杆件的内力分析(1轴向拉伸与压缩).
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轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
杆件的内力分析
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
P n
（N·m）
如果功率P以马力为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
M
B
MC
M
＝
A
637
N
m
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为P千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W P1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
e
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
N
单位：KN
F
N
正
20kN
10kN
30kN
10kN
30kN
20kN
建筑力学 第六章 轴向拉伸与压缩
应力正负号规定
• 正应力：离开截面的正应力为正，指向 截面的正应力为负。
• 切应力以其对分离体内一点产生顺时针 转向的力矩时为正值的切应力，反之， 则为负的切应力 。
• 切应力的说法只对平面问题有效。
（3）. 应力的特征： 1 应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因
此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。
5. 要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： ① 度量分布内力大小的分布内力集度－应力。 ② 材料承受荷载的能力。
大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度 的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内 力集度(应力)最大处开始。
（2）应力的表示： F1 截面
F
△A上的内力平均集度为:
–
C
D
F
轴向拉压杆件横截面上的应力
一. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
遇到向右的F ， 轴力 F N 增量为负F。
如果左端是约束，需先求出约束反力（约束反力也是外力）
8kN
5kN
3kN
8kN 3kN
5kN +
8kN – 3kN
如果杆件由几段不同截面的等直杆构成，轴力的计算方 法和单一截面的轴力计算方法一样。
O
B
C
4F 3F
D 2F
杆件轴向拉伸与压缩_图文
极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而 不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号 σu表示，其值由实验确定。
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图
§3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。
2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。
教材分析:1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点；2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。
教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。
以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。
教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。
1．外力和内力的概念如图3-1a所示的构件在力F、B F、P F的作用下处于平A衡。
无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。
为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。
在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。
在材料力学中，该附加内力简称内力。
2．截面法计算内力为了确定构件的承载能力，需要分析内力。
为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。
利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。
3．轴向拉伸和压缩的概念直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。
如图3-2a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。
图3-2b的螺旋夹具，旋紧螺杆加紧工件后，螺杆的上段受压。
第2学时教学内容：本次课讲解拉压变形杆件的轴力计算方法。
分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的轴力，根据平衡条件建立轴力与外力的关系。
第3章 杆件的内力分析
50
基本概念：
外力、内力、内力分量、轴力、剪力、 弯矩、扭矩、内力函数、内力图、 轴力、 扭转、平面弯曲。
内力图的作法及特点：
(1)直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图--轴力图
剪力 Fy 0 RA Q 0
Fb Q RA l
弯矩
对截面m-m上的形心O取矩，得：
Mo 0
M RA x 0
Fb M RA x x l
40
按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
41
③ 剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任意 一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。
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24
(3)力偶矩的计算及横截面上的内力
1)外力偶矩
直接计算:
25
按输入功率和转速计算
P Fv
v R P F R T
2n 2n Tn P T T ＝T ＝ 60 60 9.55
2n n 60 30
30 P P T 9.55 n n
PC 15 TC 9.55 9.55 0.478 n 300
kN· m
PD 25 m TD 9.55 9.55 0.796 kN· n 300
(3)求出各段的扭矩 BC段：Tn1-TB=0， Tn1=TB=0.318 kN· m； CA段：Tn2-TB-TC=0，Tn2=TB+TC=0.796 kN· m； AD段：Tn3+TD=0， Tn3=-TD=-0.796 kN· m。
第3章 杆件的内力分析
外力与内力的平衡 内力分量 内力分析与内力图
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
轴向拉(压)杆的内力
轴向拉（压）杆的内力
为了简捷、直观、正确地作出内力 图，可以假想用一个刚性屏蔽面将杆件 的弃去部分屏蔽起来，免去用假想截面 将杆件切开的过程，而直接对未屏蔽的 部分进行受力分析，根据未屏蔽部分的 外力求出截面上的内力大小及正负。
轴向拉（压）杆的内力
3. 轴力图
