现代数值计算方法
数学十大创新计算方法
数学十大创新计算方法1. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，被广泛应用于物理、工程、金融等领域。
该方法通过模拟随机过程，求解各种数学问题，如积分、最优化、概率等。
其主要优势在于能够处理复杂非线性问题，且易于并行化计算。
2. 有限元方法有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法，主要用于求解偏微分方程。
该方法将求解区域划分为若干个子区域，通过对子区域进行局部近似，建立有限元空间，从而得到全局近似解。
有限元方法在工程、物理、生物等领域具有广泛应用。
3. 谱方法谱方法是一种基于全局基函数的数值计算方法，主要应用于求解线性偏微分方程。
该方法将求解区域映射到谱空间，利用全局基函数展开解，从而获得高精度的数值解。
谱方法在气象、海洋、量子物理等领域具有显著优势。
4. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机模拟实际问题，求解数学模型的一种方法。
该方法可以模拟各种复杂现象，如流体动力学、电磁场、生物分子动力学等。
数值模拟方法在科学研究、工程设计、医学等领域具有重要应用价值。
5. 机器方法机器方法是一种利用数据驱动的计算方法，通过从数据中得到模型参数，从而解决实际问题。
该方法在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域取得了显著成果。
近年来，机器方法在数学计算领域也得到了广泛关注。
6. 优化方法优化方法是求解数学优化问题的一种方法，主要包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
优化方法在生产、金融、物流等领域具有广泛应用，可以帮助人们找到最优解或近似最优解。
7. 符号计算方法符号计算方法是一种基于数学符号进行计算的方法，主要用于求解代数、微分等数学问题。
符号计算方法在数学、物理、计算机科学等领域具有重要应用。
8. 随机算法随机算法是一种基于随机过程的计算方法，主要用于求解复杂问题。
随机算法在理论计算机科学、密码学、统计学等领域具有广泛应用。
9. 并行计算方法并行计算方法是一种利用多处理器同时执行多个任务的方法，可以显著提高计算效率。
现代数值计算方法—肖筱南
现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =14.3E = 14.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=n < = 21× 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x n x E n n n-=≈--)(11)()(1)()(*****11****x E nx x x n x x x x nx x E x E r nnnn n r =-=-≈=- 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(10421--⨯⨯=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10cm .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，所以)(*x E < = 0.005 cm . 7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-,所以n x nE x x x n xx E x E r nn nr 01.0)()()(*==-≈=. 8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-=t t E gt t t gt S S S S E r )(22/)()(2**=-≈-= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*0x x -| < = δ=⨯-21021 于是有 |*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*0x x -| < =δ10 |*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210 类推有 |*1010x x -| < =810102110⨯=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11041001110112→ 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--247210250413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--147200250413 → 21=x , 12=x , 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114-=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l6/1/114141-==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l10/1/)(2212414242=-=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u 37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u从而， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3101141101421126=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--137/910/16/1015/16/10013/10001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/95500010/910/37003/13/23/1001126由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T .3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0, 2223= 2 > 0, 301022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T. 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 3331=l 3632-=l 233=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T . 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 1203022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l331=l 632-=l 333=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66-，33）T. 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T . 4、解： 对1=i , 2111==a d ；对2=i , 121-=t , 2121-=l , 252-=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732-=l ,5273=d .所以数组A 的形式为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=527572102521002A 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T.求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010000000000010010015432l l l l ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5432106000000000600006006u u u u u计算各元素得： 51=u , 512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u ,65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u .求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51-，191，651-，211212）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395-，665212）T.（2）设A = LU = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100132l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32101001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+--=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+--=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)1(1)1(2+--=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+--=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x 525351)(3)(1)1(2++-=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x 525351)(3)1(1)1(2++-=++k k k x x x5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x 7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
现代数值计算方法公式总结材料
现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
现代数值计算方法(MATLAB版)第2章(2)
福建师范大学
数计学院
if k==N, Warning(’ disp([’k=’,num2str(k)]) 2.1 Jacobi 0.76 −0.01 −0.01 0.88 −0.14 −0.03 −0.16 0.06
’); end
−0.14 −0.03 1.01 −0.12
:
福建师范大学
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11/12
1 2 − λ = 0, 4 3
−1 1/2
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λ1 = 0, λ2 = −
11 , λ3 = 12 11 < 1, 12
11 . 12
福建师范大学
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ρ(BJ ) = .
