江苏省南京市 盐城市高考数学二模试卷 解析版
2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(附答案详解)
2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=3+4i，则z1z2=()A. 25B. −25C. 7−24iD. −7−24i2.设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，与a⃗，b⃗ 共面的向量c⃗满足a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗=2，则c⃗的模为()A. 1B. √2C. 2D. 2√24.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(V称为接种率)，那么1个感染者新N(N−V).已知新冠病毒在某地的基本传染数R0=2.5，为了使1个的传染人数为R0N感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为()A. 40%B. 50%C. 60%D. 70%5.计算2cos10°−sin20°所得的结果为()cos20∘A. 1B. √2C. √3D. 26.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为π，则其圆心角用密位制表示为()2的扇形，它的面积为76A. 12−50B. 17−50C. 21−00D. 35−007. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cosθ=14.若|AB|=|AF 1|，则双曲线C 的离心率为( )A. 4B. √15C. 32D. 28. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x >0时，f′(x)⋅lnx +f(x)x>0，则不等式(x 2−1)f(x)<0的解集为( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为( )A. 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB. 若m//α，n//β，α⊥β，则m ⊥n 或m//nC. 若m//α，α//β，则m//β或m ⊂βD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α或n ⊂α10. 已知a >b >0，下列选项中正确的为( )A. 若√a −√b =1，则a −b <1B. 若a 2−b 2=1，则a −b <1C. 若2a −2b =1，则a −b <1D. 若log 2a −log 2b =1，则a −b <111. 已知函数f(x)=√|sinx|+√|cosx|，则( )A. f(x)是周期函数B. f(x)的图象必有对称轴C. f(x)的增区间为[kπ,kπ+π2],k ∈Z D. f(x)的值域为[1,√84]12. 已知n ∈N ∗，n ≥2，p +q =1，设f(k)=C 2n k p k q2n−k ，其中k ∈N ，k ≤2n ，则( ) A. ∑f 2n k=0(k)=1B. ∑k 2n k=0f(k)=2npqC. 若np =4，则f(k)≤f(8)D. ∑f n k=0(2k)<12<∑f n k=1(2k −1)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有______ 种.(用数字填写答案)14.已知椭圆x24+y23=1的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆与椭圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R的值为______ ．15.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=2.若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P−ABCD的外接球所截得的线段长为______ ．16.牛顿选代法又称牛顿−拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))作曲线y=f(x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点(x1,f(x1))作曲线y=f(x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般的，过点(x n,f(x n))(n∈N)作曲线y=f(x)的切线l n+1，记l n+1与x轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r的n+1次近似值.设f(x)=x3+x−1(x≥0)的零点为r，取x0=0，则r的2次近似值为______ ；设a n=3x n3+x n2x n3+1，n∈N∗，数列{a n}的前n项积为T n.若任意n∈N∗，T n<λ恒成立，则整数λ的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①b=√3a；②a=3cosB；③asinC=1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB−sin(A−C)=√3sinC，c=3，_____？18.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r，其中r为常数．(1)求r的值；(2)设b n=2(1+log2a n)，若数列{b n}中去掉数列{a n}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n}，求c1+c2+c3+⋯+c100的值．19. 某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x (单位：百万元) 12345所获利润y (单位：百万元)0.3 0.3 0.5 0.9 1(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资.若公司对项目B 投资x(1≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：y =0.16x −0.49x+1+0.49，求A ，B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，……，(x n ,y n )，其回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．②线性相关系数r =x i n i=1y i −nx −⋅y−√(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2).一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中∑x i n i=1y i =11，∑y i 2n i=1=2.24，√4.4≈2.1．20. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C =√6，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求BP 的长21. 已知直线l ：y =x +m 交抛物线C ：y 2=4x 于A ，B 两点．(1)设直线l 与x 轴的交点为T.若AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TB⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值； (2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．22. 已知函数f(x)=e x −axsinx −x −1，x ∈[0,π]，a ∈R ．(1)当a =12时，求证：f(x)≥0；(2)若函数f(x)有两个零点，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵z1=3+4i，且复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，∴z2=3−4i，则z1z2=(3+4i)(3−4i)=32−(4i)2=9+16=25，故选：A．由已知求得z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：集合A，B是全集U的两个子集，由A∩B=⌀，能够推出A⊆∁U B，由A⊆∁U B，能够推出A∩B=⌀，故集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”的充要条件，故选：C．根据集合的运算和定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了充要条件的判定、集合的运算以及子集的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，∴不妨设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，设c⃗=(x,y)，则由a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗=2，得x=y=2，即c⃗=(2,2)，则c⃗的模长为|c⃗|=√22+22=√8=2√2，故选：D．根据a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，利用坐标法，利用数量积公式，建立方程，进行求解即可．本题主要考查向量模长的计算，根据条件转化为坐标，利用坐标法是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】C【解析】解：为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N (N−V)≤1，即R0⋅N−VN≤1，所以R0(1−VN)≤1，由题意可得R0=2.5，所以2.5(1−VN)≤1，解得VN≥0.6=60%，故选：C．根据已知建立不等式关系即R0N(N−V)≤1，然后由R0=2.5，即可求解．本题考查了函数的实际应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：2cos10°−sin20°cos20=2cos(300−20°)−sin20°cos20=√3cos200cos20=√3，故选：C．将100拆成300−200.利用差角的余弦求解即可．本题主要考查两角差的余弦公式的运用，正确记住公式是关键，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：面积为76π，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为θ=2π⋅Sπr2=2π⋅7π6 4π=7π12，由题意可知，其密位大小为6000×7π122π=1750，所以用密位制表示为17−50．故选：B．先利用扇形的面积公式求出圆心角的弧度数，然后利用题中给出的密位制的定义求解即可．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，考查了转化化归能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2a，∵|AB|=|AF1|，∴|AF2|+|BF2|=|AF1|，即|AF1|−|AF2|=|BF2|=2a，∴|BF1|=|BF2|+2a=4a，在△BF1F2中，由余弦定理知，cosθ=|BF2|2+|F1F2|2−|BF1|22|BF2|⋅|F1F2|，∴14=4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c=c2−3a22ac，∴2c2−ac−6a2=0，∵e=ca>1，∴2e2−e−6=0，解得e=2或−32(舍)，∴双曲线C的离心率为2．故选：D．由双曲线的定义，可得|BF2|=2a，|BF1|=4a，在△BF1F2中，由余弦定理可得2c2−ac−6a2=0，再由e=ca>1，即可得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)lnx，则g′(x)=f′(x)lnx+f(x)x>0，∴g(x)在(0,+∞)时单调递增，又g(1)=f(1)ln1=0，∴x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0，当x∈(0,1)时，lnx<0，g(x)<0，∴f(x)>0，x∈(1,+∞)时，lnx>0，g(x)>0，∴f(x)>0，∴f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，又f(x)是奇函数，f(0)=0，∴f(x)<0在(−∞,0)上恒成立，①当x>0时，f(x)>0，∴x2−1<0，即0<x<1，②当x<0时，f(x)<0，∴x2−1>0，即x<−1，由①②得不等式的解集是(−∞,−1)∪(0,1)，故选：B．令g(x)=f(x)lnx，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：由两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，知：对于A，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直，故A正确；对于B，若m//α，n//β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m//α，α//β，则由线面平行、面面平行的性质得m//β或m⊂β，故C正确；对于D，若m⊥α，m⊥n，则由线面垂直的性质得n//α或n⊂α，故D正确．故选：ACD．对于A，由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，由线面平行、面面平行的性质得m//β或m⊂β；对于D，由线面垂直的性质得n//α或n⊂α．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】BC【解析】解：A：当a=9，b=4时，满足√a−√b=1，但a−b=5>1，∴A错误，B：若a2−b2=1，则a2−1=b2，即(a+1)(a−1)=b2，∵a+1>a−1，∴a−1<b，即a−b<1，∴B正确，C：若2a−2b=1，则a−b=log2(2b+1)−b=log2(1+2−b)，由于b>0，所以0<2−b<1，所以a−b<log22=1，故C正确，=1，则a=2b即可，当a=4，b=2，a−b=2>1，故D：若log2a−log2b=log2abD错误．故选：BC．直接利用不等式的性质，赋值法，作差法的应用判断即可．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：函数f(x)=√|sinx|+√|cosx|，对于A ：满足f(π2+x)=f(x)所以π2为周期函数的周期，故A 正确；对于B ：函数满足f(π2−x)=f(x)，所以函数关于x =π4对称，故函数的图像必有对称轴，故正确；对于C ：由A 知，函数的周期为π2，所以：对于C 中的关系，当k =0时，函数的单调递增区间为[0,π2]，显然错误，故C 错误；对于D ：当x =0时，f(0)=1=f(π2)，当x =π4时，f(π4)=814=√84，故D 正确． 故选：ABD ．直接利用三角函数关系式的性质和应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的应用，三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】AC【解析】解：∑f 2n k=0(k)=∑C 2n k 2n k=0p k q 2n−k =(p +q)2n =1，故选项A 正确； ∑k 2n k=0f(k)=∑k 2n k=0C 2n k p k q 2n−k =∑22n k=0nC 2n−1k−1p k q 2n−k =2np ∑C 2n−1k 2n−1k=0p k q2n−k−1， 而(p +q)2n−1=∑C 2n−1k 2n−1k=0p k q2n−1−k =1，故选项B 错误； 假设f(k)≤f(m)，则有{f(m)≥f(m −1)f(m)≥f(m +1)，即{m ≤8+p m ≥8−q ，所以m =8，故f(k)≤f(8)，故选项C 正确；当p =q =12时，∑f n k=0(2k)=12=∑f nk=1(2k −1)，故选项D 错误．故选：AC ．利用二项式定理的性质以及特殊值验证法对四个选项逐一判断即可．本题考查了二项式定理的理解和应用，解题的关键是掌握二项式定理的相关运算性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】36【解析】解：由题设可得满足要求的不同方案共有C 42A 33=36种，故答案为：36．利用两大计数原理求得结果即可．本题主要考查两大原理在处理排列、组合问题中的应用，属于基础题．14.【答案】√132【解析】解：由椭圆的方程可得A(2,0)，F(1,0)，由圆和椭圆的对称性可得BC 垂直于x 轴，所以x B =x C =x F =1， 代入椭圆的方程为：|y B |=b 2a=32，所以|BF|2=(32)2=94因为A 到直线BC 的距离d =|AF|=a −c =2−1=1， R 2=|AF|2+|BF|2=1+94=134，所以R =√132，故答案为：√132．由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，由圆和椭圆的对称性可得BC 垂直于x 轴，由F 的坐标可得B ，C 的横坐标，代入椭圆的方程可得B 的纵坐标的绝对值，再由圆的性质，垂直弦，平分的性质可得圆的半径，半个弦长和圆心到直线的距离构成直角三角形可得圆的半径的值．本题考查圆和椭圆的对称性及直线与圆相交相交弦长与半径的关系，属于中档题．15.【答案】√6【解析】解：把四棱锥P −ABCD 还原出一个棱长为2的正方体，则该正方体与四棱锥的外接球相同，如图所示：设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，所以过平面ABCD 的截面圆是正方形ABCD 的外接圆，且外接圆直径为2√2，半径为√2，直线EF 被外接圆所截得的弦长GH 即为所求， 连接AO′，交EF 于点M ，则AM =12EF =12×√2=√22，所以O′M =√22，GH =2MH =2×√3O′M =2√3×√22=√6，即直线EF 被四棱锥P −ABCD 的外接球所截得的线段长为√6． 故答案为：√6．把四棱锥P −ABCD 还原出一个棱长为2的正方体，该正方体与四棱锥的外接球相同，过平面ABCD 的截面圆是正方形ABCD 的外接圆，由此求出直线EF 被外接圆所截得的弦长即可．本题主要考查求几何体的外接球应用问题，也考查了四棱锥的结构特征应用问题，是中档题．16.