六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx

数论综合（二）

教学目标：

1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；

2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想

例题精讲：

板块一质数合数

【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．

【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．

【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．

【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、

c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．

【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数

【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、

8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数

67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．

【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少

【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两

位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．

把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．

把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．

板块二余数问题

【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003

商与余数之和为 2113，则被除数是多少

【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．

【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个

【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．

【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．

【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)

12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除

数，这个数是 4,6,12

；

( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．

【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题

) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和

是 50，那么这个整数是 ______．

【解析】 (70

110 160)

50 290 ， 50

3 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是

29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是

58．

70 29 2

， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，

12 23 15 50

，所以除数是

29

(12)

23

15 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题

) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那

么 n=________ ．

【解析】

n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不

能大于 63．符合条件的只有 43．

【例 9 】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除

220 后所得的余数，

则这个自然数是多少

【解析】 这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，

所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．

如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；

如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除

乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少

【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3

由于 r 1

2r 2 ， r 2

2r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．

这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大

2 倍，同理，第三个式子乘以

4．

于是我们可以得到下面的式子：

603 A

K 1 L L r 1 939 2

A 2 K 2 L L 2r 2 393 4

A 2K 3 L L 4r 3

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．

939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969

51

3 17 ．

51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．

【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题

)

22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．

【解析】 找规律．用 7 除 2

3

， 4

5

6

，⋯的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，⋯， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2

的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个 数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为

4．因为 22003 23 667

2

，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积

除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同． 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2

除以 7 余 1．故

2

2003

与 20032

的和除以 7 的余数是 4 1

5．

【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少

【解析】 23

8除以 7

的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2

2008

23 669＋1

(23 )669

2 ，其除以 7 的余数为：

669

2 2 ； 2008 除以 7 的余数为

2

2

7 的余数，为 1；所以

1

6，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以

22008

20082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．

【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级

) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两

个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数