《图形旋转》练习有答案.docx
【小学】小学三年级数学(下)《图形的旋转》练习题(含答案)
小学三年级数学（下）《图形的旋转》练习题一、选择题。
1、如图，2绕中心逆时针旋转90°到（）所在的位置。
A、1B、3C、42、下面的运动属于旋转的是（）。
A、推拉抽屉B、荡秋千C、乘电梯上楼3、是图形经过（）得到的。
A、平移B、旋转C、既平稳又旋转D、无法确定4、下面（）是顺时针旋转一周后的图形。
5、开着的电风扇是属于（）现象。
A、平移B、旋转C、对称6、将下面的图形绕各自的中心点旋转12021，不能与原来图形重合的是（）二、判断题。
1、钟表上的分针运动是平移现象。
（）2、拉抽屉是旋转现象。
（）3、在推导三角形的面积公式时用到平移和旋转方法。
（）4、旋转就是绕一个点或一条轴做圆周运动。
（）5、收费站的转杆打开，旋转了180°（）三、填空题。
1、小明推开教室门，门的运动是（）现象。
2、把一个圆形绕某个点旋转，会得到一个新图形，新图形与原图形（）和（）完全相同。
3、正方形绕中心点旋转（）度与原来的图形重合，旋转一周可以重合（）次。
4、旋转是由（）和（）决定的。
5、图形旋转有三个关键要素，一是旋转的（），二是旋转的（），三是旋转、的（）6、一个长方形绕着它的长边旋转一周可以成为一个（）体。
7、看图填空。
（1）指针从A开始，（）时针旋转90°到B。
（2）指针从C开始，逆时针旋转（）到B。
（3）指针从D开始，逆时针旋转90°到（）。
四、解答题。
1、左边的图形在平面上旋转后，会和右边的哪个图形形状相同？给它涂上颜色。
2、按规律画一画。
附参考答案一、选择。
B，B，B，A，B，C二、判断。
×，×，√，√，×，三、填空。
1、旋转，2、形状和大小，3、90，4，4、旋转中心点，旋转方向，5、中心点，方向，角度，6、圆柱体，7、（1）顺时针，（2）90°，（3）C四、解答。
1、左起第一个。
2。
图形的平移和旋转基础题(含答案解析)版.doc
精品文档图形的平移和旋转一．选择题（共15 小题）1．如图，在△ ABC 中，∠CAB=65 °，将△ ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C′的位置，使CC′∥ AB ，则旋转角的度数为（）A ． 35° B． 40° C． 50° D． 65°2．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到 C 的方向平移到△ DEF 的位置， AB=10 ， DO=4 ，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A ． 48 B． 96C． 84D． 423．如图，在 Rt△ ABC 中，∠BAC=90 °，将△ ABC 绕点（点 B 的对应点是点 B ′，点 C 的对应点是点 C′），连接小是（）A 顺时针旋转90°后得到的△AB ′C′CC′．若∠ CC′B′=32°，则∠ B 的大A ． 32° B． 64° C． 77° D． 87°4．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．将点 A（﹣ 2，﹣ 3）向右平移 3 个单位长度得到点 B ，则点 B 所处的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转45°后得到正方形 AB 1C1D1，边 B1C1 与 CD 交于点 O，则四边形 AB 1OD 的面积是（）A ．B．C． D ．﹣17．如图，已知 ?ABCD 中，AE ⊥ BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于∠ABC ，把△ BAE 顺时针旋转，得到△BA ′E′，连接 DA ′．若∠ADC=60 °，∠ADA ′=50°，则∠ DA ′E′的大小为（）A ． 130°B． 150°C． 160°D． 170°8．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C． D ．9．如图， E、 F 分别是正方形ABCD 的边 AB 、 BC 上的点，且BE=CF ，连接 CE、 DF，将△DCF 绕着正方形的中心O 按顺时针方向旋转到△ CBE的位置，则旋转角为（）A ． 30° B． 45° C． 60° D． 90°10．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B．C．D．11．如图，将△ ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△ A′B′C′，且点B刚好落在 A ′B′上，若∠A=25 °，∠BCA ′=45 °，则∠A ′BA 等于（）A ． 30° B． 35° C． 40° D． 45°12．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D ．三种方案所用铁丝一样长13．下列图形中，是中心对称图形的为（）A ．B ．C．D．14．在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（）A ．（ 4，﹣ 3）B．（﹣ 4， 3）C．（ 0，﹣ 3）D．（ 0，3）15．如图，△ABC 中，AB=4 ，BC=6 ，∠B=60 °，将△ ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到△ A ′B′C′，再将△ A ′B′C′绕点 A ′逆时针旋转一定角度后，点 B′恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A ． 4，30°B ．2， 60°C． 1， 30° D ．3， 60°二．填空题（共 6 小题）16．如图，在Rt △ ABC 中，∠ ABC=90 °，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△ MNC ，连接 BM ，则 BM 的长是．17．若点（ a， 1）与（﹣ 2， b）关于原点对称，则b．a =18．如图，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转60°得到△ AED ，若线段 AB=3 ，则 BE= ．19．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90 °，AC=6 ，BC=4 ，将△ ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到△DEC ．若点 F 是 DE 的中点，连接AF ，则 AF=．20．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=5cm ， BC=12cm ，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△BDE ，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ ACF 与△ BDF 的周长之和为cm．21．如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与 AD 相交于点 H ，延长 DA 交 GF 于点 K．若正方形ABCD 边长为，则AK=．三．解答题（共 6 小题）22．如图，△ ABC 中， AB=AC=1 ，∠ BAC=45 °，△ AEF 是由△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 BE 、 CF 相交于点 D．（1）求证： BE=CF ；（2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知 A （﹣ 1， 5）， B （ 4， 2）， C（﹣ 1， 0）三点．（1）点 A 关于原点O 的对称点 A ′的坐标为，点B关于x轴的对称点 B ′的坐标为，点 C 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为．（2）求（ 1）中的△A ′B′C′的面积．24．如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ ADE 顺时针旋转△ ABF 的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度；（2）若连结EF，则△ AEF 是三角形；并证明；（3）若四边形AECF 的面积为25， DE=2 ，求 AE 的长．25．如图，△ ABC 三个顶点的坐标分别为A（ 2， 4）， B（1， 1）， C（ 4， 3）．（1）请画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A 1B1C1，并写出点 A 1的坐标；（2）请画出△ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后的△ A 2BC 2；（3）求出（ 2）中 C 点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．26．如图，△ ABC 各顶点的坐标分别是 A （﹣ 2，﹣ 4）， B（ 0，﹣ 4）， C（1，﹣ 1）．（1）在图中画出△ABC 向左平移 3 个单位后的△A 1B1C1；（2）在图中画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后的△ A2B2C2；（3）在（ 2）的条件下，AC 边扫过的面积是．27．如图，已知△ ABC三个顶点坐标分别是 A （ 1，3）， B（ 4， 1），C（ 4， 4）．（1）请按要求画图：①画出△ ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ ABC 绕着原点O 顺时针旋转90°后得到的△ A 2B 2C2．（2）请写出直线B1C1与直线 B2C2的交点坐标．图形的平移和旋转基础题教师版参考答案与试题解析一．选择题（共15 小题）1．（ 2015?德州）如图，在△ ABC 中，∠ CAB=65 °，将△ ABC 在平面内绕点 A 旋转到△AB ′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为（）A ． 35° B． 40° C． 50° D． 65°【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ ACC ′=∠CAB ，根据旋转的性质可得 AC=AC ′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠ CAC ′，再根据∠CAC ′、∠ BAB ′都是旋转角解答．【解答】解：∵ CC′∥ AB ，∴∠ ACC ′=∠ CAB=65 °，∵△ ABC 绕点 A 旋转得到△ AB ′C′，∴AC=AC ′，∴∠ CAC ′=180 °﹣ 2∠ ACC ′=180 °﹣ 2×65°=50°，∴∠ CAC ′=∠ BAB ′=50°．故选 C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．（ 2015?镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到 C 的方向平移到△ DEF 的位置， AB=10 ，DO=4 ，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A ． 48 B． 96C． 84D． 42【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得出 BE=6 ，DE=AB=10 ，则 OE=6，则阴影部分面积 =S 四边形ODFC=S梯形 ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．【解答】解：由平移的性质知，BE=6 ， DE=AB=10 ，∴OE=DE ﹣ DO=10 ﹣ 4=6 ，∴S 四边形ODFC=S 梯形ABEO =（AB+OE）?BE=（10+6）×6=48．故选： A ．【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形 ABEO 的面积相等是解题的关键．3．（ 2015?哈尔滨）如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC=90 °，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转90°后得到的△AB ′C（′点 B 的对应点是点 B ′，点 C 的对应点是点C′），连接CC′．若∠ CC′B′=32°，则∠ B 的大小是（）A ． 32° B． 64° C． 77° D． 87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点 A ， C、C′为对应点，可知AC=AC ′，又因为∠ CAC ′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A 的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC ′，∵∠ CAC ′=90 °，可知△ CAC ′为等腰直角三角形，则∠ CC′A=45°．∵∠ CC′B′=32°，∴∠ C′B′A= ∠ C′CA+ ∠ CC′B′=45 °+32°=77 °，∵∠ B=∠ C′B′A，∴∠ B=77 °，故选 C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．4．（ 2015?贵港）在平面直角坐标系中，若点P（ m， m﹣ n）与点 Q（﹣ 2， 3）关于原点对称，则点M （m， n）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则m=2 且 n=﹣3，从而得出点M （m，n）所在的象限．【解答】解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2 且 m﹣ n= ﹣ 3，∴m=2 ， n=5∴点 M （ m， n）在第一象限，故选 A ．【点评】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．5．（ 2014?呼伦贝尔）将点 A （﹣ 2，﹣ 3）向右平移 3 个单位长度得到点B，则点 B 所处的象限是（）【考点】 坐标与图形变化 -平移． 【分析】 先利用平移中点的变化规律求出点 B 的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点 B 所处的象限．【解答】 解：点 A （﹣ 2，﹣ 3）向右平移 3 个单位长度，得到点 B 的坐标为（ 1，﹣ 3），故点在第四象限． 故选 D ．【点评】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点． 注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6．（ 2015?枣庄）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边 B 1C 1 与 CD 交于点 O ，则四边形 AB 1OD 的面积是（）A ．B ．C ．D ．﹣ 1【考点】 旋转的性质． 【专题】 压轴题．【分析】 连接 AC 1，AO ，根据四边形AB 1C 1D 1 是正方形，得出 ∠ C 1AB 1=∠ AC 1B 1=45 °，求出∠ DAB 1=45 °，推出 A 、D 、 C 1 三点共线，在 Rt △ C 1D 1A 中，由勾股定理求出 AC 1，进而 求出 DC 1 =OD ，根据三角形的面积计算即可．【解答】 解：连接 AC 1， ∵四边形 AB 1C 1D 1 是正方形，∴∠ C 1 11 1，AB = ×90°=45 °=∠ AC B∵边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45°后得到正方形 AB 1C 1D 1，∴∠ B 1AB=45 °，∴∠ DAB =90 °﹣ 45°=45 °，1∴AC 1 过 D 点，即 A 、 D 、 C 1 三点共线， ∵正方形 ABCD 的边长是 1，∴四边形 AB C D 的边长是 1，11 1在 Rt △ C 1D 1A 中，由勾股定理得： AC 1== ，则 DC 1= ﹣1，∵∠ AC 1B 1=45 °，∠ C 1DO=90 °， ∴∠ C 1OD=45 °=∠ DC 1O ， ∴DC 1=OD=﹣ 1，∴S △ ADO= ×OD?AD=，∴四边形 AB 1OD 的面积是 =2×=﹣ 1，故选： D．【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2015?天津）如图，已知 ?ABCD 中，AE ⊥BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于∠ ABC ，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA ′E′，连接 DA ′．若∠ADC=60 °，∠ADA ′=50°，则∠ DA ′E′的大小为（）A． 130°B． 150°C． 160°D． 170°【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ ABC=60°，∠ DCB=120°，再由∠A ′DC=10 °，可运用三角形外角求出∠ DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA ′E′=∠BAE=30 °，从而得到答案．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ ADC=60°，∴∠ ABC=60 °，∠ DCB=120 °，∵∠ ADA ′=50°，∴∠ A ′DC=10 °，∴∠ DA ′B=130 °，∵AE ⊥ BC 于点 E，∴∠ BAE=30 °，∵△ BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠ BA ′E′=∠BAE=30 °，∴∠ DA ′E′=∠ DA ′B+ ∠ BA ′E′=160°．故选： C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA ′B 和∠ BA ′E′．8．（ 2014?自贡）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C． D ．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解： A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误．故选： C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．9．（ 2015?巴彦淖尔）如图， E、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 、 BC 上的点，且 BE=CF ，连接 CE、 DF ，将△ DCF 绕着正方形的中心 O 按顺时针方向旋转到△ CBE 的位置，则旋转角为（）A ． 30° B． 45° C． 60° D． 90°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】由题意得到 D 对应点为 C，连接 OC，OD ，∠ DOC 即为旋转角，利用正方形性质求出即可．【解答】解：∵正方形 ABCD ， O 为正方形的中心，∴OD=OC ， OD⊥ OC，∴∠ DOC=90 °，由题意得到 D 对应点为C，连接 OC， OD，∠DOC 即为旋转角，则将△ DCF 绕着正方形的中心 O 按顺时针方向旋转到△CBE 的位置，旋转角为 90°，故选D ．【点评】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．10．（ 2015?龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解： A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误．故选： A ．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．11．（2015?东西湖区校级模拟）如图，将△ ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B 刚好落在 A ′B′上，若∠A=25 °，∠BCA ′=45 °，则∠A ′BA 等于（）A ． 30° B． 35° C． 40° D． 45°【考点】旋转的性质．【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA ′+∠ A ′=∠B ′BC=45 °+25 °=70°，以及∠BB ′C=∠ B′BC=70 °，再利用三角形内角和定理得出∠ ACA ′=∠ A ′BA=40 °．【解答】解：∵ ∠ A=25 °，∠BCA ′=45 °，∴∠ BCA ′+∠ A ′=∠ B ′BC=45 °+25°=70 °，∵CB=CB ′，∴∠ BB ′C=∠ B′BC=70 °，∴∠ B′CB=40 °，∴∠ ACA ′=40 °，∵∠ A= ∠ A ′，∠ A ′DB= ∠ ADC ，∴∠ ACA ′=∠A ′BA=40 °．故选： C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ ACA ′=40°是解题关键．12．（ 2014?邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D ．三种方案所用铁丝一样长【考点】生活中的平移现象．【专题】操作型．【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选： D．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．13．（ 2015?甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（）A ．B ．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故 A 错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故 B 正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故 C 错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故 D 错误．故选： B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．14．（ 2015?随州）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（）A ．（ 4，﹣ 3）B．（﹣ 4， 3）C．（ 0，﹣ 3）D．（ 0，3）【考点】关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，将点（﹣2， 3）关于原点的对称点是（2，﹣ 3），再向左平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣ 3），故选： C．【点评】本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．15．（2014?南昌）如图，△ ABC 中， AB=4 ，BC=6 ，∠ B=60 °，将△ ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到△ A ′B′C′，再将△ A ′B′C′绕点 A ′逆时针旋转一定角度后，点 B ′恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A ． 4，30°B ．2， 60° C． 1， 30° D ．3， 60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A ′B′C=60 °，AB=A ′B′=A ′C=4，进而得出△A ′B′C 是等边三角形，即可得出BB ′以及∠ B′A′C 的度数．【解答】解：∵ ∠ B=60 °，将△ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到△ A ′B′C′，再将△A ′B′C′绕点 A ′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点 C 重合，∴∠ A ′B′C=60°，AB=A ′B′=A ′C=4，∴△ A ′B′C 是等边三角形，∴B ′C=4 ，∠ B ′A′C=60°，∴BB ′=6﹣ 4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2， 60°．故选： B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ A ′B′C 是等边三角形是解题关键．二．填空题（共 6 小题）16．（ 2015?福州）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC=90 °， AB=BC= ，将△ ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，得到△ MNC ，连接 BM ，则 BM 的长是+1 ．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】如图，连接AM ，由题意得： CA=CM ，∠ ACM=60 °，得到△ ACM 为等边三角形根据 AB=BC ，CM=AM ，得出 BM 垂直平分AC ，于是求出BO= AC=1 ，OM=CM ?sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM ，由题意得： CA=CM ，∠ACM=60 °，∴△ ACM 为等边三角形，∴AM=CM ，∠ MAC= ∠ MCA= ∠ AMC=60 °；∵∠ ABC=90 °， AB=BC=，∴AC=2=CM=2 ，∵AB=BC ， CM=AM ，∴BM 垂直平分 AC ，∴BO= AC=1 ， OM=CM ?sin60 °=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为： 1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．17．（ 2015?西宁）若点（ a， 1）与（﹣ 2， b）关于原点对称，则a b=．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（ x，y），关于原点的对称点是（﹣ x，﹣ y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点（ a， 1）与（﹣ 2， b）关于原点对称，∴b= ﹣ 1， a=2，b﹣1∴a =2 = ．故答案为：．【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．18．（ 2015?湘潭）如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ AED ，若线段 AB=3 ，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60 °，AB=AE ，得出△BAE 是等边三角形，进而得出BE=3 即可．【解答】解：∵将△ABC 绕点 A 顺时针旋转60°得到△AED ，∴∠ BAE=60 °，AB=AE ，∴△ BAE 是等边三角形，∴B E=3 ．故答案为： 3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：① 定点﹣旋转中心；② 旋转方向；③ 旋转角度．19．（ 2015?