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>> x=majacobi(A,b)
福建师范大学
k= 13 x = 1.27616261026619 1.29806392739565 0.48904201392258 1.30273287985933 §2.1.2 Jacobi , .
数计学院
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2.6 Jacobi (1) (2) (3) BJ BJ
A = (A − D) + D, Ax = b Dx = (D − A)x + b,
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x = D−1(D − A)x + D−1b.
福建师范大学
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x(k+1) = D−1(D − A)x(k) + D−1b
(2.12)
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x(k+1) = BJ x(k) + fJ , BJ = D−1(D − A) = I − D−1A, fJ = D−1b. (2.13) Jacobi Jacobi 2.1 (Jacobi 1 2 (2.11) x(0), (2.12) ) ε, x(k+1) N, , (2.13) BJ Jacobi
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式总结现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
《现代数值计算方法(MATLAB版)》习题解答
1.10 提示: (1) sin(x + y ) − sin x = 2 sin y cos(x + y ), (2) 1 − cos 1◦ = 2 2 √ √ = − ln( 1010 + 1 + 105 ). ln( 1010 + 1 − 105 ) = ln √ 10 1 5
−2 1 λ −3 , ρ(Bs ) = 2 > 1, 故 Gauss 2 2 =λ3 = 0, 所以 λ1 = λ2 =
λ3 = 0, ρ(BJ ) = 0 < 1, 故 Jacobi 迭代法收敛. −1 1 0 0 0 −2 2 (2) Bs = 1 1 0 0 0 −1 2 2 1 0 0 0 Seidel 迭代法发散.
10 +1+10
1.11 (1) (A) 比较准确; (2) (A) 比较准确. 1.12 算法 2 准确. 在算法 1 中, ε0 ≈ 0.2231 带有误差 0.5 × 10−4 , 而这个误差在以后的每次计算中 顺次以 41 , 42 , · · · 传播到 In 中. 而算法 2 中的误差是按
2
故 Jacobi 迭代, Gauss-Seidel 迭代均收敛. 2.13 提示: ρ(J ) = 0.9 < 1, 故迭代法收敛. 1 0 . 5 0. 5 2.14 提示: 容易验证 A = 0.5 1 0.5 是对称正定的, 故 Gauss-Seidel 迭代收敛, 但 2D − A = 0.5 0.5 1 1 −0.5 −0.5 −0.5 1 −0.5 不正定, 故 Jacobi 迭代发散. −0.5 −0.5 1 0 0 −1 3 2.15 提示: BJ = 1 0 0 . 特征方程 3λ + λ + 2 = 0, 特征值 λ1 = −0.478, λ2,3 = 1 2 0 3 3 故 Jacobi 迭代收敛. −1 −1 , 因为 ρ(BS ) = 1, 故 Gauss-Seidel 迭代发散. −1 −22 11 1 2.16 提示: (1) 将原方程组的系数矩阵调整为: 1 −4 2 , 显然为严格对角占优矩阵, 故 11 −5 −33 = 0
现代数值计算方法—肖筱南
现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =14.3E = 14.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=n < = 21× 10-4, 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x n x E n n n-=≈--)(11)()(1)()(*****11****x E nx x x n x x x x nx x E x E r nnnn n r =-=-≈=- 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(10421--⨯⨯=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10cm .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，所以)(*x E < = 0.005 cm . 7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-,所以n x nE x x x n xx E x E r nn nr 01.0)()()(*==-≈=. 8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-=t t E gt t t gt S S S S E r )(22/)()(2**=-≈-= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x -| < = δ=⨯-21021于是有 |*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*00x x -| < =δ10|*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210类推有 |*1010x x -| < =810102110⨯=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11041001110112 → 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--247210250413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--147200250413 → 21=x , 12=x , 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114-=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l6/1/114141-==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l10/1/)(2212414242=-=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u 37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u从而， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3101141101421126=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--137/910/16/1015/16/10013/10001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/95500010/910/37003/13/23/1001126由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T .3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 301022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T. 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 3331=l 3632-=l 233=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T . 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 1203022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l331=l 632-=l 333=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66-，33）T. 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T . 4、解： 对1=i , 2111==a d ；对2=i , 121-=t , 2121-=l , 252-=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732-=l ,5273=d .所以数组A 的形式为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=527572102521002A 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T . 求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010000000000010010015432l l l l ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5432106000000000600006006u u u u u 计算各元素得： 51=u , 512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u , 65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51-，191，651-，211212）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395-，665212）T.（2）设A = LU = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100132l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32101001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+--=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+--=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)1(1)1(2+--=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+--=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x 525351)(3)(1)1(2++-=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x 525351)(3)1(1)1(2++-=++k k k x x x5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x 7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
西安石油大学现代数值计算方法第2章
(n) 最后，若 ann 0 ，逐步回代可得到原方程组的解：
xn
b
(n) n
(b
a
(n) nn
xi
(i ) i
j i 1
(i ) a ij x j ) (i ) aii
n
（i=n-1,n-2,…2，1）
上面的求解过程称为Gauss顺序消去法。它通过一 系列消元过程与最后的一步回代过程来得到方程组的 解。 Remark1：在Gauss顺序消去法的消去过程中，可以将 右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A （指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变 换，将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方 程组的解。
