专题05 平面向量与复数(原卷版)
平面向量、复数(原卷版)
平面向量、复数【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.【知识点分析以及满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解.【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数37izi+=的实部和虚部分别为A．7，3i-B．7-，3C．7-，3i D．7，3-2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i为虚数单位，若复数11tizi-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．14．（2018·全国郑州外国语学校高考模拟（理））设复数1z =-（i 是虚数单位），则z z z ⋅+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·河北高考模拟（理））已知平面向量a 与b 的夹角为23π，且1,22b a b =+=，则a =（）A ．2B ．1CD ．6．（2019·山西高考模拟（理））在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>> ,且1x y += ,则CD BE ∙的最大值为( )A ．58- B ．38- C ．32- D ．34- 7．（2019·福建厦门一中高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1BC ．2D ．28．（2019·安徽高考模拟（理））已知复数z 满足(1i)2i z -=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2019·河北辛集中学高三期中（理））已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“a ＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB ⋅=A ．0B ．2C ．D ．411．（2019·山东高考模拟（理））已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13- 12．（2019·河南高考模拟（理））已知复数1221i z iz i+=++，则z =（ ）A B C D 13．（2019·河南省实验中学高考模拟（理））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 3414．（2019·广东高考模拟（理））复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）A B ．13 C D ．515．（2019·山东高考模拟（理））已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A ．132BCD ．5216．（2019·黑龙江铁人中学高三期中（理））在ABC ∆中，0,2,23AB BC AB BC ∙===D 为AC 的中点，则BD DA ∙=( )A ．2B ．-2C ．D ．-17．（2019·天津一中高考模拟（理））如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈、，则x y +的取值范围是（ ）A ．1,4⎡+⎣B ．4⎡-+⎣C ．1,2⎡+⎣D ．2⎡⎣18．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知向量(3,1)OA =，(1,3)OB =-，(0,0)OC mOA nOB m n =->>，若[1,2]m n +∈，则||OC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题19．（2019·天津市武清区杨村第一中学高考模拟（理））在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅的取值范围是______.20．（2019·福建三明一中高三期中（理））已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且13a b c ＝＝，＝，则a b c ++ ＝_______. 21．（2019·甘肃兰州一中高三期中（理））已知向量,,a b c 满足4,22,,,4a b a b π==〈〉=()()·1c a c b --=-，则c a -的最大值为_______. 22．（2019·上海复旦附中高三）已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==，则·AO BC = ．23．（2019·北京清华附中高三月考）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 24．（2019·江苏高考真题）如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是_____.24．（2019·浙江高考真题）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ= 取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.。
高考数学复习单元检测(文)：平面向量与复数【含答案】
高考数学复习单元检测（文）：平面向量与复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b|a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →，则λ－μ等于( )A ．1B ．3C ．－1D ．－3答案 D解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE →，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ∥b ，则x 2＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( )A ．3B.32C.3D.32答案 B解析 由题知QP ⊥BC ，所以QP →·BC →＝0，则AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(A C →2－AB →2)＝32，故选B.9．已知a ＝(2，cos x )，b ＝(sin x ，－1)，当x ＝θ时，函数f (x )＝a ·b 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C ．－210D ．－7210 答案 D解析 f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝15，cos φ＝25，θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z ，所以sin θ＝cos φ＝25，cos θ＝－sin φ＝－15，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－45，cos2θ＝1－2sin 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.10.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BE →·CE →＝2，BF →·CF →＝－1，则BA →·CA →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 BE →·CE →＝ED →2－BD →2＝4FD →2－BD →2＝2，BF →·CF →＝FD →2－BD →2＝－1，所以FD →2＝1，BD →2＝2，因此BA →·CA →＝AD →2－BD →2＝9FD →2－BD →2＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．6B ．－8或8C ．－8D ．8答案 D 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sin θ＝45，则|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝10×45＝8，故选D.12．在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．63B ．23C ．6D ．2 答案 D解析 由已知易得，AM →＝23AB →＋13AC →，∴AM →＝23m AP →＋13n AQ →.又M ，P ，Q 三点共线， ∴23m ＋13n＝1， ∴m ＝2n3n －1，易知3n －1>0.mn ＋m ＝m (n ＋1)＝2n3n －1·(n ＋1) ＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3n －1)＋43n －1＋5≥2， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号． ∴mn ＋m 的最小值为2.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________． 答案 －1解析 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1，2a )． 又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.14．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7.若O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO →·BC →＝________. 答案 12解析 取BC 的中点D ，由O 为△ABC 的外接圆的圆心得OD ⊥BC ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12.15．欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2i 3e π，z 2＝i 2e π，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四解析 因为z 1＝2i 3e π＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝i2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．16．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)． (1)求向量a 与b 的夹角的大小； (2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a |·|b |＝－3－210·5＝－22，又α∈[0，π]，所以α＝3π4，即向量a 与b 的夹角的大小为3π4.(2)a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k )，因为c ∥(a ＋k b )，所以1－2k ＋3－k ＝0， 解得k ＝43，即实数k 的值为43.18．(12分)已知a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，O 为坐标原点． (1)若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； (2)设OA →＝a ，OB →＝b ，求△OAB 的面积． 解 (1)∵a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，∴m a ＋b ＝(3m ＋2，－2m ＋1)，a －2b ＝(－1，－4)， 令(m a ＋b )·(a －2b )<0， 即－3m －2＋8m －4<0，解得m <65，∵当m ＝－12时，m a ＋b ＝－12a ＋b ，a －2b 与m a ＋b 方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m ≠－12，∴若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，65. (2)设∠AOB ＝θ，△OAB 面积为S ， 则S ＝12|a |·|b |sin θ，∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2， ∴4S 2＝|a |2|b |2·sin 2θ ＝|a |2|b |2－(a ·b )2＝65－16＝49. ∴S ＝72.19．(13分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10，3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10，3)．20．(13分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12.又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C .又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.。
复习验收卷(五)平面向量与复数
复习验收卷(五) 平面向量与复数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知复数z 满足z (1＋3i)＝1－i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A.－25B.25C.－25ID.25i答案 A 解析 z ＝1－i 1＋3i＝－15－25i ，虚部为－25，故选A.2.(2020·武汉调研)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(2，1)，且(a －λb )∥c ，则λ＝( ) A.3 B.－3C.17D.－17答案 C解析 由题意知a －λb ＝(1＋λ，1－3λ)，c ＝(2，1).若(a －λb )∥c ，则(1＋λ)×1－2(1－3λ)＝0，解得λ＝17，故选C.3.如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z 表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.4.(2021·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是( )A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－3，1)D.(－1，3)答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3).故选D.5.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i(其中i 为虚数单位)，则下列结论正确的是( ) A.|z |＝2 B.z 的虚部为i C.z 2＝2D.z 的共轭复数为1－i答案 D解析 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ， ∴|z |＝2，z 的虚部为1，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为1－i ，故选D. 6.已知单位向量e 1，e 2分别与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量AC →＝3e 1－e 2，BD →＝2e 1＋6e 2，则平面四边形ABCD 的面积为( )A.10B.210C.10D.20答案 C解析 由向量正交分解的定义可知，AC →＝(3，－1)，BD →＝(2，6)，则|AC →|＝32＋（－1）2＝10，|BD→|＝22＋62＝210.因为AC→·BD →＝3×2＋(－1)×6＝0，所以AC ⊥BD ，即平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积S ＝|AC→|·|BD →|2＝10×2102＝10.故选C.7.已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，且λ＋μ＝1，则|OC→|的最小值为( )A.1B.52C.2D.3答案 D解析 |OC→|2＝(λOA →＋μOB →)2＝[λOA →＋(1－λ)OB →]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA→·OB →，因为OA →·OB →＝2，所以|OC→|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋3，当λ＝12时，|OC→|取得最小值 3.8.(2021·海南新高考诊断)如图，在等腰直角△ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点B )，过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF →＝( ) A.35AB →＋15AC →B.25AB →＋15AC →C.415AB →＋815AC →D.815AB →＋415AC →答案 D解析 设BC ＝6，因为D ，E 分别为斜边BC 的三等分点且D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝2.在△ABD 中，AB ＝32，BD ＝2，∠ABD ＝45°， 由余弦定理可知AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝10， 则AD ＝AE ＝10.在△DAE 中，cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝45.因为AF ⊥EF ，所以AF AD ＝AF AE ＝45，所以AF→＝45AD →.因为AD→＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，所以AF →＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝815AB →＋415AC →，故选D.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( )A.23BA →＋16BC →B.43BA →－16BC →C.BA→＋13AE →D.23BA →＋13AE →答案 AC解析 如图所示，设BC 中点为E ，连接AE ，D 在AE 上，则BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13·12BC →＝ 23BA →＋16BC →.故选AC.10.已知a ＝(－2，1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1，2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55D.⎝⎛⎭⎪⎫－255，55 答案 AD解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ，7)， ∵(a －2b )⊥c ，∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ，7)·(1，2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)，∴e ＝±b 62＋（－3）2＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55，故选AD. 11.设z 1，z 2是复数，则下列说法中正确的是( )A.若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B.若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 ABC解析 对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2正确；对于B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2正确；对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，即a 21＋b 21＝a 22＋b 22，所以z 1·z －1＝a 21＋b 21＝a 22＋b 22＝z 2·z －2，所以z 1·z －1＝z 2·z －2正确；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1， 所以z 21＝z 22，错误.故选ABC.12.(2020·济南调研)下列命题正确的是( )A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB ＝CD ，则AB→＝CD → B.在△ABC 中，若O 点满足OA→＋OB →＋OC →＝0，则O 点是△ABC 的重心C.若a ＝(1，1)，把a 向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3，1)D.在△ABC 中，若CP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|＋CB →|CB →|，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心 答案 BD解析 如图，A ，B ，C ，D 四点满足条件，但AB →≠CD →，故A 错误；对于B ，设BC 的中点为D ，当OA→＋OB →＋OC →＝0时，能得到OA →＝－(OB →＋OC →)，所以OA→＝－2OD →，所以O 是△ABC 的重心，故B 正确. 对于C ，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C 错误. 对于D ，根据向量加法的几何意义知，以CA→|CA →|，CB →|CB →|为邻边所得到的平行四边形是菱形，点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P 点在∠ACB 的平分线所在直线上，故D 正确.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2＋3i(i 是虚数单位)，若z 1·z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 答案 3解析 因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2＋3i ，所以z 1·z 2＝(a ＋2i)·(2＋3i)＝2a －6＋(3a ＋4)i ，又z 1·z 2是纯虚数，所以2a －6＝0，且3a ＋4≠0，解得a ＝3.14.在直角梯形ABCD 中，AB →＝λDC →(λ＞0)，∠B ＝60°，AD ＝3，E 为CD 中点，AC →·BE →＝－1，则|DC →|＝________. 答案 2解析 设|DC→|＝x ，AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CE →)＝AD →·BC →＋AD →·CE →＋DC →·BC →＋DC →·CE →＝3×2×32＋3×x 2×0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋(－1)×x 2·x ＝3－x －12x 2＝－1，求得x ＝2，即|DC →|＝2.15.(2021·重庆联考)若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________. 答案 －7 解析 ∵a ＋b i i ＝（a ＋b i ）（－i ）－i 2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b i i (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7. 16.