材料力学-拉、压杆件的变形分析
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极限应力值——强度指标
颈缩与断裂
某些韧性材料(例如低碳 钢和铜)，应力超过强度极限 以后，试样开始发生局部变 形，局部变形区域内横截面 尺寸急剧缩小，这种现象称 为颈缩(neck)。出现颈缩之后， 试样变形所需拉力相应减小， 应力-应变曲线出现下降阶段， 直至试样被拉断。
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
何斌
Page 26
材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
何斌
Page 27
材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
韧性指标
通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标—— 延伸率和截面收缩率：
应变硬化
应力超过屈服应力或条 件屈服应力后，要使试样继 续变形，必须再继续增加载 荷。这一阶段称为强化 (strengthening)阶段。这一阶 段应力的最高限称为强度极
限 (strength limit)， 用 σb表
示。
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材料力学 何斌
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
2、横向变形：
L
a a1 a, b b1 b
横向线应变： a b
a
b
在弹性范围内：
横向变形系数（泊松比）
L1
b1 b
a1 a
(Poisson ratio) 为材料的另一个弹性常数， 泊松比为无量纲量。
AAB ＝ 10×102 mm2 ， BC 段 杆 的 横 截 面 面 积 ABC ＝ 5×102 mm2；FP＝60 kN；铜的弹性模量Ec＝100 GPa，钢的弹性 模量Es＝210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。
试求：直杆的总变形量。
何斌
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
x
Δ l l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆
件各处均匀变形的情形。
对于各处变形不均匀的情形，
必须考察杆件上沿轴向的微段
dx的变形，并以微段dx的相对变形
作为杆件局部的变形程度。 FPdx
x
Δdx ＝ dx
EA x
dx
x
E
无论变形均匀与否，正应力与正应变的关系都是相同的。
极限应力值——强度指标
颈缩与断裂
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
极限应力值——强度指标
对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。 而且，在大多数脆性材料拉伸的应力-应变曲线上，都没有明显的直 线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象，因而只有断 裂时的应力值——强度极限。
拉、压杆件的变形分析
L
1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
（1）轴向线应变： L
L
L1
（2）虎克定律:
在弹性范围内, (当 p时)
b1 b
E
FN
A
L FN L
l
l
a1 a
（虎克定律的另一种表达方式）
EA
EA－抗拉（压）刚度
l－伸长为正，缩短为负
何斌
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材料力学
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
Simon Denis Poisson Poisson’s ratio （1829）
Foam structures with a negative Poisson's ratio, Science, 235 1038-1040 (1987).
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图 拉、压杆件横截面上的应力 拉、压杆件的强度设计 拉、压杆件的变形分析 拉伸与压缩时材料的力学性能 结论与讨论
何斌
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
单向压缩时材料的力学行为
材料压缩实验，通常 采用短试样。低碳钢压缩 时的应力-应变曲线与拉伸 时的应力-应变曲线相比较， 拉伸和压缩屈服前的曲线 基本重合，即拉伸、压缩 时的弹性模量及屈服应力 相同，但屈服后，由于试 样愈压愈扁，应力-应变曲 线不断上升，试样不会发 生破坏。
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
应力-应变曲线
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准 试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使试样承受 轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受 的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力-应变曲线 (stress-strain curve)。
例题6
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
应用截面法，可以确定AD、D
BC段杆横截面上的轴力： FNAD＝－2FP＝－120 kN； FNDE＝FNEB＝－FP＝－60 kN； FNBC＝FP＝60 kN。
elasticity or Young modulus），用E 表示。
对于应力-应变曲线初始阶段的非直线 段，工程上通常定义两种模量：
切线模量（tangent modulus），即曲线上 任一点处切线的斜率，用Et表示。
割线模量（secant modulus），即自原点 到曲线上的任一点的直线的斜率，用Es表示。
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
Negative Poisson's ratio
何斌
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材料力学
例题6
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、 B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积
GB/T6397-1986《金属拉伸试验试样》
标距 l
wenku.baidu.com
d
标距 l
l 10d 或 l 5d
l 11.3 A 或 l 5.65 A
d
何斌
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
应力-应变曲线
脆性材料拉伸时的 应力-应变曲线
韧性金属材料拉伸 时的应力-应变曲线
工程塑料拉伸时的 应力-应变曲线
＝l1 l0 100%
l0 ＝ A0 A1 100%
A0
其中，l0为试样原长（规定的标距）；A0为试样的初始横 截面面积；l1和A1分别为试样拉断后长度(变形后的标距长 度)和断口处最小的横截面面积。
延伸率和截面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越 好。工程上一般认为δ>5％者为韧性材料； δ＜5％者为脆性 材料。
材料力学3
2020年9月12日星期六
材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图 拉、压杆件横截面上的应力 拉、压杆件的强度设计 拉、压杆件的变形分析 拉伸与压缩时材料的力学性能 结论与讨论
何斌
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
对于没有明显屈服 阶段的韧性材料，工程 上 规 定 产 生 0.2 ％ 塑 性 应变时的应力值为其屈 服应力，称为材料的条 件屈服应力(offset yield
stress)，用σ0.2表示。
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
