控制系统的稳定性汇总
控制系统的稳定性分析
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自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算:
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明:方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是:主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
控制系统的稳定性分析
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11
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路: (间接法)
1、线性定常系统-特征值判断
2、非线性系统-首先线性化,然后用线性化
系统的特征值判断
12
二、线性定常系统
外部稳定性判据:
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ,当且仅 当其极点都在s的左半平面时,系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的(在此,虚轴上的临界稳定,对应等幅周 期振荡,控制工程上认为是不稳定的)。
Im
图解表示:
稳 定 区
内部稳定性判据:
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为:A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6] 设系统方程为: x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] (1)系统的传递函数为:
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数, x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数,其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度,其定义式 为: x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
自动化控制系统的可靠性与稳定性
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自动化控制系统的可靠性与稳定性自动化控制系统在现代工业中起着至关重要的作用。
为了确保自动化控制系统的正常运行,我们需要关注其可靠性与稳定性。
本文将探讨自动化控制系统的可靠性与稳定性,并提供一些提高其可靠性与稳定性的方法。
一、自动化控制系统的可靠性可靠性是指系统在给定时间内正常运行的能力。
自动化控制系统的可靠性取决于多个因素。
1.1 硬件可靠性自动化控制系统的硬件部分包括传感器、执行器等,其可靠性直接影响整个系统的可靠性。
确保使用高质量的硬件设备,并进行定期的维护和检修,可以提高系统的可靠性。
1.2 软件可靠性自动化控制系统的软件部分负责控制和决策,因此软件的可靠性也是至关重要的。
在软件开发过程中,需要进行充分的测试和验证,确保软件的正确性和稳定性。
此外,定期进行软件的更新和升级,可以修复潜在的错误和漏洞,提高系统的可靠性。
1.3 环境因素自动化控制系统常常运行在各种环境条件下,例如高温、湿度等。
这些环境因素有时候可能会对系统的性能产生负面影响。
因此,在系统设计和安装阶段需要考虑环境因素,并采取相应的措施来保护系统,确保其稳定运行。
二、自动化控制系统的稳定性稳定性是指系统在给定条件下保持稳定运行的能力。
自动化控制系统的稳定性取决于以下方面。
2.1 控制算法自动化控制系统的稳定性主要依赖于其控制算法。
选择合适的控制算法对于确保系统的稳定性非常重要。
常见的控制算法包括PID控制、模糊控制等。
在选择控制算法时,需要考虑系统的动态特性,并进行合理的参数调节,以确保系统的稳定性。
2.2 反馈机制自动化控制系统通常采用反馈机制来实现对系统状态的监测和调节。
反馈机制可以及时探测到系统状态的变化,并通过相应的控制手段进行调节,从而维持系统的稳定运行。
合理设计反馈机制,确保其敏捷性和准确性,对提高系统的稳定性非常重要。
2.3 重构系统在某些情况下,自动化控制系统可能会遭遇故障或失效。
为了保证系统的连续运行和稳定性,可以采取重构系统的策略。
控制系统的稳定性分析
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控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时,能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一,对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中,我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中,稳定性可以分为两种类型:绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定:当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时,我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定:当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时,我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性,我们通常使用以下几种分析方法:1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法,它通过将控制系统转化为传递函数的形式,进行频域和时域的分析。
