求最值和值域的八种方法

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求函数值域(最值)的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、例2、故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)

重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

专题二：函数值域的求法

专题二：函数值域的求法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。

原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。

本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。

一、直接法方法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

【例题1】求函数()1y x =≥的值域。

)+∞【例提2】求函数y = [)1,+∞【例题3】求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、配方法方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例题】求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

三、最值法：方法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

【例题1】求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］【例题2】求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例题3】求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、反函数法方法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

求函数的值域的方法大全

求函数值域方法大全（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。

（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数2x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值如：函数x y 1=的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值如：函数2x y -=，0m ax =y ，但无=min y5、有的函数有最小值但无最大值如：函数212xy +-=，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合如：常数函数2)(=x f 的值域是{}27、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。

如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函数的定义域与值域（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重）如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（）A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x法（一）：观察法【及时反馈】1、函数12)(-=x x f 的值域是（）A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞-法（二）：反函数法ⅰ、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所示：由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域【及时反馈】（1）、求函数142)(-+=x x x f 的值域（2）、求函数453)(-=x x x f 的值域法（三）：分离变量法常用于求形如)0()(≠++=ac dcx b ax x f 的函数的值域求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把)(x f 化成“常量+d cx +常量”的形式来。

求函数最值的12种方法

求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例3求函数12x y x +=+的值域。

解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。

最值问题的十一种解法

最值问题的十一种解法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．为帮助同学们探索这类型问题的解题规律，指导高考复习，本文将这类问题作一个简单归纳．一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值．解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ．二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例２：已知0124422=-++-x x xy y ，求y 的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(2422=-+--y x y x ，R x ∈，则0≥∆，即有0)1(16)12(422≥---y y 故 45≤y ．因此 45max =y ，无最小值．例3：若x 、R y ∈且满足：0222=-+++y x xy y x ，则max x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥∆，即有0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤x ．即 81max =x ．同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥∆，即有0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 81min -=y ．注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1134522+++=x x x y ，求y 的最值．解析：函数式变形为：0)1(34)5(2=-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ，0)1)(5(4)34(2≥----=∆∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．因此 7max =y ，1min -=y ．例5：已知函数)(12R x x bax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01222=-+-⇔+=+⇔++=b y ax yx b ax y yx x b ax y ∵R x ∈ ∴0)(4)(2≥---=∆b y y a ，即04422≤--a by y由题意：0430)4)(1(]4,1[2≤--⇔≤-+⇔-∈y y y y y 0161242≤--⇔y y所以124=b ，162=a ，即3=b ，4±=a注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求得原函数的值域或参数的值.形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0)，常用此法求得例6：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值．解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取．三、代换法 (一)局部换元法例7：求函数422++=x p x y 的最值．解析：令42+=x t ，则2≥t ，函数tp t x p x y 4422-+=++=当8≥p 时，424-≥-+=p tp t y ，当4-=p t 时取等号当8<p 时，令212t t <≤，则)4()4(221121t p t t p t y y -+--+=-＝+-)(21t t )(41221t t t t p --＝)41)((2121t t p t t ---，因为 212t t <≤，8<p ，即有 0)41)((212121≤---=-t t p t t y y ，所以t p t y 4-+=在[2，)∞+内递增．故 2242pp y =-+≥ 所以当8≥p 时，42min -=p y ，无最大值；当8<p 时，2min py =，无最大值．例8：求函数x x y 21-+=的最值．解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(212≤+--=t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值．例9：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ．注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例10：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t)2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ．例11：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max1S +min1S =____解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ．所以58101310311minmax=+=+S S ．例12：求函数x x a y )(22-= (a x ≤||)的最值．