2013年下半年教师资格证真题及答案解析(高中数学)

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a12 a22 a32 a1a2 a2a3 a3a1 。 证明(1) (z a1)(z a2 )(z a3 ) z3 a1a2a3 ；（6 分） (2)以 a1, a2 , a3 为顶点的三角形为正三角形。（4 分）
四、论述题（本大题 1 小题，15 分） 15.阐述用二分法求解方程近似解的适用范围及步骤，并说明高中学术新课程中引入二分法的意义。
5. 光滑函数 f (x) 的图象如图所示，下列关系式正确的是( )。
y
123 4
x
A. 0 f '(2) f '(3) f (3) f (2) B. 0 f '(3) f (3) f (2) f '(2) C. 0 f '(3) f '(2) f (3) f (2) D. 0 f (3) f (2) f '(2) f '(3)
让学生享受参与的快乐，面对一个未知领域，学生充满了强烈的好奇，非常希望去尝试一番，希望自 己是一个发现者、研究者、探索者。对自己亲自实践得到的知识，会理解的更加深刻。教师要顺应学生的 这种需求，让学生品尝参与的乐趣，强化获取知识的主动性。在课堂上让学生充分感受到了自己是这节课 的主人，要用智慧和知识解决问题，体验了主动参与的快乐，使学习成为学生生活中重要的感情经历。
12合作者，请解释教师的引导作 用主要体现在那些方面？
13.分别解释学习心理学中“同化”与“顺应”的含义，并举例说明“同化”在数学概念学习中的作 用？
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
14.设 a1, a2 , a3 是复平面上的三个数， a1 a2 a3 0 ，且满足等式
5
六、教学设计题（本大题 1 小题．30 分） 17.高中“函数概念”（第一节课）设定的教学目标如下： ①通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会数学 应用的广泛性；体会函数的实质是两个集合间的特殊对应关系： ②理解函数表达形式的多样性 ③理解函数的定义。 完成下列设计，并且回答问题： (1)根据教学目标①②，至少设计三个实例，并说明设计意图。 (2)根据教学目标③，至少设计两个例题，并说明设计意图。 (3)本节函数概念教学与初中函数概念教学有什么不同？本节课教学的重点、难点各是什 么？请说明理由。
D．由于算法思想和计算机关系密切，所以我国古代没有算法思想
8．下列哪位数学家不是微积分的创始人( )。
A．伽罗华 B．牛顿 C．费尔马 D．莱布尼茨
二、简答题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9．设 f (x) 1 ex 。(1)求 f (x) 的反函数 f 1(x) ； f (x) 的图象和 f 1(x) 的图象关于哪条直线对称？ 2
(2)点 P 在 f (x) 的图象上，点 Q 在 f 1(x) 的图象上，求 PQ 的最小值。
10．已知矩阵 M
1 0
11 ，求曲线 y2 x y 0 在矩阵 M 1 对应的线性变换作用下得到的曲线方程。
2
11. 设 f (x) 是区间 a,b上的连续函数，证明：存在 a,b，使得 a f (x)dx f ( )(b a) 。 b
8．【答案】A。解析：费尔马是微积分的先驱者，早在牛顿、莱布尼茨之前，他就提出用微分子法求 极大、极小的步骤，并给出求曲线围成图形的面积的方法。埃瓦里斯特·伽罗华(6variste Galois．公元
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1811 年~公元 1832 年。从民国起至今，其中文译名为伽罗瓦的情况更多)是法国对函数论、方程式论和数 论作出重要贡献的数学家。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。费马建立了 求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。故选 A。
13．【参考答案】同化是指有机体面对一个新的刺激情景时，把刺激整合到已有的图式或认知结构中。 顺应是指当有机体不能利用原有图式接受和解释新刺激时，其认知结构发生改变来适应刺激的影响。同化 论，强调新旧知识的相互作用涉及上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式；强调概念和命题的不断 分化和综合贯通；强调原有知识的巩固及教材由一般到个别的循序组织。实际应用中，要了解学生对新旧 知识的掌握程度及接受能力，用耳熟能详的“已知”内容去教导“未知”内容。比如我们在学习椭圆的时 候，可以从圆类比着来学习。
