2020东城区高三一模文科数学试卷及答案

东城区2020-2020学年度综合练习（一）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）命题“0x ∃∈R ，20log 0x ≤”的否定为（A ）0x ∃∈R ，20log 0x > （B ）0x ∃∈R ，20log 0x ≥ （C ）x ∀∈R ，2log 0x ≥ （D ）x ∀∈R ，2log 0x >（3）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ） （B ） （C ） （D ）o3π56π xy11-（4）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）②和④（5）已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为 （A ）(2,)3π （B ）(2,)6π（C ）1(,)23π （D ）1(,)26π（6）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤（7）已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32（C ）1(,1)2（D ）(1,2)（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 （A ）3 （B ）323- （C ）36- （D ）33- 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）抛物线28y x =的焦点坐标为 ．（10）在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++= ． （11）已知向量a ，b ，c 满足-+=20a b c ，且⊥a c ，||2=a ，||1=c ，则||=b ．（12）已知π(,π)2α∈,π1tan()47α+=,则sin cos αα+= ．（13）设22,1,()log (1),1,x a a x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩且1f =，则a = ； ((2))f f = ．（14）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≥≥k kx y y x 4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当1k >时，1-k kS的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4cos 5C =，2cos c b A =． （Ⅰ）求证：A B =； （Ⅱ）若△ABC 的面积152S =，求c 的值．75 80 85 90 95 100 分数 频率0.010.02C（16）（本小题共13分）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．（17）（本小题共13分）某高校在2020年的自主招生考试成绩 中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩 分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组 [95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．(18)（本小题共14分）已知函数32()f x x ax x c =+-+，且2'()3a f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设函数x e x x f x g ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =u u u r u u u r，求实数m 的取值范围．（20）(本小题共13分)对于)2(≥∈n n *N ，定义一个如下数阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nn a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0=ij a ．（Ⅰ）当4n =时，试写出数阵44A ；（Ⅱ）设nj j j ni ij a a a a j t +++==∑=Λ211)(．若][x 表示不超过x 的最大整数，求证：∑=n j j t 1)(∑==ni in1][．北京市东城区2020-2020学年度第二学期综合练习（一） 高三数学参考答案 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）A （2）D （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）(2,0) （10）42（11）（12）51-（13）7；6（14）32注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）（Ⅰ）证明：因为2cos c b A =，由正弦定理得sin 2sin cos C B A =⋅， 所以sin()2sin cos A B B A +=⋅，sin()0A B -=，在△ABC 中，因为0πA <<，0πB <<， 所以ππA B -<-<所以A B =． ……………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a b =．因为4cos 5C =，所以3sin 5C =． 因为△ABC 的面积152S =，所以115sin 22S ab C ==，5a b ==． 由余弦定理2222cos 10c a b ab C =+-=所以c =． ……………………13分C（16）（共13分）（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA 所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDEPC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE ．……………………6分（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥ 因为OP AC O =I 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分（17）（共13分）解：(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.0650.3⨯=， 第4组的频率为0.0450.2⨯=，第5组的频率为0.0250.1⨯=． (3)分(Ⅱ)第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=，第5组的人数为0.110010⨯=．因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=， 第4组：206260⨯=， 第5组：106160⨯=． 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人． ……………………8分(Ⅲ)设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ， 第5组的1位同学为1C ． 则从六位同学中抽两位同学有：1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C23212221(,),(,),(,),(,),A A A B A B A C313231(,),(,),(,),A B A B A C 121121(,),(,),(,),B B BC B C共15种可能．其中第4组的2位同学为1B ，2B 至少有一位同学入选的有：11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155=． ……………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由32()f x x ax x c =+-+，得2'()321f x x ax =+-．当32=x 时，得22222'()3()2'()()13333a f f ==⨯+⨯-，解之，得1a =-． ……………………4分（Ⅱ）因为32()f x x x x c =--+．从而21'()3213()(1)3f x x x x x =--=+-，列表如下：所以)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-． ……………………9分（Ⅲ）函数32()(())()x x g x f x x e x x c e =-⋅=--+⋅，有2')(21)()x x g x x e x x c e =--+--+（=2(31)x x x c e --+-， 因为函数在区间]2,3[-∈x 上单调递增，等价于2()310h x x x c =--+-≥在]2,3[-∈x 上恒成立， 只要0)2(≥h ，解得11c ≥， 所以c的取值范围是11c ≥． ……………………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>由题意：22212231c a a a c b c a b c ⎧==⎪⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎪⎩所求椭圆方程为：22143x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）若过点(0,)P m的斜率不存在，则m = 若过点(0,)P m 的直线斜率为k，即：2m ≠±时， 直线AB 的方程为y m kx -=由22222(34)841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 2222644(34)(412)m k k m ∆=-+-因为AB 和椭圆C 交于不同两点 所以0∆>，22430k m -+> 所以2243k m >- ① 设1122(,),(,)A x y B x y由已知3AP PB =u u u r u u u r ，则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++ ②1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-u u u r u u u r123x x -= ③将③代入②得：222244123()3434km m k k --=++ 整理得：22221612390m k k m -+-=所以222931612m k m -=-代入①式得2222934343m k m m -=>-- 2224(3)043m m m -<-，解得2334m <<．所以m<<m<<综上可得，实数m的取值范围为：(22-U．……………………14分（20）(共13分)解：（Ⅰ）依题意可得，441111010100100001A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭……………………4分（Ⅱ）由题意可知，)(jt是数阵nnA的第j列的和，因此∑=njjt1)(是数阵nnA所有数的和．而数阵nnA所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的ni≤≤1，不超过n的倍数有i1，i2，…，iin][．因此数阵nnA的第i行中有][in个１，其余是0，即第i行的和为][in．所以∑=njjt1)(∑==niin1][．……………………13分。