拉压杆变形计算
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拉压杆的变形计算胡克定律
200 103 500
500
300
102 64 3.2102 mm 0.032mm 200 103
小结
一、变形与线应变
绝对变形 l=l1- l
线应变 =
Δl l
横向应变
， Δb b
横向变形系数（泊松比）
`
或
´= -
二、胡克定律
胡克定律的两种表达式 Δl FNl EA
`
横 向
Δb b1 b
Δb b
´= -
知识准备：拉（压）杆的变形计算
二、胡克定律
实验表明，在材料的弹性范围内，杆件的变形与内力FN、杆长l 成正比关系，与横截面积成反比关系，比例常数E 称为材料的弹性模
量。即
Δl FNl EA
E
或
E
其中EA 称为抗拉（压）刚度。
=E
抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成正比。
三、拉（压）杆的变形计算
任务布置
1.图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度l=80mm 内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应
力及螺栓对钢板的预紧力。
情境三 轴向拉（压）强度计算
◆ 轴力 ◆ 应力 ◆ 强度计算（强度校核） ◆ 强度计算（设计截面，确定许可载荷） ◆ 变形计算 ◆ 材料力学性能
知识准备：拉（压）杆的变形计算
F
l l1
F b1 b
一、变形与线应变
绝对变形
相对变形 横向变形系数 （线应变） （泊松比）
轴
向
Δl l1 l
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉压杆的变形及刚度计算
胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力
材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
材料力学-杆件的变形计算
EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
拉压杆的变形计算
B 1 2
C
B
1 2
C
A
A
A'' （2）两杆的变形为
FN1l1 Fl Δl1 Δl2 （伸长） EA 2 EA cos
变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.
B 1 2
C
1
2
A
A''
l 1 A2
A A' A1
A
以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A, 即为A点的新位置.AA 就是A点的位移. 因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A 可认为
拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)
h1
F
h
b b1
F
l
l1
一、纵向变形 (Axial deformation)
1. 纵向变形 (Axial deformation)
2. 纵向应变 (Axial strain)
Δl l1 l Δl l
拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)
B 1 C
A
2
y B 1 2
C
FN1
1
FN2
2
A
x A
F 解：（1） 列平衡方程,求杆的轴力
Fx 0 Fy 0
FN1 FN 2
FN 2 sin FN1 sin 0 FN1 cos FN 2 cos F 0 F 2 cos
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段， 在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.
杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形
所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
5-2拉压杆的变形计算汇总
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0。 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即 ' =-
10kN
x
练习1．图示等截面直杆，其横截面面积A=4000cm2， 材料的弹性模量E=2×108Pa，试分别求上、下段的应力 和变形量。
300kN A B
3m
400kN
4m
C
小结： 1.应力与应变关系:
虎克定律:
Nl l EA
＝E
2.拉压杆的变形计算
Nl l EA
应用时注意：N的正负要代入公式中计算。
A B C 30kN D
②分段计算变形量。 N ABl AB l AB EAAB
10kN
100
100
100
FN 20kN + 20103 100 0.02mm O 3 20010 500
－
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm
复习：
1.轴向拉压的受力特点和变形特点；
2．轴力的计算及轴力图的绘制
轴力的计算：N=∑F左或N=∑F右
轴力图作图规律：
左上右下，突变值等于外力的大小。
3．轴向拉(压)杆横截面上的正应力的计算。
第四章 杆件的变形计算
3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A F B 30oC2 C
Cx CC2 0.277mm C y CC1 / sin30 CC 2 cot30
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y C x 1.47mm
(此问题若用圆弧精确求解)
2
2
Cx
C0
T3 C
1）根据题意，首先画出扭矩图
T1 d1 A Mx N· m B T2 d2 C T3
2）AB 段单位长度扭转角：
1400
800
AB
M xAB GI pAB
+
x
1400 4 π 0.06 80 10 9 32 0.01375rad / m
