函数的基本性质(整理)
函数图象与性质总结
函数的图像和性质专题 第1讲 函数的基本性质总结（一）、函数单调性 1、函数单调性的定义 （1）、设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。
区间D 称为y=f(x)的单调增区间（2）、如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：（1） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2） 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) 。
2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (1) 定义法：1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；2 作差f(x 1)－f(x 2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (2)图象法(从图象上看升降)_(3)要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意(0,0)by ax a b x=+>>型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b ba a-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b ba a-(4)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f [g(x)] 增 减 减 增 例、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）； 注意：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．例、若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,23)）（二）、函数的奇偶性1、函数的奇偶性 （1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：（1） 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
常用函数的基本性质
一些常用函数的基本性质 一、一次函数：y kx b =+1、当0k >时，函数图象必经过一、三象限，函数在(,)-∞+∞为单调递增函数；2、当0k <时，函数图象必经过二、四象限，函数在(,)-∞+∞为单调递减函数。
二、二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠1、对称轴2bx a=-， （1） 当0a >时，抛物线图像开口向上，在2bx a=-时，y 取得最小值；并且x 的值离对称轴越远，y 的取值就越大；函数在(,)2ba-∞-单调递减，在(,)2ba-+∞单调递增。
（2） 当0a <时，抛物线图像开口向下，在2bx a=-时，y 取得最大值；并且x的值离对称轴越远，y 的取值就越小；函数在(,)2ba-∞-单调递增，在(,)2ba -+∞单调递减。
2、2(0)y ax bx c a =++≠对应的方程为2(0)ax bx c a ++≠， （1）当判别式：24b ac ∆=-0>时，函数与x 轴有两个不同的交点 （2）当判别式：24b ac ∆=-0=时，函数与x 轴有两个相等的交点 （3）当判别式：24b ac ∆=-0<时，函数与x 轴没有交点3、韦达定理：1212,b cx x x x a a+=-⋅=三、指数函数的定义函数x y a = (0a >且1a ≠)叫做指数函数，其中x 是自变量． 指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数。
函数的基本性质要点总结
函数的基本性质要点总结研究一种函数就要研究它的性质，单调性与奇偶性是函数最重要的基本性质。
一、单调性要点1:增函数、减函数定义及图象特征一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f（）＜f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。
减函数的定义类似。
反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。
关于函数单调性的理解：（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数y=c，又如函数。
（2）函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。
因此，若要证明在[a，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意的两点x1、x2，当x1＜x2时都有不等式f (x1)＜f (x2)成立。
若要证明在[a，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。
即只要找到两个特殊的x1、x2，若a≤x1＜x2≤b，有f (x1)≥f (x2)即可。
（3）函数单调性定义中的x1、x2，有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉。
证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。
要点2：单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y＝f（x）的单调区间。
关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。
函数及其性质总结知识点
函数及其性质总结知识点函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程的重点内容之一。
函数是描述两个集合之间的依赖关系的映射，它在数学、物理、化学、经济学等领域都有着广泛的应用。
本文将从函数的定义、基本性质、常见函数及其性质等方面对函数进行总结。
一、函数的定义在数学上，函数是描述两个集合之间的依赖关系的一种数学结构。
具体来说，设A和B 是两个集合，如果对于A中的每一个元素x，都有且仅有一个元素y与之对应，那么就称这样的依赖关系为从集合A到集合B的一个函数。
通常用f表示函数，记作f: A → B，其中A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数中自变量的取值范围，值域是函数中因变量的取值范围。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图象关于原点对称的性质。
若函数满足f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
若对于任意的x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数为单调不减；若对于任意的x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数为单调不增。