在频域分析中,我们可以使用频率响应函数(Bode图)来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成,通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中,我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法,它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面,则系统将是不稳定的。
另外,如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一,则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法,它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图,它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面,则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据,它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线,并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制系统中的稳定性分析
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控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分,它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理,进而控制被控对象的运动或状态,达到控制目的。
在控制系统中,稳定性是最基本也是最重要的性能之一,而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下,输出的运动状态是否始终保持在某一范围内,没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一,是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出,控制系统的稳定性被分为两个主要类型:渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中,一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件:(1)系统输出必须有界;(2)当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值;(3)系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后,输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统,在外界扰动干扰之后,系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态,并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法,它可以通过对系统传递函数进行分析,从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是,将系统的传递函数加上一个扰动,观察系统的反应,并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法,它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析,从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是,根据系统的传递函数得到其频率响应,然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线,来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法,它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积,然后分析每个一次项的为稳定极点,找出系统的稳定性状况。
控制系统的稳定性分析与设计
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控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点,而不会发生不可控的偏差,从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下,回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内,控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化,而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件:(1)经过一定时间后,系统从任何初始状态转移到平衡状态;(2)平衡状态具有稳定性,即系统在发生一定幅度的干扰时,需要在一定时间内回复到原平衡状态;(3)平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响,但是通过合理的调节和控制,使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法(1)指标法:它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态,比如阻尼系数、频率响应等。
(2)相关函数法:它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
(3)传递函数法:传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系,可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
(4)极点分布法:分析系统的极点分布情况,确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器,它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时,需要进行以下步骤:(1)确定控制系统的传递函数;(2)确定控制系统的目标响应曲线;(3)通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器;(4)进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器,它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
自动控制 控制系统的稳定性分析
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例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0 解: 劳斯表为: 由为零上一行的元素 s6 1 8 20 16 组成辅助多项式: s5 2 12 16 P(s)=2s4+12s2+16 dP(s)=8s3+24s s4 2 12 16 ds 3 s 代入 0 0 8 24 系统有虚根,不稳定。 2 s 6 16 劳斯表中某行同乘以某正数, s1 8/3 不影响系统稳定性的判断。 0 s 16
第五节 控制系统的稳定性分析
二、劳斯稳定判据
根据稳定的充分与必要条件 , 求得特 征方程的根 , 就可判定系统的稳定性 . 但对 于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数 特征方程式的各项系数 , 按一定的规则排 列成劳斯表,根据表中第一列系数正负符 号的变化情况来判别系统的稳定性。 下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。
第五节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解: 方程中的系数有负值,系统不稳定。 ε -2 = -∞ -3 劳斯表为: b31= ε -3 s3 1 b31→ -∞ ε →0 s2 ε0 2 第一列元素的符号变化了 1 s b ∞ 31 两次,有一对不稳定根。 0 s b 241 s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0 通过因式分解验证: s1.2=1 s3=-2
第五节 控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中某一行的元素全为零, 表示系统中含有不稳定的实根或复数根。 系统不稳定。 此时,应以上一行的元素为系数,构 成一辅助多项式,该多项式对s求导后, 所得多项式的系数即可用来取代全零行。 同时由辅助方程可以求得这些根。 下面举例说明:
控制系统的稳定性分析实验报告
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控制系统的稳定性分析实验报告引言控制系统的稳定性是指系统在扰动作用下,能否保持稳定运行的能力。
在实际应用中,对于控制系统的稳定性分析具有重要的意义。
本实验旨在通过实际实验,分析控制系统的稳定性,并对结果进行报告。
实验设备和方法设备本实验使用的设备如下:1.一台控制系统稳定性分析实验设备2.一台电脑方法1.将实验设备接通电源,等待设备启动完毕。
2.打开电脑,运行实验软件。
3.在实验软件中设置实验参数,包括控制系统的传递函数、采样时间等。
4.开始实验,并记录实验过程中的数据。
5.分析实验结果,得出控制系统的稳定性结论。
6.撰写实验报告。
实验结果与分析在本次实验中,我们选择了一个二阶惯性系统作为被控对象,传递函数为$G(s)=\\frac{1}{(s+1)(s+2)}$。
我们使用了PID控制器进行控制,并设置了合适的参数。
实验过程中,我们输入了一个单位阶跃信号,观察系统的响应。
