2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第八节双曲线(二) 理

第八节 双曲线(二)

基础自测

1．已知m >0，直线y ＝34x 是双曲线x 2

4－y

2

m 2＝1的渐近线，则m 等于( )

A.32

B.332

C.83

D.16

3

解析：双曲线x 24－y 2m 2＝1的渐近线为x 24－y 2m 2＝0，即y ＝±m 2x ，又m >0，故直线y ＝3

4

x 就是

直线y ＝m 2x ，得34＝m 2，所以m ＝3

2

.

答案：A

2．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三

角形的三个顶点，则双曲

线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.5

2 D ．3

解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2

)，则e ＝c a

＝2.故选B.

答案：B

3．中心在原点，经过点(3,0)，离心率为5

3

的双曲线的标准方程为__________．

解析：依题意，双曲线实轴在x 轴上，且a ＝3，设其方程为x 29－y 2b 2＝1(b ＞0)，则

32＋b

2

3

＝53，得b 2

＝16，故双曲线的标准方程为x 29－y 2

16

＝1.

答案：x 29－y 2

16

＝1

4．(2013·梅州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为π

3

，则双曲线

的离心率为________________．

解析：因为a ＞b ＞0，所以渐近线y ＝b a x 的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为π

3

，

所以，渐近线的倾斜角为π6，即b a ＝tan π6＝33，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2

＋13a 2，所以c 2

a 2＝

43，所以e ＝23

3

.

答案：23

3

1．(2013·广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3

2

，则

双曲线C 的方程是 ( )

A.x 24－y 25

＝1 B.x 24－y 2

5＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 2

5＝1

解析：依题意c ＝3，e ＝32

，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2

＝5，故选B.

答案：B

2．(2013·湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1： x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2

sin 2θ－

x 2

sin 2θtan 2

θ

＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等

解析：双曲线C 1的离心率是e 1＝1cos θ，双曲线C 2的离心率是e 2＝

sin 2

θ＋tan 2

θ

sin θ

＝1cos θ

，故选D. 答案：D

1．(2013·山东淄博上学期期末)已知双曲线x 2

a

2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2

＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )

A. 2

B. 3 C ．2 D ．2 3

解析：抛物线的焦点坐标为(3，0)，双曲线的右焦点为(c,0)，则c ＝3，渐近线为

y ＝±b a x ，因为一条渐近线的斜率为2，所以b

a ＝2，即

b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝

c 2－a 2，即

c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，故选B.

答案：B

2．F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近

线的垂线，垂足为M ，满足|MF 1→|＝3|MF 2→

|，则此双曲线的渐近线方程为________．

解析：设该双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，则MF 2的斜率为－a b

，所以MF 2的方程为y ＝－a b

(x －c )．

所以可求得交点M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2

c ，ab c . 所以|MF 2→|＝b ，则|MF 1→

|＝3b .

在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→

|＝c ，

cos ∠F 1OM ＝－cos∠F 2OM ＝－a c

. 在△F 1OM 中，由余弦定理可知 a 2＋c 2－b 22ac ＝－a c .又c 2＝a 2＋b 2

，

可得a 2

＝2b 2

，即b a ＝22，因此渐近线方程为y ＝±22

x . 答案：y ＝±22

x