扬州）如图，已知 Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=6 ，BC=4 ，将△ ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到△DEC ．若点 F 是 DE 的中点，连接 AF ，则 AF= 5 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质， EC=BC=4 ，DC=AC=6 ，∠ ACD= ∠ ACB=90 °，由点 F 是 DE 的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC ﹣EC=2，可求出AG ，然后运用勾股定理求出AF ．【解答】解：作 FG⊥ AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4 ，DC=AC=6 ，∠ ACD= ∠ ACB=90 °，∵点 F 是 DE 的中点，∴FG∥ CD∴G F= CD= AC=3EG= EC= BC=2∵A C=6 ， EC=BC=4∴A E=2∴A G=4根据勾股定理，AF=5 ．【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．20．（ 2015?吉林）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=5cm ，BC=12cm ，将△ ABC 绕点B 顺时针旋转 60°，得到△ BDE ，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ ACF 与△BDF 的周长之和为 42 cm．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】根据将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转60°，得到△ BDE ，可得△ ABC ≌ △ BDE ，∠CBD=60 °，BD=BC=12cm ，从而得到△ BCD 为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm ，在Rt△ ACB 中，利用勾股定理得到AB=13 ，所以△ ACF 与△ BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD，即可解答．【解答】解：∵将△ABC 绕点 B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，∴△ ABC ≌ △ BDE ，∠ CBD=60 °，∴BD=BC=12cm ，∴△ BCD 为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm ，在 Rt△ ACB 中， AB==13 ，△ACF 与△BDF 的周长之和 =AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（c m），故答案为： 42．【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．21．（ 2015?沈阳）如图，正方形ABCD 绕点 B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ， EF 与AD 相交于点H，延长 DA 交 GF 于点 K ．若正方形 ABCD 边长为，则AK=2﹣3．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】连接 BH ，由正方形的性质得出∠ BAH=∠ ABC=∠ BEH=∠ F=90°，由旋转的性质得：AB=EB ，∠ CBE=30 °，得出∠ABE=60 °，由 HL 证明 Rt△ABH ≌ Rt△ EBH ，得出∠ABH= ∠ EBH=∠ ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH ，得出 EH、FH ，再求出 KH=2FH ，即可求出 AK ．【解答】解：连接 BH ，如图所示：∵四边形 ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴∠ BAH= ∠ ABC= ∠ BEH= ∠ F=90 °，由旋转的性质得：AB=EB ，∠ CBE=30 °，∴∠ ABE=60 °，在 Rt△ ABH 和 Rt△EBH 中，，∴Rt △ ABH ≌ △ Rt △EBH （ HL ），∴∠ ABH= ∠ EBH=∠ ABE=30°，AH=EH，∴A H=AB ?tan∠ ABH=× =1，∴E H=1 ，∴F H=﹣1，在Rt△ FKH 中，∠ FKH=30 °，∴K H=2FH=2 （﹣ 1），∴AK=KH ﹣ AH=2 （﹣ 1）﹣ 1=2 ﹣ 3；故答案为： 2 ﹣3．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共 6 小题）22．（ 2015?湖北）如图，△ ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△ AEF是由△ ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、 CF 相交于点 D ．（1）求证： BE=CF ；（2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（ 1）先由旋转的性质得AE=AB ， AF=AC ，∠ EAF= ∠ BAC ，则∠E AF+ ∠ BAF= ∠ BAC+ ∠ BAF ，即∠ EAB= ∠FAC ，利用 AB=AC 可得 AE=AF ，于是根据旋转的定义，△ AEB 可由△ AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB= ∠ ABE ，根据平行线得性质得∠ABE= ∠BAC=45 °，所以∠ AEB= ∠ ABE=45 °，于是可判断△ ABE 为等腰直角三角形，所以 BE= AC= ，于是利用 BD=BE ﹣DE 求解．【解答】（ 1）证明：∵ △ AEF 是由△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，∴A E=AB ， AF=AC ，∠EAF= ∠ BAC ，∴∠ EAF+ ∠ BAF= ∠ BAC+ ∠ BAF ，即∠ EAB= ∠ FAC ，∵A B=AC ，∴AE=AF ，∴△ AEB 可由△ AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF ；（2）解：∵四边形 ACDE 为菱形， AB=AC=1 ，∴D E=AE=AC=AB=1 ，AC ∥ DE，∴∠ AEB= ∠ABE ，∠ABE= ∠BAC=45 °，∴∠ AEB= ∠ABE=45 °，∴△ ABE 为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE ﹣ DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．23．（ 2013?南通）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A （﹣ 1， 5）， B（ 4，2）， C（﹣ 1， 0）三点．（1）点 A 关于原点 O 的对称点 A ′的坐标为（ 1，﹣ 5），点 B 关于 x 轴的对称点 B ′的坐标为（4，﹣ 2），点 C 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为（ 1， 0）．（2）求（ 1）中的△A ′B′C′的面积．【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x 轴、 y 轴对称的点的坐标．【分析】（ 1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；（2）根据点 A ′（ 1，﹣ 5）， B′（4，﹣ 2）， C′（ 1， 0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得A ′C′=5， B′D=3 ，所以由三角形的面积公式进行解答．【解答】解：（ 1）∵A （﹣ 1， 5），∴点 A 关于原点 O 的对称点 A ′的坐标为（ 1，﹣ 5）．∵B （ 4，2），∴点 B 关于 x 轴的对称点 B ′的坐标为（ 4，﹣ 2）．∵C（﹣ 1， 0），∴点 C 关于 y 轴的对称点C′的坐标为（ 1， 0）．故答案为：（ 1，﹣ 5），（ 4，﹣ 2），（ 1， 0）．（2）如图，∵ A ′（ 1，﹣ 5）， B′（ 4，﹣ 2）， C′（ 1，0）．∴A ′C′=|﹣ 5﹣ 0|=5， B ′D=|4 ﹣ 1|=3，∴S△A′B′C′= A ′C′?B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△ A′B′C′的面积是7.5．【点评】本题考查了关于原点、 x 轴、y 轴对称的点的坐标，三角形的面积．解答（ 2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势．24．（ 2015?新泰市校级模拟）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ ADE 顺时针旋转△ ABF 的位置．（1）旋转中心是点A，旋转角度是90度；（2）若连结EF，则△ AEF 是等腰直角三角形；并证明；（3）若四边形AECF 的面积为25， DE=2 ，求 AE 的长．【考点】旋转的性质．【分析】（ 1）根据旋转变换的定义，即可解决问题．（2））根据旋转变换的定义，即可解决问题．（3）根据旋转变换的定义得到△ ADE≌ △ ABF，进而得到S 四边形AECF=S 正方形ABCD =25 ，求出AD 的长度，即可解决问题．【解答】解：（ 1）如图，由题意得：旋转中心是点 A ，旋转角度是90 度．故答案为 A 、 90．（2）由题意得： AF=AE ，∠EAF=90 °，∴△ AEF 为等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（3）由题意得：△ADE≌ △ABF，∴S 四边形AECF =S 正方形ABCD =25 ，∴A D=5 ，而∠ D=90 °，DE=2 ，∴．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识，这是灵活运用、解题的基础和关键．25．（ 2015?昆明）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A （ 2， 4）， B （1， 1），C（4， 3）．（1）请画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A 1B1C1，并写出点 A 1的坐标；（2）请画出△ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后的△ A 2BC 2；（3）求出（ 2）中 C 点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．【考点】作图 -旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（ 1）利用关于 x 轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点 A 1、B 1、 C1的坐标，然后画出图形即可；（2）利用旋转的性质可确定出点A 2、 C2的坐标；（3）利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：（ 1）根据关于 x 轴对称点的坐标特点可知： A 1（ 2，﹣ 4）， B1（ 1，﹣ 1）， C1 （4，﹣ 3），如图下图：连接A1、 B1、C1即可得到△A 1B1C1．（2）如图：（3）由两点间的距离公式可知：BC=，∴点 C 旋转到 C2点的路径长 =．【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．26．（ 2015?桂林）如图，△ABC 各顶点的坐标分别是 A （﹣ 2，﹣ 4）， B（ 0，﹣ 4）， C （ 1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC 向左平移 3 个单位后的△A 1B1C1；（2）在图中画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后的△ A2B2C2；（3）在（ 2）的条件下，AC 边扫过的面积是．【考点】作图 -旋转变换；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（ 1）如图，画出△ ABC向左平移3 个单位后的△A 1B1C1；（2）如图，画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后的△ A2B2C2；（3）在（ 2）的条件下， AC 扫过的面积即为扇形 AOA 2的面积减去扇形 COC2的面积，求出即可．【解答】解：（ 1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（ 2）的条件下，AC 边扫过的面积S=﹣=5π﹣=．故答案为：．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，以及扇形面积公式，作出正确的图形是解本题的关键．27．（ 2015?贵港）如图，已知△ ABC三个顶点坐标分别是A（ 1，3），B（ 4，1），C（ 4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ ABC 绕着原点O 顺时针旋转90°后得到的△ A 2B 2C2．（2）请写出直线B1C1与直线 B2C2的交点坐标．【考点】作图 -旋转变换；两条直线相交或平行问题；作图-平移变换．【分析】（ 1）根据网格结构找出点 A 、 B、 C 平移后的对应点 A 1、 B 1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转角度，旋转方向，分别找到A 、 B 、C 的对应点，顺次连接可得△ A2B 2C2；（3）由图形可知交点坐标；【解答】解：（ 1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A 2B2C2，即为所求；（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣ 4）．【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．。
(完整版)图形的旋转测试题(含答案)
MB' A'C A B 图5 图4 《图形的旋转》测试题一、选择题：1、在右边四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）DA ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．③2、如图1为旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为（ ）度. CA 、30 oB 、45 oC 、60 oD 、90 o图1 图2 图33、如图2，边有两个边长为4cm 的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是( ).A(A)4cm2 (B)8cm2 (C)16cm2 (D)无法确定4、如图4， △DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的, 则这点的坐标是( B )A. (1,1)B. (0,1)C. (−1,1)D. (2,0)二、填空题5、点a 4（，）与3b （，）关于原点对称，则a b += .-76、如图3，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。
5507、如图5， △ABC 中, (ACB = 90(, (B = 30(, BC = 6, 三角板绕C 逆时针旋转, 当点A的对应点A' 落在AB 边上时即停止转动, 则BM 的长为 3 .8、如图6，△ABC 中, 已知∠C=90°, ∠B=50°, 点D 在边BC 上, BD=2CD. 把△ABC 绕着点D逆时针旋转m （0(<m<180(）度后, 如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上, 那么m = _______. 80(或.O A B C D E F x y2 3图6 A C BD三、解答题9、作图题（1）如图7，画出△ABC 绕点O 顺时针旋转60°所得到的图形．图7 图8（2）如图8,在直角坐标系中,点P 的坐标为(3,4),将OP 绕原点O 逆时针旋转90°得到线段OP ′,(1)在图中画出线段OP ′;(2)P ′的坐标为 ______. (-4,3)1、如图，在△ABC 中，∠B=900，∠C=300，AB=1，将△ABC 绕顶点 A 旋转1800，点C 落在C1处，则C C1的长为（ ）A ．24B ．4C ．32D ．522、如图，△ABC 中，∠ACB=1200，将它绕着点C 旋转300 后得到△DCE ，则∠ACE=∠A+∠E=3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C•为旋转中心，将△ABC 旋转到△A ′B ′C 的位置，其中A ′、B ′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A ′B ′上，直角边CA ′交AB 于D ，求∠BDC 的度数．E DC BA B A C O ABC B C4，如图，正方形ABCD 中，E 在BC 上，F 在AB 上且∠FDE=45°，•△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成为△DGA ．（1）图中哪一个点是旋转中心？（2）旋转了多少度？（3）指出图中的对应点，对应线段和对应角；（4）求∠GDF 的度数．5、已知如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 边上一点，CE=CF:(1)EBC FDC ∠∠与相等吗？（2）△DCF 能与△BCE 重合吗？（3）试判断BE 与DF 的位置关系并说明理由,6．如图所示，四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，△BEA 旋转后能与△DFA 重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若AE=5cm ，求四边形ABCD 的面积．7，如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使L ，M ，D 在AK 的同旁，连结BK 和DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的关系． C FEDB A,8，.如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。
初中数学：图形的旋转练习(含答案)
初中数学：图形的旋转练习（含答案）知识点 1图形旋转的定义图 3－2－11．如图 3－2－1，△ ABO经过旋转得到△ A′ B′ O，且∠ AOB＝25°，∠ AOB′＝ 20°，则线段 OB的对应线段是 ________；∠ OAB的对应角是 ________；旋转中心是 ________；旋转的角度是 ________．2．下列现象中，不属于图形的旋转的是()A．钟摆的运动 B ．行驶中的汽车车轮C．方向盘的转动 D ．电梯的升降运动3．如图 3－ 2－ 2，将正方形 ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转 90°后，得到的图形．．．为 ()图 3－2－2图 3－2－3知识点 2图形旋转的性质4．如图 3－2－4 所示，将一个含 30°角的三角板 ABC绕点 A 顺时针旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是 ()A．60° B ．90°C．120° D ． 150°图 3－2－4图 3－2－55．如图 3－ 2－ 5，将△ AOB绕点 O按逆时针方向旋转 45°后得到△ COD，若∠ AOB＝15°，则∠ AOD的度数是 ________．图 3－2－66．如图 3－2－6，将△ ABC绕点 A 顺时针旋转60°得到△ AED. 若线段 AB＝3，则 BE＝________．7．如图 3－2－7，△ ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标是 ( － 1， 0) ，现将△ ABC绕点 A 顺时针旋转 90°.(1)旋转后点 C 的坐标是 ________；(2)画出旋转后的三角形．图 3－2－7知识点 3中心对称8．如图 3－2－8，已知△ ABC与△ A′ B′ C′关于点 O成中心对称，则下列判断不正确的是 ()A．∠ ABC＝∠ A′B′C′B．∠ BOC＝∠ B′A′C′C．AB＝ A′ B′D．OA＝OA′图 3－2－8图 3－2－99．如图 3－2－9，在平面直角坐标系中，若△ABC与△ A1 B1C1关于点 E 成中心对称，则对称中心点 E 的坐标是 ________．10．2017·金华改编如图3－2－10，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为A( －2，－ 2) ，B( － 4，－ 1) ，C( －4，－ 4) ．作出△ ABC关于原点 O成中心对称的△ A1B1C1 .图 3－2－1011．如图 3－ 2－11，如果齿轮 A 以逆时针方向旋转，那么齿轮 E 旋转的方向是 ()图 3－2－11A．顺时针 B ．逆时针C．顺时针或逆时针 D ．不能确定12．如图 3－ 2－12，E，F 分别是正方形 ABCD的边 AB， BC上的点，且 BE＝CF，连结 CE，DF，将△ DCF绕着正方形的中心O 按顺时针方向旋转到△ CBE的位置，则旋转角的度数为 ()A．30° B ．45° C ．60° D ．90°图 3－2－12图 3－2－135)的对应点 A′的坐标是 ________．14．如图 3－2－14 所示，正方形 ABCD的边 BC上有一点 E，∠DAE的平分线交 CD于点 F.求证： AE＝ DF＋BE.图 3－2－1415．创新学习问题：如图 3－2－15①，点 E，F 分别在正方形 ABCD的边 BC，CD上，∠ EAF ＝ 45°，试判断 BE，EF，FD之间的数量关系．[ 发现证明 ]小聪把△ ABE绕点 A逆时针旋转 90°至△ ADG，从而发现 EF＝BE＋ FD，请你利用图①证明上述结论．[ 类比引申 ]如图②，在四边形ABCD中，∠ BAD≠ 90°， AB＝AD，∠B＋∠ D＝180°，点 E，F 分别在边BC，CD上，则当∠ EAF与∠ BAD满足 ______关系时，仍有 EF＝ BE＋FD.[ 探究应用 ]如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知 AB＝ AD＝80 米，∠ B ＝60°，∠ ADC＝ 120°，∠BAD＝ 150°，道路 BC，CD上分别有景点 E，F，且 AE⊥AD，DF＝40( 3－ 1) 米，现要在 E，F 之间修一条笔直的道路，求道路 EF的长 ( 结果精确到 1 米，参考数据：2≈ 1.41 ，3≈ 1.73) ．图 3－2－15详解详析1．OB′∠OA′B′点O45°2．D 3.A4．D [ 解析 ]旋转角是∠ CAC′＝180°－30°＝150°.5．60°[解析]由旋转可知∠ BOD＝°，∠ AOB＝°，∴∠ AOD＝°451560 .．解析]∵将△ABC绕点 A 顺时针旋转°得到△ AED，6 3 [60∴∠ BAE＝60°， AB＝AE，∴△ BAE是等边三角形，∴BE＝AB＝ 3. 故答案为 3.7．(1)(2 ， 1) (2) 略8． B [ 解析 ]因为△ ABC与△ A′B′C′关于点O 成中心对称，所以可得∠ABC＝∠A′ B′ C′， AB＝ A′ B′， OA＝OA′.故选 B.9．(3 ，－ 1)10．解：如图，△ A1B1C1就是所求作的图形．11．B [ 解析 ] 齿轮 A 以逆时针方向旋转，齿轮 B 以顺时针方向旋转，齿轮 C 以逆时针方向旋转，齿轮 D 以顺时针方向旋转，齿轮 E 以逆时针方向旋转．故选 B.12． D [ 解析 ]如图，连结OC，OD.∵O为正方形 ABCD的中心，∴OD＝OC， OD⊥OC，∴∠ DOC＝90° .由题意得点 D 的对应点为 C，∠ DOC即为旋转角，则将△ DCF绕着正方形的中心 O按顺时针方向旋转90°到△ CBE的位置．故选 D.13． 5， 2)[ 解析 ]如图，分别过点A，A′作AC⊥x轴于点C，A′C′⊥ x轴于点C′.由旋转的性质可得AO＝A′O，∠ AOA′＝ 90°，∴∠ AOC＋∠ A′OC′＝ 90° .∵∠ C＝∠ C′＝ 90°，∴∠ A′ OC′＋∠ OA′C′＝ 90°，∴∠ AOC＝∠ OA′C′，∴△ ACO≌△ OC′A′，∴AC＝OC′， OC＝ A′C′.∵A( －2，5) ，∴OC′＝ AC＝5，A′C′＝ OC＝ 2，∴A′(5 ，2) ．14 证明：如图所示，将△ ADF绕点 A 顺时针旋转 90°得△ ABF′，则∠ 3＝∠ 1，∠ AFD＝∠ F′，∠ ABF′＝∠ D，BF′＝ DF.∵四边形 ABCD为正方形，∴AB∥CD，∠ ABC＝∠ D＝90°，∴∠ AFD＝∠ FAB，∠ ABF′＝∠ D＝ 90°，∴∠ ABF′＋∠ ABC＝180°，∴F′， B， C三点共线．∵∠ FAB＝∠ 2＋∠ BAE，∴∠ AFD＝∠ 2＋∠ BAE.又∵∠ DAE的平分线交 CD于点 F，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 3＝∠ 2，∴∠ AFD＝∠ 3＋∠ BAE，∴∠ F′＝∠ 3＋∠ BAE.∵∠ F′ AE＝∠ 3＋∠ BAE，∴∠ F′ AE＝∠ F′，∴AE＝EF′＝ BF′＋ BE＝DF＋BE.15．解：[ 发现证明 ] 证明：∵将△ ABE绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG，使 AB与 AD重合，∴△ ABE≌△ ADG，∴∠ BAE＝∠ DAG，∠ B＝∠ ADG，AE＝AG， BE＝DG.∵∠ BAE＋∠ DAF＝ 90°－∠ EAF＝45°，∴∠ DAG＋∠ DAF＝ 45°，即∠ GAF＝45°.∵在正方形 ABCD中，∠ B＝∠ ADF＝90°，∴∠ ADG＋∠ ADF＝ 180°，即点 G，D，F 在一条直线上．在△ EAF和△ GAF中，AE＝ AG，∠EAF＝∠ GAF＝45°，AF＝ AF，∴△ EAF≌△ GAF，∴EF＝GF.又 GF＝DG＋FD＝BE＋FD，∴EF＝BE＋ FD.1[ 类比引申 ] ∠ EAF＝2∠BAD[ 探究应用 ] 如图，连结 AF，延长 BA， CD交于点 O.在△ AOD中，∠ ODA＝180°－∠ ADC＝60°，∠OAD＝ 180°－∠ BAD＝ 30°， AD＝80 米，AOD AO3米，OD米．∴∠＝90°，＝40＝40∵OF＝OD＋ DF＝＋40(－1)＝403(米，403)∴AO＝OF，∴∠ OAF＝45°，∴∠ DAF＝45°－ 30°＝ 15°，∴∠ EAF＝90°－ 15°＝ 75°，1∴∠ EAF＝2∠BAD.由已知条件得∠ B＝60°，∠ BAE＝ 60°，∴△ ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝ 80 米．再由 [ 类比引申 ] 的结论可得EF＝ BE＋DF＝＋1)≈109(米．40( 3)即道路 EF 的长约为 109 米．11。
