第四章 杆件的变形计算

生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l l1
b b1 b
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系
泊松比
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，
Cease to struggle and you cease to live.
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材料力学 Mechanics of Materials
F
l
F
l FNl EA
l1
公式的适用条件:
1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均
应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段 计算或积分计算。
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材料力学 Mechanics of Materials
第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程
一、梁的变形
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
Cease to struggle and you cease to live.
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材料力学 Mechanics of Materials
梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
某截面的竖向位移，称为
该截面的挠度
y
C’
A
C
材料力学 Mechanics of Materials
挠度和转角的正负号规定：
y
C’
A
C
x
B’
wB
w
B
x
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
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材料力学 Mechanics of Materials
y
wk.baidu.com
C’
A
C
x
挠度和转角的关系
B’
wB
w
B
x
w dy tan
dx
在小变形假设条件下
tan
w dy tan
dx
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
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2）求AC和BC杆分别的变形量
A
F
l AC
CC1
FACl AC E1 A1
B
30oC2
C
C1
80
10 3 200
1000 / cos30 10 3 960
0.481mm
l BC
CC2
FBC lBC E2 A2
40 3 10 3 1000 0.277 mm 10 10 3 25000
Cease to struggle and you cease to live.
T3=800N·m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1
A
T2
T3
d2
B
C
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T1 d1
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3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A
Cx CC2 0.277mm
F
C y CC1 / sin30 CC2cot30
B
30oC2
C
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y 2 Cx 2 1.47mm
C0 Cx
(此问题若用圆弧精确求解)
Cx 0.278mm
Cy 1.44mm
Cease to struggle and you cease to live.
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第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
g dj
dx
在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距
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第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，
而其横向变形相应变细或变粗
杆件在轴线方向的伸长
F l
l1
由胡克定律 Eε
得到轴向拉压变形公式
F l l1 l
纵向应变
FN
A
l
l
l FNl EA
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
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40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
A
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉 伸长
FBC FAC cos30 0 FBC 40 3kN 压 缩短
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A
1m
F
B
30o
C
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分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EA1
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBClBC EA2
20103 400 200103 240
0.167mm
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
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g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
dx GI p 当 M x 为常数时：
GI p
j l M x dx
0 GI p
j M xl
GI p
同种材料阶梯轴扭转时:
j n M xili
求 : 1) 最大切应力; 2）j AC
M 2M
3M
D a C aB
2a A
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M 2M
3M 1）画出扭矩图
D a C aB
Mx 2M M
2）求最大切应力
AMx N·m
+
T2
T3
d2
B
C
1400 800
x
1）根据题意，首先画出扭矩图
2）AB 段单位长度扭转角：
AB
M xAB GI pAB
80
1400 109 π
0.064
32
0.01375rad/ m
3）BC
段单位长度扭转角：
BC
M xBC GI pBC
80
800 109 π
0.044
32
0.03978rad/ m
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材料力学 Mechanics of Materials
M 2M
D a C aB Mx 2M M
3M 2a A 3M
+
j AC
180 π
M CB GI
lCB
p
M BAlBA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
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F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
Cease to struggle and you cease to live.
2a A
首先要求出M 的数值
3M
jDB jDC jCB
+
x
180 π
M l xDC DC GI p
M l xCB CB GI p
180 3Ma 1 π GIp
M πGIp 540a
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i1 GI pi
相对扭转角的单位: rad
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
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例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m， T2=600N·m，
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二、挠曲线近似微分方程
纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度
时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯 矩不再为常数。
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第四章 杆件的变形计算
本部分主要内容:
• 拉压杆的轴向变形 • 圆轴的扭转变形与相对扭转角 • 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 • 用积分法求梁的弯曲变形 • 用叠加法求梁的弯曲变形
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M 2M
D a C aB Mx 2M M
3M 2a A 3M
M πGIp 540a
max
M
max
d 2
Ip
3Md 2I p
+
x 3d πGI p
2I p 540a
3 40 π 80103 1080 400
69.81MPa
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例4-2 节点位移问题(教材70页)
如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模 量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 40 kN。
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
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[解] 1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj
dj M x dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表示扭转变形的大小
单位长度扭转角的单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
Cease to struggle and you cease to live.
x
B’
wB
w
B
某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角
x
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位
置有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程） 转角方程
w f1(x)
f2(x)
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综合两段，最大单位长度扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
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例4-4
° 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1 ,
可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存
在着下面的关系
G E
2(1 )
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例题4-1 (教材70页)
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。