考研高数全册小结论--陈文灯老师

n →∞
(3) lim x ln x = 0 +
x →0
(4) lim xx = 1 +
x →0
(5) lim
an =0 n →∞ n !
14. 函数 f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时 f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：
f ( x) =
15． 注意
1 -1
∫ tan xdx = − ln | cos x | + C ∫ cot xdx = ln | sin x | +C ∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +C ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | + C ∫ (sin x) dx = 2 − 4 sin 2 x + C ∫ (cox)
2．
x ln a
0<| x |<
πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时 2
sin x < x < tan x 如果 lim U = 1, lim V = ∞ 则 lim U V = elim(U −1)V
π 时 2 1 1 − cos x < x 2 2
3．
4.
f ( x) + f (− x) f ( x ) − f (− x) 表示偶函数， 表示奇函数 2 2
. 函数取得极值的第二充分条件 17 17.
设f ( x )在 x 0处n阶可导，且f '( x 0) = f ''( x 0) = f '''( x 0) = ⋯⋯ = f ( n −1) ( x 0) = 0
f ( n ) ( x 0) ≠ 0 (2 ≤ n)
(1) n = 2k且f ( n ) ( x 0) < 0 ⇒ f ( x 0)为极大值 (2) n = 2k且f ( n ) ( x 0 ) > 0 ⇒ f ( x 0)为极小值 (3)n=2k+1
dx
(2 n +1)
9． 重要不定积分
∫ (sin x)
cos x
=∫
sec xdx (sec x) (2 n + 2) dx (sec x) 2n d (tan x) = = ∫ (tan x) (2n+1) (sin x) 2 n +1 ∫ (sin x)(2 n +1) (2 n +1) (cos x )
2 2
x
1
x 1 dx = + sin 2 x + C 2 4
∫ (tan x) dx = tan x − x + C ∫ (cot x) dx = − cot x − x + C
2
2
dx 1 x = arctan + C 2 +a a a dx 2 2 ∫ x 2 ± a 2 = ln | x + x ± a | + C dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln | x + a | +C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
ax
10． y=sinwx(w>0) /w 它的半个周期与 x 轴围成的面积为 s=2 s=2/w 把它的半个周期分成三等分 ,中间的那部分面积为 s’=1/w ’ 显然 s=2s s=2s’
2 w π 1 S ' = ∫23πw sin wxdx = w 3w
π
S = ∫ w sin wxdx =
0
11. 定积分部分 （1）如果函数 f（x）在[-a,a]上连续
∫
（2 ）
a
−a
f ( x) dx = ∫ [ f ( x) + f ( − x)]dx =
0
a
0(如果f ( x)为奇函数) 2∫ f ( x)dx(如果f ( x)为偶函数)
0
a
∫ ∫ ∫ ∫
π
−π
cos kxdx =0 sin kxdx =0 (cos kx)2 dx =π (sin kx) 2 dx =π
. 拐点的第二充分条件 18 18.
f ( x 0)不是极值点
设f ( x )在 x 0处n阶可导（n>2且为奇数） 若f ''( x 0) = f '''( x 0) = ⋯⋯ = f ( n −1) ( x 0) = 0，f ( n ) ( x 0) ≠ 0 则( x 0, f ( x 0))为拐点
直线L : y = kx + b为函数y = f ( x)的渐近线的充分必要条件为： 5． f ( x) k = lim b = lim[ f ( x ) − kx] 这里的∞包括 + ∞和 − ∞ x →∞ x →∞ x
6． 常见函数的导数 (记熟后解题快)
( x)' =
1 2 x
1 1 ( )' = − 2 x x
0 − 2
T
T
(2).∫
a + nT
a
f ( x )dx = n ∫ f ( x )dx
0
T
(5). 特殊积分
∫ ∫ ∫
+∞
0 +∞
e − u du = e − ax dx =
2
π 2
1 ( a > 0) a
0 +∞
w ( p > 0, w > 0) p 2 + w2 +∞ p − pt ∫0 e cos wtdt = p 2 + w 2 ( p > 0, w > 0) +∞ sin x π ∫0 x dx = 2
0
(2)∫
f (sin x ) d x = 2 ∫
π
0
f (sin x ) d x = 2 ∫
π
0
π 2 0
f (co s x ) d x
π
0
特 别 的 ∫ (sin x ) n d x = 2 ∫ 2 (sin x ) n d x = 2 ∫ 2 (co s x ) n d x (3) ∫ (co s x ) d x =
( x x ) ' = x x (1 + ln x)
7.关于 n 阶导数的几个重要公式
nπ ) 2 nπ (sin kx)( n ) = k n sin( x + ) 2 n (n) ( x ) = n!
(sin x )( n ) = sin( x + (e x ) ( n ) = e x ( 1 ( n ) (−1)n n ! ) = t+x (t + x )n +1
11. 图像分段的函数不一定是分段函数（如 y=1/x） 分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如 y=|x|） 12. 如何证明一个数列是发散的？ （1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值 （2）找一个发散的子数列 13. 必记极限
n! =0 n n →∞ n (2) lim n n = 1
(1) lim
0
e − pt sin wtdt =
(6). 关于三角函数定积分简化 ( 注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)
(1) ∫
π 2 0 π
0
f (sin x ) d x = ∫
π 2 0
π
π
0
f (co s x ) d x
π 2 0
特 别 的 ∫ 2 (sin x ) n d x = ∫ 2 (co s x ) n d x
[1 + (cot x )2 ]n ∫ (cos x)(2n+1) sin x = − ∫ (cot x)(2n+1) d cot x
dx
∫ 1 + cos x dx = tan 2 + C ∫ 1 + sin x dx = tan x − sec x + C =
n n
1
x
1
−2
x 1 + tan 2
x为有理数 x为无理数
若f '(a) > 0，只能得到结论：f ( x)在a点严格增加。即∀x ∈ ( a − δ , a)有f ( x) < f ( a) ∀x ∈ (a, a + δ )有f ( x) > f (a ); 但不能得到结论：f ( x)在U （a,δ）内单调增大
16．
设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导 ⇔ g(a)=0 应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2 -3x+2)的可导的点 显然为 1, 2
+C
(sec x) 2 n d (tan x ) ∫ (tan x) dx = ∫ (tan x) (sec x)2 dx = ∫ (tan x) 1 + (tan x)2
n n ∫ (cot x) dx = ∫ (cot x)
(csc x) 2 (cot x )n d (cot x ) dx = − ∫ 1 + (cot x)2 (csc x) 2
文登精编的高数小结论
1． 等价无穷小（x→0）
(1).sin x ∼ x ∼ tan x ∼ e x − 1 ∼ ln[1 + x ] ∼ arc sin x ∼ arctan x 1 (2).1 − cos x ∼ x 2 2 a (3).(1 + x ) − 1 ∼ ax (4).a x − 1 ∼ x ln a x (5).1 − n 1 − x ∼ n x (6). n 1 + x − 1 ∼ n (7).log a (1 + x) ∼ 0< x<