【答案】34 2【解析】解：f′(x)=3x 2+1，设切点为(x n ,x n 3+x n +1)， 则切线斜率k =3x n 2+1，所以切线方程为y =(3x n 2+1)(x −x n )+x n 3+x n +1，令y =0，可得x n+1=−x n 3+x n −13x n2+1+x n =2x n 3+13x n2+1，因为x 0=0，所以x 1=1，x 2=34， 即r 的2次近似值为34， 因为x n+1=2x n 3+13x n2+1，所以x nxn+1=3x n 3+x n 2x n3+1=a n ，所以T n =a 1a 2…a n =x1x 2⋅x2x 3⋅…⋅x nxn+1=x 1xn+1=1xn+1，因为函数f(x)=x 3+x −1(x ≥0)为增函数， f(12)=−38<0，f(1)=1>0， 由零点存在定理可得r ∈(12,1)， 所以1xn+1→1r ∈(1,2)，因为任意n ∈N ∗，T n <λ恒成立， 所以λ≥2，即λ的最小整数为2． 故答案为：34；2．对f(x)求导，利用导数的几何意义可得在点(x n ,x n 3+x n +1)出的切线方程，令y =0，可得r 的n +1次近似值与r 的n 次近似值的关系式，由x 0=0，依次计算即可求得r 的2次近似值，计算可得x nxn+1=a n ，由累积法可求得T n =1x n+1，由零点存在定理求得r 的取值范围，从而可求得整数λ的最小值．本题主要考查导数的几何意义，数列的求和，零点存在定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：在△ABC 中，B =π−(A +C)，所以sinB =sin(A +C)．因为sinB −sin(A −C)=√3sinC ，所以sin(A +C)−sin(A −C)=√3sinC ， 即sinAcosC +cosAsinC −(sinAcosC −cosAsinC)=√3sinC ， 所以2cosAsinC =√3sinC ，在△ABC 中，sinC ≠0，所以cosA =√32．因为0<A <π，所以A =π6． 选择①： 方法1：因为A =π6，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+9−3√3b. 又因为b =√3a ，所以2b 2−9√3b +27=0，解得b =3√3，或b =3√32，此时△ABC 存在，当b =3√3时，△ABC 的面积为S △ABC =12bcsinA =12×3√3×3×12=9√34．当b =3√32时，△ABC 的面积为S △ABC =12bcsinA =12×3√32×3×12=9√38．方法2：因为b =√3a ，由正弦定理，得sinB =√3sinA =√3sin π6=√32． 因为0<B <π，所以B =π3，或B =2π3，此时△ABC 存在，当B =π3时，C =π2，所以b =ccosA =3√32，所以△ABC 的面积为S △ABC =12bcsinA =12×3√32×3×12=9√38．当B =2π3时，C =π6，所以b =csinB sinC=3√3，所以△ABC 的面积为S △ABC =12bcsinA =12×3√3×3×12=9√34．选择②：因为a=3cosB，所以a=3×a2+9−b26a，得a2+b2=9，所以C=π2，此时△ABC存在，因为A=π6，所以b=3×cosπ6=3√32，a=3×sinπ6=32，所以△ABC的面积为S△ABC=12ab=9√38．选择③：由asinA =csinC，得asinC=csinA=32，这与asinC=1矛盾，所以△ABC不存在．【解析】利用两角和与差的正弦公式化简已知等式可得2cosAsinC=√3sinC，结合sinC≠0，可得cos A，结合0<A<π，可得A的值．选择①：方法1：由已知利用余弦定理可求b的值，分类讨论利用三角形的面积公式即可求解．方法2：由正弦定理，可得sin B，结合0<B<π，可得B=π3，或B=2π3，分类讨论先求b，再利用三角形的面积公式即可求解．选择②：利用余弦定理可求a，解三角形，利用三角形的面积公式即可得解．选择③：由正弦定理可求得asinC=csinA=32，这与asinC=1矛盾，即可得解△ABC不存在．本题主要考查了两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为S n=2n+r，所以当n=1时，S1=a1=2+r．当n=2时，S2=a1+a2=4+r，故a2=2．当n=3时，S3=a1+a2+a3=8+r，故a3=4．因为{a n}是等比数列，所以a22=a1a3，化简得2+r=1，解得r=−1，此时S n=2n−1．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−2n−1−1=2n−1，当n=1时，a1=S1=1，a n=2n−1，所以r=−1满足题意．(2)因为a n=2n−1，所以b n=2(1+log2a n)=2n．因为a1=1，a2=2=b1，a3=4=b2，a4=8=b4，a5=16=b8，a6=32=b16，a 7=64=b 32，a 8=128=b 64，a 9=256=b 128， 所以c 1+c 2+c 3+⋯+c 100=(b 1+b 2+b 3+⋯+b 107)−(a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8)=107×(2+214)2−2(1−27)1−2=11302．【解析】(1)S n =2n +r ，推导出a 1=2+r ，a 2=2，a 3=4，由{a n }是等比数列，能求出r 的值．(2)由a n =2n−1，得b n =2n.推导出c 1+c 2+c 3+⋯+c 100=(b 1+b 2+b 3+⋯+b 107)−(a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8)，由此能求出结果．本题考查等比数列的运算，涉及到等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题．19.【答案】解：(1)对项目A 投资的统计数据进行计算，有x −=3，y −=0.6，∑x i 2n i=1=55． ∴b ̂=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2=11−5×3×0.655−5×32=0.2，a ̂=y −−b ̂x −=0.6−0.2×3=0，∴回归直线方程为：y ̂=0.2x ； 线性相关系数r =i n i=1i −−√(∑x i i=1−nx 2)(∑y i i=1−ny 2)=√(55−5×32)(2.24−5×0.62)=√4.4≈0.9524>0.95，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程y ̂=0.2x 对该组数据进行拟合合理；(2)设对B 项目投资x(1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7−x)百万元． 所获总利润y =0.16x −0.49x+1+0.49+0.2(7−x)=1.93−[0.04(x +1)+0.49x+1]≤1.93−2√0.04(x +1)×0.49x+1=1.65， 当且仅当0.04(x +1)=0.49x+1，即x =2.5时取等号，∴对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】(1)由已知数据求得b ̂与a ̂的值，可得y 关于x 的线性回归方程，求出线性相关系数r 的值，与0.95比较大小得结论；(2)设对B 项目投资x(1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7−x)百万元，写出所获总利润，然后利用基本不等式求最值．本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(1)证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D .因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD =√3，BD =1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C =C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D .(2分)在直角三角形B 1BD 中，BD =1，B 1B =2，所以B 1D =√3． 在三角形B 1CD 中，CD =√3，B 1D =√3，B 1C =√6， 所以CD 2+B 1D 2=B 1C 2， 所以CD ⊥B 1D .(4分)又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD =D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC.(6分)(2)解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,1，0)，B(0,−1,0)，C(√3,0，0)，B 1(0,0，√3)，因此BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，√3). 因为点P 在棱BB 1上，则设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1，√3)，其中0≤λ≤1． 则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1+λ,√3λ).(8分) 设平面ACC 1A 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x −y =0y +√3z =0，取x =1，y =√3，z =−1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ⃗ =(1,√3,−1).………………………(10分) 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以cos <n ⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√5×√3+(λ−1)2+3λ2=−45， 化简得16 λ2−8λ+1=0，解得λ=14， 所以BP =λBB 1=12.(12分)【解析】(1)取AB 中点D ，连接CD ，B 1D .证明AB ⊥CD ，AB ⊥B 1C ，推出AB ⊥平面B 1CD ，即可证明AB ⊥B 1D .然后证明CD ⊥B 1D ，推出B 1D ⊥平面ABC.即可证明平面ABB 1A 1⊥平面ABC ．(2)以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACC 1A 1的法向量，通过直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求解λ然后得到结果．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：由{y =x +my 2=4x ，得y 2−4y +4m =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4，y 1y 2=4m ， 因为直线l 与C 相交，所以△=16−16m >0，得m <1， (1)由AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1+2y 2=0， 所以4+y 2=0，解得y 2=−4，从而y 1=8， 因为y 1y 2=4m ，所以4m =−32，解得m =−8； (2)证明：设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)， 因为M ，N 两点关于直线y =x +m 对称， 则y 4−y 3x 4−x 3=y 4−y 3y 424−y 324=4y4+y 3=−1，解得y 4=−4−y 3，又y 4+y 32=x 4+x 32+m ，于是−4−y 3+y 32=x 4+x 32+m ，解得x 4=−4−2m −x 3，又点N 在抛物线上，于是(−4−y 3)2=4(−4−2m −x 3)，因为y 32=4x 3，所以y 32+4y 3+16+4m =0，于是MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 3)(x 2−x 3)+(y 1−y 3)(y 2−y 3) =(y 12−y 32)(y 22−y 32)+(y 1−y 3)(y 2−y 3)=(y 1−y 3)(y 2−y 3)16[(y 1+y 3)(y 2+y 3)+16]=(y 1−y 3)(y 2−y 3)16[y 1y 2+y 3(y 1+y 2)+y 32+16]=(y 1−y 3)(y 2−y 3)16(4m +4y 3+y 32+16)=0，所以MA ⊥MB ，同理，NA ⊥NB ，于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆．【解析】先利用直线y =x +m 与抛物线方程，写出韦达定理，(1)然后根据已知向量关系以及韦达定理即可求解；(2)设出点M ，N 的坐标，根据点关于直线对称的性质建立方程关系，然后求出向量MA ，MB 的数量积化简为0，得出MA 与MB 垂直，同理得出NA 与NB 垂直，进而可以证明．本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到向量的运算性质以及证明四点共圆的问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：当a =12时，f (x)=e x −12xsinx −x −1，则f′(x)=e x −12(xcosx +sinx)−1， f′′(x)=e x +12xsinx −cosx ， 因为x ∈[0,π]，所以e x ≥1，12xsinx ≥0， 因此f′′(x)≥1−cosx ≥0， 所以f′(x)在[0,π]上单调递增， 于是f′(x)≥f′(0)=0， 因此f (x)在[0,π]上单调递增， 所以f (x)≥f (0)=0．(2)由(1)知，当a ≤12时，f (x)≥e x −12xsinx −x −1≥0，当且仅当x =0时取等号， 此时函数f (x)仅有1个零点，当a >12时，因为f (x)=e x −axsinx −x −1， 所以f′(x)=e x −a(xcosx +sinx)−1， f′′(x)=e x +a(xsinx −2cosx)，当x ∈[π2,π]时，f′′(x)>0，f′(x)单调递增，当x∈[0,π2]时，f′′′(x)=e x+a(3sinx+xcosx)，因为e x>0，a(3sinx+xcosx)≥0，所以f′′′(x)>0，所以f′′(x)单调递增，又f′′(0)=1−2a<0，f′′(π2)=eπ2+π2a>0，因此f′′(x)在[0,π2]上存在唯一的零点x0，且x0∈(0,π2).当x∈(0,x0)时，f′′(x)<0，所以f′(x)单调递减，当x∈(x0,π2)时，f′′(x)>0，所以f′(x)单调递增，又f′(0)=0，f′(x0)<f′(0)=0，f′(π)=eπ+aπ−1>0，因此f′(x)在[0,π]上存在唯一的零点x1，且x1∈(x0,π)，当x∈(0,x1)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减，当x∈(x1,π)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增，又f(0)=0，f(x1)<f(0)=0，f(π)=eπ−π−1>0，所以f(x)在(x1,π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0,π]上有两个零点，综上，a的取值范围是(12,+∞)．【解析】(1)当a=12时，f(x)=e x−12xsinx−x−1，求导分析单调性，求出f(x)min，证明f(x)min≥0即可得出答案．(2)由(1)知，当a≤12时，f(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，函数f(x)仅有1个零点，不合题意，当a>12时，求导分析单调性，使得f(x)有两个零点，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。
2025届江苏省盐城市示范名校高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省盐城市示范名校高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．323．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ）A ．27B ．33C ．39D ．444．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-5．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值7．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）A ．14B ．15C ．25D ．35852，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ）A ．53B ．53C ．3D ．49．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D ．3210．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 11．函数()256f x x x =-+的定义域为（ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 12． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大 B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降13．数列{}n a 满足*1232321()n n a a na N a n ++++=-∈，则，n a =_____.若存在n ∈N *使得1n n a nλ+≤⋅成立，则实数λ的最小值为______ 14．在ABC ∆中，已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则cos C 的最小值是________．15．在ABC ∆中， CA 0CB ⋅= ，BC 2BA ⋅=，则BC =_________.16．如图，已知扇形AOB 的半径为1，面积为3π，则OA AB ⋅=_____.三、解答题：共70分。
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学解析
【点评】考查三角函数的周期及图像平移变换，属于基础题型。
8. 在 ABC 中， AB = 2 5, AC = 5,BAC = 90 ，则 ABC 绕 BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表 面积为________. 【答案】 6 5 【解析】由题，此旋转体为以 2 为底面圆半径， 2 5 及 5 为母线长的两个圆锥组合而成 【点评】考查旋转几何体的表面积计算，属于基础题型。
【点评】考查概率，属于基础题型。
6. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且周期为 2 ，当 x (0,1 时， f ( x) = x + a ，则 f (a) 的值
3
为
.
