高考数学(理)二轮复习专题一集合逻辑用语不等式向量复数算法推理专题能力训练3平面向量与复数
百度2021届高考二轮复习数学专题精品试卷 专题一 集合、常用逻辑用语 、不等式
2021届高考二轮复习数学专题精品试卷专题一集合、常用逻辑用语、不等式命题方向1.集合集合考查主要是与不等式结合的交并补运算,以及Venn图的理解运用.要求掌握集合的概念、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合之间的关系、集合之间的交并补的运算,能用Venn图表示集合之间的基本关系.2.常用逻辑用语本部分内容的考点为充分条件与必要条件,全称量词和存在量词,充分必要条件主要以其他的知识作为载体进行考查,全称量词和存在量词主要考查命题的否定.3.不等式不等式的考查主要为不等式性质的考查,不等式解法的考查,以及基本不等式的使用,题型以选择填空题为主.另外不等式作为工具在大题解题过程中进行应用.一、集合1.集合间的关系与运算(1);(2),.2.含有个元素的集合有个子集,有个真子集.3.当集合是不等式的解集时,通常借助数轴进行求解,若集合为抽象集合时,用Venn图求解.二、逻辑用语1.充分、必要条件(1),则是的充分条件;(2),则是的必要条件;(3),则和互为充要条件.2.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题:,其否定为特称命题:;(2)特称命题:,其否定为全称命题:.三、不等式1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤:一般先将二次项系数化为正数,再判断的符号,然后解对应的一元二次方程,最后写出不等式的解.2.一元不等式的恒成立问题对于恒成立的条件为:二次项系数,;对于恒成立的条件为:.3.分式不等式对于分式不等式:先移项通分标准化,则;.4.基本不等式(1),当且仅当时,等号成立.(2)基本不等式的变形.①,当且仅当时,等号成立;①,当且仅当时,等号成立.一、选择题.1.若集合,,则()A.B.C.D.2.已知均为的子集,且,则()A.B.C.D.3.已知全集,,,指出图中阴影部分表示的集合是()A.B.C.D.4.已知集合,,则中的元素个数为()A.2B.3C.4D.55.已知集合,,若,则()A.B.C.0D.16.某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8,10,14,若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是()A.8B.7C.6D.57.已知集合,,,则集合的真子集的个数是()A.B.C.D.8.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知命题:,,则它的否定形式为()A.,B.,C.,D.,10.已知且,.则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.设,,则下列不等式中,恒成立的是()A.B.C.D.12.已知函数,则使得成立的的取值范围是()A.B.C.D.13.若,则函数的最小值为()A.3B.4C.5D.614.若正实数,满足,则的最小值是()A.B.C.D.二、填空题.15.已知,,,若不等式对已知的及任意实数恒成立,则实数最大值为_______.一、选择题.1.若集合,则实数的取值范围是()A.B.C.D.2.设,,若,求实数组成的集合的子集个数有()A.2B.3C.4D.83.命题“若,则或”的否定是()A.若,则或B.若,则且C.若,则或D.若,则且二、填空题.4.在正项等比数列中,,前三项的和为7,若存在,使得,则的最小值为__________.一、选择题.1.已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为()A.0B.1C.2D.32.已知集合,,且,,,记,则()A.B.C.D.3.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.4.对于任意两个正整数,,定义某种运算“”如下:当,都为正偶数或正奇数时,;当,中一个为正偶数,另一个为正奇数时,,则在此定义下,集合中的元素个数是()A.10个B.15个C.16个D.18个5.(多选)给定数集合M,若对于任意,有,且,则称集合M为闭集合,则下列说法中不正确的()A.集合为闭集合B.集合为闭集合C.正整数集是闭集合D.若集合为闭集合,则为闭集合6.命题“,,使得”的否定形式是()A.,,使得B.,,使得C.,,使得D.,,使得7.已知函数,则不等式成立的一个充分不必要条件为()A.B.C.D.8.已知,关于的不等式的解集中有且只有个整数,则的值可以是()A.3B.4C.5D.69.函数(且)的图象恒过定点,若点在直线上,其中均大于0,则的最小值为()A.2B.4C.8D.1610.(多选)已知,为正实数,则下列结论正确的是()A.若,则B.若,为正实数,则C.若,则D.若,则二、填空题.11.已知集合,,且,则实数的取值范围是_________.12.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是__________.一、选择题.1.【答案】D【解析】因为或,所以,故选D.【点评】本题主要考查了几何的运算,掌握并集的定义是解题的关键,属于基础题型.2.【答案】B【解析】解法一:,,据此可得,故选B.解法二:如图所示,设矩形ABCD表示全集R,矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区域CDEH表示集合,矩形区域CDFG表示集合N,满足,结合图形可得:,故选B.【点评】本题考查了几何的抽象概念,需要借助Venn图来进行求解,属于基础题.3.【答案】C【解析】因为,,所以,,因为,所以,由图易知,图中阴影部分表示的集合是,故图中阴影部分表示的集合是,故选C.【点评】本题考查的知识点是Venn图表达几何的关系及运算,其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键.4.【答案】B【解析】因为集合,,所以,故选B.【点评】本题考查集合的运算,属于基础题.5.【答案】B【解析】因为,所以,.又或,且,得.因为,所以,即,故选B.【点评】本题考查了集合中元素的互异性以及集合的运算,属于基础题.6.【答案】C【解析】设周三,周二,周一开车上班的职工组成的集合分别为,,,集合,,中元素个数分别为A.,B.,C.,则A.,B.,C.,,因为A.B.C,且,,,所以,即,故选C.【点评】本题考查集合多面手问题的应用,考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想,属于中档题.7.【答案】D【解析】由题意可知共有个元素集合,所以集合的真子集的个数,故选D.【点评】考查了集合的表示与集合关系,先确定集合中元素的个数是解本题的关键.8.【答案】A【解析】,,,可得“”是“”的充分条件;由,①当时,可得,即;①当时,可得,即;可得“”不是“”的必要条件;所以“”是“”充分不必要条件,故选A.【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断,涉及了不等式性质的理解和应用,解题的关键是正确理解充分条件和必要条件的判断方法.9.【答案】D【解析】因为命题的否定,需要修改量词并且否定结论,所以命题:,,则它的否定形式为:,,故选D.【点评】本题主要考查含有量词的命题否定,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,本题属于基础题.10.【答案】A【解析】若且,则,所以p是q成立的充分条件,当时,满足,但是不满足且,所以p不是q成立的必要条件,综上所述:p是q成立的充分不必要条件,故选A.【点评】本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;(2)若是的充分不必要条件,则对应集合是对应集合的真子集;(3)若是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;(4)若是的既不充分又不必要条件,对应集合与对应集合互不包含.11.【答案】B【解析】对于A选项,,所以,,所以,,A选项错误;对于B选项,,则,由不等式的基本性质可得,B选项正确;对于C选项,若,由不等式的基本性质可得,C选项错误;对于D选项,若,由A选项可知,,由不等式的基本性质可得,D 选项错误,故选B.【点评】本题主要考查了不等式的基本性质,属于基础题.12.【答案】C【解析】令,则,,所以,所以,令,则,因为,所以,所以,所以在单调递增,所以由,得,所以,解得,故选C.【点评】此题考查不等式恒成立问题,考查函数单调性的应用,解题的关键是换元后对不等式变形得,再构造函数,利用函数的单调性解不等式.13.【答案】D【解析】①,①,①,当且仅当,即时取等号,①函数的最小值为6,故选D.【点评】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.14.【答案】C【解析】变形得,因为,是正实数,则,当且仅当时,取最小值,故选C.【点评】在基本不等式中,遇到已知条件为时,需要先变形为,然后利用乘“”法展开计算,再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值.二、填空题.15.【答案】5【解析】,当且仅当,即时,取等号,因为不等式对恒成立,所以对任意实数恒成立,即对任意实数恒成立,令,.故答案为5.【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值及不等式恒成立与最值求解的相互转化,体现了转化思想的应用.一、选择题.1.【答案】D【解析】设,当时,,满足题意;当时,是二次函数,依题可知,,因为,所以恒大于等于0,即,所以,解得.【点评】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题,需要对未知数进行分类讨论.2.【答案】D【解析】,因为,所以,因此,对应实数的值为,,,其组成的集合的子集个数有,故选D.【点评】本题考查集合包含关系以及集合子集,考查基本分析求解能力,属中档题.3.【答案】D【解析】命题:“若,则或”为真命题,则其否定为:“若,则且”,故选D.【点评】本题考查命题的否定形式,注意命题的否定与否命题的区别,若原命题为“若,则”则其否命题为“若,则”,否定为“若,则”,注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别.二、填空题.4.【答案】【解析】依题意,依题意存在,使得,即,即,所以,所以.当且仅当,时等号成立.所以的最小值为,故答案为.【点评】求解有关表达式的最值问题,可以考虑采用的代换的方法,结合基本不等式求得最值,要注意等号成立的条件.一、选择题.1.【答案】C【解析】联立,解得或.即与相交于两点,,故中有两个元素,故选C.【点评】本题考查了集合的表示方法及集合的运算,属于基础题.2.【答案】D【解析】由题意设,,,(),则,而,①,故选D.【点评】本题考点为集合间的关系,属于中档题.3.【答案】C【解析】因为或,所以.因为,所以,故选C.【点评】本题结合函数的定义域,不等式考查集合运算,属于基础题.4.【答案】B【解析】根据定义知分两类进行考虑,一奇一偶,则,,所以可能的取值为共4个,同奇偶,则,由,所以可能的取值为,共11个,所以符合要求的共15个,故选B.【点评】本题主要考查了分类讨论思想,集合及集合与元素的关系,属于中档题.5.【答案】ACD【解析】根据对于任意,,有,且,对于A.当集合,,0,2,时,而,所以集合不为闭集合;对于B.当,时,设,,,,则,,所以集合为闭集合;对于C.设,是任意的两个正整数,当时,不是正整数,所以正整数集不为闭集合;对于D.设,,,是闭集合,且,,而,此时不为闭集合,所以,说法中不正确的是ACD,故选ACD.【点评】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题,解题时应深刻理解新定义的概念,适当的应用反例说明命题是否成立,属于中档题.6.【答案】B【解析】命题“,,使得”,则命题的否定为:,,使得,故选B.【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定,比较基础.7.【答案】B【解析】可得的定义域为,和都是增函数,是定义在的增函数,,是奇函数,则不等式化为,,解得,则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集,只有B选项满足,故选B.【点评】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,解题的关键是判断出是增函数且是奇函数,从而将不等式化为求解.8.【答案】D【解析】令二次函数,则二次函数开口向上,且对称轴为,根据二次函数对称性可知:若不等式的解集中有且只有个整数,则需要满足,即,解得,故选D.【点评】本题考查根据不等式的解集求参数,主要考查二次函数的对称性的灵活应用,考查推理能力与计算能力,是简单题.9.【答案】B【解析】因为函数(且)的图象恒过定点,又因为点在直线上,所以,即,所以,当且仅当,即取等号,所以的最小值为4,故选B.【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点,运用了整体代换的思想,是高考考查的重点.10.【答案】ACD【解析】对于A,因为,为正实数,且,所以,所以,故A正确;对于B,因为,,均为正实数,且,所以,所以,故B错误;对于C,因为,为正实数,,所,所以,C正确;对于D,,当且仅当时等号成立,故D正确,故选ACD.【点评】比较大小的方法:(1)作差法,其步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论.(2)作商法,其步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.(4)赋值法和排除法:可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论.二、填空题.11.【答案】【解析】由题意可得:,据此结合题意可得:,即,即实数的取值范围是.【点评】本题主要考查集合的表示方法,由集合间的关系求解参数的取值范围等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.【答案】【解析】由图知实数的取值范围是,其中为直线与相切时的值,即.【点评】本题以分段函数为载体,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.。
高三数学二轮复习第一篇专题突破专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、不等式、复数、算法、推理与证明刺第
1 2
)
B.
