安徽省高中数学联赛试题2018
2018年高中数学联赛
2018年高三文科数学联赛试题本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N I 的元素个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A ．30B ．31C ．32D ．333．已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．32y x =±D ．233y x =±4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．66．设α与β均为锐角，且1cos 7α=，53sin()αβ+=，则cos β的值为（）A ．7198B ．12C ．7198或12D ．7198或59987．如果函数()()()()2128122f x m x n x m =-+-+>在区间[]2,1--上单调递减，那么mn 的最大值为（） A ．16B ．18C ．25D ．308．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为2等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（）A ．B ．1CD 9．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =))sin :sin :sin 11A B C =的ABC △，则其面积为（）A ．B C D 10．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()1N*nn n b a n =-∈．则数列{}n b 的前50项和为（） A ．49B ．50C ．99D ．10011．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B ，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（）A ．BCD 12．已知不等式12x m x -<-在[]0,2上恒成立，且函数()e x f x mx =-在()3,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．()(),25,-∞+∞U B ．()(3,15e ⎤-∞⎦U ， C ．()(2,25,e ⎤-∞⎦UD ．()(3,25,e ⎤-∞⎦U第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案word版
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 题号 一 二总分9 10 11 12 得分 评卷人复核人注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____．2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____．3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____．4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____．5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____．7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____．8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ．A BCD E FG H l10.设O是坐标原点，双曲线C：22221x ya b上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点：(1)求证：△AOB的面积S是定值.(2)求△AOB的外心P的轨迹方程。
2018年安徽省黄山市高三第一次联理科数学试题及答案
黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．3． m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四命题：① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ;③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α⊂n n m ,//，则α//m .其中真命题的序号是 （ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则 （ ）A.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数5．如右图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为 （ ） A ．?5≤n B ．?6≤n C ．?7≤n D ．?8≤n6．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，(),f x x =则方程3()log ||f x x =的解个数是（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．若{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013()0a a a +>,则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4027 B ．4026 C ．4025 D ．40248．已知00(,)M x y 为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是 （ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 9．已知n为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...)2341242n n n n -+-++=++++++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（ ）时等式成立 （ ）A ．1n k =+B ．2n k =+C ．22n k =+D ．2(2)n k =+ 10. 已知向量α、β、γ满足||1α=，||||αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=．若对每一确定的β,||γ的最大值和最小值分别为m 、n ，则对任意β，m n -的最小值是 （ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射3主视图 俯视图侧视图疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只．12.二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的第________项是常数项．13．一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形,左视图是一个边长为2cm 的等边三角形,则这个几何体的体积为________．14.已知z=2x +y ，x ，y 满足,2,,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 ． 15．给出如下四个结论：① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ② 命题“若a b >，则221ab >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；③ 若随机变量~(3,4)N ζ，且(23)(2)P a P a ζζ<-=>+，则3a =； ④ 过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条． 其中正确结论的序号是______________________________．[来源:状.元.源Z.y.y.100]三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. （本小题满分12分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．17．（本小题满分12分） 已知函数()exf x tx =+（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小．19.（本小题满分12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。
2018届安徽省示范高中（皖江八校）高三第八联考数学理试题word版含答案
2018届安徽省示范高中（皖江八校）高三第八联考数学理试题word版含答案2018届安徽省示范高中（皖江八校）高三第八联考数学理试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,,若,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题3是方程的一个根，从而得到由此能求出集合．详解：∵，∴，即，∴故选B.点睛：本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2. 已知是的共轭复数,且,则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，则，由此可求出.详解：设，则，∴．故选D.点睛：本题考查了复数的定义和复数的模以及共轭复数的定义，属于基础题．3. 已知等差数列的前项和为,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由得，由等差数列的性质可得，又，则，由此可求出详解：由得，,又，∴，即.故选C.点睛：本题考查等差数列的有关性质，属中档题.4. 如下图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元 .D. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.【答案】D【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5. 已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由对称性分析可得点在双曲线上，代入求得，计算离心率.详解：由双曲线对称性可知，点在双曲线上，且点一定不再双曲线上，则点在双曲线上，代入可得，则，所以，故选C.点睛：本题解题的关键是能够根据对称性判断出哪三个点在双曲线上，进而求解的值，利用公式求出离心率.6. 执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据框图的流程依次运行程序，直到满足条件s≤-1，确定输出的i值即可得解．详解：否；否；否；否；是，输出故选B．点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．7. 已知满足时, 的最大值为,则直线过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点. 故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．8. 2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．详解：如图，时间轴点所示，概率为故选C.点睛：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题．9. 设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：取中点，则，进而得到，从而确定点的位置，进而求得的面积与的面积之比．详解：如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.故选A.点睛：本题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．属基础题．10. 函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.故选B.点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定与是否为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．11. 某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，可知是直线与面的交点，也是直线与直线的交点没有此可求三棱锥外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，又点到距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点（分别是左侧正方体对棱的中点）∴，，故三棱锥外接球的半径，表面积为.故选A.点睛：本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题得，令，，利用导数性质能求出实数的取值范围．详解：由，得，得，即，令，，则，显然是函数的唯一零点，易得，∴，即.故选D.点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.13. 的值为__________．【答案】1【解析】分析：由，即两角差的余弦公式展开即可求值．详解：原式即答案为1 .点睛：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键，属基础题．14. 已知则__________．【答案】24【解析】分析：由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．详解：由题意根据，.即答案为24 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．15. 是抛物线上一点, 是抛物线的焦点, 为坐标原点着是抛物线的准线与轴的交点,则__________．【答案】【解析】分析：设，得，所以，由向量的夹角公式可求. 详解：由抛物线的对称性不妨设，则，得，因为，所以，可得，，所以.点睛：本题考查抛物线的方程与定义，考查向量的夹角公式的应用，属基础题．16. 设为数列的前项和,已知,对任意 ,都有,则的最小值为__________．【答案】30【解析】分析：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，由此得到，由可得，利用基本不等式可求的最小值详解：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，，∴当且仅当即时，等号成立，点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用基本不等式求函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的制定区域内.17. 