【答案】0
【解析】由
f
(x) 的周期为
2
及奇函数可得：
f f
(1) (1)
= =
f (1 − 2) = − f (−1)
9. 已知数列an 为等差数列，数列bn 为等比数列，满足a1, a2 , a3 = b1,b2 ,b3 = a,b, −2 ，其中
a 0,b 0, 则 a + b 的值为________.
【答案】 5
【解析】 a＞0,b＞0 ，设 a＜b ， a1, a2 , a3 = b1,b2 ,b3 = a,b, −2 ，且an 为等差数列，bn 为等比数
.
【答案】 − 1 4
【解析】
log2
(2x
+ 1)
=
−1
=
log2
1 2
x
=
−
1 4
【点评】考察流程图与分段函数，属于基础题。
4. 某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1
【数学】2022届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学试题(解析)
＋１×（－２）＝０，则ＰＭＬＡＧ，又ＢＤｎＰＭ＝Ｍ，ＢＤ、ＰＭｅ平面ＰＢＤ，所以ＡＧＬ平面ＰＢＤ，
故选项Ａ正确；因为Ｆ０．１，０）．元Ｇ＝（１．０．１）．２＝（２．０．０．则ｃｏｓ＜元．石＞
ＦＧ·ＡＢＩ
Ｆｉ｜ＬＡ商
所以直线ＦＧ和直线 ＡＢ所成的角为严，故选项Ｂ 正确；对于选项Ｃ，设 Ａ
“’ 到平面ＰＢＤ距离为ｄ，则Ｉ－ｍ＝５ｓｃａｐＡＰ＝５ｓｍｏｄ，则ｄＳ－ＳＡＡｐｍｍＡＤＰ＿２９，从而Ｇ到
４．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为０°￣９０°之间角的三角函数值，而这个范 围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则ｔａｎ６００° 的值为（小数点后保留２位有效数字）
ａ １０ ２０ ３０ ４０ ５０° ６０ ７０ 色
ｓｉｎａ ０．１７３６ ０．３４２００．５００ｏ０．６４２０７７６６００．８６６０｜０．９３９７０．９８４８
６．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的
概率分布列为ＰＸ＝ｋ）＝告￣气ｋ＝０，１，２…），其中ｅ为自然对数的底数，λ是泊松分布的 均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布．若每周销 售１件该商品与每周销售２件该商品的概率相等，则两周共销售２件该商品的概率为
一象限，故答案选Ａ．
３．已知ａ，ｂ为单位向量．若ａ－２６＝＼５，则ａ＋２ｂ｜＝
Ａ．√ Ｂ．Ｎ后５ ｃ．、７ Ｄ．５
【答案】Ｂ 【考点】平面向量的数量积运算
【解析】由题意可知，ｌａ－２ｂＰ＝ａ－４ａ·ｂ＋４６２＝１－４ａ·ｂ＋４＝５，解得４ａ·ｂ＝０，所以ａ ＋２ｂ＝ａ２＋４ａ·ｂ＋４＝５，所以ａ＋２ｂ＝＼５，故答案选Ｂ．
？？二 ｅ４
江苏省南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题纯word解析版
江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。
江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学理Word版含答案
2021届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学理科(总分值160分，考试时间120分钟)2021．4参照公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，此中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．1.会合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，那么A∩B＝________．2 .复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为________．3 .如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为－1，那么输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4.某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了如图频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6 .函敬f(x)是定义在R上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋，那么f(a)的值为________．π7 .假定将函数f(x)＝sin(2x＋3)的图象沿x轴向右平移φ(＞φ0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关8.于x轴对称，那么φ的最小值为________．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．此中9.数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，知足a＞0，b＞0，那么a＋b的值为________．{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，－2}，10. 点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，那么PF的最小值为PA________．11.x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，那么x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．过原点O 且互相垂直的两条直线l1和l2，此中l1与圆C 订交于A ，B 两点，l2与圆C 相切于点 D.假定AB ＝OD ，那么直线l1的斜率为________．→→ →2，那么边BC 的长为________．13.在△ABC 中，BC 为定长，|AB ＋2AC |＝3|BC|.假定△ABC 面积的最大值为 函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b∈R)．假定函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，那么实数b 的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共 90分.解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．(本小题总分值14分)如图，在三棱锥 PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面 PDE 上平面ABC. 求证：AC∥平面PDE ；假定PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC⊥平面ABC.(本小题总分值14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB.(1)求B的值；(2 )17，cosA＝－7，求b的值．设∠BAC的均分线AD与边BC交于点D.AD＝725(本小题总分值14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C参观，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC切点分别为D，E，此中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆︵(1)修筑栈道DE，记∠CBD为θ.(2)用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确立sinθ的取值范围；求当θ为什么值时，栈道总长度最短．相距3千米．为方便游人到小岛上，且BD，BE均与圆C相切，C的优弧(圆C上实线局部)上再18.(本小题总分值16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2＋y212＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(0，3)．b22a求椭圆C的方程；△BMN是椭圆C的内接三角形．①假定点B为椭圆C的上极点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；②假定原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．19.20.(本小题总分值16分)函数f(x)＝x3－x2－(a－16)x，g(x)＝alnx，a∈R.函数h(x)＝f〔x〕－g(x)的导函数h′(x)在[5，4]x2上存在零点．(1)务实数a的取值范围；(2 )假定存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时获得最大值，求正实数b的最大值；(3 )假定直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，且l在y轴上的截距为－12，务实数a的值．(本小分16分)无数列{an}的各均正整数，其前n和Sn. Tn数列{an}的前an和，即Tn a1＋a2＋⋯＋an.假定数列{an}等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的；(2)假定数列{a }等差数列，且存在独一的正整数Tn}的通公n(n≥2)，使得an<2，求数列{an n 式；(3)假定数列{Tn}的通Tn＝n〔n＋1〕，求：数列{a n}等差数列.22021届高三模拟考试一试卷数学附带题(总分值40分，考试时间30分钟)21.【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只好选做两题，每题 10分，共20分．假定多做，那么按作答的前两题计分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)矩阵M ＝[1 21 02 ]，MN ＝[0 ]．11求矩阵N ；求矩阵N 的特点值．B.(选修44：坐标系与参数方程)x ＝2t ，在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1 2 (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴y ＝t2为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2.假定直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C.(选修45：不等式选讲)a＞0，求证：a2＋12－a2≥a＋1－2.a【必做】第22，23，每小10分，共20分．解答写出必需的文字明、明程或演算步．22.某商行有促活，客每400元的商品即可抽一次．抽以下：抽者各面有1～6点数的正方体骰子1次，假定得点数大于4，可在抽箱中抽；否得三等，束抽．抽箱中装有2个球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽者从箱中随意摸出2个球，假定2 个球均球，得一等；假定2个球1个球和1个白球，得二等；否，得三等(抽箱中的全部小球，除色外均同样)．假定m＝4，求客参加一次抽活得三等的概率；(2)假定一等可金 400元，二等可金300元，三等可金100元，客一次抽所得的金X，假定商希望X的数学希望不超150元，求m的最小．23.会合n，2，⋯，n}，n∈N*，n≥2，将An的全部子集随意摆列，获得一个有序会合(M1，A＝{12m n k中元素的个数k，k∈N*，k≤m，定空集中元素的个数0.M，⋯，M)，此中m＝2.会合M a 当n＝2，求a1＋a2＋⋯＋am的；(2)利用数学法明：不n(n≥2)何，存在有序会合(M1，M2，⋯，Mm)，足随意i∈N*，i≤m－1，都有|a－a|＝1.i i＋12021届高三模拟考试一试卷(南京、盐城) 数学参照答案及评分标准14.3255.1π8.65π9.510.2251.{1，3}2.53.－427.211.812.±25113.214.(1，2＋ln2)15.证明：(1)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC.(2分)因为AC?平面PDE，DE?平面PDE，所以AC∥平面PDE.(4分)(2)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以1DE＝2AC.因为AC＝2，所以DE＝1.因为PD＝2，PE＝3，所以PD2＝PE2＋DE2，所以在△PDE中，PE⊥DE.(8分)又平面PDE⊥平面ABC，且平面PDE∩平面ABC＝DE，PE?平面所以PE⊥平面ABC.(12分)因为PE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.(14分)16.解：(1)因为a＝bcosC＋csinB，PDE，由a＝b＝c，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．(2分)sinA sinBsinC因为sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，即cosBsinC＝sinCsinB．(4分)因为0＜C ＜π，所以 sinC≠0，所以sinB ＝cosB.π(2) 又0＜B ＜π，所以sinB≠0，进而cosB≠0，所以tanB ＝1，所以B ＝4.(6分)因为AD 是∠BAC 的均分线，设∠BAD＝θ，所以A ＝2θ.因为cosA ＝－7，所以cos2θ＝cosA ＝－7，即2cos 2θ－1＝－7，所以cos 2θ＝925252525.因为0＜A ＜π，所以 0＜θ＜ π1－cos 2θ＝ 4 .，所以cosθ＝3，所以sinθ＝255在△ABD中，sin∠ADB＝sin(B ＋θ)＝sin( πππ sinθ＝ 2 3 4 72.(8分)＋θ)＝sin 4 cosθ＋cos 4 2 ×( ＋)＝1045 5由AD＝ AB，所以AB ＝ADsin∠ADB ＝17×7 2× 2＝17分)sinB sin∠ADBsinB7 105.(10在△ABC 中，sinA ＝ 1－cos 2A ＝24，25所以sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝2×(24－717 2.(12分)2 25 25)＝5017 2由b ＝5×2c ，得b ＝csinB ＝＝5.(14分)sinB sinCsinC17 25017.解：(1)连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为 1千米，所以DB ＝1 ，BC ＝1tanθsinθ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sinθ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB＝1︵2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优，优弧DE 所对圆心角为tanθ︵弧DE 长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1 ＋1＋1 ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cosθ－1.(6分)sin θtan θsinθtanθ因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1 ＜2，解得 1＜sinθ＜1，sinθ3所以sinθ的取值范围是(1，1)．(8分)3－2＋cosθθ〔1－2cosθ〕(2)由f(θ)＝3＋π＋2θ＋ 2cosθ－1，得f′(＝θ)sin 2θ ＋2＝cossin θsin 2θ.(10分)令f′(＝θ)0，解得cosθ＝1.2π因为θ为锐角，所以θ＝3.(12分)设sinθ01，θ0 为锐角，那么 0π＝3 0＜θ＜3.当θ∈(θππ3)上单一递减；0，3)时，f′(θ)＜0，那么f(θ)在(θ，0当θ∈( π ππ π3，2)时，f′(θ)＞0，那么f( θ)在(3 ，2)上单一递加．所以f(πθ)在θ＝时获得最小值．3π(14分)答：当θ＝3时，栈道总长度最短．18.解：(1)记椭圆C 的焦距为 2c ，因为椭圆C 的离心率为1，所以c ＝1 .2a2因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝3.因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，x 2 y 2故椭圆C 的方程为 4＋ 3＝1.(2分)(2)①因为点B 为椭圆C 的上极点，所以 B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO⊥MN，即MN⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点对于y 轴对称．(4分)不如设M(x0，y0)，那么N(－x0，y0)，此中－3＜y0＜3.→ →3)＝0，因为MO⊥BN，所以MO·BN＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－2 2得x0－y0＋3y0＝0.(6分)22又点M(x0，y0)在椭圆上，那么x0＋y0＝1.432 2＋3y0＝0，x0 －y0 32 33由x0 y0 4 或y0＝解得y0＝－3(舍去)，此时|x0|＝.2 24＋3＝1， 77故MN ＝2|x0 433，即线段MN 的长为4 33|＝ 77.(8分)(解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以→→，那么点D 的坐标为(－m nBO ＝2OD 2 ，－)．(10分)2假定n ＝0，那么|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点 O 到直线 MN 的距离为 m，即为1.2 假定n≠0，此时直线 MN 的斜率存在．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1＋x2＝－m ，y1＋y2＝－n.222 2〔x1＋x2〕〔x1－x2〕＋〔y1＋y2〕〔y1－y2〕＝0，又x1＋y1＝1，x2＋y2＝1，两式相减得434 343y －y 3m可得kMN＝1 2＝－4n .(12 分)1 2x －x故直线MN 的方程为y ＝－3m (x＋ m )－ n ，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，4n22那么点O到直线MN的距离为d＝|3m2＋4n2|22. 36m＋64n22将m＋n＝1，代入得d＝3.(14分)43n2＋9因为0＜n2≤3，所以d min＝32.33又2＜1，故原点O到直线MN 距离的最小值为2.(16分)(解法2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，B(x3，y3)，因为O为△BMN的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝0，那么x3＝－(x1＋x2)，y3＝－(y1＋y2)．(10分) 2222因为x3＋y3＝1，所以〔x1＋x2〕＋〔y1＋y2〕＝1.4343x 2y2x2y2xx yy1 112222将1，11＋＝＋＝1，代入得4＋3＝－.(12分) 43432假定直线MN的斜率不存在，那么线段MN的中点在x轴上，进而B点位于长轴的极点处．因为OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.假定直线MN 的斜率存在，设为 k ，那么其方程为 y ＝kx ＋n.y ＝kx ＋n ，由2 22 22x ＋y＝1， 消去y 得(3＋4k)x ＋8knx ＋4n－12＝0(*)．3那么＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2.由根与系数关系可得x18kn，x124n 2－122，＋x＝－3＋4k 2 x ＝3＋4k 2那么y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k 2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n 2＝3n 2－12k 2，3＋4k 2x1x2y1y211 4n 2－12 13n 2－12k 213.(14分)代入4＋ ＝－ 2 ，得 4 × 3＋4k 2 ＋ ×3＋ 4k 2＝－，即n 2＝k 2＋3324又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k2＞k2＋3，即3k2＋9＞0恒成立，所以k∈R .44|n |k2＋31原点(0，0)到直线MN的距离为d＝＝4＝1－k2＋14〔k2＋1〕.k2＋1因为k2≥0，所以当k＝0时，dmin＝32.33又2＜1，故原点O到直线MN距离的最小值为2.(16分)解：(1)因为h(x)＝f〔x〕－g(x)＝x2－x－(a－16)－alnx，xa 2x2－x－a所以h′(x)＝2x－1－x＝x.令h′(x)＝0，得2x2－x－a＝0.因为函数h′(x)在[5，4]上存在零点，即y＝2x2－x－a在[5，4]上存在零点，22又函数y＝2x2－x－a在[5，4]上单一递加，22×〔5〕2－5－a≤0，解得10≤a≤28.所以222×42－4－a≥0，所以，实数a的取值范围是[10，28]．(2分)(解法1)因为当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0处获得最大值，即存在实数a，当x∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x3－x2－(a－16)x≤0对随意x∈[0，b]都成立．(4分)当x＝0时，上式恒成立；(6分)当x∈(0，b]时，存在a∈[10，28]，使得x2－x＋16≤a成立，(8分)所以x2－x＋16≤28，解得－3≤x≤4，所以b≤4.故当a＝28时，b的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x3－x2－(a－16)x，得f′(x)＝3x2－2x －(a－16)．设＝4＋12(a－16)＝4(3a－47)．假定Δ≤0，那么f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单一递加，所以当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时不可以获得最大值，于是＞0，(4分)故f′(x)＝0有两个不一样的实数根，记为x1，x2(x1＜x2)．假定x1＞0，那么当x∈(0，x1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，x1)上单一递加，所以当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时不可以获得最大值，所以x1≤0.(6分)2又x1＋x2＝3＞0，所以x2＞0，进而当x∈(0，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单一递减；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单一递加，假定存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0处获得最大值，那么存在实数a，使得f(0)≥f(b)成立，即b3－b2－(a－16)b≤0.(8分)所以存在a∈[10，28]，使得b2－b＋16≤a成立，所以b2－b＋16≤28，解得－3≤b≤4，故当a＝28时，b的最大值为4.(10分)(3)设直线l与曲线y＝f(x)相切于点A(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)相切于点B(x2，g(x2))，过点A(x1，f(x1))的切线方程为3 2]＝[3x 2 －(a －16)](x－x1)，即 y ＝[3x 2－2x1y －[x1－x1－(a －16)x1 1－2x1 1 －(a －16)]x －2x 3 21＋x 1.过点B(x2，g(x2))的切线方程为y －alnx2＝a (x －x2)，即y ＝a x ＋alnx2－a.x2 x2因为直线l 在y 上的截距为－ 12，2a①，3x1－2x1－〔a －16〕＝x2所以(12分)－32②，2x1＋x1＝－12alnx2 －a ＝－12 ③.24－a ＝a，1－x2由②解得x 1＝2，那么x 2消去a ，得lnx 2＋2x ＝0.