当杆件受到多个沿轴线的外力作用 而处于平衡状态时，杆件各横截面上轴 力的大小、方向将有差异。为直观地表 示各横截面轴力变化的情况，所画出轴 力沿轴线变化的图形称为轴力图。
(2)取AC段为研究对象，根据平衡可知，在留下部分 的1—1截面上的内力必然也作用在杆的轴线上，即为轴 力。由平衡方程∑Fix=0可得FN－P=0，即FN=P。
(3)取CB段为研究对象，同理可得F′N=P。显然，FN 和F′N构成作用力和反作用力的关系，故求得FN之后，F′N 即可直接写出。
轴向拉（压）杆的内力
图5-2
轴向拉（压）杆的内力
1.2 轴力 1. 轴力的概念
轴力是指作用线在轴 线上的内力，用FN或N表 示。如图5-3（a）所示的 拉杆AB，采用截面法求杆 件某横截面杆的内力
工 程 力 学轴向拉伸和压缩第5章(1)用1—1截面将 杆件假想地截为两段，如图5-3（b）、（c）所示。
轴向拉（压）杆的内力
【例5-1】
轴向拉（压）杆的内力
图5-4
轴向拉（压）杆的内力
（3）作轴力图。 杆的轴力图如图5-4（f）所示。 画轴力图应注意：轴力图应封闭；图中 直线表示截面位置对应的轴力数值，因此， 应垂直于轴线，而不是斜线，画时亦可省略； 轴力图应标出轴力数值、正负号、单位。
工程力学
综上所述，某截面上的轴力在数值上等于截面任意 一侧的轴向外力的代数和，即
FN=左或右侧∑Fi （5-1） 式中，FN为拉（压）杆某截面上的轴力；Fi为轴向 外力。 为了明确表示杆件在横截面上是受拉还是受压，并 保证任取一侧所求结果相同，通常规定轴力带有正负号， 即使截面受拉的轴力为正、受压的轴力为负。同时规定 使截面受拉的外力为正，受压的外力为负。
工程力学6
剪力方程 FQ = FQ(x) —剪力方程 M = M(x) —弯矩方程 弯矩方程
画法：以与梁轴线平行的x坐标表示横截面位 置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯 矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画 在轴的下方。
如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F作用， 尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。 L a F
解：1)由外力偶矩的计 1)由外力偶矩的计 1) 算公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为 2)分别求1 截面上的扭矩， 分别求 BC,CA,AD段轴的扭矩 段轴的扭矩。 BC,CA,AD段轴的扭矩。
q(x)>0,抛物线，开口向 上 q(x)<0,抛物线，开口向 下 FQ =0,抛物线有极值
斜率有突变 图形成折线
有突变 突变量=M
例题6 已知外伸梁， 例题6-5 已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m， ， ， a=2m。画剪力图和弯矩图 。 解： 求A、B处支反力
ΣM B (F) = 0， FAy 3a M 3qa a / 2 = 0
3.M、FQ与q的关系
取x处一小段dx长度梁 由平衡方程得： ∑Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 ∑MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后， 得
M、FQ与q的关系
dFQ (x) dx
= q(x)
dM dx
= FQ (x)
d 2M dx 2
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
图5-6
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使表用示规，将范即△说FR明与 △ A的比值称为微小面积 上△ A的平均应力，用 pm
一般情况下，内力在截面上的分布并不均匀，为了更精确地描述
内力的分布情况，令 △ A趋近于零，由此得到
在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，简称帕（Pa）。工程
构件所受应力通常较大，故常采用更大的应力单位，如兆帕（MPa）
工程构件所受外力通常比较复杂，各段的内力也可能各不相同，
这时需分段用截面法计算内力。为了直观地表达内力随横截面位置的
变化情况，用平行于构件轴线的坐标表示各横截面的位置，用垂直于
构件轴线的坐标表示内力的数值，将构件各段所受内力按比例绘制到
此坐标系上所形成的图形称为内力图。借助内力图可直观地确定出构
件上各段的内力情况，并可以很容易地确定出最大内力的大小、方向
验段，其长度l称为标距。根据标距l与杆直径d的比例关系，将试样分
成两种：长试样 和短试样 。
图5-12
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.6规.1范说低明碳钢拉伸时的力学性能
低碳钢是工程上广泛使用的金属材料，它在拉伸时表现出来的
力学性能具有典型性。以Q235钢为例，拉伸变形时，试样的拉力 F
工程力学
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.1规范轴说向明 拉伸与压缩变形的概念
产生轴向拉伸或轴向压缩变形的构件统称为杆件。分析杆件在
轴向拉压载荷作用下的内力、应力和变形以及杆的强度问题，具有典
型性和普遍意义。
在工程结构和机械装置中，经常会遇到承受拉伸或压缩的构件。
例如悬臂吊车的斜拉杆BC和横梁AB，在重力的作用下，杆BC受到
轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解： 求OA 段内力FN1，设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上，s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上， t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变；
2）突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN
材料力学轴向拉伸与压缩
轴向拉压变形
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
轴向拉伸与压缩
承受载荷F和变形ΔL之间的
关系，可以绘制出该材料的 拉伸应力应变σ-ε曲线。
低碳钢
曲线分析：
ob段—弹性阶段 (比例极限σp弹性极限σe )
bc段—屈服阶段
屈服强度 s
cd段—强化阶段 抗拉强度 b de段—缩颈断裂 阶段
1.材料的弹性模量E为：_102/0.5_GPa 2.屈服点σs为：_240_MPa 3.材料的抗拉强度σb为：_380_Mpa 4.强度计算时，若安全系数取为2，则材料的许用应力 [σ]=__240/2_MPa 注意计算许用应力时： 塑性材料： 屈服极限/安全系数 脆性材料： 抗拉强度极限/安全系数
例：一杆件受力如图，F1=2KN，F2=1KN， F3=3KN，（1）画出轴力图；(2)如已知杆直径 d=10mm，材料的许用正应力[σ ]＝60MPa，试 校核强度
解： 1、计算各段轴力：
（找节点，相邻两外力作用点间取截面）
FN1=2KN， FN2=1KN， FN3=4KN 2、画出轴力图 3、校核强度
FN F
方向：拉为正、压为负
轴向拉伸时杆的内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力
14
三、拉(压)杆的轴力和轴力图
2.轴力图 轴力图：轴力随横截面变化的曲线，称为轴力 图。
m
杆轴线为横坐标表示 横截面位置，
F
m FN
F
垂直于轴线的纵坐标 表示轴力的大小
x
15
例1： 已知F=10KN，受力如图所示，试用截面 法 求图示杆件指定截面1－1、2－2、3－3 的轴力.
