02.杆件的轴向拉伸与压缩

12.7MPa
3
S3 A3
2103 4 (30103 )2
2.8MPa
四、受拉（压）直杆内的应力(续4)
3.简单拉
伸直杆
斜截面 P
A
m
n
α pα
续
P
x
上的应
力
m
为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想地用
截面 m-m 将杆分成两பைடு நூலகம்分。并将右半部分去掉。
该截面的外法线用 n 表示，法线与轴线的夹角为：α。
一、变形与内力的概念
1．弹性变形与塑性变形
(1)弹性变形:在外力作用下，物体发生变形，外力去除后，变形可 完全恢复，这种在外力去除后可完全恢复的变形，称 弹性变形。
(2)弹性:在外力去除后，物体具有消失变形的性质，称为弹性。
(3)塑性变形:在外力作用下，物体发生变形，外力去除后，变形不 能完全恢复，这种在外力去除后无法恢复的变形，称 塑性变形。
材料力学的基本知识（续3）
五.杆件的几种基本变形形式
1 .轴向拉伸或压缩
2. 剪切
A
B
A
B
C
B
C
B
3. 扭转
4 .弯曲
本章内容
§2-1 弹性体的变形与内力 §2-2 材料的力学（机械）性能
§2-1 弹性体的变形与内力
一、变形与内力的概念 二、变形的度量 三、直杆受拉（压）时的内力 四、受拉（压）直杆内的应力
负号表示纵向与横向 变形的方向相反
P 1
EA E
E
E
最重要的两个材料弹性常数，可查表 4-1(书P34)。
§2-2材料的力学性能
一、拉伸试验 二、温度对材料的力学性能的影响 三、金属的缺口冲击试验 四、硬度试验 五、弯曲试验
材料的拉伸试验
在设计构件时，必须考虑合理选用材料问题。 而合理选用材料就必须了解材料的性能。材料 的力学性能包括物理性能、力学性能（机械性 能）、化学性能（耐腐蚀性能）和加工工艺性 能等。其中，材料的力学性能是本章的研究重 点。
上式表达了拉（压）杆的正应 力与线应变之间的关系，它是 研究构件的应力与变形的基本 理论之一。
2、横向变形
P
dP
d d1 d
l0
P 同理，令
P
d1
l
d1 d d
dd
为横向线应变
实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：
称为材料的横向应变系数或泊松
比，是一个常数。
一、变形与内力的概念（续2）
3.内力的概念：
物体在未受外力作用时，组成物体的各质点（分子或原子）之 间本来就存在相互作用的力。
受外力作用后物体内部相互作用力的情况要发生变化，同时 物体要产生变形，这种由外力引起的物体内部相互作用力的变化量
称为附加内力，简称内力。
由此可见，内力是由外力所引起的，是伴随着弹性变形而产生 的，它的作用趋势是“力图”使各质点恢复其原来位置。
根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截
面上各点受力也相同。
设杆的横截面面积为A，
则斜截面面积为：A
A
cos
由杆左段的平衡方程 X 0
p A P 0
p
P A
P cos
A
cos
这是斜截面上与 轴线平行的应力
4.斜截面 上的P 正
n
pα
应力和
剪应力
τα
t
将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
量，单位与应力相同。
显然，纵向变形与E 成反比，也与横截面积A 成反比
EA 称为抗拉刚度。
为了说明变形的程度，令 l l0 l
l0
l0
ε称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩
短为负号
l Pl0 EA
称为胡克（虎克）定律
l l0 l
l0
l0
E tg
θ
P 1
EA E
E
也称为胡克定律
P
P
l
P
P
l1
二、变形的度量（续1）
2.线应变的概念：
实验表明，用同样材料制成的杆件，其变形量与应力 的大小及杆件原长有关。截面积相同、受力相等的条件 下，杆件越长，绝对伸长越多。
为了确切地表示变形程度，引入单位长度上的伸长量：
l
l
式中ε称为相对伸长或线应变，它是无因次量，杆受拉伸伸长时
规定为正值，杆受压缩短时定为负值。
系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线。
三、直杆受拉（压）时的内力(续5）
例：图示的等截面直杆，受轴向力F1=15KN，F2=10KN的作用。
求出杆件1-1、2-2截面的轴力，并画出轴力图。
解：(1)外力分析 先解除约束，
画杆件的受力图。
(2)内力分析外力FR，F1，F2将杆件分