(14分)22alnx －a ＝－12，由(1)知10≤a≤28，且x 2＞0，那么x 2≥57.1－x5 1 1 2x －1令p(x)＝lnx ＋2x，x∈[7，＋∞)，那么p′(x)＝x －2x2＝2x2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[5，＋∞)上为增函数．7因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不中断的，所以函数p(x)在[5，＋∞)上有独一零点1，71－x2所以方程lnx2＋2x2＝0的解为x2＝1，所以a＝12.所以实数a的值为12.(16分)(1)解：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝5S2，所以a1＋a2＋a3＋a4＝5(a1＋a2)，即a3＋a4＝4(a1＋a2)，所以a1q2(1＋q)＝4a1(1＋q)．因为数列{an}的各项均为正整数，所以a1，q均为正数，所以q2＝4，解得q＝2.又a1＝1，所以an＝2n－1，进而a3＝4，所以T3＝S4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)解：设等差数列{an}的公差为d，那么an＝a1＋(n－1)d.因为数列{an}的各项均为正整数，所以d∈Z.假定d＜0，令a1a，这与{an}为无量数列相矛盾，n＞0，得n＜1－d 所以d≥0，即d∈N.(4分)因为Sn n〔n－1〕d，所以Tn n n－1〕d，所以Tn＝a1〔an11n a〔a－1〕d.＝na＋2＝aa＋2＋2an由Tn＜2，得a1＋〔an－1〕d＜2.(6分)an2因为a*，d∈N，所以2＞a〔an－1〕d≥a1∈N 1＋21≥1，所以a1＝1.〔n－1〕d2于是1＋＜2，即(n－1)d2＜2.2①假定d＝0，那么存在无量多个n(n≥2)，使得上述不等式成立，所以d＝0不合题意；(8分)2②假定d∈N*，那么n＜1＋d2，因为存在独一的正整数n(n≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋d 22≤3，即1≤d 2＜2.又d∈N *，所以d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分) 明：因Sn ＋1－Sn ＝an ＋1＞0，所以Sn ＋1＞Sn ，即数列{Sn}增．又Tn ＋1 n〔n ＋1〕〔n ＋2〕－n 〔n ＋1〕＝n ＋1＞0，－T ＝2 2所以Tn ＋1＞Tn ，即San ＋1＞San ，因数列{Sn}增，所以an ＋1＞an.(12分)又an * ，所以an＋1nn ＋1n∈N≥a＋1，即a －a≥1，所以an ＋1－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋⋯＋(an＋1－an )≥n，所以an ＋11n≥a＋n≥1＋n ，即a≥n(n≥2)．又a1n①.(14 分)≥1，所以a≥n 由Tn ＋1－Tn ＝n ＋1，得aan ＋1＋aan ＋2＋⋯＋aan ＋1＝n ＋1， 所以n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即an ≤n ②. 由①②知an ＝n ，所以an ＋1－an ＝1，所以数列{an}等差数列． (16分)2021届高三模拟考试一试卷(南京、盐城)数学附带题参照答案及评分标准21.A.解：(1)因为M＝12，MN＝10，所以N＝M－1.(2分)2101因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)1－212所以N＝M －1－3－3＝－33.(6分)＝－2121－3－33－31－2λ＋3312221(2)N的特点多项式f(λ)＝－21＝(λ＋3)－(－3)＝(λ－3)(λ＋1)．(8分)3λ＋3令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，31所以N的特点值是3和1.(10分)B.解：曲线C的一般方程为1x212分) y＝()＝x.(2228由直线l的极坐标方程ρcos(θ－ππθsinπ4)＝＋sin4)＝2，2，得ρ(cosθcos 422即2x ＋2y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分)1 2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y ＝ x 8y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分) 那么x1＋x2＝－8，x1x2＝－16，所以AB ＝ 1＋〔－1〕2|x1－x2|＝ 2× 〔x1＋x2〕2－4x1x2＝ 2× 〔－8〕2－4×〔－16〕＝16.(10分)1证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋a ≥2，要证 a 2＋12－2≥a＋1－2，a a只要证a 2＋12≥(a＋1)－(2－2)．aa因为(a ＋1)－(2－2)＞0，aa 2＋12) 〔a ＋1〕－〔2－2所以只要证(2≥ 2〕 ，(4分)a a11≥2.(8分)即2(2－2)(a ＋)≥8－4 2，即证a ＋aa1成立，所以要证的不等式成立．(10分)因为a＋a≥211(法2)令t＝a＋a，因a＞0，所以a＋a≥2，即t≥2.要a2＋12－2≥a＋1－2，a a即t2－2－2≥t－2，即t－t2－2≤2－2，(4分)即2≤2－2.(6分) t＋t2－2因为f(t)＝t＋t2－2在[2，＋∞)上增，f(t)≥f(2)＝2＋2，故2≤2＝2－2.t＋t2－22＋2所以要的原不等式成立．(10分)22.解：(1)“客参加一次抽活得三等〞事件 A.因m＝4，所以P(A)＝4＋2×C 22＋1×2＝4. 24＝66C63355答：客参加一次抽活得三等的概率45.(4分) (2)X的全部可能取400，300，100.2P(X＝400)＝2×C22＝2，6C2＋m3〔m＋1〕〔m＋2〕2114mCCmP(X ＝300)＝2× 2 ＝，6C2＋m3〔m ＋1〕〔m ＋2〕P(X ＝100)＝4＋2×2m 〔m －1〕C m ＝2＋，(7分)662＋m 33〔m ＋1〕〔m ＋2〕2CE(X) ＝ 400×2＋300×4m ＋ 100×[ 2＋3〔m ＋1〕〔m ＋2〕 3〔m ＋1〕〔m ＋2〕 3 m 〔m －1〕 ]≤150，化得3m 2－7m －6≥0.3〔m ＋1〕〔m ＋2〕因m≥2，m∈N *，所以m≥3， 所以m 的最小3.(10分)(1)解：当n ＝2，A2的子集?，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4. 所以a1＋a2＋⋯＋am ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)明：①当n ＝2，取一个会合(M1，M2，M3，M4)＝(?，{1}，{1，2}，{2})，此a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝1，足随意i∈N *，i≤3，都有|ai －ai ＋1|＝1，所以当n ＝2命成立．(4分)②假n ＝k(k∈N *，k≥2)，命成立，即于Ak ＝{1 ，2，⋯，k}，存在一个会合 (M1，M2，⋯，Mm)足随意i∈N*，i≤m－1，都有|ai－ai ＋1|＝1，此中m ＝2k .当n ＝k ＋1，Ak ＋1＝{1，2，⋯，k ，k ＋1}，会合Ak ＋1的全部子集除掉 M1，M2，⋯，Mm 外，其他的子集都含有k ＋1.令Mm＋1＝Mm∪{k＋1}，Mm＋2＝Mm －1∪{k＋1}，⋯，M2m＝M1∪{k＋1}，取会合(M1，M2，⋯，Mm，Mm＋1，Mm＋2，⋯，M2m)，此中2m＝2k＋1，(6分)依据假知|a i－a i＋1|＝1，此中i∈N*，m ＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此会合足|a i－a i＋1|＝1，此中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又Mm＋1＝Mm∪{c}，所以|am－am ＋1|＝1，所以|a i－a i＋1|＝1，此中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1，命也成立．上，不n何，存在有序会合(M1，M2，⋯，Mm)，足随意i∈N*，i≤m－1，都有|ai－ai＋1|＝1.(10分)。
江苏省南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学及答案.
南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数 学 2022.03一、填空题1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，那么A ∪B ＝▲________．2．假设复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，那么实数m 的值为 ▲ ． 3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．4．如下图，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．假设一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．5．执行如下图的流程图，那么输出的k 的值为 ▲ ．6．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．假设S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，那么a 10等于 ▲ ．7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．假设E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，那么三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．〔第5题图〕〔第4题图〕〔第7题图〕ABCA 1B 1FC 1EANBPMC8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且它的图象过点(－π12，－2)，那么φ的值为▲________．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，那么不等式f (x )≥－1的解集是▲________．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．假设直线AB 恰好过点F ，那么双曲线的渐近线方程是▲________.11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．假设点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，那么AC的长为▲________．12．圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．假设圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，那么实数a 的取值范围为▲________． 13．函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．假设对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，那么1a －1b 的最大值是▲________．14．假设存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，那么实数a 的取值范围为▲________． 二、解答题15．(本小题总分值14分)α为锐角，cos (α＋π4)＝55．（1）求tan(α＋π4)的值； 〔2〕求sin(2α＋π3)的值．16．(本小题总分值14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；〔2〕假设AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .17．(本小题总分值14分)如图，某城市有一块半径为1〔单位：百米〕的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处〔图中阴影局部〕只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？18． (本小题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．假设点A (－a ，0)，B (0，a3)，且AB →＝32BC →．〔1〕求椭圆M 的离心率；〔2〕设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①假设点P (－3，0)，直线l 过点(0，－67)，求直线l 的方程；②假设直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．〔第16题图〕〔第17题图〕19．(本小题总分值16分)对于函数f (x )，在给定区间[a ，b ]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，记S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|．假设存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N )均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，那么称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V ． 〔1〕假设函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值；〔2〕假设函数f (x )＝xex ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值；〔3〕对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e ]上具有性质V ．20．(本小题总分值16分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)． 〔1〕求p 的值；〔2〕求数列{a n }的通项公式；〔3〕设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ． 假设b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2022.0321．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答．卷纸指定．．．．区域内．．．作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．B ．选修4—2：矩阵与变换 a ，b 是实数，假如矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2 所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．〔1〕求a ，b 的值．〔2〕假设矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin(π3－θ)=32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数) ．〔1〕求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解容许写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自互相独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．〔1〕求比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；〔2〕设ξ表示比赛完毕后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．23．〔本小题总分值10分〕设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2．〔1〕设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；〔2〕设b k ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求|S mC m n －1 |的值．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上〕1． {x |－2＜x ＜1} 2．－2 3．1136 4． 9 5． 5 6． 19 7． 8 38．－π12 9． [－4，2] 10．y ＝±2x 11．3 12． [2－22，2＋22]13． 12 14．a ＜0或a ≥1e二、解答题〔本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕 15．(本小题总分值14分)解：〔1〕因为α∈(0，π2〕，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin (α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255，……………………………………………………………3分所以tan(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2． (6)分〔2〕因为sin(2α＋π2)＝sin[2(α＋π4)]＝2 sin (α＋π4) cos (α＋π4)＝45， (9)分cos(2α＋π2)＝cos[2(α＋π4)]＝2 cos 2(α＋π4)－1＝－35， (12)分所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310． (14)分ANBPMC16．(本小题总分值14分)证：〔1〕因为M ，N 分别为AB ，P A 的中点，所以MN ∥PB ． …………………………………2分 因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC . ……………………………………4分 〔2〕因为P A ⊥PB ，MN ∥PB ，所以P A ⊥MN . ……………6分因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . ……………8分 因为平面P AB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面P AB ． …………………………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以CM ⊥P A ．因为P A ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ，所以P A ⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题总分值14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ． 设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 那么直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a 2＝1．……………4分化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．……………6分因此AB ＝ a 2＋b 2＝ (a ＋b )2－2ab ＝ (a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝ (a ＋b －2)2．………………8分因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤(a +b 2)2，解得0＜a ＋b ≤4－22，或a ＋b ≥4＋22．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，………………………………………12分所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2-2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ． 设∠DCE ＝θ，θ∈(0，π2)，那么∠DCF ＝π2－θ．在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2．………………4分在直角三角形CDB 中，BD ＝tan(π4－θ2)，………6分所以AB ＝AD ＋BD ＝tan θ2＋tan(π4－θ2)＝tan θ2＋1－tanθ2 1＋tanθ2．………………………8分令t ＝tan θ2，0＜t ＜1，那么AB ＝f (t )＝t ＋1－t 1＋t ＝＝t ＋1＋21＋t－2≥22－2，当且仅当t ＝2－1时取等号．………………………12分所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的间隔 是1－(2－1)＝2－2．答：当A ，B 两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分18．(本小题总分值16分)解：〔1〕设C (x 0，y 0)，那么AB →＝(a ，a 3)，BC →＝(x 0，y 0－a 3)．因为AB →＝32BC →，所以(a ，a 3)＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，………………………………………………………2分 代入椭圆方程得a 2＝95b 2．因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23．………………………………………4分〔2〕①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，设Q (x 0，y 0)，那么x 029＋y 025＝1．……① ………………………………………………6分因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为(x 0－32，y 02)，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以y 02＋67x 0－32·y 0x 0＋3＝－1， ………………………………………………8分化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……②将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0〔舍〕，或y 0＝157．将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或－95，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝－95x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx +m ，那么直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ．将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5+9k 2，代入直线PQ 的方程得y N ＝5m 5+9k 2，……………………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……② 又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，所以－113＜k ＜113，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(－113，0)∪(0，113)．综上所述，点D 横坐标的取值范围为(－113，0)∪(0，113)．………………………………16分19．(本小题总分值16分)〔1〕解：因为函数f (x )＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f (x i ＋1)＜f (x i )，所以|f (x i ＋1)－f (x i )|＝ f (x i )－f (x i ＋1)．