通过记录实验数据并进行分析,我们得到了以下实验结果:1.系统的超调量为5%;2.系统的稳态误差为0.1;3.系统的调节时间为2秒。
根据实验结果,我们可以得出以下结论:1.系统的超调量很小,说明系统具有较好的动态性能;2.系统的稳态误差较小,说明系统具有较好的稳定性;3.系统的调节时间较短,说明系统的响应速度较快。
综上所述,实验结果表明控制系统具有较好的稳定性。
结论通过本次实验,我们通过实际实验和数据分析,得出了控制系统的稳定性结论。
实验结果表明控制系统具有较好的稳定性。
控制系统的稳定性是保证系统正常运行的重要指标,对于工程应用具有重要的意义。
参考文献无。
第五章 控制系统的稳定性
![第五章 控制系统的稳定性](https://img.taocdn.com/s3/m/9a94d27301f69e3143329490.png)
例 5 - 2. 设有下列特征方程 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。 判据判别该特征方程正实部根的个数。 试用 判据判别该特征方程正实部根的个数
解 : 列写 劳斯 阵列 : s4 s3 s2 s s
1 0
1 2
2× 3 - 4 2
s3 s2 s s0
1 0≈ε
- 3ε - 2
-3 2 0
改变一次
ε
2
改变一次
∴ 有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等,但方向相反的 根。 可用全零行的前一行数值组成辅助方程 A' ( s ),并用 dA' ( s ) / ds 的系数代替全零行的各项,完成劳斯表 ,利用 的系数代替全零行的各项,完成劳斯表, 可解得那些对称根。 辅助方程 A' ( s )可解得那些对称根。
一幅 原 . 角 理 设 (S)是 变 的 项 之 ,除 S平 的 限 奇 复 量 多 式 比 在 面 有 个 F 点 ,为 值 续 则 数又 P为 (S)极 数 , Z为 (S) 外 单 连 正 函 . 设 F 点 目 F 的 点 目 其 包 重 点 重 点 目 以 F(S)的 零 数 , 中 括 极 与 零 数 , 及 全 部 点 零 均 布 S平 的 闭 线 S内 而 S不 过 极 与 点 分 在 面 封 轨 Γ , Γ 通 F(S)的 何 点 零 . 在 种 况 , 当 S以 时 方 任 极 与 点 这 情 下 点 顺 针 向 沿 S 运 , ΓS在 F(S)]平 上 映 ΓF按 时 方 包 原 Γ 动 [ 面 的 射 顺 针 向 围 点 次 的 数 N = Z- P N>0 N<0 N =0 表 ΓF顺 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF逆 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF不 围 点 示 包 原
控制工程中的系统稳定性分析
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控制工程中的系统稳定性分析控制工程是一门涉及自动控制的学科,它的研究对象包括了如何使系统达到稳态、控制过程中的各种误差、系统的响应速度等因素。
其中,系统稳态是控制工程中的一个非常重要的概念,它可以决定着一个控制系统是否能够稳定地运行下去。
因此,本文将从系统稳定性分析的角度来探讨控制工程中的一些基本概念。
一、什么是系统稳定性?系统稳定性是指,在外部环境变化和内部因素变化的情况下,一个控制系统仍能够保持稳定的状态。
从数学角度来说,系统稳定性是指一个控制系统的输出在输入的影响下始终趋向于某一个固定值,而不是发生无限振荡或者失控的情况。
因此,一个稳定的控制系统不会引起系统本身的崩溃和运行的混乱,从而能够保证控制过程的正常运行。
二、如何分析系统稳定性?在控制工程中,分析系统稳定性是非常必要的,它可以用来保证控制系统的可靠性和稳定性。
下面介绍一些常用的分析方法。
1. 传递函数法传递函数法是控制工程中常用的一种分析系统稳定性的方法。
它将控制系统中的输入、输出和内部环节整合到一个数学模型中,通过对模型的分析得出系统的稳态响应、阻尼倍数和极点等重要指标。
这种方法通常采用拉普拉斯变换和频域分析的技术来求解传递函数,确定控制系统的闭环响应。
2. 稳定判据法稳定判据法是一种定量的系统稳定性判定方法。
它通常利用系统传递函数的阻尼倍数和极点等参数来判断系统是否稳定,即只要将系统传递函数中极点的实部全部小于零,则可以判断该系统是稳定的。
3. 相平面分析法相平面分析法是一种直观化的分析方法,它通过在相平面上绘制系统的响应轨迹,来分析控制系统的稳态响应特性。
相平面分析法包括了波形法、回旋法和Nyth法等多种分析方法,这些方法可以为分析系统的自由度、稳定性和动态响应等特性提供很好的参考。
三、如何提高控制系统的稳定性?除了分析系统稳定性以外,如何提高控制系统的稳定性也是一个非常重要的问题。
下面介绍一些常用的方法。
1. 控制系统的鲁棒性设计鲁棒性是指控制系统对外界干扰、内部参数变化等不确定性因素的稳定性。
自动控制控制系统的稳定性分析资料
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自动控制控制系统的稳定性分析资料自动控制系统的稳定性分析是自动控制系统设计和优化的关键步骤之一、稳定性分析旨在确定系统是否稳定,即系统的输出是否在有界范围内,并且在受到干扰或参数变化时能够保持在所需的工作状态。
下面将从稳定性定义、稳定性分析方法和稳定性判据三个方面进行详细介绍,以及控制系统的稳定性分析所需的相关资料。
稳定性定义:在自动控制系统中,稳定性通常指的是当输入信号为有界信号时,输出信号也是有界信号,且系统能够在指定的性能要求下保持在所需的工作状态。
稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性要求系统输出始终有界,而相对稳定性则允许输出信号在一定范围内震荡。
稳定性分析方法:稳定性分析方法主要包括传递函数法、根轨迹法、频率响应法和状态空间法。
传递函数法适用于线性时不变系统,通过分析系统的传递函数来确定系统的稳定性。
根轨迹法是一种图形法,通过绘制系统的根轨迹图来判断系统的稳定性和动态性能。
频率响应法主要用于对线性时不变系统进行稳定性分析,通过对系统的频率响应进行分析来判断系统的稳定性。
状态空间法是基于系统的状态方程进行稳定性分析,通过分析系统的状态转移矩阵来判断系统的稳定性。
稳定性判据:稳定性判据是判断系统稳定性的重要依据,常用的稳定性判据有极点位置法、频率判据法、Lyapunov稳定性判据和Nyquist稳定性判据等。
极点位置法通过分析系统的极点位置来判断系统的稳定性,当系统极点全部位于左半平面时,系统是稳定的。
频率判据法通过分析系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性,当系统的增益和相位条件满足一定要求时,系统是稳定的。
Lyapunov稳定性判据通过构造系统的Lyapunov函数来判断系统的稳定性,当Lyapunov函数的导数小于等于零时,系统是稳定的。
Nyquist稳定性判据则是通过分析系统的传递函数的频率响应曲线上单位圆的绕点数来判断系统的稳定性,当绕点数为负数时,系统是稳定的。
稳定性分析资料:进行自动控制系统的稳定性分析需要掌握系统的数学模型和控制方法,因此相关的资料和文献是非常重要的资源。
控制系统的稳定性分析
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…
控制系统的稳定性分析
例 已知一调速系统的特征方程式为
S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 104 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解:列劳斯表
S3 S2 S1 S0
1 41.5 − 38.5 2.3× 4 10
517 2.3×104
0 0
控制系统的稳定性分析
系统的特征方程为: 2s 4 + s3 + 3s 2 + 5s + 10 = 0 例 系统的特征方程为: 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解:由特征方程知:1) ai=0 由特征方程知: 1 2 2) ∆n = 0 0 5 3 1 2 0 10 5 3 0 0 0 10
控制系统的稳定性分析
s n a0 a2 a4 a6 L 表中 s n −1 a1 a3 a5 a7 L b1 = a1a2 − a0 a3 , b2 = a1a4 − a0 a5 , b3 = a1a6 − a0 a7 ⋅⋅⋅ a1 a1 a1 n−2 s b1 b2 b3 b4 L ba −ab ba −ab ba −ab n −3 c1 = 1 3 1 2 , c2 = 1 5 1 3 , c3 = 1 7 1 4 ⋅⋅⋅ s c1 c2 c3 L b1 b1 b1 M s 2 d1 d 2 d3 ed −d e f1 = 1 2 1 2 s1 e1 e2 e1 0 s f1 考察劳斯阵列表中第一列各数的符号,如果第一列中各数a0 a1、 a0、 3)考察劳斯阵列表中第一列各数的符号,如果第一列中各数a0、a1、 b1、c1、 的符号相同, b1、c1、……的符号相同,则表示系统具有正实部特征根的个数等 的符号相同 于零,系统稳定;如果符号不同,系统不稳定, 于零,系统稳定;如果符号不同,系统不稳定,且符号改变的次数等 于系统具有的正实部特征根的个数。 于系统具有的正实部特征根的个数。
控制系统的相对稳定性
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K s ( s 1)( s / 5 1)
解:系统的开环对数频率特性如图所示:
由曲线2和3可知,K =2时,相角裕度和幅值裕度分别是
因为 γ>0,Lg >0,故对应的闭环系统是稳定的。
24 ,
Lg 20log h 10(dB)
K=20时,由曲线1和3看到
24 ,
γ 0 结论: 欲使系统稳定 , 需h 1 L 0 g
γ和h越大,系统稳定程度越 好。 γ=0,h= 1时系统处于临界稳定状 态; γ 0,h 1时系统处于不稳定状态 。
例:某单位反馈系统的开环传递函数为 求相角裕度和幅值裕度,并判断闭环系统的稳定性。
Gk ( s )
Lg 20logh 10(dB)
因为 γ<0,Lg < 0,故对应的闭环系统是不稳定的。
求ωc 和相角裕度γ的另一种方法
由已知的开环传递函数得
A( )
K
1
2
1 ( )2 5
按定义由 A (ω)=1就可以求出ωc来,但系统阶数高时,由A (ω)=1求 ωc是很麻烦的。可以采用近似处理的办法求ωc 。
,(认为 2 1) 1 c2 c c 。 K 2 2。则 A( ) 1 1 ( ) 1 [认为( ) 1] c 。 1 当 。当K=2时, 5K=20时, 5 c c 2 1.414 c 20 4.47 知道了ωc后,便可利用如下公式求相角裕度。 由图可知因1<ωc<5,故可取
§5-5
一、幅值裕度
控制系统的相对稳定性
定义 : 在幅相曲线上,相角等 于-180 时对应幅值的倒数 , 称为 控制系统的幅值裕度。 即 h 1 A ( g )
实验三控制系统的稳定性分析
