2013年下半年教师资格证真题及答案解析(高中数学)

2013年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）

注意事项：

1．考试时间为120分钟，满分为150分。

2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．设)3,2,1(10092

???=--=n n n a n ，则数列{n a }中取值最小的项为()。

A．第4项

B．第5项

C．第6项

D．第4和第5项

2．已知10,1<<<>y x a ，则下列关系式正确的是()。

A．y

x

a

a >B．a

a y

x > C.a

a y x log log > D.y

x a a log log >3．若N M 、均为n 阶矩阵，则必有()。

A.N M N M +=+

B.NM

MN =C.'

')'(N M MN = D.2

2

2

2)(N

MN M N M ++=+4．已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)且P(2≤x ≤4)=0.6826，则P(X>4)=(）。

A.0.1585

B.0.1586

C.0.1587

D.0.1588

5.光滑函数)(x f 的图象如图所示，下列关系式正确的是()。

y

1234x

A.)2()3()3(')2('0f f f f -<<<

B.)2(')2()3()3('0f f f f <-<<

C.)

2()3()2(')3('0f f f f -<<< D.)

3(')2(')2()3(0f f f f <<-<

6．已知正方形ABCD 的边长为l，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值()。

A．大于1B．小于1C．等于1

D．以上都不对

7．下列观点不正确的是(

)。

A．算法是现代数学的最重要组成部分B．算法内容可以提高学生的逻辑思维能力

C．顺序结构、选择结构、循环结构是算法程序框图的三种基本结构D．由于算法思想和计算机关系密切，所以我国古代没有算法思想8．下列哪位数学家不是微积分的创始人()。A．伽罗华

B．牛顿

C．费尔马

D．莱布尼茨

二、简答题（共5小题，每小题7分，共35分）9．设x

e x

f 2

1)(=

。(1)求)(x f 的反函数)(1x f -；)(x f 的图象和)(1x f -的图象关于哪条直线对称？(2)点P 在)(x f 的图象上，点Q 在)(1

x f -的图象上，求PQ 的最小值。

10．已知矩阵???

?

??=1011M ，

求曲线02=+-y x y 在矩阵1

-M 对应的线性变换作用下得到的曲线方程。

11.设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：存在[]b a ,∈ε，使得

?

-=a

b

a b f dx x f ))(()(ε。

12.数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者，请解释教师的引导作用主要体现在那些方面？

13.分别解释学习心理学中“同化”与“顺应”的含义，并举例说明“同化”在数学概念学习中的作用？

三、解答题（本大题1小题，10分）

14.设321,,a a a 是复平面上的三个数，0321=++a a a ，且满足等式

1332212

32221a a a a a a a a a ++=++。

证明(1)3213

321))()((a a a z a z a z a z -=---；（6分）(2)以321,,a a a 为顶点的三角形为正三角形。（4分）

四、论述题（本大题1小题，15分）

15.阐述用二分法求解方程近似解的适用范围及步骤，并说明高中学术新课程中引入二分法的意义。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。16.案例：

题目：如图2，在△ABC 中，已知AB=2，AC=BC 2，求△ABC 面积的最大值。

A

B

C

图2

教学环节一

教师：请大家仔细读题，（几分钟后）说说你的想法。学生l：设BC=x ，AC=2BC，由A AC AB S ABC sin 2

1

??=?，可得一个关于x 的函数表达式，于是转化成函数最值问题。

学生2：设BC=x ，可得到用x 表示的ABC S ?，我发现它可以利用基本不等式求解。学生3：以线段AB 中点为原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，从解析几何角度寻找最大值。

教师引导学生评价各种结题想法。教学环节二

教师：这个问题大家有各自的想法，请按自己的想法解出答案。请同学1和同学3板演。学生1：设BC=x ，AC=x

2则由余弦定理得出：x x A 244cos 2+=，所以x x x A 2416

24sin 24-+-=。故

4

1624sin 2124++-=

??=?x x A AC AB S ABC

。当122

=x ，即32=x 时，ABC S ?有最大值，最大值为22。

学生3：建立直角坐标系，点A、B 的坐标分别为（-1，O），(1，0)，设点C 的坐标为),(y x ，则

2222)1(,)1(y x BC y x AC +-=++=。代入BC AC 2=，化简得点C 的轨迹为圆：)0(8)3(22≠=+-y y x ，易知，当点C 坐标为)22,3(±时，222222

1

)(max =??=?ABC S 。

教学环节三

教师引导学生比较不同解法，进行解题反思。问题：

(1)你认为教学环节三中，教师可以从哪几方面引导学生进行解题反思？(2)学生1和学生3的解法体现了数学解题中的两种通性通法，他们是什么？(3)上面的教学过程，对你以后的教学工作有哪些启发？

六、教学设计题（本大题1小题．30分）

17.高中“函数概念”（第一节课）设定的教学目标如下：

①通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会数学应用的广泛性；体会函数的实质是两个集合间的特殊对应关系：

