中考数学第1讲实数复习教案

课题：第一讲实数教学目标:1．了解有理数、无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．4．了解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数．在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小．教学重点与难点：重点：会运用运算规律，按照规定的运算法则进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算.难点：掌握数学思想，熟练应用各个知识点解题．课前准备：教师制作多媒体课件．教学过程：一、知识梳理，构建网络(一)知识梳理师:课前请同学们翻阅课本并回忆实数的有关内容，熟记概念、性质等知识点，完成了知识梳理.下面我们比一比看看谁做得最好（导学稿，提前下发，学生在导学稿中填空.）处理方式：学生边口答边在导学稿中填空，师生共同回顾矫正．考点一实数的分类1.统称为实数，一般地实数有两种分类（如图）考点二实数的有关|a|=⎨___(a=0)⎪___(a<0)(4)倒数比较法：若＞，a＞0，b＞0，则a b．．概念2．数轴：规定了、、的直线叫数轴．数轴上的点与是一一对应．3．相反数：到原点的距离相等且符号不同的两个数称为相反数,实数a的相反数是,零的相反数是，a与b互为相反数，则；4．绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值．⎧___(a>0)⎪⎩5．倒数：若实数a不为０，则a的倒数为，若ab=1，则a与b互为．考点三近似数、有效数字和科学计数法6．科学记数法：将一个数记作a×10n，其中（1≤|a|＜10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）7．有效数字：一个数从左边第一个的数字起，到右边精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．8．精确度的形式有两种：（１）；（２），一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分．考点四平方根、算术平方根、立方根9．若x2=a(a≥0)，则x叫做a的，记做；正数的平方根有个，它们互为，０的平方根是,负数没有平方根，正数a的正的平方根叫做，记做a，０的算术平方根是０．10．若x3=a，则x叫做a的，记做；正数的立方根有１个正的立方根，０的立方根是０，负数的立方根是负数．考点五实数的大小比较11．比较实数大小的一般方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数．(2)性质比较法：正数大于；负数小于；正数一切负数；两个负数，绝对值大的数．(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0则a___b，如a－b<0,则a<b，如a－b=0,则a___b．11a b(5)平方比较法：∵由a＞b＞0，可得a b，∴可以把a与b的大小问题转化成比较a和b的大小问题．考点六实数的运算12．有理数的运算定律在实数范围内都适用,其中常用的运算律有________、__________、____________、________、____________..例 1 (2013 安顺)下列各数：3.14159， 8，0.131131113…，－π， 25，无理数的个数13 ．在实数范围内进行运算的顺序是先算 ________、 ________，再算 _________，最后算 __________，运算中有括号的，先算________，同一级运算从_____到______依次进行．14．写出你熟悉的三种非负数的形式： ，若几个非负数的和为零，则 . 处理方式：学生举手回答，畅所欲言，其他同学互相补充、交流、回顾实数的相关知识点，教 师到学生中巡视指导，关注每位学生，在巡查中发现学生的问题，进行“第二次备课” .设计意图:实数的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此自主复习放在课 前，从而培养学生自主学习的习惯，通过“导学稿”形式让学生在填空的过程中回顾实数的相关知 识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间，也能为知识网络图的 理解作准备.(二)构建网络师:本节课我们将再次走进实数的世界，进一步复习探究其中蕴含的数学思想及方法 通过前面 知识梳理，相信同学们对本节的知识结构已胸有成竹，请同学们结合下列知识网络图对实数的有关 内容进行简要回顾.处理方式: （多媒体展示课件）学生举手回答，畅所欲言，其他同学互相讨论补充 .在学生充 分交流后,教师出示知识结构.设计意图：本环节在学生充分思考、交流的基础上出示本讲的知识结构网络，理清各板块内容 间的联系，让学生对本讲知识有一个系统完整的了解.二、范例导航、方法指导考点一 实数的分类3171．(2014合肥)实数π，，0，－1中，无理数是()A．πB．C．0D．－12有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：无理数是无限不循环的小数，其中的无理数有：0.131131113…，－π，故选B．方法总结：对数的判断不能从形式上判断是有理数还是无理数,应先把它们化简后从结果上作判断,再根据无理数的四种类型：①开方开不尽的数，②某些三角函数值，③含有π的数，(4)特殊结构数来判断即可．跟踪练习：15152．(2014安庆)下列各数中，为负数的是()1A．0B．－2C．1D．考点二实数的有关概念例2（1）（2014珠海）﹣的相反数是．（2）（2014广西玉林市）3的倒数是．（3）（（2014四川成都）计算：|﹣|=．（4）（2014呼和浩特）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c解析：（1）根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣的相反数为．（2）根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．3的倒数是．