2 2
C. 2
D.2
2i(1 i) 2i 2(1 i) 12 12 = = =1+i.∴|z|= 1 i (1 i)(1 i) 2
答案 C ∵(1+i)z=2i,∴z= =
2 .
z =2(i为虚数单位), 3.(2017江西南昌十校第二次模拟)已知复数z满足z+ z 是z的共轭复数,|z|= 2 ,则复数z的虚部为 ( 其中
方法归纳
1.与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题的解题思路:(1)变形 分离出实部和虚部,把复数的非代数形式化为代数形式.(2)根据条件,列 方程(组)求解. 2.与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题的解题策略:(1)设出复数z的代 数形式z=a+bi(a,b∈R),代入条件.(2)根据已知条件解决.
跟踪集训
1.(2017江西五市部分学校第三次联考)已知i为虚数单位,复数z满足z(2+
10 i)= ,则z= ( 1 i
)
A.-1-3i
C.1+3i
B.-1+3i
D.1-3i
10 1 i
10 =1-3i. (1 i)(2 i)
答案 D 因为z(2+i)= ,所以z=
2.(2017山西八校第一次联考)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= (
)
A.1
B.i
C.±i
D.±1
答案 D 设z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,由z+ z =2可得2a=2,解得a=1,所
2 以z=1+bi,由|z|=b ,解得b=±1,选D. 1 =2
高三数学二轮复习 专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式训练
高三数学二轮复习 专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式训练一、选择题1.(2011·辽宁)已知集合A ={x |x >1},B ={x |-1<x <2},则A ∩B 等于( )A .{x |-1<x <2}B .{x |x >-1}C .{x |-1<x <1}D .{x |1<x <2} 2.(2010·山东)已知全集U =R ,集合M ={x ||x -1|≤2},则∁U M =( )A .{x |-1<x <3}B .{x |-1≤x ≤3}C .{x |x <-1或x >3}D .{x |x ≤-1或x ≥3}3.“m <14”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的( ) A .充分非必要条件B .充分必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件 4.(2011·山东)已知a ,b ,c ∈R ,命题“若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是( )A .若a +b +c ≠3,则a 2+b 2+c 2<3B .若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2<3C .若a +b +c ≠3,则a 2+b 2+c 2≥3D .若a 2+b 2+c 2≥3,则a +b +c =35.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x ∈R ,x 2+2ax +2-a =0”.若命题“綈p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围为( )A .a ≤-2或a =1B .a ≤-2或1≤a ≤2C .a ≥1D .a >1 6.(2011·上海)若三角方程sin x =0与sin 2x =0的解集分别为E ,F ,则( ) A .E FB .E FC .E =FD .E ∩F =∅二、填空题 7.已知全集U ={-2,-1,0,1,2},集合A ={-1,0,1},B ={-2,-1,0},则A ∩(∁U B )=______.8.(2011·天津)已知集合A ={x ∈R ||x -1|<2},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________.9.下列命题中,假命题的个数是________.①若A ∩B =∅,则A =∅或B =∅;②命题P 的否定就是P 的否命题;③A ∪B =U (U 为全集),则A =U ,或B =U ;④A B 等价于A ∩B =A .10.若集合A ={x |(k +1)x 2+x -k =0}有且仅有两个子集,则实数k 的值是________.三、解答题11.设集合A={2,8,a},B={2,a2-3a+4},且A B,求a的值.12.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m 的取值范围.13.判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.答案1.D 2.C 3.A 4.A 5.D 6.A7.{1}8.39.310.-1或-1211.解 因为AB ,所以a 2-3a +4=8或a 2-3a +4=a . 由a 2-3a +4=8,得a =4或a =-1; 由a 2-3a +4=a ,得a =2.经检验:当a =2时集合A 、B 中元素有重复,与集合元素的互异性矛盾,所以符合题意的a 的值为-1、4.12.解 ∵A ∪B =A ,∴B ⊆A .又A ={x |-2≤x ≤5},当B =∅时,由m +1>2m -1,解得m <2.当B ≠∅时,则⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤2m -1,-2≤m +1,2m -1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知,m ∈(-∞,3].13.解 原命题:若a ≥0,则x 2+x -a =0有实根.逆否命题:若x 2+x -a =0无实根,则a <0.判断如下:∵x 2+x -a =0无实根,∴Δ=1+4a <0,∴a <-14<0,∴“若x 2+x -a =0无实根,则a <0”为真命题.即命题“若a ≥0,则x 2+x -a =0有实根”的逆否命题为真命题.。
高考数学二轮复习第1部分专题一集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式1集合常用逻辑用语限时速解
高考数学二轮复习第1部分专题一集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式1集合常用逻辑用语限时速解训练文1(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}D.{2,5,7}C.{2,4,7} 解析:选C.由补集的定义,得∁UA={2,4,7}.故选C. 2.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )A.-3∈AB.3∉BD.A∪B=BC.A∩B=B 解析:选 C.由题知A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B,故选C.3.设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( )A.[0,1]B.(0,1]D.(-∞,1]C.[0,1) 解析:选A.M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1],故选A.4.(2016·山东聊城模拟)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )B.1A.0D.4C.2解析:选D.因为A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},所以则a=4. 5.(2016·湖北八校模拟)已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.因为a>2,则a2>2a成立,反之不成立,所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件.6.已知集合A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则A∩B等于( )B.{-i}A.{1+i,1-i}D.{1-i}C.{1+2i,1-2i} 解析:选A.问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得a=±.故选A.7.已知命题p:对任意x>0,总有ex≥1,则綈p为( )A.存在x0≤0,使得ex0<1B.存在x0>0,使得ex0<1C.对任意x>0,总有ex<1D.对任意x≤0,总有ex<1解析:选B.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:对任意x >0,总有ex≥1的否定綈p为:存在x0>0,使得ex0<1.故选B. 8.已知命题p:∃x0∈R,tan x0=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧(綈q)”是假命题C.命题“(綈p)∨q”是真命题D.命题“(綈p)∧(綈q)”是假命题解析:选D.取x0=,有tan=1,故命题p是真命题;当x=0时,x2=0,故命题q是假命题.再根据复合命题的真值表,知选项D是正确的.9.给出下列命题:①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立;②若log2x+logx2≥2,则x>1;③“若a>b>0且c<0,则>”的逆否命题;④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.其中真命题是( )B.①②④A.①②③D.②③④C.①③④ 解析:选A.①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;②中不等式可变为log2x+≥2,得x>1;③中由a>b>0,得<,而c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;④由p且q为假只能得出p,q中至少有一个为假,④不正确.10.(2016·山东济南模拟)设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},则A×B=( )B.[0,1)∪[2,+∞)A.[0,1]∪(2,+∞)D.[0,2]C.[0,1] 解析:选 A.由题意得A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]或(2,+∞).11.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0<b<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”,则圆心到直线的距离为d=<1,即|b|<,不能得到0<b<1;反过来,若0<b<1,则圆心到直线的距离为d=<<1,所以直线y=x+b与圆x2+y2=1相交,故选B.12.(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R,x+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”.B.2A.1D.4C.3 解析:选 B.易知①正确;因为f(x)=cos 2ax,所以=π,即a=±1,因此②正确;因为x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x+2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x+2)min,x∈[1,2],因此③不正确;因为钝角不包含180°,而由a·b<0得向量夹角包含180°,因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”,故④不正确.二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.若关于x的不等式|x-m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3,则实数m的取值范围是________.解析:由|x-m|<2得-2<x-m<2,即m-2<x<m+2.依题意有集合{x|2≤x≤3}是{x|m-2<x<m+2}的真子集,于是有,由此解得1<m<4,即实数m的取值范围是(1,4).答案:(1,4) 14.若命题“∃x0∈R,x-2x0+m≤0”是假命题,则m的取值范围是________.解析:由题意,命题“∀x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m<0,即m>1.答案:(1,+∞) 15.已知p:∃x0∈R,mx+2≤0,q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是________.解析:因为p∨q是假命题,所以p和q都是假命题.由p:∃x0∈R,mx+2≤0为假命题知,綈p:∀x∈R,mx2+2>0为真命题,所以m≥0.①由q:∀x∈R,x2-2mx+1>0为假命题知,綈q:∃x0∈R,x-2mx0+1≤0为真命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案:[1,+∞) 16.下列四个命题中,真命题有________.(写出所有真命题的序号)①若a,b,c∈R,则“ac2>bc2”是“a>b”成立的充分不必要条件;②命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”;③命题“若|x|≥2,则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|<2,则-2<x<2”;④函数f(x)=ln x+x-在区间(1,2)上有且仅有一个零点.解析:①若c=0,则不论a,b的大小关系如何,都有ac2=bc2,而若ac2>bc2,则有a>b,故“ac2>bc2”是“a>b”成立的充分不必要条件,故①为真命题;②特称命题的否定是全称命题,故命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”,故②为真命题;③命题“若p,则q”形式的命题的否命题是“若綈p,则綈q”,故命题“若|x|≥2,则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|<2,则-2<x<2”,故③为真命题;④由于f(1)f(2)==×<0,则函数f(x)=ln x+x-在区间(1,2)上存在零点,又函数f(x)=ln x+x-在区间(1,2)上为增函数,所以函数f(x)=ln x+x-在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故④为真命题.答案:①②③④。
高考数学二轮复习专题一集合、逻辑用语、不等式等专题能力训练3平面向量与复数文
——————————教育资源共享步入知识海洋————————专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文2)设z=+2i,则|z|=()A.0B.C.1D.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=()A. B.C. D.3.设a,b是两个非零向量,下列结论正确的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.(2018全国Ⅱ,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.06.下面是关于复数z=的四个命题:p1:| z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p47.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.- a2B.- a2C. a2D. a28.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .9.(2018全国Ⅲ,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .10.在△ABC中,若=4,则边AB的长度为.11.已知a=(cos θ,sin θ),b=(,-1),f(θ)=a·b,则f(θ)的最大值为.12.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则= .13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上取一点P,使有最小值,则点P的坐标是.14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.二、思维提升训练15.若z=4+3i,则=()A.1B.-1C.iD.i16.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I317.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.19.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=t a+(1-t)b.若b·c=0,则t= .20.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .21.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=b i,则a+b i= .专题能力训练3平面向量与复数一、能力突破训练1.C解析因为z=+2i=+2i=i,所以|z|=1.2.C解析设a=,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=.因为a和长度相等,方向相同,所以a=,故选C.3.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b 时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.4.D解析=2+i所对应的点为(2,1),关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.6.C解析z==-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.7.D解析如图,设=a,=b.则=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.- 解析∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-.9. 解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.10.2解析由=4,=4,得=8,于是·()=8,即=8,故||2=8,得||=2.11.2解析f(θ)=a·b=cos θ-sin θ=2=2cos,故当θ=2kπ-(k∈Z)时,f(θ)max=2.12. 解析由题意可作右图,∵OA=1,AP=,又PA=PB,∴PB=.∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.∴=||||·cos 60°=.13.(3,0)解析设点P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).14. 解析由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.二、思维提升训练15.D解析因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|==5,共轭复数为=4-3i.故i,选D.16.C解析由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x 的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.-2解析∵i为实数,∴-=0,即a=-2.19.2解析∵c=t a+(1-t)b,∴b·c=t a·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,b·c=0,∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0=t+1-t.∴t=2.20.1解析如图,因为E,F分别是AD,BC的中点,所以=0,=0.又因为=0,所以.①同理.②由①+②得,2+()+()=,所以).所以λ=,μ=.所以λ+μ=1.21.1+2i解析因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=b i,a,b∈R,所以解得故a+b i=1+2i.。
高三理科数学二轮复习习题:专题一 集合、逻辑用语、不等式、向量、复数、算法、推理 专题能力训练3 含答案