解析：令αcos a x =，则ααααcos sin cos sin2322a a a y =⋅=又令ααcos sin 2=t ，则ααααα222242cos 2sin sin 21cos sin ⋅⋅==t 274)3cos 2sin sin (213222=++≤ααα932932≤≤-∴t 即有 33932932a y a ≤≤-所以3max 932a y =，3min 932a y -= 注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”例13：已知x 、y R ∈且x y x 62322=+，求y x +的最值．解析：化x y x 62322=+为123)1(22=+-y x ，得参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 26cos 1y x)sin(2101sin 26cos 1ϕθθθ++=++=+∴y x 故 2101)(max +=+y x ，2101)(min -=+y x ． (三)均值换元法例14：已知1=+b a ，求证：44b a +的最小值为81．解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可以令t a +=21，t b -=21，(R t ∈)，则 222222222244)21()21(2])21()21[(2)(t t t t b a b a b a -+--++=-+=+2222)41(2)221(t t --+=)281()4241(4242t t t t +--++=81238142≥++=t t∴44b a +的最小值为81．在0=t 即21==b a 时取等号四、三角函数有界法对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x 例15：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值．解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y因为 1|)42sin(|≤-πx ，故当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、均值不等式法例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．解析：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，三角形内一点P 到三边的距离分别为x 、y 、zS cz by ax 2=++ (定值) 3)3(cz by ax cz by ax ++≤⋅⋅∴即 abcS xyz 2783≤ (cz by ax ==时取等号)因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆面积相等)，它到三边之积为最大．例17：有矩形的铁皮，其长为30cm ，宽为14cm ，要从四角上剪掉边长为x cm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(x - cm ，底边宽为)214(x - cm ，高为x cm ．∴盒子容积x x x x x x x V )7)(15(4)214)(230(--=--＝ (显然：015>-x 、07>-x 、0>x )设x bx b ax a abV )7)(15(4--=0(>a ，)0>b 要用均值不等式．则 ⎩⎨⎧=-=-=+--xbx b ax a b a 71501 解得：41=a ，43=b ，3=x ．从而 576)43421)(4415(364≤--=x xx V 故矩形盒子的最大容积为576 3cm ．也可：令bx x ax a ab V )7)(15(4--=或bx ax a x abV )7)(15(4--= 注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求．例18：已知1sin sin sin222=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么γβαcos cos cos 的最大值等于__________解析：因α、β、γ均为锐角，所以γβαcos cos cos γβα222cos cos cos =962)3sin 1sin 1sin 1()3cos cos cos (32223222=-+-+-=++≤γβαγβα 当且仅当31sin sin sin 222===γβα时取等号，故γβαcos cos cos 的最大值为962．例19：求函数x b x a y 22cos sin +=的最小值(a 、b +∈R )．解析： xbx a y 22sin sin +=x x ab b a x b b x a a 2222cot tan 2tan cot ++≥+++= ab b a 2++=当且仅当x btg x actg 22= 即 bax tg =2时，函数y 取得最小值ab b a 2++ 六、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例20：求函数x x y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值．解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=xx x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断 (二)形如xba x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减，在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增． (2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增，在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减． (3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减． (4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增．例21：求函数xx x x y 2222cos sin 161cos sin 4+=的最值．解析：函数x x x x y 2222cos sin 161cos sin 4+=xx 2sin 412sin 22+=令x t 2sin 2=，则0[∈t ，]1，于是 t t y 41+=在0(，]21内递减，在21[，]1内递增．所以当21=t ，即81cos sin 22=x x 时，1min =y ；无最大值．例22：求函数xxx y sin 1cos sin 22+-=的最大值．解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．七、平方开方法例23：已知a 、b 是不相等的正数，求函数++=x b x a y 22sin cos xb x a 22cos sin +的最值．解析：因a 、b 是不相等的正数，x cos 与x sin 不能同时为０，故0>y ．ab x b a b a y +-++=∴2sin 4)(2222当12sin 2=x 时，)(2max 2b a y +=，)(2max b a y +=当02sin 2=x 时，ab b a y 2min 2++=，b a y +=min八、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值．解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)，则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ．则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ．九、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．例26：求函数x x y 2cos 2cos 3--=的最值．解析：81)43(cos 21cos 32cos 2+--=-+-=x x x y要使y 有意义，必须有1cos 32cos -+-x x 0≥，即1cos 21≤≤x ．故当43cos =x 时，4281max ==y ；当21cos =x (或1)时，0min =y . 例27：求函数x x m y 2cos sin 42--=的最值．解析：22221)(sin 2)sin 21(sin 42m m x x x m y -+-=---= 因为1|sin |≤x ，结合二次函数图象及其性质：当-∞∈(m ，]1-时，m y 43max -=，m y 43min +=．当1[-∈m ，]0时，m y 43max -=，2min 21m y -=．当0[∈m ，]1时，m y 43max +=，2min 21m y -=．当1[∈m ，)∞+时，m y 43max +=，m y 43min -=．十、放缩法例28：若a 、b 、+∈R c ，且3=++c b a ，则111+++++c b a 的最大值是（）解析：2322)1(21+=++≤⋅+a a a同理，2321+≤⋅+b b ，2321+≤⋅+c c ．三式相加，6232323212121=+++++≤⋅++⋅++⋅+c b a c b a 即23111≤+++++c b a当且仅当2111=+=+=+c b a 即1===c b a 时取等号．十一、导数法例29：求函数3)(23+-+=x x x x f 在]3,3[-上的最值解析：0)1)(13(123)(2/=+-=-+=x x x x x f ，得131-==x x 或 27222)31(=f ，4)1(=-f ，12)3(-=-f ，36)3(=f 所以函数最大值为36，最小值为12-注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视．例30：求函数x x x f -+-=612)(的最值解析：函数的定义域为]6,1[,xx x f ---=62111)(/510)(/<<⇔>x x f ；650)(/<<⇔<x x f ，又)(x f 是]6,1[上的连续函数故有)(x f 在]5,1[上递增，在]6,5[上递减．5)1(=f ，5)5(=f ，52)6(=f 故函数最大值为5，最小值为5当然，解最值问题的方法远远不止这些，例如，还有复合函数法，反函数法等等，这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳．就是一道题目里面，有时也是几种方法并用，如例7就用到了换元法和单调性法，例12就用到了三角换元法和重要不等式法，例17用导数法甚至更为简单．解函数的最值问题，关键还在具体问题，具体分析，具体处理．。

