第四章_控制系统的稳定性分析_

• 半负定：当
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
i
时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均满足 ，则函数 v( x) 半负定 。
0 (i 2,4,6) 下列条件，即 0 (i 1,3,5)
• 不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。
1. 线性系统外部稳定的定义
零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产 生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称 BIBO稳定。
2. 状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性
系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递 函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。
Ax Bu x y(t ) Cx
在直径为有限值的球面内。
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(3) 不稳定
0 e
如果对于某个实数 0 和任一实数 0 ，当 x x 时
0 0 e 0
总存在一个初始状态x0使得 (t , x , t ) x (t t ) ，则称平衡
状态不稳定。
几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点的 距离越来越远。 返回
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(1) 渐近稳定
对于系统 数
(t ) f ( x, t ) ,若任意给定实数 x
，都存在另一实 0
x0 xe ( , t0 ) ，使得当 0
0 0 e
时,从任意初始状态 x0 出发的解
0
(t , x0 , t 0 )
满足 (t, x , t ) x (t t )
t 0 0 e
且对于任意小量 0，总有 lim (t , x , t ) x ，则称系统在
平衡状态xe是渐近稳定。 几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡 点距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。
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(2) 李亚普诺夫意义下的稳定
(t ) f ( x, t )，若任意给定实数 对于系统 x
结论：系统在平衡点处稳定，当 x 时，有 v( x) ，则此系 统为大范围渐近稳定。
状态向量函数。若系统存在一个状态 xe 对任意时间 t 都有 x (t ) f ( x, t ) 0
则称状态xe是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变 化速度为零，即是静止状态故称平衡点。 (2) 平衡状态的计算 平衡状态即为代数方程组 f ( x, t ) 0 的解。 • 线性定常系统的平衡状态：当 A是非奇异时，则Ax=0，所以平衡状态是唯 一的且在原点。 • 非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
的条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统的运动方程（状态方
程）来考察能量函数v（x）在运动过程中的变化规律，从而获得系
统稳定性判据。
(2) 李亚普诺夫稳定性判别定理
取标量（能量）函数v（x），满足正定； v v v 连续一阶偏导数 v ( x ) 1 2 n 存在； x x x x1 x2 xn 则有下列结论存在：
时，有 v( x) ，
• 不稳定： ( x) 正定 。 v
• 系统稳定性无法确定：不存在上述规律。
注意：能量函数的非唯一性。 返回
3. 应用举例
[例1]：已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。 解(1)：
(1) 1 1 A ; 1 1 (2) 0 1 A 1 1
2. 李亚普诺夫第二方法（研究平衡点在原点的稳定性）
(1) 李亚普诺夫函数（能量函数）：
系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下的运动过程中，
若能量随着时间的推移在逐渐的减小以至最终消失，则这种系统一
定是稳定的。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减 也不增，则为李亚普诺夫意义下的稳定。 任选一个正定的能量函数v（x），即满足：
1 x1 x x1 0 0 0 0 x e1 , x e 2 , x e 3 , 3 3 0 1 1 x 2 x1 x 2 x 2 x1 x 2 x 2 0
wyu ( s) C ( sI A) 1 B
C ( sI A) * B sI A
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三．动态系统的内部稳定性
（研究系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性）
1. 基本概念 2. 李亚普诺夫稳定性定义 3. 稳定的范围 4. 内部稳定与外部稳定的关系
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1. 基本概念
(1) 平衡状态的定义 设不受外力的系统状态方程为 x (t ) f ( x, t ) ，x（t），f（x，t）是 n 维
当范数 x x 限制在某一范围之内时，可以表示为 x xe 。且具有
e
明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。
返回
2. 李亚普诺夫稳定性定义
用状态向量到平衡点的范数来表示系统在 n
维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点 之间的距离变化，存在以下三种情况： (1) 渐近稳定 (2) 李亚普诺夫意义下的稳定 (3) 不稳定
线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原 点处的平衡点； 取能量函数 v( x) x12 x22 ，满足条件； 计算该系统能量的变化量：
2 0 ( x) 2 x1 x 1 2 x2 x 2 2 x1 ( x1 x2 ) 2 x2 ( x1 x2 ) 2( x12 x22 ) x T v x 0 2
1 x2 x1 ( x12 x22 ) x
解： 求平衡点：x 0 ；
e
2 x1 x2 ( x12 x22 ) x
取能量函数 v( x) x12 x22 ，满足条件；
( x) 0；在x 0时，有v ( x) 0 ( x) 2( x12 x22 ) 2 ， 在x 0时，有v v
0 e
0 ，都存在另一
实数 ( , t ) , 0 使得当 x x 时，从任意初始状态 x0 出发 的解 (t , x0 , t 0 ) 满足 (t , x , t ) x (t t ) ,则称系统在平衡
0 0 e 0
状态是李亚普诺夫意义下的稳定。 几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点 的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。即 二维空间运动轨迹在直径为有限值的圆内，三维空间运动轨迹
( x) 0 存在。 • 李亚普诺夫意义下的稳定： ( x) 半负定，且在 x 0 时，有v v
( x) 不衡为零。 • 渐近稳定： ( x) 半负定，且在 x 0 时，v ( x) 负定；或 v v
• 大范围渐近稳定：系统渐近稳定的同时，满足当 x
则此系统为大范围渐近稳定。

(3) 状态向量 x 的范数 在 n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，表示为：
x x1 x2 xn ( x x) 。
2 2 2 T 1 2
状态向量x到平衡点xe的范数： x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2 e ) 2 ( xn xne ) 2
第四章 控制系统的稳定性分析
一．概述 二．线性动态系统的外部稳定性 三．动态系统的内部稳定性 四．李亚普诺夫稳定性判别定理
五．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法
六．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法
一．概述
1. 稳定性是系统性能研究的首要问题 2. 古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性
(1) 局限于研究线性系统； (2) 局限于对系统外部稳定性的描述。
显然，能量的变化量函数 v ( x) 半负定。 需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零： 令
( x) 0 x2 0 v
代入状态方程得
1 0 1 x2 x x 0 1 x x x1 0 x x x 1 1 0 x 1 2 2 1
显然，能量的变化量函数 v ( x) 正定。结论：此系统不稳定。
解(2)： 线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；
2 取能量函数 v( x) 0.5x12 0.5x2 ，满足条件；
计算该系统的能量的变化量：
0 0 ( x) x1 x 1 x2 x 2 2 x1 ( x2 ) 2 x2 ( x1 x2 ) 2 x22 x T v x 0 2
所以当 x 0 时，必有 v ( x) 不衡为零。 结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。
( x) 2( x x ) 负定，结论相同。 重新选择能量函数 v( x) x x ，得 v 1 2
T
3 1
2
2
1
2
[例2]：已知非线性系统的状态方示形式（以三阶系统为例）
代数式： v( x) dx x ax 2 ex x bx 2 cx 2 fx x 1 2 1 1 3 2 3 2 3
矩阵形式：
v( x) x T Px x1 x2
a x3 0.5d 0.5e
0.5d b 0.5 f
(3) 二次型函数的符号性质
• 正定：当
i
返回
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均大于零， 则函数 v( x) 正定。
即 0 (i 1,2, n)
• 半正定：当
等于零，即
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
(3) 完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；
返回
四．李亚普诺夫稳定性的判别定理