专题能力训练3平面向量与复数能力突破训练1.设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p 4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3.若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p47.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为.12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.13.已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.思维提升训练15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,+λ,则实数λ=()A.-B.-C.D.16.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.20.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.参考答案专题能力训练3平面向量与复数能力突破训练1.B解析p1:设z=a+b i(a,b∈R),则R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cosθ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.C解析由题意知=1-2i,则=i,故选C.4.D解析=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C解析∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.C解析z==-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.7.D解析如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(t m+n),所以n·(t m+n)=n·t m+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C解析由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10.2解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1+4×1=12,所以|a+2b|==211解析=2,)=又=,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4,=3×2=3,()=-4,即=-4,4-9+3=-4,即-5=-4,解得λ=12.-1解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.52解析由题意可得a2-b2+2ab i=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.14解析由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=思维提升训练15.D解析如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则因为+,所以=由△ADE∽△ABC,得,所以,故λ=16.A解析以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B,C(0,t),=(1,0),=(0,1),=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,的最大值为13.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=令y=,则y2=10+2[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是219.1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0,=0.又因为=0,所以①同理由①+②得,2+()+()=,所以).所以λ=,μ=所以λ+μ=1.20.-2解析i为实数,∴-=0,即a=-2.。
高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)
第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,近几年也出现一些集合的新定义问题.(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断.1.集合的概念、关系(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.2.集合的基本运算(1)交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.(3)补集:∁U A={x|x∈U,且x∉A}.重要结论:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.3.四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理.4.充分条件与必要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.5.基本逻辑联结词(1)命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;綈p和p为真假对立的命题.(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).6.全称量词与存在量词“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,綈p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列命题正确的是________.①(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S;②(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S;③(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S;④(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S.思维启迪明确集合的意义,理解集合中元素的性质特征.答案(1){-1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B ={-1,0,1,2}.(2)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S的说法均错误,可以排除①③④,故②正确.思维升华(1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验结果.(2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证.(1)已知集合M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则M∩N=________.(2)(2013·山东改编)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________.答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数,所以N={x∈Z|1<x<4}={2,3},所以M∩N={2,3}.-2,-1,0,1,2.(2)x-y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件.(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________.①若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”;②若a,b,c∈R,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”;③命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”;④l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系;充要条件的判断,要准确理解充分条件、必要条件的含义.答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;当b=0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;当b>0时,a>b有|a|>|b|,所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2-4ac≤0,则ax2+bx+c≥0”是假命题,所以“ax2+bx+c≥0”的充分条件不是“b2-4ac≤0”,①错;因为ab2>cb2,且b2>0,所以a>c.而a>c时,若b2=0,则ab2>cb2不成立,由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件,②错;“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2<0”,③错;由l⊥α,l⊥β,可得α∥β,理由:垂直于同一条直线的两个平面平行,④正确.思维升华(1)四种命题中,原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价;(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,判断一个命题为假可以借助反例.(1)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是________.(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件.(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”.(2)由log3M>log3N,又因为对数函数y=log3x在定义域(0,+∞)单调递增,所以M>N;当M>N 时,由于不知道M、N是否为正数,所以log3M、log3N不一定有意义.故不能推出log3M>log3N,所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件.热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p:∃x∈R,x-2>lg x,命题q:∀x∈R,sin x<x,则下列命题正确的是________.①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p :∃x ∈R ,mx 2+2≤0,q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________.思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假,再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假;(2)含量词的命题要理解量词含义,确定参数范围.答案 (1)③ (2)[1,+∞)解析 (1)对于命题p ,取x =10,则有10-2>lg 10,即8>1,故命题p 为真命题;对于命题q ,取x =-π2,则sin x =sin(-π2)=-1,此时sin x >x ,故命题q 为假命题,因此命题p ∨q 是真命题,命题p ∧q 是假命题,命题p ∧(綈q )是真命题,命题p ∨(綈q )是真命题,故③正确.(2)∵p ∨q 为假命题,∴p 和q 都是假命题.由p :∃x ∈R ,mx 2+2≤0为假命题,得綈p :∀x ∈R ,mx 2+2>0为真命题,∴m ≥0.①由q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0为假命题,得綈q :∃x ∈R ,x 2-2mx +1≤0为真命题,∴Δ=(-2m )2-4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤-1或m ≥1.②由①和②,得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立;(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算.(1)已知命题p :在△ABC 中,“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件;命题q :“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件,则下列命题中正确的是________.①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0”.若命题“(綈p )∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________.答案 (1)③ (2)(1,+∞)解析 (1)△ABC 中,C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径),所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件,命题p 是假命题.若c =0,当a >b 时,则ac 2=0=bc 2,故a >b ac 2>bc 2,若ac 2>bc 2,则必有c ≠0,则c 2>0,则有a >b ,所以ac 2>bc 2⇒a >b ,故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件,故命题q 也是假命题.(2)命题p为真时a≤1;“∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”为真,即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2.(綈p)∧q为真命题,即綈p真且q真,即a>1.1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和Venn图加以解决.2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法.3.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断.4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1.(2014·浙江改编)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=________.答案{2}解析因为A={x∈N|x≤-5或x≥5},所以∁U A={x∈N|2≤x<5},故∁U A={2}.2.(2014·重庆改编)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是________.①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,綈p∧綈q、綈p∧q为假命题,p∧綈q为真命题,故④为真命题.押题精练1.已知集合A ={x |y =lg(x -x 2)},B ={x |x 2-cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围是________.答案 [1,+∞)解析 A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}=(0,1),B ={x |x 2-cx <0,c >0}=(0,c ),因为A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.2.已知下列命题:①命题“∃x ∈R ,x 2+1>3x ”的否定是“∀x ∈R ,x 2+1<3x ”;②已知p ,q 为两个命题,若“p ∨q ”为假命题,则“(綈p )∧(綈q )”为真命题;③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件;④“若xy =0,则x =0且y =0”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是________.答案 ②解析 命题“∃x ∈R ,x 2+1>3x ”的否定是“∀x ∈R ,x 2+1≤3x ”,故①错;“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假,则(綈p )∧(綈q )为真命题,故②正确;a >5⇒a >2,但a >2a >5,故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件,故③错;因为“若xy =0,则x =0或y =0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错.3.已知p :x +210-x≥0,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m <0),且p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解 由x +210-x≥0,得-2≤x <10,即p :-2≤x <10; 由x 2-2x +1-m 2≤0(m <0),得[x -(1+m )]·[x -(1-m )]≤0,所以1+m ≤x ≤1-m ,即q :1+m ≤x ≤1-m .又因为p 是q 的必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,1-m <10,解得m ≥-3, 又m <0,所以实数m 的取值范围是-3≤m <0.(推荐时间:40分钟)1.(2014·陕西改编)设集合M ={x |x ≥0,x ∈R },N ={x |x 2<1,x ∈R },则M ∩N =________. 答案 [0,1)解析 N ={x |-1<x <1},M ∩N =[0,1).2.已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={5,6,7},C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈B },则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________. 答案 13解析 若x =5∈A ,y =1∈A ,则x +y =5+1=6∈B ,即点(5,1)∈C ;同理,(5,2)∈C ,(4,1)∈C ,(4,2)∈C ,(4,3)∈C ,(3,2)∈C ,(3,3)∈C ,(3,4)∈C ,(2,3)∈C ,(2,4)∈C ,(2,5)∈C ,(1,4)∈C ,(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3.设全集U 为整数集,集合A ={x ∈N |y =7x -x 2-6},B ={x ∈Z |-1<x ≤3},则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________.答案 7解析 因为A ={x ∈N |y =7x -x 2-6}={x ∈N |7x -x 2-6≥0}={x ∈N |1≤x ≤6},由题意,知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ={1,2,3},所以其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.4.“(m -1)(a -1)>0”是“log a m >0”的________条件.答案 必要不充分解析 (m -1)(a -1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1,a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1,a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1,a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1,0<a <1,所以前者是后者的必要不充分条件.5.已知命题p :∃x ∈(0,π2),使得cos x ≤x ,则该命题的否定是________. 答案 ∀x ∈(0,π2),使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题.而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”.6.在△ABC 中,“A =60°”是“cos A =12”的________条件. 答案 充要解析 在A =60°时,有cos A =12,因为角A 是△ABC 的内角,所以,当cos A =12时,也只有A =60°,因此,是充要条件.7.