实、系统、灵活。

全面———即全面覆盖;扎实———抓好单元知识的理解、巩固、深化;，今天小编在这里整理了一些高三一轮复习数学教案5篇最新，我们一起来看看吧!高三一轮复习数学教案1一、教材分析1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标a在知识上：理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为:①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的.推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。

同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。

二、学情教法分析：对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

【高三】2021届高考理科数学第一轮函数总复习教案

【高三】2021届高考理科数学第一轮函数总复习教案2.3 函数的奇偶性典例精析题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝；(2)f(x)＝【解析】(1)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝＝－，因为f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)为偶函数. (2)当x＜0时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)，当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)，所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数. 【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析 f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形. 【变式训练1】(2021广东)若函数f(x)＝3x＋与g(x)＝3x－的定义域均为R，则( ) A. f (x)与g(x)均为偶函数 B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 C. f (x)与g(x)均为奇函数 D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数【解析】B. 题型二由奇偶性的条件求函数的解析式【例2】若函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，求f(x)的解析式. 【解析】因为函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝0，从而得m＝0. 又f()＋f(－)＝0，解得n＝0. 所以f(x)＝(－1＜x＜1). 【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，求a，b的值. 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ . 又由f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. 题型三函数奇偶性的应用【例3】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求证：函数f(x)为奇函数； (2)求证：函数f(x)在R上是增函数；(3)在区间[－4,4]上，求f(x)的最值. 【解析】(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数. (2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，又x＞0时，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，所以函数f(x)在R上是增函数. (3)因为函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)在区间[－4,4]上也是增函数，所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4)，因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，故函数f(x)在区间[－4,4]上的最大值为12，最小值为－12. 【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值. 【变式训练3】定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(－1)＝，f(33)＝. 【解析】4；－2. 总结提高 1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形. 2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：f(－x)±f(x)＝0或＝±1 (f(x)≠0)进行处理. 3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解. 2.4 二次函数典例精析题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式. 【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知有解得a＝，b＝2，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1. 【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为x1－x2＝. 【变式训练1】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(c,0)，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是. 【解析】由已知x＝c为它的一个根，故另一根为1. 所以1＋b＋c＝0，又－＝2?b＝－4，所以c＝3. 所以f(x)＝x2－4x＋3. 题型二二次函数的最值【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)＋2x＞0的解集为(1,3). 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由f(x)＋6a＝0?ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，② 由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0?5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－. 因为a＜0，所以a＝－，代入①得f(x)＝－x2－x－. (2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－，又a＜0，可得[f(x)]max＝－. 