值域(最值)问题常见类型及解法.

a

b

0
，则
a2

1 ab

a

1 a
b
的最小值
是（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【解析】选
D.
a2

1 ab

a
1
a
b
＝
a2

ab

ab

1 ab

1 a(a
b)
＝ ab 1 a(a b) 1 2+2=4 .
ab
a(a b)
当且仅当
ab 1, a(a b)
综上所述，函数 y
x2 5x 6 的值域为{
x2 x 6
y|
y1
且
y 1 }。 5
方法二：把已知函数化为函数
y

(x (x

2)( x 2)( x

3) 3)

x x

3 3
1
6 x+3
(x2)，
由
6 x+3

0
可得
y1，
1
1
∵ 当 x=2 时 y ，即 y ，
典例导悟
求函数 y

x2 5x 6 的值域。
x2 x 6
x 【解析】方法一：去分母得 (y1) 2 +(y+5)x6y6=0 ①
当 y1 时，∵xR ，∴ =(y+5) 2 +4(y1)×6(y+1) 0，
由此得 (5y+1) 2 0，此时 y 可取任意实数.
5
5
∴函数 y

x2 5x 6 的值域为{
x2 x 6
y|
y1 且
y
1 5
}。
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称
判别式法。判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至
少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的
讨论。
四、换元法：
【理论阐释】 当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远） 时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个或 几个新的量来代替原来的量，掌握它的关键在于通过观 察、联想、发现并构造出变换式（或新元换旧式、或新 式换旧元、或新式换旧式）。
一、直接法：
【理论阐释】 利用常见函数的值域来求：
一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； y 反比例函数 k (k 0) 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
x
二次函数f (x) ax2 bx c(a 0) 的定义域为 R，
当 a>0 时，值域为{ y | y ³ 4ac - b2 }；当 a<0 时，
检验：当 y 1 5
1 5
时，代入①求根， x


2
5 (
6)
2
5
x2 5x 6
y 又由 x2+x-6≠0 得函数
的定义域为
x2 x 6
｛x|x≠2 且 x≠-3｝.
∵2 { x| x2 且 y x-3}，∴ 1 。 5
再检验 y=1 代入①求Baidu Nhomakorabea x=2，∴y1，
②∵ 4 x [0,)，∴f (x) [2, ) 。
f (x) 2 4 x 即函数
的值域是 { y| y 2} 新疆 王新敞
奎屯
③y x x 11 1 1 ，
x 1 x 1
x 1
∵ 1 0，∴ y 1 x 1
即函数的值域是
{
y|
yR
且
（2）
[f (x)]min
1 ,对称轴 2
x 1 [a,a 1]， 2
a a
1 2
1
1 2


3 2

a


1 2
，
∵区间[a, a
1]的中点为 x0

a

1 2
，
①当a 1 1 ,即 1 a 1 时，
22
2
[f (x)]max

1.
即
a

2,b
2 时，等号成立. 2
六、函数的单调性法：
【理论阐释】 在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已 知区间上的单调情况。
典例导悟
设函数 f (x) 是奇函数，对任意 x 、 y R 均有关系式 f (x y) f (x) f ( y) ，
若 x 0 时， f (x) 0且 f (1) 2 ,求 f (x) 在3,3上的最大值和最小值。 【解析】先确定 f (x) 在3,3上的单调性，设任意 x1 、 x2 3,3且 x1 x2 ，
( 2, 2) 上是增函数.
函数 g(x) 在区间[1，2]内有极值点 x 2 ，
所以函数 g(x) 的最大值与最小值只能在 x 1, 2, 2 三点处取得，
因为 g(1) 5 , g( 2) 4 2 , g(2) 4 ，所以函数 g(x) 的最大值是 4 2 ，
3
3
3
3
最小值是 4 . 3
即 2(3a 1)x2 2b 0 对任意 x 都成立，所以 3a 1=0 且 2b 0 ，
所以
a


1 3
,
b

0 ,所以
f
(x)


1 3
x3

x2
.
（2）由（1）可得 g(x) 1 x3 2x ，所以 g(x) x2 2 (x 2)(x 2) , 3
令 g(x) 0 ，则 x 2 或 x 2 ；所以当 x 2 时，g(x) 0 ，函数 g(x)
是减函数；当 2 x 2 时， g(x) 0 ，函数 g(x) 是增函数；
当 x 2 时， g(x) 0 ，函数 g(x) 是减函数；
综上可知，函数 g(x) 在区间 (, 2) 和 ( 2, ) 上是减函数，在区间
f (x) 的最小值是 f (3) 3 f (1) 6 .
七、数形结合法：
【理论阐释】 适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
典例导悟
求函数f (x) x2 6x 18 x2 10x 26 的最小值。
【解析】f (x) x2 6x 18 x2 10x 26

f (a
1)