xn b / a
(n) n (n) nn
(i ) n (i ) (i ) xi bi aij x j / aii j i 1
i n 1, n 2,...,1
(1) (k ) akk 说明：①当 k a11 （k=1,2,…，n)均不为零时 (k ) 0 或相对 高斯顺序消去法能进行下去，但当 akk (k ) 于 aik （i=k+1,k+2…，n）比较小时，计算时产生的 舍入误差将导致计算结果误差增大。
(k ) 设为 A X b
(k )
Stepk： 若a
(k ) kk
o
,令 lik
(k ) aik
a
用- lik 来乘以第k-1步所得方程中的第k个方程，加到 第i （i=k+1,k+2,…,n）个方程，并保留第k个方程，则得：
(1) (1) ) (1) a11 x1 a12 x2 a1(1 x b n n 1 ( 2) ( 2) ( 2) a x a x b 22 2 2n n 2 (k ) (k ) (k ) a x a x b kk k kn n k ( k 1) ( k 1) ( k 1) a x a x b k 1, k 1 k 1 k 1, n n k 1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) a x a x b n , k 1 k 1 n,n n n
数学的数值计算方法
数学的数值计算方法数值计算法是数学中一个重要的分支，它研究如何利用计算机进行数学问题的求解与模拟。
在现代科学与工程领域，数值计算法被广泛应用于解决各种实际问题，如物理模拟、数据分析、优化问题等。
本文将介绍几种常用的数值计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、插值与拟合方法插值与拟合是数值计算中常见的问题。
它们的目标是通过已知的数据点构建出一个函数，以便对未知点进行估计或者进行数据拟合。
在插值方法中，我们希望通过已知数据点构建出一个通过这些点的函数；而在拟合方法中，我们希望通过已知数据点找到一个函数，使得该函数与实际数据的误差最小。
在插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值基于插值多项式的思想，通过利用数据点的函数值和相应的系数进行插值；牛顿插值则是通过差商的概念构建出插值多项式。
而在拟合方法中，最常用的是最小二乘拟合。
最小二乘拟合通过最小化实际数据与拟合函数之间的误差，找到最优的拟合函数。
二、数值微积分方法数值微积分方法是研究如何通过数值计算的方式求解微积分问题。
微积分问题涉及到函数的极限、导数、积分等。
在实际计算中，我们无法通过传统的解析方法求解这些问题，而需要借助数值计算的手段。
在数值计算微积分中，最常用的是数值积分方法和微分方程的数值解法。
数值积分方法通过数值逼近的方式求解积分问题，如梯形法则和辛普森法则；微分方程的数值解法则是通过数值逼近的方式求解微分方程的解，如欧拉法和龙格-库塔法。
三、线性代数方法线性代数是数值计算中的一个重要分支，它研究线性方程组与矩阵运算的数值计算方法。
在实际科学与工程问题中，线性方程组的求解与矩阵运算是非常常见的。
线性方程组的数值解法包括直接法和迭代法。
直接法适用于方程组规模较小、系数矩阵呈稠密型的情况，如高斯消元法和LU分解法；而迭代法适用于方程组规模较大、系数矩阵呈稀疏型的情况，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
矩阵运算的数值方法包括矩阵乘法、矩阵分解与特征值求解等，如QR分解和幂法。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数学算法和计算机技术，对数值问题进行近似求解的方法。
它广泛应用于科学、工程和金融等领域，是现代科学研究和工程设计中不可或缺的工具。
本文将介绍数值计算方法的基本概念和原理，以及一些常用的数值计算方法和其在实际问题中的应用。
一、基本概念和原理1.1 数值计算方法的定义数值计算方法是一种使用数学模型和计算机算法来求解数值问题的方法。
它的基本思想是将实际问题转化为数学模型，并通过数学算法进行近似求解。
数值计算方法包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值方程求解等多个方面。
1.2 数值计算方法的原理数值计算方法的原理是通过将连续的实际问题转化为离散的数学问题，然后利用数值算法对离散问题进行求解。
它的基本步骤包括问题建模、离散化、数值计算和求解结果的评估。
数值计算方法的关键在于选择合适的离散方法和数值算法，并进行适当的误差分析。
二、常用的2.1 数值逼近方法数值逼近方法是一种通过使用逼近函数来近似求解函数值的方法。
常用的数值逼近方法包括插值法、拟合法和最小二乘法等。
插值法通过已知函数值来估计其他点上的函数值，拟合法通过拟合函数来逼近实际数据，最小二乘法通过最小化误差平方和来确定拟合函数的系数。
2.2 数值微积分方法数值微积分方法是一种通过数值近似计算函数的导数和积分的方法。
常用的数值微积分方法包括数值微分和数值积分。
数值微分通过差分近似计算函数的导数，数值积分通过数值近似计算函数的定积分。
数值微积分方法在科学计算和工程设计中广泛应用，如求解微分方程、优化问题等。
2.3 数值代数方法数值代数方法是一种通过数值计算近似解线性代数方程组的方法。
常用的数值代数方法包括直接方法和迭代法。
直接方法通过高斯消元法等精确求解线性方程组，迭代法通过迭代逼近的方式求解线性方程组。
数值代数方法广泛应用于科学计算和工程设计中的矩阵计算和线性方程组求解等问题。
2.4 数值方程求解方法数值方程求解方法是一种通过数值计算近似求解非线性方程的方法。