极限应力值——强度指标
强度极限
通过拉伸与压缩实验， 可以测得材料在轴向载荷作 用下，从开始受力到最后破 坏的全过程中应力和变形之 间的关系曲线，称为应力－ 应变曲线。应力－应变曲线 全面描述了材料从开始受力 到最后破坏过程中的力学行 为。由此即可确定不同材料 发生强度失效时的应力值 （称为强度指标）和表征材 料塑性变形能力的韧性指标。
何斌
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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弹性模量
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
弹性力学性能
应力-应变曲线上的初始阶段通常都有一直 线段，称为线性弹性区，在这一区段内应力与应 变成正比关系，其比例常数，即直线的斜率称为 材 料 的 弹 性 模 量 （ 杨 氏 模 量 ， modulus of
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
例题6
2．计算直杆的总变形量
直杆的总变形量等于各段杆变形 量的代数和 ：
Δ l
i
FNi li EA i
＝l
AD
l DE
l EB
l BC
＝ FNADlAD ＋ FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
Ec AAD
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
单向压缩时材料的力学行为
何斌
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
单向压缩时材料的力学行为
铸铁压缩时的应力-应变
曲线，与拉伸时的应力-应变
曲线不同的是，压缩时的强
度极限远远大于拉伸时的数
值，通常是拉伸强度极限的
似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现 象称为屈服(yield) 。这一阶段曲线的最低点对应的应力值称为屈服
应力或屈服强度(yield stress)，用σs表示。
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材料力学
0.2
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
极限应力值——强度指标
条件屈服应力
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
l
n
Nili
i1 EA
1 EA
n
i 1
N
i
li
n
3
Δ l FNili
i EA i
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
这两种模量统称为工程模量。
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
弹性力学性能
比例极限 弹性极限
应力-应变曲线上,线性弹性区段 的应力最高限称为比例极限
(proportional limit)，用σp表示。
线性弹性阶段之后，应力-应变
曲线上有一小段微弯的曲线，这表示
应力超过比例极限以后，应力与应变
不再成正比关系。但是，如果在这一
阶段，卸去试样上的载荷，试样的变
形将随之消失。 这表明这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线性弹性阶
段在内，统称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限
(elastic limit)，用σe表示。
大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密 测量才能加以区分。
4～5倍。对于拉伸和压缩强
度极限不等的材料，拉伸强
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.857 106 m
＝1.22810－6 m＝1.22810－3 mm
在上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然 都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。
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材料力学
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
极限应力值——强度指标
屈服应力
在许多韧性材料的应力-应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近
颈缩与断裂
某些韧性材料(例如低碳 钢和铜)，应力超过强度极限 以后，试样开始发生局部变 形，局部变形区域内横截面 尺寸急剧缩小，这种现象称 为颈缩(neck)。出现颈缩之后， 试样变形所需拉力相应减小， 应力-应变曲线出现下降阶段， 直至试样被拉断。
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拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
韧性指标
通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标—— 延伸率和截面收缩率：
应变硬化
应力超过屈服应力或条 件屈服应力后，要使试样继 续变形，必须再继续增加载 荷。这一阶段称为强化 (strengthening)阶段。这一阶 段应力的最高限称为强度极
限 (strength limit)， 用 σb表
示。
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拉、压杆件的变形分析
2、横向变形：
L
a a1 a, b b1 b
横向线应变： a b
a
b
在弹性范围内：
横向变形系数（泊松比）
L1
b1 b
a1 a
(Poisson ratio) 为材料的另一个弹性常数， 泊松比为无量纲量。
AAB ＝ 10×102 mm2 ， BC 段 杆 的 横 截 面 面 积 ABC ＝ 5×102 mm2；FP＝60 kN；铜的弹性模量Ec＝100 GPa，钢的弹性 模量Es＝210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。
试求：直杆的总变形量。
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
x
Δ l l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆
件各处均匀变形的情形。
对于各处变形不均匀的情形，
必须考察杆件上沿轴向的微段
dx的变形，并以微段dx的相对变形
作为杆件局部的变形程度。 FPdx
x
Δdx ＝ dx
EA x
dx
x
E
无论变形均匀与否，正应力与正应变的关系都是相同的。
极限应力值——强度指标
颈缩与断裂
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
极限应力值——强度指标
对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。 而且，在大多数脆性材料拉伸的应力-应变曲线上，都没有明显的直 线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象，因而只有断 裂时的应力值——强度极限。
拉、压杆件的变形分析
L
1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
（1）轴向线应变： L
L
L1
（2）虎克定律:
在弹性范围内, (当 p时)
b1 b
E
FN
A
L FN L
l
l
a1 a
（虎克定律的另一种表达方式）
EA
EA－抗拉（压）刚度
l－伸长为正，缩短为负
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拉、压杆件的变形分析
Simon Denis Poisson Poisson’s ratio （1829）
Foam structures with a negative Poisson's ratio, Science, 235 1038-1040 (1987).