②理解函数表达形式的多样性

③理解函数的定义。

完成下列设计，并且回答问题：

(1)根据教学目标①②，至少设计三个实例，并说明设计意图。

(2)根据教学目标③，至少设计两个例题，并说明设计意图。

(3)本节函数概念教学与初中函数概念教学有什么不同？本节课教学的重点、难点各是什么？请说明理由。

2013年下半年中小学教师资格考试

数学学科知识与教学能力试题（高级中学）专家详解

一、单项选择题

1．【答案】D。解析：将数列看做一个一元二次多项式，开口向上在对称轴n=4.5处取得最小值，但是数列中n为正整数，故在其附近找最小值。当n=4时，=120；当n=5时，=-120。故取最小值的项为第4项和第5项。故选D。

2．【答案】C。解析：特值法，令。则A选项：，错误。B选项：，错误。C选项：，正确。D选项：，错误。故选C。

3．【答案】B。

4．【答案】C。解析：，所以(1)=0.8413，又P。

5．【答案】B。解析：从图形看可以看做抛物线：。由于是选择题，为了方便令p=l，则,由于光滑则可导得到，。结合选项，先求出，，，,，则通过计算可以得到:,故选B。

6.【答案】C。解析：考查向量的代换，在正方形中AB与CB垂直：

故选C。

7.【答案】D。解析：中国古代数学以实用为目的，直观性和机械化、程序化是它的的算法特点。所以中国古代是有算法思想的。故选D。

8．【答案】A。解析：费尔马是微积分的先驱者，早在牛顿、莱布尼茨之前，他就提出用微分子法求极大、极小的步骤，并给出求曲线围成图形的面积的方法。埃瓦里斯特·伽罗华(6variste Galois．公元

1811年~公元1832年。从民国起至今，其中文译名为伽罗瓦的情况更多)是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。故选A。

二、简答题

9．【参考答案】(1)，则，故广，关于y=x对称。

(2)设点P，P到直线y=x的距离为d，则d=。所以PQ取最小值时，应该是PQ与直线y=x垂直，则D=|PQ|=2d=。则，令=O求得在此处取得最小值。则最后求得的最小值带入上式中得到：|PQ|=2d=(l-ln2)。

10．【参考答案】由于,则

设：则,带入原曲线方程得：，化简可得算

，即。

11.【参考答案】由f(x)是区间[a,b]上的连续函数，故存在最大值M和最小值m，使得m≤f(x)≤M，所以有,由于b-a>0,故有

m,由中值定理存在ε∈[a，b]，使得f(ε)=，化简得f(ε)（b-a）=出成立。

12.【参考答案】学生是学习的主体，而教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。在每节课的教学中教师应从学生熟悉的生活经验中寻找有意义的生活素材，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动富有个性地学习。在数学课堂教学中教师应从以下方面去引导探究学习知识。

一、创设丰富有趣的数学情境。兴趣是学生探索新知的直接动力，兴趣高，学生才能学得积极主动，思维才会敏捷灵活。恰当、适时的导入新课，它可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，使学生一上课就有了明确的探索目标和正确的思考方向。

二、充分发挥课堂教学作用。课堂教学应当使学生掌握数学知识，达到教学目标，获得一种基本技能、数学思想以及数学活动的经验。教师也可以通过课堂的教学，可以根据自己在教学中的行为总结教学优点以及不足，为以后能够更好地实施课堂教学工作经验积累。在教师指导下，让学生主动的获取知识、应用知识，解决问题。

让学生享受参与的快乐，面对一个未知领域，学生充满了强烈的好奇，非常希望去尝试一番，希望自己是一个发现者、研究者、探索者。对自己亲自实践得到的知识，会理解的更加深刻。教师要顺应学生的这种需求，让学生品尝参与的乐趣，强化获取知识的主动性。在课堂上让学生充分感受到了自己是这节课的主人，要用智慧和知识解决问题，体验了主动参与的快乐，使学习成为学生生活中重要的感情经历。

在学生不断的探索、学习中，教师要注意根据不同的教学内容，采取不同的方法进行引导：有关概念的概括，注意引导学生从诸多有关因素中，抽取出体现其本质特征的因素进行概括；对有关计算法则引导学生根据计算的过程及步骤去归纳概括。对于有些计算公式，引导学生参与公式的推导过程，老师有意识地引导学生经历由操作思维到形象思维最后到抽象思维的过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然，知识理解深、记得牢、用得活。同时，还使学生初步掌握了一些归纳、概括数学知识的基本方法，提高了他们学习数学知识的能力。

通过归纳小结让学生从总体上理解和掌握知识及其应用，教学中要有目的、有意识、有计划地指导学生在学习过程中领悟并及时提示他们掌握相应的学习方法，使他们逐步由“学会”到“会学”，不断提高数学学习能力，培养了学生的合作精神，归纳概括的能力。

三、加强知识的应用。练习辅导是课堂教学的一个重要环节，是实现因材施教、提高教学质量的重要措施。在练习辅导中，满足不同层次的学生的不同要求，为培养优秀尖子人才创造条件。对学习成绩较差的学生应给予耐心细致、不厌其烦地个别辅导，给他们机会、口答问题，板演练习等，并经常给予鼓励、表扬，在练习辅导中灵活的运用个别辅导和集体辅导艺术，及时反馈及时纠错。既能弥补学生掌握知识的不足，又可以发现教师课堂教学的欠缺，有利于及时总结经验，不断的改进教学工作。