已知平面向量a ，b 满足|2a ＋b |＝1，且a ·(a －b )＝1，则|a －b |的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－12，13＋12 解析 设向量2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则a ·(a －b )＝13(2a ＋b ＋a －b )·(a －b )＝13(|2a ＋b ||a －b |cos θ＋|a －b |2)＝1，化简得|a －b |cos θ＋|a －b |2＝3，即cos θ＝3|a －b |－|a －b |∈[－1，1]，解得13－12≤|a －b |≤13＋12.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－2). (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值. 解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎨⎧1·y ＋2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2，4)或c ＝(2，－4).(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0， 即a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝12＋（－2）2＝5，|b |＝1， ∴a ·b ＝3，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝355.18.(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，AE ＝1，且AD →·AE →＝12. (1)求|AD→|； (2)若P 是线段DE 上的一个动点，求BP→·CP →的最小值.解 (1)因为AD →·AE →＝|AD →||AE →|cos 60°＝12，|AE →|＝1，所以|AD →|＝1.(2)因为|AE→|＝|AD →|，∠DAE ＝60°，所以△DAE 为等边三角形，所以∠BDP ＝∠CEP ＝120°，BD ＝2，CE ＝1. 设DP ＝x (0≤x ≤1)，则EP ＝1－x ， 所以BP→·CP →＝(DP →－DB →)·(EP →－EC →) ＝DP→·EP →－DP →·EC →－DB →·EP →＋DB →·EC → ＝x (1－x )cos 180°－x cos 60°－2(1－x )·cos 60°＋2×1×cos 60° ＝x 2－12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－116≥－116，当x ＝14时，等号成立， 所以BP→·CP →的最小值为－116. 19.(本小题满分12分)设两个向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1. (1)若(a ＋2b )·(a －b )＝1，求a ，b 的夹角；(2)若a ，b 的夹角为60°，向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解 (1)由(a ＋2b )·(a －b )＝1得a 2＋a ·b －2b 2＝1. 又a 2＝4，b 2＝1，所以a ·b ＝－1. 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12， 又0≤〈a ，b 〉≤180°， 所以a ，b 的夹角为120°.(2)由已知得a ·b ＝2×1×cos 60°＝1，所以(2t a ＋7b )·(a ＋t b )＝2t a 2＋(2t 2＋7)a ·b ＋7t b 2＝2t 2＋15t ＋7， 因为向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角， 所以2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12. 设2t a ＋7b ＝λ(a ＋t b )(λ＜0)， 所以⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，解得2t 2＝7，当t ＝－142时，λ＝－14，此时向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为180°，不符合题意.所以向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎪⎫－142，－12. 20.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA→·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA→－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2). 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，因此△ABC 的面积的最大值为32＋32.21.(本小题满分12分)(2021·宜昌模拟)如图，在同一个平面内，向量OA→，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值.解 ∵tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝210，sin α＝7210.∵OA→与OC →的夹角为α，OC →＝mOA →＋nOB →，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，∴210＝OA→·OC →|OA →|·|OC →|＝OA →·（mOA →＋nOB →）|OA →|·|OC →|＝m ＋nOA →·OB →2.①又∵OB→与OC →的夹角为45°， ∴22＝OB→·OC →|OB →|·|OC →|＝OB →·（mOA →＋nOB →）|OB →|·|OC →|＝mOA →·OB →＋n 2.②又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝210×22－7210×22＝－35，∴OA→·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝－35，将其代入①②得m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，两式相加得25m ＋25n ＝65，∴m ＋n ＝3. 22.(本小题满分12分)(2020·镇江模拟)已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x ).(1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值.解 (1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12. (2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12.若m ·n ＝33－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， 所以－π6≤2x －π6≤π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×12＝63×32－33×12 ＝32-36.。
高考数学复习第五章平面向量与复数.docx
⾼考数学复习第五章平⾯向量与复数.docx第五章平⾯向量与复数考纲原件考厕1?平⽽向量⑴平⾯向量的实际背景及基⽊概念①了解向量的实际背景.②理解平⾯向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向虽的⼉何表⽰.(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其⼏何意义.②掌握向量数乘的运算及其⼉何意义，理解两个向最共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其⼉何意义.(3)平⾯向量的基⽊定理及坐标表⽰①了解平⽽向量的基本定理及其意义.②掌握平⾯向最的正交分解及其坐标表⽰.③会⽤处标表⽰平⾯向量的加法、减法与数乘运算.④理解⽤坐标表⽰的平⽽向量共线的条件.(4)平⾯向量的数量积①理解平⾎向量数量积的含义及其物理意义.链| 接I权贞展现②了解平⾯向量的数量积与向量投彫的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进⾏平⾯向量数量积的运算.④能运⽤数量积表⽰两个向量的夹⾓，会⽤数量积判断两个平⽽向量的乖直关系.(5)向量的应⽤①会⽤向量⽅法解决某些简单的平⾎⼉何问题”②会⽤向量⽅法解决简单的⼒学问题与其他⼀些实际问题.2.数系的扩充和复数的引⼊(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表⽰法及其⼉何意义;能将代数形式的复数在复平曲上⽤点或向最表⽰，并能将复平⾎上的点或向量所対应的复数⽤代数形式表⽰.(3)能进⾏复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的⼏何意义.§5.1平⾯向量的概念及线性运算考点梳理I多脛劫笔夯实基越1.向最的有关概念(1)向量:既有____________⼜有____________的量叫做向量，向量的⼤⼩,也就是向量的___________ (或称模).祐的模记作_____________ .(2)零向量：___________ 的向量叫做零向量, 其⽅向是 _______ 的.(3)单位向罐：长度等于___________________ 的向最叫做单位向量?亩是⼀个与$同向的. _⽿是_个与a______ 的单位向I创(4)平⾏向量：⽅向__________ 或________ 的 ______ 向量叫做平⾏向最?平⾏向最⼜叫 ,任⼀组平⾏向量都可以移到同⼀直线上.规定：0与任⼀向聚____________ .(5)相等向量：长度_______________ 且⽅向___________ 的向最叫做相舍向最.⑹相反向量：长度_______________ 且⽅向____________ 的向虽叫做相反向：8.(7)向量的表⽰⽅法：⽤__________ 表⽰；⽤____________ 表⽰；⽤ _______ 表⽰.2.向量的加法和减法⑴向量的加法三⾓形法则：以笫⼀个向量⽈的终点〃为起点作笫⼆个向量⽅，则以笫⼀个向量a的起点。
高考数学一轮复习专题5平面向量复数第35练平面向量的应用练习含解析0520155.docx
第35练 平面向量的应用[基础保分练]1．已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝5，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[5,52]C ．[52，7]D ．[5,10]2．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形3．一艘船以4km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3h ，则船实际航程为( )A ．215kmB ．6kmC ．221kmD ．8km4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形5．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m ，已知|F 1|＝2N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24JB ．242JC ．243JD ．246J6．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝|a －b |，则|t a ＋(1－t )b |(t ∈R )的最小值为( )A.45B.255C.15D.557．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC→＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心8．(2019·四川省棠湖中学月考)△ABC 所在平面上一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为( )A ．2∶3B．1∶4C．1∶3D．1∶69．已知P 为锐角△ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA →＋3PC →|的最小值为________．10.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.[能力提升练]1．已知AB →，AC →是非零向量且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形3．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 4．设|AB →|＝10，若平面上点P 满足对任意的λ∈R ，恒有|2AP →－λAB →|≥8，则一定正确的是( )A ．|PA →|≥5B ．|PA →＋PB →|≥10 C.PA →·PB →≥－9 D ．∠APB ≤90°5．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________．6．(2019·盐城模拟)在△ABC 中，tan A ＝－3，△ABC 的面积S △ABC ＝1，P 0为线段BC 上一定点，且满足CP 0＝13BC ，若P 为线段BC 上任意一点，且恒有PA →·PC →≥P 0A —→·P 0C —→，则线段BC 的长为________．答案精析基础保分练1．B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7.B8．C [由已知得，PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝AP →＋PB →，解得PC →＝2AP →，所以|PC →|＝2|AP →|，作图如下：设点B 到线段AC 的距离是h ，所以S △PAB S △ABC ＝12×AP ×h 12×AC ×h ＝AP AC ＝AP AP ＋PC ＝AP AP ＋2AP ＝13.] 9．6 3解析 PA →＋3PC →＝PA →＋3(PA →＋AC →)＝4PA →＋3AC →，(4PA →＋3AC →)2＝16|PA →|2＋9|AC →|2＋24|PA →||AC →|·cos120°＝16|PA →|2－48|PA →|＋144，∴|PA →|＝32时，(4PA →＋3AC →)2最小为108. 故|PA →＋3PC →|min ＝6 3.10．－1解析 如图，过D 作BC 的垂线，交BC 延长线于M ，设∠BAC ＝α，则∠ACD ＝2α，∠ACB ＝90°－α，∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α，∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ，∴DM AB ＝CM BC＝k (k 为相似比)． 又B D →＝xBA →＋yBC →＝MD →＋BM →，∴x ＝DM AB ＝k ，y ＝BM BC ＝BC ＋CM BC＝k ＋1，∴x －y ＝－1.能力提升练1．A [因为(AB →－2AC →)⊥AB →，所以(AB →－2AC →)·AB →＝0，所以AB →2－2AC →·AB →＝0，所以AB →2＝2AC →·AB →，因为(AC →－2AB →)⊥AC →，所以(AC →－2AB →)·AC →＝0，所以AC →2－2AB →·AC →＝0，所以AC →2＝2AB →·AC →，所以AB →2＝AC →2，所以|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．]2．D [易知AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠BAC 的角平分线上， 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，可知在△ABC 中∠BAC 的角平分线与BC 垂直，易判断AB ＝AC ， 又由AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，得∠BAC ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形，故选D.]3．D [∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0，∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2，∵AP →＝AB 1→＋AB 2→，∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →，∴OP →－OB 1→＝OB 2→－OA →，∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →，∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→)＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2，∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14， ∴0≤2－OA →2<14， ∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 故选D.]4．C [以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)A (0,0)，B (10,0)，设P (x ，y )，C (5λ，0)AB →＝(10,0)，AP →＝(x ，y )，λAB →＝(10λ，0)＝2AC →， PA →＝(－x ，－y )，PB →＝(10－x ，－y )，|2AP →－λAB →|＝|2AP →－2AC →|＝2|CP →|≥8，∴|CP →|≥4，C ∈l ，l 为直线y ＝0，∵∀P ∈D (x ，y )，(x ，y ∈R )，P 到x 轴距离大于等于4，∴P ∈D (x ，y )，(x ∈R ，|y |≥4)，对于A 来说，|PA →|＝x 2＋y 2≥|y |≥4，错误；对于B 来说， |PA →＋PB →|＝－x 2＋4y 2≥2|y |≥8，错误； 对于C 来说，PA →·PB →＝x 2＋y 2－10x ＝y 2＋(x －5)2－25≥y 2－25≥－9，正确；对于D 来说，当P (5,4)时，cos∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|<0， ∴∠APB >π2，错误．故选C.] 5.2＋1解析 由a ·b ＝0，得a ⊥b .建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．设c ＝OC →＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1，可得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以点C 在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上．故圆心到点O 的距离为2，所以|c |max ＝2＋1. 6. 6解析 取AC 的中点M ，则PA →·PC →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MC →)＝PM →2－MC →2，所以当MP ⊥BC 时，PA →·PC→取最小值，因为恒有PA →·PC →≥P 0A —→·P 0C —→，所以MP 0⊥BC ，过A 作AN ⊥BC 于N .设AN ＝h ，CP 0＝m ，则NP 0＝m ，BN ＝m ，因为S △ABC ＝1，所以12h ·3m ＝1； 因为tan A ＝－3，所以tan(∠BAN ＋∠CAN )＝m h ＋2m h 1－m h ·2m h＝－3， 所以m h＝1(舍负)，因此m ＝63，BC ＝3m ＝ 6.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学 考点 第六章 平面向量与复数 复数(理)-人教版高三全册数学试题
复数1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示 不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．1．（2020•某某）(12)(2)(i i ++=（ ） A ．45i +B ．5i C ．5i -D ．23i + 【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=， 故选B ．2．（2020•）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z =（ ） A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【解析】复数z 对应的点的坐标是(1,2)， 12z i ∴=+，则(12)2i z i i i =+=-+， 故选B ． 3．（2020•某某）212ii-=+（ ） A ．1B ．1-C ．i D ．i - 【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+， 故选D ．4．（2020•新课标Ⅰ）若312z i i =++，则||z =（ ）A ．0B ．1C ．2 【答案】C【解析】312121z i i i i i =++=+-=+，||z ∴=．5．（2020•新课标Ⅲ）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】1131313(13)(13)1010i i i i i +==+--+， ∴复数113i -的虚部是310． 故选D ．6．（2020•新课标Ⅰ）若1z i =+，则2|2|z z -=（ ）A ．0B ．1C ．2 【答案】D【解析】若1z i =+，则222(1)2(1)2222z z i i i i -=+-+=--=-， 则2|2||2|2z z -=-=， 故选D ．7．（2020•新课标Ⅲ）若(1)1z i i +=-，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 【答案】D【解析】由(1)1z i i +=-，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，z i ∴=．故选D ．8．（2020•某某）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数， 可得20a -=，解得2a =．9．（2020•新课标Ⅱ）4(1)i -=（ ） A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i 【答案】A【解析】4222(1)[(1)](2)4i i i -=-=-=-． 故选A ．10．（2019•全国）复数12iz i-=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】21(1)()112222i i i z i i i ---===---， z ∴在复平面内对应的点的坐标为1(2-，1)2-，在第三象限．故选C ．11．（2019•新课标Ⅱ）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】32z i =-+，∴32z i =--，∴在复平面内z 对应的点为(3,2)--，在第三象限．故选C ．12．（2019•新课标Ⅲ）若(1)2z i i +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 【答案】D【解析】由(1)2z i i +=，得 22(1)12i i i z i -==+ 1i =+．13．（2019•新课标Ⅱ）设(2)z i i =+，则z =（ ） A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i -- 【答案】D 【解析】(2)12z i i i =+=-+，∴12z i =--，故选D ．