中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（30题）一 、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD =3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12． 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF 与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)ky x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧） 现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，ADDC的值为________．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2）边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．17．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1 一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起 M N 分别是斜边DE AB 的中点 2,4DE AB ==．(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周 请直接写出点M N 距离的最大值和最小值(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2） 求MN 的长．18．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1 ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将ABC 向下平移3个单位长度得到111A B C △ 画出111A B C △ (2)将ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到222A B C △ 画出222A B C △ (3)在（2）的运动过程中请计算出ABC 扫过的面积．19．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC ∆中 90°ACB ∠= CA CB = 点O 为AB 的中点 点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合） 连接CD 线段CD 绕点C 逆时针旋转90° 得到线段CE 过点B 作直线l BC ⊥ 过点E 作EF l ⊥ 垂足为点F 直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时 请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系 (2)如图，当点D 在线段AB 上时 求证：2CG BD BC +=(3)连接DE CDE 的面积记为1S ABC 的面积记为2S 当:1:3EF BC =时 请直接写出12S S 的值．20．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后 刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达AB C ''△的位置 那么可以得到：AB AB '=AC AC '= BC B C ''= BAC B AC ''∠=∠ ABC AB C ''∠=∠ ACB AC B ''∠=∠（ ）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中 即“变”中蕴含着“不变” 这是我们解决图形旋转的关键 故数学就是一门哲学． 【问题解决】（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________（2）如图，小王将一个半径为4cm 圆心角为60︒的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90︒到达扇形纸板A B C '''的位置．①请在图中作出点O①如果=6cm BB '则，在旋转过程中 点B 经过的路径长为__________ 【问题拓展】小李突发奇想 将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠 一个固定在墙上 使得一边位于水平位置 另一个在弧的中点处固定 然后放开纸板 使其摆动到竖直位置时静止 此时 两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示 请你帮助小李解决这个问题．21．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中（顶点,,,A B C D 按逆时针方向排列） 12,10,AB AD B ==∠为锐角 且4sin 5B =．(1)如图1 求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点 点,C D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90︒得点,C D ''． ①如图2 当点C '落在射线CA 上时 求BP 的长． ①当AC D ''△是直角三角形时 求BP 的长．22．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形ABCD 中 点M 在边BC 上 点E 是AM 的中点 连接EDEC ．(1)求证：ED EC =(2)将BE 绕点E 逆时针旋转 使点B 的对应点B '落在AC 上 连接MB '．当点M 在边BC 上运动时（点M 不与B C 重合） 判断CMB '的形状 并说明理由．(3)在（2）的条件下 已知1AB = 当45DEB ∠'=︒时 求BM 的长．23．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上 李老师让同桌两位同学用相同的两块含30︒的三角板开展数学探究活动 两块三角板分别记作ADB 和,90,30A D C ADB A D C B C ∠=∠=︒∠''''=∠=︒△ 设2AB =． 【操作探究】如图1 先将ADB 和A D C ''的边AD A D ''重合 再将A D C ''绕着点A 按顺时针．．．方向旋转 旋转角为()0360αα︒≤≤︒ 旋转过程中ADB 保持不动 连接BC ．(1)当60α=︒时 BC =________ 当22BC = α=________︒ (2)当90α=︒时 画出图形 并求两块三角板重叠部分图形的面积(3)如图2 取BC 的中点F 将A D C ''绕着点A 旋转一周 点F 的运动路径长为________． 24．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外） 连接PD PB 、．①求证：PD PB =①将线段DP 绕点P 逆时针旋转 使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段AO 上的位置发生变化时 DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由 ①探究AQ 与OP 的数量关系 并说明理由． （2）[迁移探究]如图2 将正方形ABCD 换成菱形ABCD 且60ABC ∠=︒ 其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系 并说明理由．25．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年 法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A B C 求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置 意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明 该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” 该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法 请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空 ①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空 ①处填写角度数 ①处填写该三角形的某个顶点）当ABC 的三个内角均小于120︒时如图1 将APC △绕 点C 顺时针旋转60︒得到A P C '' 连接PP '由60PC P C PCP ''=∠=︒， 可知PCP '△为 ① 三角形 故PP PC '= 又P A PA ''= 故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由 ① 可知 当B P P ' A 在同一条直线上时 PA PB PC ++取最小值 如图2 最小值为A B ' 此时的P 点为该三角形的“费马点” 且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ①已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时 “费马点”为该三角形的某个顶点．如图3 若120BAC ∠≥︒则，该三角形的“费马点”为 ① 点．(2)如图4 在ABC 中 三个内角均小于120︒ 且3430AC BC ACB ==∠=︒，， 已知点P 为ABC 的“费马点” 求PA PB PC ++的值(3)如图5 设村庄A B C 的连线构成一个三角形 且已知4km 23km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A B C 三个村庄铺设电缆 已知由中转站P 到村庄A B C 的铺设成本分别为a 元/km a 元/km 2a 元/km 选取合适的P 的位置 可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）26．（2023·四川·统考中考真题）如图1 已知线段AB AC 线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转 连接BC 以BC 为边在BC 上方作Rt BDC 且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒ 以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △ 且90AEB ∠=︒ 30EBA ∠=︒ 连接DE 用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是(2)如图2 在(1)的条件下 若DE AB ⊥ 4AB = 2AC = 求BC 的长(3)如图3 若90BCD ∠=︒ 4AB = 2AC = 当AD 的值最大时 求此时tan CBA ∠的值．27．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形 90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒== 连接AD BE 探究ADBE 的位置关系．(1)如图1 当1m =时 直接写出AD BE 的位置关系：____________(2)如图2 当1m ≠时 （1）中的结论是否成立？若成立 给出证明 若不成立 说明理由． 【拓展应用】(3)当3,7,4m AB DE ===时 将CDE 绕点C 旋转 使,,A D E 三点恰好在同一直线上 求BE 的长．28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图① 把一个含有45︒角的三角尺放在正方形ABCD 中 使45︒角的顶点始终与正方形的顶点C 重合 绕点C 旋转三角尺时 45︒角的两边CM CN 始终与正方形的边AD AB 所在直线分别相交于点M N 连接MN 可得CMN ．【探究一】如图① 把CDM 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH 同时得到点H 在直线AB 上．求证：CNM CNH ∠=∠【探究二】在图①中 连接BD 分别交CM CN 于点E F ．求证：CEF CNM △∽△【探究三】把三角尺旋转到如图①所示位置 直线BD 与三角尺45︒角两边CM CN 分别交于点E F ．连接AC 交BD 于点O 求EFNM的值．29．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后 进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G 以BG 为边长向外作正方形BEFG 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时 连接DF AC ，相交于点P 小红发现点P 恰为DF 的中点 如图①．针对小红发现的结论 请给出证明（2）小红继续连接EG 并延长与DF 相交 发现交点恰好也是DF 中点P 如图① 根据小红发现的结论 请判断APE 的形状 并说明理由 规律探究：（3）如图① 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α 连接DF 点P 是DF 中点 连接AP EP AEAPE 的形状是否发生改变？请说明理由．30．（2023·贵州·统考中考真题）如图① 小红在学习了三角形相关知识后 对等腰直角三角形进行了探究 在等腰直角三角形ABC 中 ,90CA CB C =∠=︒ 过点B 作射线BD AB ⊥ 垂足为B 点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图① 若点P 在线段CB 上 画出射线PA 并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 根据题意在图中画出图形 图中PBE ∠的度数为_______度 (2)【问题探究】根据（1）所画图形 探究线段PA 与PE 的数量关系 并说明理由 (3)【拓展延伸】如图① 若点P 在射线CB 上移动 将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒【答案】B【分析】根据旋转可得B ADB ADE ∠=∠=∠ 再结合旋转角40α=︒即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：55BAC DAE ∠=∠=︒ AB AD = ①40α=︒①15DAF ∠=︒ 70B ADB ADE ∠=∠=∠=︒ ①85AFE DAF ADE ∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了几何—旋转问题 掌握旋转的性质是关键．2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD = 【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意 由旋转的性质可得AB AD = AC AE = BC DE = 故B 选项和D 选项不符合题意=ABC ADE ∠∠=ACE ABCBAC∴=ACE ADEBAC 故C 选项不符合题意=ACB AED =ACB CAECEA=AED CEA BED∴=CAE BED 故A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质 熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】证明BAD CAE ≌即可判断① 根据三角形的外角的性质得出① 证明DCM ECA ∠∠∽得出313-= 即可判断① 以A 为圆心 AD 为半径画圆 当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 可得四边形AEMD 是正方形 在Rt MBC 中22MC BC MB -21 然后根据三角形的面积公式即可判断①．【详解】解：①ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 ①,,90BA CA DA EA BAC DAE ==∠=∠=︒ ①BAD CAE ∠=∠ ①BAD CAE ≌①ABD ACE ∠=∠ BD CE = 故①正确 设ABD ACE α∠=∠= ①45DBC α∠=︒-,①454590EMB DBC BCM DBC BCA ACE αα∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-+︒+=︒ ①BD CE ⊥ 故①正确当点E 在BA 的延长线上时 如图所示①DCM ECA ∠=∠ 90DMC EAC ∠=∠=︒ ①DCM ECA ∠∠∽①MC CDAC EC= ①3AB = 1AD =．①31CD AC AD =-= 222CE AE AC =+= 313-=①33MC -=故①正确 ①如图所示 以A 为圆心 AD 为半径画圆①90BMC ∠=︒ ①当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 90ADM DAE AEM ∠=∠=∠=︒①四边形AEMD 是矩形 又AE AD =①四边形AEMD 是正方形 ①1MD AE ==①222BD EC AC AE =- ①21MB BD MD =-= 在Rt MBC 中 22MC BC MB -①PB 取得最小值时 222MC AB AC MB +-()2332121+--①)()1112121222BMCSMB MC =⨯==故①正确 故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质 相似三角形的性质 勾股定理 切线的性质 垂线段最短 全等三角形的性质与判定 正方形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得1AC BC == 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且BC G 三点共线 求得4BG = 5DG = 根据勾股定理求得26DF = 即26m = 当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线则，2BG = 1DG = 根据勾股定理求得2DF 即2n = 即可求得13mn【详解】①ABC 为等腰直角三角形 2AB = ①2sin 4521AC BC AB ==⋅︒== 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且B C G 三点共线 如图：则4BG BC CG =+= 5DG DB BG =+=在Rt DGF △中 22225126DF DG GF =++ 即26m =当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线 如图：则2BG CG BC =-= 1DG BG DB =-=在Rt DGF △中 2222112DF DG GF =++ 即2n = 故26132m n == 故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数 勾股定理等 根据旋转推出线段BG 最长和最短时的位置是解题的关键．二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质 即可得到DCF ∠的度数 进而得出旋转的角度． 【详解】解：①五边形ABCDE 是正五边形①530726DCF ∠÷=︒=︒①新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，旋转的最小角度是72︒故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形 旋转性质 关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．【答案】75︒【分析】根据角平分线的性质可得25BAO OAC ==︒∠∠ 根据旋转的性质可得50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠ 求得75OAO '∠=︒ 即可求得旋转的角度．【详解】①AO 为BAC ∠的平分线 50BAC ∠=︒①25BAO OAC ==︒∠∠①将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C '''①50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠①1002575OAO OAC O AC ''''∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：75︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质 旋转的性质 熟练掌握以上性质是解题的关键．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到2210AC AB BC += 然后证明出ADE ABC △△∽ 得到AD AEAB AC= 进而得到ADABAE AC = 然后证明出ABD ACE ∽ 利用相似三角形的性质求解即可．【详解】①在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = ①2210AC AB BC +①DE BC ∥①90ADE ABC ∠=∠=︒ AED ACB ∠=∠①ADE ABC △△∽ ①ADAEAB AC = ①ADABAE AC =①BAC DAE ∠=∠①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠①BAD CAE ∠=∠①ABD ACE ∽ ①84105BD AB CD AC ===． 故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定 解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)k y x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧）现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可） 当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥ 可得3OB OA = 过点A B 分别作x 轴垂线构造相似则，BFO OEA ∽ 根据相似三角形的性质得出3AOE S =△ 进而根据反比例函数k 的几何意义 即可求解．【详解】当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 连接AOABC 为等边三角形且AO BC ⊥则，30BAO ∠=︒∴tan tan30BAO ∠=︒=3OB OA = 如图所示 过点,A B 分别作x 轴的垂线 交x 轴分别于点,E FAO BO ⊥ 90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒∴90BOF AOE EAO ∠=︒-∠=∠∴BFO OEA ∽ ∴213BFO AOE S OB SOA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴212BFO S -==∴3AOE S =△∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质 k 的几何意义 相似三角形的性质与判定 正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．3【分析】连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒为定角 可得点F 在射线BF 上运动 当AF BF ⊥时 AF 最小 由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 如图，①90DCE ∠= 点F 为DE 的中点①FC FD =①30E ∠=①60FDC ∠=︒,①FCD 是等边三角形①60DFC FCD ∠=∠=︒①线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD①BC BD =①FC FD =①BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒①点F 在射线BF 上运动①当AF BF ⊥时 AF 最小此时9030FAB ABF ∠=︒-∠=︒ ①142BF AB == ①1302BFC DFC ∠=∠=︒ ①90FCB BFC ABF ∠=∠+∠=︒①122BC BF == ①112PB BC == ①由勾股定理得223PC BC PB - ①223CD PC == ①11231322BCD S CD PB =⋅=⨯△3【点睛】本题考查了等腰三角形性质 含30度直角三角形的性质 斜边中线性质 勾股定理 线段垂直平分线的判定 勾股定理 旋转的性质 确定点F 的运动路径是关键与难点．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．【答案】90︒或270︒或180︒【分析】连接AC 根据已知条件可得90BAC ∠=︒ 进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC 取BC 的中点E 连接AE 如图所示①在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， ①12BE CE BC AB ===①ABE 是等边三角形①60BAE AEB ∠=∠=︒ AE BE =①AE EC = ①1302EAC ECA AEB ∠=∠=∠=︒ ①90BAC ∠=︒①AC CD ⊥如图所示 当点P 在AC 上时 此时90BAP BAC ∠=∠=︒则，旋转角α的度数为90︒当点P 在CA 的延长线上时 如图所示则，36090270α=︒-︒=︒当P 在BA 的延长线上时则，旋转角α的度数为180︒ 如图所示①PA PB CD == PB CD ∥①四边形PACD 是平行四边形①AC AB ⊥①四边形PACD 是矩形①90PDC ∠=︒即PDC △是直角三角形综上所述 旋转角α的度数为90︒或270︒或180︒故答案为：90︒或270︒或180︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形的性质与判定 旋转的性质 熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．【答案】1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】如图，AB AD = BAD ∠=α 根据角平分线的定义可得CAD BAD α∠=∠= 根据三角形的外角性质可得35ADB α∠=︒+ 即得35B ADB α∠=∠=︒+ 然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB AD = BAD ∠=α①AD 是BAC ∠的角平分线①CAD BAD α∠=∠=①35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+ AB AD =①35B ADB α∠=∠=︒+则在ABC 中 ①180C CAB B ∠+∠+∠=︒①35235180αα︒++︒+=︒ 解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了旋转的性质 等腰三角形的性质 三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识 熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．3π【分析】由于AC 旋转到AC ' 故C 的运动路径长是CC '的圆弧长度 根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ' 如图所示．