我谈陈文灯考研数学
考研辅导班名师的评价
2007年04月15日对于考研的同学来说必定是或多或少的报一两个考研辅导班，而政治辅导班的成效也许是最明显的，对于学校内铺天盖地的辅导班其鱼龙混杂的程度决不亚于郑州火车站的杂乱。
经过网上意见彻底无遗漏的的搜索出以下对政治辅导班主要授课老师简单评价，但愿能对研友们有所帮助。
考研政治辅导班老师推荐考研政治：任汝芬：名气大于程度。
如果真的照他的要领做，也能得高分，不过得花时间。
包仁：政治经济学熬头人。
如果你不觉得课堂气氛烦闷对你有影响的话，跟他能学到东西。
韩鹏杰：文、史哲皆通的才子。
听他的课能学好哲学，如果要参加测验，还要自己回去做题。
林代昭：名气大于实力。
其实上学不待记那么多条记，他的那种归纳总结，你也会。
岳华亭：写书好于讲课。
但听他的课测验基本够用。
汪云生：讲课如行云流水，但听久了你会思疑他有无抓住重点。
王琐明：讲课高效实用，但得法言。
听他的课如果有份课本，将没有缺憾。
张俊芳：中学式互动教学，能煽情，功底太浅。
听他的课感觉掌握了，一上科场即发现不灵，更别指望她提高哲学程度了。
张锦峰：讲课诙谐风趣，但对考研试题不熟。
听他的课能提高程度，但不一定能对付测验。
刘儒：任汝芬团队最差的一个。
被指望跟着他提高程度，但对付考研还马马乎乎。
王明生：节奏感强，有激情，有高度。
陈先奎；上学有点程度，仅限于邓论，其它千万别信他能押题。
杨凤城：重点凸起，条理分明。
陆卫民：年轻有为，上学能抓重点，引经据典。
徐之明：此人太能吹，上学决不回打瞌睡。
讲的不深不细，课下还得自己抓书补补。
雷雨：混进考研界的“滥竽”。
听他讲讲笑话还可以，千万别把他当回事。
杨树先：胡适的忠厚崇拜者。
讲课注重背景知识和命题分析，想得分挺容易。
但需要耐心，老人家上学时会莫名其妙停顿1分钟左右，大概累了或找思维去了，或好像亲游某地去见毛泽东了。
朱开云：终究是命题组成员，能从命题的角度讲解内部实质意义。
不过你得有所准备，如果你不怕爷爷般的话语，对峙听下去，可以获得高分。
考研数学满分(150分)的独家经验
以下是我对如何选择数学辅导书的建议：第一轮：陈文灯、黄先开《数学复习指南》＋辅导班笔记（无论你在哪里上的辅导班），可以说这本书在数学复习方面雄踞头榜，我周围的人几乎人手一册，连续多年热销，说明它还是比较实用的。
（第一轮复习用书中能与其有一拼的是李正元、李永乐的《数学复习全书》，没看过，不好评论。
）如果考生在10月底前能将其看完，数学复习已经有了一个很好的基础，不妨与辅导班笔记结合在一起看，比如辅导班20次课，每次的内容用3-4天处理完，包括笔记和《复习指南》的对应章节，这样不到三个月就能把数学详细的复习一遍。
还要强调一点，辅导班的笔记应该认真看，而且不宜隔太久。
第二轮：陈文灯、黄先开主编的《题型集粹与练习题集》是供第二轮复习用的，如果在经历了首轮复习之后，自我感觉效果很好、复习的很扎实，用这本《题型集粹与练习题集》是比较合适的。
如果复习的很仓促，效果不理想，可以看李永乐主编的《基础过关660》，这本书把知识点又梳理了一遍，题目也比较好。
模拟冲刺阶段：2005年市场上主要的模拟题有陈文灯主编的《数学最后冲刺》、李永乐主编的《数学经典400题》、胡金德主编的《数学预测试卷》、和赵达夫主编的《数学模拟考场》，这几本书我一本也没买，因为所在的学校开办的数学冲刺班上的14套卷子已经够多了，而且这些题的质量也很不错，是数学系老师“集体智慧的结晶”，关于以上那公开发行的五本书，综合周围朋友的意见，点评如下：陈文灯主编的《数学最后冲刺》：题目简单，据考研论坛上有网友提供的消息，文灯大师在北京的冲刺班上称这套题是假的；李永乐的《数学经典400题》：难，和朋友讨论过上面的题目，一道小题可能就综合了几个知识点；胡金德《数学预测试卷》：难，周围不少人做后备受打击；至于文灯学校免费向学员发放的两套模拟题，黄先开老师在暑期班上说这是对暑假讲义的补充，用他的话说是“把我们后来发现的新题以模拟题的形式免费发给大家”，所以值得一做。
一个大龄考生的考研心得
一个大龄考生的考研心得我07年7月到济南准备复习考研。
当时已经29岁了。
至于为什么辞职回来考全日制研究生。
就不多说了。
这里只说说我的考研心得。
我报考的是山东大学经济学院。
山大于我是一个梦。
96年高考我考山大未果，第二志愿录取到青大。
我2000年从青岛大学毕业，至2007年到济南复习准备，其时离开校园已经七年了。
知识差不多忘光了。
当时自己掂量了一下，感觉自己有以下可以依赖的资本，尚可凭借一战。
第一是我欢数学，本科学的也还可以。
第二是工作期间，我没丢下英语，因为工作要用到。
第三是我欢经济学，刚毕业发了工资，买过一本萨缪尔森的经济学，偶尔翻翻。
第四是我高中文科出身，政治也不应该担心。
这四门是考经济类学科的四门功课。
因此我觉得不是一点儿希望没有，值得一考。
于是从深圳辞了职，七月就回到济南开始准备了。
七八月我把主要时间放在数学和英语上。
数学从课本开始看，微积分，线性代数和概率论都用的人大版的，这是因为当年在大学就是用的人大版，看着顺手一些。
英语就是背单词。
这两个月学的很吃力，但是没有退路了，所以只能拼命学。
好在一起住出租屋的有两位考研同学，数学可以向他们请教，真的很感谢这两位同学。
这样啃了三个月，感觉数学可以恢复到当初本科的水平了。
于是开始看陈文灯。
从九月开始，看经济学专业课讲义。
由于认识了山大的在校生，所以弄到一套很好的讲义。
张东辉老师的经济学教材也是山大在校生送的。
其实七月也看高鸿业老师的经济学教材，但是不对照讲义，收获不大，抓不住要点。
到了十月，四门都要看了。
政治用的是任汝芬和红宝书。
到了年底，感觉考上山大的希望不太大。
主要是英语和数学。
英语做真题基本只能对一半。
而数学，则被陈文灯搞的有点儿晕。
后来干脆放弃了陈文灯，只看考研辅导班的数学讲义。
08年考研一结束，就感到希望渺茫。
数学不会做的很多，英语也很是茫然。
虽然半年前从深圳回来时就做好了两年作战的准备，但心情还是很灰暗。
过完年，就回到学校，继续复习。
陈文灯线性代数详解 (3)
第四章 线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.解. k n r -=, 当n k =时, 方程组只有零解.2. 若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为A m ×n x = b, 矩阵的秩r A r =)(.当n r =, 方程组有惟一解; 当n r <, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.解. 0311211≠kk , 53,0623≠≠--+k k k k 时, 方程组只有零解.4. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解. 因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r , 所以0)(*=A r , A *x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4. 5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A , 则A x = 0的通解为______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=0011010111110121112011121A 2)(=A r , 基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-03231x x x x , 取1,1123===x x x 则. 基础解系为(1, 1, 1)T .A x = 0的通解为k (1, 1, 1)T , k 为任意常数.6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______.解. 因为A b A i 且,=α(C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs ) = b, 所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7. 方程组A x = 0以T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___. 解. 方程组A x = 0的基础解系为T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη, 所以2)(=-A r n , 即2)(3=-A r , )(A r = 1.所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A , 假设),,(1312111a a a =α.由 01=ηA , 得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a由 02=ηA , 得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a取 2,1,0111213-===a a a 得. 所以)1,1,2(1-=α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8. 设A x = b, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 则使方程组有解的所有b 是______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 05112210321||≠=-=A , 所以)(A r = 3. 因为 A x = b 有解, 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b , 其中321,,k k k 为任意常数.9. 设A, B 为三阶方阵, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11121211A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________.解. 由题设 B X A =⨯⨯3333, 又因为011121211||=-=A , 所以0||||||==X A B , 即0266411202314=+--=--k k k , 2-=k .二. 单项选择题1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T, ξ2 = (－2, 0, 1)T都是线性方程组0=Ax 的解, 只要系数矩阵A 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02010 解. 因为21,ξξ的对应分量不成比例, 所以21,ξξ线性无关. 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A , 3)(,0112213321||=≠=A r A . 因为A 是三阶矩阵, 所以0=Ax 只有零解, 排除(A); (B) 2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A . 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－1)(=A r . 排除(B);(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A , 2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－1)(=A r . 排除(C);(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02010A , 1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－2)(=A r , (D)是答案.2. 设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成 (A) 321,,ξξξ的一个等阶向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组 (C) 321211,,ξξξξξξ+++ (C) 133221,,ξξξξξξ---解. 由 0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k , 得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ. 因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 所以321,,ξξξ线性无关. 