中线倍长法及截长补短经典讲义

几何证明中常用辅助线
(一)中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤
2
1
(AB+
AC)
小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

例2、中线一倍辅助线作法
△ABC中
方式1：延长AD到E，AD是BC边中线
使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
AD于F，延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CD
例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交
BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：∠C=∠BAE
C
作业：
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于
F ，求证：AF=EF
（二）截长补短法
教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2
∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩
⎨
⎧==CD AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.
例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
D
A
B
C
M T
E
A
B
C
D
图1-1
F
E
D
C
B
A
图
1-2
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2
在△FCE 与△BCE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.
又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .
求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2
∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
⎩
⎨
⎧==BP BP PD
PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .
∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .
在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180° 例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .
A
D
B C
E
F
1
234图2-2
A
B
C
D
P
1
2
N
图3-1
P
12
N
A
B
C
D E 图3-2
D
C
B A
12
图4-1
证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2
∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD .
又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .
上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

作业：
1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
F E
D
C
B
A
C
E
D
B A
E
D
C
B A 12
图4-2
F
D
C
B A 12
图4-3
（三）其它几种常见的形式：
1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例1、如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF .
2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF .
练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。

3、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，
求证：AD ＝BC
4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图7：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

A B
C
D E F
N
1
图1234
2图A
B C
D E F
M 1
23
4A
B
C D E
F
4
图A
B
C
D
E 6
图O
A
D
1
2
3
4
5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。

求证：BD＝2CE.
6、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证∠A＝
∠D.
8、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB.
截长补短专题训练作业：
1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
2．如图，□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．
D
C
B
A
1
10
图
O
10
图
D
C
B
A
M
N
D
E
F
C
N
M
P
D
C
B
A
3、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm ，
，求梯形ABCD 的面积；
（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．
4、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，AE=BE ，且AF ⊥AB ，连接EF ．
（1）若EF ⊥AF ，AF=4，AB=6，求 AE 的长． （2）若点F 是CD 的中点，求证：CE=BE ﹣AD ．
5.在□ABCD 中，对角线BD BC ⊥，G 为BD 延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，
BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE 交BD 于F ，连接GE .
（1）若□ABCD 的面积为93，求AG 的长； （2）求证：AE BE GE =+.
6. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线.点P 为矩形外一点且满足AP PC =，
AP PC ⊥.PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM PD ⊥交AD 于M .
（1）：若1
5,3
AP AB BC ==，求矩形ABCD 的面积；
（2）：若CD PM =，求证：AC AP PN =+.
7、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作BE DP ⊥交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 。

（1）若2
AE=，求EF的长；
（2）求证：PF EP EB
=+。

9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连结CE．点F是∠OCE 的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；
（2）求证：BF=OG+CF． D
O
E
F
G M
9题图。