求函数值域(最值)的方法

求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去；（2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

函数求值域(最值)的最全解法

函数求值域（最值）的最全解法
函数既是中学数学的重点，也是一个难点，而函数值域的求解方法更是考试中的一个常考点。

然而对于如何求函数的值域一直是很多人都过不去的坎儿，但是由于它所占分值较大，所以对于熟练掌握函数值域的解答方法就显得尤为重要了。

下面是关于函数值域求法的归纳，希望对大家能有所帮助。

观察法
适用类型：根据函数图像性质能较容易得出值域（最值）的简单函数
配方法
适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

判别法
适用类型：分子、分母中含有二次项的函数类型
反函数法
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其他易反解出自变量的函数类型。

函数有界性法
适用类型：一般用于三角函数型
函数单调性法
适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。

（原理：同增异减）
换元法
适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等数形结合法
适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型
不等式法
适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。

一一映射法
多种方法综合运用。

高考常考专题知识：值域(最值)的求解方法

专题五高考常考的求函数值域（最值）的题型总结求函数的值域（最值）一直是高考常考的重要题型. 不论是高考的小题，还是高考的大题，都曾考过求函数的值域（最值），而且是以各种难度、各种形式的题来考查的. 所以我们要对这种题型高度重视、加强训练，从而达到熟练掌握求值域（最值）的方法、技巧和规律. 高考常考的求值域（最值）的题型主要有四种：用一元二次函数的方法求值域（最值）、用三角函数的方法求值域（最值）、用均值不等式的方法求值域（最值）、用导数的方法求值域（最值）.当然，如果容易画出对应函数的图像，还可以根据函数图像求值域（最值）；如果容易知道对应函数的单调性，还可以根据函数的单调性求值域（最值）.根据所给题目的具体条件，我们可以灵活选用某一种或几种方法来求值域（最值）.学习本专题必备知识点总结：1. 关于一元二次函数的一些知识点总结：（1）解析式.① 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且；② 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 为常数，且；③ 两根式：),0)()((2121为对应方程的两根的常数，为不等于x x a x x x x a y --=.（2）其他知识点：① 顶点坐标：）或（）（ab ac a b k h 44,2,,2--； ② 对称轴方程：;2a b x -= ③ .,0,0开口向下开口向上；开口方向：<>a a2. 关于三角函数的一些知识点总结：（1）二倍角公式：① αααcos sin 22sin =； ② ααα2tan 1tan 22tan -=； ③ 22cos 1cos 22cos 1sin sin 211cos 2sin cos 2cos 222222ααααααααα+=⇒-=⇒-=-=-= (2) 辅助角公式：为非零常数）、或b a x b a x b a x b x a ()cos()sin(cos sin 2222ϕϕ±+=±+=+ （3）熟记各种三角函数的图像，并利用图像记住性质.（4）牢记基本三角函数在自变量不限制范围和限制范围时，求值域（最值）的基本方法.3. 关于均值不等式的一些知识点总结：（1）重要不等式：R b a ab b a ∈≥+、其中(222，当且仅当a =b 时，取“=”号）（2）均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号）注意：在应用均值不等式求值域（最值）时，要注意“一正，二定，三相等”.(3) 均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号)(4) 均值不等式的文字表述：n 个正数的算术平均数不小于这n 个正数的几何平均数.4. 关于导数的一些知识点总结：（1）一些求导公式：① 1)(-='n n nx x ；当2211)1(1xx x x n -=-='='-=--）时，（；当；即常数的导数为时，0,0)(00='=x n 当x x x x n 2121)(212121=='='=-）时，（. ② ;)(,log ln )(;sin )(cos ;cos )(sin x x a xx x e e e a e a a a a x x x x ='==='-='='时，当 xx e a x e a x x a a 1)(ln ,log ln 1)(log ='==='时，当. (理科生必记！) （2）一些导数的运算性质：① )()(])()([x g x f x g x f '±'='±；)()(])([为常数其中c x f c x cf '='⇒；② )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅； ③ )()()()()()()(2x g x f x g x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. (其中运算性质②③理科生必记！)（3）利用导数求函数在闭区间上值域（最值）的方法、步骤：① 令导函数的函数值为0，求出导函数对应方程的根，再把根和导数不存在但有定义的自变量值代入原函数得函数值；② 把闭区间的端点值代入原函数得函数值；③ 把前两步得到的所有函数值进行比较，它们中最大的为最大值，最小的为最小值. 明确导数求值域（最值）的步骤后，就可以利用这种方法解决有关函数最值的实际问题.一、利用一元二次函数求值域（最值）利用一元二次函数来求函数的值域（最值）是高考常考的重要基本知识点之一. 有些是直接考查一元二次函数求值域（最值）；有些是与其他的函数结合在一起，通过换元变成一元二次函数的形式来考查；还有些是在综合题中通过对含有参数的一元二次函数求值域（最值）来考查. 这三种形式的求一元二次函数值域（最值）的题型都是我们学习的重点.例1.求下列一元二次函数的值域：;32)1(2R x x x y ∈+-= ;)3,2[32)2(2-∈+-=x x x y ;,32)4();0,1(32)3(242R x x x y x x x y ∈+-=-∈+-=.4sin 2cos )6(];2,1[,324)5(21+--=∈+-=+x x y x y x x 解析：例1中的各题都是一元二次函数求值域或与其有关的题型. 