求最值和值域的八种方法
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2
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sin
∴当
17 1 y max 16 ； 4 时， tan
当 sin 1 时，
y min 2
。
此时
17 2, 16 2 都存在，故函数的值域为
六、 利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 【13】 求函数 y
x2 1 的值域。 x2 1
【14】 求函数
y
ex 1 e x 1 的值域。
【15】 求函数
y
cos x sin x 3 的值域。 （辅助角公式的应用，三角函数有界性）
七、 利用函数单调性： 【16】 求函数 y x 1 x 1 的值域（分子有理化）
五、 基本不等式法 【10】 求函数
y (sin x 1 2 1 2 ) (cos x ) 4 sin x cos x 的值域。
【11】 求函数 y 2 sin x sin 2x 的值域。
【12】 求函数 y
数性质）
x 2 30 x 的值域。 （若不能保证大于零，则分类讨论或用对勾函 x2
1 x2 2 x 1 sin x tan 1 x 2 cos 2 2 2 ，则 令 ，1 x
1 17 1 1 y cos sin sin 2 sin 1 sin 4 16 2 2
后再运用 sin 的有界性）
两类常见问题： 一、 恒成立问题：
2 【25】 若对于 x∈R，不等式 mx 2mx 3 0 恒成立，求实数 m 的取值范围。
2 【26】 当 x (1, 2) 时，不等式 x mx 4 0 恒成立，则 m 的取值范围是
.
2 【27】 已知函数 f (x) x 2kx 2 ，在 x 1 时恒有 f (x) k ，求实数 k 的取值
的值域。
2 【6】 求函数 y x 4 5 x 的值域。
【7】 求函数 y x 10 x x 2 23 的值域。
y
【8】 求函数
x3 x x 4 2x 2 1 的值域。
【9】 求函数 y Байду номын сангаас(sin x 1)(cosx 1) ，
x , 12 2 的值域。
【17】 求函数 f x 1 x 1 x 的值域（分子有理化、定义法证明单调性）
【18】 求函数 y x
1 在区间 x 0, 上的值域。 x
八、 数形结合法： 【19】 求函数 y | x 3 | | x 5 | 的值域。
【20】 求函数
y (x 2) 2 (x 8) 2
的值域。
2 2 【21】 求函数 y x 6x 13 x 4x 5 的值域。
【22】 求函数 y 1 x 1 x 的值域。
九、 综合： 【23】 求函数
y x2 x 3 的值域。
【24】 求函数
y
1 x 2x 2 x 3 x 4 1 2x 2 x 4 的值域。 （此题先用换元法，后用配方法，然
范围
2 【28】 若不等式 2x 1 m(x 1) ，对满足 2 m 2 所有的 x 都成立， 求 x 的取
值范围。
二、 存在性问题：类似二次方程有两根的问题。 答案：22、令 u 1 x ， v 1 x ，则 u 0, v 0 ， u 2 v 2 2 ， u v y ， 原问题转化为 ：当直线 u v y 与圆 u v 2 在直角坐标系 uov 的第一象限有公
2 2
共点时，求直线的截距的取值范围。
2 23、令 t x 2 ( t 0) ，则 x 3 t 1
y
（1） 当 t 0 时，
t 1 1 1 t 1 t 1 2 0 y t 2 ， 当且仅当 t=1， 即 x 1 时取等号， 所以
2
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1 x2 x 1 2x 2 x 4 x x3 y 2 1 x2 1 2x 2 x 4 1 2x 2 x 4 1 x
不等式（二）——求最值、值域 求值域的方法
一、 分离常数法 【1】 求函数 y
1 x 的值域 2x 5
二、 判别式法形如 y
a1 x 2 b1 x c1 （ a1 、 a2 不同时为零） （自然定义域） a2 x 2 b2 x c2
【2】 求函数
y
1 x x2 1 x 2 的值域。
【3】 求函数
y x x (2 x )
的值域。 (三角换元/ 将 x 移项到左侧， 然后同时平方
得到二次方程)
三、 换元法（形如 y ax b cx d ） 【4】 求函数 y 2 x 1 2 x 的值域。
四、 三角换元法 【5】 求函数
