第四章 杆件的变形计算
理论力学中的杆件的变形分析
理论力学中的杆件的变形分析杆件在力学中扮演着重要的角色，广泛应用于各种工程领域。
在理论力学中，对于杆件的变形进行分析是十分重要的，它能帮助工程师和设计师预测和评估结构的性能和可靠性。
本文将介绍杆件的变形分析的基本原理和方法。
1. 弹性变形杆件受到外力作用时，会发生弹性变形。
在弹性变形情况下，杆件会迅速恢复到未受力状态，且不会发生永久形变。
弹性变形是基于胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到杆件的弹性形变的方程。
2. 杆件的拉伸和压缩当杆件受到拉伸或压缩作用时，会发生轴向变形。
在理论力学中，我们可以使用材料力学的知识来分析杆件的轴向变形。
拉伸和压缩是杆件最常见的变形形式，例如，建筑物的柱子或者桥梁的支撑杆件都会经历拉伸或压缩。
3. 杆件的弯曲当杆件受到弯曲力矩作用时，会发生弯曲变形。
弯曲是指杆件在垂直于其长度方向上发生形状改变。
在理论力学中，我们可以使用梁的理论来分析杆件的弯曲变形。
通过应力和应变的关系以及几何形状的考虑，可以计算出杆件在弯曲过程中的变形情况。
4. 杆件的扭转当杆件受到扭矩作用时，会发生扭转变形。
扭转是指杆件在一个固定的截面上，某一段杆件相对于其他段发生旋转。
通过扭转变形分析，我们可以计算出杆件在扭转过程中的变形情况。
杆件的变形分析对于在工程设计过程中非常重要。
通过对杆件的变形情况进行准确的分析，可以帮助工程师和设计师了解结构的性能和可靠性。
此外，在设计过程中，合理地选择材料和截面形状也是非常关键的，因为不同的材料和截面形状会直接影响杆件的变形情况。
总之，理论力学中的杆件的变形分析是一个复杂但重要的领域。
它涉及到弹性变形、拉伸和压缩、弯曲和扭转等不同类型的变形。
通过对杆件变形进行准确的分析，可以帮助工程师预测结构的行为，并确保结构的性能和安全性。
对于工程设计和结构优化来说，杆件的变形分析是一项必不可少的工作。
材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
杆件的基本变形.
随外力产生或消失 随外力改变而改变 但有一定限度
截 面 法
根据空间任意力系的六个平衡方程
X 0 M
步骤： 1、切开 2、代替
x
Y 0
M
y
Z 0 M
z
0
0
0
求出内力分量
3、平衡
注意：
用截面法求内力和取分离体求约束反力的方法本质 相同。这里取出的研究对象不是一个物体系统或一个完 整的物体，而是物体的一部分。
拉 伸
压 缩
变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短， 主要变形是长度的改变
屋 架 结 构 中 的 拉 压 杆
塔 式 结 构 中 的 拉 压 杆
桥 梁 结 构 中 的 拉 杆
剪 切 变形
受力特点：由垂直于杆轴方向的一对大小相等、 方向相反、作用线很近的横向外力引起的。
变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形 主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动。
第四章 杆件的基本变形
杆件的外力与变形特点 内力及其截面杆件在外力作用下，形状和尺寸的变化。 二、杆件变形的形式 1、基本变形 轴向拉伸与压缩 剪切变形 扭转变形 弯曲变形 2、组合变形 同时发生两种或两种以上的变形形式
轴向拉伸或压缩变形
受力特点：作用线与杆轴重合的外力引起的。
螺 栓
连 接 键
销钉
螺 栓
扭 转 变 形
受力特点：由垂直于杆轴线平面内的力偶作用引起的
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
对称扳手拧紧镙帽
自 行 车 中 轴 受 扭
桥 体 发 生 扭 转 变 形
关于杆件变形能公式的推导
关于杆件变形能公式的推导杆件变形是指在受到外力作用下，杆件发生形变，这种形变可以用形变能来描述。
形变能是杆件弹性势能的一种表现形式，它是描述杆件形变程度的指标，与外力大小、杆件弹性系数、杆件长度和截面形状等相关。
要推导出杆件变形能公式，可以从杆件受力、应力、应变和势能等方面入手。
首先，杆件变形是由外力作用于杆件上引起的。
杆件在受力作用下会产生应力，应力是单位面积上的力。
杆件上的应变是指杆件在受力作用下，相应的长度变化。
根据胡克定律，应力与应变之间存在线性关系，可以表示为：σ=Eε其中，σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。
接下来，考虑杆件的长度变化。
根据变形的几何关系，可知杆件长度的变化与应变之间存在关系。
设杆件在外力作用下发生的长度变化为ΔL，初始长度为L，变化后的长度为L'，则有：ΔL=L'-L而杆件的应变ε可以表示为：ε=ΔL/L代入上述等式，可得：ΔL=εL将ε=σ/E代入，可以得到：PE=∫udV其中，V表示杆件的体积。
将杆件的应变ε替换进去，可以得到：PE=∫udV=∫σεdV=∫(σE)(ΔL/L)dV进一步展开，可以得到：PE = (∫ (σ E) ΔL dV) / L = (∫ (σ E) ΔL A dx) / L 其中，A表示杆件的截面积，x表示杆件的长度方向。
将ΔL=L'-L代入上式，可以得到：PE = (∫ (σ E) (L' - L) A dx) / L对式中的积分进行分解，可以得到：PE = ∫ (σ E A) (L' - L) dx / L再次代入ΔL=L'-L，可以得到：PE = ∫ (σ E A) ΔL dx / L由于σEA是常数，可以提到积分符号外，得到：PE = (σ E A) ∫ΔL dx / L杆件的长度与x成正比，对积分进行整理，可以得到：PE = (σ E A) ∫ L dx / L对上述积分进行求解，可以得到：因此，杆件的变形能可以表示为：PE=(σEA)L所以，杆件的变形能公式可以表达为：PE=Fδ其中，F表示外力，δ表示变形量。