24
例：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出 轴力图。若杆件较细段横截面面积 A1 200mm2 ，较粗 E， 200GPa L 100 mm 段 A2 300 ，材料的弹性模量 mm2 求杆件的总变形。
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❖ 注：在使用截面法求内力时，构件在被截开前，静力 学中的力系等效代换及力的可传性是不适用的。
❖ 截面法是材料力学分析内力的基本方法。
2、轴向拉伸与压缩
❖主要内容
▪ 2.1 轴向拉压举例 ▪ 2.2 截面法与轴力 ▪ 2.3 拉压杆横截面上的应力 ▪ 2.4 轴向拉压的变形分析 ▪ 2.5 拉伸和压缩时材料的力学性能 ▪ 2.6 轴向拉压的强度条件
2103 4 ( 3010 -3
)2
2.8MPa
C 例2-3 图示为一悬臂吊车， BC为
实心圆管，横截面积A1 = 100mm2，
30
AB为矩形截面，横截面积A2 =
B
200mm2，假设起吊物重为
A
Q = 10KN，求各杆的应力。 首先计算各杆的内力：
需要分析B点的受力
X 0
- F1 cos 30 + F2 0
30
B A
y
F1
F2
x
Q
AB杆： 2
N2 A2
- F2 A2
- 17.32KN 200mm 2
-86.6 MPa
课堂练习
1、已知实心圆截面阶梯轴受力P1 = 20KN， P2 = 50KN，AB 段直径d1 = 20mm，BC段直径d2 = 30mm，求两段杆横截面的 正应力。
P
P
P
P
说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长量是相同的
根据前面的实验，我么可以得出结论，即横 截面上每一点存在相同的拉力
P
N
如果杆的横截面积为：A
N
A
例2-1 图示矩形截面（b h）杆，已知b = 2cm ，
h=4cm ，P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求AB
N'
N'=P
N
x
SX=0：+N-P=0
N=P
x
II
P
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
2P
A
2P
1
PB
1 N1
2
CP
2
x
X 0 N1 - 2P 0
2P
P
N1 2P
N2
X 0 N2 + P - 2P 0
N2 P
2、轴力与轴力图
拉压杆的内力称为轴力，用 N 表示
轴力的正负号规定： 轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，取 正；反之取负。
轴力沿横截面的分布图称为轴力图：
为了表明横截面上的轴力沿轴线变化的情 况，选定一定比例尺，以平行于杆轴线的坐标 表示横截面所在的位置，以垂直于杆轴线的坐 标表示横截面上轴力的数值，这样绘出的图形 称为轴力图。
I
II
I
50kN
150kN
100kN
50kN
NI
I
II
50kN
+
N
-
100kN |N|max=100kN
❖ 材料力学中，采用截面法研究杆的内力
1、截面法
切开：沿所求截面假想地将杆件切开； 取出：取出其中任意一部分作为研究对象； 替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用； 平衡：列出平衡方程求出内力。
截面法的步骤： 注意：外力的正负号取决于坐
标，与坐标轴同向为正， 反之 为负。
P
I
II
P
P
I
SX=0：-N'+P=0
1 f20 4kN
1
2 f10 6kN
3kN 2
5kN
N 1kN
+
-
1kN
3 f30 2kN
3
2kN
+
|N|max=5kN
f20
f10
4kN
6kN
3kN
f30 2kN
1
N1 A1
5103 4 ( 2010 -3
)
2
15.9MPa
2
N2 A2
-1103 4 (1010-3 )2
-12.7MPa
3
N3 A3
机械工学
引言
❖主要内容
▪ 内力的概念及求解方法 ▪ 轴向拉伸或压缩 ▪ 剪切或挤压 ▪ 圆轴的扭转 ▪ 直梁的弯曲
❖重点
▪ 轴向拉伸或压缩、直梁的弯曲、剪切或挤压
❖难点
▪ 直梁的弯曲
❖授课计划
▪ 授课时数3.5学时， 累计 3.5学时
1、内力的概念及求解方法
1.1 内力的概念
外力—构件所承受的载荷及约束反力； 内力—构件在外力作用下将产生变形，其 各部分之间的相对位置将发生变化，从而产生 构件内部各部分之间的相互作用力。这种由外 力引起的构件内部的相互作用力，称为内力。 这种34 内力的大小以及它在构件内部的分布 方式随外力和变形的改变而变化，并与构件的 强度、刚度和稳定性密切相关，内力分析是材 料力学的基础。
1.2 内力的求解方法
❖截面法：
▪ （1）在需要求内力的截面处，假想用一垂直于轴 线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一部分 作为研究对象，称之为分离体；