在锐角中,（I）求角；(Ⅱ)若,求的取值范围.【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得，所以，根据角的范围可得角A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得，根据正弦定理可得，所以，然后根据可得bc的范围．试题解析：（1）由且4分（2）又8分12分考点：正弦定理、余弦定理的应用18. 如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形, 是的中点,且,.(I)证明: ；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值 .【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）设法证明四边形是平行四边形，则，由即可求出证明，（Ⅱ）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值 .．详解：(Ⅰ)如图1所示，连接交于点，连接.∵四边形是正方形，∴是的中点又已知是的中点，∴又∵且，∴即四边形是平行四边形，∴，∵，∴(Ⅱ) 如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，令，则，，∴，，，设平面的法向量为，则由，，可得：，可令，则，∴平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则.点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间向量、线面角、线面平行的判定定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19. 2017年5月,来自“一带一路”沿线的国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内个人口超过万的超大城市和个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取个城市,全是小城市的概率为. (I)求的值;(Ⅱ)若一次抽取个城市,则:①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望; ②取出个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）①见解析②【解析】分析：（Ⅰ）根据题意，共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，由古典概型可求全是小城市的概率；（Ⅱ）①.，根据超几何分布可得到的分布列和期望;②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；由此可求全为超大城市的概率详解：（Ⅰ）共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，故全是小城市的概率是，∴，∴，故.（Ⅱ）①.；；；；.故的分布列为.②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；故全为超大城市的概率为.点睛：本题考查古典概型的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布分布的性质的合理运用．20. 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为，过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为 .(I)求椭圆的方程;(Ⅱ) 是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且，的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率 .【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.【解析】分析：（Ⅰ）由已知，可得，解得设椭圆方程：，当直线斜率不存在时，线段长为；当直线斜率存在时，设方程：，由弦长公式可得的长小于，易知当时，的最小值为，从而，由此得到椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而的半径，。
安徽省示范高中(皖江八校)2018届高三第八联考(理)数学试题及答案解析
安徽省示范高中（皖江八校）2018届高三第八联考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,,若,则（）A. B. C. D.2. 已知是的共轭复数,且,则的虚部是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和为,且,则（）A. B. C. D.4.如下图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元 .D. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.5. 已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为（）A. B. C. D.7. 已知满足时, 的最大值为,则直线过定点（）A. B. C. D.8. 2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）A. B. C. D.9. 设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）A. B. C. D.10. 函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）A. B. 或 C. D. 或11. 某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.12. 已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题13. 的值为__________．14. 已知则__________．15. 是抛物线上一点, 是抛物线的焦点, 为坐标原点着是抛物线的准线与轴的交点,则__________．16. 设为数列的前项和,已知,对任意,都有,则的最小值为__________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的制定区域内.）17. 在锐角中,（I）求角；(Ⅱ)若,求的取值范围.18. 如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形,是的中点,且,.(I)证明: ；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.19. 2017年5月,来自“一带一路”沿线的国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内个人口超过万的超大城市和个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取个城市,全是小城市的概率为.(I)求的值;(Ⅱ)若一次抽取个城市,则:①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望;②取出个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.20. 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为，过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ) 是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且，的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率.21. 已知函数(I)若,函数的极大值为,求实数的值；(Ⅱ)若对任意的在上恒成立,求实数.请考生从第22、23题中任选一题做答.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求的极坐标方程;(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为,求的面积.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数(I)若不等式的解集为，求实数的值;(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】B【解析】由题3是方程的一个根，从而得到由此能求出集合．详解：∵，∴，即，∴故选B.2.【答案】D【解析】设，则，由此可求出详解：设，则，∴．故选D.3. 【答案】C【解析】由得，由等差数列的性质可得，又，则，由此可求出详解：由得，,又，∴，即.故选C.4. 【答案】D【解析】解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.故选D.5. 【答案】C【解析】由对称性分析可得点在双曲线上，代入求得，计算离心率. 详解：由双曲线对称性可知，点在双曲线上，且点一定不再双曲线上，则点在双曲线上，代入可得，则，所以，故选C.6. 【答案】B【解析】根据框图的流程依次运行程序，直到满足条件s≤-1，确定输出的i值即可得解．详解：否；否；否；否；是，输出故选B．7. 【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.故选A.8. 【答案】C【解析】由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．详解：如图，时间轴点所示，概率为故选C.9. 【答案】A【解析】分析：取中点，则，进而得到，从而确定点的位置，进而求得的面积与的面积之比．详解：如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.故选A.10. 【答案】B【解析】由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.故选B.11. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，可知是直线与面的交点，也是直线与直线的交点没有此可求三棱锥外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，又点到距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点（分别是左侧正方体对棱的中点）∴，，故三棱锥外接球的半径，表面积为.故选A.12. 【答案】D【解析】由题得，令，利用导数性质能求出实数的取值范围．由，得，得，即，令，，则，显然是函数的唯一零点，易得，∴，即. 故选D.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】1【解析】由，即两角差的余弦公式展开即可求值．详解：原式即答案为1 .14.【答案】24【解析】由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．详解：由题意根据，.即答案为24 .15.【答案】【解析】设，得，所以，由向量的夹角公式可求.详解：由抛物线的对称性不妨设，则，得，因为，所以，可得，，所以.16.【答案】30【解析】当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，由此得到，由可得，利用基本不等式可求的最小值.详解：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，，∴当且仅当即时，等号成立，三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的制定区域内.）17. 解：（I）由且4分(Ⅱ)又8分12分考点：正弦定理、余弦定理的应用18. (I)证明：如图1所示，连接交于点，连接.∵四边形是正方形，∴是的中点又已知是的中点，∴又∵且，∴即四边形是平行四边形，∴，∵，∴(Ⅱ) 解：如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，令，则，，∴，，，设平面的法向量为，则由，，可得：，可令，则，∴平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则.19. 解：(I)共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，故全是小城市的概率是，∴，∴，故.(Ⅱ)①.；；；；.故的分布列为3.0②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；故全为超大城市的概率为.20. 解：(I)由已知，可得.又由，可得，解得设椭圆方程：，当直线斜率不存在时，线段长为；当直线斜率存在时，设方程：，由，得，从而，易知当时，的最小值为，从而，因此，椭圆的方程为：(Ⅱ)由第(I)问知，，而的半径，又直线的方程为，由，得，因此，由题意可知，要求的最大值，即求的最小值而，令，则，因此,，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以的最大值为.综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.21. 解：(I)由题意，.①当时，，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减.所以的极大值为，不合题意.②当时，，令，得；，得或，所以在单调递增，，单调递减.所以的极大值为，得.综上所述.(Ⅱ)令，，当时，，则对恒成立等价于，即，对恒成立.①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则在区间上单调递增，时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立.时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间则时，，即，不符合题意.综上所述，.点睛：本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大请考生从第22、23题中任选一题做答.22.解：(I)因为，，所以的极坐标方程为，即，的极坐标方程为.(Ⅱ)代入，得，解得.代入，得，解得.故的面积为.23. 解：(I)，由条件得，得或，∴，即或.(Ⅱ)原不等式等价于恒成立，而，∴，则恒成立，∵，∴，等号成立当且仅当时成立.。
安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高二下学期春季联赛数学(文)试题Word版含解析
