初中数学-尺规作图专项训练

……○…………装…………○…○…________姓名：___________班______……○…………装…………○…○…注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.如图，已知线段a 、b(a ＞b)，画一条线段AD ，使它等于2a-b ，正确的画法是( )A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为(2x ，y+1)，则y 关于x 的函数关系为( )A ．y=xB ．y=-2x-1C ．y=2x-1D ．y=1-2x3.给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④4.尺规的作图是指( ) A ．用直尺规范作图 B ．用刻度尺和圆规作图C ．用没有刻度的直尺和圆规作图D ．直尺和圆规是作图工具5.如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB ，作图痕迹MN̂是( )A ．以点B 为圆心，OD 为半径的圆……○……………装…………………订………线……学校:___________姓名：_班级：__________……○……………装…………………订………线…… 6.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'=∠AOB 的依据是( )A ．(SAS)B ．(SSS)C ．(ASA)D ．(AAS)7.如图，矩形ABCD 中，AD=3AB ，O 为AD 中点，AD̂是半圆．甲、乙两人想在AD ̂上取一点P ，使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积其作法如下：(甲) 延长BO 交AD̂于P 点，则P 即为所求； (乙) 以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AD̂于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确8.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：作法：(1)如图所示，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； (2)画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'； (3)以点C'为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'； (4)过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是( )A ．根据“边边边”可知，△C'O'D'≌△COD ，所以∠A'O'B'=∠AOB B ．根据“边角边”可知，△C'O'D'≌△COD ，所以∠A'O'B'=∠AOBC ．根据“角边角”可知，△C'O'D'≌△COD ，所以∠A'O'B'=∠AOB D ．根据“角角边”可知，△C'O'D'≌△COD ，所以∠A'O'B'=∠AOB9.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是( )A ．边边边B ．边角边C ．角边角D ．角角边…○…………外…………○………订…………○…___________班级：_____考号：__________…○…………内…………○………订…………○…10.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( ) A ．SAS B ．AASC ．SSSD ．ASA第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题11.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图： ①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径做弧，两弧相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若CE=4，则AE=______．12.在右图的网格中，每个小正方形的边长均为1cm ．请你在网格中画出一个顶点都在格点上，且周长为12cm 的三角形______．13.画线段AB ；延长线段AB 到点C ，使BC=2AB ；反向延长AB 到点D ，使AD=AC ，则线段CD=______AB ．14.已知∠a 和线段m ，n ，求作△ABC ，使BC=m ，AB=n ，∠ABC=∠α，作法的合理顺序为______(填序号1，2等即可)．①在射线BD 上截取线段BA=n ；②作一条线段BC=m ；③以B 为顶点，以BC 为一边，作角∠DBC=∠α；④连接AC ，△ABC 就是所求作的三角形．15.如图，正方形网格的边长为1点P 是∠AOB 的边OB 上的一点． (1)过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C ； (2)过点P 画OA 的垂线，垂足为H ；(3)点P 到OA 的距离为______，因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC 、PH 、OC 这三条线段大小关系是______．(用“＜”号连接)16.已知：如图∠AOB ，OC 是∠AOB 的角平分线，按照要求完成如下操作，并回答问题： (1)在OC 上任取一点P ，分别画出点P 到OA 、OB 的距离PD 和PE ；…………外…………装…………订…………………线……学校:___________姓名：___________考号：_____…………内…………装…………订…………………线……17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．(1)用尺规在边BC 上求作一点P ，使PA=PB(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接AP ，当∠B 为______度时，AP 平分∠CAB ．