S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝f (－1)－f (1)＝4． …………………………………………2分 (2) 解：由f ′(x )＝1－xex ＝0，得x ＝1．当x ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)为增函数； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)为减函数；所以f (x )在x ＝1时取极大值1e ． ……………………………………4分设x m ≤1＜x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，那么S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (0)|＋…＋|f (x m )－f (x m －1)|＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋|f (x m ＋2)－f (x m ＋1)|＋…＋|f (2)－f (x n －1)| ＝[f (x 1)－f (0)]＋…＋[f (x m )－f (x m －1)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (x m ＋2)]＋…＋[f (x n －1)－f (2)] ＝[f (x m )－f (0)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (2)]． …………………………………………6分 因为|f (x m ＋1)－f (x m )|≤[f (1)－f (x m )]＋[f (1)－f (x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S ≤f (x m )－f (0)＋f (1)－f (x m )＋f (1)－f (x m ＋1)＋f (x m ＋1)－f (2) ＝2 f (1)－f (0)－f (2)＝2(e －1)e 2.所以S 的最大值为2(e －1)e 2． …………………………………………8分〔3〕证明：f ′(x )＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为增函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 1)－f (x 0)]+[ f (x 2)－f (x 1)]+…+[ f (x n )－f (x n -1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (e)－f (1)＝k +12－12e 2．因此，存在正数A ＝k +12－12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ． (10)分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为减函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝ f (1)－f (e)＝ 12e 2－k －12．因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ． (12)分③当1＜k ＜e 2时，由f ′(x )＝0，得x ＝k ；当f ′(x )＞0，得1≤x ＜k ；当f ′(x )＜0，得k ＜x ≤e ，因此f (x )在[1，k )上为增函数，在(k ，e]上为减函数． 设x m ≤k ＜x m +1，m ∈N ，m ≤n －1那么S ＝n －1∑i ＝1|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (x 0)|+…+|f (x m )－f (x m －1)|+ |f (x m +1)－f (x m )|+ |f (x m +2)－f (x m +1)|+…+|f (x n )－f (x n －1)| ＝f (x 1)－f (x 0)+…+f (x m )－f (x m －1) + |f (x m +1)－f (x m )|+ f (x m +1)－f (x m +2) +…+f (x n －1)－f (x n ) ＝f (x m )－f (x 0) + |f (x m +1)－f (x m )| + f (x m +1)－f (x n )≤f (x m )－f (x 0) + f (x m +1)－f (x n )+ f (k )－f (x m +1)+ f (k )－f (x m )＝2 f (k )－f (x 0)－f (x n )＝k ln k －k －[－12+k －12e 2]＝k ln k －2k ＋12+12e 2．因此，存在正数A ＝k ln k －2k ＋12+12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．综上，对于给定的实数k ，函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e]上具有性质V ．……………16分20．(本小题总分值16分)解：〔1〕由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2．………………………………………………………2分由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12． …………………………………………………………3分〔2〕由a n ＝(－1)n S n ＋(－12)n ，得⎩⎨⎧a n ＝(－1)n S n ＋(－12)n ， ……①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋(－12)n ＋1， ……②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ． …………………………………………5分当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×(12)n ，所以a n ＝－(12)n ＋1． ………………………………………………………………7分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×(12)n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×(12)n ＝2×(12)n ＋2＋12×(12)n ＝(12)n ，所以a n＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N *，12n， n 为偶数，n ∈N *．………………………………………………9分〔3〕A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，那么b 1 与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，那么b 1＝14，c 1＝－14．那么P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(242＋343+…＋n4n )．……………………………………………12分设S ＝242＋343+…＋n 4n ，那么14S ＝243＋…＋n －14n +n 4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143+…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－(14)n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748．所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－(242＋143+…＋14n )＞14－736＝118＞0．………………………14分因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736 ＝－118＜0，所以P n ≠Q n ． ………………………………………………………………16分南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2022.0321．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD ．因为AB 为直径，所以BD ⊥AC ． 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC ．……………………4分 因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，…………6分 所以CE ＝EB ．………………………………………8分 因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ⋅EA ，即BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．…………………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：〔1〕由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 a b －2 ⎣⎡⎦⎤23＝⎣⎡⎦⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，…………………………4分所以a ＝－1，b ＝5．………………………………………………………………………………6分〔2〕由〔1〕，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1 5 －2．由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1 5 －3．…………………8分所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 －5 4． …………………………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：〔1〕由ρsin(π3－θ)=32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)=32，即32x －12y=32，化简得y=3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y=3x －3．………………………………2分由(x 2)2+(y 3)2=cos 2t +sin 2t =1，得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1．……………………………4分〔2〕联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y=3x －3， x 24+y 23=1，消去y ，得x 24+(x －1)2=1，化简得5x 2－8x =0，解得x 1=0，x 2=85， ………………………………8分所以A (0，－3)，B (85，353)，那么AB =(0－85)2+(－3－353)2=165． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲A解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2； ………………………………………………3分 当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； …………………………………………………6分 当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2,解得x ≥2； ………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． …………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P ＝C 1323(13)2(12)3＋C 23(23)2(13)C 13(12)3＋C 33(23)3C 23(12)3＝1136．……………………………………………4分〔2〕ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为……………………………………………………………………………………8分所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．………………………………………10分23．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕因为a k ＝(－1)k C kn ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12( C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024．………………………………………………3分〔2〕b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1 k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1 C kn ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 C k n ＝ (－1)k ＋1 (C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1 C k －1n －1＋(－1)k ＋1 C k n －1＝(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)kC k n －1． ……………………………………7分当m ＝0时，|S m C m n －1 |＝|b 0C 0n －1|＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋k =1∑m[(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)mC m n －1，S m C m n－1|＝1．综上，|S mC m n－1|＝1．………………………10分所以|。
2023届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学卷(含解析)
南京市、盐城市2023届高三年级第二次模拟考试数学2023.3第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.设,2k M x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,2N x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A.M NÞ B.N MÞ C.M N= D.M N ⋂=∅2.若()()()()1R f x x x x a a =++∈为奇函数，则a 的值为A.-1B.0C.1D.-1或13某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为A.0.9B.0.7C.0.3D.0.14.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为A.12π B.6π C.3π D.23π5.三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为A.272cmπ B.2162cmπ C.2216cmπ D.2288cmπ6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1122n n S S +=+，*N n ∈，则6S =A.312B.16C.30D.6327.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB ，CD 相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为A.5B.5C.5D.58.设,a b ∈R ，462baa=-，562abb=-，则A.1a b<< B.0b a<< C.0b a<< D.1b a <<二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量10.已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则A.OA OB =B.OA OC ⊥C.AC BC= D.OB AC∥ 11.已知点()1,0A -，()1,0B ，点P 为圆C ：2268170x y x y +--+=上的动点，则A.PAB △面积的最小值为8-B.AP 的最小值为C.PAB ∠的最大值为512πD.AB AP ⋅的最大值为8+12.已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则A.{}123,,7πθθθ∈ B.123θθθπ++=C.1231cos cos cos 8θθθ=-D.1231cos cos cos 2θθθ++=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.编号为1，23，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________.14.已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，0a b ⋅= .设2c b a =-，则cos ,a c = ___________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.16.直线x t =与曲线1C ：()e R xy ax a =-+∈及曲线2C ：exy ax -=+分别交于点A ，B .曲线1C 在A 处的切线为1l ，曲线2C 在B 处的切线为2l .若1l ，2l 相交于点C ，则ABC △面积的最小值为____________.四、解答题；本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在数列{}n a 中，若()*1123n n a a a a a d n N+=⋅⋅-∈⋅，则称数列{}na 为“泛等差数列”，常数d 称为“D 差”.已知数列{}n a 是一个“泛等差数列”，数列{}n b 满足22212123n n n a a a a a a a b =⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅+.（1）若数列{}n a 的“泛差”1d =，且1a ，2a ，3a 成等差数列，求1a ﹔（2）若数列{}n a 的“泛差”1d =-，且112a =，求数列{}n b 的通项n b .18.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2sin cos c b A A =-.（1）若sin 10sin B C =，求sin A 的值；（2）在下列条件中选择一个，判断ABC △是否存在，加果在在，求h 的最小值；如果不存在，说明理由.①ABC △的面积1S =+；②bc =③222a b c +=.如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC △和ACD △均为正三角形，4AC =，BE =.（1）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由；（2）求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.20.（本小题满分12分）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球t 乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整。
2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题(带答案解析)
………外…………○………学校:_______………内…………○………绝密★启用前2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，………线…………○……………线…………○……5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.6．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x∈时，()3af x x=+，则()f a的值为___________________．7．若将函数()sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x的图象关于x轴对称，则ϕ的最小值为________________.8．在ABCV中，AB=AC=90BAC∠=︒，则ABCV绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.9．已知数列{}n a为等差数列，数列{}n b为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a ab b b a b==-，其中0a>，0b>，则+a b的值为_______________．10．已知点P是抛物线24x y=上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．11．已知x，y为正实数，且2441xy x y++=，则x y+的最小值为________________.12．在平面直角坐标系xOy中，圆()()222:0C x m y r m-+=>.已知过原点O且相互垂直的两条直线1l和2l，其中1l与圆C相交于A，B两点，2l与圆C相切于点D.若AB OD=，则直线1l的斜率为_____________.13．在ABCV中，BC为定长，23AB AC BC+=u u u r u u u r u u u r，若ABCV的面积的最大值为2，则边BC的长为____________．…………订…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.…………外…………………○…………订…………○…………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………………○…………订…………○…………线…………○……()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值. 19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 22．已知a ＞01a a+-2． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.参考答案1．{}1,3 【解析】 【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题. 2．5 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题. 3．14-【解析】 【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0xx x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．325 【解析】 【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题. 5．12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6．0 【解析】 【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8． 【解析】 【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得. 【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC V 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ===，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 9．