安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年下学期春季联赛高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，求得，利用集合的交集运算，即可得到结果．详解：由题意，所以，故选C．点睛：本题主要考查了集合的运算，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2. 若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，再由代入即可求解．详解：由题意，则，故选A．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3. “”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由题意，则或，根据充要条件的判定方法，即可得到判定．详解：由题意，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了必要不充分条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出阴影部分的面积，根据几何概型，即可求解满足条件的概率．详解：如图所示，设，所以，所以点取自阴影部分的概率为，故选D．点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中解答中正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了数形结合思想和考生的推理与运算能力．5. 已知命题且，命题．下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题：，且，例如当a大于0，b 小于0时，表达式就成立；命题：，，故表达式成立。
【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
1【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00)一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小值=5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB=8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。
（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。
（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222x23y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？()222x23y z k xy yz zx++≥++，试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.232018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间:2019年6月30日上午9:001.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =213.3.函数()sin2sin3sin4f x x x x =++的最小正周期=2π.4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cosAHB ∠=6-. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.。
安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数学(文)试题+Word版含答案
安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数 学（文）试 题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{{},2,xA x yB y y x A ====∈，则AB =（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,22. 若cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2125-B ．2125C ．225-D ．2253.“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）A ． 充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．18 D ．145.已知命题:,,p a b R a b ∃∈>且11a b >，命题3:,sin cos 2q x R x x ∀∈+<．下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ⌝∧B ．p q ∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ． 7.2万盒 B ．7.6万盒 C. 7.8万盒 D ．8.6万盒 7.将函数()2sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右移23π个单位后，所得图像关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ． 2B ．1 C.12 D ．148.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．839.函数ln xy x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设函数()()[)1,0,121,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()ln g x x =，若对任意实数()0,x ∈+∞，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．φB ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.若函数()2y f x =-的图像与函数32log y =+y x =对称，则()f x =（ ）A ．223x - B ．23x C. 213x - D ．223x +12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(),e +∞ C. ()()0,1,e +∞ D ．()()20,1,e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量()2,1a =，()2,b x =，且()()2//23a b a b -+，则实数x = ．14.执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n = ．15.已知点M 的坐标为()2,1，点(),N x y 满足1122x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则MN 的最小值为 ．16.，则其表面积（各面面积之和）之比=S S 正四面体正方体．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()24*n n S a n n N -=-∈． （1）证明{}2n S n -+为等比数列； （2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ．18. 已知函数()12sin cos 3,0,64f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求函数()f x 的最大值()max f x 和最小值()min f x ；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min ,CD AC f x BC f x ===，求角C 的大小．19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，090ABC ∠=，//AB CD ，APD ∆是等边三角形，3BP =，2,AB AP AD BP ==⊥．（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点(M ．直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形． 22.已知()2ln f x x x ax =-，（Ⅰ）若()f x 有两个零点，求实数a 的范围； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：()112f x >-．试卷答案一、选择题1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD二、填空题13. 1 14. 6 15. 5 16. 3三、解答题17.解:（Ⅰ）当1=n 时，2;4211≥=+-n S 时原式转化为：4)(21-=---n S S S n n n ， 即421+-=-n S S n n ，所以]2)1([221+--=+--n S n S n n ，所以{}2+-n S n 为首项为4，公比为2的等比数列.122+=+-n n n S ， 所以221-+=+n S n n . （Ⅱ）由（1）知：n n T n n 2)21()222(132-+++++++=+nn n n 22)1(21)214-++--=（ =4232222--++n n n ． 18.解：()12sin()cos 36f x x x π=+-112cos cos 32x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭()231cos3x x=++-6sin26xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x在)6,0[π上单增，]4,6(ππ上单减，()()max min6,3f x f x∴==；（2）ADC∆中，,sinsin2AD ACBDCC ADC=∆∠中，sinsin2BD BCC BDC=∠，∵sin sinADC BDC∠=∠，6AC=，3BC=，2AD BD∴=，BCD∆中，2176822C CBD=-=-，ACD∆中，2446822C CAD=-=-，cos2C∴=2Cπ∴=．19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=，竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=，故受奖励分数线在[)80,90之间，设受奖励分数线为x，则()900.020.012100.20x-⨯+⨯=，解得86x=，故受奖励分数线为86．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在[)86,90的人数为8，分数在[]90,100的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[)86,90的抽取2人，分数在[]90,100的抽取3人，设分数在[)86,90的2人分别为12,A A，分数在[]90,100的3人分别为123,,B B B，所有的可能情况有()12,A A，()11,A B，()12,A B，()13,A B，()21,A B，()22,A B，()23,A B，()12,B B，()13,B B，()23,B B，满足条件的情况有()12,B B，()13,B B，()23,B B，所求的概率为310P=．20.解：（Ⅰ）取AD中点F，连,PF BF，ADP ∆是等边三角形，PF AD ∴⊥,又AD BP ⊥ AD ⊥平面PFB ，BF ⊂平面PFB ，AD BF ∴⊥,2BD AB ∴==∴BC =（Ⅱ）AD ⊥平面PFB ，AD ∴⊂平面APD∴平面PFB ⊥平面APD ． 作BG PF ⊥交PF 于G ，则BG ⊥平面APD ，,AD BC 交于H ，BHG ∠直线BC 与平面ADP 所成的角．由题意得PF BF ==, 又3BP =0360,2GFB BG ∴∠==，0901ABC BCD CD BH ∠=∠=∴=∴=，， ，sin BHG ∴∠=． 21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）设直线m 为：()()11221,,,,2y x t A x y B x y =+ 联立: 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x tx t ++-=，于是82,222121-=-=+t x x t x x ．设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需证0MA MB k k +=，MA MB k k ==，()221212MA MB x x t x x t k k +-+--+===．所以MEF ∆为等腰三角形 ．22．解：方法一：（Ⅰ）()()ln ,0f x x x ax x =->，()f x 有两个零点，()ln g x x ax ∴=-有两个零点，()1g x a x'=-， 0a ∴≤时()()0,g x g x '>在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；()0,a g x ∴>在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 10,0g a a a e ⎛⎫∴=->∴<< ⎪⎝⎭，又10a e<<时，()232221111133110,3ln 310a a g a g a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫=-<=-<--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴必有两个零点，10a e∴<<． （Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点， 设()ln 12h x x ax =+-，则()12h x a x'=-， 0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；0a ∴>，由()0h x '=得：12x a=， ()h x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 120222h a a a a ⎛⎫∴=+-⨯> ⎪⎝⎭，即102a << ．又212112120,2ln 121110a h h e e a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+-<-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()h x ∴在21111,,,22e a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点，102a ∴<<． （Ⅲ）由（Ⅱ），结合()1120h a =->，知()111111,ln 120x h x x ax e<<=+-=， ()21111111ln ln 2x x x f x x x ax -=-=，设()()ln ,ln 0k x x x x k x x '=-=<，()k x ∴在()0,1上单减，()()11k x k ∴>=-()112f x ∴>- ．方法二：分离参数法 （Ⅰ）ln xa x=，两图象有两交点， 令()()2ln 1ln ,x xg x g x x x -'==，当()()()0,,0,x e g x g x '∈>单增， 当()()(),,0,x e g x g x '∈+∞<单减，()1g e e= 结合图像，10a e<<． （Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点，等价于ln 12x a x +=对应的两函数的图像有两交点． 令()()2ln 1ln ,2x xx x x xϕϕ+-'==，当()()()0,1,0,x x x ϕϕ'∈>单增， 当()()()1,,0,x x x ϕϕ'∈+∞<单减，()112ϕ=，结合图象，102a << ．（Ⅲ）由（Ⅱ）101x <<，下同方法一()112f x ∴>-．。