其中题（1）（2）（3）是直接为一元二次函数的形式，但自变量的取值范围不同；（4）（5）（6）题是通过转化、换元后可以变成一元二次函数求值域的题型.;...2.2.22)1(32)1(22略后面各题的这种做法省，但做题速度较慢的一元二次函数求值域方法三适用于各种类型图像知值域画出该函数的图像，由方法三：因此，，且顶点纵坐标为因为抛物线开口向上，方法二：又方法一：≥∈≥∴∈+-=+-=y R x y R x x x x y }{}{;112|,)2()1(|32),3,2[1)2(≤≤-≤≤∴--∈=y y f y f y x 即为为：该一元二次函数的值域离对称轴远，比端点点且抛物线开口向上，端对称轴方程{}}{}{；此时函数值域为且对称轴方程或者用即为为：该一元二次函数的值域内函数单调递减，知在区间且抛物线开口向上，易对称轴方程63|,3)0(,6)1(),0,1(1.63|,)1()0(|)0,1(),0,1(1)3(<<∴==--∉=<<-<<∴-∈-∉=y y f f x y y f y y y x x }{;2|.2),,0[1)0(,32.0,,)4(22≥≥∴+∞∈=≥+-=⇔∴≥∴∈=y y y t t t t y t R x x t 即原函数的值域为：对称轴方程又原函数令}{;113|],4,2[13].4,2[,32].4,2[],2,1[,2)5(2≤≤∴∉=∈+-=⇔∴∈∴∈=y y t t t t y t x t x 该函数值域为：对称轴）同理，与题（原函数令 }{.62|],1,1[12].1,1[,32],1,1[sin .3sin 2sin 4sin 2)sin 1()6(222≤≤∴-∈=-∈+-=⇔∴-∈=+-=+---=y y t t t t y x t x x x x y 该函数值域为：对称轴）类似，与题（原函数令原函数变形为总结：在求一元二次函数的值域（最值）时，（1）当自变量属于一切实数时，只需要考虑抛物线的开口方向和顶点纵坐标. 开口向上时，函数值大于或等于顶点纵坐标（如例1（1）），开口向下时，函数值小于或等于顶点纵坐标；（2）当自变量限制在某个区间内时，就要考虑开口方向、对称轴方程、区间端点离对称轴的距离等. 如果对称轴方程对应的自变量值属于给定的区间，则开口向上时，顶点纵坐标为最小值，最大值为离对称轴较远的端点对应的函数值（如例1（2）（4）（6）），开口向下时，顶点纵坐标为最大值，最小值为离对称轴较远的端点对应的函数值；如果对称轴方程对应的自变量的值不属于给定的范围，则可以把区间端点对应的函数值直接求出，最大的为最大值，最小的为最小值（如例1（3）（5））.练习1. 求下列函数的值域：.3log )(log )5(;2)4(;12)3();4,2[],3,0[,542)2(;,94)1(232322--=-+-=--=∈∈-+-=∈-+-=x x y x x y x x y x x x x y R x x x y 或参考答案：}{]5,21()4,2[];3,11[]3,0[)2(;5|)1(--∈∈--∈∈-≤y x y x y y 时，当时，当;；得用一元二次函数求值域则原式变为令),871[.0,22,01)3(2+∞∈≥+-=≥-=y t t t y x t }{}{).,4[.,32,log 52|3;2|)4(23+∞-∈⇒∈--=⇔∈=≤-≥y R t t t y R x t x x y y 则原式令）（的减函数；质判别该题是定义域为）的方法或用增减的性提示：用题（例2. 求下列函数的最值：].2,[,32)2(]3,1[,32)1(22+∈--=∈--=a a x x x y x ax x y ；解析：例2是含有参数的一元二次函数求最值的题型.题（1）代表的是对称轴变化，所给范围固定的题型；题（2）代表的是对称轴固定，而所给范围变化的题型.这两种形式是含有参数的一元二次函数求最值（值域）中最常考的，并且对多数学生来说有一定的难度,因此我们要重点训练这种题型.因为对称轴与所给范围的关系不知道，而且当对称轴在所给范围内时，我们还要确定所给范围的端点哪一个离对称轴的距离远，这些是问题的关键..66)3(,22)1(]3,1[3.3)(,22)1(32.3)(,66)3(21.22)1(,66)3(]3,1[1.,]3,1[,32)1(min max 2min max 2min max min max 2a f y a f y a a a f y a f y a a a f y a f y a a f y a f y a a x x ax x y -==--==∴≥--==--==<≤--==-==<≤--==-==∴<∴=∈--=上为减函数，时，函数在区间当时，此时，当时，此时，当上为增函数，时，函数在区间当开口向上的对称轴为函数.32)2(,32)(,.]2,[1,21.4)1(,32)(01,211.4)1(,32)2(10,11.32)(,32)2(.]2,[1,1.,1]2,[,32)2(2min 2max min 2max min 2max 2min 2max 2-+=+=--==+-<+>-==--==<≤-+≤<+-==-+=+=<≤+≤<--==-+=+=∴+≥≤∴=+∈--=a a a f y a a a f y a a a a f y a a a f y a a a f y a a a f y a a a a a a f y a a a f y a a a a x a a x x x y 此时上为减函数时，函数在区间即当时，即当时，即当此时，上为增函数时，函数在区间即当且抛物线开口向上的对称轴方程为函数总结：因为这种题型的对称轴与所给范围的关系不知道，而且当对称轴在所给范围内时，我们还要确定所给范围的端点哪一个离对称轴的距离远，所以我们分类讨论的关键是搞清这些问题. 因此，要分四种情况讨论：（1）对称轴在所给范围的左边；（2）对称轴位于所给范围区间的左端点和区间中点之间；（3）对称轴位于区间中点和区间右端点之间；（4）对称轴位于所给范围的右边.练习2. 求函数]1,1[,542+-∈-+-=a a x x x y 的最值.参考答案：.106)1(,22)1(32max 2min -+-=-=-+-=+=≥a a a f y a a a f y a 时，当 .22)1(,106)1(1.1)2(,106)1(21.1)2(,22)1(322max 2min max 2min max 2min -+-=+=-+-=-=<-==-+-=-=<≤-==-+-=+=<≤a a a f y a a a f y a f y a a a f y a f y a a a f y a 时，当时，当时，当二、利用三角函数的方法求值域（最值）利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型. 这种题型可以是直接求一个基本的三角函数在自变量取一切实数或限制在某一个范围内的值域（最值），也可以是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），当然也可以是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子，再求值域（最值）.例3. 