14．（2019•）已知复数2z i =+，则z z =（ ）A C ．3D ．5 【答案】D【解析】2z i =+，22||5z z z ∴===．故选D ．15．（2019•新课标Ⅰ）设312iz i-=+，则||z =（ ）A ．2B D ．1 【答案】C【解析】由312iz i -=+，得3|3|||||12|12|i i z i i --====++． 故选C ．16．（2018•全国）设12z =-，则2z z +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】由12z =-，得222111(1)()())()1222z z z z +=+=-+=-=-．故选A ．17．（2018•新课标Ⅰ）设121iz i i-=++，则||z =（ ）A ．0B ．12C ．1D 【答案】C 【解析】1(1)(1)2221(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=+-+， 则||1z =． 故选C ．18．（2018•）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】复数11111(1)(1)22i i i i i +==+--+， 共轭复数对应点的坐标1(2，1)2-在第四象限．故选D ．19．（2018•新课标Ⅲ）(1)(2)i i +-=（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】(1)(2)3i i i +-=+． 故选D ．20．（2018•新课标Ⅱ）(23)i i +=（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 【答案】D【解析】2(23)2332i i i i i +=+=-+． 故选D ．21．（2018•新课标Ⅱ）1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+【解析】12(12)(12)3412(12)(12)55i i i i i i i +++==-+--+． 故选D ．22．（2018•某某）复数2(1i i-为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】B【解析】化简可得21z i=- 2(1)1(1)(1)i i i i +==+-+，z ∴的共轭复数1z i =-故选B ．23．（2017•全国）2=（ ）A ．12-B ．12-+C ．12D ．12【答案】D【解析】212==．故选D ．24．（2017•某某）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a =+，4z z =，则a =（ ）A ．1或1-B ．【答案】A【解析】由z a =，则z 的共轭复数z a =，由2()(34z z a a a =+=+=，则21a =，解得：1a =±， a ∴的值为1或1-，故选A ．25．（2017•某某）已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =+，则2z =（ ） A ．2i -B ．2i C ．2-D ．2【解析】复数z 满足1zi i =+， 11iz i i+∴==-， 22z i ∴=-，故选A ．26．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i +B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i + 【答案】C【解析】A ．2(1)22i i i i +==-，是实数．B ．2(1)1i i i -=-+，不是纯虚数．C ．2(1)2i i +=为纯虚数．D ．(1)1i i i +=-不是纯虚数．故选C ．27．（2017•新课标Ⅲ）设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（ ）A ．12B C ．2【答案】C【解析】(1)2i z i +=，(1)(1)2(1)i i z i i ∴-+=-，1z i =+．则||z = 故选C ．28．（2017•）若复数(1)()i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值X 围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞ 【答案】B【解析】复数(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-．则实数a 的取值X 围是(,1)-∞-． 故选B ．29．（2017•新课标Ⅱ）(1)(2)i i ++=（ ） A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 【答案】B【解析】原式21313i i =-+=+． 故选B ．30．（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】(2)21z i i i =-+=--对应的点(1,2)--位于第三象限． 故选C ．31．（2017•新课标Ⅱ）31ii+=+（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 【答案】D 【解析】3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 故选D ．32．（2020•某某）i 是虚数单位，复数82ii-=+__________． 【答案】32i -【解析】i 是虚数单位，复数8(8)(2)1510322(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-， 故答案为：32i -．33．（2020•某某）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =__________．【解析】由12z i =-，得||z ．．34．（2020•某某）已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是__________． 【答案】3【解析】复数(1)(2)3z i i i =+-=+， 所以复数(1)(2)z i i =+-的实部是：3． 故答案为：3．35．（2020•新课标Ⅱ）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12z z i +=，则12||z z -=__________．【答案】【解析】复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12z z i +=，所以12||2z z +=，∴2121212||()4z z z z z z +=++=，121284z z z z ∴++=．得12124z z z z +=-． 2121212||8()12z z z z z z ∴-=-+=．又12||0z z ->，故12||z z -=．故答案为：．36．（2020•某某）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为__________． 【答案】2【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+， 36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =． 则z 的实部为2． 故答案为：2．37．（2019•某某）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =__________． 【答案】5i - 【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-． 故答案为：5i -．38．（2019•某某）i 是虚数单位，则5||1i i-+的值为__________．【解析】由题意，可知： 225(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i ----+===-++--，5|||23|1i i i-∴=-=+39．（2019•某某）已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__________．【答案】2【解析】(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++的实部为0，20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．40．（2019•某某）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为__________．【答案】【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为：41．（2019•某某）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =__________．【解析】11111(1)(1)22i z i i i i -===-++-．||2z ∴=．． 42．（2018•某某）i 是虚数单位，复数6712i i +=+__________． 【答案】4i -【解析】67(67)(12)614712205412(12)(12)55i i i i i i i i i i ++-++--====-++-， 故答案为：4i -．43．（2018•某某）若复数z 满足12i z i =+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为__________．【答案】2【解析】由12i z i =+， 得212(12)()2i i i z i i i ++-===--， z ∴的实部为2．故答案为：2．44．（2018•某某）已知复数z 满足(1)17(i z i i +=-是虚数单位），则||z =__________．【答案】5【解析】由(1)17i z i +=-， 得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．45．（2018•某某）若复数1(z i i =+是虚数单位），则2z z +=__________． 【答案】2【解析】1z i =+， ∴222(1)2(1)1111121(1)(1)2i i z i i i i i z i i i --+=++=++=++=++-=++-． 故答案为：2．46．（2017•某某）已知复数z 满足30z z+=，则||z =__________．【解析】由30z z +=， 得23z =-，设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-，得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得：0a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴z =．则||z =47．（2017•某某）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a i i-+为实数，则a 的值为__________． 【答案】2-【解析】a R ∈，i 为虚数单位，()(2)21(2)2122(2)(2)4155a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-+ 由2a i i-+为实数， 可得205a +-=， 解得2a =-．故答案为：2-．48．（2017•某某）已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是__________．【解析】复数(1)(12)12313z i i i i =++=-+=-+，||z ∴==49．（2017•某某）已知a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），则22a b +=__________，ab =__________．【答案】5，2【解析】a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），22342i a b abi ∴+=-+，223a b ∴=-，24ab =，解得2ab =，21a b =⎧⎨=⎩，21a b =-⎧⎨=-⎩． 则225a b +=，故答案为：5，2．50．（2017•某某）若复数z 满足2136(z i i -=+是虚数单位），则z =__________．【答案】23i - 【解析】2136z i -=+， ∴246z i =+，则23z i =+，23z i ∴=-．故答案为：23i -．1．（2020•道里区校级一模）已知i 是虚数单位，202013z i i =+-，且z 的共轭复数为z ，则z z =（ ）A C ．5D ．3【答案】C【解析】2020450513132z i i i i i ⨯=+-=+-=-+，||z ∴则22||5z z z ===．故选C ．2．（2020•某某模拟）若(2)x i i y i +=+，其中x ，y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ）A ．1B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】(2)x i i y i +=+，2xi y i ∴-+=+，则1x =，2y =-．∴复数z x yi =+的虚部为2-．故选C ．3．（2020•东湖区校级模拟）已知i 是虚数单位，复数22020(1)z i i=-+在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】220204505(1)212z i i i i i ⨯=-+=-+=-．z ∴在复平面内对应点的坐标为(1,2)-，在第四象限．故选D ．4．（2020•龙凤区校级模拟）已知i 是虚数单位，复数61i z i=-，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．2-D ．2【答案】A 【解析】66(1)331(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， ∴33z i =--， 则z 的虚部为3-．故选A ．5．（2020•二模拟）在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为(1,0)Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30︒得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（ ）A 12i +B ．12C 12i -D ．12 【答案】A【解析】由题意，1z =，又将向量OZ 按逆时针方向旋转30︒得到OZ ''，∴OZ '对应的复数11(cos30sin30)2z i i '=⨯︒+︒=+． 故选A ．6．（2020•滨州三模）已知x R ∈，当复数(3)z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）A B ．2C ．2-D ．2i -【答案】C 【解析】2(3)z x x i =+-，||z ∴∴当1x =时，||z 有最小值，此时2z i ．z ∴的虚部为2-．故选C ．7．（2020•龙潭区校级模拟）复数5(1i i i -+是虚数单位）的虚部是（ ） A ．3i B ．6i C ．3D ．6【答案】C【解析】5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i i i i i ----+===-+++-， ∴复数51i i -+的虚部是3． 故选C ．8．（2020•马某某三模）已知复数z 满足2(34)(1)(z i i i -=+是虚数单位），则||z =（ ）A B C ．25D ．15 【答案】C【解析】由2(34)(1)2z i i i -=+=-，得234i z i -=-，2|2|2||||34|34|5i i z i i --∴====--． 故选C ．9．（2020•某某三模）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,)m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-【答案】B【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1,)m ，1z mi ∴=+，(1)iz i mi m i =+=-+为实数，0m ∴=．故选B ．10．（2020•镜湖区校级模拟）复数2(1i z i i=+为虚数单位），则||z 等于（ ）A ．3B ．．2D 【答案】D 【解析】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，||||z z ∴===故选D ．11．（2020•内江三模）复数z 满足(43)32(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由(43)32i z i +=-，得32(32)(43)61743(43)(43)2525i i i z i i i i ---===-++-， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为6(25，17)25-，位于第四象限． 故选D ．12．（2020•南岗区校级模拟）复数241i i i z i-++=-，则复数||z =（ ）A ．12BCD ．32【答案】B 【解析】2411(1)11111(1)(1)22i i i i i i i z i i i i i i -++--+--+=====-----+，11||||22z i ∴=-==． 故选B ．13．（2020•香坊区校级一模）已知复数5121i z i i=++-，则||z 值为（ ） A ．1B【答案】D 【解析】55(12)(1)121(12)(12)(1)(1)i i i i z i i i i i i -+=+=++-+--+1113122222i i i =--+=-，||z ∴==故选D ．14．（2020•某某模拟）已知i 是虚数单位，则20201()1ii -=+（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【解析】21(1)1(1)(1)i i i i i i --==-++-，20202020202045051()()11i i i i i ⨯-∴=-===+．故选A ．15．（2020•某某模拟）复数z满足1()12z -=，则z 的共轭复数为（） A．12B．12C．12-D．12--【答案】C【解析】1()12z -=，112z --∴===--，则z的共轭复数为12-+．故选C ．16．（2020•靖远县模拟）已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是（ ）A ．若z C ∈，则20zB ．21i -的虚部是2iC ．若a ，b R ∈且a b >，则a i b i +>+D ．实数集在复数集中的补集是虚数集【答案】D【解析】令z i C =∈，则21i =-，故A 不正确；21i -的虚部是2，故B 不正确；a i +与b i +都是虚数，不能比较大小，故C 不正确；由实数集与虚数集可组成复数集知D 正确．故选D ．17．（2020•南岗区校级四模）已知i 是虚数单位，264(1)i z i i =-+，则||z =（ ）A ．10B ．5D【答案】C 【解析】2664434(1)2i i z i i i i i=-=-=-+；||5z ∴=；故选C ．18．（2020•雁峰区校级模拟）若i 为虚数单位，复数22cos sin 33z i ππ=-的共轭复数是z ，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】221cos sin 332z i ππ=-=-，∴12z =-+，则221131()2442z =-=-=-．∴复数2z 在复平面内对应的点的坐标为1(2-，，位于第三象限． 故选C ．19．（2020•汉阳区校级模拟）在复平面内，复数2i ，3对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 上的点，且AC CB =，则点C 对应的复数是（ ）A ．312i +B ．32i +C ．213i +D ．23i +【答案】B【解析】由题意，(0,2)A ，(3,0)B ，又AC CB =，可知C 为AB 的中点，则3(2C ，1)，∴点C 对应的复数是32i +．故选B ．20．（2020•某某四模）若复数22m iz i +=-是纯虚数(i 为虚数单位），则实数m 的值是（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】C 【解析】2(2)(2)2242(2)(2)55m i m i i m m z i i i i +++-+===+--+是纯虚数，∴22040m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =．故选C ．21．（2020•九龙坡区模拟）已知复数z 满足(1)(i z i i -=-为虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．12i B ．12C ．12-D ．12i -【答案】C【解析】由(1)i z i -=-，得(1)111(1)(1)22ii i z i i i i --+===---+，z ∴的虚部为12-．故选C ．22．（2020•某某模拟）已知复数z 满足2z z i i -=，则||z =（ ）A ．1B ．2【答案】B【解析】由2z z i i -=，得(1)2i z i -=， 解得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+-+-，所以||z ． 故选B ．23．（2020•某某三模）若复数z 满足(34)112i z i -=+．其中i 为虚数单位，z 为z 共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】A【解析】由(34)112i z i -=+，得112(112)(34)25501234(34)(34)25i i i iz i i i i ++++====+--+． 12z i ∴=-．z ∴的虚部为2-．故选A ．24．（2020•原州区校级模拟）已知复数z 满足|2|2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2240x y y +-=B ．2240x y y ++=C ．22440x y y +++=D ．22440x y y +-+= 【答案】A【解析】由题意知z x yi =+，则|2||(2)|2z i x y i -=+-=，22(2)4x y ∴+-=，即2240x y y +-=． 故选A ．25．（2020•新华区校级模拟）满足条件|4|||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 【答案】A【解析】由|4|||z i z i +=+，得|(4)||()|z i z i --=--，可知复数z 对应点的轨迹是以(0,4)-和(0,1)-为端点的线段的垂直平分线． 故选A ．26．（2020•碑林区校级模拟）若复数2(z i i =-是虚数单位），则2||z z在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】2z i =-，∴22||5z ==， 则2||55(2)22(2)(2)z i i z i i i +===+--+，则2||z z在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第一象限．故选A ．27．（2020•某某模拟）已知i 为虚数单位，若212aibi i+=-，则a b +=（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．3 【答案】D 【解析】由212aibi i+=-，得22(1)22ai i bi b i +=-=+， 由复数相等的充要条件得222ba =⎧⎨=⎩，即2a =，1b =，3a b ∴+=，故选D ．28．