13．【参考答案】同化是指有机体面对一个新的刺激情景时，把刺激整合到已有的图式或认知结构中。顺应是指当有机体不能利用原有图式接受和解释新刺激时，其认知结构发生改变来适应刺激的影响。同化论，强调新旧知识的相互作用涉及上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式；强调概念和命题的不断分化和综合贯通；强调原有知识的巩固及教材由一般到个别的循序组织。实际应用中，要了解学生对新旧知识的掌握程度及接受能力，用耳熟能详的“已知”内容去教导“未知”内容。比如我们在学习椭圆的时候，可以从圆类比着来学习。

兰、解答题

14.【参考答案】(1)证明：(z-a 1)(2-a 2)(z-a 3)z 3-z 2（a 1+a 2+a 3）+z(a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1)-a 1a 2a 3由于a 1+a 2+a 3=0，

因此a l a 2+a 2a 3+a 3a 1=a l （-a 1-a 3）+a 2（-a 1-a 2）+a 3（-a 3-a 2）=-(a 12

+a 22

+a 32

)-（a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1）=-2（a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1）于是3（a l a 2+a 2a 3+a 3a 1）=0所以a l a 2+a 2a 3+a 3a 1=0

因此(z-a 1)(z-a 2)(z-a 3)=z 3-a 1a 2a 3

(2)证明：以a 1,a 2,a 3为顶点的三角形为正三角形等价于向量

绕a 1旋转或

一手即得向量

。

即,

两边平方得。

四、论述题

15.【参考答案】二分法求解方程近似解的适用范围：对于函数y=f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数。

步骤：给定精度ε，用二分法求函数f(x）的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；(2)求区间（a，b）的中点X l ;

(3)计算f(x 1)：①若f(x 1)=0，则x l 就是函数的零点；②若f(a)·f(x 1)<0，则令b=x 1（此时零点x 0∈（a，x l ））；③若f(x 1)·f(b)<0，则令a=x 1（此时零点x 0∈(x 1，b)）；(4)判断是否达到精度ε；

即若|a-b|<ε，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤(2)一(4)。

高中数学新课程中引入二分法的意义：首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具。其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修1中进行教学，“二分法”是数学教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”。再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近

的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体一局部”、“定性一定量”、“精确一近似”、“计算-技术”、“技法一算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值。

五、案例分析题

16．【参考答案】(1)引导学生剖析错解，引发反思意识；引导学生反思分析挫折的经历，积累解题经验；引导学生反思解题过程，变式推广问题；引导学生反思解题结果，引申已有结论。

(2)求最值，待定系数法。

(3)对我的启发很大，首先我认为，教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者，作为一名新课改的合格老师应做到以下：（D数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。②课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。③教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

六、教学设计题

17.【参考设计】(1)实例一：自由落体运动

铁球从500米高处自由落体，距离地面高度^随时间￡变化的规律是h=500-,(g=10m2/s)。这里，

铁球落地时间t的变化范围是数集A={t|O≤t≤10}，铁球距地面的高度h的变化范围是数集B={h|O≤h≤500}。

实例二：气温变化图

气温/ac

30

-60

根据图中曲线可知，时间的变化范围是A={t|1≤t≤12}，气温的变化范围是B={s|-15≤s≤30}，并且对于数集A中的每一个时刻，在数集曰中都有唯一确定的气温与之对应。

实例三：恩格尔系数变化表

年份199619971998199920002001城镇居民家庭恩格尔系数48.646.244.541.939.237.9

设计意图：以上三个实例中变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f,在数集B中都有唯一确定的y和它对应。例子的选取来自生活，体现出数学来源于生活并应用于生活，同时也易于学生理解。三个例子呈现出三种函数的表达形式即：解析式法，图象法和列表法。

(2)例题一：判断下列哪一个不是函数？

A．f(x)=x B．f(x)=±x C．f(x)=|x|D．f(x)=0

例题二：下列函数中哪一个与函数y=x相等？

A．y=B．y=C．y= D.y=

设计意图：例题一针对函数的定义中所强调对应关系，可以多对一，可以一对一，但是不可以一对多。例题二重点突出函数的三要素即定义域，值域和对应法则。在概念教学中，需要教师引导学生从不同侧面

去认识概念．全面把握概念的本质。

(3)高中函数概念与初中概念相比更具有一般性。实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的。不同点在于，表述方式不同——高中明确了集合、对应的方法。初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。与初中相比，高中引入了抽象的符号f(x)。f(x)指集合B中与并对应的那个数。当x确定时，f(x)也唯一确定。另外，初中并没有明确函数值域这个概念。

教学重点：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。然后再进一步理解它。

教学难点：对抽象符号y=f(x)的理解。

教学重难点设置理由：函数是中学数学的核心概念，而函数概念的核心是“对应”，正确理解函数的概念是基础。从具体到抽象才符合学生在学习的过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。抽象符号在数学中广泛使用，因此对于它的理解是难点也是重点。