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图 拉、压杆件横截面上的应力 拉、压杆件的强度设计 拉、压杆件的变形分析 拉伸与压缩时材料的力学性能 结论与讨论
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拉伸与压缩时材料的力学性能
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拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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单向压缩时材料的力学行为
材料压缩实验，通常 采用短试样。低碳钢压缩 时的应力-应变曲线与拉伸 时的应力-应变曲线相比较， 拉伸和压缩屈服前的曲线 基本重合，即拉伸、压缩 时的弹性模量及屈服应力 相同，但屈服后，由于试 样愈压愈扁，应力-应变曲 线不断上升，试样不会发 生破坏。
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拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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应力-应变曲线
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准 试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使试样承受 轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受 的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力-应变曲线 (stress-strain curve)。
例题6
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
应用截面法，可以确定AD、D
BC段杆横截面上的轴力： FNAD＝－2FP＝－120 kN； FNDE＝FNEB＝－FP＝－60 kN； FNBC＝FP＝60 kN。
elasticity or Young modulus），用E 表示。
对于应力-应变曲线初始阶段的非直线 段，工程上通常定义两种模量：
切线模量（tangent modulus），即曲线上 任一点处切线的斜率，用Et表示。
割线模量（secant modulus），即自原点 到曲线上的任一点的直线的斜率，用Es表示。
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例题6
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拉、压杆件的变形分析
变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、 B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积
GB/T6397-1986《金属拉伸试验试样》
标距 l
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标距 l
l 10d 或 l 5d
l 11.3 A 或 l 5.65 A
d
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应力-应变曲线
脆性材料拉伸时的 应力-应变曲线
韧性金属材料拉伸 时的应力-应变曲线
工程塑料拉伸时的 应力-应变曲线
＝l1 l0 100%
l0 ＝ A0 A1 100%
A0
其中，l0为试样原长（规定的标距）；A0为试样的初始横 截面面积；l1和A1分别为试样拉断后长度(变形后的标距长 度)和断口处最小的横截面面积。
延伸率和截面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越 好。工程上一般认为δ>5％者为韧性材料； δ＜5％者为脆性 材料。
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
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对于没有明显屈服 阶段的韧性材料，工程 上 规 定 产 生 0.2 ％ 塑 性 应变时的应力值为其屈 服应力，称为材料的条 件屈服应力(offset yield
stress)，用σ0.2表示。
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极限应力值——强度指标
强度极限
通过拉伸与压缩实验， 可以测得材料在轴向载荷作 用下，从开始受力到最后破 坏的全过程中应力和变形之 间的关系曲线，称为应力－ 应变曲线。应力－应变曲线 全面描述了材料从开始受力 到最后破坏过程中的力学行 为。由此即可确定不同材料 发生强度失效时的应力值 （称为强度指标）和表征材 料塑性变形能力的韧性指标。
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应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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弹性模量
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弹性力学性能
应力-应变曲线上的初始阶段通常都有一直 线段，称为线性弹性区，在这一区段内应力与应 变成正比关系，其比例常数，即直线的斜率称为 材 料 的 弹 性 模 量 （ 杨 氏 模 量 ， modulus of
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例题6
2．计算直杆的总变形量
直杆的总变形量等于各段杆变形 量的代数和 ：
Δ l
i
FNi li EA i
＝l
AD
l DE
l EB
l BC
＝ FNADlAD ＋ FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
Ec AAD
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单向压缩时材料的力学行为
铸铁压缩时的应力-应变
曲线，与拉伸时的应力-应变
曲线不同的是，压缩时的强
度极限远远大于拉伸时的数
值，通常是拉伸强度极限的
似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现 象称为屈服(yield) 。这一阶段曲线的最低点对应的应力值称为屈服
应力或屈服强度(yield stress)，用σs表示。
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极限应力值——强度指标
条件屈服应力
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
l
n
Nili
i1 EA
1 EA
n
i 1
N
i
li
n
3
Δ l FNili
i EA i
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这两种模量统称为工程模量。
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第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
弹性力学性能
比例极限 弹性极限
应力-应变曲线上,线性弹性区段 的应力最高限称为比例极限
(proportional limit)，用σp表示。
线性弹性阶段之后，应力-应变
曲线上有一小段微弯的曲线，这表示
应力超过比例极限以后，应力与应变
不再成正比关系。但是，如果在这一
阶段，卸去试样上的载荷，试样的变
形将随之消失。 这表明这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线性弹性阶
段在内，统称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限
(elastic limit)，用σe表示。
大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密 测量才能加以区分。
4～5倍。对于拉伸和压缩强
度极限不等的材料，拉伸强
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.857 106 m
＝1.22810－6 m＝1.22810－3 mm
在上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然 都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。
何斌
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材料力学
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉伸与压缩时材料的力学性能
应力-应变曲线 弹性力学性能 极限应力值——强度指标 韧性指标 单向压缩时材料的力学行为
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
极限应力值——强度指标
屈服应力
在许多韧性材料的应力-应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近