在直角ABC 中 =60B ∠︒则，30C ∠=︒则()2236cm BC AB ==⨯=． ①)22226333cm AC BC AB =--．由旋转性质可知 AB AB '= 又=60B ∠︒①ABB '是等边三角形．①60BAB '∠=︒．由旋转性质知 60CAC '∠=︒．故弧CC '的长度为：()602333cm 3603AC πππ⨯⨯⨯=⨯ 3π【点睛】本题考查了含30︒角直角三角形的性质 勾股定理 旋转的性质 弧长公式等知识点 解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，AD DC 的值为________．【答案】5【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F 利用勾股定理求得10AB根据旋转的性质可证ABB ' DFB △是等腰直角三角形 可得DF BF = 再由1122ADB SBC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 得=10AD DF 证明AFD ACB 可得DF AF BC AC = 即3AF DF = 再由=10AF DF 求得10=DF 从而求得52AD = 12CD = 即可求解． 【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F①90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC = ①223110AB +①将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△ ①==10AB AB ' 90BAB '∠=︒①ABB '是等腰直角三角形①45ABB '∠=︒又①DF AB ⊥①45FDB ∠=︒①DFB △是等腰直角三角形①DF BF = ①1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ① 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠①AFD ACB ①DF AF BC AC= 即3AF DF = 又①=10AF DF ①10=DF ①105=10=2AD 51=3=22CD - ①52==512AD CD 故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质 等腰三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 三角形的面积 熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 【答案】423423+-或【分析】根据题意 先求得23BC = 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F 分别画出图形 根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示 过点A 作AM BC ⊥于点M①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒ ①112AM AB == 223BM CM AB AM =- ①23BC =如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E①120BAC ∠=︒①60DA B '∠=︒ 30A EB '∠=︒在Rt A BE '中 24A E A B ''== 2223BE A E A B ''-= ①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒①ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ ①45ABA '∠=︒①180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒ 1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒ 在A BD '中 1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒, ①D EBD ∠=∠ ①23EB ED ==①423A D A E DE ''=+=+如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F在BFD △中 45BDF CBC ∠'=∠=︒ ①DF BF =在Rt DC F '中 30C '∠=︒ ①3'DF ①33BC BF BF ==①33DF BF ==①2623DC DF '==-①6232423A D C D A C ''''=-=-=- 综上所述 A D '的长度为423-423+ 故答案为：43-43+【点睛】本题考查了旋转的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握旋转的性质 分类讨论是解题的关键．15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2） 边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．【答案】6662 1218318π-【分析】如图1 过点G 作GH BC ⊥于H 根据含30︒直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出3BH GH = GH CH = 然后由12BC =可求出GH 的长 进而可得线段CG 的长 如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 作1DN CD ⊥于N 过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 首先证明1CDD 是等边三角形 点1D 在直线AB 上 然后可得线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 求出DN 和BM 然后根据线段DH 扫过的面积111121D DBCD DD DBD D D CD D S SS SS=+=-+弓形扇形列式计算即可．【详解】解：如图1 过点G 作GH BC ⊥于H①3045ABC DEF DFE ∠=︒∠=∠=︒， 90GHB GHC ∠=∠=︒ ①3BH GH = GH CH = ①312BC BH CH GH GH =+=+= ①36GH =①()226366662CG GH ===如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 由旋转的性质得：1160E CB DCD ∠=∠=︒ 1CD CD = ①1CDD 是等边三角形①30ABC ∠=︒ ①190CG B ∠=︒ ①112CG BC =①1CE BC =①1112CG CE = 即AB 垂直平分1CE①11CD E 是等腰直角三角形 ①点1D 在直线AB 上连接1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 则线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 ①12BC EF == ①22DC DB === ①1162DC D D == 作1DN CD ⊥于N 则，132ND NC == ①()()222211623236DN D D ND =-=-过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 则，90M ∠=︒ ①160D DC ∠=︒ 90CDB ∠=︒①118030BDM D DC CDB ∠=︒-∠-∠=︒ ①1322BM BD == ①线段DH 扫过的面积112D DBD D D S S =+弓形111CD DD DBCD D S S S=-+扇形(260621123623236022π⋅=-⨯⨯ 1218318π=-故答案为：6662 1218318π-．【点睛】本题主要考查了旋转的性质 含30︒直角三角形的性质 二次根式的运算 解直角三角形 等边三角形的判定和性质 勾股定理 扇形的面积计算等知识 作出图形 证明点1D 在直线AB 上是本题的突破点 灵活运用各知识点是解题的关键．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明． 【答案】(1)见解析 (2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．。
图形旋转测试题及答案
图形旋转测试题及答案一、选择题1. 一个图形绕某点旋转了90°，下列说法正确的是：A. 图形的大小不变B. 图形的形状不变C. 图形的位置不变D. 以上说法都不正确答案：A、B2. 下列哪个图形旋转180°后与原图形完全重合？A. 正方形B. 圆形C. 长方形D. 三角形答案：B二、填空题3. 若一个图形绕中心点O旋转____度，可以得到与原图形关于点O对称的图形。
答案：1804. 一个等腰三角形绕底边的中点旋转____度，可以得到与原图形完全重合的图形。
答案：180三、简答题5. 描述一个正方形绕其一个顶点旋转90°后，图形的位置变化情况。
答案：正方形绕其一个顶点旋转90°后，其四个顶点的位置将分别移动到原来对角线的顶点位置。
具体来说，如果原正方形的顶点分别为A、B、C、D，且A为旋转中心，则旋转后，A点位置不变，B点移动到C点位置，C点移动到D点位置，D点移动到B点位置。
四、计算题6. 已知一个正六边形绕其中心点O旋转60°后，求旋转后顶点的新位置。
答案：正六边形的每个顶点绕中心点O旋转60°后，每个顶点的新位置将沿着正六边形的外接圆的圆周上移动，每个顶点相对于原来的位置旋转了60°的弧度。
五、论述题7. 论述图形旋转的性质及其在几何学中的应用。
答案：图形旋转是一种几何变换，它保持图形的大小和形状不变，只改变图形的位置。
旋转的性质包括旋转角度的可加性，即连续旋转两个角度相当于旋转这两个角度的和。
在几何学中，图形旋转常用于证明图形的对称性，解决几何构造问题，以及在变换几何中研究图形的不变性质等。
人教版九年级上册数学同步练习《图形的旋转》(习题+答案)
23.1图形的旋转内容提要1.在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.定点叫旋转中心，转动的角度叫做旋转角.2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.3.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等.4.旋转作图步骤：（1）首先确定旋转中心和图形中的关键点（如线段的端点、角的顶点等）；（2）将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；（3）然后连接对应部分，形成相应的图形.23.1.1旋转的特征基础训练1．将如图的图案按逆时针方向旋转90︒后得到的是（）2．下列说法不正确的是（）A．旋转后的图形与原来图形面积相等B．旋转后的图形改变了图形的大小C．旋转不改变图形的大小D．旋转不改变图形的形状3．如图，将ABC∆绕点A旋转后得到ADE∆，则旋转方式是（）A．顺时针旋转90︒B．逆时针旋转90︒C．顺时针旋转45︒D．逆时针旋转45︒4．如图，ABC∆，图中旋转中心是，旋∆按顺时针方向转动一个角度后成为''A B C转了度.5.如图，Rt ABC ∆的斜边16AB =，Rt ABC ∆绕点O 顺时针旋转后得到'''Rt A B C ∆，则'''Rt A B C ∆的斜边''A B 上的中线'C D 的长度为.6.如图，将OAB ∆绕着点O 逆时针旋转两次得到OA B ''''∆，每次旋转的角度都是50︒，若120B OA ''∠=︒，则AOB ∠=.7.如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，且AE CF =. （1）求证AED CFD ∆∆≌；（2）将AED ∆按逆时针方向至少旋转多少度才能与CFD ∆重合，旋转中心是什么？8.如图，ABC ∆中，1AB AC ==，45BAC ∠=︒，AEF ∆是由ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证BE CF =；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长.9.在ABC ∆中，AB BC =，120ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转角()090αα︒<<︒得11A BC ∆，1A B 交AC 于点E ，11A C 分别交AC ，BC 于D ，F 两点.（1）如图（1），观察并猜想，在旋转过程中，线段BE 与BF 有怎样的数量关系？并证明你的结论.（2）如图（2），当30α=︒时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由.10.如图，在直角坐标系中，Rt AOB ∆的两条直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴，y 轴的负半轴上，且2OA =，1OB =.将Rt AOB ∆绕点O 按顺时针方向旋转90︒，再把所得的图象沿x 轴正方向平移1个单位，得CDO ∆.（1）写出点A ，C 的坐标； （2）求点A 和点C 之间的距离.23.1.2 简单的旋转作图及图案设计基础训练1．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180︒后得到的图案是（ ）2．……依次观察左边这三个图形，并判断照此规律从左到右第四个图形是（ ）3．如图，在44⨯的正方形网格中，MNP ∆绕某点旋转一定的角度，得到111M N P ∆，则其旋转中心一定是.4.如图，将图①绕某点经过几次旋转后得到图②，则每次旋转的最小角度是.5.如图，把五角星图案绕着它的中心点O至少旋转（角度）时，它与自身重合；把等边三角形绕着它的中心O至少旋转（角度）时，它与自身重合.6.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120︒后可以和自身重合，若每个叶片的面积为24cm，AOBcm.∠为120︒，则图中阴影部分的面积之和为27.在格纸上按以下要求作图，不用写作法：（1）作出“小旗子”向右平移6格后的图案；（2）作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90︒的图案.8.如图，在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，2BC cm =，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180︒，点B 落在点'B 处，求'BB 的长度.9.如图所示，画出ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后的图形.10.如图，在平面直角坐标系中，有一Rt ABC ∆，且()1,3A -，()3,1B --，()3,3C -.已知11A AC ∆是由ABC ∆旋转得到的， （1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出11A AC ∆顺时针旋转90︒，180︒的三角形.能力提高1.如图，在方格纸中，ABC∆经过变换得到DEF∆，正确的变换是（）A．把ABC∆绕点C逆时针方向旋转90︒，再向下平移2格B．把ABC∆绕点C顺时针方向旋转90︒，再向下平移5格C．把ABC∆向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180︒D．把ABC∆向下平移5格，再绕点C逆时针方向旋转180︒2．图ABC∆，且'C在BC上，则∆中，67AB C∆绕点A顺时针旋转后，得到''C∠=︒，将ABC∠的度数为（）''B C BA．56︒B．50︒C．46︒D．40︒3．下列图形中，旋转60︒后可以和原图形重合的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形4．如图，已知直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转90︒后得到''AO B ∆，则点'B 的坐标是.5.如图，在等边ABC ∆中，6AB =，D 是BC 的中点，将ABD ∆绕点A 旋转后得到ACE ∆，那么线段DE 的长度为.6.如图，把ABC ∆绕着点C 顺时针旋转35︒，得到''A B C ∆，''A B AC ⊥于点D ，则A ∠的度数是.7.如图所示，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，1AC =，60ACD ∠=︒，求四边形ABCD 的面积.8.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是()3,2A -，()1,4B -，()0,2C . （1）将ABC ∆以点C 为旋转中心旋转180︒，画出旋转后对应的11A B C ∆； （2）平移ABC ∆，若点A 的对应点2A 的坐标为()5,2--，画出平移后的222A B C ∆； （3）若将222A B C ∆绕某一点旋转可以得到11A B C ∆，请直接写出旋转中心的坐标.9.如图①，正方形ABCD是一个66⨯网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图②的程序移动.（1）请在图①中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）.拓展探究1.如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，90∆绕点A旋转，AF，AG与边BC的∆固定不动，AFGBAC AGF∠=∠=︒，若ABC交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等量关系222BD CE DE +=是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.2.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，P 是ABC ∆内一点，2PA =，1PB =，3PC =，求APB ∠的度数.3.在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=（060α︒<<︒），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD .（1）如图①，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图②，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE ∆的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值.23.1 参考答案：23.1.1 旋转的特征基础训练1．D 2．B 3．B 4．点C 40 5．8 6．20︒7．（1）证明：在正方形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=︒，AD CD =，90FCD ∴∠=︒．90A FCD ∴∠=∠=︒．又AE CF =，(SAS)AED CFD ∴∆∆≌．（2）90ADC ∠=︒，∴将AED ∆按逆时针方向至少旋转90度才能与CFD ∆重合，旋转中心是点D ．8．（1）证明：由旋转可知EAF BAC ∠=∠，AF AC =，AE AB =．EAF BAF BAC BAF ∴∠=∠=∠+∠，即BAE CAF ∠=∠．又AB AC =，AE AF ∴=．ABE ACF ∴∆∆≌．BE CF ∴=．（2）四边形ACDE 是菱形，1AB AC ==，AC DE ∴∥，1DE AE AB ===． 又45BAC ∠=︒，45AEB ABE BAC ∴∠=∠=∠=︒．180AEB BAE ABE ∠+∠+∠=︒，90BAE ∴=︒．2222112BE AB AE ∴=++=21BD BE DE ∴=-=．9．（1）AB BC =，A C ∴∠=∠．由旋转可知，1AB BC =，1A C ∠=∠，1ABE C BF ∠=∠，1ABE C BF ∴∆∆≌．BE BF ∴=．（2）四边形1BC DA 是菱形．证明：1130A ABA ∠=∠=︒，11AC AB ∴∥，同理1AC BC ∥．∴四边形1BC DA 是平行四边形．又1AB BC =，∴四边形1BC DA 是菱形．10．（1）点A 的坐标是(2,0)-，点C 的坐标是(1,2)；（2）连接AC ，在Rt ACD ∆中，3AD OA OD =+=，2CD =，222222313AC CD AD ∴=+=+=，13AC ∴=．23.1.2 简单的旋转作图及图案设计基础训练1．D 2．D 3．B 4．60︒ 5．72︒ 120︒ 6．4 7．如图 8．25 9．如图10．（1）(0,0) 90 （2）画出图形如图能力提高1．B 2．C 3．A 4．(7,3) 5．33 6．55︒ 7．3 8．（1）图略 （2）图略 （3）旋转中心的坐标为(1,0)-9．（1）如图；（2）因为12364ππ⨯⨯=，所以点P 经过的路径总长为6π．拓展探究1．如图，将ACE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ABH ∆的位置，则CE HB =，AE AH =，45ABH C ∠=∠=︒，旋转角90GAH ∠=︒． 连接HD ，在EAD ∆和HAD ∆中，AE AH =，45HAD EAH FAG EAD ∠=∠-∠=︒=∠，AD AD =，EAD HAD ∴∆∆≌． DH DE ∴=．又90HBD ABH ABC ∠=∠+∠=︒，222BD HB DH ∴+=，即222BD CE DE +=．2．135︒3．（1）1302α︒-． （2）ABE ∆为等边三角形．证明：连接AD ，CD ，ED ． 线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，BC BD ∴=，60DBC ∠=︒．60ABE ∠=︒，160302ABD DBE EBC α∴∠=︒-∠=∠=︒-． 又BD BC =，60DBC ∠=︒，BCD ∴∆为等边三角形，BD CD ∴=． 又AB AC =，AD AD =，(SSS)ABD ACD ∴∆∆≌．1122BAD CAD BAC α∆∠=∠=∠=． 150BCE ∠=︒，11180(30)15022BEC αα∴∠=︒-︒--︒=．BAD BEC ∴∠=∠． 在ABD ∆与EBC ∆中，,,,BEC BAD EBC ABD BC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABD EBC ∴∆∆≌．AB BE ∴=． 又60ABE ∠=︒，ABE ∴∆为等边三角形．（3）60BCD ∠=︒，150BCE ∠=︒，1506090DCE ∴∠=︒-︒=︒． 45DEC ∠=︒，DCE ∴∆为等腰直角三角形．CD CE BC ∴==． 150BCE ∠=︒，(180150)152EBC ︒-︒∴∠==︒． 又130152EBC α∠=︒-=︒，30α∴=︒．。
北师大版八年级数学下册《3.2 图形的旋转》练习题(含答案)
3.2 图形的旋转一、选择题1.下列是世博会会徽和吉祥物，你认为能用旋转得到的图形（字母不计）是（）A. B. C. D.2.如图，点都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A. B. C. D.3.如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，且．若，，则的大小为（）A. B. C. D.4.如图，将绕点顺时针旋转得到，点正好落在边上．已知，则( )A. B. C. D.5.如图，小明正在玩俄罗斯方块，他想将正在下降的“”型插入图中①的位置，他需要怎样操作？（）A.先绕点逆时针旋转，再向右平移个单位，向下平移个单位B.先绕点顺时针旋转，再向右平移个单位，向下平移个单位C.先绕点逆时针旋转，再向右平移个单位，向下平移个单位D.先绕点顺时针旋转，再向右平移个单位，向下平移个单位6.如图，在菱形中，点在轴上，点，将菱形绕原点逆时针旋转，若点的对应点是点，那么点坐标是A. B. C. D.二、填空题7.如图，、分别是正五边形的边、上的点，，连接、．将绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到，旋转角为，则________．8.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结，若，则的度数是________．9.如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为________．10.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为________．11.如图，在中，，，将其绕点逆时针旋转得到，交于，若图中阴影部分面积为，则的长为________．12.如图，在中，为直角顶点，，为斜边的中点．将绕着点逆时针旋转至，当恰为轴对称图形时，的值为________三、解答题13.如图所示，请在网格中作出关于点对称的，再作出绕点逆时针旋转后的．14.如图，将绕着点旋转，使点恰好落在边上，得，若且，求的度数.15.如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的，的坐标是________．（2）将原来的绕着点顺时针旋转得到，试在图上画出的图形．16.如图，在中，，，点是内一点，连结，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段使（在右侧），连结，．（1）求证：；（2）若，求点绕点旋转到点所经过的路径长．17.如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点，的坐标分别为，，在第一象限内以点为位似中心，位似比为得到．在网格中画出，并标上字母；将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；点的坐标为________.18.如图，为内一点，，将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形；若，点旋转后的对应点为，求的长.参考答案一、选择题1.D2.D3.D4.C5.D6.D二、填空题7.8.9.10.11.12.或或三、解答题13.【答案】解：如图所示：和，即为所求．14.【答案】解：由旋转可知：，，∴,∵，∴，∴.15.【答案】；（2）如图所示，即为所求作的三角形．16.【答案】（1）证明：∵，∴，即，∵线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，∴，而，∴绕点逆时针旋转度可得到，∴；（2）解：点经过的路径长．所以点绕点旋转到点所经过的路径长为．17.【答案】解：18.【答案】解：根据旋转前后图形的性质，得，旋转后的对应点为，的对应点为，，即为所求；∵，∴，∴，∴与重合，∴，∵是由逆时针旋转得到的，∴∴。
人教版九年级数学上册第23章第1节《图形的旋转》课后练习题(附答案)