4. 周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域上任意的x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性。
三、常见函数及其性质1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图象为一条直线，斜率k决定了函数的单调性和斜率的大小，截距b决定了函数的平移。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图象为抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点的坐标由(-b/2a, c-b^2/4a)决定。
3. 幂函数：y = x^n，其中n为常数。
幂函数的图象形状由n的奇偶性和正负性决定，若n 为正偶数，则图像在第一象限共线上，n为正奇数则图像在一、三象限上共线，n为负偶数则在第四象限，负奇数图像在二、四象限上共线。
函数的基本性质 知识总结
《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。
以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。
函数的定义域和值域可以用图像来表示。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。
可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。
4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。
5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为极值。
6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。
7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。
8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。
10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。
复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。
函数的基本性质
函数的基本性质函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1： 那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间） 若 ，那么上是增函数； 上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数 和 ，如果函数 在区间 上具有单调性，当 时 ，且函数 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：(1)当 和 具有相同的增减性时，① 的增减性与 相同，② 、 、 的增减性不能确定；(2)当 和 具有相异的增减性时，我们假设 为增函数， 为减函数，那么：① 的增减性不能确定；② 、 、 为增函数， 为减函数。
4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数 的图象的对称性（自身）:定理1: 函数 的图象关于直 对称特殊的有：①函数 的图象关于直线 对称 。
②函数 的图象关于 轴对称（奇函数） 。
③函数 是偶函数 关于 对称。
定理2：函数 的图象关于点 对称特殊的有：① 函数 的图象关于点 对称 。
② 函数 的图象关于原点对称（奇函数） 。
③ 函数 是奇函数 关于点 对称。
定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组张驰1. 单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I A .如果对于区间I内的_______ 两个值X i , X2 ,当X i<X2时，都有f(x i) ________ f(X2), 那么y =f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y = f X的单调____________ 区间•如果对于区间I内的_________ 两个值X i , X2，当X i<X2时，都有f (X i) ______ f(X2),那么y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y f (x)的单调_______ 区间.如果函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么函数y = f (x)在区间I上具有___________ .点评单调性的等价定义：① f (x)在区间M上是增函数二_x i,x^ M ,当％：：：x2时，有f(X i) - f(X2)：：0二(％_x2) [ f (Xj) _ f (x2)] 0 f (Xi)——f (X2)• 0 二― 0 ；% - x2A x②f (x)在区间M上是减函数=■ X i,x^ M ,当X i ：：：X2时，有f(X i) - f(X2)0 二(% _x2) [ f (xj 一 f (x2)] ：：0= f (Xi)__f (X2)::: 0：= —y：：：0 ;X r —X2A x⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法 (用于小题)，⑥结论法等.注意：①定义法(取值一一作差一一变形一一定号一一结论) ：设X i, X2 • [a, b]且X i -X2，那么化-x2) [f (xj - f (x2)] • 0：= f (Xi)一f(X2)0= f (x)在区间[a，b]上是增X r _ X2函数；(％ -x2) [ f (xj - f (x2)] ：：0 = f (Xi)—：：0 f (x)在区间[a，b]X i —X2上是减函数。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。
函数性质知识点总结优秀4篇
函数性质知识点总结优秀4篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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函数的基本性质
4．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如
1 函数 f(x)＝x的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不能表
述为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，
fx1 也可以作商 与 1 比较． fx2
＝[2(x2＋x1)－3](x2－x1)．
由 x1<x2，得 x2－x1>0，
由
3 3 3 x1，x2∈ －∞，4 ，得 x1<4，x2<4.
