函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()x x x f x e me e -=-+-xme -的最值． 【解析】22()()x x x x f x e e m e e --=+-+ 2()()2x x x x e e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数y =【解析】平方再开方，得[3,1]y x =∈-y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】(1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===+++2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===-----1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例3（2016 北京高考）设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图先作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．.举一反三：【变式】（2014 甘肃一模）若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 14,613⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.16⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】函数22212t y t t t+==+，在(]0,2t ∈上为减函数 ∴当2t =时，22t t +的最小值为1;又2196t t ≤=+，当且仅当3t =时等号成立 所以函数29ty t =+在区间(]0,2上为增函数 可得2t =时，29t t +的最大值为213.因为不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立 所以22max min29t t a t t +⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2113a ≤≤可得a 的取值范围是2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=，∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：解析几何在最值方面的综合应用例5．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。

同理直线BC 的方程为4(4)y x t=-分别与直线y=1，y=2，y3交于点 1(4,1)4t N +，2(4,2)2t N +，33(4,3)4N t +。

此时当3014t <<时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点，故此时N （t ）=12； 当314t =时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点， 而直线y=3在平行四边形ABCD 内部的线段上只有3个整点， 此时N （t ）=11。

同理可得当31()4k k k t<<+∈Z 时，N （t ）=12； 当31()4t k k =+∈Z 时，N （t ）=11。

综上得 9, 044()12, (1)33411, (1)3t N t k t k t k ⎧⎪=⎪⎪=<<+⎨⎪⎪=+⎪⎩，其中k ∈Z ）。

故选C 。

【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD 为正方形，不含边界的整点个数为9个。

【变式2】设直线x=t 与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 C ．2 D ．2【答案】D 如图，2||ln MN t t =-，令2()ln (0)h t t t t =->，∵2121'()2t h t t t t -=-=，∴易知02t <<时，'()0h t <；2t >'()0h t >。

于是可判断当t =|MN|取得小值。