浙大计算方法 1 绪论共52页文档

计算方法第一章数值计算方法.ppt

x1
a22b1
a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2
a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 ,b1,b2
D=a11a22-a12a21
Yes D=0
No
x1 (b1a22 b2a12 ) / D x2 (b2a11 b1a21) / D
输出无解信息
…
…
第一章计算方法与误差
本章内容
§1 引言 §2 误差的来源及分类 §3 误差的度量 §4 误差的传播 §5 减少运算误差的原则
小结
第一章计算方法与误差
要求掌握的内容
概念包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限等
误差截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等
分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则
常用的两种复杂性有：计算时间复杂性和空间复杂性。
二、算法的优劣
➢ 计算量小例：用行列式解法求解线性方程组:
n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运算多少次？
n=100?
计算量大小是衡量算法优劣的一项重要标准。
在估计计算量时，我们将区分主次抓住计算过程中费时较多的环节。比如，由于加减操作的机器时间比乘除少得多，对和式
例：求解二元一次联立方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0，则令计算机计算

计算方法引论- 计算方法

40
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桹征馌唈
• 1222222222222223211
• 21111122222222222 • 能密密麻麻密密麻麻
41
聉吧臕絛篋嚹嶚弚偐陲竾摺芋鎭
琬椗朂聽孎磊妽圼頛鎲衉鶳錼蚬獭巬哢筴
• 快快快快快歼击机
• 斤斤计较就就 • •
• 444444444444444 44
• 和呵呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤计较
• 化工古古怪怪古古怪怪个
• Ccggffghfhhhf • Ghhhhhhhhhh • 1111111111
• 2222222222 • 555555555555 • 8887933 • Hhjjkkk • 浏览量力浏览量了 • • • 111111111111 • 000
2
2
27
在近似计算中应该注意的事项
1、避免两个相近的数相减； 2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法； 3、要防止大数“吃掉”小数； 4、尽可能减少运算次数； 5、要设法控制误差的传播。
28
第一讲完！谢谢大家！
再见！
29
遳氜鋅牒拘預隠簹櫊畒邱咷嬏懍愸鵢暳脨靐躋薆戬倴薰灈僖雤苯咅腋艤匥噎伻沋熵矹灯璖熙陏猣岷妢礟
x2
xn
Sn (x) 1 x 2!
n!
计算部分和 Sn (x) 作为 ex 的值必然产生误差，其误
差为：
Rn ( x)
e
x n1
(n 1)!
在0与x之间
这个误差就是“截断误差”。
ex 1 x x2 ... xn ...
2
n
12
舍入误差
• 在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。

计算方法课件第一章

1 In I n 1 n ( n 10,9, ,2,1)
计算结果相当好，见P5表1-2 问题：两个递推公式都对，为何会出现上面这两种截然不同的现象？
误差分析
例5中对于算法一中的迭代公式进行稳定性分析
I n 1 nI n1 (n 1, 2, , 9) 记 I ( n) 的误差为 n I ( n) I n
则迭代格式
I n 1 nI n1
计算得 I1 0.3679,, I 8 0.7280, I 9 7.552
In
1 ( n 1)e
1 1 n x e 0 x e dx
1 1 1 1 n I 8 0.7280, 0 x n edx e 0 x dx I n e
其解析解（精确解）为 y( x ) e
x2
•为什么要求数值解？

x
0
e dt
t2
而实际中只需知道 y(1), y(1.5) 等近似值。这些近似值就是数值解。
•如何构造方法（主要思想） 1. 2. 3. 4. 迭代法以直线代替曲线（非线性问题线性化）化整为零（离散化）外推法（加速）
•构造什么样的方法实用的好的算法有三个标准：快 ——— 计算步骤少，收敛速度快准 ——— 数值稳定性好，计算结果可靠性高省 ——— 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 n n 0 ( 1) 误差没有增大，算法稳定
n!
稳定性的定义
若一个算法的结果受初始误差影响较小或运算过 • 算法一是数值不稳定的程中舍入误差不增长，则称此算法为数值稳定的。否则，是不稳定的。 • 算法二是数值稳定的具体图示如下准确初值准确解数值稳定性指的是方法，与问题无关；稳定近似初值近似解数值不稳定的算法是不能用的；不稳定不能说方法正确，程序正确，结果就正确。