(2013·湖北改编)已知全集为R ,集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1,B ={}x |x 2-6x +8≤0,则A ∩∁R B =________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ={x |x ≥0},B ={x |2≤x ≤4},∴A ∩∁R B ={x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}={x |0≤x <2或x >4}.8.已知集合A ={(x ,y )|x +y -1=0,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|y =x 2+1,x ,y ∈R },则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________.答案 2解析 集合A 表示直线l :x +y -1=0上的点的集合,集合B 表示抛物线C :y =x 2+1上的点的集合.由⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,y =x 2+1消去y 得x 2+x =0, 由于Δ>0,所以直线l 与抛物线C 有两个交点.即A ∩B 有2个元素.9.设命题p :函数y =sin 2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cos x 的图象关于直线x =π2对称.则下列判断正确的是________.①p 为真;②綈q 为假;③p ∧q 为假;④p ∨q 为真.答案 ③解析 p 是假命题,q 是假命题,因此只有③正确.10.已知集合A ={(x ,y )|y =a },B ={(x ,y )|y =b x +1,b >0,b ≠1},若集合A ∩B 只有一个真子集,则实数a 的取值范围是________.答案 (1,+∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y =b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,要使集合A ∩B 只有一个真子集,那么y =b x +1(b >0,b ≠1)与y =a 的图象只能有一个交点,所以实数a 的取值范围是(1,+∞).11.已知集合P ={x |x (x -1)≥0},Q ={x |y =ln(x -1)},则P ∩Q =__________.答案 (1,+∞)解析 由x (x -1)≥0可得x ≤0或x ≥1,则P =(-∞,0]∪[1,+∞);又由x -1>0可得x >1,则Q =(1,+∞),所以P ∩Q =(1,+∞).12.已知集合A ={x |x >2或x <-1},B ={x |a ≤x ≤b },若A ∪B =R ,A ∩B ={x |2<x ≤4},则b a=________.答案 -4解析 由A ={x |x >2或x <-1},A ∪B =R ,A ∩B ={x |2<x ≤4},可得B ={x |-1≤x ≤4},则a=-1,b =4,故b a=-4. 13.由命题“∃x ∈R ,x 2+2x +m ≤0”是假命题,求得实数m 的取值范围是(a ,+∞),则实数a =________.答案 1解析 根据题意可得:∀x ∈R ,x 2+2x +m >0是真命题,则Δ<0,即22-4m <0,m >1,故a =1.14.给出下列四个命题:①命题“若α=β,则cos α=cos β”的逆否命题;②“∃x 0∈R ,使得x 20-x 0>0”的否定是:“∀x ∈R ,均有x 2-x <0”;③命题“x 2=4”是“x =-2”的充分不必要条件;④p :a ∈{a ,b ,c },q :{a }⊆{a ,b ,c },p 且q 为真命题.其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①,因命题“若α=β,则cos α=cos β”为真命题,所以其逆否命题亦为真命题,①正确;对②,命题“∃x 0∈R ,使得x 20-x 0>0”的否定应是:“∀x ∈R ,均有x 2-x ≤0”,故②错;对③,因由“x 2=4”得x =±2,所以“x 2=4”是“x =-2”的必要不充分条件,故③错;对④,p ,q 均为真命题,由真值表判定p 且q 为真命题,故④正确.15.已知集合M 为点集,记性质P 为“对∀(x ,y )∈M ,k ∈(0,1),均有(kx ,ky )∈M ”.给出下列集合:①{(x ,y )|x 2≥y },②{(x ,y )|2x 2+y 2<1},③{(x ,y )|x 2+y 2+x +2y =0},④{(x ,y )|x 3+y 3-x 2y =0},其中具有性质P 的点集序号是________.答案 ②④解析 对于①:取k =12,点(1,1)∈{(x ,y )|x 2≥y },但(12,12)∉{(x ,y )|x 2≥y },故①是不具有性质P 的点集.对于②:∀(x ,y )∈{(x ,y )|2x 2+y 2<1},则点(x ,y )在椭圆2x 2+y 2=1内部,所以对0<k <1,点(kx ,ky )也在椭圆2x 2+y 2=1的内部,即(kx ,ky )∈{(x ,y )|2x 2+y 2<1},故②是具有性质P 的点集.对于③:(x +12)2+(y +1)2=54,点(12,-12)在此圆上,但点(14,-14)不在此圆上,故③是不具有性质P 的点集.对于④:∀(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},对于k∈(0,1),因为(kx)3+(ky)3-(kx)2·(ky)=0⇒x3+y3-x2y=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质P的点集.综上,具有性质P的点集是②④.。
高考数学(理)二轮复习专题一集合逻辑用语不等式向量复数算法推
专题能力训练1 力与物体的平衡(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本题共7小题,每小题8分,共56分。
在每小题给出的四个选项中,1~5题只有一个选项符合题目要求,6~7题有多个选项符合题目要求。
全部选对的得8分,选对但不全的得4分,有选错的得0分)1.(·全国Ⅱ卷)如图所示,一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。
若保持F 的大小不变,而方向与水平面成60°角,物块也恰好做匀速直线运动。
物块与桌面间的动摩擦因数为()A.2-√3B.√36C.√33D.√322.如图所示,一物体M放在粗糙的斜面体上保持静止,斜面体静止在粗糙的水平面上。
现用水平力F推物体时,M和斜面仍然保持静止状态,则下列说法正确的是()A.斜面体受到地面的支持力增大B.斜面体受到地面的摩擦力一定增大C.物体M受到斜面的静摩擦力一定增大D.物体M受到斜面的支持力可能减小3.如图所示,质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定,轻杆A端用铰链固定,滑轮在A 点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计),轻杆B端吊一重物G,现将绳的一端拴在杆的B端,用拉力F将B端缓慢上拉(均未断),在AB杆达到竖直前,以下分析正确的是()A.绳子越来越容易断B.绳子越来越不容易断C.AB杆越来越容易断D.AB杆越来越不容易断4.一带电金属小球A用绝缘细线拴着悬挂于O点,另一带电金属小球B用绝缘支架固定于O点的正下方,OA=OB,金属小球A、B静止时位置如图所示。
由于空气潮湿,金属小球A、B缓慢放电。
此过程中,小球A所受的细线的拉力F1和小球B对A的库仑力F2的变化情况是()A.F1减小,F2减小B.F1减小,F2不变C.F1增大,F2增大D.F1不变,F2减小5.如图所示,滑块A置于水平地面上,滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直),此时A恰好不滑动,B刚好不下滑。
已知A与B间的动摩擦因数为μ1,A与地面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
高考数学二轮复习第1部分专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式4不等式及线
限时速解训练四 不等式及线性规划(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.设0<a <b <1,则下列不等式成立的是( ) A .a 3>b 3B.1a <1bC .a b >1D .lg(b -a )<a解析:选D.∵0<a <b <1,∴0<b -a <1-a ,∴lg(b -a )<0<a ,故选D. 2.已知a ,b 是正数,且a +b =1,则1a +4b( )A .有最小值8B .有最小值9C .有最大值8D .有最大值9解析:选B.因为1a +4b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b (a +b )=5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9,当且仅当b a =4a b且a +b =1,即a =13,b =23时取“=”,所以1a +4b的最小值为9,故选B.3.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥-1,2x -y ≤1,y ≤1,则z =3x -y 的最小值为( )A .-7B .-1C .1D .2解析:选A.画出可行域如图中阴影部分所示,平移直线3x -y =0,可知直线z =3x -y 在点A (-2,1)处取得最小值,故z min =3×(-2)-1=-7,选A.4.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x +3y ≤15,y ≤x +1,x -5y ≤3表示的平面区域的面积为( )A .7B .5C .3D .14解析:选A.作出可行域如图所示.可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,52,B (-2,-1),所以不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧5x +3y ≤15,y ≤x +1,x -5y ≤3表示的平面区域的面积为12×4×52+12×4×1=7,故选A.5.若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A .若a >b ,则ac 2>bc 2B .若a <b <0,则a 2>ab >b 2C .若a <b <0,则1a <1bD .若a <b <0,则b a >a b解析:选B.选项A 错,因为c =0时不成立;选项B 正确,因为a 2-ab =a (a -b )>0,ab -b 2=b (a -b )>0,故a 2>ab >b 2;选项C 错,应为1a >1b ;选项D 错,因为b a -a b =b 2-a2ab=b +a b -a ab <0,所以b a <ab.6.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A .80元 B .120元 C .160元D .240元解析:选C.设底面矩形的一条边长是x m ,总造价是y 元,把y 与x 的函数关系式表示出来,再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知,体积V =4 m 3,高h =1 m ,所以底面积S =4 m 2,设底面矩形的一条边长是x m ,则另一条边长是4xm ,又设总造价是y 元,则y =20×4+10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +8x ≥80+202x ·8x=160,当且仅当2x =8x,即x =2时取得等号,故选C.7.若ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2,或x >4},则对于函数f (x )=ax 2+bx +c 应有( )A .f (5)<f (2)<f (-1)B .f (5)<f (-1)<f (2)C .f (-1)<f (2)<f (5)D .f (2)<f (-1)<f (5)解析:选B.∵ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2,或x >4},∴a <0,而且函数f (x )=ax2+bx +c 的图象的对称轴方程为x =4-22=1,∴f (-1)=f (3).又∵函数f (x )在[1,+∞)上是减函数,∴f (5)<f (3)<f (2),即f (5)<f (-1)<f (2),故选B. 8.若不等式2kx 2+kx -38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A .(-3,0)B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0]解析:选D.当k =0时,显然成立;当k ≠0时,即一元二次不等式2kx 2+kx -38<0对一切实数x 都成立,则⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k 2-4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-38<0,解得-3<k <0.综上,满足不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3,0],故选D. 9.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,y ≥x -1,x +3y -5≤0,那么点P 到直线3x -4y -13=0的距离的最小值为( ) A.115 B .2 C.95D .1解析:选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x -4y -13=0,结合图形(图略)可知,在该平面区域内所有的点中,到直线3x -4y -13=0的距离最近的点是(1,0).又点(1,0)到直线3x -4y -13=0的距离等于|3×1-4×0-13|5=2,即点P 到直线3x -4y -13=0的距离的最小值为2,选B.10.设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x +2,x +y -2≥0,x ≤2,则y -1x +3的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-15∪[1,+∞) B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-15,13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-15,1解析:选 D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x +2,x +y -2≥0,x ≤2,表示的区域如图所示,从图可看出,y -1x +3表示过点P (x ,y ),A (-3,1)的直线的斜率,其最大值为k AD =6-12+3=1,最小值为k AC =0-12+3=-15,故选D. 11.若f (x )=x 2-2x -4ln x ,则f ′(x )>0的解集为( ) A .(0,+∞) B .(-1,0)∪(2,+∞) C .(2,+∞)D .(-1,0)解析:选C.f ′(x )=2x -2-4x=2x 2-x -2x,由f ′(x )>0得2x 2-x -2x>0,解得-1<x <0或x >2,又f (x )的定义域为(0,+∞), ∴f ′(x )>0的解集为{x |x >2},故选C.12.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6, x ≥0,x +6, x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A .(-3,1)∪(3,+∞)B .(-3,1)∪(2,+∞)C .(-1,1)∪(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(1,3)解析:选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x 2-4x +6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,x +6>3,解得-3<x <1或x >3.二、填空题(把答案填在题中横线上)13.设P (x ,y )是函数y =2x(x >0)图象上的点,则x +y 的最小值为________.解析:因为x >0,所以y >0,且xy =2.由基本不等式得x +y ≥2xy =22,当且仅当x =y 时等号成立.答案:2 214.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,y ≥x ,3x +2y ≤15,则w =4x ·2y的最大值是________.解析:作出可行域,w =4x·2y=22x +y,要求其最大值,只需求出2x +y =t 的最大值即可,由平移可知t =2x +y 在A (3,3)处取得最大值t =2×3+3=9,故w =4x·2y的最大值为29=512.答案:51215.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x (x -2),则不等式xf (x )>0的解集为________.解析:当x >0时,由条件xf (x )>0得f (x )>0,即x (x -2)>0⇒x >2.因为f (x )为奇函数,图象关于原点对称,则当x <0时,由xf (x )>0得f (x )<0,则由图象(图略)可得x <-2.综上,xf (x )>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≤1,log 13x ,x >1,若对任意的x ∈R ,不等式f (x )≤m 2-34m 恒成立,则实数m 的取值范围为________.解析:由题意知,m 2-34m ≥f (x )max .当x >1时,f (x )=log 13x 是减函数,且f (x )<0;当x ≤1时,f (x )=-x 2+x ,其图象的对称轴方程是x =12,且开口向下,∴f (x )max =-14+12=14.∴m 2-34m ≥14,即4m 2-3m -1≥0,∴m ≤-14或m ≥1.答案:⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-14∪[1,+∞)。
高考数学大二轮复习专题一集合、复数、常用逻辑用语向量、算法第3讲不等式、线性规划练习理(最新整理)
2019年高考数学大二轮复习专题一集合、复数、常用逻辑用语向量、算法第3讲不等式、线性规划练习理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019年高考数学大二轮复习专题一集合、复数、常用逻辑用语向量、算法第3讲不等式、线性规划练习理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二篇专题一第3讲不等式、线性规划[限时训练·素能提升](限时45分钟,满分80分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·沧州二模)若错误!〈错误!〈0,给出下列不等式:①错误!〈错误!;②|a|+b〉0;③a-错误!〉b-错误!;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是A.①④ B.②③ C.①③ D.②④解析因为错误!<错误!<0,故可取a=-1,b=-2。
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D。
答案C2.设f(x)=错误!则不等式f(x)<2的解集为A.(错误!,+∞) B.(-∞,1)∪[2,错误!)C.(1,2]∪(错误!,+∞) D.(1,错误!)解析原不等式等价于错误!或错误!即错误!或错误!解得2≤x<错误!或x<1.答案B3.(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则f(2-x)>0的解集为A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4}解析由题意可知f(-x)=f(x),即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a,则f(x)=a(x-2)(x+2).又函数在(0,+∞)单调递增,所以a>0。
高考数学二轮复习第1部分专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式必考点文