（2020•某某区校级三模）复数312iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．43C 【答案】C【解析】设复数312iz i+=-， 则3|3|||||||12|12|i i z z i i ++===--===故选C ．29．（2020•某某三模）已知复数z =，则z =（ ）A 12i +B 12i -C ．12D ．12+ 【答案】B【解析】2123z i ===-，∴12z i -． 故选B ．30．（2020•桃城区校级模拟）若a ，b 为实数，且4ia bi i+=-，则b =（ ） A ．2-B ．2C ．4-D ．4 【答案】D 【解析】由4ia bi i+=-得，24i ai bi +=-，即4i b ai +=+， 4b ∴=．故选D ．31．（2020•某某区校级二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足3(1)2i z +=，则下列判断正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．||2z = C ．z 的实部为1-D ．z 在复平面内所对应的点在第一象限 【答案】D【解析】由3(1)2i z +=， 得322111z i i i===++-，其实部为1，虚部为1，故A 错、C 错；||z ==B 错；z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选D ．32．（2020•新华区校级模拟）已知复数2(1iz i i=+虚数单位），则z z =（ ）A B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】由题意知|2||||1|i z i ===+ 利用性质2||z z z =，得2z z =， 故选B ．33．（2020•某某模拟）已知i 为虚数单位，则1111i ii i+--=-+（ ） A ．2i -B ．2i C ．2-D ．2 【答案】B【解析】2211(1)(1)22211(1)(1)(1)(1)22i i i i i ii i i i i i i +-+---=-=-=-+-++-．故选B ．34．（2020•某某模拟）已知复数2(2)1iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，)m R ∈． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|1|z -的取值X 围．【解析】22(1)(2)2(21)(1(1)(1)i i i z i m m mi m m i i i --=++=++=++--+--．（1）复数z 是纯虚数，∴21010m m +=⎧⎨-≠⎩，即12m =-；（2）12(1)z m m i -=+-，42|1|5z -==，|1|z ∴-的取值X 围是)+∞． 35．（2019•嘉定区一模）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，复数1z a bi =+，2cos cos z A i B =+（其中i 是虚数单位），且123z z i =． （1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断ABC ∆的形状，并求当b =A 的大小．【解析】（1）222222cos cos 22a c b b c a a B b A a b ac bc+-+-+=⨯+⨯222c c c==， 12cos cos (cos cos )z z a A b B a B b A i =-++3i =，cos cos 0a A b B ∴-=，(*)⋯ cos cos 3a B b A +=， 3c ∴=；（2）由(*)式得，cos cos a A b B =，⋯① 由正弦定理得，sin sin a bA B=，⋯② ①②得，sin2sin2A B =， 得，A B =，或2A B π+=ABC ∴∆为等腰三角形或直角三角形，若为等腰三角形，当b =cos A =， 6A π=．若为直角三角形，当b =cos A =，A =．。
高考数学(文科)总复习专题5平面向量、复数练习题(附解析)
高考数学（文科）总复习专题5平面向量、复数练习题（附解析）第1练 平面向量的概念及线性运算[基础保分训练]1.化简：AB →＋BC →－AD →＝________. 2.13(2a －3b )－3(a ＋b )＝________. 3.如果a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－e 2，则3a －2b ＝______________________________.4.已知向量a ，b ，b ≠0，如果存在唯一实数λ，使a ＝λb ，则两向量的关系是________.5.若AP →＝tAB → (t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)6.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA →1的模相等的向量(AA →1本身除外)共有________个，与向量AA →1相等的向量(AA →1本身除外)共有________个.7.若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地位于B 地的________处.8. 向量AB →，BC →，MN →在正方形网格中的位置如图所示，若MN →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.9.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是________.10.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[能力提升训练]1.已知点P 在直线AB 上，且|AB →|＝4|AP →|，设AP →＝λPB →，则实数λ＝________.2.如图为平行四边形ABCD ，G 为BC 的中点，M ，N 分别为AB 和CD 的三等分点(M 靠近A ，N 靠近C )，设AB →＝a ，AD →＝b ，则GN →－GM →＝________.(用a ，b 表示)3.如图，在△ABC 中，AD →＝34AC →，BP →＝23BD →，若AP →＝λBA →＋μBC →，则λ＋μ＝________.4.设向量a ，b 是两个不共线的向量，若3a －b 与a ＋λb 共线，则实数λ＝________.5.下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若非零向量a ，b 共线，则|a |＝|b |； ④若向量a ＝b ，则向量a ，b 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行. 正确的序号为________.6.给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.以上命题中，正确命题的序号是__________.答案精析基础保分训练1.DC →2.－73a －4b3.－3e 1＋8e 24.a ∥b5.(1－t )OA →＋tOB →6.5 27.西北方向52km8.29.梯形 10.a －b ＋c能力提升训练 1.13或－15解析 ①当点P 在线段AB 上时，因为|AB →|＝4|AP →|，所以点P 是AB 的四等分点， 因此AP →＝13PB →，此时λ＝13；②当点P 在线段AB 的反向延长线上时， 由|AB →|＝4|AP →|，得AP →＝－15PB →，此时λ＝－15.综上，λ＝13或－15.2.13a ＋b 3.－13解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23BD →＝AB →＋23BC →＋16CA →＝－BA →＋16BA →＋12BC →＝－56BA →＋12BC →＝λBA →＋μBC →，λ＝－56，μ＝12，λ＋μ＝－13.4.－13 5.①④6.①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与向量BA →互为相反向量，故③错误；若AB →与CD →是共线向量，那么A ，B ，C ，D 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误.第2练 平面向量基本定理及坐标表示[基础保分训练]1.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，若向量a ＋2b 与a 平行，则m ＝________.2.若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则a －b 的坐标是________.3.已知点A (1,1)，B (－1,5)，向量AC →＝2AB →，则点C 的坐标为________.4.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(2,1)，若a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.5.在△BOA 中，点C 满足AC →＝－4CB →，OC →＝xOA →＋yOB →，则y －x ＝________.6.设M 是△ABC 的边BC 上任意一点，且NM →＝4AN →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 7.在正方形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AF →＝xAB →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.8.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________.9.已知G 为△ABC 的重心，点P ，Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG →＝tPQ →.若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.10.如图，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________.[能力提升训练]1.已知向量a ＝(2sin θ，1)，b ＝(cos θ，－1)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则tan θ＝________.2.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连结CE ，DF 交于点G ，若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.3.已知OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，(x ，y )＝λOA →＋μOB →.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z ＝x m ＋y n(m >0，n >0)的最大值为2，则m ＋n 的最小值为________.4.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y的最小值为________.5.若点C 在以P 为圆心，6为半径的(包括A ，B 两点)上，∠APB ＝120°，且PC →＝xPA →＋yPB →，则2x ＋3y 的取值范围为________.6.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________.答案精析基础保分训练1.－122.(－4,3)3.(－3,9)4.05.536.157.12解析 设正方形的边长为a ，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系， 则AB →＝(a,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a ， ∵AF →＝xAB →＋yAE →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y a ，y ×a2，AB⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y a ＝a2，y ×a 2＝a ，解得x ＋y ＝12.8.3 9.3解析 设AB →＝c ，AC →＝b ，连结AG 并延长交BC 于M ，此时M 为BC 的中点， 故AM →＝12(b ＋c )，AG →＝23AM →＝13(b ＋c )， 故PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－λc ＋13b ，又PQ →＝AQ →－AP →＝μAC →－λAB →＝μb －λc ， 存在实数t 使得PG →＝tPQ →，即⎩⎪⎨⎪⎧13－λ＝－t λ，13＝t μ，解得1λ＋1μ＝3.10.12解析 如图，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →.又OA →＋OC → ＝－2OB →， ∴OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 能力提升训练 1.－12 2.123.52＋ 6 解析 (x ，y )＝λOA →＋μOB →＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x －y ，μ＝y ，所以0≤x －y ≤1≤y ≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z ＝x m ＋yn 的斜率小于零知，直线z ＝x m ＋y n过点(3,2)时取得最大值，即3m ＋2n＝2，因此m ＋n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋2n 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋3n m ＋2m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋23nm·2m n＝52＋6，当且仅当3n m ＝2mn 时取等号. 4.6＋4 25.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573解析 以点P 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.由题意得A (6,0)，B (－3,33)， 设∠APC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则点C 的坐标为(6cos θ，6sin θ). ∵PC →＝xPA →＋yPB →，∴(6cos θ，6sin θ)＝x (6,0)＋y (－3,33)＝(6x －3y,33y )，∴⎩⎨⎧6x －3y ＝6cos θ，33y ＝6sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33sin θ＋cos θ，y ＝233sin θ，∴2x ＋3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫33sin θ＋cos θ＋3×233sin θ ＝833sin θ＋2cos θ＝2573sin(θ＋φ)， 其中sin φ＝5719，cos φ＝41919， ∵0≤θ≤2π3，∴5719≤sin(θ＋φ)≤1，∴2≤2573sin(θ＋φ)≤2573.∴2x ＋3y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573.6.35解析 如图，M 是△ABC 所在平面内的一点，连结AM ，BM ，延长AC 至D 使AD ＝3AC ，延长AM 至E 使AE ＝5AM ，如图所示， 因为5AM →＝AB →＋3AC →， 所以AB →＝5AM →－3AC →＝DE →，连结BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB →和向量DE →平行且模相等)， 由于AD →＝3AC →， 所以S △ABC ＝13S △ABD ，S △AMB＝15S △ABE ， 在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝平行四边形ABED 面积的一半， 故△ABM 与△ABC 的面积比＝15S △ABE 13S △ABD ＝35.第3练 平面向量的数量积[基础保分训练]1.已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________. 2.已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为________.3.已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →的最小值为________.4.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为________.5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 的中点，则(AB →＋AC →)·(AB →－DB →)的值为________.6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点C )，则AD →·BC →的取值范围为________.7.如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上两点，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.8.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________.9.已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |的值为________. 10.设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是__________.[能力提升训练]1.设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值范围是________.2.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →的最大值为________.3.已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →的最小值是________.4.已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________.5.已知|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以向量OA →，OB →为邻边的平行四边形的面积为________. 6.在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则的AE →·BF →最小值为________.答案精析基础保分训练1.－12.2π33.－344.245.326.(5,9)7.68.49.2 10.512能力提升训练 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 解析 由已知可得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2 ＝2×1×cos90°＝0，∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 从而得到15t <0，即t <0，∵两个向量不共线，故2t e 1＋7e 2≠a (e 1＋t e 2)，令⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝a ，7＝at ，解得t ＝±142， ∴t ≠±142， 综上可得t <0且t ≠－142，即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0. 2.1＋255解析 如图以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，D (0,2)，C (1,2)，∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ， ∵BC ＝2，CD ＝1，∴BD ＝22＋12＝5， ∴12BC ·CD ＝12BD ·r ， ∴r ＝25＝255，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝45，设P ⎝⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，AB →＝(1,0)，∴AP →·AB →＝255cos θ＋1≤1＋255，∴AP →·AB →的最大值为1＋255.3.－34解析 如图，建立直角坐标系，易知A (－3，0)，B (3，0)，O (0,1)，设P (x,0)，－3≤x ≤3， 则PA →＝(－3－x,0)，PO →＝(－x,1)， 所以PA →·PO →＝x 2＋3x ，所以当x ＝－32时，取最小值－34. 4.4解析 设a ，b 的夹角为θ，则0≤θ<π2，则由|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，可得|a |sin θ＝1，|b |sin θ＝2， 两式相乘可得|a ||b |sin 2θ＝2， 即|a ||b |＝2sin 2θ(*)，而a ·b ＝|a ||b |cos θ≥43， 结合(*)可得2cos θsin 2θ≥43， 所以(2cos θ－3)(3cos θ＋2)≥0， 解得cos θ≥32或cos θ≤－23(舍)， 所以sin θ≤12，则|b |＝2sin θ≥4.5.4 3解析 OA →·OB →＝2×4×cos〈OA →，OB →〉＝4， 所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，因为〈OA →，OB →〉∈[0，π]， 故〈OA →，OB →〉＝π3.平行四边形的面积S ＝|OA →||OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝2×4×32＝4 3.6.－3解析 根据题意，设E (0，a )，F (0，b )； ∴|EF →|＝|a －b |＝2， ∴a ＝b ＋2或b ＝a ＋2， 且AE →＝(1，a )，BF →＝(－2，b )， ∴AE →·BF →＝－2＋ab ，当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)·b ＝b 2＋2b －2，∵b 2＋2b －2＝(b ＋1)2－3， 最小值为－3，∴AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF →的最小值为－3. 所以AE →·BF →的最小值为－3.第4练 平面向量的应用[基础保分训练]1.已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝5，则|a |＋|b |的取值范围是________.2.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形.3.一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，则河水的流速为________ km/h.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 的形状为________.5.已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为________N.6.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝|a －b |，则|t a ＋(1－t )b |(t ∈R )的最小值为________.7.