3）BC 段单位长度扭转角： M xBC BC
M xi li j i 1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N· m， T2=600N· m， T3=800N· m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1 A
T2 d2 B
第四章
• • • • •
杆件的变形计算
本部分主要内容:
拉压杆的轴向变形 圆轴的扭转变形与相对扭转角 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的弯曲变形 用叠加法求梁的弯曲变形
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗 杆件在轴线方向的伸长
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系
《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律
拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2
学习情境三 3.拉压杆的变形计算
580 600 200 702
(580 660) 700 2001202
l2
0.355 0.301 0.656(mm)
（2）上、下两部分的线应变之比
1
l1 l1
0.355 600
5.916 10 4
2
l2 l2
0.301 700
4.310 4
l 1 N l EA
＝E
虎克定律的另一种表达形式
上式表明： 在弹性范围内，应力与应变
成正比。
例 图 示 阶 梯 杆 ， 已 知 横 截 面 面 积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。
解 ①作轴力图。
②分段计算变形量。
实验表明，在弹性范围内，杆件的纵向变形与
轴力N、杆长l 成正比，而与杆的横截面积A成反比。
即
l Nl
EA
上式称胡克定律。
E——称为弹性模量 E与材料性质有关，是衡量材料抵抗变形能力的
一个指标，大小由试验测定，单位为Pa。 EA——称为抗拉压刚度 它反映了杆件抵抗拉压变形的能力。
二、虎克定律
l Nl EA
l AB
N ABlAB EA AB
20 103 100 200 103 500 0.02mm
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm
AB C 30kN
D 10kN
100 100 100
FN 20kN
+
O
－
x
10kN
③计算总变形量。
△l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm
材料力学 杆件的变形计算
必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。其中 “两萧” 就是指弓的两端。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：“目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
轴向拉压杆的变形
1.求出两杆的轴力
Fx 0 FN2 FN1 cos300 0 Fy 0 FN1 sin300 F 0
FN1 20kN（拉） FN 2 17.3kN（压）
A 1
F 2 30°
C
(a)
B
FN1
30
B
FN2
F
(b)
2.计算两杆的变形
l1
FN1l1 E1 A1
20 103 2 2 105 106 600 106
(60 103
1
20 103
2
30 103
1.5)
0.65 103 (m)
l 0.65 103 (m)
变形计算的应用：三角桁架节点位移的求法。
怎样画小变形放大图？
分析：
A
L1
图1
B L2
（1）、研究节点 C 的受力，确定各 杆的内力 FNi；
（2）、求各杆的变形量△Li ；
C
（3）、变形图严格画法，图中弧线；
60kN 80kN 50kN 30kN
解： 应用截面法求得各段横截 面上的轴力如下：
AB段 FN1 60kN BC段 FN2 60 80 20kN CD段 FN3 30kN
AB 1m 2m
(a) 60kN
CD 1.5m
30kN
20kN (b)
得各段横截面上的正应力为：
AB段 BC段 CD段
L FN L EA
----胡克定律
E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。 EA——抗拉压刚度。
注意 ①当各段的轴力为常量时——
L L1 L2 L3
FNi Li EAi
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
L dL1 dL2 dL3
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
F NBC 56 . 6 kN （压力） F NBA 40 kN
（拉力）
（2）由强度条件确定各杆截面尺寸 对BA杆
A BA
d
4
2
F NBA
s
d
4 F NBA
s
17 . 8 mm
可取
d 18 mm
F NBC
对BC杆
A BC a
2
w
a
F NBC
【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径
d=2cm,E=200GPa,FP=12kN, 求B点位移。
C 0.75m A D B
1m
1.5m
FP
解：(1)受力分析，求轴力
FN
F Ax
A
D
B
F Ay
1m
1.5m
FP
M
A
0
F P AB F N AD sin
FN
解：（1）受力分析， 求各杆轴力
F NBD
F x 0, Fy 0
2 F P 31 . 4 kN
（2）求各杆应力
BD
F NCD F P 22 . 2 kN
F NBD A BD F NCD A CD 22 . 2 kN 31 . 4 kN
CD
3
m
DD BB
AD AB
B B D D /(
AD AB
)
4 . 17 10
3
m
7.4 轴向拉压杆的强度计算
• 工作应力
FN A
• 失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极 限应力；