于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k , 所以0321===k k k , 则321211,,ξξξξξξ+++线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价, 但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系. 3. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) b Ax =有解 (D) 当0≠x 时, 0≠Ax , 其中Tn x x x ),,(1 = 解. 对(A), (B): 反例 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A , 不可逆; 对于(C) 假设A 为n ×n 矩阵, A 为A 的增广矩阵. 当n A r A r <=)()(时, b Ax =有无穷多解, 但A 不可逆;(D) 是答案, 证明如下: 当0≠x 时, 0≠Ax , 说明0=Ax 只有零解. 所以1,0||-≠A A 存在.4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r, 则0=Ax 有非零解的充分必要条件是( A ) n r = ( B ) n r ≥ ( C ) n r < ( D ) n r > 解. ( C )为答案.5. 设n m A ⨯为矩阵, m n B ⨯为矩阵, 则线性方程组0)(=x AB ( A ) 当m n >时仅有零解. ( B ) 当m n >时必有非零解. ( C ) 当n m >时仅有零解. ( D ) 当n m >时必有非零解.解. 因为AB 矩阵为m m ⨯方阵, 所以未知数个数为m 个. 又因为n A r AB r ≤≤)()(, 所以,当n m >时, m n A r AB r <≤≤)()(, 即系数矩阵的秩小于未知数个数, 所以方程组有非零解. ( D )为答案.6. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解. 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为 0*≠A , 所以 1)(-≥n A r ; 又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 所以 b Ax =的解不唯一, 所以 1)(-≤n A r , 所以 1)(-=n A r . 于是: 基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n ( B )为答案. 三. 计算证明题1. 求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解, 并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解. 将条件方程与原方程组构成矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00000000287214017409100000002872140113251i. 条件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii. 2)()(==A r A r , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ; iii. 齐次方程的基础解系: ⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得 基础解系为: TT)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv. 非齐次方程的通解: ⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为: ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303, 问m, k 为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111070013117107001314113230131k m k m k mi. 当3)()(,1==-≠A r A r m 时, 方程组有惟一解; ii. 当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时, 方程组无解;iii. 当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r齐次方程组: ⎩⎨⎧==++07032321x x x x , 所以02=x .令 1,113-==x x 得. 基础解系解向量为: T )1,0,1(-. 非齐次方程组: ⎩⎨⎧==++17032321x x x x , 所以712=x .令 73,013-==x x 得. 非齐次方程特解为: T)0,71,73(-. 通解为: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x3. 问λ为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解, 并求出解的一般形式.解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++1023210101342123210101324162214101λλλλλλλλλiii. 当32)()(,1,01<====+-A r A r 时λλ, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组: ⎩⎨⎧=-=+0203231x x x x ,令 0,1,1123===x x x 得. 基础解系解向量为: T )1,2,1(-. 非齐次方程组: ⎩⎨⎧-=-=+1213231x x x x ,令 1,1,0213-===x x x 得. 非齐次方程特解为: T )0,1,1(-. 通解为: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121011k x4. 已知)0,2,1(1=α, )3,2,1(2a a -+=α, )2,2,1(3b a b ++-=α及)3,3,1(-=β. i. a, b 为何值时, β不能表示成321,,ααα的线性组合.ii. a, b 为何值时, β有321,,ααα的惟一线性表示, 并写出该表示式. 解. 假设 βααα=++332211x x x , 求解方程组, 求321,,x x x . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-32301401111323032221111ba ab a ba ab a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-→3125001401111b a b a i. 4,0-≠=b a 时, 3)(2)(=<=A r A r , 方程组无解, 即β不能表示成321,,ααα的线性组合; 512,0-==b a 时, )(2)(A r A r ==, 方程组有无穷多解, 即β有无穷多种方法可表示成321,,ααα的线性组合.ii. 0125,0≠++≠b a a 时, )(3)(A r A r ==, 方程组有惟一解, 即β能表示成321,,ααα的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0)125(1)4(1332321x b a x b ax x x x ,解得: ax ax x 11,1,0123-===, 表示式为: 32101)11(αααβ++-=aa.5. 知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++1322422432143214321cx x x x x bx x x x x ax x 与⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-+-=+++12221434324321x x x x x x x x x 同解, 试确定a, b, c.解. 在第二个方程组中求一组特解. 令0,1,1,11243==-==x x x x 解得. 将该组特解代入第一个方程组中得: 4,4,2===c b a . 6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+3314623214321421x x x x x x x x x x ( II ) ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+121125434324321t x x x x nx x x mx xi. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t 为何值时, 方程组( I )与( II )同解. 解. i. 由第一个方程组: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------21614025715062011301131111462011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→152510055751106201121614557511062011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→5210205050620115210025715062011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→5210410*******3)()(==A r A r , 齐次方程基础解系所含解向量个数为: 1)(4=-A r .齐次方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-+020024342421x x x x x x x . 令1,1,2,11234====x x x x 解得.基础解系为: T )1,2,1,1(.非齐次方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--=-+524624342421x x x x x x x . 令2,4,5,01234-=-=-==x x x x 解得.所以第一个方程组的通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=12110542k x ii. 将⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0542代入第二个方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-=+-=-=+--6154115425542t t n n m m . 7. 设A 是m ×n 矩阵, R 是m ×n 矩阵, x =Tn x x x ),,,(21 , B 是m ×m 矩阵, 求证: 若B 可逆且BA 的行向量都是方程组0=Rx 的解, 则A 的每个行向量也都是该方程组的解. 解. 假设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mm m m m m b b b b b b b b b B 212222111211, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A ααα 21, 其中),,2,1(m i i=α为A 的行向量.=BA ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mm m m mm b b b b b b b b b212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m ααα 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++m mm m m m m m b b b b b b αααααα 1121211111因为BA 的行向量都是方程组0=Rx 的解, 所以: ),,2,1(,0)(1m i b R T mk k ik ==∑=α.所以:),,2,1(,01m i R b mk Tkik ==∑=α, 即),,2,1(,0)(m i R B Ti ==α.因为B 可逆, 所以),,2,1(,0m i R Ti ==α. 