设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0，则O 为△ABC 的________.8.△ABC 所在平面上一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为________.9.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.10.已知P 为锐角△ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA →＋3PC →|的最小值为________.[能力提升训练]1.平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·CB →＝0，则△ABC 的形状为________三角形.2.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是________.3.已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形.4.设点G 为△ABC 的重心，BG →·CG →＝0，且|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值是________. 5.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠B ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上(不与端点重合)，且BE EC ＝CF DF，则AE →·AF →的取值范围为________.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.答案精析基础保分训练1.[5,52]2.等腰3.2 34.菱形5.5 36.2557.外心解析 若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0， 可得CB →·(OB →＋OC →)＝AC →·(OC →＋OA →)＝BA →·(OA →＋OB →)＝0，即(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝(OC →－OA →)·(OC →＋OA →)＝(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝0， 即有|OA →|2＝|OB →|2＝|OC →|2，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，故O 为△ABC 的外心. 8.1∶3解析 由已知得，PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝AP →＋PB →，解得PC →＝2AP →，所以|PC →|＝2|AP →|，作图如图所示：设点B 到线段AC 的距离是h ，所以S △PAB S △ABC ＝12×AP ×h12×AC ×h ＝AP AC ＝AP AP ＋PC ＝AP AP ＋2AP ＝13.9.－1解析 如图，过D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于M ，设∠BAC ＝α，则∠ACD ＝2α，∠ACB ＝90°－α， ∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α， ∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ， ∴DM AB ＝CM BC＝k (k 为相似比).又B D →＝xBA →＋yBC →＝MD →＋BM →，∴x ＝DM AB ＝k ，y ＝BM BC ＝BC ＋CMBC＝k ＋1，∴x －y ＝－1. 10.6 3解析 PA →＋3PC →＝PA →＋3(PA →＋AC →)＝4PA →＋3AC →， (4PA →＋3AC →)2＝16|PA →|2＋9|AC →|2＋24|PA →||AC →|cos120° ＝16|PA →|2－48|PA →|＋144，∴当|PA →|＝32时，(4PA →＋3AC →)2最小为108.故|PA →＋3PC →|min ＝6 3. 能力提升训练 1.等腰 2.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 解析 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→ ＝－OA →2， ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→，∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →－OB 1→＝OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →， ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→)＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 3.等边 解析 易知AB→|AB →|＋AC→|AC →|在∠BAC 的角平分线上，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，可知在△ABC 中∠BAC 的角平分线与BC 垂直，易判断AB ＝AC ， 又由AB →|AB →|·AC→|AC →|＝12，得∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形. 4.32解析 由BG →·CG →＝0，可得BG ⊥CG ， 取BC 的中点D ，则GD ＝22，GA ＝2， 设GC ＝2x ，GB ＝2y ，所以三角形的面积为S ＝2x ·2y ·12＋2x ·2·sin∠CGA ·12＋2y ·2·sin∠BGA ·12，且∠CGA ＋∠BGA ＝270°，所以S ＝2xy ＋2x ·sin∠CGA －2y ·cos∠CGA ＝2xy ＋x 2＋y 2sin(∠CGA ＋φ).而BG ⊥CG ，故在Rt△BCG 中4x 2＋4y 2＝2，即x 2＋y 2＝12，所以S ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ).又x 2＋y 2＝12≥2xy ，所以S max ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)≤12＋1＝32.5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1解析 以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由BE EC ＝CF DF，可设BE ＝tBC ＝3t ，CF ＝tCD ＝2t (0<t <1)， 则A (3，1)，E (3t,0)，F (3＋3t ，t )， ∴AE →＝(3t －3，－1)，AF →＝(3t ，t －1) ∴AE →·AF →＝3t ·(3t －3)－(t －1)＝3t 2－4t ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13，又0<t <1，∴当t ＝23时，最小值为－13；当t ＝0时，最大值为1.故AE →·AF →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.6.2第5练 平面向量小题综合练[基础保分训练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________.2.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若(a ＋b )∥(4b －2a )，则实数x 的值是________.3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________.4.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量.其中真命题是________.(填序号)5.若AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设BA →＝a ，BD →＝b ，则BC →＝________.6.两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为________.7.如图所示，在△ABC 中，AD →＝13AC →，P 是BD 上的一点，若AP →＝mAB →＋213AC →则，实数m 的值为__________.8.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，M 为AB 边上的中点，则CM →·CA →＋CM →·CB →＝________. 9.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 10.已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________.[能力提升训练]1.(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________.2.在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________.3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________.4.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若BE →＝λBA →＋μBC →，则s ＝λ·μ的最大值为________.5.在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6.△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分训练1.①④2.23.－34.②③5.12a ＋b6.π47.713 8.50 9.内心 10.32解析 以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2 ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32.能力提升训练 1.2 2解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1tb 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t c ·a ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝c 2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t.∵c ·a ＝c ·b ＝1，∴c ·(a －b )＝0，∴|c |＝2， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t . 令t ＋1t＝m ≥2(当且仅当t ＝1时，取等号)，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＝(m ＋1)2－1≥8， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ≥2 2.2.12解析 由题意可知AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →，P ，B ，E 三点共线，则m ＋3n ＝1，据此有3m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n (m ＋3n )＝6＋9n m＋mn≥6＋29n m ×mn＝12，当且仅当m ＝12，n ＝16时等号成立.综上可得3m ＋1n的最小值是12.3.923 解析 取AD 的中点E ，连结CE ，BE ，则四边形ABCE 为平行四边形，如图所示，则有AE →＝BC →，又AE →＝ED →，∴BC →＝ED →，∴四边形BCDE 为平行四边形，又BE 为等边△ABD 的中线，∴BE ⊥AD ，∴平行四边形BCDE 是矩形，∴四边形ABCD 是直角梯形.又BE ＝CD ＝3，∴AD ＝23，BC ＝12AD ＝3， ∴四边形ABCD 的面积为S ＝12(BC ＋AD )·CD ＝12×(3＋23)×3＝923. 4.18解析 因为A ，D ，E 共线，故存在0≤t ≤1，使得BE →＝tBA →＋(1－t )BD →＝tBA →＋－t 2BC →，而BE →＝λBA →＋μBC →且BA →，BC →不共线，所以λ＝t ，μ＝12(1－t )，消去t 得到λ＋2μ＝1. s ＝λμ＝(1－2μ)μ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－142＋18，μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12， 当μ＝14时，s 有最大值18. 5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 解析 由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点，∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →， ∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →， ∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →， 又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，即A ，P n ，C 三点共线，∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1， ∴a n ＋1＝－12a n ， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 6.②④⑤解析 因为△ABC 是边长为3的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则a ＝13AB →， 所以|a |＝13|AB →|＝1，因此a 为单位向量，故②正确； 又AC →＝AB →＋BC →＝3a ＋b ，所以BC →＝b ，因此|b |＝|BC →|＝3，故①不正确；对于③，由AC →＝3a ＋b 可得AC →2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，故9＝9＋9＋6a ·b ，可得a ·b ＝－32≠0，所以a ⊥b 不成立，故③不正确； 对于④，由AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，得BC →＝AC →－AB →＝b ，所以b ∥BC →，故④正确；对于⑤，因为(6a ＋b )·BC →＝(6a ＋b )·b ＝6a ·b ＋b 2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝0，所以(6a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.综上可得②④⑤正确.第6练 复数[基础保分训练]1.已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________.2.已知θ为实数，若复数z ＝sin2θ－1＋i(2cos θ－1)是纯虚数，则z 的虚部为________.3.已知i 是虚数单位，则复数1－2i 1＋2i＝________. 4.已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝sin β＋icos β(α，β∈R ，i 为虚数单位)，复数z ＝z 1·z 2在复平面内所对应的点在第二象限，则角α＋β的终边所在的象限为________.5.若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝________.6.设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为________. 7.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于________. 8.已知0<a <2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是________.9.若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则b ＋a i ＝________.10.设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________.[能力提升训练]1.若(a －2)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.2.3＋i 1＋i＝________. 3.设z 是复数，a (z )表示满足z n ＝1时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ＝________. 4.若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________.5.已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 6.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________. 答案精析基础保分训练1.22.－23.－35－45i 4.第三象限 5.1 6.－3 7.第四象限 8.(1，5)9.－2＋i 10.1能力提升训练1.12.2－i3.44.(－∞，－1)5.5 26.－2。
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数3平面向量的数量积练习含解析
平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
《平面向量与复数》测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》测试卷及答案解析一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a答案 B解析 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(2020·联考)已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，且(b ＋λa )⊥a ，则实数λ的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，b ＋λa ＝(2,1＋λ)，(b ＋λa )⊥a ，即(b ＋λa )·a ＝1＋λ＝0⇒λ＝－1. 故选D.3．(2020·诊断)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞ ,2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D解析 a －b ＝(0,2－m )，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得(a －b )·b |a －b ||b |＝2m －m 2|2－m |·1＋m 2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.故选D.4．(2020·诊断)已知向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，则a －2b 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．－2C ．－2 5D ．2 5答案 B解析 向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，∴a －2b ＝(－2,1)，∴(a －2b )·b ＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，|b |＝32＋(－4)2＝5，∴向量a －2b 在向量b 方向上的投影为|a －2b |cos 〈(a －2b )，b 〉＝(a －2b )·b |b |＝－105＝－2. 故选B. 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1， ∴m ＋n ＝2.6．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC 上的动点，则AP →·(AB→＋AC →)( )A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4 答案 D解析 如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD→＋DP →)·2AD →＝2AD →2＋2DP →·AD →＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e 1，e 2对于任意实数λ，都有⎪⎪⎪⎪e 1＋12e 2≤|e 1－λe 2|成立，则向量e 1，e 2的夹角为( )。
2025年高考数学一轮复习课件第五章平面向量与复数-单元检测
)
= 13
B.若 ⊥ ，则 = 2
1
2
C.“ < − ”是“与的夹角为锐角”的充要条件
√
1
2
1
2
D.若 = −1，则在上的投影向量的坐标为(− ,− )
√
解：对于A，由 = 1，得 − = 3, −2 ，所以 − =
32 + −2
2
= 13，故A
正确.
1
2
对于B，因为 ⊥ ，所以−2 − 1 = 0，解得 = − ，故B错误.
A.
1
2
3
4
5
6
7
16
17
18
10
19
11
12
13
14
15
7.如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，
则 =(
1
A.
2
3
4
−
)
3
4
1
B.−
2
1
2
3
4
3
−
4
1
2
D.− −
√
C. −
1
解：因为是的中点，是的中点，所以 = − ，
8
的值为___.
13
解：由题意，得2 + = 3, −4 .又// 2 + ，所以9 = −4 − 2 ，解得 =
8
13
故填 .
1
2
3
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15
8
高考数学专题 平面向量、复数(可编辑Word))
1 3 AB - AC B. 4 4 1 3 AB + AC D. 4 4
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答案
A
本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
1 1 AB =- AB ,又∵D为 AD ,∴ AD EA=- EA+ EB = ∵E是AD的中点,∴ + 高考导航 2 2 1 1 3 1 AB + AB + AB = AB - AD = EB =- AC ),因此 AC )+ BC的中点,∴ ( ( 2 4 4 4 AC ,故选A.
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3.设P是△ABC所在平面内的一点,且 =2 CP PA,则△PAB与△PBC
的面积的比值是 ( A.
1 3
) D.
3 4
高考导航
B.
1 2
C.
2 3
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答案
B
PA ,∴ CP 且A,P,C三点共线, = 1 | PA |
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考点二 平面向量的线性运算
在用三角形加法法则时要保证“首尾相接” ,结果向量是第 高考导航
一个向量的起点指向最后一个向量的终点;在用三角形减法法则 时要保证“同起点”,结果向量的方向是由减向量的终点指向被
减向量的终点.
