函数的最值与值域
函数值域、最值的知识与求函数值域、最值的11种方法总结
，最小值是
y
1
，最大值为
y
1
。而
y
sin
x
，x
0,
2
的值域为
0,1
，但
0
不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的最小值，1
也不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的
最大值。
三、求函数值域和最值的 11 种方法
1、图象法 对某些给出函数的图象的函数，可以利用其图象直接“读取”出
函数的值域。 如右图所示，可知函数的最小值为 0，最大值为“ ”，
1 y2
∵ | sin x |1 ，∴ 2 y 1 ，两边平方得 3y2 1 ，
1 y2
∴
3 y 3
3 3
，∴原函数的值域为
3, 3
3 3
。
7、结合函数的单调性求值域
通过确定函数在定义域内或定义域内的某个子区间上的单调性来求函数的最大、最小值
等，进而得到函数的值域。
常 见 的 结 合 单 调 性 求 值 域 的 函 数 如 ： y ax b dx e （ a,b,c, d ,e 都 为 常 数 且 ad 0 ）。①当 ad 0 ，即 a 、d 同号时，可以直接利用函数的单调性求最值；②当 ad 0 ， 即 a 、 d 异号时，则需要用换元法求值域。
x
二 、函数最值
1. 最值的概念
函数 y f x 的最值指的是函数 y f x 的最大值和最小值。
（1）最大值
一般地，设函数 y f x 的定义域为 I ，若存在实数 M 满足：对任意的 x I ，都有
f x M ；同时，存在 x0 I ，使得 f x0 M ，则称 M 为 y f x 的最大值。
高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
函数的基本性质3最值与值域
在解决实际问题时，可以根据问题的实际背景确 定函数的值域，从而得到问题的解。
03 函数的最值与值域的关系
最值与值域的联系
01 最值是函数在定义域内达到的最大或最小值，而 值域是函数所有可能取值的集合。
02 最值一定出现在函数的定义域内，而值域是定义 域内所有可能取值的集合，包括最值。
03 当函数在定义域内取得最值时，其对应的自变量 值称为临界点。
最值与值域的区别
01
最值是函数在特定点上的取值，而值域是函数所有可
能取值的范围。
02
最值只考虑函数在临界点处的取值，而值域需要考虑
整个定义域内的取值情况。
03
最值是函数在特定点上的局部特性，而值域是函数在
整个定义域上的全局特性。
最值与值域在函数中的表现形式
值域：对于任意实数$x$， $f(x)=kx+b$的值域为$R$。
二次函数的最值与值域
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的最值出现在对称轴上，即$x=-frac{b}{2a}$处，最大值为$frac{4acb^2}{4a}$，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
值域：当$a>0$时，函数有最小值，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，函数有最大值，最大 值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
函数的最值可以通过求导数、利用极值定理或比较法等方法求得。
函数的值域可以通过观察函数的图像、利用函数的性质或比较法等方法确 定。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来确定函数的最 值和值域。
04 函数的最值与值域的实例 分析
一次函数的最值与值域
函数的极值与最值——知识梳理
\g
( - x ) +g
(x)
=
2x+1 +
2x +1
sin
x
2 -1+
1+ 2x
- sin
x
-1 =
0
思思老师
\g(-x) = -g(x)
\ g ( x) 为奇函数，函数图像关于原点对称.
\函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最小
f (2) 4
4 16
类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用
例 5. （ 2016 全 国 新 课 标 Ⅱ ） ( Ⅰ ) 讨 论 函 数 f (x) = x - 2 ex 的 单 调 性 ， 并 证 明 当 x > 0 时 ， x+2
(x - 2)ex + x + 2 > 0 ；
(Ⅱ)证明：当
f
(x)
=1+
2x+1 2x +1
+ sin
x
在区间 [-k, k ]( k
>
0)
上的值域为 [m, n]
，则
m+n=
.