学生 1：设 BC= x ，AC= 2x
则 由 余 弦 定 理 得 出 ： cos A x2 4 ， 所 以 sin A x4 24x2 16 。 故
4 2x
4 2x
S ABC
1 2
AB
AC
sin
A
x4 24x2 16 。当 x2 12 ，即 x 2 4
3 时， SABC 有最大值，最大值为
2 2。 学生 3：建立直角坐标系，点 A、B 的坐标分别为（-1，O），(1，0)，设点 C 的坐标为 (x, y) ，则
AC (x 1)2 y2 , BC (x 1)2 y2 。 代 入 AC 2BC ， 化 简 得 点 C 的 轨 迹 为 圆 ：
(x 3)2 y2 8( y 0) ，易知，当点 C 坐标为 (3,2
1
6．已知正方形 ABCD 的边长为 l，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值( )。
A．大于 1
B．小于 1
C．等于 1
D．以上都不对
7．下列观点不正确的是( )。
A．算法是现代数学的最重要组成部分
B．算法内容可以提高学生的逻辑思维能力
C．顺序结构、选择结构、循环结构是算法程序框图的三种基本结构
A．第 4 项 B．第 5 项 C．第 6 项 D．第 4 和第 5 项
2．已知 a 1,0 x y 1，则下列关系式正确的是( )。
A． a x a y B． xa ya C. logx a log y a D. loga x loga y
3．若 M、N 均为 n 阶矩阵，则必有( )。
二、简答题
9．【参考答案】(1)
，则
，故广
，关于 y=x 对称。
(2)设点 P
，P 到直线 y=x 的距离为 d，则 d= 。所以 PQ 取最小值时，应该是 PQ 与直线
y=x 垂直，则 D=|PQ|=2d=
。则
，令 =O 求得
取得最小值。则最后求得的最小值带入上式中得到：|PQ|=2d= (l-ln2)。
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。 16.案例：
题目：如图 2，在△ABC 中，已知 AB=2，AC= 2BC ，求△ABC 面积的最大值。
A
B
C
4
图2
教学环节一
教师：请大家仔细读题，（几分钟后）说说你的想法。
学生 l：设 BC= x ，AC=
2
BC，由
S ABC
1 2
10．【参考答案】由于
,则
在此处
设：
则
,带入原曲线方程得：
，化简可得算
，即
。
11.【参考答案】由 f(x)是区间[a,b]上的连续函数，故存在最大值 M 和最小值 m，使得 m≤f(x)≤M，所
以有
, 由 于 b-a>0, 故 有
m
,由中值定理存在ε∈[a，b]，使得 f(ε)=
，化简得 f(ε)（b-a）=
出成
立。 12.【参考答案】学生是学习的主体，而教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。在每节课的教
学中教师应从学生熟悉的生活经验中寻找有意义的生活素材，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导 学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动富有个性地学习。在数学课堂教学中教师应从以下方面去引导探究学习知识。
通过归纳小结让学生从总体上理解和掌握知识及其应用，教学中要有目的、有意识、有计划地指导学 生在学习过程中领悟并及时提示他们掌握相应的学习方法，使他们逐步由“学会”到“会学”，不断提高 数学学习能力，培养了学生的合作精神，归纳概括的能力。
三、加强知识的应用。练习辅导是课堂教学的一个重要环节，是实现因材施教、提高教学质量的重要 措施。在练习辅导中，满足不同层次的学生的不同要求，为培养优秀尖子人才创造条件。对学习成绩较差 的学生应给予耐心细致、不厌其烦地个别辅导，给他们机会、口答问题，板演练习等，并经常给予鼓励、 表扬，在练习辅导中灵活的运用个别辅导和集体辅导艺术，及时反馈及时纠错。既能弥补学生掌握知识的 不足，又可以发现教师课堂教学的欠缺，有利于及时总结经验，不断的改进教学工作。
2)
时， (SABC )max
1 2
22
22
2。
教学环节三
教师引导学生比较不同解法，进行解题反思。
问题：