▪ （2）将弃去的另一部分对保留部分的作用力用截 面上的内力代替；
▪ （3）对保留部分(分离体)建立平衡方程式，由已 知外力求出截面上内力的大小和方向。
2.1 轴向拉压举例
曲柄连杆机构
连杆
特点：
ω
连杆为直杆
P
外力大小相等 方向相反沿杆 轴线
杆的变形为轴向伸 长或缩短
等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向 拉压。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力， 力的作用线与杆轴线重合
2.2 截面法与轴力
❖ 为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了 解杆的内力情况
求轴力的简化方法：
I NI=50kN
IINIIFra bibliotek100kN
II NII= -100kN
某截面的轴力等于该截面一侧所有外力的代数 和；
外力指向截面为负；背离截面为正。
N1 10 kN N2 -5 kN N3 -20 kN
2.3 拉压杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。
在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
1 Pa 1 N / m2
1 MPa 1 N / mm 2 106 Pa
工程上经常采用兆帕（MPa）作单位
2、拉压杆横截面上的应力
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆 件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道 变形的规律，我们可以做一个实验
y
F1
F2
x
Y 0
F1 cos60 - Q 0
Q
F1 2Q 20KN
F2
1 2
3F1 17.32KN
C
由作用力和反作用力可知：
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1
AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
最后可以计算的应力：
BC杆： 1
N1 A1
F1 A1
20KN 100mm 2
200MPa
段和BC段的应力
A P1
B P2
C
P3 x
P1
N1 - N1 + P1 0
N1 P1 20KN
1
N1 A1
20 1000 N 20 40mm 2
25 N
/ mm 2
25 MPa
压应力
N2 - P3 0
N2
P3
N2 P3 60 KN
2
N2 A2
75MPa
压应力
例2-2:做轴力图并求各个截面应力
❖ 截面法是材料力学分析内力的基本方法。
2、轴向拉伸与压缩
❖主要内容
▪ 2.1 轴向拉压举例 ▪ 2.2 截面法与轴力 ▪ 2.3 拉压杆横截面上的应力 ▪ 2.4 轴向拉压的变形分析 ▪ 2.5 拉伸和压缩时材料的力学性能 ▪ 2.6 轴向拉压的强度条件
2103 4 ( 3010 -3
)2
2.8MPa
C 例2-3 图示为一悬臂吊车， BC为
实心圆管，横截面积A1 = 100mm2，
30
AB为矩形截面，横截面积A2 =
B
200mm2，假设起吊物重为
A
Q = 10KN，求各杆的应力。 首先计算各杆的内力：
需要分析B点的受力
X 0
- F1 cos 30 + F2 0
30
B A
y
F1
F2
x
Q
AB杆： 2
N2 A2
- F2 A2
- 17.32KN 200mm 2
-86.6 MPa
课堂练习
1、已知实心圆截面阶梯轴受力P1 = 20KN， P2 = 50KN，AB 段直径d1 = 20mm，BC段直径d2 = 30mm，求两段杆横截面的 正应力。
P
P
P
P
说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长量是相同的
根据前面的实验，我么可以得出结论，即横 截面上每一点存在相同的拉力
P
N
如果杆的横截面积为：A
N
A
例2-1 图示矩形截面（b h）杆，已知b = 2cm ，
h=4cm ，P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求AB
N'
N'=P
N
x
SX=0：+N-P=0
N=P
x
II
P
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
2P
A
2P
1
PB
1 N1
2
CP
2
x
X 0 N1 - 2P 0
2P
P
N1 2P
N2
X 0 N2 + P - 2P 0
N2 P
2、轴力与轴力图
拉压杆的内力称为轴力，用 N 表示
轴力的正负号规定： 轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，取 正；反之取负。
轴力沿横截面的分布图称为轴力图：