专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式必考点一集合、常用逻辑用语[高考预测]——运筹帷幄1.以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集及补集的基本运算.2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围.3.考查全称命题、特称命题的否定,以及全称命题与特称命题的真假判断.4.考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题.[速解必备]——决胜千里1.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则(1)A的子集个数是2n;(2)A的真子集个数是2n-1;(3)A的非空子集个数是2n-1;(4)A的非空真子集个数是2n-2.2.(1)(∁R A)∩B=B⇔B⊆∁R A;(2)A∪B=B⇔A⊆B⇔A∩B=A;(3)∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);(4)∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).3.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可叙述为:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件.[速解方略]——不拘一格类型一集合的概念及运算[例1] (1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1}C.{-1,0,1} D.{0,1,2}解析:基本法:化简集合B,利用交集的定义求解.由题意知B={x|-2<x<1},所以A∩B={-1,0}.故选A.速解法:验证排除法:∵-1∈B,故排除B、D.∵1∉B,∴1∉A∩B,排除C.答案:A(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1 B.3C.5 D.9解析:基本法:用列举法把集合B中的元素一一列举出来.当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1;当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1;当x=2,y=2时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.故选C.速解法一:排除法:估算x-y值的可能性,排除不可能的结果.∵x∈A,y∈A,∴x-y=±1,x-y=±2.B中至少有四个元素,排除A、B,而D选项是9个元素.即3×3更不可能.故选C.速解法二:当x=y时,x-y=0;当x≠y时,x与y可以相差1,也可以相差2,即x-y=±1,x-y=±2.故B中共有5个元素,B={0,±1,±2}.故选C.答案:C方略点评:对于集合问题,可根据元素的特征采用排除法快速求解,注意数轴、Venn图的应用.1.(2016·河南郑州市高三质检)设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=( )A.{1,2,3} B.{1,2,4}C.{1,3,4} D.{2,3,4}解析:基本法:本题主要考查集合的基本运算.因为U={1,2,3,4},A∩B={4},所以∁U(A∩B)={1,2,3},故选A.速解法:∵A∩B={4}.∴4∉∁U(A∩B),排除B、C、D只能选A.答案:A2.(2016·高考全国甲卷)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3} D.{1,2}解析:基本法:(直接法)先化简集合B,再利用交集定义求解.∵x2<9,∴-3<x<3,∴B={x|-3<x<3}.又A ={1,2,3},∴A ∩B ={1,2,3}∩{x |-3<x <3}={1,2},故选D. 速解法:(代入检验法)12<9,22<9,32=9,且A ∩B ⊆A . 故A ∩B ={1,2},选D. 答案:D类型二 充分、必要条件[例2] (1) 函数f (x )在x =x 0处导数存在.若p :f ′(x 0)=0;q :x =x 0是f (x )的极值点,则( )A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件解析:基本法:利用命题和逆命题的真假来判断充要条件,注意判断为假命题时,可以采用反例法.当f ′(x 0)=0时,x =x 0不一定是f (x )的极值点,比如,y =x 3在x =0时,f ′(0)=0,但在x =0的左右两侧f ′(x )的符号相同,因而x =0不是y =x 3的极值点.由极值的定义知,x =x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)=0. 综上知,p 是q 的必要条件,但不是充分条件. 答案:C(2)“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4”是“函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4为单调递增函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:基本法:若函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4为单调递增函数,则-π2+2k π≤x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,即-3π4+2k π≤x ≤π4+2k π,k ∈Z .从而函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4+2k π,π4+2k π(k ∈Z ).因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4,则函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4为单调递增函数; 若函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4为单调递增函数⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4.所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4”是“函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4为单调递增函数”的充分不必要条件.故选A.速解法:当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4时⇒x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2⇒y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4为增函数,但y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4为增函数――→周期性⇒/ x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4.答案:A方略点评:1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系.第(1)题采用了特例(y =x 3)验证,第(2)题采用了“⇒”形式进行简单推理.2.先后顺序:“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ,且A 不能推出B ;而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ,且B 不能推出A .3.准确转化:若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则p 是q 的充分不必要条件;若綈p 是綈q 的充要条件,那么p 是q 的充要条件.1.已知x ∈R ,则“x 2-3x >0”是“x -4>0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件解析:基本法:判断x 2-3x >0⇒x -4>0还是x -4>0⇒x 2-3x >0.注意到x 2-3x >0⇔x <0或x >3,x -4>0⇔x >4.由x 2-3x >0不能得出x -4>0;反过来,由x -4>0可得出x 2-3x >0,因此“x 2-3x >0”是“x -4>0”的必要不充分条件.故选B. 答案:B速解法:利用反例和实数的运算符号寻找推导关系.如x =4时,满足x 2-3x >0,但不满足x -4>0,即不充分.若x -4>0,则x (x -3)>0,即必要.故选B. 答案:B2.(2016·高考山东卷)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件解析:根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断.由题意知a ⊂α,b ⊂β,若a ,b 相交,则a ,b 有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a ,b 的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案:A类型三 命题判定及否定[例3] (1)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n,则綈p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2n B .∃n ∈N ,n 2≤2nC .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n解析:基本法:因为“∃x ∈M ,p (x )”的否定是“∀x ∈M ,綈p (x )”,所以命题“∃n ∈N ,n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ,n 2≤2n ”.故选C.答案:C(2)已知命题p :∀x ∈R,2x <3x ;命题q :∃x ∈R ,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( ) A .p ∧q B .(綈p )∧qC .p ∧(綈q )D .(綈p )∧(綈q )解析:基本法:当x =0时,有2x =3x ,不满足2x <3x ,∴p :∀x ∈R,2x <3x是假命题. 如图,函数y =x 3与y =1-x 2有交点,即方程x 3=1-x 2有解,∴q :∃x ∈R ,x 3=1-x 2是真命题. ∴p ∧q 为假命题,排除A.∵綈p 为真命题,∴(綈p )∧q 是真命题.选B.速解法:当x =0时,不满足2x<3x,∴p 为假,排除A 、C.利用图象可知,q 为真,排除D ,必选B. 答案:B方略点评:1基本法是具体判断p ,綈p ,q ,綈q 的真假.速解法是利用“当p 、q 全真时,p ∧q 为真”的道理,利用逻辑关系排除. 2要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p x 成立,要判定其为假命题,只需举出一个反例即可.3要判定一个特称存在性命题为真命题,只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0,使得p x 0成立即可;否则,这一特称存在性命题就是假命题.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论.1.(2016·山西四校联考)已知命题p :∃x ∈R,2x >3x;命题q :∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,tan x >sinx ,则下列是真命题的是( )A .(綈p )∧qB .(綈p )∨(綈q )C .p ∧(綈q )D .p ∨(綈q )解析:基本法:先判断命题p 、q 的真假,然后根据选项得出正确结论. 当x =-1时,2-1>3-1,所以p 为真命题;当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,tan x -sin x =sin x 1-cos xcos x >0,所以q 为真命题,所以p ∨(綈q )是真命题,其他选项都不正确,故选D.速解法:p 为真时,p 或任何命题为真,故选D. 答案:D2.(2016·陕西西安市高三质检)已知命题p :∃x ∈R ,log 2(3x+1)≤0,则( ) A .p 是假命题;綈p :∀x ∈R ,log 2(3x+1)≤0 B .p 是假命题;綈p :∀x ∈R ,log 2(3x +1)>0 C .p 是真命题;綈p :∀x ∈R ,log 2(3x +1)≤0 D .p 是真命题;綈p :∀x ∈R ,log 2(3x +1)>0解析:基本法:本题主要考查命题的真假判断、命题的否定.∵3x>0,∴3x+1>1,则log 2(3x+1)>0,∴p 是假命题;綈p :∀x ∈R ,log 2(3x+1)>0.故应选B. 答案:B[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——直接法方法诠释直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择,从而确定正确选项的方法.适用范围 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.解题规律 基本法,单刀直入限时速解训练一 集合、常用逻辑用语(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7},集合A ={1,3,5,6},则∁U A =( )A .{1,3,5,6}B .{2,3,7}C .{2,4,7}D .{2,5,7}解析:选C.由补集的定义,得∁U A ={2,4,7}.故选C.2.已知集合A ={y |y =|x |-1,x ∈R },B ={x |x ≥2},则下列结论正确的是( ) A .-3∈A B .3∉B C .A ∩B =B D .A ∪B =B解析:选C.由题知A ={y |y ≥-1},因此A ∩B ={x |x ≥2}=B ,故选C. 3.设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1) D .(-∞,1]解析:选A.M ={x |x 2=x }={0,1},N ={x |lg x ≤0}= {x |0<x ≤1},M ∪N =[0,1],故选A.4.(2016·山东聊城模拟)集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4解析:选D.因为A ={0,2,a },B ={1,a 2},A ∪B ={0,1,2,4,16},所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2=16,a =4,则a =4.5.(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ,则“a >2”是“a 2>2a ”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.因为a >2,则a 2>2a 成立,反之不成立,所以“a >2”是“a 2>2a ”成立的充分不必要条件.6.已知集合A ={z ∈C |z =1-2a i ,a ∈R },B ={z ∈C ||z |=2},则A ∩B 等于( ) A .{1+3i,1-3i} B .{3-i} C .{1+23i,1-23i} D .{1-3i}解析:选A.问题等价于|1-2a i|=2,a ∈R ,解得a =±32.故选A. 7.已知命题p :对任意x >0,总有e x≥1,则綈p 为( ) A .存在x 0≤0,使得e x 0<1B .存在x 0>0,使得e x 0<1C .对任意x >0,总有e x<1 D .对任意x ≤0,总有e x<1解析:选B.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p :对任意x >0,总有e x≥1的否定綈p 为:存在x 0>0,使得e x 0<1.故选B.8.已知命题p :∃x 0∈R ,tan x 0=1,命题q :∀x ∈R ,x 2>0.下面结论正确的是( ) A .命题“p ∧q ”是真命题 B .命题“p ∧(綈q )”是假命题 C .命题“(綈p )∨q ”是真命题 D .命题“(綈p )∧(綈q )”是假命题解析:选D.取x 0=π4,有tan π4=1,故命题p 是真命题;当x =0时,x 2=0,故命题q 是假命题.再根据复合命题的真值表,知选项D 是正确的. 9.给出下列命题:①∀x ∈R ,不等式x 2+2x >4x -3均成立; ②若log 2x +log x 2≥2,则x >1;③“若a >b >0且c <0,则c a >c b”的逆否命题; ④若p 且q 为假命题,则p ,q 均为假命题. 其中真命题是( ) A .①②③ B .①②④ C .①③④ D .②③④解析:选A.①中不等式可表示为(x -1)2+2>0,恒成立; ②中不等式可变为log 2x +1log 2x≥2,得x >1;③中由a >b >0,得1a <1b,而c <0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;④由p 且q 为假只能得出p ,q 中至少有一个为假,④不正确.10.(2016·山东济南模拟)设A ,B 是两个非空集合,定义运算A ×B ={x |x ∈A ∪B ,且x ∉A ∩B }.已知A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =2x ,x >0},则A ×B =( )A .[0,1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪[2,+∞) C .[0,1] D .[0,2]解析:选A.由题意得A ={x |2x -x 2≥0}={x |0≤x ≤2},B ={y |y >1},所以A ∪B =[0,+∞),A ∩B =(1,2],所以A ×B =[0,1]或(2,+∞).11.“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交”是“0<b <1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B.若“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交”,则圆心到直线的距离为d =|b |2<1,即|b |<2,不能得到0<b <1;反过来,若0<b <1,则圆心到直线的距离为d =|b |2<12<1,所以直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交,故选B. 12.(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ,x 20+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+1≤3x ”;②“函数f (x )=cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件; ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b <0”. A .1 B .2 C .3 D .4解析:选B.易知①正确;因为f (x )=cos 2ax ,所以2π|2a |=π,即a =±1,因此②正确;因为x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x +2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x +2)min ,x ∈[1,2],因此③不正确;因为钝角不包含180°,而由a·b <0得向量夹角包含180°,因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b <0且a 与b 不反向”,故④不正确. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13.若关于x 的不等式|x -m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3,则实数m 的取值范围是________.解析:由|x -m |<2得-2<x -m <2,即m -2<x <m +2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m -2<x <m +2}的真子集,于是有⎩⎪⎨⎪⎧m -2<2m +2>3,由此解得1<m <4,即实数m 的取值范围是(1,4).答案:(1,4)14.若命题“∃x 0∈R ,x 20-2x 0+m ≤0”是假命题,则m 的取值范围是________.解析:由题意,命题“∀x ∈R ,x 2-2x +m >0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m <0,即m >1. 答案:(1,+∞)15.已知p :∃x 0∈R ,mx 20+2≤0,q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是________.解析:因为p ∨q 是假命题, 所以p 和q 都是假命题.由p :∃x 0∈R ,mx 20+2≤0为假命题知, 綈p :∀x ∈R ,mx 2+2>0为真命题, 所以m ≥0.