由 ?a＜－2－或－2＋＜a＜0. 【点拨】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法. 【变式训练2】已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是. 【解析】[1,2]. 题型三二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程f(x)＝[ f(x1)＋f(x2)]，求证： (1)方程在区间(x1，x2)内必有一解； (2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m－，x2成等差数列，则－＜m2. 【证明】(1)令g(x)＝f(x)－[ f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)g(x2)＝[ f(x1)－f(x2)] [ f(x2)－f(x1)]＝－ [ f(x1)－f(x2)]2＜0，所以方程g(x)＝0在区间(x1，x2)内必有一解. (2)依题意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1，又f(m)＝[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c. 整理得a(2m2－x－x)＋b(2m－x1－x2)＝0， a(2m2－x－x)＋b＝0，所以－＝m2－＜m2. 【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－与区间的位置关系. 【变式训练3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数α，β，a，b大小关系为( ) A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 【解析】A. 总结提高 1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定. 2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点. 3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.2.5 指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算： (1) ； (2)(0.027) －(－)－2＋(2) －(－1)0. 【解析】(1)原式＝ ? ? ? ? ＝. (2)原式＝( －(－1)－2()－2＋( －1＝－49＋－1＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数. 【变式训练1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，求－的值. 【解析】a＋b＝，ab＝1. 原式＝2 ＝2(ab) ＝2. 题型二指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝，其中x∈R. (1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R上的增函数. 【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x∈R，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数. (2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－ = ＜0，所以f(x)是R上的增函数. 【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论. 【变式训练2】函数y＝的图象大致为( ) 【解析】A. 题型三指数函数的综合应用【例3】已知函数f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】f(x)＝2x－＝ (1)因为f(x)＝2，所以2x－＝2. 因为x≥0，所以2x＝1＋，解得x＝log2(1＋). (2)因为t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t－)＋m(2t－)≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1). 因为22t－1＞0，所以上式可化为m≥－(22t＋1). 又因为－(22t＋1)的最大值为－5，所以m≥－5. 故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数m的取值范围是[－5，＋∞). 【变式训练3】已知函数f(x)＝2x－1，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( ) A.a＜0，b＜0，c＜0 B.a＜0，b≥0，c＞0 C.2－a＜2c D.2a＋2c＜2 【解析】D. 总结提高 1.增强分类讨论的意识，对于根式的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. 2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制. 3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.2.6 对数与对数函数典例精析题型一对数的运算【例1】计算下列各题： (1)2(lg)2＋lg lg 5＋；(2). 【解析】 (1)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2lg 5＋＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1.(2)原式＝＝＝1. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形. 【变式训练1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3为. 【解析】由 ?lg 3＝. 题型二对数函数性质的应用【例2】设函数f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1). (1)求函数f(x)经过的定点坐标； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)解不等式log3(x－2)＜1. 【解析】(1)当x＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0). (2)当a ＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数. (3)不等式log3(x－2)＜1等价于不等式组解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5). 【变式训练2】已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为. 【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3. 