为了表明横截面上的轴力沿轴线变化的情 况，选定一定比例尺，以平行于杆轴线的坐标 表示横截面所在的位置，以垂直于杆轴线的坐 标表示横截面上轴力的数值，这样绘出的图形 称为轴力图。
I
II
I
50kN
150kN
100kN
50kN
NI
I
II
50kN
+
N
-
100kN |N|max=100kN
❖ 材料力学中，采用截面法研究杆的内力
1、截面法
切开：沿所求截面假想地将杆件切开； 取出：取出其中任意一部分作为研究对象； 替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用； 平衡：列出平衡方程求出内力。
截面法的步骤： 注意：外力的正负号取决于坐
标，与坐标轴同向为正， 反之 为负。
P
I
II
P
P
I
SX=0：-N'+P=0
1 f20 4kN
1
2 f10 6kN
3kN 2
5kN
N 1kN
+
-
1kN
3 f30 2kN
3
2kN
+
|N|max=5kN
f20
f10
4kN
6kN
3kN
f30 2kN
1
N1 A1
5103 4 ( 2010 -3
)
2
15.9MPa
2
N2 A2
-1103 4 (1010-3 )2
-12.7MPa
3
N3 A3
机械工学
引言
❖主要内容
▪ 内力的概念及求解方法 ▪ 轴向拉伸或压缩 ▪ 剪切或挤压 ▪ 圆轴的扭转 ▪ 直梁的弯曲
❖重点
▪ 轴向拉伸或压缩、直梁的弯曲、剪切或挤压
❖难点
▪ 直梁的弯曲
❖授课计划
▪ 授课时数3.5学时， 累计 3.5学时
1、内力的概念及求解方法
1.1 内力的概念
外力—构件所承受的载荷及约束反力； 内力—构件在外力作用下将产生变形，其 各部分之间的相对位置将发生变化，从而产生 构件内部各部分之间的相互作用力。这种由外 力引起的构件内部的相互作用力，称为内力。 这种34 内力的大小以及它在构件内部的分布 方式随外力和变形的改变而变化，并与构件的 强度、刚度和稳定性密切相关，内力分析是材 料力学的基础。
1.2 内力的求解方法
❖截面法：
▪ （1）在需要求内力的截面处，假想用一垂直于轴 线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一部分 作为研究对象，称之为分离体；
▪ （2）将弃去的另一部分对保留部分的作用力用截 面上的内力代替；
▪ （3）对保留部分(分离体)建立平衡方程式，由已 知外力求出截面上内力的大小和方向。
2.1 轴向拉压举例
曲柄连杆机构
连杆
特点：
ω
连杆为直杆
P
外力大小相等 方向相反沿杆 轴线
杆的变形为轴向伸 长或缩短
等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向 拉压。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力， 力的作用线与杆轴线重合
2.2 截面法与轴力
❖ 为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了 解杆的内力情况
求轴力的简化方法：
I NI=50kN
IINIIFra bibliotek100kN
II NII= -100kN
某截面的轴力等于该截面一侧所有外力的代数 和；
外力指向截面为负；背离截面为正。
N1 10 kN N2 -5 kN N3 -20 kN
2.3 拉压杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。
在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
1 Pa 1 N / m2
1 MPa 1 N / mm 2 106 Pa
工程上经常采用兆帕（MPa）作单位
2、拉压杆横截面上的应力
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆 件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道 变形的规律，我们可以做一个实验
y
F1
F2
x
Y 0
F1 cos60 - Q 0
Q
F1 2Q 20KN
F2
1 2
3F1 17.32KN
C
由作用力和反作用力可知：
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1
AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
最后可以计算的应力：
BC杆： 1
N1 A1
F1 A1
20KN 100mm 2
200MPa
段和BC段的应力
A P1
B P2
C
P3 x
P1
N1 - N1 + P1 0
N1 P1 20KN
1
N1 A1
20 1000 N 20 40mm 2
25 N
/ mm 2
25 MPa
压应力
N2 - P3 0
N2
P3
N2 P3 60 KN
2
N2 A2
75MPa
压应力
例2-2:做轴力图并求各个截面应力