即A 的每个行向量为R x = 0的解.8. A 是n 阶矩阵, 且A ≠ 0. 证明:存在一个n 阶非零矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是0||=A .解. 必要性:(反证法) 反设0||≠A , 则1-A 存在. 所以当AB = 0时, 二边右乘1-A 得0=B , 和存在一个n 阶非零矩阵B , 使AB = 0矛盾. 所以0||=A ; 充分性:设 0||=A , 则方程组Ax = 0有非零解 ),(2,1n b b b x =. 构造矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000021nb b b B 则B ≠ 0, 且AB = 0.9. 假设A 是m ×n 阶矩阵,若对任意n 维向量x , 都有0=Ax , 则A = 0. 解. 假设),,,(21n A ααα =, i α为A 的列向量),,2,1(n i =. 取Ti )0,,1,,0( =β),,2,1(n i =, 只有第i 个分量为1, 其余都为0. 则 0010==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i A A αβ , ),,2,1(n i =所以 A = 0. 10. 假设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111,010,1113102112ηb caA . 如果η是方程组b Ax =的一个解, 试求b Ax =的通解.解. 将⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1111η代入b Ax =, 得到c a c a ==-+-,011.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡002121011310021120111131002112a a aai. 21==c a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001131011202000113100211201212111131002112于是 2)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 2)(4=-A r . 齐次方程: ⎩⎨⎧=++=+-03022432431x x x x x x ,令 1,3,0,11243=-===x x x x 解得, 解向量为: T )0,1,3,1(- 令 1,2,2,01243-=-===x x x x 解得, 解向量为: T )2,0,2,1(- 所以通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-20210131111121k k i. 21≠=c a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡002121011310021120111131002112a a aa⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→a aa21211001131011202于是 3)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 1)(4=-A r . 齐次方程: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++=+-0)21()1(0302243432431x a x a x x x x x x ,令 2,1,1,21234-==-==x x x x 解得, 解向量为: T)2,1,1,2(--所以通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21121111k11. 假设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222141,111111B aa a A . 如果矩阵方程B AX =有解, 但解不惟一, 试确定参数a . 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---a aa a a a a a a a 4221106011041112211211141112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+----→a aa a a a a 482)2)(1(00601104111当 2-=a 时, 对于B 的任一列向量, 都有 32)()(<==A r A r , 所以矩阵方程B AX =有解, 但解不惟一.。
陈文灯考研线性代数有答案
第一章行列式1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为______.解. a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a12a21a33a44.2. 排列i1i2…i n可经______次对换后变为排列i n i n－1…i2i1.解. 排列i1i2…i n可经过1 + 2 + … + (n－1) = n(n－1)/2 次对换后变成排列i n i n－1…i2i1.3. 在五阶行列式中=______.解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”.4. 在函数中, x3的系数是______.解. x3的系数只要考察. 所以x3前的系数为2.5. 设a, b为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, .解. . 所以a = b = 0.6. 在n阶行列式D = |a ij|中, 当i < j时a ij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则D = ______.解.7. 设A为3×3矩阵, |A| =－2, 把A按行分块为, 其中A j (j = 1, 2, 3)是A的第j 行, 则行列式______.解. .1. 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解. A41 + A42 + A43 + A44=2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.解.3. 计算n阶行列式(n 2).解. 当+=+++=－=－－= 0当4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.6. 设证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).证明: ,由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使.7. 试证: 如果n次多项式对n + 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组…………系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以8. 设解. ====1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.解. ==2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令, 第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充分条件是______.解.5. = ______.解.6. 设矩阵= ______.解. ==－+ ==7. 设n阶矩阵A满足= ______.解. 由得. 所以, 于是A 可逆. 由得8. 设=______.解. =,,==9. 设解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 110. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______.解. ,使用分块求逆公式－=所以1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使解. 因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以= . 于是令, . (D)是答案.2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)解. . (A)是答案.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D)解. AB ==+ 2－2= E. (C)是答案.5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C) (D)解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*解. (－A)* =. (D)是答案.7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)解.(C)是答案.8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以又因为, 于是所以. (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n 解. 若, 矛盾. 所以. 同理. (B)是答案.1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T解. ,2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii.iii. iv. 解. i.,ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到:iii. . 由矩阵分块求逆公式:所以iv. 由矩阵分块求逆公式:得到:3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, ,. 试求矩阵A.解. 由本题的条件知:4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解.所以5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆.解. 因为所以. 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以.因为B可逆, 所以所以. 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且解.==所以.8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ≠ 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A可逆. 解. 因为(A－E)－1 = (B－E)T, 所以(A－E)(B－E)T = E所以,由 |B| ≠ 0 知存在.所以. 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为所以因为, 所以11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.解. i. ,,所以当时, E + AB可逆.ii.因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)－1A为对称矩阵.12. 计算下列各题:i. ii.解. i.所以ii. 假设, 则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵P, 使得所以于是13. 设, 求A n.解. 使用数学归纳法.假设=则==所以==14. 设A为n阶可逆矩阵, 证明 i. , ii. , iii., iv. .解. i.ii.iii. 先证明: 当A, B为同阶可逆矩阵时, 有证明:下面证明本题:因为. 两边取"*"运算, 所以.于是iv.15. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为A m = E, 所以, 所以A可逆.所以16. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵) ii. 求A100.解. i.所以假设则=所以ii.17. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以因为18. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0. 解. 因为(A－B)2 = A + B, 所以于是, 所以因为A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以19. 设A, B, C均是n阶方阵, |E－A| 0, 如果C = A + CA, B = E + AB, 求证: B－C = E. 解. 因为B = E + AB, 所以, 所以可逆.对于B = E + AB, 右乘得, 左乘B, 得B = E + BA所以所以右乘, 得B－C = E(注: 本题中条件|E－A| ≠ 0 可以不要)20. 设A为n阶非奇异矩阵, α为n维列向量, b为常数. 记分块矩阵i. 计算并化简PQ;ii. 证明: 矩阵Q可逆的充要条件是.解. i.因为, 所以, = 0 所以ii. 因为所以所以所以存在的充要条件为第三章向量1. 设, 则k = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式= 13k +5 =0.2. 设, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式.所以对任何t, α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k, 5)能由向量线性表示.解. 考察行列式得k=－8. 当k=－8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵. 所以r (α1, α2, α3, α4) = 35. 设, 则秩(A) = ______.解.所以r (A) = 3.6. 已知矩阵A = α·β, 则秩(A) = ______.解. A = α·β =所以r (A) = 1.7. 已知向量, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A = (α1, α2, α3, α4)所以当t = 7时, r (A) = 2.1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3(C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由得因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于的方程组的系数行列式为. 所以有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E m, 0)的形式;(C)是正确答案. 理由如下:因为BA= 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组(II): , 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A|≠ 0, |B| ≠ 0则A－B ≠ 0, 则r(A－B)≠ 0. 排除(A);(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A－B) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解.i. 时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时.系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: , , . 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: , , , . α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m个向量α1, α2, …αm线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0l1α1 +l2α2 + … + l mαm = 0其中l1≠ 0, 则.解. i. 假设k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0, 如果某个k i = 0. 则k1α1 +…+ k i－1αi－1 + k i+1αi+1… + k mαm = 0因为任意m－1个都线性无关, 所以k1, k2, …k i－1, k i+1, …, k m都等于0, 即这些系数k1, k2, …k m 或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1≠ 0, 所以l1, l2, …l m全不为零. 所以.代入第一式得:即所以, …,即4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1线性相关.解. 假设得因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组当行列式时, 有非零解. 所以时, aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x = 0有解向量α, 且A k－1α≠ 0, 证明: 向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关的.解. 假设. 二边乘以得,由. 二边乘以得,………………………………最后可得,所以向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. . ii.解. 解. i.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得,所以ii.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得, ,所以由得方程组解得, ,所以7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. ,ii. ,iii. ,iv. ,iv.所以, 当时, ; 当时,8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A≠±E, 试证明:(秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 0解. 由第十一题知又因为A≠±E, 所以,所以, 中有一个为1所以 (秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2= A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E是n阶单位矩阵. 解. 因为A2 = A, 所以所以所以又因为所以. 所以第四章线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m×n x= 0中, 若秩(A) = k且η1, η2, …, ηr是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.解. , 当时, 方程组只有零解.2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为A m×n x = b, 矩阵的秩.当, 方程组有惟一解; 当, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组只有零解, 则k应满足的条件是______.解. , 时, 方程组只有零解.4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解. 因为矩阵A的秩, 所以, A*x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4.5. 设, 则A x = 0的通解为______.解., 基础解系所含解向量个数为3－2=1., 取. 基础解系为(1, 1, 1)T.A x = 0的通解为k(1, 1, 1)T, k为任意常数.6. 设α1, α2, …αs是非齐次线性方程组A x = b的解, 若C1α1 + C2α2 + … + C sαs也是A x = b的一个解, 则C1 + C2 + … + C s = ______.解. 因为(C1α1 + C2α2 + … + C sαs) = b, 所以,.7. 方程组A x = 0以为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解. 方程组A x = 0的基础解系为, 所以, 即, = 1.所以, 假设.由, 得由, 得取. 所以, (其中为任意常数).8. 设A x = b, 其中, 则使方程组有解的所有b是______.解. , , 所以= 3.因为 A x = b有解, 所以所以, 其中为任意常数.9. 设A, B为三阶方阵, 其中, , 且已知存在三阶方阵X, 使得, 则k = ___________.解. 由题设, 又因为,所以, 即, .1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T, ξ2 = (－2, 0, 1)T都是线性方程组的解, 只要系数矩阵A为(A) (B) (C) (D)解. 因为的对应分量不成比例, 所以线性无关. 所以方程组的基础解系所含解向量个数大于2.(A) , . 因为A是三阶矩阵, 所以只有零解, 排除(A);(B) . 所以方程组的基础解系所含解向量个数:3－. 排除(B);(C) , .所以方程组的基础解系所含解向量个数:3－. 排除(C);(D) , .所以方程组的基础解系所含解向量个数:3－, (D)是答案.2. 设的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 的一个等阶向量组 (B) 的一个等秩向量组(C) (C)解. 由, 得. 因为的基础解系, 所以线性无关. 于是, 所以, 则线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如和等价, 但不是基础解系.3. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) 有解 (D) 当时, , 其中解. 对(A), (B): 反例, 不可逆;对于(C) 假设A为n×n矩阵, 为A的增广矩阵. 当时, 有无穷多解, 但A不可逆;(D) 是答案, 证明如下: 当时, , 说明只有零解. 所以存在.1. 求方程组的通解, 并求满足方程组及条件的全部解.解. 将条件方程与原方程组构成矩阵i. 条件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii. , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为; iii. 齐次方程的基础解系:令令基础解系为:iv. 非齐次方程的通解:令所以全部解为:2. 设有线性方程组, 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.解.i. 当, 方程组有惟一解;ii. 当, 方程组无解;iii. 当, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为齐次方程组: , 所以.令. 基础解系解向量为: .非齐次方程组: , 所以.令. 非齐次方程特解为: .通解为:3. 问 为何值时, 线性方程组有解, 并求出解的一般形式.解.iii. 当, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为齐次方程组: ,令. 基础解系解向量为: .非齐次方程组: ,令. 非齐次方程特解为: .通解为:4. 已知, , 及.i. a, b 为何值时, β不能表示成的线性组合.ii. a, b 为何值时, β有的惟一线性表示, 并写出该表示式.解. 假设, 求解方程组, 求.i. 时, , 方程组无解, 即β不能表示成的线性组合; 我觉得应该是（b=-4）时, , 方程组有无穷多解, 即β有无穷多种方法可表示成的线性组合.ii. 时, , 方程组有惟一解, 即β能表示成的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组,解得: , 表示式为: .5. 知方程组与同解, 试确定a, b, c.解. 在第二个方程组中求一组特解. 令. 