计算方法课件

※ 特点：简单、直观，编程容易且收敛性总能得到保证。但收敛速度
较慢，且只能用于求实函数的实根，不能求偶数重根及复根。
§2.2
迭代法
思想：首先给出方程的根的一个粗糙的初始值，然后反复使用某一个公式校正这个初始值，使之逐步精确化，直到满足预先给出的精度要求为止。具体方法如下：（1） f ( x) 0 化为下列等价形式：
设其跟为 xk 1 , 即
f ( xk ) f ( xk )( xk 1 xk ) 0
则有
f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
(f ( xk ) 0)
牛顿迭代法的几何意义：
y
P （ 0 x0 ,f (x0 )）
P （ 1 x1,f ( x1 )）
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
2.4
弦截法：
弦截法（割线法）
xk 1
几何意义：P23
f ( xk )( xk xk 1 ) xk , f ( xk ) f ( xk 1 )
(k 1,2, )
一般，弦截法的收敛速度（收敛的阶为1.618）比牛顿迭代法慢，但优点是无需计算导数，每步只需计算一次函数值。
x g ( x)
（2）构造迭代公式
x k 1 g ( x k ),
(k 0,1,2,)
在有根区间【a,b】上取一点 x 0 (初始近似根)作为方程的近似值，代入上面公式右端，求得 x1 g ( x 0 ) ，在把 x 1 作为预测值，得到
x 2 g ( x1 ), 如此反复进行下去，得到一个近似根的序列
1. 要避免相近两数相减 2. 要防止“大数吃掉小数” 3. 避免用绝对值很小的数除数 4. 注意简化计算步骤，减少运算次数 5. 注意控制递推公式中误差的传播

计算方法第一章讲义

L m U 。由于机器数的字长与阶码有限，因此，计算机中的数是有限的。事实上，计算
机中共有 2
t
U L 1 1 个机器数。把计算机中的全体机器数组成的集合记为 F 或
L 1
F(2,t,L,U),称为计算机机器系。显然，机器系数 F 是一个有限的、离散的、分布不均匀的集合。不难验证，F 中任意非零数 x 满足 2
计算方法讲义 .1.
谢进
数理系信息与计算科学教研室 2016 年 9 月
1
第1章
§1.1 计算方法及其相关概念
1.科学计算
绪论
随着人们的生产活动和计算需要，数学中逐渐发展了一种新的分支一一计算数学。随着计算工具的应用，特别是计算机的出现和发展，计算数学（Computational Mathematics）逐渐发展成为现代意义下的计算科学，或称科学计算(Scientific Computing)，成为了传统的理论研究和科学实验之后的第三大科学科学方法。现在，科学计算在科学研究与工程实际中作用越来越重要，甚至用科学计算来取代部分实验和理论研究。如通过科学让计算机模拟核爆炸。这种由科学实验向科学计算的转变，也促使一些边缘学科的相继出现，例如，计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学以及计算经济学等等都应运而生。有些理论证明往往也是通过科学计算去解决，例如，四色问题，吴文俊院士开创的机器证明等。也就是说，科学计算可以全部或部分地代替理论证明。
m=-2
0.125 0.15625 0.171875 0.1875 0.203125 0.21875 0.234375
m=-1
0.25 0.3125 0.34375 0.375 0.40625 0.4375 0.46875

