凸多边形的最优三角剖分

t[1][5]=t[1][4]+t[5][5]+w(0,4,5)=18+6=24 (v0v1v4 和 v2v3v4 和 v1v2v4
和v0v4v5)
循环程序
Int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s) { for(int i=1; i<=n; i++) { t[i][i] = 0; } for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模） { for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界 { int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界 t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] ) 这里实际上就是k=i s[i][j] = i;
Vi
Vi-1
t[i][j]
Vj
递归结构
子问题重叠
子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进 行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些 子问题会被重复计算多次。 动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对 每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在 一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时， 只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的 解题效率。
例子
C:k=i+1 r=3 t[1][3]=t[1][2]+t[3][3]+w(0,2,3)=12 (v0v1v2和v0v2v3) t[2][4]=t[2][3]+t[4][4]+w(1,3,4)=21 t[3][5]=t[3][4]+t[5][5]+w(2,4,5)=15 (v2v3v4和v2v4v5)
凸多边形的最优三角剖分
演讲人：
问题相关描述
目 录
问题相关定义 分析两个要素 分析动态规划步骤
问题描述
凸多边形最优三角剖分的问题是： 给定一个凸多边形P={v0 ,v1 ,… ,vn-1}以及定义在由多边形的边和弦 组成的三角形上的权函数ω。要求确定该凸多边形的一个三角剖分， 使得该三角剖分对应的权即剖分中诸三角形上的权之和为最小。
子问题重叠
1,5
1,1
2,5
1,2
3,5 3,3 4,5
1,3
4,5
……..
2,2
3,5
2,3
4,5
3,3
4,5
凸多边形的三角剖分与矩阵链乘法完全加括号方式之间具有十分紧密 的联系。正如所看到过的，矩阵连乘积的最优计算次序问题等价于矩 阵链的完全加括号方式。这些问题之间的相关性可从它们所对应的完 全二叉树的同构性看出。
例子
Example:{V0,V1,V2,V3,V4,V5}={{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4} ,{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}}//凸多边形的权值 A:i=j(i=1;i<=n;i++) t[i][j]=0; B:k=i(i=1;i<=n;i++)
t[3][5]=t[3][3]+t[4][5]+w(2,3,5)=17
(c)r=4时j=i+r-1 t[1][4]=t[1][1]+t[2][4]+w(0,1,4)=18 (v0v1v4和v2v3v4和v1v2v4)
t[2][5]=t[2][2]+t[3][5]+w(1,2,5)=25 (v2v3v4和v2v4v5和v1v2v5)
问题相关定义
（1）凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交
的弦的集合T。
（2）最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的
边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形
的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。
Example
通常，用多边形顶点的逆时针序列来表示一个凸多边形，即P={v0 ,v1 ,… ,vn-1}表示具有n条边v0v1，v1v2，… ,vn-1vn的一个凸多边形，其中， 约定v0=vn。 若vi与vj是多边形上不相邻的两个顶点，则线段vivj称为多边形的一条 弦。弦将多边形分割成凸的两个子多边形{vi ,vi+1 ,… ,vj}和{vj ,vj+1 ,… ,vi}。多边形的三角剖分是一个将多边形分割成互不相交的三角形的弦 的集合T。图1是一个凸多边形的两个不同的三角剖分。
(a)r=2 时j=i=r-1
t[1][2]=t[1][1]+t[2][2]+w(0,1,2)=0+0+5=5 t[2][3]=t[2][2]+t[3][3]+w(1,2,3)=8 t[3][4]=t[3][3]+t[4][4]+w(2,3 ,4)=9
例子
t[4][5]=t[4][4]+t[5][5]+w(3,4,5)=9 (b)r=3时j=i+r-1 t[1][3]=t[1][1]+t[2][3]+w(0,1,3)=18 t[2][4]=t[2][2]+t[3][4]+w(1,2,4)=13 (v2v3v4和v1v2v4)
循环程序
for(int k=i+1; k<j; k++) { //将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j]) int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j); if(u<t[i][j]) { t[i][j] = u; s[i][j] = k; } } } } return t[1][N-2]; } （N为凸多边形的边数加1） //时间复杂度为O(n3)
r=4
t[1][4]=t[1][2]+t[3][4]+w(0,2,4)=19 t[2][5]=t[2][3]+t[4][5]+w(1,3,5)=27
例子
当k=i时 t[1][5]=t[1][1]+t[2][5]+w(0,1,5)=34
当k=i+Βιβλιοθήκη Baidu时
t[1][5]=t[1][2]+t[3][5+w(0,2,5)=30 t[1][5]=t[1][3]+t[4][5]+w(0,3,5)=30
图1一个凸多边形的两个不同的三角剖分
性质：在凸多边形P的一个三角形部分T中，各弦互不相交，
且弦数已达到最大，即P的任一不在T中的弦必与T中某一
弦相交。在一个有n个顶点的凸多边形的三角部分中，恰
好有n-3条弦和n-2个三角形。
分析两个基本要素
最优子结构性质 若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形 V0VkVn,1<=k<=n-1，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的 权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。 如下图所示：
T V0 Vn
Vk
分析两个基本要素
可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为 若有{V0,V1……Vk}和{Vk+1,……Vn}更小权的三角剖分，将导致T不 是最优三角剖分的矛盾（利用剪贴法）。因此，凸多边形的三角剖分 问题具有最优子结构性质。
递推结构
设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函 数值，即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权，子多边形{Vi1,Vi……Vk}的权，子多边形{Vk，Vk+1……Vj}的权之和。且设退化的多边形 {vi-1, vi}具有权值0。 凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。
一个表达式的完全加括号方式对应于一棵完全二叉树， 人们称这棵二叉树为表达式的语法树。例如，与完全加括 号的矩阵链乘积((A1(A2A3))(A4(A5A6)))相对应的语法树如 图2(a)所示。
v0
A1 v1 A1 A2 A3 A4 A5 A2 A3 (b)
v5
A5 v4 A4 v3
v2 (a) 图2 表达式语法树与三角剖分的对应 图1(a)中凸多边形的三角剖分可用图2(b)所示的语法树来表示。该语法 树的根结点为边v0v6，三角剖分中的弦组成其余的内部结点。多边形中除 v0v6边外的每一条边是语法树的一个叶结点。树根v0v6是三角形v0v3v6的一 条边，该三角形将原多边形分为3个部分：三角形v0v3v6，凸多边形{v0 ,v1 ,… ,v3}和凸多边形{v3 ,v4 ,… ,v6}。三角形v0v3v6的另外两条边， 即弦v3v6和v0v3为根的两个儿子。以它们为根的子树分别表示凸多边形{v0 ,v1 ,… ,v3}和凸多边形{v3 ,v4 ,… ,v6}的三角剖分。