将该组特解代入第一个方程组中得: .6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ( II )i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )与( II )同解.解. i. 由第一个方程组:, 齐次方程基础解系所含解向量个数为: .齐次方程组: . 令.基础解系为: .非齐次方程组: . 令.所以第一个方程组的通解为:ii. 将代入第二个方程组:.7. 设A是m×n矩阵, R是m×n矩阵, x =, B是m×m矩阵, 求证: 若B可逆且BA的行向量都是方程组的解, 则A的每个行向量也都是该方程组的解.解. 假设, , 其中为A的行向量.=因为BA的行向量都是方程组的解, 所以: . 所以: , 即.因为B可逆, 所以. 即A的每个行向量为R x = 0的解.8. A是m×n矩阵, 秩为m; B是n×(n－m)矩阵, 秩为n－m; 又知AB = 0, α是满足条件的一个n维列向量. 证明: 存在惟一的一个n－m维列向量β使得.解. 因为, 所以方程组的基础解系所含解向量的个数为. 假设为n×(n－m)矩阵, . 其中为B的列向量.因为AB = 0, 所以, 即B的列向量都是的解. 又因为, 所以为的基础解系.所以满足的任意向量都是的惟一线性组合, 即存在惟一的一组数, 使令, 则.9. 矩阵, 证明: 有解的充要条件是, 则.解. 充分性:假设的系数矩阵为A, 增广矩阵为.考察: I. II.因为, 则, 所以(I)和(II)为同解方程组, 所以. 即. 所以有解.必要性:考察(1)(2)(3)即要证明: 若(1)有解, 则(2)的解必为(3)的解.假设y为(1)的解, 则. 取转置, 得. 又设x为(2)的解, 即. 则所以x为(3)的解.10. A是n阶矩阵, 且A≠0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B, 使AB= 0的充分必要条件是. 解. 必要性:(反证法) 反设, 则存在. 所以当AB = 0时, 二边右乘得, 和存在一个n 阶非零矩阵B, 使AB = 0矛盾. 所以;充分性:设, 则方程组Ax = 0有非零解. 构造矩阵则B≠ 0, 且AB = 0.11. 假设A是m×n阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有, 则A = 0.解. 假设, 为A的列向量. 取, 只有第i个分量为1, 其余都为0. 则,所以A = 0.。
先介绍一下自己的情况
先介绍一下自己的情况，参加2012年研究生考试，考的中山大学区域经济学，初试成绩422，其中数学143，英语87，政治76，专业课116。
由于现在大多数考生都在准备数学和英语，而自己这两门考的还算可以，所以我就着重介绍一下自己在这两科上的一些看法，希望对大家的学习和备考能够有所帮助。
写在前面的废话关于考研，不同的人有不同的想法，有的人是为了实现自己的理想，有的人是为了逃避就业的压力。
我想说，不管你是出于什么目的做出考研的决定，既然下定决心，就一定要全力以赴。
考研的人实在太多了，多达150万之巨，但是其中专心准备的又有几个人呢？很多同学从1月、2月份就开始准备，但是安安心心上自习坚持到最后的又有几个人呢。
所以，准备的过程中不要被媒体大肆的渲染影响心情和节奏，你需要做的就是安安心心上自习。
在考研的过程中，我觉得有两点需要注意一下：一是心要静；二是懂得放弃。
心静就是在准备的过程中，在看书时，在做题时一定要用一种平和的心态，告诉自己，考研是一个磨练自己的过程，是一个享受学习乐趣的过程，只有这样，你才会乐意去学，才能学得进去。
若是在学习的时候想的全是“万一考不上怎么办”，“考不上不是白学了吗”之类的东西，又怎么能够学的进去呢。
考研的过程中还要学会放弃，招聘会要不要去参加，课要不要去上，这些问题在考研的过程中都会成为非常现实的问题，我想说：要学会放弃，大舍大得，小舍小得，不舍不得。
好的研究生让你考上了，好工作让你找到了，奖学金让你得到了，那还有天理吗？所以，你若真心想考研，就得学会放弃一些该放弃的东西。
一路准备过来，其实心里有很多话想说，总结为一句话就是：考研要下死功夫，不要投机取巧。
你可以准备的晚一些，你可以参考书少买一些，但是一旦你下决心明天开始准备考研，就要全身心的投入进去，早上七点起，晚上十一点回，雷打不动，这才是准备考研的状态。
身边有太多人在那马马虎虎自己为是的状态，我们自习室，我们班的同学，好多人几天来明天不来，今天三个小时明天两个小时，我想说：这种状态还想考上研，可能吗！最后考研其实拼的就是两个字：状态。
考研届数学名师大盘点,你pick谁
考研届数学名师大盘点，你pick谁摘要：跟一位适合自己、能为自己指点迷津的老师，无疑会大大提高数学水平，今日帮仔为大家盘考下考研届的数学老师，来看一看你pick谁？1、汤家凤老师►名师简介：老汤的基础班被认为是所有老师里最负责最踏实的！因为绝大部分老师都是一个样，收着讲，而不是全局概括，往往基础班讲高数上册的前三四章就匆匆了事。
汤老师是比较务实的人，他的基础班除了比较偏的几个知识点（三重积分、第二型曲线曲面积分等），从数一到数三的内容都会讲完，你要是看完高数课本，再把老汤的基础班看完，是极好的，你定会打一个不错的基础。
但是如果你不听他的基础课就直接奔着强化课去听，那么就会感觉比较吃力，因为老汤的强化班是建立在基础班上的，算是对基础班的一个延伸概括。
►当然，他老人家讲课有两个不足之处：（1）重视题量，对概念的讲解却不是特别深入！（这点和张宇正好相反）所以他的课适合基础差的同学打基础的，通过做题来深化对知识点的认识（2）口音问题，这是老汤被黑的重要原因，老汤的江苏南京人，讲话口音有点怪怪的，普通话讲得并不是太好，但是多听几节课，这也不是什么大问题。
►概括：所以考研的同学可以打基础的时候看完课本直接上手老汤的基础班！权当练习！2、张宇老师►名师简介：张宇，江湖人称宇哥，他独树一帜，是考研老师新生派的代表人物，其微博名字也为宇哥考研，为人风趣幽默，讲课就像讲故事，听起来毫不费力。
如果你对数学没兴趣，听宇哥的课会激发你对数学的热情，听宇哥的课就是一个感觉，上瘾！好听！有意思！相信绝大部分同学都听过他的sin狗（广义化）的公式，宇哥的一大能力就是他能将数学抽象问题形象化，复杂问题简单化。
例如，二重积分大面包切切切切切、狗减sin狗等于六分之一狗三、夹逼准则哪里跑、格林闭关七天研究出格林公式、欠阿贝尔两块钱以及普京题抓住重点、毛主席题举重若轻等等，这些本来在高数课本中枯燥繁琐的东西在张宇口中变得呼之欲出、极为生动，这都能反应宇哥的特色。
现身说法-考研数学拿高分的温书法
现身说法:考研数学拿高分的温书法学习也是一个循序渐进的过程，其实，考研数学中，最简单的就是线性代数，因为很多的定理和公式，你完全可以在做题中了解和掌握，但重要的是能否深刻的理解文灯书中的定理和公式。
看陈文灯的书，是复习指南和参考题解一起看，陈文灯总结的许多定理都未在复习指南中列出，而是在题解一书中给出，所以，，两个一起看，其实，我觉得，如果你想公共课得高分，就只有数学，所以下同样的功夫，比较起来，可能数学取得的进步要远大于英语和政治。
而且，说实话，英语和数学，除非是学得极好的人，否则在考前，恐怕多少也会担心万一马失前蹄，不过基本线就完蛋，所以，这两科的学习，总应该尽力而为，尽量避免马失前蹄的可能。
线性代数的各个定理和推论，文灯书中列得很详细，如果将陈文灯的“数学复习指南”和“题解指南”一起看，效果会更好，对于线性代数的定理和推论，想记得深和透澈，的办法就是自己证明，我在复习的时候，就是自己证明，已增进理解和记忆，对于其定理和推论，尽量做到举一反三，如果你明年考，现在的时间还有很多，完全可做到万无一失。
其实，我觉得，如果只是看陈文灯的书，复习后再作几套模拟题，如果学得很扎实，数学拿到110分，没有问题，如果题目简单，拿到130分都可能，但今年的试题相比往年，总体难度要大得多，而数学的定理要想掌握的很好，就只有作题，未必是题海战术，但一定要及时总结，尤其想线性代数，各个定理都可演绎成另一种说法，写出自己的总结，很必要。
相比考研的数学试题与陈文灯最后给的几套题，陈的模拟题过于简单。
我建议你如果想得高分，在陈的书看得很透的情况下（估计至少看3-5遍，还不包括自我总结的内容），做李永乐的模拟题，李的模拟题比陈的模拟题强很多，而且题目很经典（李永乐的复习指南，我没看过），如果再有时间，推荐做10套黑博士的数学模拟题，相比于李的模拟题，黑博士的难度可能还要更大，但其一些题目很新颖，对于检验自我复习的定理的运用很有好处。
陈文灯考研数学讲义
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim)21ln(arctan lim33-=-=+->->-xxx x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知23)(6lim0)(6sin limxx f xx xf x x x +=+>->-，求解：233')(6cos 6lim)(6sin limxxy x f x xx xf x x x ++=+>->-72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 0=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim2'lim)(6lim2====+>->->-y xy xx f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，x xx x ba 3)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=xx x xx b a xt ba t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a ba t xx xxx x =∴=++=>->-（变量替换）5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 1)1ln(12x +三、补充习题（作业） 1.3cos11lim-=---->-xx x e xx （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xxctgx x ->- （洛必达或Taylor ）3.11lim 22=--->-⎰xxtx edtex （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y tx x y y 由决定，求dx dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
陈文灯解析考研数学大纲及备考指导
陈文灯解析2010年考研数学大纲及备考指导主持人：各位网友大家好，欢迎来到中国教育在线嘉宾聊天室。
2010年考研数学大纲已正式公布，今天我们非常荣幸邀请到全国考研数学辅导专家陈文灯老师作客我们嘉宾聊天室，陈老师您好。
陈文灯：主持人好，广大的考研朋友，大家下午好。
主持人：2010年考研大纲相比于2009年来说，主要有哪些方面的调整，请您跟我们谈一下这方面的情况。
陈文灯：我昨天晚上花了一个多钟头看了看，仔细比较了一下，基本上没有什么变化。
虽然没有变化，但是我还是要说一下如何利用我们的《大纲》。
我们的《大纲》对于概念、定义、定理、公式要求有两个层次，一个层次是了解、理解，了解当然是低层次的，理解是高层次的，对于计算也有两个层次的要求，低档次就是会，高档次就是掌握。
我们考研朋友千万不要受到《大纲》文字上的影响，认为只有"理解"、"掌握"的才会考，最低层次的"了解"、"会"就不看了，不是这样的，我个人理解《大纲》提出哪个考点和知识点，我们就应该花功夫把这部分内容复习到。
千万不要只复习那些高层次要求的，如果是这样的话，将来我们会后悔的。
所以《大纲》要求的内容要系统的、不遗漏的进行复习。
主持人：针对今年数学大纲没有任何变化，下阶段离考试只剩下几个月的时间了，考生应该怎样来合理和有效的安排自己的复习呢？在这方面，陈老师有什么宝贵的建议？陈文灯：咱们广大考生，我认为现在如果说还没有动手，那应该说稍微晚了，因为数学和其他的课程不一样，其他的课程比方说政治，他是要我们把有些东西牢牢的记一记，侧重面主要是考我们记忆方面的，而我们数学不光是考记忆，主要是考我们理解能力，所以数学相对来说讲，复习起来比较难。
我认为，从现在开始，我们应该找一本比较合适的辅导书，然后如果有条件可以参加一个辅导班，没有条件自己好好的看，也是可以成功的。
06年6月底我到杭州做讲座，在电子科技大学去讲座，开始的时候，见到了一个个子不高的小男孩，见了我深深鞠了一躬，我当时很吃惊，说这是干什么呢？这个小男孩说，我感谢你帮我考好了数学，我说你考多少，他说我考了150分，我说你考的数学几啊，他说数三，我马上问他，你什么时候听我的课，这个小伙子说，我没有听过你的课，我当时心里很沉重，觉得是不是上了别人的课考好了，然后过来奚落我的，这个小伙子可能看出来了，说陈老师我谁的课也没有听，我就看书了，我说你看谁的书，他说我只看你的书，我说我的书你都看了，很多书呢？我说你看的哪本？他说看的《复习指南》，我说你看了几遍，这个小伙子说看了6遍，说着就把身后的手中的书拿出来，我看到书都破了，里面红笔、蓝笔、铅笔都画乱了，我开玩笑说，你可不要把这本书借给你的师弟师妹看，这个小伙子说我才不让他们看呢，我要珍藏起来。