题型三对数函数综合应用【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax). (1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题设知3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1. 因为a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜，所以a的取值范围为(0,1)∪(1，). (2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，所以a＝，此时f(x)＝(3－x). 当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立. 【变式训练3】给出下列四个命题：①函数f(x)＝ln x－2＋x在区间(1，e)上存在零点；②若f′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值；③若m≥－1，则函数y＝ (x2－2x－m)的值域为R；④“a＝1”是“函数f(x)＝在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.则其中正确的序号是(把全部正确命题的序号都填上). 【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正数，所以函数 y＝ (x2－2x－m)的值域为R，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得＝－，解得a＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a＝±1，故“a＝1”是“函数f(x)＝为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④. 总结提高 1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来. 2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件. 3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论. 4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.2.7 幂函数与函数的图象典例精析题型一幂函数的图象与性质【例1】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式； (2)问当x为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x). 【解析】(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xb，因为点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2. (2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知：①当x＞1或x＜－1时，g(x)＜f(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x). 【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y＝xa(a为常数)；②根据已知条件求出a的值；③写出幂函数的解析式. 本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1为分界点分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果. 【变式训练1】函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m. 【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是减函数. 所以m＝2. 题型二作函数图象【例2】作下列函数图象：(1)y＝1＋log2x； (2)y＝2x－1； (3)y＝x2－4. 【解析】(1)y＝1＋log2x的图象是：(2)y＝2x－1的图象是： (3)y＝x2－4的图象是：【变式训练2】在下列图象中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可能是( ) 【解析】A. 题型三用数形结合思想解题【例3】已知f(x)＝x2－4x＋3. (1)求f(x)的单调区间； (2) 求m的取值范围，使方程f(x)＝mx有4个不同实根. 【解析】递增区间为[1,2]，[3，＋∞)；递减区间为(－∞，1)，(2,3). (2)设y＝mx与y＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l与y＝f(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k，则0＜m＜k. 由 ?x2＋(k－4)x＋3＝0.① 令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±2. 当k＝4＋2时，方程①的根x1＝x2＝－?(1,3)，舍去；当k＝4－2时，方程①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合题意.故0＜m＜4－2. 【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数y＝mx与y＝f(x)的交点情况. 【变式训练3】若不等式x2－logax＜0对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围是( )A.0＜a＜1B.≤a＜1C.a＞1D.0＜a≤ 【解析】原不等式为x2＜logax，设f(x)＝x2，g(x)＝logax，因为0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)内的图象，如图所示. 因为f()＝，所以A(，)，当g(x)图象经过点A时，＝loga?a＝，因为当x∈(0，)时，logax＞x2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以≤a＜1，故答案为B. 题型四有关图象的对称问题【例4】设函数f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x). (1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域； (2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标. 【解析】(1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，所以v＝u＋.① 设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，所以 ? 代入①得2－y＝4－x＋?y＝x－2＋. 