人教版九年级数学上册第23章第1节《图形的旋转》课后练习题（附答案） 第1课时1.填空：如图，钟表的时针在不停地旋转，从3时到5时，时针的旋转中心是点 ， 旋转角等于 °，点B的对应点是点 .2.填空：如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是点 ，旋转角是∠ ，点A 的对应点是点 .3.如图，扎西坐在旋转的秋千上，请在图中画出点A ，B ，C 的对应点A ′，B ′，C ′.第2课时（一）基本训练，巩固旧知1.填空：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转 ，转动的角叫做旋转 .如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做旋转的 .2.填空： EDA C B(1)如图，△ABC 绕点A 旋转得到△ADE ，旋转中心 是点 ，点B 的对应点是点 ，点C的对应点是点 ，∠ 等于于旋转角；(2)如图，△ABC 绕点O 旋转得到△DEF ，旋转中心是点 ，点A 的对应点是点 ，点B 的对应点是点 ，点C 的对应点是点 ，∠ 等于于旋转角.3.利用“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”，画出下图中的旋转角，并用量角器量出旋转角的度数.4.如图，四边形ABCD 是正方形，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，利用图形旋转的性质，画出旋转后的图形.（先让生做4题，然后师出示旋转后的图形，并利用性质解释点D 转到了点B ，点E 转到了点F ）第3课时（一）基本训练，巩固旧知 O .F E D A B C E D CB A1.填空：图形旋转的性质是：(1)旋转前后的图形 ； (2)对应点到旋转中心的距离 ；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 .2.如图，以点O 为中心，把点P 顺时针旋转45°.3.如图，以点O 为中心，把线段AB 逆时针旋转90°.4.如图，以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转120°.5.如图，以点B 为中心，把△ABC 旋转180°.B AC B AC .O A B O ..O P .。
图形的旋转九年级试卷【含答案】
图形的旋转九年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 图形绕某点旋转90°，相当于图形绕同一点旋转_________。
A. 45°B. 180°C. 270°D. 360°2. 一个正方形绕其中心旋转，每次旋转_________度，图形与原图形重合。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 下列哪个图形绕中心点旋转180°后，能与原图形重合？A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 长方形D. 正五边形4. 一个点绕另一个点旋转，旋转角为_________时，两点位置不变。
A. 0°B. 90°C. 180°D. 270°5. 下列哪个图形绕中心旋转90°后，不能与原图形重合？A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正八边形二、判断题（每题1分，共5分）1. 旋转前后图形的大小和形状都不会改变。
（）2. 旋转角是指旋转中心与旋转后的图形的对应点之间的夹角。
（）3. 任何图形绕中心旋转180°后，都能与原图形重合。
（）4. 一个图形绕中心旋转360°后，一定回到原来的位置。
（）5. 旋转前后图形的面积一定相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 图形绕某点旋转_________度，相当于图形绕同一点旋转270°。
2. 一个正方形绕其中心旋转，每次旋转_________度，图形与原图形重合。
3. 下列哪个图形绕中心点旋转180°后，能与原图形重合？_________4. 一个点绕另一个点旋转，旋转角为_________时，两点位置不变。
5. 下列哪个图形绕中心旋转90°后，不能与原图形重合？_________四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述旋转的基本性质。
2022年春苏科版九年级数学中考一轮复习《图形的旋转》专题训练(附答案)
2022年春苏科版九年级数学中考一轮复习《图形的旋转》专题训练（附答案）1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．2．如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．3．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′＝E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．4．已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE＝度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB＝AB′，AC＝AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD 和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．5．（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC （0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2+EC2．6．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．7．如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．8．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．9．如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．10．在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD＝2，BD＝1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：．活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠C＝90°，BC＝5，CD＝3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：．AE的长是．活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B 旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB＝2，DC＝4，求△ABE的面积．11．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．12．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．13．如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a 的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由．14．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．15．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．16．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．18．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．19．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．20．已知：正方形ABCD．（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE＝AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图2，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a＝90°时，连接BE、DF，猜想AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．（4）如图4，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．参考答案1．（1）解：连接AD，如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．2．解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB′＝∠AGD′，∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∴△AEB′≌△AGD′（AAS），∴EB′＝GD′，AE＝AG，∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∴△AHE≌△AHG（SAS），∴EH＝GH，∵△EHB′的周长为2，∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∴AB′＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8．3．（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°，∵CD∥EF，∴∠α＝30°；（2）证明：∵G为BC中点，∴CG＝1，∴CG＝CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′＝E′D；（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∵CD＝CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝＝135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°则α＝360°﹣＝315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．4．解：（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∵θ＝20°，∴∠ABD＝∠AEC＝（180°﹣20°）＝80°，又∵∠BAE＝θ+∠BAC＝20°+60°＝80°，∴在四边形ABOE中，∠BOE＝360°﹣80°﹣80°﹣80°＝120°；②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE，∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝θ，∴△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ABD+∠BAD＝180°，∴∠AEC+∠ABD+∠BAD＝180°，∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE＝360°，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∴∠DAE+∠BOE＝180°，又∵∠DAE＝60°，∴∠BOE＝120°；（2）如图，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝＝，∴B′C′∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形，根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE），＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD），＝180°﹣（∠ACB+∠ABC），＝180°﹣（60°+60°），＝60°，当0°＜θ＜30°时，∠BOE＝∠BOC＝60°，当θ＝30°时，点B，点O，点E共线．当30°＜θ＜180°时，∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°．5．（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABE′由△CBE旋转而成，∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，∴∠DBE′＝∠DBE，在△DBE与△DBE′中，∵，∴△DBE≌△DBE′（SAS），∴DE′＝DE；（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，∴AE′＝EC，∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，∴∠DAE′＝90°，在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2+AD2，∵AE′＝EC，∴DE′2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2+EC2．6．解：（1）∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM＝MC，∵将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，∴△CMQ是等边三角形，∴∠ACQ＝60°，∴∠CDB＝30°；（2）如图2，连接PC，AD，∵AB＝BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC，即BD为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AP＝PC，PD＝PD，在△APD与△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠P AD＝∠PCD，又∵PQ＝P A，∴PQ＝PC，∠ADC＝2∠1，∠4＝∠PCQ＝∠P AD，∴∠P AD+∠PQD＝∠4+∠PQD＝180°，∴∠APQ+∠ADC＝360°﹣（∠P AD+∠PQD）＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠APQ＝180°﹣2α，∴2∠CDB＝180°﹣2α，∴∠CDB＝90°﹣α；（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，∵∠CDB＝90°﹣α，且PQ＝QD，∴∠P AD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠P AD＞∠MAD，∵点P在线段BM上运动，∠P AD最大为2α，∠P AD最小等于α，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．7．（1）解：AE1＝BF1．证明：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OD，∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE＝OF，∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1∴OE1＝OF1，∵∠F1OB＝∠E1OA，OA＝OB，∴△E1AO≌△F1BO，∴AE1＝BF1；（2）证明：∵取OE1中点G，连接AG，∵∠AOD＝90°，α＝30°，∴∠E1OA＝90°﹣α＝60°，∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°，∴AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°，∴∠E1AO＝90°，∴△AOE1为直角三角形．8．解：（1）如图2中，结论：EG＝CG，EG⊥CG．（2）如图3中，EG＝CG，EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，由图（3）可知，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形∴BE＝EF，∠F＝45°．∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝FD＝FG．∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，又∵FG＝DG，∠CMG＝∠EMC＝45°，∴∠F＝∠GMC．在△GFE与△GMC中，，∴△GFE≌△GMC（SAS）．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC．∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM＝90°，∴∠MGC+∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．9．解：等边三角形．理由：由题意可知：∠APD＝60°，∴△P AD是等边三角形，∴∠DAP＝∠PDA＝60°，∴∠PDC＝∠P AE＝30°，∴∠DAE＝∠DAP﹣∠P AE＝30°，∴∠P AB＝30°，即∠BAE＝60°，又∵CD＝AB＝EA，∴△ABE是等边三角形，故答案为等边三角形．10．解：活动一：∵四边形DECF是正方形，∴DE＝DF＝x，DE∥BC，DF∥AC，∴，，∵AD＝2，BD＝1，∴AC＝3x，BC＝x，∵AC2+BC2＝AB2，∴9x2+（x）2＝9，解得：x＝，∴DE＝DF＝，AE＝，BF＝，∴S△ADE+S△BDF＝1，∴S阴影＝1；故答案为：1；活动二：根据题意得：∠EAG＝90°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝∠G＝90°，∴四边形AECG是矩形，∵AE＝AG，∴四边形AECG是正方形，∵BC＝5，CD＝3，∴设AE＝x，则BE＝GD＝CG﹣CD＝x﹣3，BE＝BC﹣EC＝5﹣x，∴x﹣3＝5﹣x，解得：x＝4，∴AE＝4．故答案为：正方形，4；活动三：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F．∵∠BAD＝∠D＝∠DGB＝90°，∴四边形ABGD是矩形，∴DG＝AB＝2，∴CG＝DC﹣DG＝4﹣2＝2．∵∠CBG+∠CBF＝90°，∠EBF+∠CBF＝90°，∴∠CBG＝∠EBF．在△BCG与△BEF中，∠CBG＝∠EBF，∠CGB＝∠EFB＝90°，BC＝BE，∴△BCG≌△BEF，∴CG＝EF＝2．∴S△ABE＝AB•EF＝2．11．解：（1）答：AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1＝∠2；∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．（2）答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG，∴∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．12．解：图2，AF+BF＝2CE仍成立，证明：过B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH+∠ACE＝90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCH，又∵AC＝BC，∠AEC＝∠BHC＝90°∴△ACE≌△CBH．∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝BH，∴AF+BF＝AE+EF+BF＝CH+EF+HE＝CE+EF＝2EC．图3中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，∵AC＝BC，可得∠AEC＝∠CGB，∠ACE＝∠BCG，∴△CBG≌△CAE，∴AE＝BG，∵AF＝AE+EF，∴AF＝BG+CE＝BF+FG+CE＝2CE+BF，∴AF﹣BF＝2CE．13．（1）证明：①如图2：∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE∴PM＝ME，∴在Rt△MNE中，PN＝ME，∴PM＝PN．（2）解：成立，如图3．证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，在△BPM和△CPE中，，∴△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝ME，则Rt△MNE中，PN＝ME∴PM＝PN．（3）解：如图4，四边形BMNC是矩形，理由：∵MN∥BC，BM⊥AM，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠ANC＝90°，∠AMB+∠CBM＝180°，∴∠CBM＝∠AMB＝∠CNA＝90°，∴四边形BMNC是矩形．∵BM＝CN，∠PBM＝∠PCN，BP＝CP，∴△PBM≌△PCN（SAS）∴PM＝PN．14．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE．（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴AC与AE是一组对应边，∴∠CAE为旋转角，∵AE＝AC，∠AEC＝75°，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∴∠CAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°．15．解：（1）BG＝AE，证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD＝DA，又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA；∴Rt△BDG≌Rt△ADE；∴BG＝AE；（2）成立：证明：连接AD，∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°，∵EFGD为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE，在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；分析可得：当旋转角度为270°时，BG＝AE最大值为1+2＝3，此时如图：AF＝．16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝FD，∴CG＝EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．证法二：延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝MC，∴EG＝CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，∵∠GCD＝∠GMF，∠CGD＝∠MGF，GF＝GD，∴△CDG≌△MFG（AAS），∴CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，∴△EFM≌△EBC（SAS），∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC∵∠FEC+∠BEC＝90°，∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．17．解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）图2成立；图3不成立．图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND，∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，在△DME与△DNF中，∵，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．图3不成立，连接DC，证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE＝∠DBF＝135°）∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+，∴S△DEF﹣S△CFE＝．故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．18．解：（1）BM+DN＝MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．在线段DN上截取DQ＝BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN．19．解：（1）如图3，∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD＝OC＝OB＝OA，∠1＝∠2＝60°，∴∠4＝∠5．又∵∠4+∠5＝∠2＝60°，∴∠4＝30°．同理∠6＝30°．∵∠AEB＝∠4+∠6，∴∠AEB＝60°．（2）如图4∵△DOC和△ABO都是等边三角形，∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°．又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4＝∠5，∠6＝∠7．∵∠DOB＝∠1+∠3，∠AOC＝∠2+∠3，∴∠DOB＝∠AOC．∵∠4+∠5+∠DOB＝180°，∠6+∠7+∠AOC＝180°，∴2∠5＝2∠6，∴∠5＝∠6．又∵∠AEB＝∠8﹣∠5，∠8＝∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2+∠6﹣∠5＝∠2+∠5﹣∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°．20．解：（1）BE＝DF且BE⊥DF；（2）在△DF A和△BEA中，∵∠DAF＝90°﹣∠F AB，∠BAE＝90°﹣∠F AB，∴∠DAF＝∠BAE，又AB＝AD，AE＝AF，∴△DF A≌△BEA，∴BE＝DF；∠ADF＝∠ABE，∴BE⊥DF；（3）AE＝（﹣1）AD；（4）正方形．。
2020年九年级中考数学三轮复习专项练习：《图形旋转》(含答案)