①由q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0为假命题知, 綈q :∃x 0∈R ,x 20-2mx 0+1≤0为真命题,所以Δ=(-2m )2-4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤-1或m ≥1.②由①和②得m ≥1. 答案:[1,+∞)16.下列四个命题中,真命题有________.(写出所有真命题的序号)①若a ,b ,c ∈R ,则“ac 2>bc 2”是“a >b ”成立的充分不必要条件;②命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0+1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x +1≥0”;③命题“若|x |≥2,则x ≥2或x ≤-2”的否命题是“若|x |<2,则-2<x <2”;④函数f (x )=ln x +x -32在区间(1,2)上有且仅有一个零点.解析:①若c =0,则不论a ,b 的大小关系如何,都有ac 2=bc 2,而若ac 2>bc 2,则有a >b ,故“ac 2>bc 2”是“a >b ”成立的充分不必要条件,故①为真命题;②特称命题的否定是全称命题,故命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0+1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x +1≥0”,故②为真命题;③命题“若p ,则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ,则綈q ”,故命题“若|x |≥2,则x ≥2或x ≤-2”的否命题是“若|x |<2,则-2<x <2”,故③为真命题;④由于f (1)f (2)=⎝⎛⎭⎪⎫ln 1+1-32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2+2-32=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2+12<0,则函数f (x )=ln x +x -32在区间(1,2)上存在零点,又函数f (x )=ln x +x -32在区间(1,2)上为增函数,所以函数f (x )=ln x+x -32在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故④为真命题.答案:①②③④必考点二 平面向量、复数运算[高考预测]——运筹帷幄1.用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算. 2.复数的代数形式的四则运算及几何意义. [速解必备]——决胜千里1.向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则A ,B ,P 三点共线的充要条件是OP →=λ1OA →+λ2OB →(其中λ1+λ2=1).2.三角形中线向量公式:若P 为△OAB 的边AB 的中点,则向量OP →与向量OA →、OB →的关系是OP →=12(OA →+OB →).3.三角形重心坐标的求法:G 为△ABC 的重心⇔GA →+GB →+GC →=0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A +x B +x C 3,y A +y B +y C 3.OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →⇔O 为△ABC 垂心. 4.a ⊥b ⇔a ·b =0(a ≠0,b ≠0). 5.i 4n=1,i4n +1=i ,i4n +2=-1,i4n +3=-i.6.z ·z =|z |2,(1+i)2=2i ,(1-i)2=-2i ,1+i 1-i =i ,1-i 1+i =-i.[速解方略]——不拘一格类型一 平面向量的概念及线性运算[例1] (1)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →=(-4,-3),则向量BC →=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4)解析:基本法:设C (x ,y ),则AC →=(x ,y -1)=(-4,-3),所以⎩⎪⎨⎪⎧x =-4,y =-2,从而BC →=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.速解法:∵AB →=(3,2)-(0,1)=(3,1), BC →=AC →-AB →=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 答案:A方略点评:1.基本法是设出点C 坐标,并利用AC →=(-4,-3)求出点C 坐标,然后计算BC →的坐标.速解法是利用向量减法的意义:BC →=AC →-AB →.2.向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”;平行四边形法则要保证两向量“共起点”,结合几何法、代数法(坐标)求解.(2)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →+FC →=( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解析:基本法一:设AB →=a ,AC →=b ,则EB →=-12b +a ,FC →=-12a +b ,从而EB →+FC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12b +a +⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a +b =12(a +b )=AD →,故选A.基本法二:如图,EB →+FC →=EC →+CB →+FB →+BC →=EC →+FB →=12(AC →+AB →)=12·2AD →=AD →. 答案:A方略点评:基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三角形法则进行运算.1.(2016·河北唐山市高三统考)在等腰梯形ABCD 中,AB →=-2CD →,M 为BC 的中点,则AM →=( )A.12AB →+12AD →B.34AB →+12AD →C.34AB →+14AD →D.12AB →+34AD → 解析:基本法:由于M 为BC 的中点,所以AM →=12(AB →+AC →)=12(AB →+AD →+DC →)=12(AB →+AD →+12AB →)=34AB →+12AD →,故选B. 答案:B2.(2016·高考全国甲卷)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =________. 解析:基本法:∵a ∥b ,∴a =λb 即(m,4)=λ(3,-2)=(3λ,-2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3λ,4=-2λ,故m =-6.速解法:根据向量平行的坐标运算求解: ∵a =(m,4),b =(3,-2),a ∥b ∴m ×(-2)-4×3=0 ∴-2m -12=0,∴m =-6. 答案:-6类型二 平面向量数量积的计算与应用[例2] (1)向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a +b )·a =( ) A .-1 B .0 C .1 D .2解析:基本法:因为2a +b =2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a +b )·a =(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C. 速解法:∵a =(1,-1),b =(-1,2),∴a 2=2,a·b =-3, 从而(2a +b )·a =2a 2+a·b =4-3=1.故选C. 答案:C方略点评:1.基本法是把2a +b 看作一个向量,求其坐标,最终用坐标法求数量积.速解法是通过展开(2a +b )·b ,分别计算a 2及a ·b ,较简单.2.当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时,其数量积的计算可利用定义法;当向量以坐标形式出现时,其数量积的计算用坐标法;如果建立坐标系,表示向量的有向线段可用坐标表示,计算向量较简单.(2)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE →·BD →=________. 解析:基本法:以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积. AE →=AD →+12AB →,BD →=AD →-AB →,∴AE →·BD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →+12AB →·(AD →-AB →)=|AD →|2-12|AB →|2=22-12×22=2.速解法:(坐标法)先建立平面直角坐标系,结合向量数量积的坐标运算求解.如图,以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,AD 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,2),E (1,2),∴AE →=(1,2),BD →=(-2,2), ∴AE →·BD →=1×(-2)+2×2=2. 答案:2方略点评:1.向量的模的求法一是根据向量的定义,二是将向量的模转化为三角形的某条边求其长.2.求非零向量a ,b 的夹角一般利用公式cos 〈a ,b 〉=a ·b|a ||b |先求出夹角的余弦值,然后求夹角.也可以构造三角形,将所求夹角转化为三角形的内角求解,更为直观形象.1.(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,则∠ABC =( )A .30° B.45° C .60° D.120°解析:基本法:根据向量的夹角公式求解.∵BA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,∴|BA →|=1,|BC →|=1,BA →·BC →=12×32+32×12=32,∴cos ∠ABC =cos 〈BA →,BC →〉=BA →·BC →|BA →|·|BC →|=32.∵0°≤〈BA →,BC →〉≤180°,∴∠ABC =〈BA →,BC →〉=30°.速解法:如图,B 为原点,则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32∴∠ABx =60°,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12∠CBx =30°,∴∠ABC =30°. 答案:A2.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b .若b·c =0,则t =________. 解析:基本法:∵b ·c =0,∴b ·[t a +(1-t )b ]=0,t a·b +(1-t )·b 2=0, 又∵|a |=|b |=1,〈a ,b 〉=60°, ∴12t +1-t =0,t =2. 速解法:由t +(1-t )=1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线,在平面直角坐标系中设a =(1,0),b =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,则c =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-32.把a 、b 、c 的坐标代入c =t a +(1-t )b ,得t =2.答案:2类型三 复数的代数运算及几何意义[例3] (1)设复数z 满足1+z1-z =i ,则|z |=( )A .1 B. 2 C. 3 D .2解析:基本法:由已知1+z1-z =i ,可得z =i -1i +1=i -12i +1i -1=-2i-2=i ,∴|z |=|i|=1,故选A. 速解法:∵1+i1-i =i ,∴z =i ,∴|z |=1.答案:A方略点评:1.基本法是利用解方程思想求出未知数z . 速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出z .2.复数的代数形式的运算,类比于多项式的乘除法与合并同类项,只是利用z z =|z |2,把i 2换为-1,复数除法的关键是将分母实数化.3.与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题,可设z =a +b i(a ,b ∈R ),利用待定系数法求解.(2)若a 为实数,且(2+a i)(a -2i)=-4i ,则a =( ) A .-1 B .0 C .1 D .2解析:基本法:∵(2+a i)(a -2i)=-4i ⇒4a +(a 2-4)i =-4i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧4a =0,a 2-4=-4,解得a =0.速解法:检验法:将a =0代入适合题意,故选B. 答案:B方略点评:1.基本法是利用复数相等的条件求解,速解法是代入检验排除法,较简单.2.利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用,是解决复数问题的常用方法.1.(2016·高考全国乙卷)设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a =( ) A .-3 B .-2 C .2 D .3解析:基本法:先化简复数,再根据实部与虚部相等列方程求解.(1+2i)(a +i)=a -2+(1+2a )i ,由题意知a -2=1+2a ,解得a =-3,故选A. 答案:A2.若a 为实数,且2+a i 1+i =3+i ,则a =( )A .-4B .-3C .3D .4解析:基本法:由已知得2+a i =(1+i)(3+i)=2+4i ,所以a =4,故选D. 答案:D[终极提升]——登高博见 速解选择题方法——排除法方法诠释排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是答案唯一,具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”,将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除,从而获得正确结论.适用范围这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较烦琐的情况.解题规律(1)对于干扰项易于淘汰的选择题,可采用排除法,能剔除几个就先剔除几个. (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项. (3)如果选项中存在等效命题,那么根据规定——答案唯一,等效命题应该同时排除. (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断,那么其中至少有一个是假的. (5)如果选项之间存在包含关系,要根据题意才能判断.限时速解训练二 平面向量、复数运算(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.若复数z =i(3-2i)(i 是虚数单位),则z =( ) A .2-3i B .2+3i C .3+2i D .3-2i解析:选A.∵z =i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i ,所以z =2-3i ,故选A. 2.在△ABC 中,(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,则△ABC 的形状一定是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形解析:选C.由(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2得(BC →+BA →-AC →)·AC →=0,则2BA →·AC →=0,即BA ⊥AC ,故选C. 3.已知1-i2z=1+i(i 为虚数单位),则复数z =( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i解析:选D.z =1-i21+i=-2i 1+i =-2i 1-i 1+i 1-i=-1-i. 4.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD →·CD →=( ) A .-32a 2 B .-34a 2C.34a 2D.32a 2解析:选D.BD →·CD →=(BC →+CD →)·CD →=BC →·CD →+CD →2=12a 2+a 2=32a 2.5.(2016·广西南宁适应性测试)已知i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,若(1-i)z =2,则z 为( ) A .1+i B .1-i C .2+i D .2-i 解析:选B.依题意得z =21-i =21+i1-i 1+i=1+i ,∴z =1-i ,选B. 6.若向量AB →=(2,4),AC →=(1,3),则BC →=( ) A .(1,1) B .(-1,-1) C .(3,7) D .(-3,-7)解析:选B.因为AB →=(2,4),AC →=(1,3),所以BC →=AC →-AB →=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),故选B.7.i 为虚数单位,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2 018=( )A .-iB .-1C .iD .1 解析:选B.因为⎝⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2 018=(i 2)1 009=(-1)1 009=-1.8.已知点A (-1,1)、B (1,2)、C (-2,-1)、D (3,4),则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C .-322D .-3152解析:选A.AB →=(2,1),CD →=(5,5),|CD →|=52, 故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|=1552=32 2.9.(2016·陕西西安质检)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称,且z 1=3-2i ,则z 1·z 2=( ) A .-5+12i B .-5-12i C .-13+12i D .-13-12i解析:选A.z 1=3-2i ,由题意知z 2=-3+2i , ∴z 1·z 2=(3-2i)·(-3+2i)=-5+12i ,故选A.10.(2016·辽宁沈阳质检)在△ABC 中,|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,AB =2,AC =1,E ,F 为BC 的三等分点,则AE →·AF →=( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析:选B.由|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,化简得AB →·AC →=0,又因为AB 和AC 为三角形的两条边,它们的长不可能为0,所以AB →与AC →垂直,所以△ABC 为直角三角形.以AC 所在直线为x 轴,以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A (0,0),B (0,2),C (1,0).不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点,则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23, F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43,所以AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43,所以AE →·AF →=23×13+23×43=109.11.(2016·辽宁五校联考)已知复数z =1+i ,则z 2-2zz -1=( )A .-2iB .2iC .-2D .2解析:选B.z 2-2z z -1=1+i2-21+i i =-2i=2i ,故选B.12.设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |=( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10解析:选B.