拉压杆的变形计算_图
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材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
材料力学-杆件的变形计算
EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
拉压杆的变形
EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形 所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形 的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）变为 σ＝Eε （2-6
上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力 与线应变成正比。
1.2横向变形
设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1， 则其横向变形Δd为
【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截 面积A、材料的容重γ、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力 F作用。求该杆下端面的位移ΔB。
【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为 FN（x）＝F＋γAx
微段dx如图2-14（c）所示。 略去两端内力的微小差值，则微段的变形为
＝-0.975×10-3m＝-0.975mm
各段柱的纵向线应变为
εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝2.5×10-4
εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4 全柱的总变形为两段柱的变形之和，即
Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475 mm
【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱 的变形要分别计算。各段柱的轴力为
FNBC＝-100 kN 各段柱的纵向变形为
FNAB＝-260 kN
ΔlBC＝FNBC/EA ＝ -100×103N×2m/10×109Pa× （0.2m）2 ＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
图2-13
ΔlAB＝FNAB/EA＝ 260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形Δl与 外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即
5-2拉压杆的变形计算汇总
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0。 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即 ' =-
10kN
x
练习1．图示等截面直杆，其横截面面积A=4000cm2， 材料的弹性模量E=2×108Pa，试分别求上、下段的应力 和变形量。
300kN A B
3m
400kN
4m
C
小结： 1.应力与应变关系:
虎克定律:
Nl l EA
＝E
2.拉压杆的变形计算
Nl l EA
应用时注意：N的正负要代入公式中计算。
A B C 30kN D
②分段计算变形量。 N ABl AB l AB EAAB
10kN
100
100
100
FN 20kN + 20103 100 0.02mm O 3 20010 500
－
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm
复习：
1.轴向拉压的受力特点和变形特点；
2．轴力的计算及轴力图的绘制
轴力的计算：N=∑F左或N=∑F右
轴力图作图规律：
左上右下，突变值等于外力的大小。
3．轴向拉(压)杆横截面上的正应力的计算。
杆件轴向拉伸与压缩_图文
极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而 不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号 σu表示，其值由实验确定。
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
胡克定律与拉压杆的变形
1.分段解法
FN1 = F2 − F1
FN2 = F2
(∆l )分段解法
=
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
=
(F2
− F1 )l1 EA
+
F2l2 EA
(∆l )分段解法
=
F2(l1 + EA
l2 )
−
F1l1 EA
2. 分解载荷法
(∆l
)分段解法
=
F2
( l1 + EA
l2
)
−
F1l1 EA
3. 比较
§9 连接部分的强度计算
连接实例 剪切与剪切强度条件 挤压与挤压强度条件 例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
73
连接实例
单辉祖:工程力学(材料力学)
销钉
螺栓
耳片
74
单辉祖:工程力学(材料力学)
75
剪切与剪切强度条件
以耳片销钉为例介绍分析方法
单辉祖:工程力学(材料力学)
76
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
FN1 = FN1,F1 + FN1,F2 = −F1 + F2
第八章__变形及刚度计算
8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
第四章 杆件的变形计算
3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A F B 30oC2 C
Cx CC2 0.277mm C y CC1 / sin30 CC 2 cot30
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y C x 1.47mm
(此问题若用圆弧精确求解)
2
2
Cx
C0
T3 C
1）根据题意，首先画出扭矩图
T1 d1 A Mx N· m B T2 d2 C T3
2）AB 段单位长度扭转角：
1400
800
AB
M xAB GI pAB
+
x
1400 4 π 0.06 80 10 9 32 0.01375rad / m
3）BC 段单位长度扭转角： M xBC BC
M xi li j i 1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N· m， T2=600N· m， T3=800N· m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1 A
T2 d2 B
第四章
• • • • •
杆件的变形计算
本部分主要内容:
拉压杆的轴向变形 圆轴的扭转变形与相对扭转角 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的弯曲变形 用叠加法求梁的弯曲变形
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗 杆件在轴线方向的伸长
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系
拉压杆的变形计算
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - ) max = 176.8MPa 发生在AB段.