为AB段和BC段，在AB段，用1-1截面 将杆件截为两段，取左段为研究对象
cos
2
sin 2
5.正应力和剪应力的效应：
（1）最大剪应力：
由上公式可知：受拉（压）直杆内，最大正应力位于杆的横截面内；最 大剪应力位于杆的45°和135°斜截面内。
（2）应力效应：
a 正应力所起的作用是要把两个相邻截面拉开；
b 剪应力所起的作用是使两个相邻的斜截面有产生相对错动的趋势。
一旦斜截面上的最大剪应力增大到某一数值时(45 °和135° ) ，在这些斜截面 之间均将发生相对错动，这种错动称为滑移。塑性变形就是斜截面间产生滑 移的宏观表现)。
材料的力学性能是通过各种力学试验如拉伸、 压缩、弯曲、冲击、疲劳、硬度等得到的。
一．拉伸试验
1.杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。
杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线 的几何图形（横截面）表示。 （1）轴线是直线的杆，称为直杆； （2）轴线是曲线的杆，称为曲杆； （3）各横截面相同的直杆，称为直杆。
材料力学的主要研究对象就是等直杆。
材料力学的基本知识（续1）
二.变形：
工程中的构件，在正常使用状态下，一般不允 许出现塑性变形。
一、变形与内力的概念（续1）
2.弹性变形和塑性变形的区别：
（1）外力去除后，弹性变形可完全恢复；塑性变形不可 恢复。
（2）弹性变形量随外力的增大而增大，而塑性变形却可 在恒定的外力下进行。
（3）塑性变形总是在发生了一定量的弹性变形之后出现。
P
P
P
P
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅仅
沿轴线方向平移一个段距离。也就是杆件在变形过程中横截面始终 为平面。实质：发生均匀的伸长变形
四、受拉（压）直杆内的应力(续2)
根据前面的实验，我么可以得出结论，即横截面上每
一点存在相同的拉力。
P
S
如果杆的横截面积为：A
S
A
注意：式中S为所讨论截面上的轴力，当沿杆的轴线由多 个外力作用时，不同横截面上的应力不一定相同。
右段对截面的作用力用FN1来替。
( （3）画轴力图。
四.受拉（压）直杆内的应力
1.应力的概念:
受力构件截面单位面积上的内力称为应力，它的大小可以表示 内力分布的密集程度。用相同材料制成的粗细不同的杆件，在相等的拉力作
用下，细杆易断，就是因为横截面上的正应力较大的缘故。
(1)在某个截面上:
与该截面垂直的应力称为正应力。 与该截面平行的应力称为剪应力。
四、受拉（压）直杆内的应力(续3)
例：求各
个截面应力
解：
S1 6 2 3 5kN S2 2 3 1kN S3 2kN
1 f20 4kN
1
2 6kN
2
f10 3kN
3 f30 2kN
3
1
S1 A1
5103 4 (20103)2
15.9MPa
2
S2 A2
1103 4
(10103 )2
外力增大时，内力将随之增大。但是，内力的增加总有一定限 度，到达这一限度，构件就要发生破坏（构件断裂或出现大量塑性 变形）。
二、变形的度量
1.绝对伸长量:
杆件在拉伸或压缩时，其长度将发生改变，若杆件原长为L，受 轴向拉伸后其长度变为L+△L（或为L1），△L（△L＝L1－L）称 为绝对伸长量。绝对伸长量只反映杆的总变形量，但不能说明杆 的变形程度。
（2）均匀性假设：假设固体材料各部分的力学性能完全相同。 （3）各向同性假设：固体材料沿各个方向的力学性能完全相同。 （4）小变形假设：构件因外力作用产生的变形远小于构件的
原始几何尺寸。
力料材学的基本知识（续2）
三.材料的力学性能
指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。
四.构件的承载能力
1.强度---构件抵抗破坏的能力； 2.刚度---构件抵抗变形的能力； 3.稳定性---构件保持原有平衡状态的能力。
称为横向变形。
P
五、虎克定律
1.纵向变形:
l l l0 P
P
实验表明（当杆的外
力不超过某一限度时）
l0
l Pl0 A
P
P
变形和拉力成正比
l
引入比例系数E（材料的弹性模量），且拉压杆的轴
力等于拉力可以得出以下公式，称为：虎克定律。
l Pl0 EA
l Plo EA
称为：虎克定律
E 体现了材料的性质，称为材料的拉伸弹性模
三、直杆受拉（压）时的内力(续2）
4.轴力的计算--截面法
（1） 截面法求内力步骤
a 截——沿欲求内力的截面上假想用一截面把杆件分为两段； b 弃——抛弃一段(左段或右段)，保留另一段为研究对象； c 代——将抛弃段对保留段截面的作用力，用内力FN代替； d 平——列平衡方程式求出该截面内力的大小。