江西财经大学考研经验心得
一战410圆上江财梦我是一名甘肃考生，由于原来的专业限制了我的梦想，于是我毅然决然的踏上跨考这条路，我又深知，自己不是天赋异禀的天才，所以我早早入手，从大二开始准备考研，我坚信，只要自身实力强大，可以去任何一个学校，攻读任何一个专业，这就是跨考独特的灵活性，所以，我开始培养我的实力，我选的目标院校是结合我自身的实力以及未来提升以后的实力和报考院校的考试难度对比分析以后的合理选择。
最终我不负所望，技压群雄，夺得榜首。
下面我介绍一下我的考研准备和计划以及途中遇到的问题，那是2016年的11月份，由于我们学校的突然变革导致我们本来专业的就业前景变得极为狭窄，这一变革直接影响着我们这一届学生，我们可能面临未毕业先失业的危机，正是这场危机，催生了我转型的念头，直到后来多方面的因素最终让我考研的想法汇聚成型，那一天，我立志：我要变强，我要改变自己，我要为自己镀金，我要考研！！！在我用长远的眼光展望未来时，我选出了我喜欢的金融学，选定的与我相匹配的院校，紧接着我就马不停蹄的开始备战，记得那时是一个寒假，我的起点就是从哪里开始。
在寒假期间我开始准备自学高数，我通过观看四川大学徐小湛老师的教学视频来学习，这给我的高数打下一个良好的基础，在寒假我一边做笔记，一边做练习题，寒假整整四十天，我几乎全部花费在学习上，当然期间我也练习计算机二级考试，一直到到了大二第二学期初，我停顿了一两天，便开始规划着接下来的四阶段应该干的事，每一学期对我来说都是一个阶段，我要的做的就是打好接下来的四大战役，每一战都是让自我不断提升，完成我分配的任务，这场轰轰烈烈的考研大战拉开了帷幕。
大二第二学期，我把它称为：黎明之战！为什么叫黎明呢？因为我毕竟是跨考而且是孤军奋战，此时我的想法还处于幼年期，刚出生的念头很可能被外部力量击灭，我还在黑暗中不断摸索，各个方面还不成熟，没有一个很好的系统框架，所以我要做就是坚定不移的往前跑，往前走，哪怕是爬也要爬到清晨的第一米阳光照射在我的心中，击退我心中的阴冷和黑暗，赐给我勇气和力量，好让我能有信心和实力接着往下走。
陈文灯考研数学最重要的二十钟方法
考研数学解题21种方便的想法（题目的定势，我们的机会）第一部分《高数解题的四种思维定势》1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
第二部分《线性代数解题的八种思维定势》1．题设条件与代数余子式A ij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
第三部分《概率与数理统计解题的九种思维定势》１．如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。
２．若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式３．若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。
关键：寻找完备事件组。
文灯考研与文登考研
文灯考研与文登考研在考研的漫漫征途中，众多学子常常会听到“文灯考研”和“文登考研”这两个名字。
对于初次接触的同学来说，可能会感到有些困惑，它们究竟有何不同？又各自有着怎样的特点呢？先来说说文灯考研。
文灯考研在考研辅导领域有着一定的知名度。
其教学理念注重对知识点的深度剖析和系统梳理。
课程设置上，文灯考研往往会将复杂的知识点进行分解，通过深入浅出的方式让学生理解和掌握。
他们的师资队伍通常由经验丰富的教师组成，这些教师不仅对考研大纲了如指掌，还能准确把握命题趋势。
在教学方法上，文灯考研强调针对性和个性化。
会根据学生的不同基础和学习能力，制定出专属的学习计划，帮助学生在短时间内提高成绩。
文灯考研的教材也是其一大特色。
教材内容丰富，涵盖了考研的各个科目和知识点。
并且，教材中的例题和练习题经过精心挑选和编排，能够帮助学生更好地巩固所学知识。
此外，文灯考研还会为学生提供大量的模拟试题和真题，让学生在实战中积累经验，提高应试能力。
再来看文登考研。
文登考研也是考研辅导市场上的一支重要力量。
它的优势在于其强大的教学资源和完善的教学体系。
文登考研拥有一支高素质的教师团队，这些教师不仅教学水平高，而且富有责任心，能够耐心解答学生的问题。
文登考研的课程体系非常全面。
从基础课程到强化课程，再到冲刺课程，每个阶段都有明确的教学目标和教学内容。
基础课程主要帮助学生打牢基础，强化课程则侧重于知识点的拓展和深化，冲刺课程则重点进行考前押题和应试技巧的培训。
这种分阶段的教学方式，能够满足不同学生在不同学习阶段的需求。
在教学服务方面，文登考研也做得比较出色。
他们会为学生提供全方位的学习支持，包括学习资料的发放、学习进度的跟踪、心理辅导等。
此外，文登考研还会定期组织学生进行交流和讨论，让学生之间能够互相学习和鼓励。
无论是文灯考研还是文登考研，它们都在为广大考研学子提供着帮助和支持。
然而，对于学生来说，选择哪一家考研机构，不能仅仅看其名气和宣传，更要结合自身的实际情况。
考研数学二心得经验分享
考研数学二心得经验分享考研是教育主管部门和招生机构为选拔研究生而组织的相关考试的总称，由国家考试主管部门和招生单位组织的初试和复试组成。
这里给大家分享一些关于考研数学心得，供大家参考。
考研数学心得1走在心仪学府的林荫道上，所有的一切都让内心的喜悦不自觉的向外“溢散”，看着周围的景色，也让我感慨万千。
考研的那段岁月是我人生中非常重要的一个经历，那段时光是痛苦的，也是充实的，也是我成长最为迅速的一段日子。
在刚开始准备考研的时候，对考研一无所知的我到处搜集各种信息。
上网搜索、询问学长学姐、咨询老师等等，能对考研有用的途径我都做过努力。
非常感谢那个时候对我耐心指导的老师和学长学姐们。
最后我终于理顺了学校和专业的问题，开始进入到紧张的复习中。
复习过程中，最为困扰我的科目就是数学了，我考的是数学一，在三种数学里面算是知识覆盖面较广、难度比较大的了。
也正因此，我对它下的努力最多，最后我得到了132分，对于这个分数，我认为还是很对得起我的辛苦付出的。
下面是我复习数学的一点心得，希望可以帮到大家，在数学科目上实现“屌丝逆袭”。
【夯实基础阶段】在刚开始复习的时候，我最先想到的是把基础打牢，就像老话说的“基础不牢，地动山摇”，我对这句话非常赞同，并且付诸在行动上。
由于大一的时候基础很不牢靠，甚至还有过挂科的经历，所以这一阶段我的重点是梳理一遍教材，强化薄弱环节的知识点。
在配合教材的基础上，我使用了同济六版的高等数学习题全解这本书，按照这本书把教材后面的习题仔细地梳理了一遍。
在复习过程中，事无巨细，这期间我养成了随时笔记的习惯，不理解的知识点和题目我都写在笔记上，反复的看，直到弄懂，弄不懂的我会上网搜，加入同好的考研QQ 群去询问。
基础阶段复习完成之后，我已经记满了两个笔记本。
目前正值4月份，恰好是复习的基础阶段。
这一阶段建议结合本科教材和前一年的大纲，先吃透基本概念、基本方法和基本定理。
数学是一门逻辑性极强的演绎科学，只有对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。
陈文灯论考研复习
冲刺阶段数学的复习策略主持人：各位网友大家好，欢迎大家来到新浪网络聊天室，2005年考研在即，复习进入倒计时阶段，为帮助更多的同学合理安排好考研数学的复习，新浪网教育频道联合中国人民大学出版社特别邀请了考研数学辅导名师陈文灯教授作客新浪网嘉宾聊天室，就考研数学冲刺复习等广大考生普遍关心的问题与考生进行互动交流。
欢迎广大考生参与提问交流。
首先请陈文灯老师和大家打个招呼。
陈文灯：各位网友大家好。
网友：首先请您谈一下在冲刺阶段应该怎么复习？陈文灯：现在时间不多了，在现在不到二个月的时间内，如何想方设法最后加把劲，这对考研能否成功很关键。
我个人认为，应该把基本概念、基本理论再好好复习一下，概念要牢记，花适当的时间做一点题。
但是我认为，最好还是以看题为主。
比方说我们的模拟演练，好好看看。
如果是对这些非常熟悉的同学就可以把它越过去，对那些比较生疏的题就应该花点时间做一做。
做错了一定要看一下错在何处。
这样经过一段时间的训练，我们就可以把常考的一些题和新见到的一些题都很好的掌握。
网友：请问陈老师最后作多少题合适？陈文灯：做适量的题，不宜做得太多。
考研和考大学不一样，各门课有一个录取分数线，因此不能把时间都花在作题上。
应该科学、合理的安排好时间。
我建议每天花三四个小时演练、去看题。
其它的课，比如英语和政治也不能放松，这些都要全面的复习，才可能赢得明年考研的成功。
网友：单项选择题在数学中占的比重是比较大的，请您谈一谈这一项如何来复习、应对？陈文灯：单项选择题是考察基础理论的题，它是基础知识的考察形式，现在由原来的5个小题增加到现在的8个小题，比例在升高，一共是占了32分，占了整张卷子分数1/5还多。
这部分同学们一定要高度重视，应该看一看常见的题型的解题方法和技巧。
为了帮助同学们掌握好这部分内容，我和王莉老师编写了一本书，单项选择题的解题方法和技巧，相信大家看了之后会对大家有所帮助。
网友：我去年考研考的数学一，得了80分，从现在开始才进行各课的复习，现在是否来不及了，您对我有什么复习建议？陈文灯：我觉得通过一年的准备时间，今年应该有提高。
陈文灯考研数学复习指南习题详解(理工)--高等数学10
1. ⎰⎰⎰⎰++==532721),(),(x x Ddy y x f dx d y x f I σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--++=65572535332123),(),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy2. ⎰⎰⎰⎰-==2221),(),(x xDdy y x f dx d y x f I σ⎰⎰⎰⎰-+=12210222),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy3. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+==111111),(),(),(0xx x x Ddy y x f dx dy y x f dx d y x f I σ⎰⎰⎰⎰---+--+=1011111),(),(yy y y dx y x f dy dx y x f dy二. 改变下列积分次序: 1.⎰⎰--ax a ax a dy y x f dx 022222),( 2.⎰⎰⎰⎰-+312301),(),(2x x dy y x f dx dy y x f dx3. ⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(x xx xdy y x f dx dy y x f dx三. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ b 2, y ≥ 0, (b > a > 0)2. D: x 2 +y 2 ≤y, x ≥ 03. D: 0 ≤ x +y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 解. 1. ⎰⎰⎰⎰==baDd f d d y x f I ρρθρθρθσπ)sin ,cos (),(02. ⎰⎰⎰⎰==θπρρθρθρθσsin 020)sin ,cos (),(d f d d y x f I D3. ⎰⎰⎰⎰-==θπρρθρθρθσcos 104)sin ,cos (),(d f d d y x f I D+⎰⎰+θθπρρθρθρθsin cos 1020)sin ,cos (d f d四. 求解下列二重积分: 1.⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinxxxdy yxdx dy yxdx ππ2.⎰⎰-xy dy edx 021023.⎰⎰Ddxdy xy6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形 4.⎰⎰+Ddxdy yx xy22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 解.1.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+21221422212cos22sin2sin2sin2dy yy yxy dx yxdy dy yxdx dy yxdx y yxxxπππππ =⎰⎰-=-212212sin42cos2yyd dy yy ππππ=⎰+-21222sin4122sin4dy yyy ππππ=)2(4122cos84332+=-πππππy2.⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----==1102210210221022222yy y y x y dy ey dy edx dy edy edx=⎰⎰--+121222y y ydedy e=2110221222201----=-+⎰⎰edy eyedy ey y y3.⎰⎰Ddxdy xy 6, D: 由34x x y -=的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形. 解. 2334'x x y -=, 0)12(6612''2<-=-=x x x x y . 解得 210<<x . 此时图形在x 轴下方. 所以487)(212121062342100622100663434-=--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--dx x x x dx x y dy x y dxdy x y x x x x D4.⎰⎰+Ddxdy yx xy22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2. 解. 使用极坐标变换⎰⎰⎰⎰=+45421222sin cos ππρρρθθρρθd d dxdy y x xy D⎰⎰=214542sin 21ρρθθππd d = 0五. 计算下列二重积分: 1.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ddxdy b y a x 221, D: 12222≤+b y a x .解. 令θρcos a x =, θρsin b y =.雅可比行列式为ρθρθθρθθρθρθρab b b a a y y x x y x =-==∂∂cos sin sin cos ''''),(),(ab ab d ab d dxdy b y a x Dπρπρρρθπ32)1(31211102322010222=--=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰2.⎰⎰+Ddxdy y x )ln(22, D: 1222≤+≤y x ε, 并求上述二重积分当+→0ε时的极限. 解.⎰⎰⎰⎰⎰==+122122022ln ln )ln(εεπρρπρρρθd d d dxdy y x D=)1ln ()ln (2221222-+-=-εεεπρρρπε所以+→0lim επ-=+⎰⎰Ddxdy y x )ln(22. 3.⎰⎰--xady y x x a y f dx 0))(()('解.⎰⎰⎰⎰--=--a y a xay x x a dxdy y f dy y x x a y f dx ))(()('))(()('00=⎰⎰⎰⎰+---+-=-+⋅+-a ya ayaya x y a ya x d dy y f xx y a ay dxdy y f )2(4)()2()('22)('202=⎰⎰-==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-aaf a f dy y f dy ya y a y a x y f 00))0()(()('22arcsin )('ππ4.⎰⎰++--Ddxdy y x y x 222211, D: x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. 解.=++--⎰⎰Ddxdy y x y x 222211⎰⎰⎰+-=+-12211411,dt ttxd d D πθρρρρθρ u t t =+-11令 ⎰+10222)1(du u u π θtan =u 令 θθθθππd ⎰40422sec sec tan =)2(8sin 42-=⎰ππθθππd .六. 求证:⎰⎰⎰=21)(2ln )(du u f dxdy xy f D, 其中D 是由xy = 1, xy = 2, y = x 及y = 4x(x > 0,y > 0)所围成之区域. 证明: 令u = xy, y = vx. 即vux =, uv y =. v v u y x 21),(),(=∂∂. 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===212141)(2ln 21)(21)()(,du u f dv v du u f dudv vu f dxdy xy f vu D D七. 求证:⎰⎰⎰-≤+-=+2221)(2)(22du u f u dxdy y x f y x证明: 令y x u +=, y x v -=.21''''1),(),(-==∂∂yx y x v v u u v u y x . 所以du dv u f dudv u f dxdy y x f u v u y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--≤+≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+22202122222)(21)()(=⎰--222)(2du u f u八. 设f (t )是半径为t 的圆周长, 试证:⎰⎰⎰-≤++-=at a y x y x dt et f dy dx e22222222)(2121ππ证明: 左 =⎰⎰⎰⎰-≤++-=aa y x y x d ed dy dx e22022222222121ρρθππρπ⎰-=ad e22221ρπρπρ⎰-=ad ef 022)(21ρρπρ=右九. 设m , n 均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明:0222=⎰⎰≤+dy dx y x a y x n m证明: 区域 D 既对x 轴对称, 又对y 轴对称.当m 为奇数时n m y x 为对于x 的奇函数, 所以二重积分为0; 当n 为奇数时n m y x 为对于y 的奇函数, 所以二重积分为0.十. 设函数⎰⎰⎰-=yz t dx x f z y dy dz t F t x f 020)()()(,],0[)(令上连续在, 证明:⎰-=tdx x f x t dt dF 03)()(31 解: 先计算⎰⎰⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-z z x zz x yz dx z y x f dx dy z y x f dx x f z y dy 030202))((31)()()()( ⎰-=z dx x f x z 03)()(31 所以⎰⎰⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=tt z dx x f x t dz dx x f x z dt d dt dF 03003)()(31])()(31[ 十一. 计算: ⎰⎰⎰-11sin x ydz zzdy dx 解. 因为⎰-dz z z1sin 不能积成有限形式, 所以必须更换积分次序. 四面体A BCD -为所求的积分区域.由图知=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰zy D y xy dx z z dz z z dy dx ,110001sin 1sin ⎰⎰--zy D dydz y z z,)1(1sin=)sin 1(21sin )1(21)1(1sin 10101z zdz z dy y dz z z z -=-=--⎰⎰⎰ 十二.⎰⎰⎰Ω++dxdydz z x y )2(22, Ω: 由 2222a z y x =++, 22224a z y x =++, 及0222=+-z y x (y ≥ 0, a > 0)所围成.解. 令ϕθϕθϕsin sin ,sin cos ,cos r x r z r y ===. 则 ϕθϕd r d d r d x d y d z s i n 2=. 于是dr r r r d d dxdydz z x y aaϕϕϕθϕππsin )sin cos 2()2(22204022+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=⎰+⋅4024)sin cos 2(42πϕϕϕπd r aa=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰40402422cos 1cos 215ππϕϕϕπd a =)2(16154ππ+a十三. 计算下列三重积分: 1.⎰⎰⎰Ω-+++dv z y x 3)1(, Ω: 由x + y + z = 1, x = 0, y = 0及z = 0所围成.解.⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-+++=+++dz z y x dy dx dv z y x x 110103)1()1(=⎰⎰⎰⎰--------++=+++-x x y x dy y x dx dy z y x dx 1022101010210]2)1[(21)1(21 =⎰⎰---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++---1011010)]1(4121)1[(21)1(41)1(21dx x x dx x y x x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+852ln 2181212ln 21)1(8121)1ln(2110210x x2.⎰⎰⎰Ω++dv e z y x , Ω: y = 1, y =－x , x = 0, z = 0及z =－x 所围形体. 解. zx四面体ABCD O -为积分区域.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+Ω++-=-==xy xyxy D D y x y x y x xz D y x z y x dxdy e e dxdy e e dz e e dv e )()1(0=⎰⎰⎰⎰+-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+10100100)1()()(dy e ye dy e ye dy dx e e y y y y x y y y x y=e e e dy e ye y y -=++-=+-⎰3122121103. ⎰⎰⎰Ωxydv , Ω: z = xy , x + y = 1及z = 0所围形体.解.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===-Ω1032101022220)1(31dx x x dx dy y x dxdy y x dz dxdy xy xydv xDxy D xyxy=18016010364520316153433131)331(3110322=-+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-⎰dx x x x x 4.⎰⎰⎰Ω+==++Ω++)(31:,22222222y x z z y x dv z y x z 与由围成的空间区域. 解.解⎪⎩⎪⎨⎧+==++)(3122222y x z z y x 得23=z .方法一:⎰⎰⎰Ω++dv z y x z 222 ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=230222dz dxdy z y x z xy D +⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++123222dz dxdy z y x z xy D =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2303022dz rdr z r z z +⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-123102222dz rdr z r z z π ⎰⎰⎰-++⋅-+=1231022230323032223232332dz z r z dz z z dz z z zz πππ=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛2304233432dz z π－⎰23432dz z π+⎰12332zdz π－⎰123432dz z π=5132232534321232230523πππ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛z z =ππππ15243332334152523-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2020303πππ=- 方法二: 用球坐标变换dr d d r r r dv z y x z ϕθϕϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅⋅=++sin cos 2222 =146020614512cos 412cos sin r dr r d ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=⎰⎰⎰πππϕπϕϕθ=20512141412ππ=⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅-十四. 