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
C
F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B
F2
Ⅰ l1
F1
A
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
ΔlCD
FN1l1 FN 2 l2 -4 2.53 10 m Δl BC 1.42 10-4 m EA1 EA2ⅢⅡⅠ
FRD
C
F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B
F2
Ⅰ l1 A
F1
FRD
FN3 FN2
F2
F1
FN 3 FRD 0 FN 3 50kN ( )
F1 F2 FN 2 0 FN 2 15kN ( )
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
C
F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B
F2
Ⅰ l1
20
F1
称为泊松比 (Poisson’s ratio)
四、胡克定律 (Hooke’s law)
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
E
FN A FN l Δl EA
Δl l
上式改写为
式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉
FN 3 l3 1.58 10-4 m EA3
uB ΔlCD Δl BC -0.3mm
Δl AD Δl AB Δl BC ΔlCD -0.47 10-4 mm
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
材料力学-课件2-4拉杆的变形.胡克定律
EA L L
L
i
FNiLi
EAi
FN EA L E
A AL
在计算ΔL的L长度内，FN,E,A均 为常数。
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
b
b
横向线应变
泊松比
例题 2.9
图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在 板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后 AB线所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）
α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材
料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬
挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。
1
2
FNAB FNAC
X 0 C Y 0
F N F FN c N A AA C s C o C FiN F s n N AB F N c A 2cA s F B o oB isF n s 0 0
B
b
e
A
a
c
d
ae. 因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
例题
2.10
例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形△L，B点的位移 δB和C点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
例题
2.11
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，
B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位
拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
材料力学 杆件的变形计算
必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。其中 “两萧” 就是指弓的两端。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：“目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
轴向拉压杆的变形
1.求出两杆的轴力
Fx 0 FN2 FN1 cos300 0 Fy 0 FN1 sin300 F 0
FN1 20kN（拉） FN 2 17.3kN（压）
A 1
F 2 30°
C
(a)
B
FN1
30
B
FN2
F
(b)
2.计算两杆的变形
l1
FN1l1 E1 A1
20 103 2 2 105 106 600 106
(60 103
1
20 103
2
30 103
1.5)
0.65 103 (m)
l 0.65 103 (m)
变形计算的应用：三角桁架节点位移的求法。
怎样画小变形放大图？
分析：
A
L1
图1
B L2
（1）、研究节点 C 的受力，确定各 杆的内力 FNi；
（2）、求各杆的变形量△Li ；
C
（3）、变形图严格画法，图中弧线；
60kN 80kN 50kN 30kN
解： 应用截面法求得各段横截 面上的轴力如下：
AB段 FN1 60kN BC段 FN2 60 80 20kN CD段 FN3 30kN
AB 1m 2m
(a) 60kN
CD 1.5m
30kN
20kN (b)
得各段横截面上的正应力为：
AB段 BC段 CD段
L FN L EA
----胡克定律
E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。 EA——抗拉压刚度。
注意 ①当各段的轴力为常量时——
L L1 L2 L3
FNi Li EAi
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
L dL1 dL2 dL3
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
F NBC 56 . 6 kN （压力） F NBA 40 kN
（拉力）
（2）由强度条件确定各杆截面尺寸 对BA杆
A BA
d
4
2
F NBA
s
d
4 F NBA
s
17 . 8 mm
可取
d 18 mm
F NBC
对BC杆
A BC a
2
w
a
F NBC
【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径
d=2cm,E=200GPa,FP=12kN, 求B点位移。
C 0.75m A D B
1m
1.5m
FP
解：(1)受力分析，求轴力
FN
F Ax
A
D
B
F Ay
1m
1.5m
FP
M
A
0
F P AB F N AD sin
FN
解：（1）受力分析， 求各杆轴力
F NBD
F x 0, Fy 0
2 F P 31 . 4 kN
（2）求各杆应力
BD
F NCD F P 22 . 2 kN
F NBD A BD F NCD A CD 22 . 2 kN 31 . 4 kN
CD
3
m
DD BB
AD AB
B B D D /(
AD AB
)
4 . 17 10
3
m
7.4 轴向拉压杆的强度计算
• 工作应力
FN A
• 失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极 限应力；
拉压杆的变形及刚度计算
胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力
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