1 ,(a 16
1) 2

(a
1)

1 4

1 16
，
16a2 48a 27 0 a 3 (a 9 不适合，应舍去）；
4
4
②当 a

1 2

1 ,即 2
3 2

a

1时，[f (x)]max

f (a)

1 ，
16
a2 a 1 1 ,16a2 16a 5 0 a 5 (a 1
y
1
}
（
此法
亦称
分离
常数法
）
新疆 王新敞
奎屯
二、配方法
【理论阐释】 利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某 一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y= a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值。
典例导悟
设函数f (x) x2 x 1 ， 4
f (x) （1）若定义域为[0，3]，求
4a
值域为{ y | y £ 4ac - b2 }。
4a
典例导悟
求下列函数的值域
① y=3x+2 (-1 x 1) ② f (x) 2 4 x
【解析】①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
x ③y
新疆 王新敞
奎屯
x 1
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴函数 y=3x+2 的值域是[-1，5]。
则 x2 x1 0 ，
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 x1) 0 ， 即 f (x2 ) f (x1) 。 f (x) 在3,3上是减函数。
因此 f (x) 的最大值是 f (3) f (3) f (2 1) f (1) f (1) f (1) 6 ，
讲座1、值域（最值）问题常见类型 及解法
函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出 了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函 数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是， 在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类 似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有 许多方法是类似的，下面就这些方法逐一举例说明。
4 16
44
a2 a 1
1
,16a2 16a 5 0 a 5 (a
1 不适合，应舍去）；
4 16
44
综上，a 3 或a 5 .
4
4
三、 判别式法（ 法）：
【理论阐释】 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个 为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。
x 3 即所求的 P 点为（3，0）。此时 f (x) 的最小值是 f (3) 4 5 。
八、求导法：
【理论阐释】 求函数最值的步骤： 在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（x）在 [a，b]上求最大值与最小值的步骤：①求f（x）在（a， b）内的极值；②将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【解析】（1）因为 f (x) ax3 x2 bx ，所以 f (x) 3ax2 2x b ， 所以 g(x) f (x) f '(x) ax3 x2 bx 3a2x2 2x b ax3 (3a 1)x2 (b 2)x b ， 因为 g(x) 是奇函数，所以 g(x) g(x) ，即对任意 x 的都有 ax3 (3a 1)x2 (b 2)x b ax3 (3a 1)x2 (b 2)x b ，
4
2
2y (t 1)2 8(t 0) 。即 y (, 4]。
五、 基本不等式法：
【理论阐释】
对形如（或可转化为）f (x) ax b ，可利用 a b ab, a2 b2 2ab
x
2
求得最值。注意“一正、二定、三等”。
典例导悟
典例导悟
（2010·四川高考文科·Ｔ11）设
= (x 3)2 (0 3)2 (x 5)2 (0 1)2
表示动点 P(x, 0) 到定点 A(3,3)，B(5, 1) 的距离之和，而 A、B 两
AB 点分别位于 X 轴的上下两侧，由此连接
交 X 轴于一点，易证该点即是所求
y 的 P 点。由题意及分析易得直线 AB 的方程为 1 x 3 ，令 y 0 得 22
典例导悟
求函数 y 2x 3 13 4x 的值域。
【 解 析 】 由 于 题 中 含 有 13 4x 不 便 于 计 算 ， 但 如 果 令
t 13 4x ，注意 t 0，从而得：
x 13 t2 , y 13 t2 3 t(t 0) ，变形得
的值域；
（2）若定义域为[a,
a

1]时，f
(
x
)
的值域为[
1 2
,
1 16
]
，求
a
的值.
【解析】 f (x) (x 1 )2 1 x ，∴对称轴为 1 ，
22
2
（1） 3 x 0 1 ，∴f (x) 的值域为[f (0), f (3)]，即
2
[ 1 , 47 ]； 44
典例导悟
（ 2010 · 重 庆 高 考 文 科 · Ｔ 19 ） 已 知 函 数 f (x) ax3 x2 bx （ 其 中 常 数 a, b ∈ R ）， g(x) f (x) f '(x) 是奇函数.
（1）求 f (x) 的表达式；
（2）讨论 g(x) 的单调性，并求 g(x) 在区间 1, 2 上的最大值与最小值.