第四章 杆件的变形计算
3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A F B 30oC2 C
Cx CC2 0.277mm C y CC1 / sin30 CC 2 cot30
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y C x 1.47mm
(此问题若用圆弧精确求解)
2
2
Cx
C0
T3 C
1）根据题意，首先画出扭矩图
T1 d1 A Mx N· m B T2 d2 C T3
2）AB 段单位长度扭转角：
1400
800
AB
M xAB GI pAB
+
x
1400 4 π 0.06 80 10 9 32 0.01375rad / m
3）BC 段单位长度扭转角： M xBC BC
M xi li j i 1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N· m， T2=600N· m， T3=800N· m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1 A
T2 d2 B
第四章
• • • • •
杆件的变形计算
本部分主要内容:
拉压杆的轴向变形 圆轴的扭转变形与相对扭转角 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的弯曲变形 用叠加法求梁的弯曲变形
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗 杆件在轴线方向的伸长
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系
第四章 杆件的变形 · 简单超静定问题
A1
、物理方程－变形与受力关系
FN 1 L1 FN 3 L3 cos E1 A1 E3 A3 补 充 方 程 (3)
F
FN1
A
FN3 FN2
、联立方程(1)、(2)、(3)可得:
x
FN1 FN 2 E3 A3 F E1 A1F cos2 ; FN 3 3 2E1 A1 cos E3 A3 2E1 A1 cos3 E3 A3
0.02 2 160 106
[ FN ] AD sin 50.24 1 0.75 / 0.752 1 [F ] 12.06 KN 2.5 AB
C 0.75m A 1m D D
(2)、B点位移
lCD
B lCD
[ FN ]lCD EA
D1 1.5m
l l
虎克定律 实验证明： 引入比例常数E,则
Fl l A FN l （虎克定律） Fl l EA EA
E——表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹 性模量，亦称杨氏模量。单位：MPa、GPa. 例如一般钢材: E=200GPa。
EA——杆件的抗拉/压刚度
1）
O
1
B 4F
B
1
α α
2
FNAB FNAC
C
F F
X
0 0
FNAC sin FNAB sin 0
Y
A
LAB
FNAC cos FNAB cos F 0 F FNAC FNAB 2 cos F L FL LAC NAC EA 2 EA cos
轴向拉伸或压缩时的变形 刚度条件 超静定问题
轴向拉伸或压缩时的变形
第四章杆件的变形计算
上式称为单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小， 其单位是rad/m。
当GIP越大，则θ越小，故称GIP为圆轴的抗扭刚度。 l Mx 两端相对扭转角 0 dx GI p
当Mx/GIP为常量时，上式为
M xl GI p
例4-3 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变 模量G=80GPa ，轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间 相对扭转角, 最大单位长度扭转角。 解 （1）内力分析
M l 80 0 . 4 4 x 2 BC rad 9.9412 10 rad BC GI 9 4 p 80 10 0 . 045 32
3 4 4 AC AB BC
( 1 . 12 10 9 . 94 10 ) rad 1.2 10 r
（5）列出转角方程和挠曲线方程
3 q q l (l x )3 6 E I 6 E I
3 4 2 q l q l q x 4q 2 2 w ( lx ) x ( x 64 l l x ) 2 4 E I 6 E I 2 4 E I 2 4 E I
（6） 求自由端挠度和转角
max 2
M xCA 6.68 10 3 GI p 200 10 9 0.06 4 / 32 0.0263rad/ m 1.5 /m
4 . 9 /m max
TB
A
TC
TA C
0.4m
B
0.4m
已知: n = 200r/min， PA = 60 kW， PB = 150kW， PC = 90kW， G=200GPa, dAB=0.06m， dBC= 0.04m。 试求: (1)轴两端截面相对转角 (2)最大单位长度扭转角
材料力学 杆件的变形计算
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
9
40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FNBC l BC EABC