所以g(x)＝x－2＋，其定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). (2)联立方程得 ?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，当b＝0时，交点为(3,0)；当b＝4时，交点为(5,4). 【变式训练4】函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( ) A.－9 B.9 C.－3 D.0 【解析】因为f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键. 总结提高掌握描绘函数图象的两种基本方法�D�D描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况. 2.8 函数与方程典例精析题型一确定函数零点所在的区间【例1】已知函数f(x)＝x＋log2x，问方程f(x)＝0在区间[，4]上有没有实根，为什么？【解析】因为f ()＝＋log2＝－2＝－＜0， f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f() f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在区间[，4]是连续的，所以函数f(x)在区间[，4]上有零点，即存在c∈[，4]，使f(c)＝0，所以方程f(x)＝0在区间[，4]上有实根. 【点拨】判断函数f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：①函数f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；②f(a) f(b)＜0. 【变式训练1】若x0是函数f(x)＝x＋2x－8的一个零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)＝. 【解析】因为函数f(x)＝x＋2x－8在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点x0，所以[x0]＝2. 题型二判断函数零点的个数【例2】判断下列函数的零点个数. (1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)； (2)f(x)＝x－4＋log2x. 【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有两个不同的零点. (2)因为函数f(x)＝x－4＋log2x在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点. 【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法： (1) 方程f(x)＝0的根的个数即为函数f(x)的零点个数； (2)函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；特殊情况下，还可以将方程f(x)＝0化为方程g(x)＝h(x)，然后再看函数y＝g(x)与y＝h(x)的交点个数. 【变式训练2】问a为何值时，函数f(x)＝x3－3x＋a有三个零点，二个零点，一个零点？【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此时f(x)有极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a.由图象(图略)得知：当－2＜a＜2时，函数f(x)有三个零点；当a＝－2或a＝2时，函数f(x)有两个零点；当a＜－2或a＞2时，函数f(x)有一个零点. 题型三利用导数工具研究函数零点问题【例3】设函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a的取值范围. 【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4. 由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由f′(x)＜0，得－2＜x＜. 故f(x)的递增区间为(－∞，－2)、(，＋∞)， f(x)的递减区间为(－2，). (2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x －a2＋2a＝0，令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a. 所以g′(x)＝3x2＋4x－4. 由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(，＋∞)上递增，在(－2，)上递减，故g(x)在[－3，－2]和[，2)上为增函数，在[－2，]上为减函数. 关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个不同的零点，则解得－2＜a≤－1或3≤a＜4. 【点拨】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f(x)的大致图形，找到满足题设的a的条件. 【变式训练3】已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则的取值范围为( ) A.(－1，－) B.(－∞，)∪(1，＋∞) C.(，1) D.(，2) 【解析】因为f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可知，画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，表示可行域内的点与点D(1,2)的连线的斜率，记为k，观察图形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝＝，kBD＝＝1，所以＜＜1，故选C. 总结提高函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a，b)内有零点时，未必f(a) f(b)＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.2.9 函数模型及其应用典例精析题型一运用指数模型求解【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？【解析】已知本金为a元， 1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)； 2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； 3期后的本利和为y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r ＝a(1＋r)3；? ? x期后的本利和为y＝a(1＋r)x. 将a＝10 000， r＝2.25%，x＝5代入上式得 y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8，所以5期后的本利和是11 176.8元. 【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝N(1＋p)x. 【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( ) A.