y x 2 1 (x 1) 2
2
2
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sin
∴当
17 1 y max 16 ； 4 时， tan
当 sin 1 时，
y min 2
。
此时
17 2, 16 2 都存在，故函数的值域为
六、 利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 【13】 求函数 y
x2 1 的值域。 x2 1
【14】 求函数
y
ex 1 e x 1 的值域。
【15】 求函数
y
cos x sin x 3 的值域。 （辅助角公式的应用，三角函数有界性）
七、 利用函数单调性： 【16】 求函数 y x 1 x 1 的值域（分子有理化）
五、 基本不等式法 【10】 求函数
y (sin x 1 2 1 2 ) (cos x ) 4 sin x cos x 的值域。
【11】 求函数 y 2 sin x sin 2x 的值域。
【12】 求函数 y
数性质）
x 2 30 x 的值域。 （若不能保证大于零，则分类讨论或用对勾函 x2
1 x2 2 x 1 sin x tan 1 x 2 cos 2 2 2 ，则 令 ，1 x
1 17 1 1 y cos sin sin 2 sin 1 sin 4 16 2 2
后再运用 sin 的有界性）
两类常见问题： 一、 恒成立问题：
2 【25】 若对于 x∈R，不等式 mx 2mx 3 0 恒成立，求实数 m 的取值范围。
2 【26】 当 x (1, 2) 时，不等式 x mx 4 0 恒成立，则 m 的取值范围是
.
2 【27】 已知函数 f (x) x 2kx 2 ，在 x 1 时恒有 f (x) k ，求实数 k 的取值
的值域。
2 【6】 求函数 y x 4 5 x 的值域。
【7】 求函数 y x 10 x x 2 23 的值域。
y
【8】 求函数
x3 x x 4 2x 2 1 的值域。
【9】 求函数 y Байду номын сангаас(sin x 1)(cosx 1) ，
x , 12 2 的值域。
【17】 求函数 f x 1 x 1 x 的值域（分子有理化、定义法证明单调性）
【18】 求函数 y x
1 在区间 x 0, 上的值域。 x
八、 数形结合法： 【19】 求函数 y | x 3 | | x 5 | 的值域。
【20】 求函数
y (x 2) 2 (x 8) 2
的值域。
2 2 【21】 求函数 y x 6x 13 x 4x 5 的值域。
【22】 求函数 y 1 x 1 x 的值域。
九、 综合： 【23】 求函数
y x2 x 3 的值域。
【24】 求函数
y
1 x 2x 2 x 3 x 4 1 2x 2 x 4 的值域。 （此题先用换元法，后用配方法，然
范围
2 【28】 若不等式 2x 1 m(x 1) ，对满足 2 m 2 所有的 x 都成立， 求 x 的取
值范围。
二、 存在性问题：类似二次方程有两根的问题。 答案：22、令 u 1 x ， v 1 x ，则 u 0, v 0 ， u 2 v 2 2 ， u v y ， 原问题转化为 ：当直线 u v y 与圆 u v 2 在直角坐标系 uov 的第一象限有公
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共点时，求直线的截距的取值范围。
2 23、令 t x 2 ( t 0) ，则 x 3 t 1
y
（1） 当 t 0 时，
t 1 1 1 t 1 t 1 2 0 y t 2 ， 当且仅当 t=1， 即 x 1 时取等号， 所以
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1 x2 x 1 2x 2 x 4 x x3 y 2 1 x2 1 2x 2 x 4 1 2x 2 x 4 1 x
不等式（二）——求最值、值域 求值域的方法
一、 分离常数法 【1】 求函数 y
1 x 的值域 2x 5
二、 判别式法形如 y
a1 x 2 b1 x c1 （ a1 、 a2 不同时为零） （自然定义域） a2 x 2 b2 x c2
【2】 求函数
y
1 x x2 1 x 2 的值域。
【3】 求函数
y x x (2 x )
的值域。 (三角换元/ 将 x 移项到左侧， 然后同时平方
得到二次方程)
三、 换元法（形如 y ax b cx d ） 【4】 求函数 y 2 x 1 2 x 的值域。
四、 三角换元法 【5】 求函数
y x 2 1 (x 1) 2