求下列三角函数的值域：.2,4)1()1()5()2,0(,sin 22sin )4()3,0(,2cos 32sin )3(]2,0[,1)32cos(2)2(;,5)42sin(3)1(222的取值范围求已知圆的标准方程为：；；；y x y x x x x y x x x y x x y R x x y +=++-∈-=∈+=∈--=∈+-=πππππ解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目. (1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，只不过（1）中自变量取一切实数，（2）中自变量限制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后可以化成题（2）的形式来做.（5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型.];1,13[]1,23[)32sin(]32,3[32]2,0[)2(];8,2[],1,1[)42sin(,42,)1(--∈∴-∈-∴-∈-∴∈∈∴-∈-∴∈-∴∈y x x x y x R x R x πππππππ];2,3(.2).3,0(),32sin(2)3(-=∴∈+=y x x y ）做法类似以下与（得原函数利用辅助角公式ππ ];12,2(.2).2,0(,1)42sin(212cos 2sin )2cos 1(2sin 4--∈∴∈-+=-+=--=y x x x x x x y ）类似以下做法与题（式得原函数等价于利用三角函数的降次公）（ππ ].152,152[2).2tan (1)sin(521sin 2cos 42).(,sin 21cos 21)5(++-∈+=Φ+Φ+=++=+⎩⎨⎧+-=+=y x y x y x 所以其中所以为参数其中参数方程：由圆的标准方程得它的θθθθθθ总结：这种题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式,如：的形式为常数，且其中或)0,,,,()cos(,)sin(≠++=++=ωϕωϕωϕωA m A m x A y m x A y .然后再由所限制的自变量的范围求出括号内式子的范围，从而根据基本的三角函数的图像得函数值的范围.如果没有限制自变量的范围，则易得.].1,1[)cos()sin(的范围从而得或y x x -∈++ϕωϕω 练习3. 求下列三角函数的最值：（1）函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为；（2）函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为；（3）求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的最值．（4）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;θ （II ）求a b + 的最大值.参考答案：（1）25；（2） 1；（3）;2,2min max -==y y （4）14π-. 三、利用均值不等式求值域（最值）高考常利用求值域（最值）和证明不等式这两种形式来考察均值不等式的应用，有的是在小题中直接考察均值不等式求值域（最值），有的是需要先通过公式变形化成能用均值不等式的形式，然后再用均值不等式求值域（最值），当然还有的是在综合的大题（如高考常考的三角函数、解析几何、导数大题）中求值域（最值）. 用均值不等式求式子值域（最值）和证明不等式有类似之处：在记住公式的基础上，都要注意“一正，二定，三相等”的原则.若是求最值的题型，尤其要注意等号成立的条件，如果不能取得等号，则对应的最值就不存在.关于利用均值不等式求值域（最值）的方法、技巧可参考专题二中的有关知识.四、利用导数求值域（最值）导数的大题、小题基本上是每年高考必考的题目，利用导数求值域（最值）更是在高考题中多次出现.因此，我们要熟练掌握用导数求值域（最值）的步骤、方法、技巧.设函数)(x f 在[a ,b]上连续，在(a ,b)内可导，求函数)(x f 在[a ,b]上最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(a ,b)内的极值；（2）将)(x f 的各极值与它的端点值)(),(b f a f 相比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意：因为导数不存在的点也有可能取得极值(如函数却是函数的极小值点处导数不存在，但此点在0||==x x y )，因此在求函数)(x f 的极值时，不能仅看)(x f 的导数为0的点.当然，导数为0的点也不一定为极值点. 如函数.003点，只能称为驻点，但显然此点不是极值处导数为在==x x y .解决有关函数最值的实际问题时，就是要根据实际问题给出的条件，建立相应的关于某个自变量的函数关系式，并由实际情况写出自变量的取值范围，然后再利用导数求最值的步骤来解题就可以了.当然，所求出的结果要符合实际意义.例4. 求下列函数的最值：（1）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , 且f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.(1) 对原函数求导得：)(x f '＝－3x 2＋6x ＋9．令)(x f '=0，解得x =－1，或x =3（舍），因为f (－1)=－5+ a ，f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)> f (－1)．因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (－1)=－5+ a ＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．(2) 对原函数求导得：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍又因为412ln )1(-=f ，),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值. 总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错.因为如果只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了.练习4. 求函数]1,0[,274)(2∈--=x xx x f 的值域.参考答案：对原函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-='令0)(='x f 解得 21=x ，或27=x （舍）又因为.3)1(,4)21(,27)0(-=-=-=f f f所以当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[3,4--].