5 【解析】 【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可. 【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10【解析】 【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA ∠==.. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 11．8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12． 【解析】 【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD Q AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r ，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题. 14．11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1xf x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】 解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 15．()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可； ()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题. 16．()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】 【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题. 17．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解析】 【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-， 则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．()122143x y +=；()2①7；②2. 【解析】 【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u r u u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y+++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 2d =； 综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．()1[]10,28；()24；()312. 【解析】 【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()a g x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x -=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】 【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-. 【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题. 21．16 【解析】 【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可. 【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-， 所以AB ===将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题. 22．证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．()135；()29. 【解析】 【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭， 化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++， 由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24．()14；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =， 则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。
南京市、盐城市高三二模数学试题(解析版)
一、填空题1.【题文】函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为▲．【结束】2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为▲．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．【结束】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．【结束】5.【题文】已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．【结束】6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．【结束】7.【题文】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．【结束】9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．【结束】10.【题文】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．【结束】12.【题文】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．考点：分段函数图像【结束】13.【题文】在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．【结束】14.【题文】设函数f(x)＝ax＋sin x＋cos x．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．【结束】二、解答题15.【题文】(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．证PA⊥平面PBC．从而可得PA⊥BE．【结束】16.【题文】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)． （1）若x 1＝35，求x 2； （2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．【结束】17.【题文】(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法二(构造直角三角形)：即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分 k M以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，【结束】18.【题文】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ u u u r u u u r 的最大值．因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．【结束】19.【题文】(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．①当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；②设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba的取值范围．当a ＝1时，g (x )＝(x －bx －2)e x．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．【结束】20.【题文】(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有a n＋1a n＜a2a1．可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分【结束】21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.【题文】A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.【结束】21.【题文】B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．21.【题文】C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．考点：极坐标与直接坐标互化【结束】21.【题文】D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【结束】22.【题文】（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．【结束】23.【题文】（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．考点：赋值法求函数值，数学归纳法【结束】。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为 ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为 ．7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为 ．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PF PA的最小值为 ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值．17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE．湖面上的点B在线段AC 上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()fθ，并确定sinθ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C的方程；（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值； （2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10MN 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞012a a+-．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m (m ≥2，m ∈N *)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m ＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值．23．（本小题满分10分）已知集合A n ＝{1，2，…，n }，n ∈N *，n ≥2，将A n 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，其中m ＝2n ．记集合M k 中元素的个数为a k ，k ∈N *，k ≤m ，规定空集中元素的个数为0．（1）当n ＝2时，求a 1＋a 2＋…＋a m 的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n (n ≥2)为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意*1 i i m ∈-N ，…，都有11i i a a +-=．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝ ． 答案：{1，3}考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<， ∴A I B ＝{1，3}．2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ． 答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为 ．答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意， 当0x >时，21x =-，该等式无解．故14x =-． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生 个．答案：325考点：频率分布直方图 解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为 ． 答案：0考点：函数的奇偶性与周期性 解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13a f f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=． 7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为 ．答案：2π考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意知22T ππϕω===．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．答案： 考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ． 答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PFPA的最小值为 ．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠， 当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小， 令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ． 答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．答案： 考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r mm r -=-，化简得r m =即cos ∠OCD ＝CD OC ＝rm=tan ∠COB ＝tan ∠OCD ，∴直线l 1的斜率为5±．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ． 答案：2考点：平面向量与解三角形 解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=u u u r u u u r u u u r，∴AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r可转化为33AE BC 22a ==u u u r u u u r ，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ， 2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2． 方法二：14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减， 当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点；当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ， 则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减， ∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值． 解：（1）由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinBSin[π﹣(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinBsinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB ∵B 、C ∈(0，π)， sinB ＞0，sinC ＞0，∴cosB ＝sinB ，tanB ＝1， 由B ∈(0，π)， 得B ＝4π． （2）记A ＝2α∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α ∵cosA ＝725-，A ∈(0，π)，∴sinA 2425sinC ＝sin(A ＋B)＝50∵cosA ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)， ∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α) 在△ADC 中， 由正弦定理得：ADsin ADC sin Cb =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠ 17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，»DE (2)12πθπθ=+⋅=+ 12()32sin tan f θπθθθ=-+++ 当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0，3]，求得2cos (2cos 1)()sin f θθθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：22143x y += （2）①B(0)，O 是△ABC 的垂心，设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N(0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN，则有00001y y x x -⋅=--，解得07x =±，07y =- 则MN＝7， 设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心， 则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1， II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843km x x k -+=+，21224243m x x k -=+，整理得22434k m +=， 则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取d = 综上，当k ＝0时，min d =．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，1x =，2x =，当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增， 所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-， ∵max 28a =， ∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()a g x x'=， 可得切线方程为222ln ()ay a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上， 可得212ln a x a --=-，因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x aaa x --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值； （2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列． 解：（1）1344212155a q T S S S =⎧⇒=⇒==⎨=⎩； （2）因为无穷等差数列，所以d ≥0，且1N a *∈，d N ∈，I 当d ＝0时，n a 和n T 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；II 当d ≥2时，21112(1)21213n in i n n na T a n n n a a -=≥+-=-⇒≥=-≥∑，舍去 故d ＝1，11111111(1)(1)2212(1)2(1)a n i n i n a T n n n n a a a a n a n a n +-=--≥=+<⇒<-+-+-+-∑若12a ≥，则没有满足条件的n ，所以12a =，此时(1)222n T n n n n -≥<⇒=， 故n a n =（3）11T =，23T =，3161T a =⇒=，22a =，33a =，又11n n n n T T a a -->⇒> 所以n a n ≥；若n a n >，1212(1)122n n a n n n T a a a a a a n +=+++>+++>+++=L L L 与原命题矛盾，∴n a n =，11n n a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10MN 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值． 解：（1）设矩阵N ＝ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则MN ＝2 22 2a c b d a c b d ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，所以可得21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以N ＝12 3321 33⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，（2）由12 3321 33A E λλλ⎡⎤--⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，可得矩阵N 的特征多项式为214()()39f λλ=+-令()0f λ=解得113λ=，21λ=-，所以矩阵N 有两个特征值113λ=，21λ=-．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：由可得，又因为，所以直线l 的直角坐标方程为x+y=2，由曲线C 的参数方程为 (t 为参 数)消去t 得曲线C 方程为x 2 =8y ，联立直线l 与曲线C 得：消去y 得方程设，可得所以．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞012a a+-．证明：设12a ta+=≥，当且仅当a＝1时，等号成立，则22212a ta+=-，所以2t-=≤=t＝2时，等号成立，2 t-12aa+-，当且仅当a＝1时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．解：（1）设顾客获得三等奖为时间A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽得三等奖的概率为242624 315CC⨯=，所以P(A)＝143 += 3155；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为100，300，400且P(X＝100)＝2221212(1)+3333(2)(1)mmC m mC m m+-⨯=+++，P(X＝300)＝112222833(2)(1)mmC C mC m m+⨯=++，P(X＝400)＝22222433(2)(1)mCC m m+⨯=++，所以随机变量X的数学期望12(1)8()100[]30033(2)(1)3(2)(1)m m mE X m m m m -=⨯++⨯++++44003(2)(1)m m +⨯++化简得：210020022001600()33(2)(1)m m E X m m ++=+++， 由题意可得E(X)≤150，即21002002200160033(2)(1)m m m m +++++≤150， 化简得2323180m m --≥，因为m N *∈，解得m ≥9， 即m 的最小值为9．23．（本小题满分10分）已知集合A n ＝{1，2，…，n }，n ∈N *，n ≥2，将A n 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，其中m ＝2n ．记集合M k 中元素的个数为a k ，k ∈N *，k ≤m ，规定空集中元素的个数为0．（1）当n ＝2时，求a 1＋a 2＋…＋a m 的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n (n ≥2)为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意*1 i i m ∈-N ，…，都有11i i a a +-=．解：(1)当n=2时，m=22=4， 集合A n 共有4个子集，可得；(2)当n=2时，m=22=4, 此时令，满足对任意，都有成立；假设n ＝k 时，存在有序集合组满足对任意的都有成立.此时，0个元素的集合个数为，1个元素的集合个数为，……，k 个元素的集合个数为将对应集合的元素个数a ，按奇偶问隔排列，先偶后奇，从小到大排列后，可得到一个符合题意的排列当n ＝k ＋1时，0个元素的集合个数为，1个元素的集合个数为……，k 个元素的集合个数为.k+1个元素的集合个数为，此时相比于n＝k时的排列多出数字的个数为个，将多出的这些数字按n＝k时的排序方式插入原序列，依然成立；故n＝k＋1时，原命题成立。