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高考导航 =(-7, 1.已知在一平面直角坐标系中,点A(0,1),向量 =(-4,-3), AB BC
i =i,1 i =-i; (1)(1±i)2=±2i,1 1 i 1 i
(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*); (4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
平面向量与复数全集(学生版)
1第一节平面向量的线性运算及共线定理知识梳理一向量的有关概念名称内容向量既有大小又有方向的量叫做向量向量的模向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行（共线）向量方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量平面向量有个重要特点，即可以自由平移，平移过程中不改变方向和大小，因此平行向量又叫共线向量.向量可以平移，但在几何中，具体的点、线、面相对位置固定，这是向量与几何的一个重要区别．二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a +b =b +a 结合律：(a+b )+c =a +(b +c )减法向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a +(-b )=a -b三角形法则a -b =a +(-b )数乘实数λ与向量a 的积是一个向量记作λa(1)模：|λa |=|λ||a |；(2)方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0设λ，μ是实数．(1)λ(μa )=(λμ)a (2)(λ+μ)a =λa +μa (3)λ(a +b )=λa +λb .三平面向量共线定理向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b =λa .若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得AB =λAC (或BC =λAB等).推论：若OA =λOB +μOC(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.2题型探究一向量的基本概念与线性运算一向量的基本概念1(多选题)(2021·临沂模拟)下列命题中的真命题是( )A.若|a|=|b|，则a=bB.若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b，b=c，则a=cD.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b2设a，b都是非零向量，下列四个条件，使用a|a |=b|b|成立的充要条件是( )A.a=bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a∥b且方向相同1(2022·湖北宜昌)已知a，b是两个非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ，使a=λb2(2022·全国·高三专题练习)给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4名师点拨(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a与a|a |的关系是：a|a |是a方向上的单位向量．3二零向量的特殊性1下列命题正确的是( )A.向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b =λa B.在△ABC 中，AB +BC +CA=0C.不等式||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |中两个等号不可能同时成立D.若向量a ，b 不共线，则向量a +b 与向量a -b 必不共线名师点拨在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0 与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．1下列叙述正确的是( )A.若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a +b 与a ，b 其中之一的方向相同B.|a |+|b |=|a +b |⇔a 与b 的方向相同C.AB +BA =0D.若λ≠0，λa =λb ，则a =b 三向量的线性运算1如图，在梯形ABCD 中，BC =2AD ，DE =EC ，设BA =a ，BC =b ，则BE=( )A.12a +14b B.13a +56b C.23a +23b D.12a +34b 2如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB=( )A.AC -AD B.2AC -2ADC.AD -ACD.2AD -2AC41(滨州2020)已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果AB=a ，AD=b，那么向量MN=()A.12a -12bB.-12a +12bC.a +12bD.-12a -12b2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且EO=2AE，则EB=()A.16AB-56ADB.16AB+56ADC.56AB-16ADD.56AB+16AD四根据向量线性运算求参数1(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE=-2DE，若EF=xAB+yAD，则x+y=( )A.1B.6C.16D.132在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO=λAB+μBC，其中λ，μ∈R，则λ+μ等于( )A.1B.12C.13D.231(济宁2020)在平行四边形ABCD中，DE=3CE，若AE交BD于点M．且AM=λAB+μAD，则λμ=()A.23B.32C.34D.4352在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP =2PC ，AP =λAB +μAC，则2λ+μ=.名师点拨平面向量线性运算法则的选取原则(1)首先确定所选取基底的两个基向量，它们的公共起点是哪个点.(2)当所求的向量的起点和基底的公共起点相同时，用加法或数乘运算.(3)当所求的向量的起点和基底的公共起点不同时，用减法或数乘运算.(4)当所求向量是一整个线段的一部分时，用数乘运算.(5)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(6)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．二共线向量定理及其应用一共线定理的基本应用1(2022·河南·平顶山市)已知向量e 1 ，e 2 不共线，且向量λe 1 +3e 2 与2e 1 -5e 2 平行，则实数λ=()A.-35B.-65C.-103D.-42已知向量e 1，e 2不共线，如果AB =e 1+2e 2，BC =-5e 1+6e 2，CD=7e 1-2e 2，则共线的三个点是.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b =λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．61设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．3引申上例中，若ka +b与a+kb反向，则k=；若ka+b与a+kb同向，则k=.2(2022·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ-1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )A.1B.-12C.1或-12D.-1或-123已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于( ) A.a B.bC.cD.0二向量共线定理的综合应用1(2022·全国·高三专题练习)在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE交AF于点G，则AG=()A.25AB-45BCB.25AB+45BCC.-25AB+45BCD.-25AB-BC72(2022·青海·海东市)已知在△ABC 中，AD =-3BD ，CD =λCE ，AE =μAB +23AC，则μ=()A.14 B.12C.34D.11(2022·河南郑州)在△ABC 中，D 是BC 上一点，BD =2DC ，M 是线段AD 上一点，BM =tBA+14BC，则t =()A.12B.23C.34D.582如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 满足AN =23AB，AM 与CN 交于点D ，AD =λAM ，则λ等于()A.23B.34C.45D.568跟踪测验基础巩固1P是△ABC所在平面上一点，满足P A+PB+PC=2AB，△ABC的面积是S1，△P AB的面积是S2，则( )A.S1=4S2B.S1=3S2C.S1=2S2 D.S1=S22如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE=G，则()A.AF=AD+12ABB.EF=12(AD+AB)C.AG=23AD-13ABD.BG=3GD3(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A.若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC，则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM，则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC，且x+y=12，则△MBC的面积是△ABC面积的124(2022·全国·高三专题练习)若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1．若AM=35AB，则△AMN与△ABC的面积之比为．5设a，b是平面内两个向量，“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6已知向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=-3a+3b，若A，B，D三点共线，则m等于()A.3B.2C.1D.-27在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，则|a-b+c|等于()A.1B.2C.3D.48如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，且FC=λFD+μFE，则λ+μ等于()A.1B.2C.3D.499已知△ABO 中，OA =OB =1，∠AOB =π3，若OC 与线段AB 交于点P ，且满足OC =λOA+μOB ，|OC|=3，则λ+μ的最大值为()A.23B.1C.3D.210(2022·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA +2EB+3FC=( D )A.12ADB.32ADC.12ACD.32AC能力提升11已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA -4OB +3OC =0，则|AB||CA |等于()A.13B.34C.12D.4312已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是()A.|MA |=|MB |=|MC |B.MA +MB +MC =0C.BM =23BA +13BDD.S △MBC =13S △ABC13设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP =25AB+15AC ，AQ =14AB +23AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为()A.45B.85C.43D.31014(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD |=13|AC|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ =xAB +yAC ，则1x+1y的最小值为．15(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若BM =13BC ，则AM =13AC +23ABB.若AM =2AC -3AB ，则点M ，B ，C 三点共线C.若点M 是△ABC 的重心，则MA +MB +MC=0D.若AM =xAB +yAC 且x +y =13，则△MBC的面积是△ABC 面积的2316如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC=CN CE =r ，当r =时，B ，M ，N 三点共线．17(2022·全国·高三专题练习)直角三角形ABC中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP =2PC，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM=mAB ，AN =nAC ，m >0,n >0 ，则下列结论错误的是()A.1m+2n 为常数B.m +n 的最小值为169C.m +2n 的最小值为3D.m 、n 的值可以为m =12，n =21018如图，在△ABC 中，AQ =QC ，AR =13AB，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；(2)如果AI =AB +λBQ =AC +μCR，求实数λ和μ的值；(3)确定点P 在边BC 上的位置.第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示知识梳理一平面向量基本定理如果e1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.若e1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得：a =x i +y j ，那么(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a=(x ，y )，显然i =(1,0)，j =(0,1)，0 =(0,0).三平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)，a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，λa =(λx 1，λy 1)，|a |=x 21+y 21.2向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)，|AB|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.四向量共线的坐标表示若a =(x1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.五常用结论1向已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为x 1+x 22，y 1+y 22；2已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33 .第二节基本定理及坐标表示题型探究一平面向量基本定理一识别一组基底1下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e 1=(0,0)，e 2=(1,2)B.e 1=(2，-3)，e 2=12，-34C.e 1=(3,5)，e 2=(6,10)D.e 1=(-1,2)，e 2=(5,7)二基本定理的应用1在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD =2DC ，CE =3EA ，若AB =a ，AC=b ，则DE 等于( )A.13a +512bB.13a -1312bC.-13a -512bD.-13a +1312b 2已知在△ABC 中，点O 满足OA +OB +OC=0，点P 是线段OC 上异于端点的任意一点，且OP =mOA+nOB ，则m +n 的取值范围是.名师点拨应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．1如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE =2EO ，则ED等于()A.13AD -23AB B.23AD +13AB C.23AD -13AB D.13AD +23AB第五章平面向量复数2(2023·天津模拟)已知在△ABC 中，AB =a ，AC=b ，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，若BP=xa +yb ，则x +y =.3(多选)下列命题中正确的是()A.若p =xa +yb ，则p 与a ，b 共面B.若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y 使得p =xa +ybC.若MP =xMA +yMB ，则P ，M ，A ，B 共面D.若P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y 使得MP =xMA +yMB二平面向量的坐标运算一坐标的基本运算1(1)已知A (-2,4)，B (3，-1)，C (-3，-4)．设AB =a ，BC =b ，CA=c ，且CM =3c ，CN =-2b .①求3a +b -3c ；②求满足a =mb +nc 的实数m ，n ；③求M ，N 的坐标及向量MN的坐标．(2)设向量a ，b 满足|a |=25，b =(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为.2(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC=(-4，-3)，则向量BC =()A.(-7，-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)名师点拨平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．第二节基本定理及坐标表示1如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD =DC =2AB ，E 为AD 的中点，若CA =λCE+μDB(λ，μ∈R )，则λ+μ的值为()A.65B.85C.2D.832已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底a ，b 表示c ，则()A.c =2a -3bB.c =-2a -3bC.c =-3a +2bD.c =3a -2b二向量共线的坐标表示1(2022·海南文昌)已知a =(1,3)，b =(-2，k )，且(a +2b )∥(3a -b )，则实数k =.2(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2)，b =(2，-2)，c =(1，λ)．若c ∥(2a +b )，则λ=.三利用向量共线求解综合问题1(角度1)已知向量OA=(k ,12)，OB =(4,5)，OC =(-k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k =.2在△ABC 中，若AD=2DB ，CD =13CA +λCB ，则λ=( )A.-13B.-23C.13D.23名师点拨利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是：x 1y 2-x 2y 1=0”比较简捷．第五章平面向量复数1如图△ABC 中，AE =EB ，CF =2FA ，BF 交CE 于G ，AG =xAE +yAF，则x +y =( )A.25 B.35C.45D.752(2022·山东曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +29AC，则实数m 的值为()A.13B.19C.1D.3跟踪测验基础巩固1(2022·巴中模拟)向量AB =(2,3)，AC=(4,7)，则BC等于()A.(-2，-4) B.(2,4)C.(6,10) D.(-6，-10)2设向量a =(2,4)与向量b =(x ,6)共线，则实数x =()A.2 B.3 C.4 D.63(2022·陕西汉中月考)已知向a ，b 满足a -b =(1，-5)，a +2b =(-2,1)，则b =()A.(1,2)B.(1，-2)C.(-1,2)D.(-1，-2)4(2022·山西晋中)若向量a =(1,1)，b =(-1,1)，c =(4,2)，则c =()A.3a +b B.3a -b C.-a +3b D.a +3b5(多选)下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A.a =(1,2)，b =(0,0)B.a =(1，-2)，b =(3,5)C.a =(3,2)，b =(9,6)D.a =-34，12，b =(-3，-2)6向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb (λ，μ∈R )，则λμ=()第二节基本定理及坐标表示A.2B.4C.12 D.147(多选)已知M (3，-2)，N (-5，-1)，且|MP|=12|MN|，则P 点的坐标为()A.(-8,1) B.-1，-32C.1，32D.7，-528已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC =2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为.9(2021·广西贺州联考)已知向量AB=(m ，n )，BD =(2,1)，AD=(3,8)，则mn =.10设向量a =(3,2)，b =(-1,3)，向量λa -2b 与a +b 平行，则实数λ=.11(2022·江西南昌模拟)已知向量a =(m ，n )，b =(1，-2)，若|a |=25，a =λb (λ<0)，则m -n =.12已知a =(1,0)，b =(2,1)．(1)当k 为何值时，ka -b 与a +2b 共线；(2)若AB =2a +3b ，BC=a +mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．13已知向量a =(sin θ，cos θ-2sin θ)，b =(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |=|b |,0<θ<π，求θ的值．能力提升14如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e 1与e 1+e 2B.e 1-2e 2与e 1+2e 2C.e 1+e 2与e 1-e 2D.e 1-2e 2与-e 1+2e 215已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且P A+PB +PC=0，则()A.P A =-13BA +23BCB.P A =23BA +13BCC.P A =-13BA -23BCD.P A =23BA -13BC第五章平面向量复数16(2023·南京模拟)设平面向量a =(1,2)，b =(-2，y )，若a ∥b ，则|3a +b |等于()A.5B.6C.17D.2617(2021·豫南九校联考)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有()A.OA+2OB B.12OA +13OBC.34OA +OB D.34OA -15OB18如图，在正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，AP =x AC +y BQ，则x 等于()A.1113B.65C.56D.3219在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，BM =a ，BN =b ，则BD 等于()A.34a +23b B.23a +23b C.23a +34b D.34a +34b 20如图，扇形的半径为1，且OA⊥OB ，点C 在弧AB 上运动，若OC =xOA+yOB ，则2x +y 的最小值是．第三节平面向量的数量积运算第三节平面向量的数量积运算知识梳理一平面向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA=a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角；两个向量夹角的范围是[0，π]，规定零向量0 与任意向量的夹角为0；a 与b 的夹角为π2时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .二平面向量的数量积1定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 ·a =0.2几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．注意：该“投影”为老教材中的概念，但可以帮助我们理解数量积的几何意义.三平面向量数量积的性质及其坐标表示1设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．①数量积：a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.②模：|a |=a ·a =x 21+y 21.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |=|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.④夹角：cos θ=a ·b|a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22.⑤已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.(或|a ·b |=|a |·|b |)．⑥|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2+y 1y 2|≤x 21+y 21·x 22+y 22.2平面向量数量积的运算律①a ·b =b ·a (交换律)；②λa ·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(结合律)；③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律)．3平面向量数量积运算的常用公式①(a +b )·(a -b )=a 2-b 2；②(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2.第五章平面向量复数四平面向量数量积的注意事项1两个向量的数量积是一个实数．∴0 ·a =0而0·a =0.2数量积不满足结合律(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．3a ·b 中的“·”不能省略．a ·a =a 2=|a |2.4向量a 与b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a 与b 不共线；a 与b 的夹角为钝角⇔a ·b <0，且a 与b 不共线．当a 、b 为非零向量时a 、b 同向⇔a ·b =|a ||b |；a 、b反向⇔a ·b =-|a ||b |.5a 在b 方向上的投影|a |·cos θ=a ·b|b |.（老教材中概念）五投影向量（新教材中概念）设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，AB =a ，CD =b ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1 叫做向量a 在向量b 上的投影向量（记为|a |cos θb |b |）．设e 是与b 方向相同的单位向量，则投影向量记为|a |cos θe .MONM 1abθ（1）MO NM 1abθ（2）MONM 1abθ（3）如图，在平面内取一点O ，作OM =a ，ON=b .记a 与b 的夹角是θ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1 就是向量a 在向量b 上的投影向量.即OM 1 =|a|cos θb|b |，又因为θcos =a ·b|a ||b |，所以OM 1 =|a |cos θb |b |=|a|⋅a ·b |a ||b |⋅b |b |=a ·b |b |⋅b |b |=a ·b ⋅b |b|2ABC DA 1B 1ab第三节平面向量的数量积运算题型探究一投影向量1(2023·广西·模拟预测)向量a=23,2 在向量b =1,3 上的投影向量为()A.32B.34,34C.3,3D.342(2023上·广东广州·白云中学校考)已知向量a =0,-2 ，b =1,t ，若向量b 在向量a上的投影向量为-12a，则a ⋅b =()A.-2B.-52C.2D.1123在等边△ABC 中，AD=2AB +3AC ，则向量AD 在向量BC 上的投影向量为()A.13BCB.12BCC.-13BCD.-12BC4已知向量a =1,3 ，b =-2,m ，若向量a在向量b 方向上的投影为-3，则m 的值为()A.3B.-3C.-233D.2331(2024·全国·模拟预测)已知向量a =1,3 ，b =-2,m ，若向量a 在向量b 上的投影向量为-34b，则实数m 的值为()A.3 B.-3C.-233D.2332已知a =1,2 ，若b =1，且a ,b =π6，则b 在a 方向上投影向量的坐标为.第五章平面向量复数3已知a ,b 为平面向量，b =2．若a 在b 方向上的投影向量为b2，则a -b ⋅b=.4(2023上·贵州贵阳·高三校考)如果平面向量a =1,-1 ,b =-6,2 ，则向量a +b 在a 上的投影向量的坐标为.5向量AB =2,1 在向量AC =0,12 上的投影向量为λAC ，则AB +λAC =()A.23B.22C.8D.12二平面向量数量积的运算1已知向量e 1，e 2，|e 1|=1，e 2=(1，3)，e 1，e 2的夹角为60°，则(e 1+e 2)·e 2=()A.355B.255C.5D.52已知点A ，B ，C 满足|AB |=3，|BC |=4，|CA |=5，则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB的值是.反思感悟向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b =|a ||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示所求数量积的向量求解．(4)建系用坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．1(2021·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB +AC |=|AB -AC |，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE ·AF=()A.109 B.259C.269D.89第三节平面向量的数量积运算三向量的模、夹角一向量的模1若平面向量a 、b 的夹角为60°，且a =(1，-3)，|b |=3，则|2a -b |的值为()A.13B.37C.13D.12(2022·黄冈调研)已知平面向量m ，n 的夹角为π6，且|m |=3，|n |=2，在△ABC 中，AB =2m +2n ，AC =2m -6n ，D 为BC 的中点，则|AD |=.3(2021·全国甲)若向量a ，b 满足|a |=3，|a -b |=5，a ·b =1，则|b |=.反思感悟平面向量的模的解题方法(1)若向量a 是以坐标(x ，y )形式出现的，求向量a 的模可直接利用|a |=x 2+y 2.(2)若向量a ，b 是非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ，或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”二向量的夹角1(2021·八省联考)已知单位向量a ，b 满足a ·b =0，若向量c =7a +2b ，则sin <a ，c >=()A.73B.23C.79D.292(2020·全国Ⅲ理)已知向量a ，b 满足|a |=5，|b |=6，a ·b =-6，则cos 〈a ，a +b 〉=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a ，b 满足|a |=2|b |，且(a -b )⊥b ，则a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6第五章平面向量复数反思感悟求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cos θ=a ·b|a ||b |.(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．三平面向量的垂直1(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是()A.a +2bB.2a +bC.a -2bD.2a -b2(2022·安徽宣城调研)已知在△ABC 中，∠A =120°，且AB =3，AC =4，若AP =λAB +AC ，且AP⊥BC，则实数λ的值为()A.2215B.103C.6D.1273(2021·全国乙，14,5分)已知向量a =(1,3)，b =(3,4)，若(a -λb )⊥b ，则λ=.反思感悟平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a ·b =0求解．1(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka -b 与a 垂直，则k =.2(2021·山西康杰中学期中)已知向量a 、b 满足|b |=2|a |=2，a 与b 的夹角为120°，则|a -2b |=()A.13B.21C.13D.213(2021·江西七校联考)已知向量a =(1，3)，b =(3，m )，且b 在a 上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为.第三节平面向量的数量积运算四数量积的综合应用一有关数量积的最值(范围)问题1(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ·(PB +PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-12(2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ·AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)反思感悟平面向量中有关最值(范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．1已知向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=a ·b =2，(a -c )·(b -2c )=0，则|b -c |的最小值为()A.7-32B.3-12C.32D.722已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0，则|c |的最大值是()A.1B.2C.2D.22二用已知向量表示未知向量1(2023·六安模拟)在等边△ABC 中，AB =6，BC =3BD ，AM =2AD ，则MC ·MB=.第五章平面向量复数2已知正方形ABCD 的对角线AC =2，点P 在另一条对角线BD 上，则AP ·AC的值为()A.-2B.2C.1D.43如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2，∠BAD =π4，若AB ·AC =2AB ·AD ，则AD ·AC=.1已知△ABC 满足AB =1，AC =2，O 为∠BAC 的平分线与边BC 的垂直平分线的交点，AO=354，则AB ⋅AC =()A.32B.35C.65D.4552正三角形△ABC 中，AB =2，P 为BC 上的靠近B 的四等分点，D 为BC 的中点，则AP ⋅BD=()A.-12B.14C.34D.323如图，平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =2且∠BAD =60°，M 为边CD 的中点，AD在AB 上投影向量是AD，则AD ⋅AM =.第三节平面向量的数量积运算跟踪测验基础巩固1已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a -b )·b =()A.-1B.0C.1D.22若向量a 与b 的夹角为60°，a =(2,0)，|a +2b |=23，则|b |=()A.3 B.1 C.4 D.33已知向量a =(k ,3)，b =(1,4)，c =(2,1)，且(2a -3b )⊥c ，则实数k =()A.-92B.0C.3D.1524(2022·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8.若CE =-7DE ，3BF =FC ，则AF ·BE =()A.11 B.10 C.-10 D.-115(2021·甘肃兰州模拟)已知非零单位向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则a 与b -a 的夹角为()A.π6 B.π3 C.π4 D.3π46已知向量a =(-2，-1)，b =(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是()A.-12，+∞ B.(2，+∞)C.-12，2 ∪(2，+∞) D.-12，0 ∪0，+∞ 7(多选)已知两个不等的平面向量a ,b 满足a=1,λ ,b=λ-1,2 ，其中λ是常数，则下列说法正确的是( )A.若a ⎳b，则λ=-1或λ=2B.若a ⊥b ，则a -b 在a +b 上的投影向量的坐标是-15,-75 C.当a +2b 取得最小值时，a =295D.若a ,b 的夹角为锐角，则λ的范围为13,+∞ 8(多选)(2021·武汉调研)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB ·AC 的值()A.与圆C 的半径有关 B.与圆C 的半径无关C.与弦AB 的长度有关 D.与点A ，B 的位置有关9(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a =(2,2)，b =(-8,6)，则cos a ，b=.10已知向量a =(3,4)，b =(x ,1)，若(a -b )⊥a ，则实数x 等于.11(2021·新高考Ⅱ)已知向量a +b +c =0，|a |=1，|b |=|c |=2，a ·b +b ·c +c ·a =12已知b 在a上的投影向量的坐标为(4,-3)，a=4，则a ⋅(a-2b )=．第五章平面向量复数13已知|a |=4，|b |=3，(2a -3b )·(2a +b)=61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a +b |；(3)若AB =a ，BC =b ，求△ABC 的面积．14已知空间三点A 2,0,-2 ，B 1,-1,-2 ，C 3,0,-4 ．(1)求向量AB 与AC夹角θ的余弦值；(2)求向量AB 在向量AC 上的投影向量a．能力提升15若向量a ，b 满足|a |=10，b =(-2,1)，a ·b =5，则a 与b 的夹角为()A.90° B.60° C.45° D.30°16(2022·新乡质检)已知向量a =(0,2)，b =(23，x )，且a 与b 的夹角为π3，则x =()A.-2 B.2 C.1 D.-117在△ABC 中，AP =PB ，且|CP|=23，|CA |=8，∠ACB =2π3，则CP ·CA =()A.24 B.12C.243 D.12318如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA =OB =1，AB =4AC ，则OC ·(OB -OA)=.19(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD=λBC ，AD ·AB =-32，则实数λ的值为；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN |=1，则DM ·DN的最小值为.20在△ABC 中，AB =3AC =9，AC ·AB=AC 2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A 2+PB 2+PC 2取得最小值时，求P A ·BC的值．第四节平面向量的综合应用第四节平面向量的综合应用知识梳理一平面向量在几何中的应用1用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，b ≠0垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ=a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |=a 2=x 2+y 2，其中a =(x ，y )，a 为非零向量2向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题．二平面向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．三平面向量与其他知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．四三角形的“四心”1三角形的重心G （三角形三条中线的交点）2三角形的外心O （三角形三条垂直平分线的交点）3三角形的内心I （三角形三条角平分线的交点）4三角形的垂心H （三角形三条高线的交点）第五章平面向量复数题型探究一平面向量与平面几何名师点拨平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来求解．一判断三角形的形状名师点拨三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB |=|AC|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB ·AC=0，则△ABC 为直角三角形；③若AB ·AC<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB ·AC >0，BA ·BC >0，且CA ·CB >0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB +AC |=|AB -AC|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB +AC )·BC=0，则△ABC 为等腰三角形．1若P 为△ABC 所在平面内一点，且|P A -PB |=|P A +PB -2PC|，且△ABC 的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2(2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA)=0，则△ABC 的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形引申若条件改为“|OB -OC |=|OB +OC -2OA|”，则选()引申若条件改为“AB 2=AB ·AC +BA ·BC +CA ·CB”，则选()。
32第五章 平面向量与复数 复 数
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点
Z(a，b)及平面向量
→ OZ
＝(a，b)(a，b∈R)是一一
对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
a c b di
ac bd bc ad i
ac bd c2 d 2
故 z·z ＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选 A.
1－i2
(2)(2019·三明质检)已知复数 a＋bi＝
(i 是虚数单位，a，b∈R)，则 a＋b 等于
1＋i
√A.－2
B.－1
C.0
D.2
1－i2 －2i －2i1－i －2i－2
解析 由复数的运算法则，可得 1＋i ＝1＋i＝1＋i1－i＝ 2 ＝－1－i，
√A.第四象限
C.第二象限
B.第三象限 D.第一象限
解析
∵z＝3＋5i4i＝3＋5i4·i3·－3－4i4i＝54＋53i，
∴ z ＝54－53i，则 z 的共轭复数 z 对应的点在第四象限.故选 A.
(2)已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为 A，B， C，O 为坐标原点，若O→C＝xO→A＋yO→B，则 x＋y 的值是__5__. 解析 由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)， ∵O→C＝xO→A＋yO→B，
则|z|＝12＋＋2ii＝12＋＋2ii＝ 55＝1.故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3.已知i为虚数单位，则复数 2 在复平面内所对应的点在
2020版高考数学一轮复习第五章平面向量、复数第四节复数讲义(含解析)
第四节 复数突破点一 复数的基本概念及几何意义[基本知识]1．复数的定义及分类 (1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b . (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b ia ，b ∈⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝，非纯虚数a2．复数的有关概念复平面内的点[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)方程x 2＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )(4)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i ，则z 的复平面内对应的点位于第三象限．( ) (5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、填空题1．设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为________． 答案：12．复数z ＝－i(1＋2i)的共轭复数为________． 答案：2＋i3．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于第________象限．答案：四[全析考法]考法一 复数的有关概念[例1] (1)(2019·南充一模)若复数2－b i 1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2(2)(2019·唐山五校联考)已知z1－i ＝2＋i ，则z (z 的共轭复数)为( )A ．－3－iB ．－3＋iC ．3＋iD ．3－i [解析] (1)2－b i1＋2i＝－b －＋－＝2－2b －＋b5＝2－2b 5－＋b 5.因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此2－2b ＝4＋b ，因此b ＝－23.故选A.(2)由题意得z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i ，所以z ＝3＋i ，故选C. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．考法二 复数的几何意义[例2] (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·南昌一模)已知z ＝m 2－1＋m i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(－∞，1)D ．(0,1)[解析] (1)11－i ＝1＋i －＋＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D.(2)因为z ＝m 2－1＋m i 在复平面内对应的点是(m 2－1，m )，且该点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1<0，m >0，解得0<m <1，所以实数m 的取值范围是(0,1)．故选D.[答案] (1)D (2)D[方法技巧]复数几何意义问题的解题策略(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔ OZ ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[集训冲关]1.[考法一]已知复数z ＝a2－i ＋2－i 5的实部与虚部的和为2，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析：选D 易知z ＝a 2－i ＋2－i 5＝a＋5＋2－i 5＝2a ＋25＋a －5，由题意得2a ＋25＋a －15＝2，解得a ＝3.故选D. 2.[考法二]已知i 是虚数单位，复数5i 2＋i9的共轭复数在复平面上所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D 复数5i2＋i 9＝5i2＋i＝－＋－＝1＋2i ，其共轭复数为1－2i ，在复平面上所对应的点为(1，－2)，位于第四象限，故选D.3.[考法一](2019·广东香山中学期末)已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1,5)解析：选C 由题意可得z ＝a ＋i ，∴|z |＝|a ＋i|＝a 2＋1.∵0<a <2，∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |<5，∴|z |的取值范围是(1，5)．故选C.突破点二 复数的运算[基本知识](1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． [谨记常用结论]1．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.2．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．3．z · z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基本能力]1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2i D ．－3＋2i答案：D2．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B ∵z ＝21－i ＝＋－＋＝1＋i ，∴z ＝1－i. 3．化简：3－i2＋i ＝________.解析：3－i 2＋i ＝－－＋－＝5－5i5＝1－i. 答案：1－i[典例感悟]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则＋－2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A＋－2－i＝10－5i2－i＝5，故选A. 2．(2018·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．－1＋iC ．－1－iD ．－i解析：选C 由已知可得z ＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.[方法技巧] 复数代数形式运算问题的解题策略[针对训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i1－2i＝＋2－＋＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以ab＝2.答案：2。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数1平面向量的概念及线性运算练习含解析