![实验三控制系统的稳定性分析](https://img.taocdn.com/s3/m/c9223a90ac51f01dc281e53a580216fc700a53dc.png)
实验三控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性是指系统在受到外部扰动或内部变化时,是否能保持原有的稳态或稳定的性能。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一,它直接影响系统的性能和可靠性。
本实验将介绍控制系统稳定性的分析方法和稳定性判据。
一.控制系统的稳定性分析方法1.传递函数法:传递函数是表示控制系统输入与输出之间关系的数学表达式,通过分析和求解传递函数的特征根,可以判断系统的稳定性。
在传递函数中,特征根的实部和虚部分别代表了系统的衰减和振荡性能,根据特征根的位置可以得到稳定、不稳定和临界稳定等几种情况。
2.极点分布法:极点分布是指控制系统的特征根在复平面上的位置分布。
通过绘制极点图可以直观地判断系统的稳定性。
一般来说,稳定系统的极点都位于左半复平面,而不稳定系统的极点则位于右半复平面。
3. Nyquist稳定性判据:Nyquist稳定性判据是通过绘制Nyquist曲线来判断系统的稳定性。
Nyquist曲线是将控制系统的特征根的位置映射到复平面上形成的闭合曲线,通过分析Nyquist曲线的形状和位置可以判断系统的稳定性。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据:Routh-Hurwitz稳定性判据是基于特征多项式的系数和正负性进行判断的方法。
通过构造一个特征方程的判别矩阵,可以判断系统的稳定性。
如果判别矩阵的所有元素都大于0,则系统是稳定的。
二.控制系统的稳定性判据1.传递函数法:通过求解传递函数的特征根,判断特征根的实部和虚部是否满足系统稳定的条件。
特征根的实部必须小于0,而虚部可以等于0。
2.极点分布法:绘制控制系统的极点图,判断极点是否位于左半复平面。
如果所有极点都在左半平面,则系统是稳定的。
3. Nyquist稳定性判据:绘制Nyquist曲线,通过分析曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
如果曲线不经过原点或环绕原点的次数为0,则系统是稳定的。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据:构造特征方程的判别矩阵,通过判别矩阵的元素是否都大于0来判断系统的稳定性。
控制系统的稳定性
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3.8 控制系统的稳定性3.8 控制系统的稳定性稳定性是控制系统最重要的特性之一。
它表示了控制系统承受各种扰动,保持其预定工作状态的能力。
不稳定的系统是无用的系统,只有稳定的系统才有可能获得实际应用。
我们前几节讨论的控制系统动态特性,稳态特性分析计算方法,都是以系统稳定为前提的。
3.8.1 稳定性的定义图3.26(a)是一个单摆的例子。
在静止状态下,小球处于A位置。
若用外力使小球偏离A而到达A’,就产生了位置偏差。
考察外力去除后小球的运动,我们会发现,小球从初始偏差位置A',经过若干次摆动后,最终回到A点,恢复到静止状态。
图3.26(b)是处于山顶的一个足球。
足球在静止状态下处于B位置。
如果我们用外力使足球偏离B位置,根据常识我们都知道,足球不可能再自动回到B位置。
对于单摆,我们说A位置是小球的稳定位置,而对于足球来说,B则是不稳定的位置。
图 3.26 稳定位置和不稳定位置(a)稳定位置;(b)不稳定位置处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态,产生初始偏差。
稳定性是指扰动消失后,控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。
若能恢复到原平衡状态,我们说系统是稳定的。
若偏离平衡状态的偏差越来越大,系统就是不稳定的。
在控制理论中,普遍采用了李雅普诺夫(Liapunov)提出的稳定性定义,内容如下:设描述系统的状态方程为(3.131)式中x(t)为n维状态向量,f(x(t),t)是n维向量,它是各状态变量和时间t的函数。
如果系统的某一状态,对所有时间t,都满足(3.132)则称为系统的平衡状态。
是n维向量。
当扰动使系统的平衡状态受到破坏时,系统就会偏离平衡状态,在时,产生初始状态=x。
在时,如果对于任一实数,都存在另一实数,使得下列不等式成立(3.133)(3.134)则称系统的平衡状态为稳定的。
式中称为欧几里德范数,定义为:(3.135)矢量的范数是n维空间长度概念的一般表示方法。
控制系统中的稳定性分析方法
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控制系统中的稳定性分析方法稳定性是控制系统设计和分析中至关重要的概念,它决定了系统的响应是否会随时间或外部干扰的变化而发散或者衰减。
稳定性分析是评估系统的稳定性并识别可能导致系统不稳定的因素的过程。
掌握稳定性分析方法对于设计和优化控制系统至关重要,本文将介绍几种常用的稳定性分析方法。
1. 时间域稳定性分析方法时间域稳定性分析方法是通过研究控制系统的时间响应来评估其稳定性。
其中,最常用的方法是研究系统的阶跃响应。
阶跃响应可以模拟当系统受到单位阶跃输入时的行为。
通过分析阶跃响应中的振荡和衰减情况,可以判断系统的稳定性。
