全等三角形之手拉手模型、倍长中线截长补短法

Q. 探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系.（证角相等方法）
BC 中点， EF ∥ AD 交 CA 的延长线于点 F ，交 AB 于点 G ，
若 BG CF ，求证： AD 为 ABC 的角平分线．
【练 4】如图所示，已知 ABC 中， AD 平分 BAC ， E 、
F 分别在 BD 、 AD 上． DE CD ， EF AC ．
求证： EF ∥ AB
手拉手模型
要点一：手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°
（3）OA 平分∠BOC 变形： 例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作 两个等边三角形 ABD 与 BCE ， 连结 AE 与 CD ，证明 （1） ABE DBC (2) AE 与 DC 之间的夹角为 60 (3) BH 平分 AHC 变式精练 1：如图两个等边三角形 ABD 与 BCE ， 连结 AE 与 CD ， 证明（1） ABE DBC （2） AE 与 DC 之间的夹角为 60 （3） AE 与 DC 的交点设为 H , BH 平分 AHC 变式精练 2：如图两个等边三角形 ABD 与 BCE ，连结 AE 与 CD ， 证明（1） ABE DBC (2） AE 与 DC 之间的夹角为 60
(3） AE 与 DC 的交点设为 H , BH 平分 AHC
例 2：如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG ,连结 AG,CE ,二者相交于点 H
问：（1） ADG CDE 是否成立？
（2） AG 是否与 CE 相等？
（3） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？
（4） HD 是否平分 AHE ？
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线A △ABC 中
方式 1： 延
长 AD 到 E，
B
C
D
AD 是 BC 边中线
使
E
DE=AD，
连
接 BE
方式 2：间接倍长
作 CF⊥AD 于 F，
延长 MD 到 N，
作 BE⊥AD 的延长线于 E
使 DN=MD，
连接 BE
连接 CD
【例 1】 已知： ABC 中， AM 是中线．求证： AM 1 (AB AC) ．
DC 所在直线相交于 F，连接 FB.判断线段 FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证
明你的结论。
【练 1】如图，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条
直线上，且角 EBD=62°，求角 AEB 的度数
线段
倍长中线类
倍长与中点有关的
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考 虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段， 从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、 构造全等三角形、平移线段。
（2）如果 BM 2 CN 2 DM 2 DN 2 ，求证 AD2 1 AB2 AC2 ． 4
【例 4】如图，等腰直角 ABC 与等腰直角 BDE ， P 为 CE 中点，连接 PA 、 PD . 探究 PA 、 PD 的关系.（证角相等方法）
【练 1】如图，两个正方形 ABDE 和 ACGF ，点 P 为 BC 的中点，连接 PA 交 EF 于点
AE
与 CD ，
问：（1） ABE DBC 是否成立？
（2） AE 是否与 CD 相等？
（3） AE 与 CD 之间的夹角为多少度？
（4） HB 是否平分 AHC ？
例 5：如图，点 A. B. C 在同一条直线上，
分别以
AB、BC 为边在直线 AC 的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接 AE、DC，AE 与
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BD=CF，连结 DF 交 BC 于 E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)
【例 2】 如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F ， AF EF ，求
E
证：
AC BE ．
【练 1】如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，
【例 3】已知 AM 为 ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交
AC 于 F ．求证： BE CF EF ．
【练 1】在 RtABC 中， F 是斜边 AB 的中点， D 、 E 分别在边 CA 、 CB 上，满足
DFE 90 ．若 AD 3 ， BE 4 ，则线段 DE 的长度为_________．
E
是 AD 上一点，且 BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F ，
求
证： AF EF
【练 2】如图，在△ABC 中，AB>AC，E 为 BC 边的中点，
AD 为∠BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于
F，交 CA 的延长线于 G. 求证：BF=CG.
【练 3】如图，在 ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是
2
【练 1】在△ ABC 中， AB 5，AC 9 ，则 BC 边上的中线 AD 的长的取值范围是什 么？ 【练 2】如图所示，在 ABC 的 AB 边上取两点 E 、 F ，使 AE BF ，连接 CE 、 CF ，求证： AC BC EC FC ．
【练 3】如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上的一点，且
【练 2】如图，△ABC 中，AB=2AC，AD 平分 BC 且 AD⊥AC，则∠BAC=______.
【练 3】在 ABC 中，点 D 为 BC 的中点，点 M 、 N 分别为 AB 、 AC 上的点，且 MD ND ．
（1）若 A 90 ，以线段 BM 、 MN 、 CN 为边能否构成一个三角形？若 能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
例 3：如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG ，
连结 AG,CE ,二者相交于点 H
问：（1） ADG CDE 是否成立？
（2） AG 是否与 CE 相等？
（3） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？
（4） HD 是否平分 AHE ？
例 4：两个等腰三角形 ABD 与 BCE ，其
中
AB BD , CB EB, ABD CBE ,连结