(1＋p)12－1 B.(1＋p)12 C.(1＋p)11 D.12p 【解析】今年十二月产值为a(1＋p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选A. 题型二分段函数建模求解【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2 000元. (1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？ (2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？【解析】设该店月利润额为L，则由假设得 L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，① (1)当14≤p≤20时，由L≥0得18≤p≤20，当20＜p≤26时，由L≥0得20＜p≤22，故商店销售价应控制在18≤p≤22之内. (2)当18≤p≤20时，L最大＝450元，此时，p＝19.5元. 当20＜p≤22时，L最大＝416元，此时，p＝20元. 故p＝19.5元时，月利润最大余额为450元. (3)设可在n年内脱贫，依题意得12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20，即最少可望在20年后脱贫. 【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义. 【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000，所以此人稿费为5 000元. 题型三生活中的优化问题【例3】(2021湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去). 当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. 【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由其他数据进一步判断. 【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为x＝，y＝. 【解析】如图，由已知有＝，即4x＋5y－120＝0， S＝xy＝(4x 5y)≤()2＝180. 所以 ?x＝15，y＝12. 总结提高利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增长变化规律.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，它们的增长存在很大的差异，如指数函数增长是指数“爆炸”，对数函数增长是逐步趋于平衡，而幂函数增长远低于指数函数，因此建立恰当数学模型并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测具有很强的现实意义.函数的综合应用感谢您的阅读，祝您生活愉快。

XX届高考理科数学第一轮总复习教案

XX届高考理科数学第一轮总复习教学设计本资料为woRD 文档，请地点下载全文下载地点第五章三角函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.认识随意角的观点和弧度制的观点，能进行弧度与角度的互化 .2.理解随意角三角函数的定义 .3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π ±α的正弦、余弦、正切的引诱公式，能画出 y＝ sinx ，y＝ cosx ，y＝ tanx的图象，认识三角函数的周期性.4. 理解正弦函数、余弦函数在[0,2 π] 上的性质，理解正切函数在上的单一性.5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x ＋cos2x ＝ 1，＝t anx.6.认识函数 y＝ Asin 的物理意义，能画出函数 y＝ Asin的图象，认识参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实质问题，领会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型 .8.会用向量的数目积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题，可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题.本章要点： 1. 角的推行，三角函数的定义，引诱公式的运用； 2. 三角函数的图象与性质，y＝ Asin的性质、图象及变换； 3. 用三角函数模型解决实质问题；4.以和、差、倍角公式为依照，提升推理、运算能力；5. 正、余弦定理及应用 .本章难点： 1. 随意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数分析式变换的内在联系； 2. 灵巧运用三角公式化简、求值、证明； 3. 三角函数的奇偶性、单一性的判断，最值的求法； 4. 探究两角差的余弦公式； 5. 把实质问题转变为三角函数问题 .三角函数是基本初等函数，是描绘周期现象的重要数学模型 . 三角函数的观点、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一 . 在高考取主要考察对三角函数观点的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等. 解三角形的问题常常与其余知知趣联系，考察考生的数学应意图识，表现以能力立意的高考命题原则.知识网络5.1随意角的三角函数的观点典例精析题型一象限角与终边同样的角【例1】若α是第二象限角，试分别确立2α、的终边所在的象限 .【分析】由于α 是第二象限角，所以 k360°＋ 90°＜α＜k360 °＋ 180° .由于2k360°＋ 180°＜ 2α＜2k360 °＋ 360°，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上 .由于 k180°＋ 45°＜α 2＜k180°＋ 90°，当 k＝ 2n 时， n360°＋ 45°＜α 2＜ n360°＋ 90°，当 k＝ 2n＋ 1 时，n360°＋ 225°＜α 2＜n360°＋ 270° .所以α 2 是第一或第三象限角.【点拨】已知角α 所在象限，应娴熟地确立α 2所在象限.假如用α 1、α 2、α3、α 4 分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42 散布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角，熟记右图，解相关问题就方便多了 .【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是A.第一象限角B.第一或第二象限角c.第一或第三象限角D.第一或第四象限角【分析】由题意 2kπ＜ 2α＜2k π＋π ， k∈Z，得 kπ＜α＜ kπ＋π 2， k∈ Z.当 k 是奇数时，α是第三象限角 .当 k 是偶数时，α是第一象限角 . 应选 c.题型二弧长公式，面积公式的应用【例 2】已知一扇形的中心角是α ，所在圆的半径是R.