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思
阳友雄（519055）
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛中有这样一道题：
11. (1) 求证：对于任意实数 x, y, z ，都有 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
(2) 是否存在实数 k > 3 ，使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立？
2
2
一个小小的正负号导致了错误，真是一子不慎满盘皆输！既然知道了原因，就容易修正
三.对官方答案的修正
解： f =x2 + 2 y2 + 3z2 − k(xy + yz + zx) =x2 − k( y + z)x + 2 y2 + 3z2 − kyz
=[x − k ( y + z)]2 − k 2 ( y2 + z2 + 2 yz)+2 y2 + 3z2 − kyz
3z2 拆成 nz2 + (3 − n)z2 ，然后用基本不等式试试
x2 + 2 y2 + 3z2 = kx2 + my2 + (1− k)x2 + nz2 + (2 − m) y2 + (3 − n)z2
≥ 2 kmxy + 2 (1− k)nxz + 2 (2 − m)(3 − n) yz
注意到待求证的式子为 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
不妨取=x 3= , y 2= , z 1，此时左边 = 20 ，右边 =22 ，左边 < 右边，上式不成立
安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛数学(理)试题Word版含解析
安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年下学期春季联赛高一数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得，即可图中阴影部分所表示的集合.详解：由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选C.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.详解：由函数，可得函数满足，解得,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. 已知向量，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角.详解：由题意，向量，所以且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.4. 已知是等比数列，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.详解：由题意，数列为等比数列，且，则是的等比中项，且是同号的，所以，故选C.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题.5. 已知的面积为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.详解：由题意知的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6. 若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于A中，当时不成立，所以是错误的；对于B中，取时，不成立，所以是错误的；对于C中，取时，不成立，所以是错误的，对于D中，由，所以是正确的，故选D.7. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围.详解：由题函数的定义域为，值域为，所以当时，；当时，或；所以当时，，当时，，所以，故选D.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论. 详解：由题意，函数，结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9. 已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10. 已知实数满足，，则的最大值与最小值之差为（）A. B. C. D. 与的取值有关【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，代入即可求解结果.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，分别代入目标可得，，所以目标函数的最大值与最小值之差为，故选B.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 已知数列中，恒为定值，若时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知恒为定值，且时，，得，又由，得，所以数列是周期为10的周期数列，即可求解的值.详解：由题意知恒为定值，且时，，所以当时，，所以，于是，数列是周期为10的周期数列，所以，故选C.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得，进而得到数列是周期为10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数的图像经过点，则它的单调递减区间是______________．【答案】和【解析】分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.详解：设幂函数，由，得，所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数，其单调递减区间为和.点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力. 14. 已知非零向量，，若且，则_______________．【答案】【解析】分析：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解的关系式，进而得到结论.详解：由题意，即，所以向量反向，又由，所以，即，所以，即，所以.点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15. 若，则________________．【答案】【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.详解：由题意知，整理得，所以，则.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16. 已知，若，，则____________．【答案】【解析】分析：由题意得，设，则，又由，根据多项式对应相等，求解的值，即可得到结论. 详解：由题意，即，设，则，又由，所以，得，又因为，且，所以，所以（舍去）或，所以.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且．（1）求的值；（2）求取得最小值时，求的值．【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一：设的公差为，由题意列出方程组，求得，进而求解的值；法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到，根据二次函数的性质，即可得到当或时，取得最小值．法二：由数列的通项公式，得到数列满足，进而得到结论.详解：（1）法一：设的公差为，由题，，解得，∴．法二：由题，，∴，于是．（2）法一：，当或时，取得最小值．法二：，∴，故当或时，取得最小值．点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18. 设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，，周期，∴，再由，即，得：，又，∴，，由，得的单减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，，当时，的最小值为．点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.19. 设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，，由正弦定理，，即，解得，所以．法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法二：由正弦定理，，故周长∵，∴当时，周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．........................20. 如图，等腰直角中，，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为．（Ⅰ）求函数的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数的最大值．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）；（2）由（1）可得化简得，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最大值.详解：（1）由题，，则，∴，又，∴的定义域为．（2），∵，∴，于是，即当时，的最大值为．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21. 已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；（2）法一：由（1）知，得，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，，，时，，．（2）法一：由题，，，，，相减得：，∴．法二：由题，，，所以．点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22. 已知中．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有，求实数的取值集合．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）当时，代入化简的不等式等价于，即可求解不等式的解集；（2）法一：由题意得，于是只能，经验证满足题意，即可得到结论；法二：当时，恒成立，即恒成立，设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详解：（1）当时，不等式即为，等价于，由数轴标根法知不等式的解集为．（2）法一：由题，，于是只能，而时，，当时，，，恒有，故实数．法二：当时，恒成立，即恒成立，不妨设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，不难知，在上单调递减，在上单调递增，且函数与的图象相交于点，结合图象可知，当且仅当时，或恒成立，故实数．点睛：本题主要考查了函数的解析式以及函数的基本性质的应用，不等关系式的求解等问题，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，解答中把函数的恒成立问题转化为函数的单调性与最值问题求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及推理与运算能力.。
2018-2019学年安徽省示范高中高二春季联赛考试数学(文)试题(pdf版)
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解
析
】
由
题
，
1 tan 1
，
tan 2
，
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是
2
2 sin cos 2 tan 4
sin 2
．
sin 2 cos2 tan 2 1 5
6．C．【解析】因为所有的样本点都在直线 y 2 x 10 0 上，故负相关，这组样本数据的
8 由椭圆定义：| P F1 | | P F2 | 6 ， | PF1 | | PF2 | 3 ．