斜截面的外法线仍然为 n，斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
沿切线方向的应力为剪应力
利用投影关系，
p cos cos2
（为横截面正应力）
p
sin
sin
cos
2
sin 2
四、受拉（压）直杆内的应力(续5)
p cos cos2
p
sin
sin
三、直杆受拉（压）时的内力(续1）
2.轴力的概念： 直杆受拉（压）时产生的内力称为轴力。
为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆的内力情况：
材料力学中，采用截面法研究杆的内力
3.截面法：
将杆件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分，保留另 一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部分对保留部分的
作用，建立保留部分的静力平衡方程求出内力。
化工设备机械基础
第二章 杆的拉伸与压缩
所谓金属的力学性能就是指金属在受到外力 作用时，抵抗变形的能力及其破坏规律。之所以 要研究金属材料的力学性能，是为了在保证安全 的前提下，尽可能经济地使用它们。
材料力学的基本知识
一.材料力学的研究模型
材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中 的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。
记为： 记为：
(2)应力的单位：(Pa)
1 Pa 1 N / m2
1 MPa 1 N / mm 2 106 Pa
工程上经常采用兆帕（MPa）作单位
四.受拉（压）直杆内的应力(续1)
2.拉压杆横截面上的应力:
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横截面上每一点的伸长量是相同的
（3）名词解释：“剪力双生(剪力互等)”
任何两个互相垂直截面上的 剪力总是大小相等，其方向均指向（或均离开）
两截面的交线。 （书P33）
四、受拉（压）直杆内的应力(续5)
P
6.轴向拉压的变形分析：
细长杆受拉会变长变细，受压会变短变粗。
（1）长短的变化，沿轴线方向，
d-d
称为纵向变形。
L+L L
d
（2）粗细的变化，与轴线垂直，
二、变形的度量（续2）
3.一点处的线应变： y lim x d x x0 x dx
研究非均匀变形时用
x
A
B
z
Δx
Δx+Δδx
A
B’
三、直杆受拉（压）时的内力
1.轴向拉压 ：
等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为： 轴向拉压。
外力大小相等，方向相反，沿杆轴线 杆的变形：轴向伸长或缩短
构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象。 1.变形的分类：（变形固体的变形通常可分为两种）
（1）弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形。 （2）塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形。
材料力学研究的主要是弹性变形
2.变形固体的基本假设：
（1）连续性假设：假设组成固体的物质在其整个固体体积的 几何空间内是密实和连续的。
（1）轴力的大小仅与所受外力的大小和分布有关；
（2）轴力的大小与截面尺寸、形状以及构件的材料无关。
P
Q'
m
F
P
m
作用在m-m截面上的轴力
Sm=P-F=P+Q’
（ 例题：“辅3”—5)
三、直杆受拉（压）时的内力(续4）
6.轴力图
用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN 表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标
注意
1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不成立； （变形体，不是刚体）
2）截面不能切在外力作用点处——要离开作用点。
三、直杆受拉（压）时的内力(续3）
5.轴力的计算 （参见“辅3”—5）
受轴向外力作用的的直杆，其任意截面上的轴力，在数值上 等于该截面一侧（任意一侧）所有轴向外力的代数和。背向该截 面的外力取正值，指向该截面的外力取负值。