三轮复习专项练习：《图形旋转》1．在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）、B（1，3），直线l是绕着△OAB的顶点A 旋转，与y轴相交于点P，探究解决下列问题：（1）如图1所示，当直线l旋转到与边OB相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点P 的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大（保留作图痕迹）；（2）当直线l旋转到与y轴的负半轴相交时，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，请直接写出点P的坐标是．（可在图2中分析）2．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．（1）求证：四边形BFGH是正方形；（2）求证：ED平分∠CEI；（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移，使点B2恰好落在斜边AB上，A2B2与AC相交于点D．（1）判断四边形A1A2B2B1的形状，并说明理由；（2）求A2C的长度．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．5．四边形ABCD是正方形，PA是过正方形顶点A的直线，作DE⊥PA于E，将射线DE绕点D 逆时针旋转45°与直线PA交于点F．（1）如图1，当∠PAD＝45°时，点F恰好与点A重合，则的值为；（2）如图2，若45°＜∠PAD＜90°，连接BF、BD，试求的值，并说明理由．6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．①求证：CF⊥DF；②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．7．（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AC＞AB）沿过点A的直线折叠，使得AB落在AC边上，折痕为AD，展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图2）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意他的结论吗？请说明理由：（2）模型与运用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，过点C作CD⊥BD，交BE的延长线于点D．若CD＝4，求△BCE的面积．8．[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF 是三角形，从而求得∠DCE＝°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．9．问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA ＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE 交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）11．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．12．如图，MO⊥NO于点O，△OAB为等腰直角三角形，∠OAB＝90°，当△OAB绕点O旋转时，记∠MOA＝α（0°≤α≤90°），OA＝5．（1）过点B作BC⊥ON交射线ON于点C，作射线CA交射线OM于点D．①依题意补全图形，求∠ODC的度数；②当sinα＝时，求OD的长．（2）若ON上存在一点P，且OP＝10，作射线PB交射线OM于点Q，直接写出QP长度的最大值．13．如图a，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且△APQ为等边三角形，AB＝AC，（1）求证：BP＝CQ．（2）如图a，若∠BAC＝120°，AP＝3，求BC的长．（3）若∠BAC＝120°，沿直线BC向右平行移动△APQ得到△A′P′Q′（如图b），A′Q′与AC交于点M．当点P移动到何处时，△AA′M≌△CQ′M？证明你的结论．14．如图，点A，B在直线1上，AB＝20cm，∠BAC＝120°．（1）点P从A出发，沿射线AB以每秒2cm的速度向右运动，同时点Q从B出发，沿射线BA以每秒lcm的速度向左运动，求点P出发多少秒时与点Q重合？（2）在（1）的条件下，求点P出发多少秒时与点Q相距5cm？（3）点M为射线AC上﹣点，AM＝4cm，现将射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转一周后停止，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动，在这一运动过程中，是否存在某一时刻，使得点N为BM的中点？若存在，求出点N运动的速度：若不存在，请说明理由．15．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ABD，E为AB的中点，连接DE并延长交BC于点F．（1）如图1，若∠BAC＝90°，连接CD，求证：CD平分∠ADF；（2）如图2，过点A折叠∠CAD，使点C与点D重合，折痕AM交EF于点M，若点M正好在∠ABC的平分线上，连接BM并延长交AC于点N，课堂上两个学习小组分别得出如下两个结论：①∠BAC的度数是一个定值，为100°；②线段MN与NC一定相等．请你选择其中一个结论，判断是否正确？若正确，给予证明：若不正确，说明理由．参考答案1．解：（1）如图1，过A点作直线l⊥OB于点F，l与y轴的交点即为所确定的P点位置．理由如下：如图2所示，过点O作OD⊥l于D，过点B作BC⊥l于C．∵S△OAB＝FA•OD+FA•BC＝FA（OD+BC）＝3为定值．要使点O、B到直线l的距离之和最大，即OD+BC最大，只要使FA最小，∴过A点作直线l⊥OB于点F，此时FA即为最小值（此时，点F、D、C重合）．∴l与y轴的交点即为所确定的P点位置；（2）由（1）的解题过程知，如图2所示，延长BA到G点，使BA＝AG，连接OG，则S△OAG ＝S△OAB，旋转直线l至l⊥OG于点F，与y轴的交点即为所确定的P点，过点B作BE⊥OA于点E，∵B（1，3），A（4，0），∴EB＝EA＝3，过点G作GH⊥x轴于点H，∴△ABE≌△AGH（AAS），∴AH＝GH＝3，∴OH＝7，∴tan∠HOG＝，又∵直线l⊥OG于点F，∴∠OPA＝∠HOG，∴tan∠OPA＝tan∠HOG＝，∴＝，∴＝，∴OP＝，∴P（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCE＝∠ABC＝∠ABF＝90°，∵GF⊥CF，GH⊥AB，∴∠F＝∠GHB＝∠FBH＝90°，∴四边形FBHG是矩形，∵ED＝EG，∠DEG＝90°，∵∠DEC+∠FEG＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEG＝∠EDC，∵∠F＝∠DCE＝90°，∴△DCE≌△EFG（AAS），∴FG＝EC，EF＝CD，∵CB＝CD，∴EF＝BC，∴BF＝EC，∴BF＝GF，（2）证明：延长BC到J，使得CJ＝AI．∵DA＝DC，∠A＝∠DCJ＝90°，AI＝CJ，∴△DAI≌△DCJ（SAS），∴DI＝DJ，∠ADI＝∠CDJ，∴∠IDJ＝∠ADC＝90°，∵∠IDE＝45°，∴∠EDI＝∠EDJ＝45°，∵DE＝DE，∴△IDE≌△JDE（SAS），∴∠DEI＝∠DEJ，∴DE平分∠IEC．（3）解：∵△IDE≌△JDE，∴IE＝EJ，∵EJ＝EC+CJ，AI＝CJ，∴IE＝EC＝AI，∴△BIE的周长＝BI+BE+IE＝BI+AI+BE+EC＝2AB＝6．故答案为6．3．解：（1）四边形A1A2B2B1是平行四边形，理由：∵∠ACB＝∠B2C＝90°，∴B1C∥C2B2，∵再将△A1B1C沿CB向右平移，∴B1C＝C2B2，122∴B 2B 1∥B 1C ，∴B 2B 1∥A 1A 2，∵再将△A 1B 1C 沿CB 向右平移，∴A 1B 1∥A 2B 2，∴四边形A 1A 2B 2B 1是平行四边形；（2）在Rt △ABC 中，BC ＝＝＝3，由题意：BC ＝CB 1＝C 2B 2＝3，∴AB 1＝1，∵B 1B 2∥BC ，∴△AB 1B 2∽△ACB ，∴， ∴， ∴B 1B 2＝，∴B 1B 2＝CC 2＝，∴CA 2＝A 2C 2﹣CC 2＝4﹣＝．4．（1）证明：四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，AB ∥CD ，∴∠PBM ＝∠PBC ＝∠ABC ＝30°，∠ABC +∠BCD ＝180°， ∴∠BCD ＝180°﹣∠ABC ＝120°由旋转的性质得：PC ＝QC ，∠PCQ ＝120°，∴∠BCD ＝∠DCQ ，∴∠BCP ＝∠DCQ ，在△BCP 和△DCQ 中，，∴△BCP ≌△DCQ （SAS ）；（2）解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠PCG＝60°，PG＝QG，∴PG＝PC，∴PQ＝PC．∵PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，∴PC＝2，BC＝2PC＝4，∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S＝2×4＝8；△ABC5．解：（1）∵∠PAD＝45°，DE⊥AP，∴∠DAE＝∠EDA，∴AE＝DE，∴AD＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BF＝AE，∴＝；（2）过点B作BH⊥AP于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAH+∠DAE＝90°，又∵∠BAH+∠ABH＝90°，∴∠ABH＝∠DAE，又∵AD＝AB，∠DEA＝∠AHB＝90°，∴△ADE≌△BAH（AAS），∴AE＝BH，∵将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F，∴∠EDF＝45°，∴∠EFD＝45°＝∠ABD，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠BFH＝∠ADB＝45°，又∵BH⊥AP，∴∠FBH＝∠BFH＝45°，∴BH＝FH，∴BF＝BH＝AE，∴＝＝．6．解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CH⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，∴CH＝＝，∵∠CDH＝45°，CH⊥AB，∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∴DH＝CH＝，CD＝CH＝；（2）①如图2，延长BC到N，使CN＝BC，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°，∠NCA＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴EC＝CD，∠ECD＝60°，∴∠NCA＝∠ECD，∴∠NCE＝∠DCA，又∵CE＝CD，AC＝BC＝CN，∴△CEN≌△CDA（SAS），∴EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，∵BC＝CN，BF＝EF，∴CF∥EN，CF＝EN，∴∠BCF＝∠N＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝90°，又∵DG⊥AC，∴CF∥DG，∵∠A＝30°，DG⊥AC，∴DG＝AD，∴DG＝CF，∴四边形CFDG是平行四边形，又∵∠ACF＝90°，∴四边形CFDG是矩形，∴∠CFD＝90°∴CF⊥DF；②如图3，连接BD'，∵将△CFD沿CF翻折得△CFD′，∴CD＝CD'，DF＝D'F，∠CFD＝∠CFD'＝90°，又∵EF＝BF，∠EFD＝∠BFD'，∴△EFD≌∠BFD'（SAS），∴BD'＝DE，∴BD'＝CD，∵当BD'取最小值时，有最小值，∴当CD取最小值时，有最小值，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴AD＝CD，AB＝2AD＝2CD，∴最小值＝．7．解：（1）同意，理由如下：如图2，设AD与EF交于点G，由折叠知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．由折叠知，∠AGE＝∠DGE，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF．即：△AEF为等腰三角形．（2）如图3，延长CD与BA并交于点F，由（1）知，BC＝BF，又∵BE平分∠ABC，∴BD是△CBF的中线，即FD＝CD＝4，CF＝2CD＝8，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AEB＝90°，∵CD⊥BD，∴∠EDC＝90°，∴∠ACD+∠CED＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴∠ACD＝∠ABD，∵AC＝AB，∴△CAF≌△BAE（ASA）∴BE＝CF＝8，∴S＝BE•CD＝×8×4＝16．△BCE8．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，＝BC＝，∴BE最小即：BE的最小值为．9．解：简单应用：（1）如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，根据勾股定理得，PP'＝CP＝4，∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，∴∠BPP'＝90°，∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，故答案为：135；（2）如图3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，∵∠APB＝150°，∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，根据勾股定理得，BP'＝＝13，∴CP＝13，故答案为：13；拓展廷伸：①如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD+∠BCD'＝180°，∴点D'在DC的延长线上，∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，在Rt△DBD'中，DD'＝BD，∴BD＝CD+AD；②如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB与CD的交点记作G，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，∵∠AGD＝∠BGC，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BAD'，∴点D'在AD的延长线上，∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝．10．（1）解：①补全图形如图所示．②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1，∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴AD＝＝，∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°，∴PA＝AD•tan60°＝2，∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ，∴△PDA≌△PDQ（SAS），∴PQ＝PA＝2．故答案为2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．∵PA⊥AD，∴∠PAD＝90°．由题意可知∠ADP＝45°．∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP，∴PA＝PD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∵AH⊥PF，PF⊥BQ，∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形，∴∠CAH＝90°，AH＝CF，∵∠ACH＝∠DAP＝90°，∴∠CAD＝∠PAH，．又∵∠ACD＝∠AHP＝90°，∴△ACD≌△AHP（AAS），∴AH＝AC＝1，∴CF＝AH＝1，∵BD＝，BC＝1，B，Q关于点D对称，∴CD＝BD﹣BC＝，DQ＝BD＝，∴DF＝CF﹣CD＝＝DQ，∴F为DQ中点．∴PF垂直平分DQ．∴PQ＝PD．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，∵PD＝PQ，PF⊥DQ，∴DF＝FQ＝x∵四边形AHFC是矩形，∴AH＝CF＝CD+DF＝（x﹣t）+x＝x﹣t，∵△ACB∽△PAD，∴＝，∴＝，∴PA＝，∵△PAH∽△DAC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴BD＝．11．（1）补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；（2）补全图形图2，，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF＝AD，∠DAF＝120°．∵∠APE＝60°，∴∠APE+∠DAF＝180°．∴AF∥BE，∴∠1＝∠F，∵△ABD≌△BEC，∴AD＝BE．∴AF＝BE．在△AQF和△EQB中，△AQF≌△EQB（AAS），∴AQ＝QE，∴，∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，且AE＝BC，CD＝BD．∴AE＝CD，∴．12．解：（1）①图形如图1所示．过点A作AH⊥OC于点H，AG⊥CB交CB的延长线于点G．∵BC⊥OC，AH⊥OC，AG⊥CB，∴∠AHC＝∠HCG＝∠G＝90°，∴四边形AHCG是矩形，∴∠HAG＝∠OAB＝90°，∴∠OAH＝∠BAG，∵AO＝AB，∴△AHO≌△AGB（AAS）∴AH＝AG，∴四边形AHCG为正方形，∴∠ODC＝45°．②如图2中，延长GA交OD于点K．∵，OA＝5，∴AK＝4，OK＝3，∴DK＝AK＝4，∴OD＝7．（2）如图3中，∵OA＝AB＝5，∠OAB＝90°，∴OB＝OA＝5，观察图象可知，当OB⊥PQ时，△OPB是等腰直角三角形，此时PQ的值最大，最大值＝2PB ＝10．13．（1）证明：过点A作AD⊥BC，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在等边△AQP中，AP＝AQ，AD⊥BC，∴PD＝QD，∴BD﹣PD＝CD﹣QD，即BP＝CQ；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30o，已知△APQ为等边三角形，∴∠APQ＝∠AQP＝60°，∴∠BAP＝∠B＝∠C＝∠CAQ＝30°，∴AP＝BP，AQ＝CQ，已知△APQ为等边三角形，∴BP＝PQ＝QC＝AP＝3，∴BC＝9；（3）当点P移动到BC的中点，即，P′为BC的中点时，△AA′M≌△CQ′M，理由如下：沿直线BC向右平行移动△APQ得到△A′P′Q′，由平移的性质可知：PP'＝AA'＝QQ'，AA'∥BC，∴∠C＝∠MAA'①，当P′为BC的中点时，BP'＝CP'，由（2）的解答可知，PB＝QC＝PQ，∴BP'﹣PB＝CP'﹣QC，∴PP'＝AA'＝QQ'＝PQ＝QC，∴点Q'为QC的中点，Q'C＝QQ'＝AA'②，又∠AMA'＝∠CMQ'③，∴由①②③可得△AA′M≌△CQ′M（AAS）．14．解：（1）设点P出发t秒时与点Q重合，则由题意得，2t+t＝20，解得，t＝，∴点P出发秒时与点Q重合；（2）设点P出发的时间为t，则当点P与点Q在相遇前相距5cm时，2t+t＝20﹣5，解得，t＝5；当点P与点Q在相遇后相距5cm时，2t+t＝20+5，解得，t＝，综上所述，点P出发5秒或秒时与点Q相距5cm；（3）当点N为BM的中点时，点N，B，M在同一直线上，故当点M按顺时针方向旋转到直线AB上时，点N有可能为BM的中点，①如图1，当射线AC顺时针方向旋转120°时，第一次与AB重合，＝4秒，若N为BM的中点，则BN＝（AB﹣AM）＝（20﹣4）＝8cm，∴点N的运动速度为：＝2cm/s；②如图2，当射线AC顺时针方向旋转300°时，第二次与AB重合，＝10秒，若N为BM的中点，则BN＝（AB+AM）＝（20+4）＝12cm，∴点N的运动速度为：＝cm/s，综上所述，当射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转4秒时，使得点N为BM的中点，点N运动的速度为2cm/s；当射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转10秒时，使得点N为BM的中点，点N运动的速度为cm/s．15．证明：（1）∵△ABD是等边三角形，且E为AB的中点，∴DE⊥AB，AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠FDC，∴∠ADC＝∠FDC，∴CD平分∠ADF；（2）①∵△ABD是等边三角形，且E为AB的中点，∴DE垂直平分AB，∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠MBA，∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝∠MBC，设MAB＝∠MBA＝∠MBC＝α，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝2α，由翻折知，∠MAC＝∠MAD＝∠DAB+∠MAB＝60°+α，∴在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAM+∠MAC＝2α+2α+α+60°+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝20°+60°+20°＝100°，∴∠BAC的度数是一个定值，为100°；②如图2﹣1，连接MC，由①知，α＝20°，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，由①知，DE垂直平分AB，∵DA＝DB，∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDE＝30°，由翻折知，△ADM≌△ACM，∴∠ACM＝∠ADM＝30°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠ACM＝10°，∴∠NMC＝∠MBC+∠MCB＝20°+10°＝30°，∴∠NMC＝∠NCM，∴MN＝NC．。
九年级数学上册23-1《图形的旋转》基础课时练习题(含答案解析)
九年级数学上册23-1《图形的旋转》基础课时练习题（含答案解析）1、如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）．A. 60m2B. 63m2C. 64m2D. 66m22、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1) 若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围．(2) 垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．(3) 当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．3、某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．4、某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=−2x+80(20⩽x⩽40)，设销售这种产品每天的利润为W（元）．(1) 求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式．(2) 当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？5、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．(1) 求y与x之间的函数关系式．(2) 在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？(3) 当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？6、解答：(1) 一辆宽2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），为保证安全，车顶左右两侧离隧道的垂直距离至少要0.5米，求货车的限高为多少？(2) 若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多少？7、把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度ℎ（米）适用公式ℎ=20t−5t2(0⩽t⩽4)．(1) 经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？(2) 足球从开始踢至回到地面需要多少时间？(3) 若存在两个不相等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．8、运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度ℎ(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系，t与ℎ的几组对应值如下表所示：(1) 求ℎ与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）．(2) 求小球飞行3s时的高度．(3) 问：小球的飞行高度能否达到22m．请说明理由．9、军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的x2+10x，经过秒时间，炮弹落到地上爆炸了．关系满足y=−1510、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（）．A. 19cm2B. 16cm2C. 15cm2D. 12cm211、如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．(1) 若苗圃园的面积为100平方米，求x的值．(2) 若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．12、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．(1) 求S与x的函数关系式．(2) 如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3) 能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．13、某种水果进价为每千克20元，市场调查发现，该水果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80，设这种水果每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式．(2) 该水果售价定为每千克多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元．(3) 如果商家为“薄利多销”，规定这种水果售价每千克不高于28元，则商家要想每天获利150元的销售利润，售价应定为每千克多少元．14、服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．(1) 求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围．(2) 设服装厂所获利润为w（元），若10⩽x⩽50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？15、一条单车道的抛物线形隧道如图所示，隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．(2) 现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．16、如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成某一角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系ℎ=20t−5t2．请解答以下问题：(1) 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2) 小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(3) 小球从飞出到落地要用多少时间？1 、【答案】 C;【解析】设BC=xm，矩形ABCD的面积为ym2，易知AB=(16−x)m，根据题意得y=(16−x)x=−x2+16x=−(x−8)2+64，当x=8时，y取得最大值，为64，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故选C．2 、【答案】 (1) y=30−2x（6⩽x<15）．;(2) 当x=7.5时，S最大值=112.5．;(3) x的取值范围为6⩽x⩽11．;【解析】 (1) y=30−2x（6⩽x<15）．