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式值法插一、）插值法拉格朗日（Lagrange1.两点一次：a)b)三点二次：）插值牛顿（Newton2.次牛顿法多项式：a)n其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下）插值三次埃米尔特（Hermite3.二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x带入求A ii3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度,…x m2m+1时不成立，则称此f(x)=x若求积公式对f(x)=1,x,x时精确成立，而对求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数设满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立其次行2）3）三角不等式域上的一个向量范数为称常见范数：矩阵范数定义：其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数设满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行三角不等式3）4）乘积性质域上的一个矩阵范数为称常见范数：行范数列范数的最大按模特征值为2.谱半径3.雅可比迭代向量：的方程，分量通式如下：xi个方程解出i用第矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：带入下边的公式，分量个方程解出xi的方程，并将上式得到的用第i通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中5.松弛迭代雅可比松弛（JOR）：时，收敛注：当雅可比方法收敛时，收敛逐次超松弛（SOR）：注：系数矩阵A对称正定，时收敛六、方程求根1.大范围收敛定理a)?(x)在[a,b]上连续；b)当x?[a,b]时，?(x) ?[a,b]；c)?'(x)存在，且对任意x?[a,b]有2.牛顿迭代法牛顿下山法，其中3.割线法七、矩阵特征问题求解1.规范化乘幂法2.原点位移乘幂法，用B=A-I*?替代A，则得到的特征值u=?-?，特征向量不变?取一个00i0i八、常微分方程的数值解法1.欧拉公式2.向后欧拉公式3.梯形公式4.改进欧拉公式。
西安石油大学现代数值计算方法第3章
*
，
x* xk 1 ，否则继续对分。
Remark1：由于 故也可以用
1 xk 1 x xk 1 xk k 1 (b a) ， 2 xk 1 xk 来控制误差。（最常用）
*
Remark2：也可以使用
4.迭代收敛准则
方法一、事先误差估计法 先计算满足误差要求的迭代次数k，再进行迭代。
k L x1 x0 由 xk x * f ( x) 0 ,将其变成一个等价的方程 x ( x) ,构造 xk 1 ( xk ), k 0,1, , {xk } 称为迭代数列，
( x) 称为迭代函数, xk 1 ( xk )称为迭代公式
或迭代过程。 xk 1 lim ( xk ) (lim xk ) 当 ( x) 连续时，有 lim k k k 即 x* ( x* ) 或 f ( x * ) 0 。 即序列{xk }的极限 x * 为 f ( x) 0的根。 因此，我们可以通过求迭代数列的极限的方法来 求得方程f(x)=0的根。
移项，两边除以1-L得
xk x * 1 xk 1 xk 1 L
（3）由
xk 1 xk ( xk ) ( xk－1 ) ＝ ' ( )( xk xk－1 ) L xk xk 1 Lk x1 x0
1 xk x xk 1 xk 1 L L xk xk 1 1 L Lk x1 x0 1 L
* x （2）在 的某个邻域 S {x | x x* }，对于任意xS，有
' ( x) L 1
则对于任意的初值x0S，迭代公式 xk 1 ( xk ), k 0,1,2 产生的序列{xk }必收敛于方程的根 x * 。
现代数值计算方法习题解答
现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E= 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E= 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E = 14.3E = 14.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α= 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121−−××=n < = 21× 10-4, 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x n x E n n n−=≈−−)(11)()(1)()(*****11****x E nx x x n x x x x nx x E x E r nnnn n r =−=−≈=− 5、解：(1)因为=204.4721…… ， 又=)(*x E |*x x −| = |47.420−| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x4.47. (2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有|)(*x E r |)1(10421−−××=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 c m .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =−=−= < = 0.1，所以)(*x E< = 0.005 c m . 7、解：因为)()(*1x x nx x E n n −≈−,所以n x nE x x x n xx E x E r nn nr 01.0)()()(*==−≈=. 