由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ,b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x -4=0,2y +4=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-2,∴a =(2,1),b =(1,-2),a +b =(3,-1), ∴|a +b |=10,故选B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=________. 解析:∵λa +b =0,即λa =-b ,∴|λ||a |=|b |. ∵|a |=1,|b |=5,∴|λ|= 5. 答案: 514.设复数a +b i(a ,b ∈R )的模为3,则(a +b i)(a -b i)=__________.解析:复数a +b i(a ,b ∈R )的模为a 2+b 2=3,则a 2+b 2=3,则(a +b i)(a -b i)=a 2-(b i)2=a 2-b 2·i 2=a 2+b 2=3. 答案:315.已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3,则OA →·OB →=__________. 解析:∵OA →⊥AB →,∴OA →·AB →=0, 即OA →·(OB →-OA →)=0, ∴OA →·OB →=OA →2=9. 答案:916.i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a +i)是纯虚数,则实数a 的值为________. 解析:∵(1-2i)(a +i)=2+a +(1-2a )i 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-2a ≠0,2+a =0,解得a =-2.答案:-2必考点三 算法、框图与推理[高考预测]——运筹帷幄1.根据框图的程序进行结果的求解,判断条件的补写、完善过程. 2.以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理. [速解必备]——决胜千里 1.程序框图中有S =S +12i -12i +1,i =i +1时,表示数列裂项求和.2.程序中有“S =S +2n+n ,n =n +1”表示等比数列与等差数列求和. 3.三角形数N (n,3)=12n 2+12n (第n 个三角形数)四边形数N (n,4)=n 2(第n 个四边形数) 五边形数N (n,5)=32n 2+-12n (第n 个五边形数)k 边形数N (n ,k )=⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2-1n 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2-2n (k ≥3)(第n 个k 边形数)4.类比推理常见的类比内容 平面几何中的点↔空间几何中的线 平面几何中的线↔空间几何中的面 平面几何中的三角形↔空间几何中的三棱锥 平面几何中的圆↔空间几何中的球 [速解方略]——不拘一格类型一 求算法与框图的输入或输出值[例1] (1)执行下面的程序框图,如果输入的t =0.01,则输出的n =( )A .5B .6C .7D .8解析:基本法:逐次运行程序,直至输出n . 运行第一次:S =1-12=12=0.5,m =0.25,n =1,S >0.01;运行第二次:S =0.5-0.25=0.25,m =0.125,n =2,S >0.01;运行第三次:S =0.25-0.125=0.125,m =0.062 5,n =3,S >0.01; 运行第四次:S =0.125-0.062 5=0.062 5,m =0.031 25,n =4,S >0.01; 运行第五次:S =0.031 25,m =0.015 625,n =5,S >0.01; 运行第六次:S =0.015 625,m =0.007 812 5,n =6,S >0.01;运行第七次:S=0.007 812 5,m=0.003 906 25,n=7,S<0.01.输出n=7.故选C.速解法:由框图可知S=1-121-122-123-124-…-12n=1-12⎝⎛⎭⎪⎫1-12n1-12=12n≤0.01输出n,∴2n≥100,∴n的最小值为7.答案:C方略点评:1.基本法是按程序一次次循环计算,当不满足条件时跳出循环得出结果.2.速解法是归纳S=S-m的运算规律利用数列求和进行估算,稍简单一点.(2)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0 B.2C.4 D.14解析:基本法:逐次运行程序,直至程序结束得出a值.a=14,b=18.第一次循环:14≠18且14<18,b=18-14=4;第二次循环:14≠4且14>4,a=14-4=10;第三次循环:10≠4且10>4,a=10-4=6;第四次循环:6≠4且6>4,a=6-4=2;第五次循环:2≠4且2<4,b=4-2=2;第六次循环:a=b=2,跳出循环,输出a=2,故选B.速解法:“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数,本题求14,18的最大公约数,结合选项知为2,选B.答案:B方略点评:1.基本法是按更相减损术的运算过程逐步求解.速解法是利用更相减损术的作用和公约数的定义直接得答案,显然简单.2.求输出结果的题目,要认清输出变量是什么,有的是求函数值,有的是求和、差、积、商的运算结果,有的是计数变量等.1.(2016·高考全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7 B.12C.17 D.34解析:基本法:逐次运行程序,直到满足条件时输出s值终止程序.输入x=2,n=2.第一次,a=2,s=2,k=1,不满足k>n;第二次,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>n;第三次,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足k>n,输出s=17.答案:C2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数n后,输出的S∈(10,20),那么n的值为( )A.3 B.4C .5D .6解析:基本法:依据初始条件,逐步求出S 的值,判断n 的值. 由S =0,k =1得S =1,k =2,应该为否,即2≤n ⇒S =1+2×1=3,k =3为否,即3≤n ⇒S =1+2×3=7,k =4为否,即4≤n ⇒S =1+2×7=15,k =5为是,即5>n 综上,4≤n <5,∴n =4.故选B.速解法:先读出框图的计算功能,再结合等比数列求和公式求解. 框图功能为求和,即S =1+21+22+…+2n -1.由于S =1×1-2n1-2=2n-1∈(10,20),∴10<2n-1<20,∴11<2n<21, ∴n =4,即求前4项和.∴判断框内的条件为k >4,即n =4.故选B. 答案:B类型二 补写、完善程序框图[例2] (1)执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是( )A .s ≤34?B .s ≤56?C .s ≤1112?D .s ≤2524?解析:基本法:由s =0,k =0满足条件,则k =2,s =12,满足条件;k =4,s =12+14=34,满足条件;k =6,s =34+16=1112,满足条件;k =8,s =1112+18=2524,不满足条件,输出k =8,所以应填s ≤1112.速解法:由题意可知S =12+14+16+18=2524,此时输出8,是不满足条件,故选C.答案:C方略点评:基本法是按程序过程逐步判断是否满足条件速解法是归纳了s =s +1k的作用求和直接验算.(2)阅读如下程序框图,如果输出i =5,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )解析:基本法:当i =2时,S =2×2+1=5<10;当i =3时,仍然循环,排除D ;当i =4时,S =2×4+1=9<10;当i =5时,不满足S <10,即此时S ≥10,输出i .此时A 项求得S =2×5-2=8,B 项求得S =2×5-1=9,C 项求得S =2×5=10,故只有C 项满足条件.故选C.答案:C方略点评:1.基本法是根据框图的程序对i 的取值验证,速解法是根据当s ≥10时,输出的i 值验证答案.2.循环结构有当型循环和直到型循环.当型循环是当满足条件时执行循环体.直到型循环是直到满足条件时才跳出循环.3.首先看懂每个图形符号的意义和作用,其次试走几步循环体,体会循环体的内容和功能,最后利用判断框中的条件确定循环的次数.1.给出30个数:1,2,4,7,11,16,…,要计算这30个数的和.下图给出了该问题的程序框图,那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A.i≤30?和p=p+i-1B.i≤31?和p=p+i+1C.i≤31?和p=p+iD.i≤30?和p=p+i解析:基本法:由题可知,程序要执行30次.所以①处应填i≤30?,②处应填p=p+i. 答案:D2.如图,给出的是计算12+14+16+…+12 016的值的程序框图,其中判断框内应填入的是( )A.i≤2 021? B.i≤2 019?C.i≤2 017? D.i≤2 015?解析:基本法:由题知,判断框内可填“i≤2016?”或“i≤2017?”或“i<2017?”或“i<2018?”,故选C.答案:C类型三合情推理、演绎推理[例3] (1)(2016·高考全国甲卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.解析:基本法:根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知,乙的卡片不含1,所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知,甲的卡片上的数字是1和3. 答案:1和3 (2)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, …,照此规律, 第n 个等式可为________. 解析:基本法:12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3,12-22+32-42=-(1+2+3+4), …,12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1(1+2+…+n )=(-1)n +1n n +12.速解法:设a 1=1,a 2=3,a 3=6,a 4=10 即a 1=1×1+12,a 2=2×2+12,a 3=3×3+12,a 4=4×4+12, 其符号规律为(-1)n +1∴第n 个等式右侧为(-1)n +1n n +12.答案:12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1n n +12方略点评:1.基本法是分析式子的特点归纳出运算方法,利用数列求和. 速解法是直接归纳“=”右侧的数字规律,较为简单.2.在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.3.在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比。
专题一 集合与常用逻辑用语-2020版数学(理)二轮复习
专题01 集合与常用逻辑用语§1-1 集 合【知识要点】1.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.2.集合常用的两种表示方法:列举法和描述法,另外还有大写字母表示法,图示法(韦恩图),一些数集也可以用区间的形式表示.3.两类不同的关系:(1)从属关系——元素与集合间的关系;(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况). 4.集合的三种运算:交集、并集、补集. 【复习要求】1.对于给定的集合能认识它表示什么集合.在中学常见的集合有两类:数集和点集. 2.能正确区分和表示元素与集合,集合与集合两类不同的关系. 3.掌握集合的交、并、补运算.能使用韦恩图表达集合的关系及运算. 4.把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等. 【例题分析】例1 给出下列六个关系:(1)0∈N * (2)0∉{-1,1} (3)∅∈{0} (4)∅∉{0} (5){0}∈{0,1} (6){0}⊆{0} 其中正确的关系是______.例2 已知全集U ={小于10的正整数},其子集A ,B 满足条件(U A )∩(U B )={1,9},A ∩B ={2},B ∩(U A )={4,6,8}.求集合A ,B .例3 设集合M ={x |-1≤x <2},N ={x |x <a }.若M ∩N =∅,则实数a 的取值范围是______.例4 设a ,b ∈R ,集合},,0{},,1{b aba b a =+,则b -a =______.练习1-1一、选择题1.给出下列关系:①R ∈21;②2∉Q ;③|-3|∉N *;④Q ∈-|3|.其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42.已知M ={(x ,y )|x >0且y >0},N ={(x ,y )|xy >0},则M ,N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M =N(D)M ∩N =∅3.已知全集U =N ,集合A ={x |x =2n ,n ∈N },B ={x |x =4n ,n ∈N },则下式中正确的关系是( ) (A)U =A ∪B (B)U =(U A )∪B (C)U =A ∪(U B ) (D)U =(U A )∪(U B )二、填空题4.已知集合A ={x |x <-1或2≤x <3},B ={x |-2≤x <4},则A ∪B =______. 5.设M ={1,2},N ={1,2,3},P ={c |c =a +b ,a ∈M ,b ∈N },则集合P 中元素的个数为______.6.设全集U =R ,A ={x |x ≤-3或x ≥2},B ={x |-1<x <5},则(U A )∩B =______.三、解答题7.设全集U ={小于10的自然数},集合A ,B 满足A ∩B ={2},(U A )∩B ={4,6,8},(U A )∩(U B )={1,9},求集合A 和B .8.已知集合A ={x |-2≤x ≤4},B ={x |x >a },①A ∩B ≠∅,求实数a 的取值范围; ②A ∩B ≠A ,求实数a 的取值范围;③A ∩B ≠∅,且A ∩B ≠A ,求实数a 的取值范围.§1-2 常用逻辑用语【复习要求】1.理解命题的概念.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3.理解全称量词与存在量词的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题,并判断它们的真假.(1)p:0∈N,q:1∉N;(2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线相互平分.例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.(1)若a2+b2=0,则ab=0;(2)若A∩B=A,则A B.例3 指出下列语句中,p是q的什么条件,q是p的什么条件.(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x=2;(2)p:a≥2;q:a≠0.例4设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件例5命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R,x3-x2+1≤0,(B)存在x∈R,x3-x2+1≤0(C)存在x∈R,x3-x2+1>0 (D)对任意的x∈R,x3-x2+1>0练习1-2一、选择题1.下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z,1<4x<3 (B)∃x∈Z,3x-1=0(C)∀x∈R,x2-1=0 (D)∀x∈R,x2+2x+2>02.如果“p或q”与“非p”都是真命题,那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3.已知a为正数,则“a>b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.“A是B的子集”可以用下列数学语言表达:“若对任意的x∈A⇒x∈B,则称A⊆B”.那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )(A)若∀x∈A但x∉B,则称A不是B的子集(B)若∃x∈A但x∉B,则称A不是B的子集(C)若∃x∉A但x∈B,则称A不是B的子集(D)若∀x∉A但x∈B,则称A不是B的子集二、填空题5.“⌝p是真命题”是“p∨q是假命题的”__________________条件.6.命题“若x<-1,则|x|>1”的逆否命题为_________.7.已知集合A,B是全集U的子集,则“A⊆B”是“U B⊆U A”的______条件.8.设A、B为两个集合,下列四个命题:①A B⇔对任意x∈A,有x∉B②A B⇔A∩B=∅③A B⇔A B④A B⇔存在x∈A,使得x∉B其中真命题的序号是______.(把符合要求的命题序号都填上)习题1一、选择题1.命题“若x 是正数,则x =|x |”的否命题是( ) (A)若x 是正数,则x ≠|x | (B)若x 不是正数,则x =|x | (C)若x 是负数,则x ≠|x |(D)若x 不是正数,则x ≠|x |2.若集合M 、N 、P 是全集U 的子集,则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3.“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定...成立的是( ) (A)ab >ac (B)c (b -a )<0(C)cb 2<ab 2(D)ac (a -c )<0二、填空题5.若全集U ={0,1,2,3}且U A ={2},则集合A =______.6.命题“∃x ∈A ,但x ∉A ∪B ”的否定是____________.7.已知A ={-2,-1,0,1},B ={y |y =|x |,x ∈A },则B =____________. 8.已知集合A ={x |x 2-3x +2<0},B ={x |x <a },若A B ,则实数a 的取值范围是____________.9.设a ,b 是两个实数,给出下列条件:①a +b >1;②a +b =2;③a +b >2; ④a 2+b 2>2;⑤ab >1,其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是______.(写出所有正确条件的序号)。
高考数学二轮复习 第1部分 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式 3