五、根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）高考中还有些求值域（最值）的题目不属于上述四种求值域的类型，这些题目总结一下可以归纳为根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）的类型. 例如：若我们已经知道所给函数的单调性，则可以利用该函数的单调性来求值域（最值）；若我们容易画出所给函数的图像，则可以由函数的图像求得值域（最值）；当然还可以根据题目实际情况和我们已有的知识点来求值域（最值）.例5. 求下列各题的最值：(1) ;],0[|sin |的最值，求函数π∈=x x y的最值求函数1,l o g 42)2(3≥+=x x y x ;(3) 过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = .解析：题（1）属于容易画出函数图像的题目，那么画出图像后由图像我们易知最值；题（2）属于函数的单调性容易判断出的题目，那么由函数在所给区间内的单调性易求最值；题（3）属于根据实际情况并结合我们已有的知识点，容易判断出何时圆心角最小的题目.(1) ;0,1],0[|sin |min max ==∈=y y x x y 的图像，易知，由函数π；函数无最大值上为增函数，所以，易知其在由函数..2)1(1log 42)2(min 3==≥+=f y x x y x .22.,21)3(=∴k l l 满足条件时连线垂直）平分即该点与圆心的，被点（由实际情况知，当直线总结：这些根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）的题型，首先我们要判断出所给题目是属于哪一类题型，然后根据题型的各自特点针对性解决即可. 如：易画出图像的看图即知最值；易知函数单调性的利用单调性的定义即知最值；由实际情况易知何时取得最值时，根据实际情况即可求出最值.练习5. 求下列函数的最值：（1）的最值；求]1,0[,3223∈++=x x x y x（2）设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .（3）已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+3参考答案：（1）内为增函数提示：函数在所给区间;1,6min max ==y y ；（2） 1 . 提示：根据图像或实际情况我们知道圆心到直线的距离减去半径为最小值，加上半径为最大值；（3）选B. 由三个方程联立易知.,,.23,21222的值，得所求的最小值然后再由c b a c b a ===.本专题典型的求函数值域（最值）的高考真题汇总及解析较容易的基础题：1. 函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．22. 若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1BCD ．23. 函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－54. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）Ｂ．2 Ｃ．Ｄ．4 5. 在函数c bx ax x f ++=2)(中，若a ，b ，c 成等比数列且4)0(-=f ，则f x ()有最值（填“大”或“小”），且该值为 .6. 函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是________________. 7. 函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 8. 函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 .9. 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是 .中等难度的提高题：1. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（） A ．偶函数且它的图像关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图像关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图像关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图像关于点)0,(π对称 2. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（）A. 58cm 2B. 106cm 2C. 553cm 2D. 20cm 23. 函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（）A. 190B. 171C. 90D. 454. 设yx b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为( )A. 2B.23 C. 1 D. 21 5. 当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（）A. 2B. 32C. 4D. 346. 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( )A ．43 B ．75 C ．85D ．3 7. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 .8. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 .9. 若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .10. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 11. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．12．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．13. ∆ABC 的三个内角为A 、B 、C,求当A 为何值时,cosA+cos2CB +取得最大值,并求出这个最大值.14. 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值．15. 求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最大值和最小值.16. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m 2.问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?17．某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