8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =−≈−=t t E gt t t gt S S S S E r )(22/)()(2**=−≈−= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x −| < = δ=×−21021于是有|*11x x −| = |110110*00+−−x x | = 10|*00x x −| < =δ10|*22x x −| = |110110*11+−−x x | = 10|*11x x −| < =δ210类推有 |*1010x x −| < =810102110×=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法. （1）方程组的增广矩阵为：−−−−11114423243112M M M → −−−−1010411101110112M M M →−−−11041001110112M M M → 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：−−−−−−017232221413M M M → −−247210250413M M M → −−147200250413M M M → 21=x , 12=x, 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114−=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l 6/1/114141−==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=−=u l a u 3/213212323=−=u l a u 3/114212424=−=u l a u 5/1/)(2212313232=−=u u l a l 10/1/)(2212414242=−=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=−−=u l u l a u 10/9243214313434−=−−=u l u l a u 37/9/)(33234213414343−=−−=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444−=−−−=u l u l u l a u从而，−−−−3101141101421126 =−−137/910/16/1015/16/10013/10001−−−370/95500010/910/37003/13/23/1001126 由b LY =, 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 301022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 3331=l 3632−=l 233=l 因此， L ＝−23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T . 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 1203022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 331=l 632−=l 333=l因此， L ＝−363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66−，33）T. 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T. 4、解： 对1=i , 2111==a d ；对2=i , 121−=t , 2121−=l ,252−=d ； 对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732−=l ,5273=d .所以数组A 的形式为：−−−=527572102521002A 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T .求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU =1010000000000010010015432l l l l5432106000000000600006006u u u u u 计算各元素得： 51=u ,512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u , 65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u .求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51−，191，651−，211212）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395−，665212）T.（2）设A = LU =100100132l l3211001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T. 求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同. 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+−−=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+−−=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+−−=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+−−=+k k k x x x14141)(3)1(1)1(2+−−=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+−−=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+−=+k k k x x x 525351)(3)(1)1(2++−=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+−=+k k k x x x 525351)(3)1(1)1(2++−=++k k k x x x5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
现代数值计算方法
吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3 （硕士）13212（博士）课程类别：研究生公共课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第I或第H学期考核方式：考试（闭卷）执笔人：李永海制定日期：2011年5月吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Moder n nu merical method学时/学分：64/3 （硕士）/32/2 （博士）课程类别：研究生教育课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第I或第U学期考核方式：考试（闭卷）一、本课程的性质、目的和任务本课程属于非数学类研究生数学公共基础课程之一，数值计算方法作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如力学、电磁学、化学、生物、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为数值计算方法的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握现代数值计算方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解现代数值计算方法的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握现代数值计算方法在物理、电子、化学、生物、工程等领域的许多应用。
二、本课程教学基本要求1. 线性代数方程组直接法理解线性代数方程组直接法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组直接法的求解步骤。
2. 线性代数方程组迭代法理解线性代数方程组迭代法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组迭代法的求解步骤。
3. 矩阵特征值与特征向量计算理解乘幕法和反幕法算法原理，了解实对称矩阵的Jacobi方法；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般矩阵特征值与特征向量计算。
现代数值计算方法MATLAB版教学设计
现代数值计算方法MATLAB版教学设计一、教学目标本教学设计旨在使学生能够掌握现代数值计算方法，并使用MATLAB软件进行数值计算。
具体目标如下：1.熟练掌握现代数值计算方法的理论基础；2.学会使用MATLAB软件进行数值计算，并能够利用各类数学工具箱解决实际问题；3.能够应用数值计算方法并进行分析和评估，使得数值结果更加准确可靠。
二、教学内容和教学方法1. 教学内容本课程主要包括以下部分：1.现代数值计算方法的基础知识：数值误差分析，舍入误差分析，插值与拟合问题；2.常微分方程数值解法：欧拉法、改进欧拉法、梯形法、四阶龙格库塔法等；3.偏微分方程数值解法：有限差分法、有限体积法、有限元法等；4.MATLAB数学工具箱的使用：ODE工具箱、PDE工具箱、优化工具箱等。
2. 教学方法本课程采用轮廓课程、普通课程和实验课的教学方法相结合，使得学生既能了解数值计算方法的理论基础，又能亲自动手进行数值计算并对结果进行分析和评估。
具体安排如下：1.轮廓课程：讲授现代数值计算方法的基本概念和理论知识。
2.普通课程：讲解具体的数值计算方法，并进行案例分析。
3.实验课：学生根据教材中的案例自主使用MATLAB软件进行数值计算，并对结果进行分析和评估。
三、教学评价本课程的教学评价主要包括以下方面：1.知识掌握水平：考查学生对现代数值计算方法和MATLAB软件的掌握水平。
2.分析能力：考查学生对数值计算结果的分析和评估能力。
3.实践能力：考查学生对数值计算方法的应用能力，是否能够利用相应的数学工具箱解决实际问题。
四、教学建议为了使得本课程的教学效果更好，教师可以考虑以下建议：1.建立深入浅出的教学体系，以更好地帮助学生理解数值计算方法的基本概念和理论知识。
2.加强实验课的教学质量，提高学生的实践能力。
3.增加实际应用案例，加深学生对数值计算方法和MATLAB软件的认识和理解。
4.不断更新教材和案例，以确保课程内容的科学性和实用性。
现代数值计算方法第四章
现代数值计算方法第四章第四章：数值微分和数值积分引言：在许多实际问题中，我们需要计算函数的导数和积分。
然而，很多函数并没有简单的解析形式，所以我们需要使用数值方法来近似计算它们的导数和积分。
在本章中，我们将介绍一些常见的数值微分和数值积分方法，包括差分法、梯形法和辛普森法等。
一、数值微分方法1.差分法差分法是一种简单而常用的数值微分方法。
其基本思想是通过计算函数在两个相邻点上的差值来近似计算函数的导数。
差分法的一阶准确度可以通过使用中心差分来提高。
2.中心差分法中心差分法是一种提高差分法精度的常见方法。
它使用了函数在两个相邻点的斜率来近似计算函数在这两个点的导数。
由于中心差分法能够利用更多的信息，因此它的精度比一阶差分法更高。
3.高阶差分法在一些需要更高精度的情况下，可以使用高阶差分法进行数值微分。
高阶差分法可以使用更多的点来进行近似计算，从而提高精度。
二、数值积分方法1.矩形法矩形法是一种简单而直观的数值积分方法。
其基本思想是将函数在积分区间上近似为若干个矩形，并求得这些矩形的面积之和。
矩形法的准确度随着矩形数量的增加而提高。
2.梯形法梯形法是一种常见的数值积分方法。
它通过将函数在积分区间上近似为若干个梯形，并求得这些梯形的面积之和来进行数值积分。
梯形法的准确度要比矩形法高。
3.辛普森法辛普森法是一种较高精度的数值积分方法。
它通过将函数在积分区间上近似为若干个二次曲线，并求得这些二次曲线的面积之和来进行数值积分。
辛普森法的准确度要比梯形法高。
三、误差分析数值微分和数值积分都会引入一定程度的误差。
因此，对于得到的数值结果，我们需要进行误差分析，以确定近似结果的可靠性。
误差分析的常见方法包括截断误差和舍入误差等。
结论：数值微分和数值积分是求解实际问题中常用的方法。
在本章中，我们介绍了差分法、中心差分法、高阶差分法以及矩形法、梯形法和辛普森法等常见的数值微分和数值积分方法。
通过这些方法，我们可以近似计算函数的导数和积分，以便解决实际问题。
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吉林大学研究生公共数学课程
教学大纲
课程编号：
课程名称：现代数值计算方法
课程英文名称：Modern numerical method
学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）
课程类别：研究生公共课程
课程性质：必修课
适用专业：理、工、经、管等专业
