推理与证明(精)

它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
0 0 0
猜想：任意所有 n 边形的
外角和是 360
0
已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，· · · )， 1 an
1 an n 请归纳出这个数列的通项公式为________.
例2观察下列式子，归纳结论： （以下a、b均为正数）
a b 2ab
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推 理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为 我们提供证明的思路和方向
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
n=1时, n=2时, n=3时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
陈氏定理
(Chen‘s Theorem)
任何充分大的偶数都 是一个质数与一个自然 数之和，而后者仅仅是 两个质数的乘积, 简称为 “1 + 2 ” 。
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
2、根据我所给出的数列的前几项，请你猜猜这 个数列的通项公式可能是什么？
1， 2 ，4 , 8 , …… , 2n-1 个别项 一般项
3、
1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52
个别的 式子
……
一般的 式子
1+3+5+…+(2n-1)=n2
2 2 3 3 2
a b a b ab
4 4 3
2
a b a b ab a b 2a b
4 4 2 2
3
a b a
n n
n k
b a b
k k
n k
(n N , n 2)
*
类比推理
春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为 是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿 形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了 锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理. （简称类比）．简言之，类比推理是由特 殊到特殊的推理．
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
例题2：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体的性质的猜想
合情推理 推理
演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明
推理：根据一个或几个已知的判断来确定
一个新的判断的思维过程。
推理
合情推理
归纳推理
演绎推理
该类事物的 部分对象
部分对象具有 的共同特征
1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 则一切金属都具有怎样的特性？
导电
该类事物 的整体
全部对象都 具有的特征
1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 则一切金属都能导电。 2、 1，2，4，8，……，2n-1 2 3、 1=1 ……
1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+…+(2n-1)=n2
归纳推理
部分对象 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 , 全部对象 个别事实 一般结论 或者由个别事实概括出一般结论的推理。
2
1
3
n=1时,
f (1) 1
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
n=1时, n=2时, n=3时, 归纳:
f (n) 2 1
n
n1 1, f (n) 2 f (n 1) 1, n 2
归纳的风险
费马猜想：
1640年，法国数学家费马观察到： 21
2 +1=5 2 2 2 +1=17 都是质数， 3 2 2 +1=257 4 2 2 +1=65537
于是他归纳推理提出猜想: n 2 形如 2 1 的数都是在质数。
1732年，欧拉发现：
2n
但归纳推理可以发现 新事实，获得新结论， 可以为我们的研究提 供一种方向!
5 2 2 +1=4294967297＝641×6700417，
新的猜想： 形如 2 1（ n 5 ） 的数都是合数。
2
发现部分规 律特征
猜测一般性结论
1 3
(2n 1) n
.
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
猜想：
三角形的外角和是 360 ， 四边形的外角和是 360 ， 五边形的外角和是 360 , ………
B
P S1 S2 D S3 F
C
A
E
概括
☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推 理。
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
.
.
圆的概念和性质
球的类ห้องสมุดไป่ตู้概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面 心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2. (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
归纳推理的结论不一定成立
例1：填空:观察下图,可以发现:
观察图象 发现奥秘
1 12
1 3 4 22
1 3 5 9 32
实验、观察
1 2 3 4 5
1 3 5 7 16 4
2
1 3 5 7 9 25 52
由上述具体事实能得出的结论是: 前n个连续的正奇数相加 n的平方