函数的值域(最值)的常见求法带解析

【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。

函数的值域与最值知识点归纳

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ；二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ；对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

求函数最值与值域的常用方法

ʏ甄新锋求函数的最值与值域是高中数学的重要内容㊂函数的值域就是全体函数值的集合,是由其定义域㊁对应法则共同决定的㊂求函数的最值与值域在解法上是相通的㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:函数的单调性法例1 已知函数f (x )=a x +1a(1-x )(a >0),且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a ),则g (a )的最大值为㊂函数f (x )=a -1a()x +1a ,当a >1时,a -1a >0,此时f (x )在[0,1]上为增函数,所以g (a )=f (0)=1a;当0<a <1时,a -1a<0,此时f (x )在[0,1]上为减函数,所以g (a )=f (1)=a ;当a =1时,f (x )=1,此时g (a )=1㊂由上可得函数g (a )=a ,0<a <1,1a,a ȡ1,{所以g (a )在(0,1)上为增函数,在[1,+ɕ)上为减函数㊂因为当a =1时,a =1a=1,所以当a =1时,g (a )取最大值为1㊂评注:利用单调性法求最值,先确定函数的单调性,再由单调性求最值㊂方法二:判别式法例2 设非零实数a ,b 满足a 2+b 2=4,若函数y =a x +bx 2+1存在最大值M 和最小值m ,则M -m =㊂由y =a x +bx 2+1,可得y x 2-a x +y -b =0,由题意知此方程有实根,所以Δ=a 2-4y (y -b )ȡ0,即4y 2-4yb -a 2ɤ0㊂因为a 2+b 2=4,所以4y 2-4y b +b 2-4ɤ0,即[2y -(b +2)][2y -(b -2)]ɤ0,解得b -22ɤy ɤb +22,所以m =b -22,M =b +22,可得M -m =2㊂评注:形如分子㊁分母的最高次数为二次的分式函数,可利用判别式法求函数的最值㊂方法三:二次函数的性质法例3 已知函数f (x )=4x 2-m x +1在(-ɕ,-2)上单调递减,在[-2,+ɕ)上单调递增,则f (x )在[1,2]上的值域为㊂因为f (x )在(-ɕ,-2)上单调递减,在[-2,+ɕ)上单调递增,所以函数f (x )=4x 2-m x +1的对称轴方程为x =m8=-2,可得m =-16㊂又[1,2]⊆[-2,+ɕ),且f (x )在[-2,+ɕ)上单调递增,所以f (x )在[1,2]上单调递增㊂所以当x =1时,f (x )取得最小值f (1)=4-m +1=21;当x =2时,f (x )取得最大值f (2)=16-2m +1=49㊂故f (x )在[1,2]上的值域为[21,49]㊂评注:二次函数y =a x 2+b x +c (a ʂ0),当a >0时,顶点为图像的最低点,即当x =-b2a 时,y 的值最小;当a <0时,顶点为图像的最高点,即当x =-b 2a时,y 的值最大㊂方法四:基本不等式法例4 已知幂函数f (x )的图像过点2,14(),则函数g (x )=f(x )+x 24的最小值为㊂设幂函数f (x )=xα,因为f (x )的图像过点2,14(),所以2α=14,解得α=-2,所以幂函数f (x )=x -2,其中x ʂ0㊂因为函数g (x )=f (x )+x24=1 数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年1月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1x 2+x 24ȡ21x2㊃x 24=1,当且仅当x =ʃ2时 = 成立,所以函数g (x )取得最小值为1㊂评注:利用基本不等式求最值时,必须满足的三个条件:一正㊁二定㊁三相等㊂一正就是各项必须为正数; 二定就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值,要求积的最大值,必须把构成积的因式的和转化成定值; 三相等就是检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值㊂方法五:分离常数法例5 当-3ɤx ɤ-1时,函数y =5x -14x +2的最小值为㊂由函数y =5x -14x +2,可得y =54-74(2x +1)㊂因为-3ɤx ɤ-1,所以720ɤ-74(2x +1)ɤ74,所以85ɤy ɤ3㊂故所求函数的最小值为85㊂评注:求形如y =c x +d a x +b (a c ʂ0)的函数的值域或最值,常用分离常数法求解㊂方法六:反解法例6 函数y =1-|x |1+|x |的值域为㊂由函数y =1-|x |1+|x |,可得|x |=1-y 1+y ㊂因为|x |ȡ0,所以1-y 1+y ȡ0,所以-1<y ɤ1㊂故所求函数的值域(-1,1]㊂评注:反解法求函数的值域,先由已知函数式解出x ,再根据x 的取值范围列不等式求出值域㊂方法七:换元法例7 函数y =x +1-x 2的值域是㊂由1-x 2ȡ0得-1ɤx ɤ1㊂设x =c o s α,αɪ[0,π],则原函数等价于函数f (α)=c o s α+s i n α=2㊃s i n α+π4(),且α+π4ɪπ4,5π4[],所以s i n α+π4()ɪ-22,1éëêêùûúú㊂故所求函数的值域为[-1,2]㊂评注:求形如y =a x +b +(c x +d )(a c ʂ0)或y =a x +b ʃc 2-x 2(c ʂ0)的函数值域或最值,常用代数换元法或三角换元法,再结合函数的相关性质求解㊂方法八:绝对值不等式法例8 函数y =|x +1|+|x -3|的值域为㊂因为y =|x +1|+|x -3|ȡ|x +1+3-x |=4,所以此函数的值域为[4,+ɕ)㊂评注:含有绝对值的不等式的性质:|a |-|b |ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |㊂方法九:数形结合法例9 函数f (x )=|x -1|+x 2的值域为㊂把函数f (x )化为分段函数求值域㊂函数f (x )=|x -1|+x 2=x 2+x -1,x ȡ1,x 2-x +1,x <1{=x +12()2-54,x ȡ1,x -12()2+34,x <1㊂ìîíïïïï作出分段函数f (x )的图像(图略)㊂由图知函数f (x )=|x -1|+x 2的值域为34,+ɕ[)㊂评注:数形结合法包含以形助数和以数辅形两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,如利用函数的图像来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质㊂作者单位:浙江省绍兴市新昌县新昌技师学院大市聚校区(责任编辑郭正华)11数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年1月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。