常见的时间域稳定性分析方法包括:- 稳定性判据法:根据控制系统的特征方程的根在左半平面的个数确定系统的稳定性。
例如,系统的特征方程所有根的实部都小于零,则系统是稳定的。
- 跟踪法:通过分析阶跃响应的振荡情况,如超调量和调整时间,来评估系统的稳定性。
例如,当系统的超调量小于一定阈值并且调整时间满足要求时,可以认为系统是稳定的。
2. 频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法是通过研究系统的频率响应来评估其稳定性。
频率响应可以揭示系统对不同频率信号的传递特性。
常用的频域稳定性分析方法包括:- Nyquist稳定性判据:根据系统的开环传输函数在复频域上的轨迹来判定系统的稳定性。
如果系统的开环传输函数的轨迹不绕复平面的-1点(-1+j0)(即Nyquist轨迹)或者经过-compensation的选择,可以判定系统是稳定的。
- 辐角判据:通过分析系统的相位频率特性曲线,判断系统的辐角是否满足稳定性条件。
如果系统的相位频率特性曲线满足一定的条件,例如相位频率特性曲线的最大幅值小于180度,则系统可以被认定为是稳定的。
3. Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是利用李雅普诺夫函数及其性质来评估系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个具有良好性质的函数,可以确定系统状态的稳定性行为。
通过构建李雅普诺夫函数,并根据其形式和性质对系统进行分析,确定系统的稳定条件。
实验三 控制系统的稳定性分析
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实验三控制系统的稳定性分析一、预习要求1、分析实验系统电路,掌握其工作原理。
2、复习相关内容,掌握控制系统稳定的充要条件及稳定判据。
3、按照所给的线路图,分别计算C=1μf和C=0.1μf时,系统产生等幅振荡、增幅振荡、减幅振荡的条件,以及控制系统临界稳定时的电阻值R2。
注:实验指导书上没有本实验,请同学们做实验的时候带好这份实验指导。
二、实验目的1、观察控制系统的不稳定现象,了解和掌握控制系统稳定的条件及临界稳定点的判断方法。
2、研究系统开环增益和时间常数对控制系统稳定性的影响。
三、实验设备1、D1CE-AT2型自动控制系统实验箱2、计算机一台3、RS232串口线一条四、实验内容系统模拟电路图如图3・1所示。
其开环传递函数为:5(0.15+1)(75+1)式中K=R2∕R1,R1=50KΩ,R2=0〜680KQ;T=RC,R=250KΩ,C=1μf或C=0.1μf两种情况。
1.按系统模拟电路图连接电路(依次使用运放单元U3,U6,U4,U5,U8和U23构建),电路的输入为阶跃信号。
启动计算机运行D1CE计算机控制实现软件,打开实验箱电源。
2.分别取R2的值为IOOKd200KΩ,250KΩ,500KΩ,此时相应的K=2,4,5,IOo 观察不同R2值时示波器窗口内的输出波形(既UO的波形),找到系统输出产生增幅振荡时相应的R2及K值;再把电阻R2由大至小变化,即R2=500KΩ,250KΩ,200KΩ,100KΩ,观察不同R2值时显示区内的输出波形,找出系统输出产生等幅振荡变化的R2及K值,并观察Uo的输出波形。
3.在步骤2条件下,使系统工作在不稳定状态,即工作在等幅振荡情况。
改变电路中的电容C由1μf变成0.1μf,分别取R2的值为500KΩ,680KΩ,750KΩ,950KQ(此时相应的K=IO,13.6,15,19)。
观察不同R2值时示波器窗口内的输出波形(既UO的波形),找到系统输出产生增幅振荡时相应的R2及K值;再把电阻R2由大至小变化,WR2=950KΩ,750KΩ,680KΩ,500KΩ,观察系统稳定性的变化。
控制系统的稳定性汇总
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1、古尔维茨稳定判据 设系统特征方程的一般形式为:
D(s) a0 S n a1S n1 ...... an1S an 0
式中:a0 > 0
系统稳定的充要条件:特征方程的古尔维茨行列
式 Dk ( k=1,2,3,…n ) 全部为正。各古尔维茨行列
式为: D1=a1 ,
a1 a3 D2= a0 a2
……
. e1 e2 e3 …… . f1 f2 …… . g1 ……
劳斯系数行
第三步:在第 2,3行的基础上排出第四行
C1
b1a3
b1
a1b2
C2
b1a5 a1b3 b1
C3
b1a7
a1b4 b1
.......
第四步:继续由 3 ,4行组成第五行。如此一直 下去,共n+1行
判据:系统稳定的充要条件就是特征方程 的劳斯系数行的第一列 元素全部为正,第
例一、检验方程式 2S3 + 10S2 + 13S + 4 = 0 是 否有根在复平面右侧,并检验有几个根在垂直线 s = –1的右边 .
解: 对于原方程 : 2
13
10
4
130 8 122 0
10 10
4
∴原方程没有右根
令 S = S1 – 1 代入原特征方程得:
(S1 1)3 10(S1 1)2 13(S1 1) 4 0
如图所示系统 ( 水位控制系统)
H0 –
Kp
K0
KS m
S(TmS 1)
L1 KL1
φ1
–φ2 – K0 H
S
K0 —— 水箱的传递函数
S
Km —— 电机传递函数 S(TmS 1)
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一、稳定性的基本概念 1、稳定性定义 2、稳定的条件 3、特征方程 二、稳定性判别 1、古尔维茨定理 例一 、 例二、 2、林纳德奇帕特判据 例一、 3、劳斯稳定判据 例一、 例二、