限时速解训练三算法、框图及推理(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.请仔细观察1,1,2,3,5,( ),13,运用合情推理,可知写在括号里的数最可能是( ) A.8 B.9C.10 D.11解析:选 A.观察题中所给各数可知,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,13=5+8,∴括号中的数为8.故选A.2.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无理数;结论:π是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无限不循环小数;结论:π是无理数C.大前提:π是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π是无理数D.大前提:π是无限不循环小数;小前提:π是无理数;结论:无限不循环小数是无理数解析:选B.对于A,小前提与结论互换,错误;对于B,符合演绎推理过程且结论正确;对于C和D,均为大前提错误,故选B.3.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出的i的值为( )A.3 B.4C.5 D.6解析:选B.第一次执行,有i=1,a=2;第二次执行,有i=2,a=5;第三次执行,有i =3,a=16;第四次执行,有i=4,a=65.此时满足条件a>50,跳出循环,故选B. 4.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为2,则输出的y的值为( )A.2 B.5C.11 D.23解析:选 D.x=2,y=5,|2-5|=3<8;x=5,y=11,|5-11|=6<8;x=11,y=23,|11-23|=12>8.满足条件,输出的y的值为23,故选D.5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( )A.f(x) B.-f(x)C.g(x) D.-g(x)解析:选D.由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,从而g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x).6.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c.类比这个结论可知:四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体SABC的体积为V,则R等于( )A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4解析:选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥,其高都是R,四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积,因此V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R,解得R=3VS1+S2+S3+S4.7.按照如图所示的程序框图执行,若输出的结果为15,则M处的条件为( )A .k ≥16B .k <8C .k <16D .k ≥8解析:选A.根据框图的循环结构依次可得S =0+1=1,k =2×1=2;S =1+2=3,k =2×2=4;S =3+4=7,k =2×4=8;S =7+8=15,k =2×8=16,根据题意此时跳出循环,输出S =15.所以M 处的条件应为k ≥16.故A 正确.8.执行如图所示的程序框图,若输出结果为3,则可输入的实数x 的值的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选C.由题意,知y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1,x ≤2,log 2x ,x >2.当x ≤2时,由x 2-1=3,得x 2=4,解得x=±2.当x >2时,由log 2x =3,得x =8.所以可输入的实数x 的值的个数为3.9.如图给出的是计算12+14+16+…+120的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )A .i >10B .i <10C .i >20D .i <20解析:选A.12+14+16+…+120是10个数的和,通过对程序框图的分析,可知选A.10.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={5n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 018∈[3]; ②-2∈[2];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”. 其中正确结论的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C.因为2 018=403×5+3,所以2 018∈[3],①正确;-2=-1×5+3,-2∈[3],所以②不正确;因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类,所以③正确;整数a ,b 属于同一“类”,因为整数a ,b 被5除的余数相同,从而a -b 被5除的余数为0,反之也成立,故整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”,故④正确.所以正确的结论有3个,故选C.11.如图(1)是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1,A 2,…,A 10(如A 2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图.现要统计身高在160~180 cm(含160 cm ,不含180 cm)的学生人数,则在流程图中的判断框内应填写( )A .i <6?B .i <7?C .i <8?D .i <9?解析:选C.统计身高在160~180 cm 的学生人数,即求A 4+A 5+A 6+A 7的值.当4≤i ≤7时,符合要求.12.对于函数f (x ),若存在非零常数a ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x )=f (2a -x ),则称f (x )为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A .f (x )=xB .f (x )=x 2C .f (x )=tan xD .f (x )=cos(x +1)解析:选D.∵f (x )=f (2a -x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =a 对称(a ≠0).A :函数图象不关于某直线对称;B :函数图象关于y 轴对称,即关于直线x =0对称;C :函数图象不关于某直线对称;D :函数图象关于直线x =k π-1,k ∈Z 对称,符合题意,故选D. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,根据上述规律,第n个不等式应该为________.解析:不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和,即1+122+…+1n +2,不等式的右边为2n +1n +1.答案:1+122+…+1n +2<2n +1n +114.执行如图所示的流程图,则输出的k 的值为________.解析:由流程图知:S =1>6?否,k =2; S =2>6?否,k =3; S =6>6?否,k =4;S =15>6?是,退出循环,输出的k 的值为4.答案:415.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果S =________.解析:由程序框图知,S 可看成一个数列{a n }的前2 015项和,其中a n =1nn +(n ∈N *,n ≤2 015),∴S =11×2+12×3+…+12 015×2 016=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015-12 016=1-12 016=2 0152 016.故输出的是2 0152 016. 答案:2 0152 01616.观察下列等式:1=1,1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,……,由以上可推测出一个一般性结论:对于n ∈N *,1+2+…+n +…+2+1=________. 解析:∵1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,……,∴归纳可得1+2+…+n +…+2+1=n 2. 答案:n 2。
高三数学二轮复习第一篇专题突破专题一集合常用逻辑用语平面向量复数不等式算法推理与证明计数原理第3讲不
产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品
A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料1
50 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B
的利润之和的最大值为
元.
答案 216 000 解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+90 0y.
随堂检测
1.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是 ( )
A. 1 < 1
ab
B.ab<b2
C.-ab<-a2
D.- 1<- 1
ab
答案 D 解法一(利用不等式性质求解):A项,由a<b<0,得b-a>0,ab>0,
故 1 - 1 = b a >0,即 1 > 1 ,故A项错误;B项,由a<b<0,得b(a-b)>0,故ab>b2,故
1.5x 0.5y 150, 3x y 300,
根据题意得
x 0.3y 90, 5x 3y 600,
即
10x 3y 900, 5x 3y 600,
x, y N,
x, y N,
可行域为图中阴影区域的整点.
由 150xx33yy690000, 得 xy
60, 100.
当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,
a b ab
ab
B项错误;C项,由a<b<0,得a(a-b)>0,即a2>ab,故-ab>-a2,故C项错误;D项,由
C.[-4,2] D.[-2,4]
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专题能力训练3 平面向量与复数能力突破训练1.(全国Ⅰ,理3)设有下面四个命题p 1:若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ;p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=z 2; p 4:若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 42.设a ,b 是两个非零向量,则下列结论一定成立的为( ) A.若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b B.若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λaD.若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b |3.若z=1+2i,则zz -1=( )A.1B.-1C.iD.-i4.在复平面内,若复数z 的对应点与5i1+2i 的对应点关于虚轴对称,则z=( ) A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i5.已知向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a+b )·a =( ) A.-1 B.0 C.1 D.26.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题: p 1:|z|=2,p 2:z 2=2i,p 3:z 的共轭复数为1+i,p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 2,p 4 D.p 3,p 47.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-3a 2B.-3a 2C.34a 2D.32a 28.已知非零向量m ,n 满足4|m |=3|n |,cos <m ,n >=13.若n ⊥(t m +n ),则实数t 的值为( ) A .4B .-4C .94D .-949.(浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 310.(全国Ⅰ,理13)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |= .11.(天津,理13)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 12.设a ∈R ,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .13.(浙江,12)已知a ,b ∈R ,(a+b i)2=3+4i(i 是虚数单位),则a 2+b 2= ,ab= .14.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,|AD|=12|AB|,|BE|=23|BC|.若DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 思维提升训练 15.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( ) A .-23 B .-13C .13D .2316.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( ) A.13 B.15C.19D.2117.已知两点M (-3,0),N (3,0),点P 为坐标平面内一动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则动点P (x ,y )到点M (-3,0)的距离d 的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.618.(浙江,15)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是 ,最大值是 .19.在任意四边形ABCD 中,E ,F 分别是AD ,BC 的中点,若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 20.(天津,理9)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若a -i2+i 为实数,则a 的值为 .参考答案专题能力训练3 平面向量与复数能力突破训练1.B 解析p 1:设z=a+b i(a ,b ∈R ),则1z =1a+bi =a -bia 2+b2∈R ,所以b=0,所以z ∈R .故p 1正确;p 2:因为i 2=-1∈R ,而z=i ∉R ,故p 2不正确;p 3:若z 1=1,z 2=2,则z 1z 2=2,满足z 1z 2∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p 3不正确; p 4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p 4正确.2.C 解析设向量a 与b 的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a ⊥b 不成立;对于B,满足a ⊥b 时|a +b |=|a |-|b |不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D 显然不一定成立.3.C 解析由题意知z =1-2i,则zz -1=4i(1+2i )(1-2i )-1=4i5-1=i,故选C .4.D 解析5i 1+2i=5i (1-2i )(1+2i )(1-2i )=5(i+2)5=2+i 所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i .5.C 解析∵2a +b =(1,0),又a =(1,-1),∴(2a +b )·a =1+0=1.6.C 解析z=2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,故|z|=√2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确. 7.D解析如图,设BA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b .则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b )·a =a 2+a ·b =a 2+a·a·cos60°=a 2+12a 2=32a 2. 8.B 解析由4|m |=3|n |,可设|m |=3k ,|n |=4k (k>0),又n ⊥(t m +n ),所以n ·(t m +n )=n ·t m +n ·n =t|m |·|n |cos <m ,n >+|n |2=t×3k×4k ×13+(4k )2=4tk 2+16k 2=0.所以t=-4,故选B .9.C 解析由题图可得OA<12AC<OC ,OB<12BD<OD ,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0,I 3=OC⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且|I 1|<|I 3|, 所以I 3<I 1<0<I 2,故选C .10.2√3 解析因为|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+4·|a |·|b |·cos60°+4|b |2=22+4×2×1×12+4×1=12, 所以|a +2b |=√12=2√3.11.311 解析∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×12=3,(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4,即2λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(λ-2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4, ∴2λ3×4-13×9+(λ3-23)×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311. 12.-1 解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i ∈R ,∴a+1=0,即a=-1.13.5 2 解析由题意可得a 2-b 2+2ab i =3+4i,则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,则a 2+b 2=5,ab=2. 14.12 解析由题意DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ1=-16,λ2=23,即λ1+λ2=12.思维提升训练15.D 解析如图,D 是AB 边上一点,过点D 作DE ∥BC ,交AC 于点E ,过点D 作DF ∥AC ,交BC 于点F ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由△ADE ∽△ABC ,得DEBC=AE AC=23,所以ED⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ=23. 16.A 解析以点A 为原点,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图,则A (0,0),B (1,0),C (0,t ), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0,1), ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0)+4(0,1)=(1,4), ∴点P 的坐标为(1,4),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t -1,-4),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-4),∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13.当且仅当1=4t ,即t=1时取“=”,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13. 17.B 解析因为M (-3,0),N (3,0),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0),|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y ),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y ).由|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得6√(x +3)2+y 2+6(x-3)=0,化简得y 2=-12x ,所以点M 是抛物线y 2=-12x 的焦点,所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M (-3,0)的距离,所以d min =3. 18.4 2√5 解析设向量a ,b 的夹角为θ,由余弦定理得|a -b |=√12+22-2×1×2×cosθ=√5-4cosθ, |a +b |=√12+22-2×1×2×cos (π-θ)=√5+4cosθ, 则|a +b |+|a -b |=√5+4cosθ+√5-4cosθ. 令y=√5+4cosθ+√5-4cosθ,则y 2=10+2√25-16cos 2θ∈[16,20],据此可得(|a +b |+|a -b |)max =√20=2√5,(|a +b |+|a -b |)min =√16=4. 即|a +b |+|a -b |的最小值是4,最大值是2√5. 19.1 解析如图,因为E ,F 分别是AD 与BC 的中点,所以EA⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA⃗⃗⃗⃗⃗ . ①同理EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ .② 由①+②得,2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ).所以λ=12,μ=12. 所以λ+μ=1.20.-2 解析∵a -i2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2.。