4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。

求最值的10种方法

三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
那么|O P |的最小值等于________，最大值等于 ________．
分析本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值
解析由题意，得点P (x， y)的坐标
x y 4,
满足
y
x,
x 1.
画出可行域，如图所示．
由条件，得A (2,2)，|O A |=2 2 ； B (1,3)，|O B |= 10 ；C (1,1)，|O C |= 2 . 故|O P |的最大)的最大值．
这些命题中，真命题的个数是(
A．0
B．1
C．2
) D．3
解析根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故 ①错误．②、③正确：实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件．故选C. 点评利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用．需要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如函数f(x)＝1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但它
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
1
1
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
3 3 3
3
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

高三总复习2——求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法求函数值域(最值)的常用方法:(1)基本函数法:对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.(2)配方法对于形如y=a +bx+c(a ≠0)或F(x)=a[ +bf(x)+c](a ≠0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解.(3)换元法利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如y= 的函数,令f(x)=t,形如y=ax+b ± (a,b,c,d 均为常数,ac ≠0)的函数, 令 =t;形如含的结构的函数,可利用三角代换,令x=acos θ, θ∈[0,π]或令x=asin θ,θ∈ . (4)不等式法利用基本不等式:a+b ≥2 ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b ≥2 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:①a>0,b>0;②a+b(或ab)为定值;③取等号条件a=b ，三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如, f(x)=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性. (6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点与连线的斜率. (7)函数的有界性法形如 ,可用y 表示出sin x,再根据-1<sin x ≤1,解关于y 的不等式,可求y 的取值范围.(8)导数法设y=f(x)的导数为f ′(x),由f ′(x)=0可求得极值点坐标,若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.x 2()x f 2()x f 1d cx +d cx +x a 22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππab ab xb x x y y 2121--()y x 11,()y x 22,x x y sin1sin +=典型例题1 定义法要深刻领会映射与函数值域的定义。