x0 x
5、杆的横向变形：
ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
2
二、拉压杆的弹性定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
NN（(xx)）
x dx 内力在n段中分别为常量时
dL PL A
dL PL NL EA EA
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
(dx) N ( x)dx EA( x)
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
14
[解]
1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预
A
先设为拉力）
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉 伸长
是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
第四章零件受力变形讲解
N
M 9550 D
D
n
637N m
-
作扭矩图 Tnmax=955N·m
圆轴扭转时横截面上的应力
1.圆轴扭转时的变形特征:
Me
Me
1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变 化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。 2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同
一角度 。
4.4.2 圆轴扭转时的应力
G
dj
dx
G Mn
GI p
Mn Ip
I p
2dA
A
IP是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称 为横截面对形心的极惯性矩。
• 横截面上某点的切应力
T
的方向与扭矩方向相同，
并垂直于该点与圆心的
τ
连线
• 切应力的大小与其和圆
τ
心的距离成正比
注意：如果横截面是空心圆，空心部分没有应力 存在。
三.挤压的概念
构件发生剪切变形时，往往会受到挤压作用，这种 接触面之间相互压紧作用称为挤压。
构件受到挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压 面(A j y )。作用于挤压面上的力称为挤压力(F j y )，挤压 力与挤压面相互垂直。如果挤压力太大，就会使铆钉压 扁或使钢板的局部起皱 。
FFຫໍສະໝຸດ 四、挤压的实用计算单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米 的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。
1MPa＝106Pa
拉(压)杆的应力
假设轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向
垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式
为：
mn
F
F
σ= FN MPa A
6.5-杆件结构的变形计算
3
F2
B' F3
C
1
2
C'
Vε
1 2
Fδ
F--广义力(包括力和力偶) δ--广义位移 (包括线位移和角位移)
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由 零增致最后值.
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广
义位移,例如 2可表示为
δ2 C1F1 C2F2 C3F3
F2 (C1
2、变力功
当弹性杆件在力的作用下所产生的位移， 随力和变形的增加而增加时，力所作的 功为变力功。
W 1 Fl 2
6.5.2 杆件的弹性应变能
弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力 所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力 逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内 的能量被释放而作功。
3、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式 （1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算 公式中取第一项便具有足够的工程精度
KP
M M P ds EI
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆 内只有轴力，且处处相等。因而只取公式 中的第二项并简化为实用的形式
KP
A
a
(2) 若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.
B
F1
b
分别计算两种加力方法拉杆的应变能.
C
F2
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
F1a EA
外力作功为
W1
1 2
F1δB1
F12a 2EA
（b）再在C上加 F2
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
杆件的变形及计算.
