届高考理科数学第一轮总复习教案

学案37合情推理与演绎推理

导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

自主梳理

自我检测

1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)

等于()

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

3．(2009·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

4．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．

5．(2011·苏州月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．

探究点一归纳推理

例1在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝

2a n

2＋a n ，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．

变式迁移1 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝3

4；

②sin 26°＋cos 2

36°＋sin 6°cos 36°＝34.

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

探究点二 类比推理

例

2 (2011·银川月考)在平面内，可以用面积法证明下面的结论：

从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，

p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c

h c

＝1.

请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．

变式迁移2在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则

△ABC的外接圆半径r＝a2＋b2

2，将此结论类比到空间有

_______________________________________________．探究点三演绎推理

例3在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足．求证：AB的中点M到D、E的距离相等．

变式迁移3指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？

证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．

1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·福建厦门华侨中学模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()

A ．

B *D ，A *D B ．B *D ，A *

C C ．B *C ，A *D

D ．C *D ，A *D 2．(2011·厦门模拟)设f (x )＝1＋x

1－x

，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，

k ＝1,2，…，则f 2 010(x )等于( )

A ．－1

x B ．x

3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；

⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a

b

”．

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．

下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A ．289

B ．1 024

C ．1 225

D ．1 378 5．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )

A ．(3,8)

B ．(4,7)

C ．(4,8)

D ．(5,7)

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．已知正三角形内切圆的半径是高的1

3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________________