2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|280}A x x x =--<，集合1{|1}x B x e +=>，则A B =（ ）A ．{|12}x x -<<B ．{|21}x x -<<-C ．{|2}x x >-D ．{|14}x x -<<【答案】D【解析】分别解出集合A ，B 的元素，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】2{|280}{|(2)(4)0}A x x x x x x =--<=+-<{|24}x x =-<<，{|1}B x x =>-，{|14}A B x x ⋂=-<<.故选：D. 【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2．实数x ，y 满足x y >，则下列不等式成立的是（ ） A ．1y x< B ．22x y --< C ．lg lg x y > D ．22x y >【答案】B【解析】对于ACD 选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B 可根据指数函数的单调性得到结果. 【详解】由题意，当x<0,y<0可得到1yx>，而lg ,lg x y 没有意义，此时22x y < 故A 不正确CD 也不对；指数函数2x y =是定义域R 上的单调递增函数，又由x y >，则x y -<-，所以22x y --<.故B 正确； 故选B. 【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系. 3．已知关于x 的方程22cos cos 2cos 202Cx x A B --+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】B【解析】根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A ＝B ，即可确定出三角形形状． 【详解】设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：12x x cosAcosB +＝，2212=1co 2cos 22s 22C x x s Ci C n -+==- ∵x 1+x 212=x 1x 2， ∴2cos A cos B ＝1﹣cos C ， ∵A +B +C ＝π，∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝﹣cos A cos B +sin A sin B ， ∴cos A cos B +sin A sin B ＝1，即cos （A ﹣B ）＝1， ∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选：B ． 【点睛】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知(cos ,sin )a θθ=，3b =r ，且2()3a ab ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π【答案】B【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解． 【详解】23a a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭∴203a a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即：2203a a b +⋅=又1a =，∴32a b ⋅=-∴向量a 与向量b的夹角的余弦为32cos ,13a b a b a b -⋅===⨯ ∴向量a 与向量b 的夹角为：56π故选：B 【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力． 5．函数()(f x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先得到函数的定义域为：2x ≥或2x -≤，解方程()02 2.f x x =⇒=-或 【详解】要使函数有意义，则240x -≥，即2x ≥或2x -≤，由()02f x x =⇒=或2x =-函数的零点个数为2个. 故选：B. 【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化. 6．2|2|()log cos x f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可． 【详解】f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ， f （π）＝ln π﹣cosπ＝ln π+1＞0，排除C ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7．函数()2lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（ ）A ．53B ．52C ．52-D ．53-【答案】B【解析】先由韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为2lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩,再由两角和的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-.故选B. 【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则AP 的最小值是（ ） A．B ．39C ．3D【答案】C【解析】由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P 所在的轨迹，进而得到结果. 【详解】依题意1510cos 25cos 2AB AC A A ⋅=⨯=⇒=3A π⇒=.由余弦定理得BC =故ABC ∆为直角三角形.设35AD AB =，过D 作'//DP AC ，交BC 于P'，过P'作'//EP AB ，交AC 于E.由于32()55AP AB AC R λλ=-∈，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段'DP 上，由图可知AP 最短时为AD ，所以3AD =uuu r.故选C. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.9．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（ ） A．7+B．7+C．3+D．3+【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论． 【详解】变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，当直线z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）过直线y ＝1和2x ﹣y ﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1； ∴2a +b ＝1，11a b +=（2a +b ）（11a b +）＝32a b b a ++≥=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：12019a a π+=，120192b b ⋅=，函数()sin f x x =，则10091011100910111a a f b b ⎛⎫+=⎪+⎝⎭（ ）A． B ．12CD ．12-【答案】C【解析】根据等差和等比数列的性质得到100910111009101113a a f f b b π⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭进而得到结果.【详解】根据等差数列的性质得到1201910091011a a a a π+=+=，根据等比数列的性质有100910111201910091011100910112;1a a b b b b f b b ⎛⎫+⋅=⋅= ⎪+⎝⎭3f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故本题选C.本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.11．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为，则12...n PA PA PA +++=（ ）A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【解析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,PA PA PA PA +++==，进而得到结果. 【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,PA PA PA PA +++==，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选：D. 【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 12．对于数列{}n a ，若任意*,()m n N m n ∈>，都有()m n a a t m n -≥-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 满足t 级收敛，若数列{}n a 的通项公式为2log n a n =，且满足t 级收敛，则t 的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题干中对收敛数列的定义得到2{log }n tn -是递增数列或常数列，相邻两项相减得到121log 0n n n b b t n++-=-≥，进而得到结果. 【详解】 由题意：m n a a t m n-≤-对任意的*,()m n N m n ∈>恒成立，2log n a n =，且t 级收敛，则22log log m n t m n -≤-恒成立，即()()22log log 0m tm n tn m n---≥-恒成立，据此可知数列2{log }n tn -是递增数列或常数列，令2log n b n tn =-，根据数列是单调递增的得到()12121log (1)1,log 0n n n n b n t n b b t n+++=+-+-=-≥ 据此可得：221log log 10n t n+≤<=恒成立，故0t ≤，t 的最大值为0. 故选D. 【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．二、填空题13．已知函数1()(21)m f x m x +=-为幂函数，则(4)f =__________． 【答案】16【解析】根据幂函数的定义求出m 的值，写出()f x 的解析式，即可计算()f 4的值． 【详解】由题意，函数()()m 1f x 2m 1x+=-为幂函数，2m 11∴-=，解得m 1=，()2f x x ∴=，()2f 4416∴==，故答案为：16． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14．已知函数()2sin 3f x x π=，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+=__________．【答案】【解析】根据函数表达式得到函数的周期，得到(1)(2)...(6)0f f f +++=，进而得到结果. 【详解】依题意可得()2sin3f x x π=，其最小正周期6T =，且(1)(2)...(6)0f f f +++=，故(1)(2)...(2019)(1)(2)(3)f f f f f f +++=++=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.15．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记(,)cos sin f a b a b θθ=-，若1e ，2e 均为单位向量，且123e e ⋅=，则向量12(,)f e e 与21(,)f e e -的夹角为__________． 【答案】2π 【解析】根据题意得到1212(,)cos sin f e e e e θθ=-，21(,)f e e -12sin cos e e θθ=-，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可. 【详解】由题设知，若向量1e ，2e 的夹角为θ，则2e ，1e -的夹角为πθ-.由题意可得1212(,)cos sin f e e e e θθ=-，2121(,)cos()sin()f e e e e πθπθ-=-+-12sin cos e e θθ=-， 12211212(,)(,)(cos sin )(sin cos )f e e f e e e e e e θθθθ⋅-=-⋅-2222112122cos sin cos sin cos sin e e e e e e θθθθθθ=-⋅-⋅+2sin cos θθ=.∵123e e ⋅=，cos θ=，1sin 2θ=，12sin cos 202θθ-=⨯=，向量12(,)f e e 与21(,)f e e -的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.16．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．三、解答题17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知12n n T a a a =，且2()m n T m Z ≤∈，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）42nn a -=；（Ⅱ）6.【解析】（I ）根据题干条件得到1326a a a +=+，进而求得公比，得到通项；（II ）结合第一问得到(7)22n n n T -=，根据指数函数的单调性和二次函数的性质得到最大值为64，进而得到结果. 【详解】（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意322(3)S a =+得：1326a a a +=+，根据等比数列通项公式得到：12q =，所以42n n a -=. （II ）(7)212..2.n n n nT a a a -==，()72,2tn n y t -==，当3n =或4时，nT取得最大值64.所以2646m m ≥⇒≥，故m 的最小值为6. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.18．已知函数()4sinsin 1(06)223xx f x ωωπω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为6x π=.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）,,2,63k k k Z πππππ⎡⎤++⎢⎥⎦∈⎣；（Ⅱ）0,2-.【解析】（I ）通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子，进而求得周期和单调区间；（II ）结合第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值. 【详解】 （I ）()4sinsin 12sin 2236xx f x x ωωππω⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=是对称轴，662k ωππππ+=+，k Z ∈，且06ω<<，0k =，2ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π；单调递增区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（II ）由（I ）可知，()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，0, 1.123ff ππ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知当12x π=-时得最大值为0；当6x π=时得最小值-2.故()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为-2.【点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；③若ω<0，利用诱导公式二把y ＝A sin(ωx ＋φ)中x 的系数化为大于0的数．19．如图，ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，角B 为钝角，⊥BD AB ，7cos 225B =-，2c =，b =（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求BCD ∆的面积.