若α＝ 60°， R＝ 10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；若扇形的周长是必定值 c，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值 .【分析】设弧长为l ，弓形面积为S 弓，由于α＝ 60°＝π 3，R＝ 10cm，所以 l ＝ 10π 3cm，S弓＝ S 扇－ S ＝12× 10× 10π 3－ 12× 102× sin60 °＝50cm2.由于 c＝2R＋ l ＝2R＋α R，所以 R＝ c2＋α，S 扇＝ 12αR2＝12α2＝ c22αα2＋4α＋ 4＝ c221α＋ 4 α＋ 4≤c216 ，当且仅当α＝4α时，即α＝2 时，扇形的面积有最大值为 c216.【点拨】用弧长公式l ＝ | α |R 与扇形面积公式S＝ 12lR ＝12R2| α | 时，α的单位一定是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长c 有最小值？并求出最小值 .【分析】由于 S＝12Rl ，所以 Rl ＝2S，所以周长 c ＝ l ＋2R≥ 22Rl ＝ 24S＝4S，当且仅当 l ＝ 2R 时， c ＝4S，所以当α＝lR ＝ 2 时，周长 c 有最小值4S.题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例 3】已知角α的终边与函数 y＝ 2x 的图象重合，求sin α；求知足 sinx ≤32 的角 x 的会合 .【分析】由⇒ 交点为或，所以 sin α＝± 255.①找终边：在y 轴正半轴上找出点，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2 两点，连结 oP1、oP2，则为角 x 的终边，并写出对应的角.②画地区：画出角x 的终边所在地点的暗影部分.③写会合：所求角x 的会合是 {x|2k π －4π 3≤ x≤ 2kπ＋π 3，k∈ Z}.【点拨】三角函数是用角α 的终边与单位圆交点的坐标来定义的，所以，用定义求值，转变为求交点的问题. 利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简短、直观.【变式训练3】函数y ＝lgsinx＋cosx－12的定义域为.【分析】⇒2k π＜ x≤ 2kπ＋π3，k ∈Z.所以函数的定义域为{x|2k π＜x ≤2k π＋π 3， k ∈Z}.总结提升. 确立一个角的象限地点，不单要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采纳的量角制度一定相一致，防备出现诸如 k•360 °＋π 3 的错误书写 .3.三角函数线拥有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙 .5.2同角三角函数的关系、引诱公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用引诱公式的要点是符号，前提是将α 视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练【分析】 f1】已知 f ＝1－x ，θ ∈，则 f ＋f ＝＋f ＝1－sin2 θ＋ 1＋sin2 θ＝ 2＋ 2＝|sin.θ－c os θ| ＋ |sin θ＋ cos θ|.由于θ ∈，所以 sin θ－ cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜ 0.所以 |sin θ － cos θ | ＋ |sin θ＋ cos θ | ＝ sin θ － cos θ－ sin θ －cos θ＝－ 2cos θ .题型二三角函数式的求值问题【例 2】已知向量a＝， b＝ .若 a∥ b，求 tan θ的值；若|a| ＝|b| ，0＜θ＜π，求θ的值 .【分析】由于 a∥b，所以 2sin θ＝ cos θ－ 2sin θ，于是 4sin θ＝ cosθ，故 tan θ＝ 14.由|a| ＝|b| 知， sin2 θ＋ 2＝ 5，所以 1－2sin2 θ＋ 4sin2 θ＝ 5.进而－ 2sin2 θ＋2＝4，即 sin2 θ＋cos2 θ＝－ 1，于是 sin ＝－ 22.又由 0＜θ＜π知，π 4＜2θ＋π 4＜ 9π4，所以 2θ＋π 4＝5π 4 或 2θ＋π4＝7π4.所以θ＝π 2 或θ＝ 3π 4.【变式训练 2】已知 tan α＝12，则 2sin αcos α＋ cos2 α等于A.45B.85c.65D.2【分析】原式＝2sin α cosα＋ cos2 α sin2 α＋cos2 α＝2tan α＋ 11＋ tan2 α＝ 85. 应选 B.题型三三角函数式的简单应用问题【例 3】已知－π2＜ x＜ 0 且 sinx ＋cosx ＝ 15，求：sinx － cosx 的值；sin3 ＋ cos3 的值 .【分析】由已知得2sinxcosx ＝－ 2425，且 sinx ＜0＜ cosx ，所以sinx － cosx ＝－ 2＝－ 1－ 2sinxcosx ＝－ 1＋ 2425 ＝－ 75.sin3 ＋ cos3 ＝cos3x －sin3x ＝＝75×＝ 91125.【点拨】求形如 sinx ± cosx 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求 sinx ± cosx 取值符号 .【变式训练3】化简 1－cos4 α －sin4 α 1－ cos6 α－ sin6 α.【分析】原式＝1－ [2 －2sin2 αcos2 α ]1 － []＝2sin2 α cos2 α 1－ [2 － 3sin2 α cos2 α] ＝ 23.总结提升. 关于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只假如“同一个角”，那么基本关系式就建立，如：sin2＋cos2 ＝1是恒建立的 .2.引诱公式的重要作用在于：它揭露了终边在不一样象限且拥有必定对称关系的角的三角函数间的内在联系，进而可化负为正，化复杂为简单 .5.3两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例 1】化简 .【分析】由于0＜θ＜π，所以 0＜θ 2＜π 2，所以原式＝＝＝－ cos θ.【点拨】先从角度一致下手，将θ化成θ 2，而后再观察构造特点，如本题中sin2 θ2－cos2 θ2＝－ cosθ .【变式训练1】化简 2cos4x － 2cos2x ＋ 122tansin2.【解析】原式＝ 1222tancos2 ＝ cos22x4cossin＝cos22x2sin ＝ 12cos2x.题型二三角函数式的求值【例 2】已知 sinx2 －2cosx2 ＝0.求 tanx 的值；求 cos2x2cossinx 的值 .【分析】由sinx2 －2cosx2 ＝0⇒tanx2 ＝ 2，所以tanx ＝＝ 2× 21－22＝－ 43.原式＝ cos2x － sin2x2sinx＝sinx ＝ cosx ＋ sinxsinx＝1tanx＋1＝＋1＝14.【变式训练2】 2cos5 °－ sin25 ° sin65 °＝.【分析】原式＝ 2cos －sin25 °cos25 °＝ 3cos25 °cos25 °＝3.题型三已知三角函数值求解【例 3】已知 tan ＝ 12， tan β＝－ 17，且α，β∈，求2α －β的值 .