（3）根据负数的绝对值等于它的相反数．解：|﹣|=．（4）先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故本选项错误；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故本选项错误；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故本选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故本选项正确．故选D．方法总结：解决本类题的关键是弄清实数中的有关的概念，关于绝对值除了了解几何意义，还应理解“正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数”的内涵．实数与数轴问题，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此类题的关键．跟踪练习：3．(2014年黑龙江绥化)－2014是2014的()A．相反数B．倒数C．绝对值D．算术平方根4．（2014湖北荆门）若（）×（﹣2）=1，则括号内填一个实数应该是（）A．B．2C．﹣2D．﹣5．(2014 蚌埠)在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是 3和－1，则点 C 所对应的实数是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．2 3－1D ．2 3＋1考点三 近似数、有效数字和科学计数法例 3 （2014 湖南衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新 修订的《环境空气质量标准》中增加了 PM 2.5 检测指标，“PM 2.5”是指大气中危害健康的直径小于 或等于 2.5 微米的颗粒物，2.5 微米即 0.0000025 米．用科学记数法表示 0.0000025 为（ ）A ．2.5×10﹣5B ．2.5×105C 2.5×10﹣6D ．2.5×106解析：绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a ×10﹣n ，与较大数的科 学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数 所决定．解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选：C ．方法总结 ：科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定 n 的值时， 把大数的总位数减 1 即为 n 的值，较小的数表示时就数第 1 个有效数字前所有“0”的个数(含小数 点前的那个“0”)即为 n 的值．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a ×10﹣n ，其中 1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．跟踪练习：6．近似数 2.5 万精确到__ __位．7．（ 2014 广西玉林市）将 6.18×10﹣3 化为小数的是（）A ．0.000618B ．0.00618C ．0.0618D ．0.6188．(2014 芜湖)餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触 目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约 500 亿千克，这个数据用科学记数法表示为 ( )A ．5×1010 千克B ．50×109 千克C ．5×109 千克D ．0.5×1011 千克 考点四 平方根、算术平方根、立方根例 4 (1) （2014 年江苏南京）8 的平方根是（）A ．4B ．±4C ． 2D ．（2）（2014 山东威海）若 a 3=8，则 a 的绝对值是 ． 解析：（1）直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．注意一个正数有两个平方根，它们 互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根．解：∵，∴8 的平方根是 ．故选 D ．（2）运用开立方的方法求解，关键是确定符号．解：∵a 3=8，∴a =2．方法总结 ：1．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是 0；负数没有平方 根．2．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术 平方根，它是一个正数；(2)0 的 算术平方根是 0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根 a 具有双重非负性：①被开方数 a3 3是非负数，即 a ≥0；②算术平方根 a 本身是非负数，即 a ≥0．3．( a )3＝a ， a 3＝a ．12．（2014 浙江金华）计算： 8 - 4cos 450 + ⎪ + -2跟踪练习：9．(2014 陕西)4 的算术平方根是（）A ．﹣2B ． 2C ．±2D ． 16考点五 实数的大小比较例 5 （1）（2014 益阳）四个实数﹣2，0，﹣A ．﹣2B ．0C ．﹣，1 中，最大的实数是（ ）D ．1(2)(2014 河北)a ，b 是两个连续整数，若 a ＜ 7＜b ，则 a ，b 分别是()A ．2，3B ．3，2C ．3，4D ．6，8解析：（1）根据正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，比较即可．解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，∴四个实数中，最大的实数是 1．故选 D ．.（2） 4 < 7 < 9 ，所以 a=2，b=3方法总结：本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实 数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适 用范围．