【答案】(1) sin A =(2)35【解析】（1）根据余弦的二倍角公式求出3cos 5B =-，利用余弦定理求出2a =，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得sin A（2）由（1）可求出cos A =Rt ABD ∆中，求得AD =，CD =由1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯，即可求出面积. 【详解】解：(1)由7cos225B =-得：272cos 125B -=-，且角B 为钝角， 解得：3cos 5B =-由余弦定理2222cos c a c ac B =+-得：26434455a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解得2a =可知ABC ∆为等腰三角形，即A C = 所以()23cos cos212sin 5B A A =-=--=-，解得sin A =(2)由sin A =cos A =在Rt ABD ∆中，cos c A AD =，得AD =，CD b AD =-==三角形面积113sin 2225BCD S a CD C ∆=⨯=⨯＝ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20．2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为1,0489,4102xx y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（Ⅰ）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.【答案】（1）7天；(2)169. 【解析】(1) 空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩, 04x <≤时，41+)48x ≥（, 410x <≤时，3642x ≥+,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天，浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++，由不等式得到最值. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩ 当04x <≤时，41+)48x≥（，解得0x ≥，04x ∴<≤， 当410x <≤时，3642x ≥+，解得7x ≤，47x ∴<≤，综上得07x <≤， 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天. (2)设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天， 浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++≥==4≥，即169a ≥，[]1,4a ∈,1649a ∴≤≤当169a =时，()()2222182929x x x +=⇒+=+，29,=7x x +=∴满足题意， 所以a 的最小值为169. 【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数．．．），则称函数()f x 为“a距”增函数.（Ⅰ）若31()44f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若2()3x k xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a >；（Ⅱ）2k >-.【解析】（I ）根据题干条件得到22313304ax a x a a ++->恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II ）原题等价于22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，22(2)|2|||x k x x k x +++>+恒成立，分0x ≥和10x -<<两种情况得结果即可. 【详解】（I ）2231()()334f x a f x ax a x a a +-=++-. 因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立，由0a >， 所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭.（II ）因为2()3xk xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，即1x >-时，22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，所以22(2)|2|||x k x x k x +++>+，当0x ≥时，即4420222x k k x k ++>⇒>--⇒>-，当10x -<<时，22(2)(2)x k x x kx +++>-，所以(1)(2)02x k k ++>⇒>-.综上所述，得2k >-. 【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.22．已知数列{}n a 满足()*121111111n nn N a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n S 是数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数p ，q 的值； （Ⅲ）是否存在*k N ∈{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1n a n =+.（2）5p =，9q =.（3）3k =或14. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由12111111111n n a a a a 已知得--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ ()111112n n n n n a a a n a a ---=-=≥ ⇒列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列⇒1n a n =+. （2）建立方程组26061854p q p p q q a S a a S S +==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，或546p qa S =⎧⎨=⎩.当()166354542p q p a q q S +=⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩⇒59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩⇒无正整数解，综上5p =，9q=. （3）假设存在正整数k，使得(*1m a m N m =∈=+，⇒()()22522163m k m k ++--=⇒15m =，14k =，或5m =，3k =，3m 或=，1k =-（舍去）⇒3k =或14.试题解析： （1）因为121111111n na a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈， 所以当1n =时，11111a a -=，12a =， 当2n ≥时， 由121111a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111nn a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭和12111111111n n a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相除可得，111n n na a a --=，即()112n n a a n --=≥ 所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p q a S a S +=⎧⎨=⎩，于是654p q a S =⎧⎨=⎩，或546p q a S =⎧⎨=⎩. 当654p q a S =⎧⎨=⎩时，()163542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩时，()154362p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k()*m a m N =∈，1m =+，平方并化简得，()()22222363m k +-+=， 则()()22522163m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =，或5m =，3k =，或3m =，1k =-（舍去）， 综上所述，3k =或14.。
2018年安徽省合肥市寿春中学高三数学文联考试题含解析
2018年安徽省合肥市寿春中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？B．i≤100？C．i≤200？D．i≤300？参考答案：B考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求．解答：解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因为输出结果是23×53×113×233×473×953的值，结束循环，判断框应该是i≤100？．故选B．点评：本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．新课改地区高考常考题型．也可以利用循环的规律求解．2. A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分均为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（）A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不高70于分参考答案：C【考点】四种命题．【分析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系，写出命题p的逆否命题即可．【解答】解：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题的是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选：C．8、若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C4. （6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（A）1 （B）2（C）4 （D）参考答案：C5. 如图为互相垂直的两个单位向量，则（）A．20 B． C． D．参考答案：C 【知识点】向量的坐标运算F2解析：分别以的方向为x,y轴方向建立直角坐标系，则，，所以选C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.6. 已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )A．3 B．4 C．－5 D．－1参考答案：【知识点】指数与对数反函数B2,B6,B7【答案解析】A 解析：解：因为log10与lg 2(即log2)互为倒数，所以lg(log10)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log10)＝x，则lg(lg 2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝(ax＋bsin x＋4)＋[a(－x)＋bsin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3，故选A.【思路点拨】由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值7. 若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B． C. (0,1) D．参考答案：D由，可得，设，则可设，则，所以，所以单调递减，又，所以在单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，故选D.8. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，则的值为（）A．2 B．2 C.3 D．参考答案：B,所以，所以，故选B。
安徽省合肥市第三十一中学2018年高二数学理联考试卷含解析
安徽省合肥市第三十一中学2018年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=( )A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2. .在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则=( )A. B. C. D.参考答案：B略3. 若命题“”为真，“”为真，则（）A．p真q真B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真参考答案：D略4. 一个三角形的三个内角、、成等差数列，那么A．B．C．D．参考答案：B5. 如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运()A．3年B．4年C．6年D．5年参考答案：D略6. 抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )A.B．－C．8D．－8参考答案：B略7. 在三棱锥P-ABC中，平面平面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. B. 16π C. D.参考答案：A【分析】由题意，求得所以外接圆的半径为，且，所以，又由平面平面，得平面，且，进而利用在直角中，由正弦定理求得求得半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，如图所示，因为是边长为的等边三角形，所以外接圆的半径为，且，所以，又由平面平面，，在等腰中，可得平面，且，在直角中，,且,在直角中，,在直角中，由正弦定理得，即球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，正确认识组合体的结构特征，注意组合体的性质的合理运用，合理求解球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8. 曲线在点处的切线方程为(A) (B) (C) (D)参考答案：A9. 根据程序框图(图1)，当输入10时，输出的是（）A．212.5 B．225C．250 D．不确定参考答案：A略10. 设，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线与曲线恰有两个不同的交点，则的取值所构成的集合为__▲__．参考答案：略15. 函数y=x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为参考答案：略13. 命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：﹣16≤a≤0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．解答：解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为．故答案为：﹣16≤a≤0．点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化的数学思想，属中档题．14. 已知椭圆内部的一点为，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则的最小值为▲．参考答案：右准线方程为，设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．MA＋d≥2－1.答案：2－1点睛：本题利用椭圆的第二定义进行转化，即，所以d＝MF.即MA＋MF＝MA＋d，由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．15. 已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为_________参考答案：略16. 在的二项展开式中，x的系数为。