南京市、盐城市2020届高三数学二模试卷含答案
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数 学参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{ x | x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x | x (x －5)＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回．．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )= x ＋a3，则f (a )的值为 ▲ ．7．若将函数f (x )＝sin ( 2x + π3 )的图象沿x 轴向右平移φ（φ>0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为 ▲ ．8．在ΔABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90º，则ΔABC 绕BC 所在直线旋转一周所形（第4题图）（第3题图）成的几何体的表面积为 ▲ ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ▲ ．10．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为 ▲ ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m )2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ▲ ．13．在△ABC 中，BC 为定长，且|→AB +2→AC |＝3|→BC |．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ▲ ．14．函数f (x )＝e x －x －b (e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g (x )＝f (f (x )－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，三棱锥P －ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． （1）求证：AC ∥平面PDE ；（2）若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝cos C ＋c sin B ． （1）求B 的值．（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．（第15题图）PACDE17．(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道︵DE ．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ， g (x )＝a ln x ，a ∈R ．函数h (x )＝ f (x )x－g (x )的导函数h'(x )在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，记T n 为数列{a n }的前a n 项和， 即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a a n ．（1）若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；（2）若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得T na n＜2，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{T n }的通项为T n ＝n (n ＋1)2，求证：数列{a n }为等差数列．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1， MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23．(本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n．记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0．（1）当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，3} 2．5 3．－14 4．325 5．126．0 7．π2 8．65π 9．5 10． 2211．8 12．±2 5 5 13．2 14．(1，12＋ln2)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：（1）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ． ············································································ 2分 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AC ∥平面PDE ． ··································································· 4分 （2）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ．又因为AC ＝2，所以DE ＝1，因为PD ＝2，PE ＝3， 所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE ． ·························································· 8分 又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC ， ································································ 12分 又因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ························································· 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4． ························································································· 6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，因为cos A ＝－725，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 8分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175． ················ 10分 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 12分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ·············································· 14分 17．(本小题满分14分)解：（1）连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ ，BC ＝1sin θ ．因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ． ····· 2分又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ ，优弧︵DE 所对圆心角为2π－(π－2θ) ＝π＋2θ，所以优弧︵DE 长l 为π＋2θ， ····························································· 4分 所以f (θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ． ······························································ 6分因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1， 所以sin θ的取值范围为(13，1)． ································································ 8分（2）由f (θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f '(θ)＝－2+cos θsin 2θ＋2＝cos θ(1－2cos θ)sin 2θ． · 10分令f '(θ)＝0 ，解得cos θ＝12，因为θ为锐角，所以θ＝π3． ···························· 12分设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3．当θ∈(θ0，π3)时，f '(θ)＜0，则f (θ)在(θ0，π3)单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f '(θ)＞0，则f (θ)在(π3，π2)单调递增，所以f (θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短． ·························································· 14分18．(本小题满分16分)解：（1）记椭圆C 的焦距为2c ．因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12．因为椭圆C 过点 (0，3)，所以b ＝3． 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ·································································· 2分（2）①因为点B 为椭圆C 的上顶点，所心B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称． ·········································· 4分 不妨设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜3．又因为MO ⊥BN ，所以→MO ·→BN ＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0． ············································································· 6分 又点M (x 0，y 0)在椭圆上，则x 024＋y 023＝1．由⎩⎨⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 024＋y 023＝1，解得y 0＝－473或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2733．故MN ＝2|x 0|＝4733，即线段MN 的长为4733． ··········································· 8分②方法1设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ······ 10分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ··································································· 12分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 14分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 方法2设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)．因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)． ·························································· 10分 因为x 23 4＋y 23 3＝1，所以(x 1＋x 2)24＋(y 1＋y 2)23＝1．将x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12． ·································· 12分 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处， 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1． 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n ． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0．(*)则△＝(8kn )2－4(3＋4k 2) (4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2， 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34． ······ 14分 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R ． 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n |k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14(k 2＋1) ． 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32， 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为h (x )＝f (x )x －g (x )＝x 2－x －(a －16)－a ln x ，所以h'(x )＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x， 令h'(x )＝0，得2x 2－x －a ＝0．因为函数h'(x )在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点， 又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×(52)2－52－a ≤0， 2×42－4－a ≥0．解得10≤a ≤28． 因此，实数a 的取值范围为[10，28]． ······················································· 2分（2）方法1因为当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，f (0)≥f (x )恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0 对任意x ∈[0，b ]都成立． ········································· 4分 当x ＝0时，上式恒成立； ········································································ 6分 当x ∈(0，b ]时，存在a ∈[10，28] ，使得x 2－x ＋16≤a 成立， ······················· 8分 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分 方法2由f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f '(x )＝3x 2－2x －(a －16)．设△＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)，若△≤0，则f '(x )≥0恒成立，f (x )在[0，b ]上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，于是△＞0， ··········· 4分 故f '(x )＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)，若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f '(x )＞0，f (x )在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0． ························································································· 6分又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0， 从而当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f (0)≥f (b )成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0． ························ 8分 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分（3）设直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点A (x 1 ，f (x 1))，与曲线y ＝g (x )相切于点B (x 2 ，g (x 2))． 过A (x 1 ，f (x 1))点的切线方程为y －[x 13－x 12－(a －16)x 1]＝[3x 12－2x 1－(a －16)]( x －x 1)， 即y ＝[3x 12－2x 1－(a －16)]x －2x 13＋x 12．过B (x 2 ，g (x 2))点的切线方程为y －a ln x 2＝a x 2( x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋a ln x 2－a ． 又因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎨⎧3x 12－2x 1－(a －16)＝a x 2 ①，－2x 13＋x 12＝－12 ②，a ln x 2－a ＝－12 ③，························································· 12分 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2， a ln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0． ·············· 14分 则（1）知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57． 令p (x )＝ln x ＋ 1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p' (x )＝1 x －1 2x 2＝2x －1 2x 2， 因为p' (x )＞0，所以函数p (x )在[57，＋∞)上为增函数． 又因为p (1)＝0，且函数p (x )的图像是不间断的，所以函数p (x )在[57，＋∞)有唯一零点1， 所以方程ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12， 所以实数a 的值为12． ········································································· 16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q )＝4 a 1(1＋q )．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15． ···························································· 2分（2）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z ．若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾， 因此d ≥0，即d ∈N ． ··········································································· 4分因为S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n (a n －1)d 2，因此T n a n ＝a 1＋(a n －1)d 2． 由T n a n ＜2，得a 1＋(a n －1)d 2＜2． ································································ 6分 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋(a n －1)d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1． 于是1＋(n －1)d 22＜2，即(n －1)d 2＜2． ①若d ＝0时，则存在无穷多个n (n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意； ········································································· 8分②若d ∈N *时，则n ＜1＋2d 2． 因为存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2． 