3 3 ∵2x1<2，2x2<2，∴2(x2＋x1)<3， 即 2(x2＋x1)－3<0. 于是 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
(k＞0)，[f(x)]n(n∈N，n＞1)都是增函数．
3．求函数 y＝f[g(x)]的单调区间的步骤．
(1)确定定义域； (2)将函数分解成函数 y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增同减，则 y＝f[g(x)]为增函数；若一增 一减，则 y＝f[g(x)]为减函数(同“增”异“减”)．
[方法· 规律· 小结] 1．函数单调性的判定方法． (1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值→作 差变形→判断符号→下结论”的步骤，进行判断． (2)图象法：画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势 判断函数的单调性． (3)直接法：对于熟悉的函数，如一次函数、二次函数和反 比例函数等，直接写出它们的单调区间．
故f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．
课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数 单调性的一般步骤： (1)取值：即设x1，x2是该区间内 的任意两个值，且x1＜x2. (2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－ f(x2))，并通过通分、配方、因式分解 等方法，向有利于判断差的符号的方 向变形．
免费初高中函数知识点总结
免费初高中函数知识点总结一、函数的定义和基本性质1. 函数的定义函数是一种特殊的对应关系，即对于每一个自变量的取值，对应且仅对应一个因变量的取值。
符号表示为：y = f(x)，其中y称为因变量，x称为自变量，f(x)为函数符号。
函数通常用一种对图表或几何图形的表示方法来表达。
2. 函数的基本性质（1）定义域：函数中自变量的取值范围。
（2）值域：函数中因变量的取值范围。
（3）奇偶性：若函数满足f(x) = f(-x)，称为偶函数；若函数满足f(x) = -f(-x)，称为奇函数；若既不是偶函数也不是奇函数，称为非奇非偶函数。
（4）单调性：函数在定义域内的值随自变量的增大而增大(或减小)的性质。
（5）周期性：若存在正数T，使得对于函数f(x)，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
二、常见函数类型及图像特征1. 一次函数形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
特征：图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
2. 二次函数形式为y = ax² + bx + c，其中a≠0。
特征：图像为开口朝上或者开口朝下的抛物线，抛物线的开口方向取决于a的正负值，抛物线在y轴上的交点为c。
3. 幂函数形式为y = x^n，其中n为常数。
特征：n为偶数时，函数图像在第一和第四象限均为非负值，n为奇数时，函数图像在整个坐标系都有定义。
4. 指数函数形式为y = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1。
特征：函数图像在经过点(0,1)，当a>1时函数图像递增，当0<a<1时函数图像递减。
5. 对数函数形式为y = logₐx，其中a为常数且a>0，a≠1。
特征：函数图像在x轴的正半轴上有定义，对数函数的导数在x>0时为正值。
6. 三角函数包括正弦函数y = sinx，余弦函数y = cosx，正切函数y = tanx等。
函数的性质知识点总结
函数的性质知识点总结函数的性质是数学中非常重要的概念之一，它描述了数与数的映射关系。
函数的性质有很多，包括定义域与值域、奇偶性、周期性、单调性、最值、连续性等，下面我将对函数的这些性质进行一一介绍。
首先，函数的定义域与值域是函数的基本性质之一。
函数的定义域是函数自变量可以取的值的集合，而值域则是函数因变量取值的集合。
例如，对于函数f(x) = 2x+1，其定义域是全体实数集，值域也是全体实数集。
其次，函数的奇偶性是指函数关于y轴对称还是关于原点对称。
若对于定义域内任意的x值，有f(-x) = f(x)，则函数是关于y轴对称的，即为偶函数；若对于定义域内任意的x值，有f(-x) = -f(x)，则函数是关于原点对称的，即为奇函数。
例如，y =x^2 是一个关于y轴对称的偶函数，而y = x^3 是一个关于原点对称的奇函数。
函数的周期性是指函数在某一区间内具有相同的性质，如图像的重复性。
若存在一个正数T，使得对于定义域内任意的x值，有f(x+T) = f(x)，则函数是周期函数。
例如，y = sin(x) 是一个周期为2π的正弦函数，y = 2^x 是一个无理指数函数，没有周期。
函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
若对于定义域内的任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≤ f(x2)，则函数是递增函数；若对于定义域内的任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≥ f(x2)，则函数是递减函数。
例如，y = x^2 是一个递增函数，y = -x^3 是一个递减函数。
函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
若存在x0使得对于定义域内的任意的x，有f(x)≤ f(x0)，则f(x0)称为函数的最大值；若存在x0使得对于定义域内的任意的x，有f(x)≥ f(x0)，则f(x0)称为函数的最小值。
例如，y = -x^2+1 的最大值是1，最小值为无穷大。
函数的连续性是指函数在定义域内没有间断点。
函数的基本性质（总结版）
函数的基本性质基础知识：1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系；的关系；○3 作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。
是奇函数。
（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数的性质知识点总结
函数的性质知识点总结函数的性质知识点总结众所周知，函数是重点也是难点哈，函数性质，图像以及零点和分段函数是高考的热点哦，下面是小编为大家收集整理的函数的性质知识点总结，欢迎阅读。
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x 轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
函数的基本性质
一、函数的单调性及单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。
那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
二、函数单调性的判断与证明1．函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1) <f(x2)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间．当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间．三、函数单调性的性质(1) 定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2) 导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．四、复合函数的单调性五、函数的最值及其几何意义（无）六、奇函数如果对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数1、奇函数图象关于原点对称。