开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期
考核方式：考试（闭卷）
执笔人：李永海
制定日期：2011年5月
吉林大学研究生公共数学课程教学大纲
课程编号：
课程名称：现代数值计算方法
课程英文名称：Modern numerical method
学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）
课程类别：研究生教育课程
课程性质：必修课
适用专业：理、工、经、管等专业
开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期
考核方式：考试（闭卷）
一、本课程的性质、目的和任务
本课程属于非数学类研究生数学公共基础课程之一，数值计算方法作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如力学、电磁学、化学、生物、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为数值计算方法的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握现代数值计算方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解现代数值计算方法的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握现代数值计算方法在物理、电子、化学、生物、工程等领域的许多应用。
二、本课程教学基本要求
1. 线性代数方程组直接法
理解线性代数方程组直接法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组直接法的求解步骤。
2. 线性代数方程组迭代法
理解线性代数方程组迭代法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组迭代法的求解步骤。
3. 矩阵特征值与特征向量计算
理解乘幂法和反幂法算法原理，了解实对称矩阵的Jacobi方法；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般矩阵特征值与特征向量计算。
4. 非线性方程（组）求根
理解二分法和牛顿法原理，了解解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法；理解算法应用条件；掌握用软件实现非线性方程（组）求根计算。
5. 函数插值
理解一般函数插值公式原理，了解三次样条插值；理解算法应用条件；掌握用软件实现函数插值计算。
6. 数值积分
理解传统数值积分原理，掌握高维积分、奇异积分数值积分计算原理、了解积分的统计算法原理，掌握大部分算法的软件实现。
7. 常微分方程初值问题的数值解法
理解单步法基本原理；掌握单步法收敛性和稳定性判别方法；理解多步法基本原理，并能熟练编程实现。
8. 偏微分方程的数值解法
掌握差分法和有限元基本原理并能编程实现。
9. 有限体积法
理解针对各类方程的有限体积法基本原理；掌握椭圆型方程有限体积法等参双线性元和二次元实现步骤并能编程实现。
10. 谱方法与拟谱方法
理解谱方法与拟谱方法基本原理并能编程实现；了解配置法基本原理。
11. 大规模稀疏线性代数方程组求解
理解大规模稀疏线性代数方程组求解算法原理，了解算法收敛性结
果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般大规模稀疏线性代数方程组
的求解。
12.小波算法与图像处理
理解小波的基本概念及基本性质，理解积分方程的小波解法原理。
了
解应用小波进行图像处理的基本算法。
13.电磁场计算方法
了解宏观电磁场理论，理解时谐电磁场问题和一般电磁场问题的算法
原理并能编程实现，理解吸收边界条件下算法原理。
三、本课程的教学内容及学时分配
(本书为研究生用书共96学时）
第一章线性代数方程组直接法
第一节高斯消元法
第二节矩阵三角分解法
第三节*误差分析
第二章线性代数方程组迭代法
第一节Jacobi和Gauss-Seidel迭代法
第二节松弛迭代法
第三节*最速下降法和共轭斜量法
第三章矩阵特征值与特征向量计算
第一节乘幂法和反幂法
第二节实对称矩阵的Jacobi方法
第四章非线性方程（组）求根
第一节迭代法及其收敛性
第二节解非线性方程的二分法和牛顿法
第三节解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法
第五章函数插值
第一节Lagrange 插值公式
第二节Newton插值公式
第三节Hermite插值
第四节分段插值
第五节三次样条插值
第六章数值积分
第一节传统数值积分算法
第二节高维积分的数值计算
第三节奇异积分的数值计算
第四节积分的统计算法
第七章常微分方程初值问题的数值解法
第一节单步方法
第二节收敛性和稳定性
第三节多步方法
第八章偏微分方程的数值解法
第一节边值问题的差分法
第二节初值问题的差分法
第三节有限元方法
第九章有限体积法
第一节椭圆型方程有限体积法
第二节等参双线性元(FVM)
第三节二次元(FVM)
第四节抛物型方程有限体积法
第五节线性双曲型方程有限体积法
第十章谱方法与拟谱方法
第一节概述
第二节谱方法
第三节拟谱方法
第四节配置法
第十一章大规模稀疏线性代数方程组求解
第一节问题概述
第二节GMRES算法
第三节算法的收敛性
第四节算法的扩展
第十二章小波算法与图像处理
第一节小波的基本概念
第二节小波系统的多分辨率
第三节积分方程的小波解法
第十三章电磁场计算方法
第一节宏观电磁场理论
第二节时谐电磁场问题的计算
第三节一般电磁场问题的计算
第四节吸收边界条件
四、选用教材与主要参考书
1、选用教材
《现代数值计算方法》等主编2012年科学教育出版社出版2、主要参考书
(1)《数值计算方法》，黄明游等编，科学出版社出版；
(2)《有限差分法》，李荣华编，高等教育出版社出版；
五、关于本大纲的说明
1．本大纲依据教育部颁发的教学基本要求，按照吉林大学研究生课程教学大纲管理条例，并结合我校相关专业需求的具体情况制定的，适用于非数学类研究生数学公共基础课程各专业使用。
2．“教学内容”中打*的部分和相应条目的内容是供选讲或可略讲的内容。
任课教师可根据教学实际情况适当处理，亦可根据教学对象适当增加少量大纲规定之外的内容。
但是“基本要求”中的内容必须确保教好学好。