【答案】4
【解析】记 g ( x)
=
f
(x)-2 =
2x+1 + sin x -1
2x +1
\
g
(-x)
=
2- x+1 2-x +1
+
sin
(-x)
-1
2 = 1+ 2x - sin x -1
第7讲 函数的值域与最值
第10讲 函数的值域与最值【考点解读】1. 理解函数的单调性、值域和最值的概念；2. 掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.【知识扫描】1.函数的值域与最值(1)函数的值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的定义域. (2)函数的最值.设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(ⅰ)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(ⅱ)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ,则称M 是函数y =f (x )的最大值.类似地可定义f (x )的最小值. 2.基本初等函数的值域(1)一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R. (2)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域：当a>0时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭; 当a<0时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦(3)反比例函数y = (k ≠0)的值域为不为0的实数；(4)指数函数y =ax (a >0且a ≠１)的值域为()0,+∞. (5)对数函数y =log ax (a >0且a ≠１)的值域为R.(6)正、余弦函数y =sin x (x ∈R )、y =cos x (x ∈R )的值域为[]1,1-;正切函数y =tan x (x ≠k π+ ,k ∈Z )的值域为 R.3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)配方法. 适合一元二次函数 (2)单调性法. 注意函数xkx y +=的单调性。
(3)导数法.(4) 换元法；通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。
注意三角换元的应用。
如求21x x y -+=的值域。
⑸均值不等式法. 要注意“一正、二定、三相等”，⑹数形结合法，要注意代数式的几何意义。
如xxy cos 1sin 2+-=的值域。
（几何意义――斜率）⑺判别式法：适合于可转化为关于x 的一元二次方程的函数求值域。
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
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函数的最值与值域
求函数值域的基本方法：①直接法；②分离变量法；③⊿判别式法；④换元法；⑤利用函数的单调性；⑥不等式法；⑦导数法 (高二年级学习)
[)(][]
0,3,1)()8(3131)7(135)6(;21)5(;3421)4(|;2||1|)()3(;2,11,2,123)()2(;123)()1(.
)(22-∈-+=+-=-+-=+-=+-=-++=---∈+-=+-=x x x x f y x x y x x y x x y x x x f x x x x f x x x f x
x
值与值域小求下列函数的最大例1
二.拓展问题
(一)基于对钩函数) 1.x x x y 122++=; 2. )21(,1
122<<-++=x x x x y ; 3.)31(,632<<++=x x x x y
4. 的最小值在求),2[)0(+∞∈>+
x a x a x
5. 的最小值求44422+++
+x a x
6．P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2
212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅= ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．答案：1629
S ≤<
(二)基于二次函数
1．函数)43lg()(2x x x f +-=的定义域为M ，函数124)(+-=x x x g （M x ∈）.
(1) 求M ，并指出函数)(x f 的单调区间；
(2) 求函数)(x g 的值域；
(3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(241R b b x x ∈=-+有实数根，求b 的取值范围，并讨论实数根的个数.
2．讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值
反馈练习：.)(.,|,1|2)(2的最小值求函数x f R a R x x a x x f ∈∈-+=
解：f (x )=x 2+2 a |x －1|,x ∈R .
（1）当a =0时, f (x )=x 2, 函数是偶函数；当a ≠ 0时函数没有奇偶性.
因为f (1)=1 ,f (－1)=1+4a ≠ f (1) , 即a ≠ 0时函数不是偶函数；
当a ≠ －12 时f (－1)=1+4a ≠－ f (1),函数不是奇函数；当a =－12
时， f(x)=x 2－| x －1 |.,f(2)=3,f(－2)=1,f(－2) ≠ －f(2),所以函数不是奇函数 综上，当a =0时, f (x )=x 2, 函数是偶函数；当a ≠ 0时函数没有奇偶性.
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=)
1(,22)1(,22)(22x a ax x x a ax x x f 先分段求出函数的最小值： 当1≥x 时，对称轴为a x -=
①当1≤-a ，即1-≥a 时，)(x f 在),1[+∞递增，1)1()(min ==∴f x f ； ②当1>-a ，即1-<a 时，a a a f x f 2)()(2min --=-=
当1<x 时，对称轴为a x =
①当1≥a 时，)(x f 在)1,(-∞递减，1)1()(min =>∴f x f ；
②当1<a 时，a a a f x f 2)()(2min +-==
再比较合并函数的最小值
①当1≥a 时，1)1()(min ==f x f ②当1-<a 时，可知2222a a a a ->--，a a x f 2)(2min +-=
③当11<≤-a 时，比较1与a a 22+-大小，0)1()2(122>-=+--a a a ，a a x f 2)(2min +-=
综上所述：⎩⎨⎧≥<-=)
1(,1)1(,2)(2min
a a a a x f 解：()22
21,11,x a x x a f x x x a x a x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x =-，12
x =，当12a <-，1122a -≤<，12a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当12
a <-时，()min 1324f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； （2）当1122a -≤<时，()()2min 1f x f a a ==+；（3）当12
a ≥时，()min 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 方法2：()22
21,11,x a x x a f x x x a x a x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩. 2
1,1)(2-=+-+=≥x a x x x f a x 对称轴为，,当a f x f a -=-=-≤43)21()(,21min ,当1)()(,212min +==->a a f x f a 2
1,1)(2=++-=<x a x x x f a x 对称轴为，,当a f x f a +==≥43)21()(,21min ,当1)()(,212min +==<a a f x f a 将两部分进行合并与a x a x <≥:①,21≥a 1432+<+a a ,∴a x f +=43)(min ;②1)(,2
1212min +=≤≤-a x f a ;③。