跟踪练习：10．（2014 年江苏南京）下列无理数中，在﹣2 与 1 之间的是（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．11．（2014 新疆）规定用符号[x ]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[定，[﹣1]= ．考点六 实数的运算]=1，按此规例 6 （2014 湖北黄石）计算：|﹣5|+2cos 30°+（ ）﹣1+（9﹣）0+．解析：先分别算出每一项的值，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式= 5 - 3 + 2 ⨯3 + 3 + 1 + 2 =11．2方法总结：实数运算的考查是中考的必考知识, 此类题中常常结合绝对值、零指数、负指数、 特殊角的三角函数值、无理数的化简等概念，牢记这些概念是解决这类问题的关键．解题时还应注 意运算顺序以及运算技巧．跟踪练习：⎛ 1 ⎫-1⎝ 2 ⎭13．(2014 东营)计算：(－1)2014＋(sin 30°)－1＋(3 5－ 2)0－|3－ 18|＋83×(－0.125)3.考点七 实数非负性质的应用例 7 （2014 河北）若实数 m ，n 满足|m ﹣2|+（n ﹣2014）2=0，则 m ﹣1+n 0= ．C ． 5.15D ．sin450解析：根据绝对值与平方的和为 0，可得绝对值与平方同时为 0，根据负整指数幂、非 0 的 0次幂，可得答案．解：|m ﹣2|+（n ﹣2014）2=0，m ﹣2=0，n ﹣2014=0，m =2，n =2014．m ﹣1+n 0=2﹣1+20140= +1= ，故答案为： ．方法 总结：中考中对于非负数考查也比较多,这就需要学生掌握非负数的性质及几 4 种形式.常 见的非负数的形式有三种：|a |， a (a ≥0)，a 2，若它们的和 为零，则每一个式子都为 0．跟踪练习：14．（2014 四川泸州）已知实数 x 、y 满足+|y +3|=0，则 x +y 的值为（）A ．-2B ．2C ．4D ．﹣4处理方式：以上例题及练习都是基础知识和基本技能的再现，学生自主完成练习，教师各小组 巡视.完成后先由学生相互补充、交流、评价．教师适时进行有针对性的提问并指导学生总结归纳 知识点和方法，反馈矫正，做到查缺补漏．例 6 让两名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上 完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图：本环节设计七个有代表性的关于实数的典型考题，让学生在练习的过程中体会每种 类型题解题的关键. 同时学生通过练习，自查补漏，发现问题及时解决．在解决问题的过程中掌握 方法、学会学习.三、回顾反思，提炼升华通过本节课的复习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．同时在与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识.四、达标测试，反馈提高1．(2014 年山东东营) 的平方根是（ ）A ．±3B ． 3C ．±9D ． 92．（2014 德州）下列计算正确的是（ ）A ．﹣（﹣3）2=9B ． =3C ．﹣（﹣2）0=1D ．|﹣3|=﹣33．（2014 山东潍坊）下列实数中是无理数的是()22A ．B ．2－2 7⋅ ⋅4．(2014 年广东深圳)支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江 南北．据统计，2014 年“快的打车”账户流水总金额达到 47.3 亿元.47.3 亿用科学记数法表示为 ( )A ．4.73×108B ．4.73×109C ．4.73×1010D ．4.73×10115．（2014 湖北宜昌）如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是 m ，n ，下列式子中成立的是（）A ．m +n ＜0B ．﹣m ＜﹣nC ．|m |﹣|n |＞0D ．2+m ＜2+n⎛1⎫ ⎝3⎭ （6． 2014 山东临沂）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2， 3，4 就可以构成一个集合，记为 A ={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定 义：集合 A 与集合 B 中的所有元素组成的集合称为集合 A 与集合 B 的和，记为 A +B ．若 A ={﹣2，0， 1，5，7}，B ={﹣3，0，1，3，5}，则 A +B =7．(2014 年广东深圳)计算： 12－2tan60°＋( 2014－1)0－ ⎪－1处理方式：学生用 6 分钟独立完成，然后反馈矫正.对于出错较多的题目重点讲解.设计意图：限时训练 ，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况， 同时也可以培 养学生快速准确解决问题的能力 .每一道小题都各有目的，从不同的侧面考查了这节的知识点，从 而达到熟练应用知识的目的．五、布置作业，课堂延伸必做题：完成复习指导丛书第 4 页到 7 页内容．选做题：1．(2014 年四川达州)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图1 1 1 1由图易得：2＋22＋23＋…＋2n ＝________.2．（2014 甘肃兰州）为了求 1+2+22+23+…+2100 的值，可令 S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此 2S ﹣S=2101﹣1，所以 S=2101﹣1，即 1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上 推理计算 1+3+32+33+…+32014 的值是 ．板书设计：第一讲实数1．知识梳理2．范例导航考点一：实数的分类考点二：实数的有关概念考点三：科学记数法与近似数、有效数字考点四：平方根、算术平方根、立方根 考点五：实数的大小比较 考点六：实数的运算考点七：实数非负性质的应用学生活动区投影区。