二、刚度设计
根据工程实际要求，对构件进行设计，以保证在确定的外载荷作用下，构件的弹性位移（最大位移 或指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是： 1、对于拉压杆，刚度设计准则为
≤
ε为轴向线应变；[ε]为许用轴向线应变。 2、对于梁，刚度设计准则为
y ≤ y
≤
y和θ分别为梁的挠度和转角；[y]和[θ]分别为梁的许用挠度和许用转角。 3、对于受扭圆轴，刚度设计准则为
Q [ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力，由平衡条件求解；A 为剪切面面积；[τ]为材料的许用剪应力，单位 MPa。
二、挤压使用计算
在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力，称为挤压应力，用符号σjy表示，单位MPa。挤压应力是垂直与接触面的正应力。其可 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形，而导致二者失效。 积压力为作用在接触面上的总的压力，用符号 Pjy 表示。 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影，用符号 Ajy 表示。 其强度设计准则
≤
≤ l
φ和θ分别为圆轴指定两截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角；[φ]和[φ/l]分别为相应的许 用值。
第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算
一、拉压杆的强度设计
1、拉压杆横截面上的应力 内力系在横截面上均匀分布，横截面上正应力为：
N A
当杆件压缩时，上式同样适用。 σ的正负规定与轴力相同。拉应力为正，压应力为负。 2、拉压杆强度设计准则
Qmax Smax [ ] Ib
即
max [ ]
三、复杂受力时梁的强度计算
1、斜弯曲 可将梁在力P的作用下分解成在 Py、Pz 作用下的两个平 面弯曲的叠加。
材料力学 杆件的变形计算
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
材料力学变形计算公式
材料力学变形计算公式材料力学这门学科啊，可真是充满了各种奇妙的知识和计算公式。
其中，变形计算公式那可是相当重要的一部分。
先来说说什么是变形。
想象一下，你用力拉一根橡皮筋，它是不是变长了？这就是变形。
而材料力学里研究的变形，可比拉橡皮筋复杂得多。
咱们就拿一根钢梁来举例吧。
假设这根钢梁要承受很大的重量，那它会发生什么样的变形呢？这时候变形计算公式就派上用场啦。
比如说，拉伸或压缩变形的计算公式是ΔL = FL / (EA) 。
这里的ΔL 表示变形量，F 是所受的力，L 是杆件的长度，E 是材料的弹性模量，A 是杆件的横截面面积。
我记得有一次在工地上，看到工程师们在计算一个大型起重机的起重臂的变形量。
他们拿着各种测量工具，神情专注，一边测量一边在本子上记录数据。
然后就开始运用这些变形计算公式来计算，看起重臂是否能够承受预期的重量，并且保证在工作过程中不会发生过度的变形。
再来说说扭转变形的计算公式。
扭转角φ = TL / (GIp) ，其中 T 是扭矩，L 是杆件的长度，G 是材料的剪切模量，Ip 是极惯性矩。
弯曲变形的计算公式就更复杂一些啦。
比如简支梁受集中力作用时，最大挠度的计算公式是 Ymax = Fl³ / (48EI) 。
这些变形计算公式在实际工程中可太重要了。
就像建造高楼大厦，如果不精确计算建筑材料的变形，那可就危险啦。
咱们在学习这些公式的时候，可不能死记硬背，得理解每个参数的含义和它们之间的关系。
比如说弹性模量 E ，它反映了材料抵抗变形的能力，不同的材料 E 值可不一样。
而且，在实际应用中，还得考虑很多因素的影响。
比如温度的变化、材料的缺陷等等。
总之啊，材料力学的变形计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，结合实际去理解，就能掌握好它们，为解决实际问题提供有力的工具。
所以，小伙伴们，别害怕这些公式，加油去探索材料力学的奇妙世界吧！。
杆线变形计算公式
杆线变形计算公式杆线变形是指在外力作用下，杆件产生的形变现象。
在工程中，对于杆线的变形计算是非常重要的，可以帮助工程师们设计出更加稳固和安全的结构。
杆线的变形计算可以利用公式来进行，下面我们就来介绍一下杆线变形计算的公式及其应用。
杆线的变形计算公式一般可以分为静力学方法和弹性力学方法两种。
静力学方法主要是根据杆线的受力分析，利用受力平衡方程来推导出变形的计算公式；而弹性力学方法则是根据杆线的弹性变形特性，利用弹性力学理论来推导出变形的计算公式。
下面我们将分别介绍这两种方法的计算公式及其应用。
静力学方法的计算公式一般可以通过受力平衡方程来推导得出。
对于简单的杆线结构，可以利用受力平衡方程来推导出杆线的变形计算公式，例如对于受均匀分布载荷作用的杆线，可以利用受力平衡方程推导出杆线的变形计算公式为：δ = PL / AE。
其中，δ为杆线的变形量，P为作用在杆线上的力，L为杆线的长度，A为杆线的截面积，E为杆线的弹性模量。
这个公式适用于受均匀分布载荷作用的简单杆线结构，可以方便地计算出杆线的变形量。
对于复杂的杆线结构，静力学方法的计算公式可能会比较复杂，需要进行更加详细的受力分析来推导出变形的计算公式。
在实际工程中，可以利用有限元分析等方法来进行复杂杆线结构的变形计算，得到更加精确的结果。
弹性力学方法的计算公式则是根据杆线的弹性变形特性来推导得出。
对于弹性杆线结构，可以利用弹性力学理论来推导出变形的计算公式，例如对于受集中力作用的弹性杆线，可以利用弹性力学理论推导出杆线的变形计算公式为：δ = F L / AE。
其中，δ为杆线的变形量，F为作用在杆线上的力，L为杆线的长度，A为杆线的截面积，E为杆线的弹性模量。
这个公式适用于受集中力作用的弹性杆线结构，可以方便地计算出杆线的变形量。
对于复杂的弹性杆线结构，弹性力学方法的计算公式同样可能会比较复杂，需要进行更加详细的弹性变形分析来推导出变形的计算公式。
在实际工程中，可以利用有限元分析等方法来进行复杂弹性杆线结构的变形计算，得到更加精确的结果。
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首先要求出M 的数值
3M
jDB jDC jCB
+
x
180 π
M l xDC DC GI p
M l xCB CB GI p
180 3Ma 1 π GIp
M πGIp 540a
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
dx GI p 当 M x 为常数时：
GI p
j l M x dx
0 GI p