平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例 2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023|＝2023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB →＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B.23C.32D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1B ．1C.32D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1， 所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a|a |，b|b |是相等向量或相反向量，所以“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →| 答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，λμ∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形， ∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。
热点05 平面向量与复数(解析版)
热点05 平面向量与复数※※※※※命题趋势※※※※※复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.※※※※※满分技巧※※※※※复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解.※※※※※真题体验※※※※※1．（2020•海南）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i【答案】【解析】1+2i）（2+i）＝2+i+4i+2i2＝5i，故选：B．2．（2020•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝（）A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i【答案】【解析】∵复数z对应的点的坐标是（1，2），∴z＝1+2i，则i•z＝i（1+2i）＝﹣2+i，故选：B．3．（2020•山东）2−i1+2i=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【答案】【解析】2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i1+4=−i，故选：D．4．（2020•新课标Ⅰ）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0 B．1 C．√2D．2 【答案】【解析】z＝1+2i+i3＝1+2i﹣i＝1+i，∴|z|=√12+12=√2．故选：C．5．（2020•新课标Ⅲ）复数11−3i的虚部是（ ）A ．−310B ．−110C ．110D ．310【答案】 【解析】∵11−3i=1+3i (1−3i)(1+3i)=110+310i ，∴复数11−3i的虚部是310．故选：D ．6．（2020•新课标Ⅰ）若z ＝1+i ，则|z 2﹣2z |＝（ ） A ．0 B ．1 C ．√2 D ．2【答案】D【解析】若z ＝1+i ，则z 2﹣2z ＝（1+i ）2﹣2（1+i ）＝2i ﹣2﹣2i ＝﹣2，则|z 2﹣2z |＝|﹣2|＝2，故选：D ． 7．（2020•新课标Ⅲ）若z （1+i ）＝1﹣i ，则z ＝（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣i D ．i【答案】D【解析】由z （1+i ）＝1﹣i ，得z =1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ，∴z ＝i ．故选：D ．8．（2020•浙江）已知a ∈R ，若a ﹣1+（a ﹣2）i （i 为虚数单位）是实数，则a ＝（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2【答案】C【解析】a ∈R ，若a ﹣1+（a ﹣2）i （i 为虚数单位）是实数，可得a ﹣2＝0，解得a ＝2．故选：C ． 9．（2020•海南）在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →=（ ） A ．2CD →+CA →B ．CD →−2CA →C ．2CD →−CA →D ．CD →+2CA →【答案】C【解析】在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →=CD →+DB →=CD →+AD →=CD →+(AC →+CD →) ＝2CD →−CA →． 故选：C ．10．已知单位向量a →，b →的夹角为60°，则在下列向量中，与b →垂直的是（ ） A ．a →+2b →B ．2a →+b →C ．a →−2b →D ．2a →−b →【答案】D【解析】单位向量|a →|＝|b →|＝1，a →•b →=1×1×cos60°=12，对于A ，（a →+2b →）⋅b →=a →•b →+2b →2=12+2=52，所以（a →+2b →）与b →不垂直； 对于B ，（2a →+b →）⋅b →=2a →•b →+b →2=2×12+1＝2，所以（2a →+b →）与b →不垂直；对于C ，（a →−2b →）⋅b →=a →•b →−2b →2=12−2=−32，所以（a →−2b →）与b →不垂直；对于D ，（2a →−b →）⋅b →=2a →•b →−b →2=2×12−1＝0，所以（2a →−b →）与b →垂直．故选：D ．11．（2020•新课标Ⅲ）已知向量a →，b →满足|a →|＝5，|b →|＝6，a →•b →=−6，则cos ＜a →，a →+b →＞=（ ） A ．−3135B ．−1935C ．1735D ．1935【答案】D【解析】向量a →，b →满足|a →|＝5，|b →|＝6，a →•b →=−6， 可得|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25−12+36=7， cos ＜a →，a →+b →＞=a →⋅(a →+b →)|a →||a →+b →|=a →2+a →⋅b →5×7=25−65×7=1935．故选：D ．12．（2020•山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →•AB →的取值范围是（ ） A ．（﹣2，6） B ．（﹣6，2） C ．（﹣2，4） D ．（﹣4，6）【答案】A【解析】画出图形如图，AP →•AB →=|AP →||AB →|cos ＜AP →，AB →＞，它的几何意义是AB 的长度与AP →在AB →向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，|AC →|cos ∠CAB =|AB →|+12|AB →|=3，可得AP →•AB →=|AP →||AB →|cos ＜AP →，AB →＞=2×3＝6，最大值6， 在F 处取得最小值，AP →•AB →=|AP →||AB →|cos ＜AP →，AB →＞=−2×2×12=−2，最小值为﹣2，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP →•AB →的取值范围是（﹣2，6）．故选：A ．二．填空题（共9小题）13．（2020•江苏）已知i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i ）（2﹣i ）的实部是 ． 【答案】3【解答】复数z ＝（1+i ）（2﹣i ）＝3+i ，所以复数z ＝（1+i ）（2﹣i ）的实部是：3．故答案为：3． 14．（2020•新课标Ⅱ）设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1﹣z 2|＝ ．【答案】【解答】复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1+z 2=√3+i ，所以|z 1+z 2|＝2， ∴|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)⋅z 1+z 2=4， ∴8+z 1z 2+z 1z 2=4．得z 1z 2+z 1z 2=−4． ∴|z 1﹣z 2|2＝8﹣（z 1z 2+z 1z 2）＝12．又|z 1﹣z 2|＞0，故|z 1﹣z 2|＝2√3．故答案为：2√3．15．（2020•北京）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=12（AB →+AC →），则|PD →|＝ √5 ；PB →•PD →= ．【答案】-1【解析】由AP →=12（AB →+AC →），可得P 为BC 的中点，则|CP |＝1，∴|PD |=2+12=√5，∴PB →•PD →=PB →•（PC →+CD →）=−PC →•（PC →+CD →）=−PC →2−PC →•CD →=−1，故答案为：√5，﹣1．16．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a →，b →的夹角为45°，k a →−b →与a →垂直，则k ＝√22．【解析】∵向量a →，b →为单位向量，且a →，b →的夹角为45°， ∴a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos45°=1×1×√22=√22， 又k a →−b →与a →垂直，∴（ka →−b →）⋅a →=k|a →|2−a →⋅b →=0，即k −√22=0，则k =√22．故答案为：√22． 17．（2020•新课标Ⅰ）设a →，b →为单位向量，且|a →+b →|＝1，则|a →−b →|＝ √3 ．【答案】2【解答】a →，b →为单位向量，且|a →+b →|＝1， |a →+b →|2＝1，可得a →2+2a →⋅b →+b →2=1，1+2a →⋅b →+1＝1，所以2a →⋅b →=−1，则|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√3．故答案为：√3． 18．（2020•浙江）已知平面单位向量e 1→，e 2→满足|2e 1→−e 2→|≤√2．设a →=e 1→+e 2→，b→=3e 1→+e 2→，向量a →，b →的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是 ． 【答案】【解答】设e 1→、e 2→的夹角为α，由e 1→，e 2→为单位向量，满足|2e 1→−e 2→|≤√2， 所以4e 1→2−4e 1→•e 2→+e 2→2=4﹣4cos α+1≤2，解得cos α≥34；又a →=e 1→+e 2→，b →=3e 1→+e 2→，且a →，b →的夹角为θ， 所以a →•b →=3e 1→2+4e 1→•e 2→+e 2→2=4+4cos α， a →2=e 1→2+2e 1→•e 2→+e 2→2=2+2cos α，b →2=9e 1→2+6e 1→⋅e 2→+e 2→2=10+6cos α；则cos 2θ=(a →⋅b →)2a →2×b →2=(4+4cosα)2(2+2cosα)(10+6cosα)=4+4cosα5+3cosα=43−835+3cosα，所以cos α=34时，cos 2θ取得最小值为43−835+3×34=2829．故答案为：2829．※※※※※闯关检测※※※※※姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题（每小题5分，共40分）1．（2020·天津南开·期中）已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66z i ππ=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由717sinsin()sin ,cos cos()cos 6662666ππππππππ=+=-=-=+=-=即复数771sincos 6622z i ππ=-=-+，所以复数对应的点为1(,22-位于第二象限.故选：B 2．（2020·徐州市铜山区大许中学月考）复数z =1-2i （其中i 为虚数单位），则3z i +=（ ）A ．5B C ．2D【答案】B【解析】31231z i i i i +=-+=+==B ．3．（2020·邵东县第一中学期中）已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4=b ，若(3)a b a λ+⊥，则实数λ的值为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-【答案】B【解析】因为向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4=b ，所以2(3)3a b a a a b λλ+⋅=+⋅， 314cos3203πλλ=+⨯⨯⨯=+=，解得32λ=- .故选：B 4．（2020·贵州省思南中学期中（文））已知单位向量a 满足2a b =，1a b ⋅= ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【答案】B【解析】单位向量a 满足2a b =，则12a b ==， 11cos ,122a b a b a b⋅===⨯⋅ 又a 与b 的夹角的范围是[]0π， 所以a 与b 的夹角为π3.故选：B5．（2020·湖北随州·月考）设A 、B 、C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅的最大值为（ ）A ．3+B ．32C ．1+D【答案】C【解析】设圆心为点O ，则1OA OB ==，2AB =222AB OA OB ∴=+，则OA OB ⊥，()()()21AB AC OB OA OC OA OB OC OA OC OA OB OA OC ∴⋅=-⋅-=⋅-⋅+=-⋅+1cos ,11AB OC AB OC AB OC =⋅+=⋅<>+≤.当且仅当AB 与OC 方向相同时，等号成立，因此，AB AC ⋅的最大值为1故选：C.6．（2020·江苏镇江·月考）已知ABC 是顶角为120°腰长为2的等腰三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．12-B ．32-C ．14-D ．-1【答案】A【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，(B ，C ，设(,)P x y ，所以(,1)PA x y =--，(,)PB x y =--，(3,)PC x y =-， 所以(2,2)PB PC x y +=--，2()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--2211122()222x y =+--≥-当1(0,)2P 时，所求的最小值为12-.故选：A7．（2020·北京丰台·期末）点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（ ）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B 【解析】0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．8．（2019·西藏拉萨市第二高级中学期中）已知向量(2,2),(2cos ),OC CA αα==则OA 的模的取值范围是（ ）A ．[]1,3 B ．⎡⎣ C ．⎤⎦ D ．【答案】D【解析】因为()2,2OA OC CA αα=+=，所以(2OA =因为[]sin 1,14πα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]108sin 2,184πα⎡⎤⎛⎫++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以2,3OA ⎡∈⎣，故选：D.二、多选题9．下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-【答案】BD【解析】22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误； z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.10．（2020·福建省建瓯市芝华中学月考）下列说法中正确．．的是（ ） A ．0AB BA +=B ．若a b =且//a b ，则a b =C ．若,a b 非零向量且a b a b +=-，则a b ⊥D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ= 【答案】AC【解析】由AB ，BA 互为相反向量，则0AB BA +=，故A 正确； 由a b =且//a b ，可得a b =或a b =-，故B 错；由a b a b +=-，则两边平方化简可得0a b ⋅=，所以a b ⊥，故C 正确； 根据向量共线基本定理可知D 错，因为要排除a 为零向量.故选：AC.11．（2020·宜城市第三高级中学月考）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，且OA OB OA OB+=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值可以是（ ）．A ．2B ．2- CD ．【答案】AB【解析】因为OA OB OA OB +=-，故222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅=+-⋅，0OA OB ∴⋅=，所以OA OB ⊥，由题意可得圆心到直线的距离d ==所以2a =±．故选：AB.12．（2020·江苏月考）设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【解析】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C C C C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 三、填空题13．（2020·天津红桥·期中）设i 为虚数单位，则复数103iz i=+的共轭复数z =_________. 【答案】13i - 【解析】因为()()()()1031013101333310i i i i z i i i i -+====+++-，所以13z i =-，故答案为：13i -. 14．（2020·天津南开·期中）已知平面向量a ，b 满足(1,2)=-a ，(3,)b t =-，且()a a b ⊥+，则b =________.【解析】()a a b ⊥+，∴()0a a b ⋅+=即20a a b +⋅=，又(1,2)=-a ，(3,)b t =-，225a a ==，1(3)(2)32a b t t ⋅=⨯-+-⨯=--，∴5320t --=，1t ∴=，所以(3,1)b =-，2(3)b=-=.15．（2020·广西南宁·期中（文））如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且90α︒=，OB 与OC 的夹角为60︒，4OC =，2OB =，1OA =，若()1212,OA OB OC λλλλ=+∈R ，则12λλ的取值是_______． 【解析】由题意，可知OA ⊥OC ，OB 与OC 的夹角为60︒，建立如图所示的平面直角坐标系， 可得()0,0O ，1,0A ，()0,4C ，()6062s n 0i ,2cos B ︒︒-，所以10OA,，()0,4OC =，()()2sin ,2cos 6060OB ︒︒=-=，由()1212,OA OB OC λλλλ=+∈R ，可得()()()120,41,0λλ+=，即12204λλ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，所以12λλ=四、双空题16．已知平面向量12()a ，=，(1)b x =，.①若a b a b -=⋅，则实数x 的值是_____；②若2a b +与2a b -的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是_____. 【答案】1311()22-，【解析】 ①()12a =，，(1)b x =，()022a b x a b x ∴-=--=-，，，12a b x ⋅=+， 212a b a b x x -=⋅∴-=+，， 13x ∴=②因为2a b +与2a b -的夹角为锐角， 所以(2)(2)0a b a b +->, 2240a b ∴-> 22541x >+（）, 1122x ∴-<< 故答案为：13；11()22-，。
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专题5.平面向量与复数
1.平面向量是高考考查的重点、热点，六年六考.往往以选择题或填空题的形式出现.突出其“几何味”，常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；
2.近几年浙江卷涉及模及角的最值问题，六年五考！同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏难.
3.复数的概念运算，六年四考（近四年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的概念.
预测2021年将侧重平面向量的运算及其应用的考查，综合性依然会较强，难度不会降低.复数考查将保持稳定.
1．（2020·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
2．（2020·全国高考真题（理））设,a b为单位向量，且||1
a b
+=，则||
a b
-=______________.
3．（2020·浙江省高考真题）设
1
e，
2
e为单位向量，满足
2
1
|22
|
-≤
e
e，
12
a e e
=+，
12
3
b e e
=+，设a，b的夹角为θ，则2
cosθ的最小值为_______．
4．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD中，60,3
B AB
︒
∠==，6
BC=，且
3
,
2
AD BC AD AB
λ
=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,
M N是线段BC上的动点，且||1
MN=，则DM DN
⋅的最小值为_________．
5．（2020·全国高考真题（理））设复数1z，2z满足12
||=||=2
z z，
12
3i
z z
+=，则12
||
z z
-=__________.。