(2) 设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x(30−2x)=−2x2+30x，∴S=−2(x−7.5)2+112.5．由（1）知，6⩽x<15，∴当x=7.5时，S最大值=112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．(3) ∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即−2(x−7.5)2+112.5⩾88，∴6⩽x⩽11．由（1）可知6⩽x<15，∴x的取值范围为6⩽x⩽11．3 、【答案】70;【解析】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w=(x−50)[200+(80−x)×20]=−20(x−70)2+8000，∴当x=70时，w取得最大值，此时w=8000，故答案为：70．4 、【答案】 (1) w=−2x2+120x−1600 (20⩽x⩽40);(2) 当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元;【解析】 (1) w=y(x−20)=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600 (20⩽x⩽40)．(2) w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．5 、【答案】 (1) y=−0.5x+80．;(2) 增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．;(3) 当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．;【解析】 (1) 设函数的表达式为y =kx +b ，该一次函数过点(12,74)，(28,66)，根据题意，得：{74=12k +b 66=28k +b ，解得，{k =−0.5b =80， ∴该函数的表达式为y =−0.5x +80．(2) 根据题意，得，(−0.5x +80)(80+x)=6750，解这个方程得，x 1=10，x 2=70，∵投入成本最低．∴x 2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．(3) 根据题意，得w =(−0.5x +80)(80+x)=−0.5(x −40)2+7200， ∵a =−0.5<0，则抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x =40时，w 最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．6 、【答案】 (1) 3.25米．;(2) 2.5米．;【解析】 (1) 以抛物线的对称轴为y 轴，地平线为x 轴，建立如图所示坐标系，∵抛物线的顶点坐标是(0,4)，∴可设抛物线的解析式为y =ax 2+4．又∵抛物线过(4,0)点，∴0=a×42+4，∴a=−1．4x2+4(−4⩽x⩽4)∴y=−14当x=1时，y=3.75．∴货车限高为3.75−0.5=3.25（米）．(2) 当x=2时，y=3，故货车限高为3−0.5=2.5（米）．7 、【答案】 (1) 经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米．;(2) 足球从开始踢至回到地面需要4秒．;(3) 0⩽m<20．;【解析】 (1) ∵ℎ=20t−5t2=−5(t−2)2+20，∴t=2时，ℎ最大，最大值为20m，答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米．(2) 令ℎ=0，得：20t−5t2=0，解得：t=0或t=4，∴足球从开始踢至回到地面需要4秒．(3) 由（1）知足球的最大高度为20米，∴0⩽m<20．8 、【答案】 (1) ℎ=−5t2+20t．;(2) 15m．;(3) 小球的飞行高度不能达到22m．;【解析】 (1) ∵t =0时，ℎ=0∴设ℎ与t 的函数关系式为ℎ=at 2+bt(a ≠0)，∵t =1时，ℎ=15，t =2时，ℎ=20，∴{a +b =154a +2b =20， 解得{a =−5b =20， ∴ℎ与t 之间的函数关系式为ℎ=−5t 2+20t ．(2) 小球飞行3秒时，t =3，此时ℎ=−5×32+20×3=15(m)，答：此时小球的高度为15m ．(3) 方法一 : 设ts 时，小球的飞行高度达到22m ，则−5t 2+20t =22，即5t 2−20t +22=0，∵Δ=(−20)2−4×5×22<0，∴此方程无实数根，∴小球的飞行高度不能达到22m ．(3) 方法二 : ∵ℎ=−5t 2+20t =−5(t −2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m ，∵22>20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．9 、【答案】 50;【解析】 依题意，关系式化为：y =−15(x −25)2+125．令y =0，解得：x =50秒．10 、【答案】 C;【解析】 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6(cm)．设运动时间为t 秒（0⩽t ⩽4），则PC =(6−t)cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形PABQ =S △ABC −S △CPQ=12AC ⋅BC −12PC ⋅CQ=12×6×8−12(6−t)×2t=t 2−6t +24=(t −3)2+15，∴当t =3时，四边形PABQ 的面积有最小值，最小值为15．故选C ．11 、【答案】 (1) x =10．;(2) 有，当x =7.5时，y 取得最大值，最大值为2252． 当x =11时，y 取得最小值，最小值为88．;【解析】 (1) 由题意，得：平行于墙的一边长为(30−2x)，根据题意，得：x(30−2x)=100，解得：x =5或x =10，∵{30−2x ⩽182x <30， ∴6⩽x <15．∴x =10．(2) ∵矩形的面积y =x(30−2x)=−2(x −152)2+2252，且30−2x ⩾8，即x ⩽11， ∴当x =7.5时，y 取得最大值，最大值为2252． 当x =11时，y 取得最小值，最小值为88．12 、【答案】 (1) S =−3x 2+24x ．;(2) 5m ．;(3) 能，当长为10m ，宽为143m 时，最大面积为1403m 2． ;【解析】 (1) 根据题意，得S =x (24−3x )，即所求的函数解析式为：S =−3x 2+24x ．(2) 根据题意，设AB 长为x ，则BC 长为24−3x ，则−3x 2+24x =45．整理，得x 2−8x +15=0，解得x =3或5，当x =3时，BC =24−9=15>10不成立，当x =5时，BC =24−15=9<10成立，∴AB 长为5m ．(3) S =24x −3x 2=−3(x −4)2+48，由于0<24−3x ⩽10，得143⩽x <8． ∵143>4，∴当x =143时，S 取得最大值为1403>45，∴能围成面积比45m 2更大的花圃，当长为10m ，宽为143m 时，最大面积为1403m 2． 13 、【答案】 (1) w =−2x 2+120x −1600．;(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．;(3) 该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．;【解析】 (1) 由题意得出：w =(x −20)⋅y=(x −20)(−2x +80)=−2x 2+120x −1600，故w 与x 的函数关系式为：w =−2x 2+120x −1600．(2) w =−2x 2+120x −1600=−2(x −30)2+200，∵−2<0，∴当x =30时，w 有最大值．w 最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．(3) 当w =150时，可得方程−2(x −30)2+200=150．解得x 1=25，x 2=35．∵35>28，∴x 2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．14 、【答案】 (1) y ={−0.5x +105(10⩽x ⩽50)80(x >50)． ;(2) 批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．;【解析】 (1) 当10⩽x ⩽50时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，{10k +b =10050k +b =80，得{k =−0.5b =105， ∴当10⩽x ⩽50时，y 与x 的函数关系式为y =−0.5x +105，当x >50时，y =80，即y 与x 的函数关系式为：y ={−0.5x +105(10⩽x ⩽50)80(x >50)． (2) 由题意可得，w =(−0.5x +105−65)x =−0.5x 2+40x=−0.5(x−40)2+800，∴当x=40时，w取得最大值，此时w=800，y=−0.5×40+105=85，答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．x2+6．15 、【答案】 (1) （答案不唯一）抛物线的表达式为y=−38;(2) 这辆货车能安全通过这条隧道．;【解析】(1) 以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(−4,0)，B(4,0)，C(0,6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x−4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴−16a=6．∴a=−3．8x2+6(−4⩽x⩽4)．∴这条抛物线表示的二次函数表达式为y=−38(2) 当x=1时，y=45，8∵4.4+0.5=4.9<45，8∴这辆货车能安全通过这条隧道．16 、【答案】 (1) 当小球的飞行1s和3s时，高度达到15m．;(2) 小球的飞行高度不能达到20.5m．;(3) 小球从飞出到落地要用4s．;【解析】 (1) 令ℎ=15，得方程15=20t−5t2，解这个方程得：t1=1，t2=3，当小球的飞行1s和3s时，高度达到15m．(2) 令ℎ=20.5，得方程20.5=20t−5t2，整理得：t2−4t+4.1=0，因为(−4)2−4×4.1<0，所以方程无实数根，所以小球的飞行高度不能达到20.5m．(3) 小球飞出和落地时的高度都为0，令ℎ=0，得方程0=20t−5t2，解这个方程得：t1=0，t2=4，所以小球从飞出到落地要用4s．。
新西师大版五年级上《图形的旋转》精品练习(附答案)
2.2图形的旋转1. 一个边长是6厘米的等腰三角形，连续顺时针旋转4次后，和原图形重合。
〔〕2.分针从6:30到6:45,旋转了( )。
3. 把图形绕着O点顺时针旋转90°后，得到的图形是〔〕。
A． B． C． D．4.旋转不能改变图形的形状，可以改变图形的位置。
〔〕。
5.时钟从3：00到6：00，时针〔〕方向旋转了〔〕度。
答案1. √2. 90度3. C4. √5.顺时针 907.1小数乘法1.填空。
〔1〕13.65扩大到原来的( )倍是1365;6.8缩小到原来的( )是0.068。
〔2〕把8.25684保存整数约是( ),精确到千分位约是( )。
〔3〕4.09×0.05的积有( )位小数,5.2×4.76的积有( )位小数。
〔4〕根据13×28=364,写出下面各式的积。
1.3×2.8=( ) 0.13×0.28=( )2.判断题。
〔对的画“√〞，错的画“×〞〕〔1〕0.03与0.04的积是0.12。
( )〔2〕一个小数的16.5倍一定大于这个小数。
( )〔3〕53.78保存一位小数约是53.8。
( )3.选择。
〔1〕两个数相乘,一个因数扩大到它的100倍,另一个因数缩小到它的,那么积( )。
A.扩大到它的10倍B.扩大到它的100倍C.扩大到它的1000倍D.不变〔2〕下面各算式中,得数小于0.85的是( )。
A.0.85×1.01B.0.85×0.99C.0.85×1D.0.85×2〔3〕4.8×37+4.8×63=4.8×(37+63)是运用了( )。
A.乘法交换律和结合律B.乘法分配律C.乘法交换律D.乘法结合4.解决问题。
〔1〕商店运进14筐苹果,每筐35.8kg,卖掉了400kg,还剩下多少千克?〔2〕某药厂生产的感冒灵颗粒,一盒内装10袋,每袋含“对乙酰氨基酚〞0.2g。
中考数学 复习 《图形的旋转》练习题(含答案)
中考复习每日一练第三十讲《图形的旋转》一．选择题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，四边形AOBC绕点O顺时针方向旋转得到四边形DOEF，下列说法正确的是（）A．旋转角是∠BODB．AO＝EOC．若连接CO，FO，则CO＝FOD．四边形AOBC和四边形DOEF可能不全等3．若点M（2，b﹣3）关于原点对称点N的坐标是（﹣3﹣a，2），则a，b的值为（）A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣14．已知点A（﹣1，），O为坐标原点，连结OA．将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OA′，则点A′的坐标为（）A．（1，﹣）B．（﹣2，）C．（﹣，2）D．（﹣，1）5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，且点D在AC上，下列说法错误的是（）A．AC平分∠BAE B．AB＝AD C．BC∥AE D．BC＝DE6．如图，将△ABC绕点C（0，）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣） C．（﹣a，﹣b+） D．（﹣a，﹣b+2）7．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．18．如图，把一个直角三角板△ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，则∠BD C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．已知点P（x，y）在第二象限，|x|＝6，|y|＝8，则点P关于原点的对称点的坐标为（）A．（6，8）B．（﹣6，8）C．（﹣6，﹣8）D．（6，﹣8）10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，其中有：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝DE；④∠A＝∠EBC，四个结论，则结论一定正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，将Rt△ABC绕着直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠CA'B'＝25°，则∠BAA'＝度．12．如图，在△ADE中，∠DAE＝80°，将△ADE绕点A顺时针旋转α得△ABC，若AC平分∠DAE，则α＝；若AC平分∠BAE，则α＝．13．如图，A点的坐标为（0，4），B点的坐标为（4，2），C点的坐标为（6，2），D点的坐标为（4，﹣2），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是．14．在△ABC中∠ACB＝45°，，BC＝12，以AB为直角边、A为直角顶点作等腰直角三角形ABD，则CD＝．15．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是度．16．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝8，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则△OBB1的面积为．17．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD 为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，则点E的横坐标等于，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为．18．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为（﹣4，0），顶点C为（1，0），将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，再将△A1B1C1关于直线x＝2（即过（2，0）垂直于x轴的直线）轴对称变换得到△A2B2C2，再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4…，按此规律继续变换下去，则点A10的坐标为．三．解答题19．在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，△A 1B 1C 1与△ABC 关于点O 对称．（1）画出△A 1B 1C 1．（2）A 1B 1与AB 的位置关系是 ．（3）点P 在直线CO 上，BP +AP 的最小值是 ．20．如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A ，B ，C ，D 均在格点上，在网格中将点D 按下列步骤移动：第一步：点D 绕点A 顺时针旋转180°得到点D 1第二步：点D 1绕点B 顺时针旋转90°得到点D 2；第三步：点D 2绕点C 顺时针旋转90°回到点D ；（1）请用圆规画出点D →D 1→D 2→D 经过的路径；（2）所画图形是 对称图形；（3）写出所画图形的周长和所画图形围成的面积．（结果保留π）周长：面积：21．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A、与y轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（﹣6，0），直线BC与直线AB关于y轴对称．（1）求△ABC的面积；（2）如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；（3）如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N 是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM+NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明．22．实验探究：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，交于BD、CE点P．【问题发现】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；【类比探究】（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为．23．【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目：如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；提炼2：△ECD≌△FAD；提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．【问题解决】（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．可得：∠EDF＝°；AF，FE，EC三者间的数量关系是．（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB 间的数量关系，并证明．24．阅读材料：如图1，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在BC上，BD＝BE，∠ADC＝α，∠BEF＝180°﹣2α，延长CA，EF交于点G，GA＝GF，求证AD＝EF．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H （如图2）．②小白的想法是：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H（如图3）．请你从上述俩种方法中一种或按照自己的方法解决问题；经验拓展：如图4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE＝AD，过点C作CF⊥BD 交BD的延长线于点F，∠ECF＝60°，若BE＝a，DF＝b，求DE的长（用含a，b的式子表示）．参考答案一．选择题1．解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故本选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选：A．2．解：∵四边形AOBC绕点O顺时针方向旋转得到四边形DOEF，∴旋转角是∠AOD，OA＝OD，四边形AOBC和四边形DOEF全等，故A、B、D选项错误；若连接CO，FO，则CO＝FO，故C选项正确，故选：C．3．解：∵点M（2，b﹣3）关于原点对称点N的坐标是（﹣3﹣a，2），∴2＝3+a，b﹣3＝﹣2，解得：a＝﹣1，b＝1．故选：A．4．解：如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．∵A（﹣1，），∴OH＝1，AH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝60°，∠OAH＝30°，∴OA＝OA′＝2OH＝2，∵∠AOA′＝30°，∴∠A′OE＝30°，∴A′E＝OA′＝1，OE＝A′E＝，∴A′（﹣，1），故选：D．5．解：将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，BC＝DE，故A、B、D选项正确；∵∠C＝∠E，但∠C不一定等于∠DAE，∴BC不一定平行于AE，故C选项，错误；故选：C．6．解：设A′（m，n），∵CA＝CA′，C（0，），A（a，b），∴∴m＝﹣a，n＝2﹣b，∴A′（﹣a，2﹣b），故选：D．7．解：∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．故选：C．8．解：∵△EBD由△ABC旋转而成，∴△ABC≌△EBD，∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝150°，∴∠BDC＝（180°﹣150°）＝15°；故选：A．9．解：∵|x|＝6，|y|＝8，∴x＝±6，y＝±8，∵x＜0，y＞0，∴x＝﹣6，y＝8，即点P的坐标是（﹣6，8），关于原点的对称点的坐标是（6，﹣8），故选：D．10．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①、③错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD），∠CBE＝（180°﹣∠BCE），∴∠A＝∠EBC，故④正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误；故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A＝45°，∠CA′B′＝∠BAC＝25°，∴∠BAA′＝180°﹣65°﹣45°＝70°，故答案为：70．12．解：由旋转的性质得：∠BAC＝∠DAE＝80°，∴∠1＝∠2＝α，若AC平分∠DAE，则α＝∠2＝∠DAE＝40°；若AC平分∠BAE，则AC与AD重合，α＝∠DAE＝80°；故答案为：40°；80°．13．解：如图，旋转中心为P（2，0）或（5，5）．故答案为（2，0）或（5，5）．14．解：将△ACD绕着点A逆时针旋转90°得到△AEB，连接BE，则AE＝AC＝，∠CAE＝∠BAD＝90°，BE＝CD，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，EE＝AC＝5，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BE＝＝＝13，∴BE＝CD＝13．故答案为：13．15．解：∵三角板是两块大小且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′＝BC＝BE′，∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．16．解：∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝8，∴AB ＝＝10，∵点D 为AB 的中点，∴OD ＝AB ＝2.5cm ．∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝8，∴B 1D ＝OB 1﹣OD ＝3，过D 作DH ⊥OB 于H ，过B 1A 作B 1G ⊥BC 于G ，∴DH ∥B 1G ，∴△ODH ∽△OB 1G ， ∴＝， ∵DH ＝＝＝3， ∴， ∴B 1G ＝，∴△OBB 1的面积＝×8＝， 故答案为：．17．解：如图，把线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AC ′，连接C ′D ，则C ′为定点（2，），在△ACE 和△AC ′D 中∴△ACE ≌△AC ′D （SAS ）∴C ′D ＝CE ．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为，∴OD＝2，过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO（AAS），∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴点E的横坐标等于﹣4，∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴DE＝＝2，故答案为：﹣4，2．18．解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为（﹣4，0），顶点C为（1，0），∴BC＝5∴A（﹣1.5，2.5）将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，∴A1（1.5，2.5）再将△A1B1C1关于直线x＝2轴对称变换得到△A2B2C2，∴A2（2.5，2.5）再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，∴A3（5.5，2.5）再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4，∴A4（6.5，2.5）…按此规律继续变换下去，A5（8.5，2.5），A6（9.5，2.5），A7（11.5，2.5）则点A10的坐标为（15.5，2.5），故答案为：（15.5，2.5）．三．解答题（共6小题）19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）观察图形可知：A 1B1∥AB，故答案为：A1B1∥AB；（3）如图，连接A1B，交OC于点P，∵点A与A1关于点O对称，∴PA＝PA1∴BP+AP＝BP+A1P＝BA1＝＝BP+AP的最小值是BA1的长为．故答案为．20．解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示．（2）所画图形是轴对称图形；故答案为：轴．（3）周长＝π•4+π•4＝8π．面积＝4（﹣×4×4）＝16π﹣32．故答案为8π，16π﹣32．21．