2、奇函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为奇函数。
3、若为奇函数，且在x=0处有意义，则七、偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
(word完整版)函数的基本性质知识点,推荐文档
第 1 页 共 2 页✌单调性1、定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
2、函数单调性的证明方法：（1）定义法：其一般步骤为：①任取2121,,x x D x x ＜且∈;②论证)()()()(2121x f x f x f x f ＞（或＜； ③根据定义得出结论。
（2）用已知函数的单调性（3）图象法3、复合函数的单调性如果是增函数；如果单调性相同，那么和))(()()(x g f y x g u u f y ===)(u f y =和是减函数。
单调性相反，那么))(()(x g f y x g u ==也就是说，复合函数的单调性由其内、外函数的单调性共同决定，它遵循“同增异减”的原则，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减。
✌函数的奇偶性1、 定义：设函数A x x f y ∈=),(，如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数；如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数。
2、 性质函数的基本性质第 2 页 共 2 页 （1）前提条件：定义域关于原点对称。
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
(3)若)(x f 的定义域为R ，且当[)+∞∈,0x 时为增函数，则当)(x f 为奇函数时，它在()0,∞-上为增函数，当)(x f 为偶函数时，它在()0,∞-上为减函数。
(4)若奇函数)(x f 的定义域中包含0，则0)0(=f 。
3、 判断函数奇偶性的方法（1） 定义法：①确定定义域，看是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶。
②若定义域关于原点对称，函数表达式能化简则适当化简，再判断。
函数的基本性质总结
函数的基本性质总结一、单调性1. 定义：在定义域内，任意21x x <，都有()()21x f x f <，则()x f 在定义域内是单调递增的；任意21x x <，都有()()21x f x f >，则()x f 在定义域内是单调递减的。
2. 判断方法：①定义法及其变形：()()0)()(2121>--x f x f x x 或0)()(2121>--x x x f x f 是增函数 ()()0)()(2121<--x f x f x x 或0)()(2121<--x x x f x f 是减函数 ②图像法③导数法④复合函数法：同增异减⑤单调性的运算性质 增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数 减函数-增函数=减函数二、奇偶性1、定义：在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=，称函数)(x f 是偶函数； 在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f --=，称函数)(x f 是奇函数。
2、判断方法：①定义法：定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要条件②图像法:图像关于原点对称是奇函数，图像关于y 轴对称是偶函数3、常见结论 奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数奇函数⨯奇函数=偶函数 偶函数⨯偶函数=偶函数奇函数⨯偶函数=偶函数①函数)(a x f y +=是偶函数，则)(x f 关于a x =对称②函数)(a x f y +=是奇函数，则)(x f 关于)0,(a 对称③若函数)(x f y =是奇函数，且在0=x 处有定义，则0)0(=f④奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，最值相反；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，最值相同。
三、对称性1、单个函数的对称性①若函数)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =函数关于a x =对称⇔)()2(x f x a f =- ②)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =关于2b a x +=对称 ③)()(x a f x a f --=+⇔函数)(x f y =关于()0,a 对称⇔)2()(x a f x f --= ④⇔=-++0)()(x b f x a f 函数)(x f y =关于⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 对称 ⑤⇔=-++C x b f x a f )()(函数)(x f y =关于⎪⎭⎫⎝⎛+2,2c b a 对称 2、两个函数的对称性①函数)(x f y =关于a x =对称的函数是)2(x a f y -=②函数)(x f y =关于b y =对称的函数是)(2x f b y -=③函数)(x f y =关于),(b a 对称的函数是)2(2x a f b y --=四、周期性1、定义：在函数的定义域内，对任意的x 都存在一个常数()0≠T T ,使得)()(x f T x f =+成立，则称函数是周期函数，T 叫做函数的)(x f 一个周期（注：T 专指最小正周期）2、常见结论①)()(x f a x f -=+，则a T 2= ②)(1)(x f a x f ±=+，则a T 2= ③)()(a x f a x f -=+，则a T 2= ④)(1)(1)(x f x f a x f +-=+，则a T 2= ⑤)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，则a T 4= ⑥若函数)(x f y =关于)(,b a b x a x ≠==对称，则b a T -=2⑦若函数)(x f y =关于()())(0,,0,b a b a ≠对称，则b a T -=2⑧若函数)(x f y =关于())(0,b a b x a ≠=同时关于对称，则b a T -=4。
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卓越个性化教案【知识点梳理】一、函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正）（4）在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
补充说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： ①其定义域关于原点对称；②()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
③无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
④函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数。
⑤奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。