3 — 5 控制系统的稳定性
三、系统相对稳定性的检验 例一、 例二、 四、结构不稳定及其改进措施 1、改变积分性质 2、引入一阶微分控制 第一次小测验 一、二、三、四、
∴系统稳定
例二、D(s) = 2S4 + S3 + 3S2 + 5S + 10 = 0
解:a0 = 2 , a1 = 1 , a2 = 3 , a3 = 5 , a4 = 10 ∴ D1 = a 1 = 1 a1 a3 1 5 D2 = = = –7 < 0 a0 a2 2 3
∴系统不稳定
2、林纳德奇帕特判据
必要条件:
1)系统特征方程的各项系数大于0,即: ai > 0 ( i = 0,1,2……n ) 2)奇数阶或偶数阶的古尔维茨行列式大于0,即: D奇 > 0 或 D 偶 > 0
例 :D(s) = S4 + 2S3 + 3S2 + 4S + 5 = 0
解:a0 = 1 , a1 = 2 , a2 = 3 , a3 = 4 , a4 = 5 ∴ ai > 0 D1 = a 1 > 0 a1 a3 a5 2 4 0 D3 = a 0 a 2 a 4 = 1 3 5 = – 6 < 0 0 a1 a 3 0 2 4
3—5控制系统的稳定性
一、稳定性的基本概念 1、稳定性定义:若控制系统在初始条件或扰动 影响下,其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减 并趋向于零,则称该系统渐近稳定,简称稳定; 反之,若系统的瞬态响应随着时间的推移而发散, 则称系统为不稳定。
系统开始处于平衡状态,则由于受 外力作用(扰动)之后,必将偏离原 来平衡状态,若扰动消失后,系统能 够返回它的原来平衡状态,那么就称 这样的系统是稳定的 ,否则就是不稳 定的。(如图 a , b特征方程式实际上就是控制系统 闭环传递函数的分母多项式等于0
b0 S b1S ...... bm1S bm G( s) n n 1 a0 S a1S ...... an 1S an
m
m 1
二、稳定性判别
1、古尔维茨稳定判据 设系统特征方程的一般形式为:
a1a4 a0 a5 b2 a1
a1a8 a0 a9 b4 a1
a2 a4 a6 …… a3 a5 a7 …… b2 b3 b4 …… c2 c3 c4 …… …… . e1 e2 e3 …… . f1 f2 …… . g1 …… 1 2 3 4 a0 a1 b1 c1
例一、系统的特征方程
S 8S 17 S 16S 5 0
4 3 2
解:a0 = 1 , a1 = 8 , a2 = 17 , a3 = 16 , a4 = 5 ∴ D1 = a 1 = 8 > 0 a1 a3 8 16 D2 = a a = = 120 >0 1 17 0 2
a1 a3 a5 8 16 0 D3 = a0 a2 a4 = 1 17 5 = 1600 > 0 0 a1 a3 0 8 16 a1 a0 D4 = 0 0 a3 a2 a1 a0 a5 a4 a3 a2 a7 a6 = a5 a4 8 1 0 0 16 17 8 1 0 5 16 17 0 0 = 90 > 0 0 5
∴ 系统不稳定
3、劳斯稳定判据
设 D(s) = a0Sn + a1Sn-1 + …… + an = 0 ai > 0(i=0…..n)
第一步:将所给方程的系数按下列方式排成两行 第二步:在1,2 行的基础上排出第三行 a1a6 a0 a7 a1a2 a0 a3 b3 b1 a1 a1
...... an 0
设特征方程式有 k 个实根 Si ,r 对共轭复根 σi+jwi,, σi-jwi那么有:n = k + 2r 则特征方程可写成根的形式
a0 ( S Si ) [ S ( j j j )] 0
i 1 j 1
K
齐次方程的解:
C (t ) Ci e e ( A j cos j t B j sin j t )
Si t
K
jt
i 1
j 1
从上式可知,若 Si , σj 都为负值,那么,当 t →∞ 时,C(t) →0 ,这说明当系统的特征方程式 的根是负根或共轭复根具有负实部 时,当系统 趋于稳态时( t → ∞)时,能够回到原始平衡状 态,即系统是稳定的。 结论:控制系统稳定的充要条件:系统特征方程 式的根全部位于复平面虚轴的左侧。
2、稳定的条件
线性系统的稳定性与输入无关,只取决于它的结 构和参数。 线性系统动态特性的微分方程的一般形式为 :
d c(t ) d c(t ) a0 a1 ...... an c(t ) n n 1 dt dt m d r (t ) b0 ...... bm r (t ) m dt
n
n 1
研究稳定性问题,就是研究系统去掉外力作用 (扰动)后的运动情况,也就是方程右边为0的 齐次微分方程式:
d c(t ) d c(t ) a0 a1 ...... an c(t ) 0 n n 1 dt dt
齐次微分方程的特征方程式:
n
n 1
a0 S a1S
n
n 1
D( s) a 0 S a1S
n
n 1
...... an1S an 0
式中:a0 > 0 系统稳定的充要条件:特征方程的古尔维茨行列 式 Dk ( k=1,2,3,…n ) 全部为正。各古尔维茨行列 式为: a1 a3 D1=a1 , D2= a0 a2
a1 a3 a5 D3 = a 0 a 2 a 4 0 a1 a 3 a1 a0 0 Dn = 0 0 0 a3 a5 …… a2n-1 a2 a4 …… a2n-2 a1 a3 …… a2n-3 a0 a2 …… a2n-4 0 a1 a3 …a2n-5 ……… 0 0 0 …..an