(1)你认为教学环节三中，教师可以从哪几方面引导学生进行解题反思？
(2)学生 1 和学生 3 的解法体现了数学解题中的两种通性通法，他们是什么？
(3)上面的教学过程，对你以后的教学工作有哪些启发？
AB
AC
sin
A
，可得一个关于
x
的函数表达式，于
是转化成函数最值问题。
学生 2：设 BC= x ，可得到用 x 表示的 SABC ，我发现它可以利用基本不等式求解。 学生 3：以线段 AB 中点为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，从解析几何角度
寻找最大值。 教师引导学生评价各种结题想法。 教学环节二 教师：这个问题大家有各自的想法，请按自己的想法解出答案。请同学 1 和同学 3 板演。
2013 年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
注意事项： 1．考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。 2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．设 an n2 9n 100(n 1,2,3) ，则数列{ an }中取值最小的项为( )。
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2013 年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（高级中学）专家详解
一、单项选择题 1．【答案】D。解析：将数列 看做一个一元二次多项式，开口向上在对称轴 n=4.5 处取得最小值， 但是数列中 n 为正整数，故在其附近找最小值。当 n=4 时， =120；当 n=5 时， =-120。故取最小值的 项为第 4 项和第 5 项。故选 D。
一、创设丰富有趣的数学情境。兴趣是学生探索新知的直接动力，兴趣高，学生才能学得积极主动， 思维才会敏捷灵活。恰当、适时的导入新课，它可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，使学生一上课 就有了明确的探索目标和正确的思考方向。
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二、充分发挥课堂教学作用。课堂教学应当使学生掌握数学知识，达到教学目标，获得一种基本技能、 数学思想以及数学活动的经验。教师也可以通过课堂的教学，可以根据自己在教学中的行为总结教学优点 以及不足，为以后能够更好地实施课堂教学工作经验积累。在教师指导下，让学生主动的获取知识、应用 知识，解决问题。
2．【答案】C。解析：特值法，令
。则 A 选项：
，错误。B 选项：
，
错误。C 选项：
，正确。D 选项：
3．【答案】B。
4．【答案】C。解析：
，错误。故选 C。 ，所以 (1) =0.8413，
又P
。
5．【答案】B。解析：从图形看可以看做抛物线：
。由于是选择题，为了方便
令 p =l，则
,由于光滑则可导得到，
在学生不断的探索、学习中，教师要注意根据不同的教学内容，采取不同的方法进行引导：有关概念 的概括，注意引导学生从诸多有关因素中，抽取出体现其本质特征的因素进行概括；对有关计算法则引导 学生根据计算的过程及步骤去归纳概括。对于有些计算公式，引导学生参与公式的推导过程，老师有意识 地引导学生经历由操作思维到形象思维最后到抽象思维的过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然，知 识理解深、记得牢、用得活。同时，还使学生初步掌握了一些归纳、概括数学知识的基本方法，提高了他 们学习数学知识的能力。
A. M N M N
B. MN NM
C. (MN )' M ' N '
D. (M N )2 M 2 2MN N 2
4．已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，1)且 P(2≤ x ≤4)=0.6826，则 P(X>4)=( ）。
A.0.1585 B.0.1586 C.0.1587 D.0.1588
。结合选项，先求出，
，
，
,
，则通过计算可以得到:
,
故选 B。
6. 【 答 案 】 C 。 解 析 ： 考 查 向 量 的 代 换 ， 在 正 方 形 中 AB 与 CB 垂 直 ：
故选 C。
7.【答案】D。解析：中国古代数学以实用为目的，直观性和机械化、程序化是它的的算法特点。所 以中国古代是有算法思想的。故选 D。