j M xl
GI p
同种材料阶梯轴扭转时:
j n M xili
A
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉 伸长
FBC FAC cos30 0 FBC 40 3kN 压 缩短
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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AMx N·m
+
T2
T3
d2
B
C
1400 800
x
1）根据题意，首先画出扭矩图
2）AB 段单位长度扭转角：
AB
M xAB GI pAB
80
1400 109 π
0.064
32
0.01375rad/ m
Hale Waihona Puke 3）BC段单位长度扭转角：
BC
M xBC GI pBC
80
800 109 π
0.044
32
0.03978rad/ m
求 : 1) 最大切应力; 2）j AC
M 2M
3M
D a C aB
2a A
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
M 2M
3M 1）画出扭矩图
D a C aB
Mx 2M M
2）求最大切应力
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
F
l
F
l FNl EA
l1
公式的适用条件:
1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均
应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段 计算或积分计算。
x
B’
wB
w
B
某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角
x
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位
置有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程） 转角方程
w f1(x)
f2(x)
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程
一、梁的变形
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EA1
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBClBC EA2
20103 400 200103 240
0.167mm
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
Cease to struggle and you cease to live.
A
1m
F
B
30o
C
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，
而其横向变形相应变细或变粗
杆件在轴线方向的伸长
F l
l1
由胡克定律 Eε
得到轴向拉压变形公式
F l l1 l
纵向应变
FN
A
l
l
l FNl EA
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l l1
b b1 b
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系
泊松比
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，
T3=800N·m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1
A
T2
T3
d2
B
C
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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T1 d1
(此问题若用圆弧精确求解)
Cx 0.278mm
Cy 1.44mm
Cease to struggle and you cease to live.
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第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
g dj
dx
在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距
i1 GI pi
相对扭转角的单位: rad
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m， T2=600N·m，
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj
dj M x dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表示扭转变形的大小
单位长度扭转角的单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A
Cx CC2 0.277mm
F
C y CC1 / sin30 CC2cot30
B
30oC2
C
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y 2 Cx 2 1.47mm
C0 Cx
材料力学 Mechanics of Materials
挠度和转角的正负号规定：
y
C’
A
C
x
B’
wB
w
B
x
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
Cease to struggle and you cease to live.
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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[解] 1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）
生命不止，奋斗不息
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二、挠曲线近似微分方程
纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度
时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯 矩不再为常数。