安徽省滁州市瓦山高级中学2018年高三数学文联考试题含解析
安徽省滁州市瓦山高级中学2018年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在Ｒ上的函数的导函数是，且则不等式的解集为（）A. B. C. D.参考答案：A2. 已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于（A） 4 （B） 5 （C）6 （D） 7参考答案：B3. 将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f （x）的表达式可以是（）A．f（x）=﹣2sinx B．f（x）=2sinxC．f（x）=sin2x D．f（x）=（sin2x+cos2x）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，利用条件，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，∵y=f（x）?cosx，∴f（x）=﹣2sinx．故选：A．4. （2016秋?天津期中）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．分别判断a，b，c的值，或范围，可得答案．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．∴a=f（）=f（﹣）=﹣f（）∈（﹣1，0），b=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，c=f（）=f（）=1；∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．5. 已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A，由所以当时，；当时，；所以要使的解集中有且只有一个正整数，需，选A.6. 已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．7. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（）A．4 B．-3 C．D．-2参考答案：D试题分析：由已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则，即，所以或．故选D．考点：平面向量数量积的运算．8. （08年全国卷2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． C． D．2参考答案：【解析】：C 与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形为矩形，所以9. 已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝－，则a与b的夹角为A． B． C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于的方程有实根，则的取值范围是 .参考答案：12. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于．参考答案：略13. 已知sin= .参考答案：14. 右图是求的值的程序框图，则正整数__参考答案：10015. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为。
2018年安徽省合肥市教院附属中学高一数学理联考试卷含解析
2018年安徽省合肥市教院附属中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则使得都成立的取值范围是（ ）A.（0，）B.（0，） X.（0，） ∆.（0，）参考答案：B2. 若变量x，y满足约束条件则z＝5y－x的最大值是( )A．16 B．30 C．24 D．8参考答案：A略3. 函数y=的定义域是（）A．[﹣4，0）∪（0，1）B．[﹣4，0）∪（0，1] C．（﹣4，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：﹣4≤x＜1，且x≠0．∴函数y=的定义域是[﹣4，0）∪（0，1）．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础的计算题．4. 在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，则角C=（）A . 450 B. 1500 C.300 D. 1350参考答案：A略5. 已知集合参考答案：略6. 若点P在圆上运动，，则PQ的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.【详解】由圆的方程得：圆心坐标，半径点轨迹为：，即圆心到直线距离：本题正确选项：【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B.C. D.参考答案：D试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．8. （5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y=D．y=x2，x∈参考答案：B考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数满足①定义域关于原点对称；②f（﹣x）=f（x）．解答：对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数；对于选项A，是奇函数；对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数．故选B．点评：本题考查了函数奇偶性的判定；①判断函数的定义域是否关于原点对称；②如果不对称是非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．9. 已知函数，则的值是（）A. B. 4C. D.参考答案：C试题分析：根据分段函数解析式可知，，所以，故选C.考点：分段函数.10. 等于（）A．1 B．2 C．－1 D．－2参考答案：C解析：原式＝＝二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2015秋?鞍山校级期末）设f（x）=，则f[f（）]= ．参考答案：【考点】函数的值域；函数的值．【专题】计算题．【分析】先由计算，然后再把与0比较，代入到相应的函数解析式中进行求解．【解答】解：∵∴故答案为：．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是计算出后，代入到函数的解析式时，要熟练应用对数恒等式．12. 已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=sin（α﹣β），则tanα= ．参考答案：1【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GK：弦切互化．【分析】把cos（α+β）=sin（α﹣β）利用两角和公式展开，可求得（sinα﹣cosα）（cosβ+sinβ）=0，进而求得sinα﹣cosα=0，则tanα的值可得．【解答】解：∵cos（α+β）=sin（α﹣β），∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=sinαcosβ﹣cosαsinβ，即cosβ（sinα﹣cosα）+sinβ（sinα﹣cosα）=0，∴（sinα﹣cosα）（cosβ+sinβ）=0，∵α、β均为锐角，∴cosβ+sinβ＞0，∴sinα﹣cosα=0，∴tanα=1．故答案为：113. 已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||= ．参考答案：10【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】由题意，已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），将此两点坐标代入向量求模的公式，计算即可得到||的值【解答】解：由题意A（﹣3，4）、B（5，﹣2），∴||===10故答案为1014. 化简： .参考答案：。
安徽省示范高中2018-2019高二春季联赛考试数学(文)答案
2019年春季联赛高二文科数学答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A2.C3.B4.D5.A6.C7.D8.B9.B 10.D 11.A 12.C1．A ．【解析】由题：{1,2,3,4}U =，{1,2,4}B =，{2,4}AB =，(){1,3}U AB =ð．2．C ．【解析】由一元二次方程求根公式可得方程2220z z ++=的两根为1i -±，故1i z =-+． 3．B ．【解析】命题p 为真命题，命题q 为假命题，故p q ∨是真命题．4．D ．【解析】20193(6731)3=+-⨯，故选D ． 5．A ．【解析】由题，1tan 12α⋅=-，tan 2α=-，于是2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===-++． 6．C ．【解析】因为所有的样本点都在直线2100y x =-+上，故负相关，这组样本数据的样本相关系数为1-．7．D ．【解析】设底面半径为，则两个圆锥的体积之和为23r Rπ，由23234383r R R ππ⋅=⋅得r =，球心到圆锥底面的距离2R d ==，故这两个圆锥高之差的绝对值为2d R =．8．B ．【解析】1PF 的中点在x 轴上，2PF y ⊥轴，2221212||||||16PF PF F F -==，由椭圆定义：12||||6PF PF +=，128||||3PF PF -=． 9．B ．【解析】如图，该几何体由边长为2的正方体削去两个三棱锥而成，不难求得其表面积为134342(2222++⨯+⨯=． 10．D ．【解析】注意到()f x 为偶函数，且0x →时，sin 1xx→，()1f x →； 又(1)sin110f =-<，sin 2(2)02f =>，故选D ． 11．A ．【解析】不等式组表示的区域如图所示，|3412|55x y d +-==，d 为区域内的点到直线:34120l x y +-=的距离，结合图象可知，2d -的最大值为原点O 到l 的距离，max 1255(2)225d =+=，即|3412|x y +-的最大值为22．12．C ．点(4,1)P ，设直线:(4)1l y k x =-+，与32681y x x x =-++联立得：326(8)40x x k x k -+-+=，由题，,,P A B x x x 为此方程的三个不等实根，故326(8)4(4)()()A B x x k x k x x x x x -+-+=---，对比方程两边2x 项的系数可知2A Bx x +=，故选C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省安庆市2018届高三数学下学期五校联盟考试试题文60
五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考数 学 试 卷（文科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}2{2x x y x A -==，}023{2<-+=x x x B .R 表示实数集，则下列结论正确的是（ ）A. B A ⊆B. A C B R ⊆C. B C A R ⊆D. A B C R ⊆2．复数Z 满足(1)()i Z i i +=为虚数单位，则在复平面上，复数z 对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知0152573=+-+a a a ，则9S =（ ）A. 35B. 36C. 45D. 544. 小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34 B ．23 C ．12 D ．135. 设0.50.433434(),(),log (log 4),43a b c ===则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a << 6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A. 90B. 72C. 68D. 607.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A.12S >B. 35S >C. 710S > D. 45S > 8. 把函数()2sin cos f x x x x =的图象向左平ϕ（0ϕ>）个单位，得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.3π B. 4π C. 6π D. 12π 9.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，定点A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M（点M 在F 、A 中间），与抛物线C 的准线交于点N ，则FMMN=uuu ruuu r （ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310. 已知ABC ∆中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅u u u v u u v的最小值为（ ） A. 4- B. 2- C. 1- D. 0 11. 设函数()244,1 43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ()2log g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是 （ ）A. 4B. 3C. 2D. 112. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是（ ）A ．