解：（1）∵A（﹣6，0），∴OA＝6，∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴OA＝OB＝6，∵AB，AC关于y轴对称，∴OA＝OC＝6，∴△ABC的面积＝×AC×OB＝×12×6．（2）过E作EF⊥x轴于F，延长EA交y轴于H．∵△BDE为等腰直角三角形∴DE＝DB，∠BDE＝90°∵∠BDE＝90°∴∠EDF+∠BDO＝90°∵∠BOD＝90°∴∠BDO+∠DBO＝90°∴∠EDF＝∠DBO（同角的余角相等）∵EF⊥X轴∴∠BOF＝∠EFD＝90°，在△DEF与△BDO中∠EDF＝∠DBO∠BOF＝∠EFDDE＝DB∴△DEF≌△BDO（AAS），∴DF＝BO＝AO，EF＝OD；∴AF＝EF，∴∠EAF＝45°，∴△AOH为等腰直角三角形．∴OA＝OH，∴H（0，﹣6）∴直线EA的解析式为：y＝﹣x﹣6；（3）如图3中，作点N关于AF的对称点N′（N′在射线AE上），连接ON′交AF于M．∵OM+MN＝OM+MN′＝ON′当点N运动时，ON′最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长，∵∠OAE＝30°，OA＝6，∴当ON′⊥AE时，ON′＝OA＝3，所以OM+NM的值为3．22．解：（1）BD、CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．（2）如图2，3即为旋转后的图形．①如图2，当C在AD上时，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC又∵∠PCD＝∠ACE，∴△PCD～△ACE，∴又∵CE＝＝＝CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2∴，解得；如图3，当C在AD反向延长线上时，同理△PEB～△ABD＝∵BD＝BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2∴＝解得PB＝∴PD＝DB+PB＝+＝．答：此时PD的长为或．（3）如图4所示，以点A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．在Rt△ACE中，CE＝＝＝4 在Rt△ADE中，DE＝＝＝5∵四边形ABPC是正方形，∴PC＝AB＝3∴PE＝PC+CE＝3+4＝7在Rt△DEP中，PD＝＝＝1 ∴线段PD的最小值为1．故答案为：1．23．【问题解决】解：（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90°，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45°，EF＝FG+EG＝AF+EC；故答案为：45°，AF+EC＝FE．（2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．∴∠EAC＝90°．∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8．∴．解得，AC＝4．（3）AD2+BE2＝DE2．证明如下：如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接EH．∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45°，∠CAD＝∠CBH＝45°，∵CE＝CE，∴△CEH≌△CED（SAS）．∴EH＝ED．∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90°．∴HB2+BE2＝EH2．∵AD＝BH，∴AD2+BE2＝DE2．24．阅读材料：证明：①小明的想法：如图2中：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H．∵∠BDH＝∠BEF，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△BDH≌△BEF（ASA）∴∠BFE＝∠BHD，EF＝DH，∵∠BEF＝180°﹣2α，∴∠BDH＝180°﹣2α，且∠BDH+∠CDH+∠ADC＝180°，∠ADC＝α，∴∠ADC＝∠CDH，∵GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，且∠GFA＝∠BFE＝∠BHD，∴∠GAF＝∠BHD，∴∠DAC＝∠DHC，且∠ADC＝∠CDH，DC＝DC，∴△ADC≌△HDC（AAS）∴AD＝DH，∴AD＝EF；②小白的想法：如图3中：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H．∵∠BEH＝∠BDC，BE＝BD，∠B＝∠B，∴△BEH≌△BDC（ASA），∴∠H＝∠C，EH＝CH，∠BEH＝∠BDC，∴∠ADC＝∠CEH＝α，∵∠BEF＝180°﹣2α＝180°﹣∠GEC，∴∠FEH＝∠HEC＝∠ADC＝α，∴△ADC≌△FEH（ASA），∴AD＝EF．经验拓展：如图4中，延长AE到M，使得AM＝AC，连接DM交CE于O，作MN⊥BF于N．连接AO，BM，CM．∵AD＝AE，AM＝AC，∴EM＝CD，∠AMC＝∠ACM，∵CM＝MC，∴△ECM≌△DMC（SAS），∴∠ECM＝∠DMC，∴OM＝OC，∵AE＝AD，∴AO垂直平分线段EF，∠AEO＝∠DAO，∵MN⊥BF，CF⊥BF，∴MN∥CF∥OA，∴∠NME＝∠EAO，∠DCF＝∠DAO，∴∠NME＝∠DCF，∵∠MNE＝∠F＝90°，∴△MNE≌△CFD（AAS），∴DF＝EN＝b，MN＝CF，∵∠FBC+∠FCB＝∠FBC+60°+∠FCD＝90°，∴∠FBC+∠FCD＝30°，∵AB＝AM＝AC，∴∠CBM＝∠CAM＝∠FCD，∴∠FBC+∠CBM＝30°，∴MN＝BN•tan30°＝（a﹣b），∴CF＝MN＝（a﹣b），∵∠ECF＝60°，∴EF＝CF•tan60°＝a﹣b，∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．。
《图形的旋转》练习题
《图形的旋转》练习题一、判断题1、图形的旋转是图形沿着某个点旋转一定的角度。
（）2、图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定的。
（）3、图形的旋转改变了图形的形状和大小。
（）4、图形的旋转不改变图形的形状和大小。
（）5、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形重合，那么这个图形就被旋转对称了。
（）6、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形不重合，那么这个图形就不是旋转对称的。
（）7、旋转对称图形是旋转对称的。
（）8、旋转对称的图形是旋转对称的。
（）9、一个图形如果和另一个图形是旋转对称的，那么这两个图形一定也是轴对称的。
（）10、一个图形如果和另一个图形是轴对称的，那么这两个图形一定是旋转对称的。
（）二、填空题1、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形运动称为__________。
2、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
3、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
4、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
5、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
6、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
7、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
8、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
9、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
10、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
《图形的平移与旋转》复习全攻略【介绍】《图形的平移与旋转》是初中数学中的重要一课，它涉及到平面几何的基本概念和变换方法。
在这篇复习全攻略中，我们将一起回顾图形的平移和旋转的基本概念、考点、解题技巧以及难点解析，帮助大家充分掌握这一课的内容。
初中数学：《图形的旋转》测试题及答案
初中数学：《图形的旋转》测试题及答案一、选择题1．在图形旋转中,下列说法错误的是（）A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上的每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等2．下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是（）A．B． C．D．3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合,那么它的旋转角可能是（）A．60°B．90°C．72°D．120°4．如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°二、填空题6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是______．7．如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是______,它们之间的关系是______,其中BD=______．8．如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′,使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm,BB′=1cm,则A′B长是______cm．9．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（1,4）,将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是______．10．如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF 的关系是______．11．如图,在直角坐标系中,已知点A（﹣3,0）,B（0,4）,对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为______．三、综合提高题12．观察下列图形,它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C三点在同一条线上,△AOB与△COD是能够重合的图形．求：（1）旋转中心；（2）旋转角度数；（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线,结论还成立吗？为什么？（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；（5）若∠A=15°,则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．14．作图：（1）如图甲,以点O为中心,把点P顺时针旋转45°．（2）如图乙,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°．（3）如图丙,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁,以点B为中心,把△ABC旋转180°．15．如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．16．如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形,求x的值．17．如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6．（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1；（2）线段OA1的长度是______,∠AOB1的度数是______；（3）连接AA1,求证：四边形OAA1B1是平行四边形．《图形的旋转》参考答案与试题解析一、选择题1．在图形旋转中,下列说法错误的是（）A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上的每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等【解答】解：A、在图形旋转中,根据旋转的性质,图形上对应点到旋转中心的距离相等,故本选项错误；B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角,正确；C、以图形上一点为旋转中心,则这个点不动,正确；D、旋转前后两个图形全等,则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等,正确．故选A．2．下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、只包含图形的旋转,不符合题意；B、只是轴对称图形,不符合题意；C、只是轴对称图形,不符合题意；D、既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称,符合题意．故选：D．3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合,那么它的旋转角可能是（）A．60°B．90°C．72°D．120°【解答】解：该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是72°,并且圆具有旋转不变性,因而旋转72度的整数倍,就可以与自身重合．故选C．4．如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°【解答】解：由平移和旋转可得,D选项中左下角的梅花需先沿对角线平移后,再逆时针旋转90°,所以D选项错误．故选：B．5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°【解答】解：∵∠BAC′=130°,∠BAC=80°,∴如图1,∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=50°,如图2,∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．∴旋转角等于50°或210°．故选C．二、填空题6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是图形的形状、大小不变,只改变图形的位置．【解答】解：在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是图形的形状、大小不变,只改变图形的位置．7．如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是△ACE ,它们之间的关系是全等,其中BD= CE ．【解答】解：△ABD绕点A逆时针旋转42°得到△ACE,它们之间的关系是全等,其中BD=CE．8．如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′,使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm,BB′=1cm,则A′B长是 3 cm．【解答】解：根据旋转的性质,得：A′B′=AB=4cm．∴A′B=A′B′﹣BB′=4﹣1=3（cm）．9．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（1,4）,将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是（4,﹣1）．【解答】解：由图知A点的坐标为（1,4）,根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,从而得A′点坐标为（4,﹣1）．故答案为：（4,﹣1）．10．如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF 的关系是BE+DF=EF ．【解答】解：如图,延长CD到M,使DM=BE,连接AM、EF；∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠ADC=90°,AB=AD；在△ABE与△ADM中,,∴△ABE≌△ADM（SAS）,∴∠BAE=∠DAM,AE=AM；∴∠BAE+DAF=∠DAM+∠DAF=∠MAF；∵∠EAF=45°,∴∠BAE+DAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠MAF=45°；在△EAF与△MAF中,,∴△EAF≌△MAF（SAS）,∴MF=EF,而MF=MD+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF,故答案为BE+DF=EF．11．如图,在直角坐标系中,已知点A（﹣3,0）,B（0,4）,对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36,0）．【解答】解：由原图到图③,相当于向右平移了12个单位长度,象这样平移三次直角顶点是（36,0）,再旋转一次到三角形⑩,直角顶点仍然是（36,0）,则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36,0）．故答案为：（36,0）．三、综合提高题12．观察下列图形,它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？【解答】解：图形（1）是通过一条线段绕点O旋转360°而得到的；图形（2）可以看作是“一个Rt△ABC”绕线段AC旋转360°而得到的；图形（3）将矩形ABCD绕AD旋转一周而得到的．13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C三点在同一条线上,△AOB与△COD是能够重合的图形．求：（1）旋转中心；（2）旋转角度数；（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线,结论还成立吗？为什么？（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；（5）若∠A=15°,则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．【解答】解：（1）∵△AOB与△COD是能够重合的图形,∴旋转中心是点O；（2）根据题意得：旋转角是∠AOD或∠BOC,∴旋转角度数是60°,（3）经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC,△AOE与△DOF,△BOE与△COF 共三对,若A、O、C三点不共线,△AOE与△DOF,△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立,∵若A、O、C三点不共线,∠DOB≠60°,∴∠AOD=∠BOC=60°≠∠DOB,∴△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立；（4）∵△BOC为等腰直角三角形,∴∠BOC=∠AOD=90°,∴旋转角度为：90°,（5）∵180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°,∴旋转角度为120°．14．作图：（1）如图甲,以点O为中心,把点P顺时针旋转45°．（2）如图乙,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°．（3）如图丙,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁,以点B为中心,把△ABC旋转180°．【解答】解：（1）如图甲,点P′为所求；（2）如图乙,线段A′B′为所求；（3）如图丙,△A′B′C′为所求；（4）如图丁,△A′BC′为所求．15．如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．【解答】解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形,∴AB=AD,AK=AM,∠BAK=90°﹣∠DAK,∠DAM=90°﹣∠DAK,∴∠BAK=∠DAM,∴△ABK≌△ADM（SAS）．把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合,∴BK=DM且BK⊥DM．16．如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形,求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中,∵AC=1,AB=x,BC=3﹣x．∴,解得1＜x＜2．（4分）（2）①若AC为斜边,则1=x2+（3﹣x）2,即x2﹣3x+4=0,无解．②若AB为斜边,则x2=（3﹣x）2+1,解得,满足1＜x＜2．③若BC为斜边,则（3﹣x）2=1+x2,解得,满足1＜x＜2．∴或．17．如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6．（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1；（2）线段OA1的长度是 6 ,∠AOB1的度数是135°；（3）连接AA1,求证：四边形OAA1B1是平行四边形．【解答】（1）解：△OA1B1如图所示．（2）解：根据旋转的性质知,OA1=OA=6．∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1 ,∴∠BOB1=90°．∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6, ∴∠BOA=∠OBA=45°,∴∠AOB1=∠BOB1+∠BOA=90°+45°=135°,即∠AOB1的度数是135°．故答案是：6,135°；（3）证明：根据旋转的性质知,△OA1B1≌△OAB,则∠OA1B1=∠OAB=90°,A1B1=AB,∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1 ,∴∠A1OA=90°,∴∠OA1B1=∠A1OA,∴A1B1∥OA．又∵OA=AB,∴A1B1=OA,∴四边形OAA1B1是平行四边形．。
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初中数学精品试卷
3.2 图形的旋转
一、选择题
1. 下面生活中的实例，不是旋转的是（）
A. 传送带传送货物
B. 螺旋桨的运动
C. 风车风轮的运动
D. 自行车车轮的运动
2.中国国旗上有五个五角星，其中四个小五角星可以看作是其中一个旋转得到的，旋转中心是（）
A. 最上面的小五角星中心C. 大五角星中心
B. 最下面的小五角星中心D. 长方形左上角的顶点
3. 将一个三角形旋转，旋转中心应选在（）
A. 三角形的顶点
B. 三角形的外部
C. 三角形的三条边上
D. 平面内的任意位置
4.如图，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 80°得到△ AB′ C′若.∠ BAC=50°，则∠ CAB′的度数为（）
A.30 °
B.40 °
C.50°
D.80°
5.将叶片图案旋转 180°后，得到的图形是（）
6. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说： 60°；丙同学说： 90°；丁同学说： 135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
7. 如果 4 张扑克按图 1 的形式摆放在桌面上，将其中一张旋转180°后，扑克的放置情况如图 2 所示，那么旋转的扑克从左起是（）
A. 第一张
B. 第二张
C. 第三张
D. 第四张
8.如图所示，请你先观察（ 1）～（ 3），然后确定第四张为（）
A. B. C. D.
二、填空题
1.图形的旋转是由 __________和 __________所决定的，旋转不改变图形的
__________．
2. 由 8 时 15 分到 8 时 40 分，时钟的分针旋转的角度为__________，时针旋转的角度为 __________．
3.如图所示，其中的图（ 2）可以看作是由图（ 1）经过 __________次旋转，每次旋转 __________得到的．
4.1～ 9 九个数字中绕中心旋转 180°，仍和原数完全相同的有 __________．
5.如图所示，正方形 CEFG 可以看成正方形 ABCD 经过旋转得到的，它的旋转中心为 __________，旋转的角度为 __________．如果用平移的观点看，正方形
CEFG 是正方形 ABCD 沿__________方向，平移 __________的长度得到的．
6.如图所示，直角三角形 ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，∠ A ＝31°，△ ABC 绕点 B 旋转至△ A’BC’的位置，此时点 C 恰好落在 A’C’边上，且 A’B与 AC 交于点D 点，那么∠ BDC＝__________．
三、解答题
1.如图所示，已知△ ABC 和旋转中心点 O 及点 A 的对应点 D，请画出△ ABC 旋转后的图形△ DEF．
2.如图所示，某战士在训练场上练习射击，发现子弹均击中靶子上的阴影部
分，你知道阴影部分的面积是多少吗？
3.如图所示是两个全等的三角形，△ ABC 经过怎样的变化可以得到△ EDF？
4.如图所示，长方形 ABCD 绕它的顶点 A 旋转，当点 D 旋转到 AC 边上，即在四边形 AB'C'D' 的位置上时，点 B 恰好在边 B'C' 上吗？试说明理由．
5.（1）如图（ 1）所示，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形
①得到图形②，再由图形②得到图形③？（对于平移变换要求出平移的方向和
平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）
（2）如图（ 1）所示，如果点 P、点 P3的坐标分别为（ 0，0），（ 2， 1），写出点 P2的坐标；
（3）如图（ 2）所示是某设计师设计的图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点 O 顺时针依次旋转 90°、 180°、270°，依次画出旋转后得到的图形，你会得到一个美丽的图案，注意涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！
注：方格纸中的小正方形的边长为 1 个单位长度．
参考答案
一、选择题
1.A
2.C
3.D
4.A
5.D
6.B
7.B
8.C
二、填空题
1.旋转中心；旋转角；形状和大小
2.150 ；°12.5 °
3. 5； 60°
4. 1； 8
5. 点 C，180°， AC 方向，线段 AC
6.93 （°提示： BC＝BC’，得旋转角是 62°，即∠ ABD ＝
62°）三、解答题
1.提示：∠ AOD 为旋转角
2.靶子面积的 1/4
3.△ABC 绕点 B 旋转 180°再平移
4.点 B 不在 B'C'上．若点 B 在 B'C' 上，则根据旋转特征有 AB' ＝AB ，∠AB'C' ＝90°，在 Rt△AB'B 中，直角边 AB' 等于斜边 AB 是不可能的．
5.（1）将图形①向上平移 4 个单位长度，得到图形②；将图形②以点 P1为旋转中心顺时针旋转 90°，再向右平移 4 个单位长度得到图形③，或将图形②向右
平移 4 个单位长度，再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形③
（2）P2（4，4）
（3）如图所示：。