⑥奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法三、函数的最值 （1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
（2）利用函数单调性判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；四、函数的周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
【典型例题】 一、函数的单调性 例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( ) A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．12a >- D ．12a <(2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数,,a b R ∈且0a b +≤,则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-(4) 如右图是定义在闭区间上的函数()y f x =的图象,该函数的单调增区间为例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．例 4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围。
二、奇偶性例6． 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx-+11； （3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（4）⎩⎨⎧>+<-=).0()1(),0()1()(x x x x x x x f点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例7．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ 。
例8．已知()f x 是奇函数，当x ∈（0，1）时，1()lg1f x x=+，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是 ．例9．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，满足2(2)(4)0f a f a -+-<，试求a 的取值范围例10． （普宁市城东中学09）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
三、周期性例11．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。
①证明：(1)(4)0f f +=； ②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③求()y f x =在[4,9]上的解析式。
补充：函数的性质综合题（单调性、奇偶性和周期性） 1． 已知xxx f a-+=11log )(（其中10≠>a a 且） （1）求f(x)的定义域 （2）判断f(x)的奇偶性（3）函数f(x)的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由。
2． 已知函数)2,0(,2)(∈+=x xx x f （1）求证函数在)2,0(上单调递减；（2）函数)(x f 在)2,2(上单调性如何？试结合（1）进行分析； （3）利用（1）、（2）的结论，试求出函数)(x f 在)2,0(上的最小值。
3． 已知函数)(x f 在R 上是增函数，且对任意的x,y 都满足1)2(),()()(=+=+f y f x f y x f （1）求f(1),f(4)的值；（2）若2)12()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围。
4.已知函数k x f x+-=132)(是奇函数 （1）求实数k 的值；（2）判断f(x)在),0(+∞上的单调性，并给予证明； （3）当λ为何值时，关于方程]2,1[)(在λ=x f 上有实数解？5．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x(吨)之间的函数关系式近似的表示为400030102+-=x x y （1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本。
（参考：函数上是增函数上是减函数，在区间在区间),[],0()0(+∞>+=a a a xax y ）6． （番实高一级期中考试）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数 （1）求k 值；（2）若0<a<1，指出函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的实数t 满足的条件； （3）若),1[)(2)(,23)1(22+∞-+==-在且x mf a a x g f x x ，上的最小值为-2，求m 的值。
7. 函数21)(xb ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且52)21(=f （1）求f(x)的解析式；（2）证明函数）上是增函数在（,11)(-x f ； （3）解不等式：0)()1(<+-t f t f【巩固练习】一、选择题1. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是A. y=x+1B. 3x y = xy C 1.= x y D 3log .= 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ）A ．1=yB ．21+-=xxy C ．122---=x x y D ．21x y +=3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b4．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，则下列各点中，不在函数y=f （x ）图象上的点是（ ）A.（-a ，f （a ））B.（-a ，f （-a ））C.（-a ，-f （-a ））D.（a ，f （-a ））5．若奇函数f （x ）在[a ，b]上是增函数，且最小值为1，则f （x ）在[-b ，-a]上是（ ）A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最小值是-1D.减函数且最大值是-16．设32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则f （x ）在区间（-5，-2）上是（ ）A.增函数B.减函数C.不具有单调性D.单调性由m 确定7． 已知R 上的奇函数的解集为则不等式上单调递增，且在0)(,0)2()0,()(≤=--∞x f f x f （） A. ]2,2[- B. ]2,0[]2,(⋃--∞ ),2[]2,.(+∞⋃--∞C ),2[]0,2.[+∞⋃-D 二、填空题8．以下五个函数：（1）)0(1≠=x xy ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是_________9. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，32)(2--=x x x f ，则当x<0时，f(x)=10．定义在[-1，1]上的函数y=f （x ）是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，则实数a 的取值范围是_______。