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． ······························· 10分（3）因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1＞0， 所以T n ＋1＞T n ，即S a n ＋1＞S a n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n ． ················································· 12分 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n （n ≥2），又a 1≥1，所以a n ≥n ． ① ····································· 14分 由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得a a n ＋1＋a a n ＋2＋…＋a a n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ． ②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列． ································································· 16分南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案和评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，N= M －1． ············································· 2分 因为|M |＝1×1－2×2＝－3， ·································································· 4分 所以N= M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －2 －3 －2 －3 －13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 3 2 3 －13． ············································ 6分 （2）N 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ + 13－2 3－2 3λ + 13＝(λ＋13)2－(－23)2＝( λ－13)(λ＋1)． ·· 8分 令f (λ)＝0，解得λ＝13或－1， 所以N 的特征值是13和1． ········································································ 10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2． ······················································· 2分 由直线l 极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2． ···································· 4分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2， 消去y ，得x 2＋8x －16＝0， ····································································· 6分 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋(－1)2|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(－8)2－4×(－16) ＝16． ···················································································· 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：方法1因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，。
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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为．2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为．5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为．6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为．7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m?α，则m∥β；②若m∥α，n?α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则?的最小值为．14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f （x）≤0恒成立，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n﹣，+1（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为（﹣∞，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：＞0，解得：x＜1，故函数的定义域是：（﹣∞，1）．2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=﹣1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得．【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，∴，∴．故答案为：﹣1﹣i．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，∴基本事件总数n=3×3=9，甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．故答案为：．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为30．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意=，解得n=30，故答案为：305．根据如图所示的伪代码，输出S的值为17．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I≤8，S=2，I=3满足条件I≤8，S=5，I=5满足条件I≤8，S=10，I=7满足条件I≤8，S=17，I=9不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．故答案为17．6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为31．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q的值，则S5的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a1=1，则S4=4，5S2=10，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a1=1，S4=5S2，得=5a1（1+q），解得q=±2．∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=2．则S5==31．故答案为：31．7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值．【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）的最大值为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（，0），准线l方程为x=﹣，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣），当x=﹣时，y=3，由可得A点坐标为（﹣，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（，3），∴|PF|=|PA|=﹣（﹣）=6．故答案为6．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α∈（0，），求解出α﹣∈（，），可得cos（）=，构造思想，cosα=cos（α），利用两角和与差的公式打开，可得答案．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（，），sin（α﹣）=，∴cos（）=，那么cosα=cos[（α）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin==故答案为：．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是①④（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m?α，则m∥β；②若m∥α，n?α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m∥n或m与n异面；在③中，m与β相交、平行或m?β；在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m?α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n?α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m?β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：①④．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为3．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y ﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为{﹣4，2} ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，即可得出结论．【解答】解：由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，∴m=﹣4或2，故答案为{﹣4，2}．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则?的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），求得=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），代入?，展开后利用配方法求得?的最小值．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），∵=（1，2），=（﹣2，2），∴C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），则=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），∴?=（c﹣a）（c﹣a﹣3）+（b﹣d）2=（c﹣a）2﹣3（c﹣a）+（b﹣d）2=．∴?的最小值为﹣．故答案为：﹣14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f （x）≤0恒成立，则的最小值为﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，∴，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣e）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），∴（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）==，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由H′（x）=0，得x=e+，当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣，∴的最小值为﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=，tanβ=，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC 的值．（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，所以tanα=，tanβ=，…所以tan∠BAC=tan（α+β）===1．…又∠BAC∈（0，π），所以∠BAC=．…（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=，AD=6，BD=3．由正弦定理得=，解得sinα=．…因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα==．…因此sin∠ADC=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（+）=．…△ADC的面积S=×AD×DC?sin∠ADC=×6×2×=（1+）．…16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD ⊥AP．（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推导出AB⊥AD，AP⊥AB，从而AB⊥平面PAD，进而CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP．…又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…因为CD?平面ABCD，所以CD⊥AP．…（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…由①②得CD∥AB，…因为CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）．…因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣）2+，故当x=时，侧面积最大，最大值为平方厘米．（2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4x+4x2）=x=4x3﹣240x2+3600x．…当且仅当a=b=60时等号成立．设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…此时a=b=60，x=10．答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得由（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．得（x M﹣x N）2=4x2=．即可．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，由=得…①，由（2）知…②由①②得?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C： +=1经过点（b，2e）所以．因为e2=，所以，又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．所以椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，所以x1+x2=，x1x2=．因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8，解得x2=因为MN∥l，所以因为（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．（x M﹣x N）2=4x2=．所以=．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，∵=，…①由（2）知…②由①②得?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．又因为k＞0，所以k=．…19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣1，h′（x）=e x﹣2，由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减；②f′（x）=e x﹣e，x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[e m﹣em﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），∵F（x）的值域是R，故e m﹣em﹣1≤（2﹣e）m，即e m﹣2m﹣1≤0，（*），由①可知m＜0时，h（x）=e m﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，故函数f（x）=e x﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤，综上，m的范围是[0，]；（2）证明：f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]，故f（1）≤f（x1）=f（x2），又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），即，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，∴e﹣1≤a≤e2﹣e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n﹣，+1（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{a n}是公差为2的等差数列，可得a n=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．代入（n+2）c n=﹣即可得出c n．（2）由（n+1）b n=a n+1﹣，可得：n（n+1）b n=na n+1﹣S n，（n+1）（n+2）b n+1=﹣S n+1，相减可得：a n+2﹣a n+1=（n+2）b n+1﹣nb n，代入化简可得c n=（b n+b n （n+1）a n+2）．b n≤λ≤c n，λ≤c n=（b n+b n﹣1）≤λ，故b n=λ，c n=λ．进而得出．﹣1【解答】（1）解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1），=a1+n ﹣1．∴（n+2）c n=﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得c n=1．（2）证明：由（n+1）b n=a n+1﹣，可得：n（n+1）b n=na n+1﹣S n，（n+1）（n+2）b n+1=（n+1）a n+2﹣S n+1，相减可得：a n﹣a n+1=（n+2）b n+1﹣nb n，+2可得：（n+2）c n=﹣=﹣[a n+1﹣（n+1）b n]=+（n+1）b n=+（n+1）b n=（b n+b n），﹣1因此c n=（b n+b n﹣1）．∵b n≤λ≤c n，∴λ≤c n=（b n+b n﹣1）≤λ，故b n=λ，c n=λ．﹣，（n+2）λ=（a n+1+a n+2）﹣，∴（n+1）λ=a n+1﹣a n+1）=λ，即a n+2﹣a n+1=2λ，（n≥2）．相减可得：（a n+2又2λ==a2﹣a1，则a n+1﹣a n=2λ（n≥1），∴数列{a n}是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由切割线定理可得BC2=BM?BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN．【解答】（1）解：由切割线定理可得BC2=BM?BA．设AM=t，则∵AB=8，BC=4，∴16=8（8﹣t），∴t=6，即线段AM的长度为6；（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B，∴△BMN∽△BCA，∴=，∵AB=2AC，∴BN=2MN．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A′，B′，代入直线的直线为l′即可求得a和b的值；方法二：设P（x，y），利用矩阵坐标变换，求得Q点坐标，代入直线为l′，由ax+y﹣7=0，则==，即可求得a和b的值．【解答】解：方法一：在直线l：ax+y﹣7=0取A（0，7），B（1，7﹣a），由=，则=，则A（0，7），B（1，7﹣a）在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b （7﹣a）﹣1），由题意可知：A′，B′在直线9x+y﹣91=0上，，解得：，实数a，b的值2，13．方法二：设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q （x′，y′），则=，∴，由Q（x′，y′），在直线l′：9x+y﹣91=0．即27x+（﹣x+by）﹣91=0，即26x+by﹣91=0，P在ax+y﹣7=0，则ax+y﹣7=0，∴==，解得：a=2，b=13．实数a，b的值2，13．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．方法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．直线l的参数方程代入抛物线C的方程得4t2﹣15t﹣25=0，利用AB=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…联立方程组解得，或所以A（4，4），B（，﹣1）．…所以AB═．…（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…直线l的参数方程代入抛物线C的方程得（t）2=4（1+），即4t2﹣15t﹣25=0，所以t1+t2=，t1t2=﹣．…所以AB=|t1﹣t2|==．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）【考点】不等式的证明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．【解答】证明：∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，∴原不等式成立．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE．因为BC∥AD，所以AE⊥AD．建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=．…（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．…设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．因为=（，0，0），=（，，1），由，得x0=0，y0+z0=0．取y0=2，则z0=﹣1，则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）．…由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意知p2==，（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=，即可求出为p n，再根据二项式定理和放缩法即可证明．【解答】解：（1）由题意知p2==，即p2的值为．（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=；去掉第n行已经排好的n个数，则余下的﹣n=个数中最大数在第n﹣1行的概率为=；…故p n=××…×==．由于2n=（1+1）n=C n0+C n1+C n2+…+C n n≥C n0+C n1+C n2＞C n1+C n2=C n+12，故＞，即p n＞．2017年4月1日。