B ．2C ．4D ．8第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为 .14.设实数,x y 满足2020240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最小值为 .15.已知椭圆2222111x y a b += 11(0)a b >>与双曲线2222221x y a b -= 22(0,0)a b >> 有公共的左、右焦点12,F F ,它们在第一象限交于点P ,其离心率分别为12,e e ,以12,F F 为直径的圆恰好过点P ,则221211e e += . 16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 333235,37911,413151719=+=++=+++L根据上述分解规律，若2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是21，则m p += ___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知函数()f x2)cos()cos ()2x x x πππ+⋅-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()f A =32，2,4a b c =+=，求,b c .18．（本题满分12分）如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥,22AB AB EF ==,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =︒=为AD 的中点.（Ⅰ）求证：EH BD ⊥； （Ⅱ）求四棱锥D ABFE -的体积.19.（本题满分12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率． 参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20．（本题满分12分）如图,椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、,椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为21. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于B A 、两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得⋅为定值？证明你的结论. 21．（本题满分12分） 已知函数()()ln 1f x x a x =+- （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为sin x a y a⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）求不等式2)(≥x f 的解集;（Ⅱ）若对于任意R x ∈,不等式t t x f 211)(2->恒成立,求实数t 的取值范围.五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考数 学 参 考 答 案（文科） 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.答案： 甲. 14. 答案： 4. 15. 答案：2. 16.答案：10.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17、【解析】(1)∵()f x π+x)·cos(π−x)+cos 2(2π+x)，∴()f x −sin x)·(−cos x)+(−sin x)21cos 22x -=sin(2x −6π)+12．（3分）由2k π−2π≤2x −6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得k π−6π≤x ≤k π+3π，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间是[k π−6π，k π+3π]，k ∈Z ．（6分）(2)由()f A =32得，sin(2A −6π)+12=32，∴sin(2A −6π)=1，∵0<A<π，∴0<2A<2π，−6π<2A −6π<116π，∴2A −6π=2π，∴A=3π，（8分）∵a=2，b+c=4 ①， 根据余弦定理得，4=2b +2c −2bccos A=2b +2c −bc=(b+c)2−3bc=16−3bc ，∴bc=4 ②，联立①②得，b=c=2．（12分）18.【解析】（Ⅰ）在梯形A B C D 中,∵CD AB //,CB AD =,∴=∠BAD 60ABC ∠=,∴=∠ADC 120=∠BCD ,∵1==DC AD . ∴=∠CAD 30=∠ACD ,∴ 90=∠ACB ,∴AC BC ⊥.（4分）∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面 ACFE 平面ABCD AC =,∴⊥BC 平面ACFE .（Ⅱ）在ADC ∆中,-+=222DC AD AC ADC DC AD ∠⋅cos 23=,∴3=AC .分别以CF CB CA ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立平面直角坐标系, 设h CF =,则)0,0,0(C ,)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,0,21(D ,),0,0(h F ,则)0,1,21(-=,),1,0(h BF -=,易知平面BCF 的一个法向量为)0,0,1(=m ,设∵平面B D F 的法向量为),,(z y x =,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BF n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021hz y y x 令1=z ,则h x 2=,h y =,∴平面BDF 的法向量为)1,,2(h h n =,∵二面角D BF C --的平面角的余弦值为66, ∴>=<n m ,cos 1522+h h 66=,解得1=h ,即1=CF .（10分） 所以六面体ABCDEF 的体积为：=ABCDEF V ACFE B V -ACFED V -+BC S ACFE ⨯=正方形31D ACFE y S ⨯+正方形3121211311131=⨯⨯+⨯⨯=.（12分）19.【解析】（1）由列联表可知： ()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关．（6分） （2）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）． 设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ， b ， c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d ， e ．则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ， (),a c ， (),a d ， (),a e ， (),b c ， (),b d ，(),b e ， (),c d ， (),c e ， (),d e 共10种，其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e 共1种， 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=．（12分）20.【解析】（Ⅰ）由题设得622=+c a ,又21==a c e ,解得1,2==c a ,∴3=b . 故椭圆C 的方程为13422=+y x .（4分） （Ⅱ）)0,1(2F ,当直线l 的斜率存在时,设此时直线l 的方程为)1(-=x k y ,设),(11y x A ,),(22y x B ,把)1(-=x k y 代入椭圆C 的方程13422=+y x ,消去y 并整理得, 01248)43(2222=-+-+k x k x k ,则2221438k k x x +=+,222143124kk x x +-=, 可得)1)(1(21221--=x x k y y ]1)([21212++-=x x x x k 22439k k +-=.设点)0,(n P ,那么),(),(2211y n x y n x -⋅-=⋅2122121)(y y n x x n x x +++-=2223412)85(n k k n ++++-=,若x 轴上存在定点P ,使得PB PA ⋅为定值,则有312485=+n ,解得811=n , 此时,6413542-=+-=⋅n , 当直线l 的斜率不存在时,此时直线l 的方程为1=x ,把1=x 代入椭圆方程13422=+y x 解得23±=y , 此时,)23,1(A ,)23,1(-B , =⋅)23,83()23,83(--⋅-64135-=,综上,在x 轴上存在定点)0,811(P ,使得PB PA ⋅为定值.（12分）21.【解析】：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞， ， ()1f x a x'=-.若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，单调递增. 若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<.所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在()0+∞，无最大值；当0a >时， ()f x 在1x a=取得最大值，最大值为1111ln 1f ln a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此122f a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭等价于ln 10a a +-<. 令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在()0+∞，单调递增， ()10g =. 于是，当01a <<时， ()0g a <；当1a >时， ()0g a >. 因此， a 的取值范围是()0,1.（12分） 22.【解析】：（1）由曲线C 1：，得，∴曲线C 1的普通方程为：， 由曲线C 2：，展开可得：，即曲线C 2的直角坐标方程为：x -y +4=0．（4分）（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x-y-4=0的距离为，∴当时，d 的最小值为．（10分）23.【解析】（Ⅰ）)由题意,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=,2,3,221,13,21,3)(xxxxxxxf当21-<x时,23≥--x,解得5-≤x,∴5-≤x;当221<≤-x时,213≥-x,解得1≥x,∴21<≤x;当2≥x时, 23≥+x,解得1-≥x,∴2≥x;综上,不等式2)(≥xf的解集为{}1,5≥-≤xxx或.（5分）（Ⅱ）当21-<x时,3)(--=xxf,25)(->xf;当221<≤-x时,2513)(-≥-=xxf;当2≥x时, 53)(≥+=xxf.所以25)(min-=xf.不等式ttxf211)(2->恒成立等价于min2)(211xftt<-,即252112-<-tt,解得521<<t.（10分）。
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2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2018 年 6 月 30 日上午 9:00—11:30）
题号
一
二
总分
9
10
11
12
得分 评卷人
复核人
注意：1.本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3.书写不要超过装订线；
4.不得使用计算器.
一、 填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简）
1：设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且| z |=5 ，则 z =________.
2
：设n 是正整数，且满足n 5 = 438427732293 ，则 n =________
.
3：函数 f (x)=| sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) | 的最小正周期=________
.
4：设点 P, Q 分别在函数y = 2x
和y = log x 的图象上，则| PQ | 的最小值__________.
5：从1, 2,,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 s 2 ≤ 1 的概率为_________
.
6：在边长为 1 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC1 相切，则
小球半径的最大值为_________
.
7：设 H 是△ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0 ，则cos AHB ________
8：把1,2,……, n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格Tn ，第一行是1,2,……,n 例如（图1）：设
2018在T100的第i 行第j 列，则(i,j)=________
(图1)
二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分）
3. 如图所示，设 ABCD 是矩形，点 E , F 分别是线段 AD , BC 的中点，点G 在线段 EF 上，点 D , H 关于
线段 AG 的垂直平分线l 对称.求证: ∠HAB = 3∠GAB .
D
C
E
F
A
B
4.设O 是坐标原点，双曲线C : x
a2
y2
-=1(a > 0, b > 0) 上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A, B b2
两点.
（1）求证: △AOB 的面积S 是定值；
（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.
5.（1）求证：对于任意实数x, y, z 都有x2 + 2 y2 + 3z2 ≥3(xy +yz +zx) .
（2）是否存在实数k >，使得对于任意实数x, y, z 下式恒成立？
x2 + 2 y2 + 3z2 ≥k (xy +yz +zx)
试证明你的结论.
6.在正2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.
求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数
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