求由下列曲线所围图形的面积. 1. a y x a xy 25,2=+= (a > 0) 解:求解联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=a y x a xy 252, 得a x a x 2,2==. 所以面积S 为 S =⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-a a aax a x a Ddx x a x a dx dy dxdy 2222225252=2ln 2815ln 2125222222a a x a x ax aa-=⎪⎭⎫⎝⎛--.2. )3()(2322xy x a y x -=+, (a > 0)解. 由表达式可知图形关于y 轴对称, 所以总面积为上半平面部分的面积的二倍. 化成极坐标, 得)3cos 4(cos 2-=θθa r 因为r > 0, 所以0)3cos 4(cos 2≥-θθ 求解 ⎩⎨⎧≥-≥03cos 40cos 2θθ 或 ⎩⎨⎧≤-≤03cos 40cos 2θθ, 且0 ≤πθ≤解得 65260πθππθ≤≤≤≤或. 于是面积S 为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰≥6522602)0()(21)(2122πππθθθθd r d r dxdy S y D xy =⎰-62222)3cos 4(cos πθθθd a +⎰-6522222)3cos 4(cos ππθθθd aϕπθ-=第二式中令⎰-62222)3cos 4(cos πθθθd a+⎰-262222)3cos 4(cos ππθθθd a=4)3cos 4(cos 2202222a d a πθθθπ=-⎰.十五. 求曲面22y x z +=夹在二曲面y y x y y x 2,2222=+=+之间的部分的面积.解. 该曲面在xoy 平面上的投影区域为所以所求面积为 ⎰⎰⎰⎰++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xyxyD D dxdy y x y y x x dxdy y z x z S 2222222211 =πππ423)4(22=-=⎰⎰xyD dxdy十六. 求用平面x + y + z = b 与曲面2222a yz xz xy z y x =---++相截所得的截断面之面积.解. 作变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=-=z y x z z y x y z x x 313131'616261'2121' 上式是正交变换, 所以'''0z y x 也是直角坐标系. 在新坐标系下平面方程为b z y x z 31)(31'=++=反解变换式可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=+-=++='31'61'21'31'36'31'61'21z y x z z y y z y x x 代入曲面方程后得到 22232''a y x =+ 正交变换不改变面积, 所以232''32''222a dy dx S ay x π==⎰⎰≤+十七. 求下列曲面所围形体的体积. 1. z = xy, x + y + z = 1, z = 0.解. 曲顶的曲面为z = xy 及x + y + z = 1. 所以所求体积必须分成二部分. 该二部分在xoy 平面上的投影区域分别为D 1, D 2. 于是体积V 为 ⎰⎰⎰⎰--+=21)1(D D dxdy y x xydxdy V=⎰⎰⎰⎰-+-+---+xxx x x dy y x dx ydy xdx 111101110)1(=2ln 212172ln 66252ln 4411-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2. 0,2,,222222==+=++=z x y x x y x y x z 解. ⎰⎰⎰⎰=+=θθπθcos 2cos 2022)(rdr r d dxdy y x V xyD⎰-=πθθθ044)c o s c o s 16(41d =π3245. 3. 2222,8y x z y x z +=--=解. 解联立方程⎩⎨⎧+=--=22228yx z y x z , 得z = 4. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=+==Ω84408440)8(dz z zdz dxdy dz dxdy dz dv V xyxyD D π= 16π.十八. 将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标的累次积分, 其中Ω是由222z y x =+, z =1及z = 4所围成. 解.⎰⎰⎰=πθθθ204110),sin ,cos (dz z r r f rdr d I +⎰⎰⎰πθθθ20441),sin ,cos (rdz z r r f rdr d十九. 改变下列三重积分的积分次序: 1.⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx , 2. ⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(解. 1. 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==),(),()(2121),,(),,(),,(z x y z x y y D y y D Vxz xzdxdz z y x f dydy z y x f dxdz dv z y x f . 应该注意最后这个积分的积分区域和y 有关, 因此内层的二重积分为y 的函数. 当x 取自[0, 1]时, 该积分区域V 在yoz 平面上的投影区域如图:于是 z⎰⎰⎰+2201010),,(y x dzz y x f dy dx x 2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-1010111002222),,(),,(x x x z x dy z y x f dz dz dy z y x f dz dx 由于x, y 的轮换对称性, 立即可得⎰⎰⎰+2201010),,(y x dzz y x f dy dx =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-1010111002222),,(),,(y y y z y dx z y x f dz dy dx z y x f dz dy 该题的积分区域如下图:z对于22y x z +=, 当x = 0, y = 1时, z = 1; 当x = 1, y = 0时, z = 1. 当x = 1, y = 1时, z = 2. 所以当z 取自[0, 1]时, V 在xoy 平面上的投影xy D 如左图; z 取自[1, 2]时, V 在xoy 平面上的投影xy D 如右图.z1 1于是⎰⎰⎰+220110),,(y x dzz y x f dy dx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰⎰⎰-1011010),,(),,(2dx z y x f dy dx z y x f dy dzz y z z+⎰⎰⎰--111212),,(y z z dx z y x f dy dz由x , y 的对称性, 直接可得⎰⎰⎰+2201010),,(y x dzz y x f dy dx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰⎰⎰-1011010),,(),,(2dy z y x f dx dy z y x f dx dz z x z z+⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz2. 积分区域如下图:当x 取自[0, 1]时积分区域V 在yoz 平面的投影如图:y 于是⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(={}⎰⎰⎰⎰⎰---+x xxz xx dy z y x f dz dy z y x f dz dx101101),,(),,(当z 取自[0, 1]时, V 在xoy 平面的投影区域如图:⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(={}⎰⎰⎰⎰⎰---+yzyyz zdx z y x f dy dx z y x f dydz 101101),,(),,(二十. 已知质量为M, 半径为a 的球上任一点的密度与该点到球心的距离成正比, 求球关于切线的转动惯量.解. 设直线l 和z 轴平行，l 和xoy 平面的交点坐标为x 1和y 1，则物体绕l 的转动惯量为：I l =⎰⎰⎰Ω-+-dxdydz z y x y y x x ),,(])()[(2121ρ (1) 将球心放在原点，则密度 ρ（x,y,z ）=kr ，r 为点（x,y,z ）到球心的距离。
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我谈陈文灯考研数学
数学的学习也是一个循序渐进的过程，其实，考研数学中，最简单的就是线性代数，因为很多的定理和公式，你完全可以在做题中了解和掌握，但重要的是能否深刻的理解文灯书中的定理和公式。
看陈文灯的书，是复习指南和参考题解一起看，陈文灯总结的许多定理都未在复习指南中列出，而是在题解一书中给出，所以，，两个一起看，其实，我觉得，如果你想公共课得高分，就只有数学，所以下同样的功夫，比较起来，可能数学取得的进步要远大于英语和政治。
而且，说实话，英语和数学，除非是学得极好的人，否则在考前，恐怕多少也会担心万一马失前蹄，不过基本线就完蛋，所以，这两科的学习，总应该尽力而为，尽量避免马失前蹄的可能。
线性代数的各个定理和推论，文灯书中列得很详细，如果将陈文灯的"数学复习指南"和"题解指南"一起看，效果会更好，对于线性代数的定理和推论，想记得深和透澈，的办法就是自己证明，我在复习的时候，就是自己证明，已增进理解和记忆，对于其定理和推论，尽量做到举一反三，如果你明年考，现在的时间还有很多，完全可做到万无一失。
其实，我觉得，如果只是看陈文灯的书，复习后再作几套模拟题，如果学得很扎实，数学拿到110分，没有问题，如果题目简单，拿到130分都可能，但今年的试题相比往年，总体难度要大得多，而数学的定理要想掌握的很好，就只有作题，未必是题海战术，但一定要及时总结，尤其想线性代数，各个定理都可演绎成另一种说法，写出自己的总结，很必要。
相比考研的数学试题与陈文灯最后给的几套题，陈的模拟题过于简单。
我建议你如果想得高分，在陈的书看得很透的情况下（估计至少看3-5遍，还不包括自我总结的内容），做李永乐的模拟题，李的模拟题比陈的模拟题强很多，而且题目很经典（李永乐的复习指南，我没看过），如果再有时间，推荐做10套黑博士的数学模拟题，相比于李的模拟题，黑博士的难度可能还要更大，但其一些题目很新颖，对于检验自我复习的定理的运用很有好处。
陈两本书，估计看完第一遍，加上做完其书每篇后面的习题，如果自8月份开始复习，以每天毫不间断的看三个小时数学来计算，第一遍完成可能需要一个月的时间，9月份接下来做李永乐的模拟题，这时，每做完一套题，你可能都需要总结，看一下那部分掌握的不好，该总结的定理（书中没有的，自己总结的）要仔细总结，做完几套，可能就需要再重新看一遍陈文灯的书，或是自己在第一遍看陈书时的自我总结，然后再做题，再总结，估计做完李的模拟题和至少两次的总结，应该是45天的时间，这时已是10月中旬，数学题量可适当减少，但是还要总结你做过的题目和强化以前的定理，间隙，做一下黑博士的模拟题，可已一周做两套或一套，不能因为专业的复习而遗忘前曾记过的数学和英语，黑博士的数学模拟题分几个系列，建议做"新题形模拟800题"。
伴随着其他科目的学习，在12月初，陈的书可能应该看了5遍左右，黑博士的题目做的也差不多了，这时，自己应该有把握，不论考研的数学题目怎样，至少120分应该是稳拿的，如果效率较高的化，135分时可以保证的。