【分析】由于tan2 ＝ 2tan1 －tan2 ＝43，所以 tan ＝tan[2 ＋β] ＝ tan2 ＋tan β 1－ tan2tan β＝ 1，又 tan α＝ tan[ ＋β ] ＝ tan ＋ tan β1－ tantan β＝ 13，由于α ∈，所以 0＜α＜π4，又π 2＜β＜π，所以－π＜2α －β＜ 0，所以 2α －β＝－ 3π4.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要依据三角函数值的符号和大小将角的范围适合减小.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin ＝ 2sin α，则α 与β 的大小关系是A.α＝βB.α＜βXX届高考理科数学第一轮总复习教学设计c.α＞βD.以上都有可能【分析】方法一：由于2sin α＝ sin ≤ 1，所以 sin α ≤12，又α是锐角，所以α≤ 30°.又当α＝ 30°，β＝60°时切合题意，应选 B.方法二：由于2sin α＝ sin ＝sin α cosβ＋ cos αsin β＜s in α＋ sin β，所以 sin α＜ sin β .又由于α、β是锐角，所以α＜β，应选 B.总结提升. 两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.它可以解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；对公式会“正用” 、“逆用”、“变形使用” ；掌握角的演变规律，如“2α＝＋”等 .2.经过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转变，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式建立的条件 .11 / 11。

高三数学(理科)一轮复习全套导学案

高三数学理科复习1----集合的概念及运算【高考要求】：集合及其表示（A ）；子集（B ）；交集、并集、补集（B ）.【教学目标】:1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关系、包含关系）.了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集.理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集.会用Venn 图表示集合的关系及运算.课前预习:1、用适当的符号（),,,,⊃⊂=∉∈填空：{}{}{}.,12___,12;___;____14.3;___*z k k x x Z k k x x N N Q Q ∈-=∈+=π2、用描述法表示下列集合：（1）由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合；.（2）{}49,36,25,16,9,4,1,0-------.3、集合A={}c b a ,,的子集个数为_____________,真子集个数为.4、若,B B A = 则A____B;若A B=B,则A______B;A B_____A B.5、已知集合A={}a ,3,1,B={}1,12+-a a ，且B ⊆A,则a =_________________.6、设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系是___. 例题评析:例1、已知集合{}620≤+<=ax x A ，{}421≤<-=x x B（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）A,B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.例2、（1）已知R 为实数集，集合{}0232≤+-=x x x A .若 B R A C R =，{}0123R B C A x x x =<<<<或，求集合B; (2)已知集合{}0,a M =,{}Z x x x x N ∈<-=,032,而且{}1=N M ，记,N M P =写出集合P 的所有子集.例3、已知集合(){}02,2=+-+=y mx x y x A ，(){}20,01,≤≤=+-=x y x y x B ，如果φ≠B A ，求实数m 的范围.课后巩固：1、已知集合{}a a a A ++=22,2，若3A ∈，则a 的值为.2、已知A={}R x x x y y A ∈--==,122,{}82<≤-=x x B ,则集合A 与B 的关系是____.3、设{}0962=+-=x ax x M 是含一个元素的集合，则a 的值为__________________. 4、设{}03522=--=x x x M ，{}1==mx x N .若M N ⊂，则实数m 的取值集合为_____.5、设集合{}Z x x x I ∈<=,3，{}2,1=A ，{}2,1,2--=B ，则()=B C A I ___________. 6、已知集合{}3<=x x M ，{}1log 2>=x x N ，则N M =_______________________. 7、设集合(){}32log ,5+=a A ，集合{}b a B ,=.若{}2=B A ，则B A =_______________.8、设集合{}30≤-≤=m x x A ，{}30><=x x x B 或分别求满足下列条件的实数m 的取值范围.(1);φ=B A (2)A B A = .9、设{}042=+=x x x A ，{}01)1(222=-+++=a x a x x B (1)若B B A = ，求a 的值；（2）若B B A = ，求a 的值.矫正反馈:高三数学理科复习2----函数的概念【高考要求】：函数的有关概念(B).【教学目标】理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则）,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.【教学重难点】：函数概念的理解.【知识复习与自学质疑】1、设集合M={}02x x ≤≤，N={}02y y ≤≤，从M 到N 有五种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有____.2、函数0y=的定义域____________.3、函数21()lg ()1f x x R x=∈+的值域为_. 4、若函数(1)f x +的定义域为[]0,1，则函数(31)f x -的定义域为_.5、已知2(2)443()f x x x x R +=++∈，则函数()f x 的值域为.【交流展示与互动探究】例1、求下列函数的定义域:(1)12y x =-y = （3）已知()f x 的定义域为[]0,1，求函数24()()3y f x f x =++的定义域.例2、若函数y =R ，求函数a 的取值范围.例3、求下列函数的值域：(1)242y x x =-+-[)0,3x ∈ (2)y x =+221223x x y x x -+=-+【矫正反馈】(A)1、从集合{}0,1A =到集合{},,B a b c =的映射个数共有个.(A)2、函数y =的值域为____________.(A)3、函数(32)(21)log x x y --=的定义域为________________.(A)4、设有函数组：①211()x x f x --=，()1g x x =+；②()f x ，()g x =③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-。