计算方法PPT

数学系 University of Science and Technology of China
第0章绪论
计算方法的作用计算方法的内容误差一些例子
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
数学系 University of Science and Technology of China
学习的目的、要求
会套用、修改、创建公式编制程序完成计算
课程评分方法 (Grading Policies)
总分 (100) = 平时作业(20)+上机作业(10)+期末 (70)
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
数学系 University of Science and Technology of China
x 50.25 x 55.81
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
数学系 University of Science and Technology of China
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
/* ill-posed problem*/
内容 : 一次作业一个附件，并在内容中写出运行结果
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
数学系 University of Science and Technology of China
内容
1、数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分、

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
DEPARTMENT OF MATHEMATICS

计算方法第一章绪论

知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又（0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于中的数字9不是有效数字,故不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26

计算方法浙江师大数理学院朱伟义

5.了解sor迭代法及其收敛的必要条件。
线性方程组的解法-直接法
知识点：简单消元法，主元消元法，紧凑格式，矩阵的三角分解,病态方程组。
要求：
1.了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件
2.掌握矩阵的三角分解（Doolittle分解） 3.熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式求解线性方程
增长例如
In

1
0
xn dx
x5

1 n

5 I n（n=1,2,…）
6
若 I0 ln 5 0.1823（误差
1 104 2

1 2a1
1 01 n
(1.2)
x 反之，
若
er
*
x( *)

1 2a1
1

1
01
n
至少有n位有效数字。
则
四、数值运算的误差估计
1. 一元函数情形
设 y f ( x), 则 y* f ( x* ) ，由Taylor展开公式
e( y*) y y* f ( x) f ( x*) f ( x*)(x x*)
(1.000002)2 1.000004 0
(本应（1.000002）2 1.000004 1.000004000004 1.000004 0.000000000004 4 1012）
舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。
二．误差基本概念
1．绝对误差。设 x——准确值， x—* —近似值。
组的方法。 4.了解病态方程组及条件数的计算.
第4章插值方法
知识点：拉格朗日插值法及其余项，差商，差商的性

计算方法-第1章

13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地，求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1）数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法

计算方法_第一章_绪论

第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。

《计算方法(1)》课程教学大纲

计算方法课程教学大纲（Calculation Method）一、课程概况课程代码：0821018学分：3学时：48（其中：讲授学时32 ，实验学时16 ，上机学时0）先修课程：数学分析，高等代数等适用专业：小学教育（理）专业建议教材：《计算方法》，易大义，浙江大学出版社，2017.5课程归口：理学院课程的性质与任务：本课程是小学教育（理）专业的一门重要基础课。

通过本课程的学习，使学生系统地获得计算方法的基本知识、必要的基础理论；提高学生的数学视野、数学思维能力、逻辑推理能力；提高学生的数学素养，为学生学习后续相关课程及终身学习奠定必要的数学基础。

二、课程目标目标1.能够获得课程基本概念与性质。

目标2. 能够掌握本课程要求的计算方法。

目标3. 能够具有一定的抽象概括、逻辑推理等能力。

目标4. 能够具有一定的运算能力。

目标5. 能够具有一定的数学思维与分析能力。

本课程支撑专业人才培养方案中毕业要求3-1、毕业要求3-2，毕业要求6-2对应关系如表所示。

三、课程内容及要求（一）数值计算的基本概念1.教学内容（1）能够了解数值计算的研究对象和内容（2）能够了解数值算法的基本概念（3）能够了解误差的基本理论（4）能够了解数值算法设计的若干原则2.基本要求（1）重点与难点：误差的计算。

（2）教学方法：启发式互动讲授结合多媒体辅助；适当课堂练习；及时了解学生的作业状况并对共同的问题作及时解答；安排好课后答疑。

3.思政内容注重理论联系实际，尊重客观规律，树立社会主义核心价值观，增强专业素养，强调理论对实践的指导意义。

（二）非线性方程的迭代法1.教学内容（1）能够了解二分法（2）能够掌握Picard迭代法（3）能够掌握牛顿型迭代法2.基本要求（1）重点与难点：Picard迭代法、牛顿型迭代法及其实现。