18.如图，线段AB 、BC 、CA ．(1)画线段AB 的中点D ，并连接CD ； (2)过点C 画AB 的垂线，垂足为E ； (3)过点E 画AC 的平行线，交BC 于F ； (4)画∠BAC 的平分线，交CD 于G ；(5)△ACD 的面积______△BCD 的面积(填“=”或“≠”)19.如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C 画线段CD ，使CD ∥AB ，D 是格点，过C 作AB 的垂线CH ，垂足为H ．连结BC 、AD ．(1)试猜想：线段BC 与线段AD 的关系为______； (2)请计算：四边形ABCD 的面积为______；(3)若线段AB 的长为m ，则线段CH 长度为______．(用含m 的代数式表示)20.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠B=70°，分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、BC 于点D 、E ，连结AE ，则∠AED 的度数是______°．………外…………………装……………订………线……学校:___________姓名：___：___________考号：………内…………………装……………订………线……三、解答题(1)在图(1)中用直尺和圆规把三角形分成两个全等的三角形； (2)在图(2)中把三角形分成三个全等的三角形(只须画出示意图)；在图(3)中把三角形分成四个全等的三角形(只须画出示意图)；(3)在图(4)中，P 、Q 分别是AB 、AC 上的点，BQ 、CP 交于点O ，∠BOC=120°，试说明△APC ≌△BQC ．22.(0分)作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC ，可以这样来画：先作一条与AB 相等的线段A'B'，然后作∠B'A'C'=∠BAC ，再作线段A'C'=AC ，最后连结B'C'，这样△A'B'C'就和已知的△ABC 一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．(请保留作图痕迹)23.(0分)如图，已知用尺规将三等分一个任意角是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角CDE 和∠AOB=45°这两个角三等分(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)．24.(0分)已知：点A ．求作：(1)⊙O ，使它经过点A ；(2)直角三角形ABC ，使它内接于⊙O ，并且∠B=90度．(说明：要求写出作法，只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形．)…………外………○…………装………○…………订………○…………线……学___________姓名：_______班级：___________考号：________…………内………○…………装………○…………订………○…………线……25.(0分)如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD 中，点C 与A ，B 两点可构成直角三角形ABC ，则称点C 为A ，B 两点的勾股点．同样，点D 也是A ，B 两点的勾股点．(1)如图1，矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，请在边CD 上作出A ，B 两点的勾股点(点C 和点D 除外)(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)矩形ABCD 中，AB=3，BC=1，直接写出边CD 上A ，B 两点的勾股点的个数；(3)如图2，矩形ABCD 中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．过点P 作直线l 平行于BC ，点H 为M ，N 两点的勾股点，且点H 在直线l 上．求PH 的长．26.(0分)如图，请你在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线．27.(0分)已知线段a 、b(如图)，用直尺和圆规画线段c ，使c=2a-b ．(保留作图痕迹，写出画法)28.(0分)作出你喜欢的一个圆内接正多边形，(尺规作图，保留作图痕迹，并直接写出该正多边形的边长，假设圆的半径为r)边长用含r 代数式表示．29.(0分)作图题(要求用直尺和圆规作图，写出作法，保留作图痕迹，不要求写出证明过程) 已知：圆(如图)求作：一条线段，使它把已知圆分成面积相等的两部分． 作法：………外……………装…………○…………○…………学校:___________姓名：_________考号：___________………内……………装…………○…………○…………30.(0分)如图(1)，凸四边形ABCD ，如果点P 满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．(1)在图(2)正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足α≠β；(2)在图(3)四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹(不需写出画法)．31.(0分)文文和彬彬在完成作业，“如图在△ABC 中，AB=AC=10，BC=8．画出中线AD 并求中线AD 的长．”时她们对各自所作的中线AD 描述如图： 文文：“过点A 作BC 的垂线AD ，垂足为D ，AD 就是△ABC 的中线”； 彬彬：“作△ABC 的角平分线AD ，AD 就是△ABC 的中线”．那么： (1)上述作法你认为是两位同学的作法谁的较好？ (2)请你根据中线作法帮她求出AD 的长？32.(0分)如图，已知E 是平行四边形ABCD 的边AB 上的点，连接DE ． (1)在∠ABC 的内部，作射线BM 交线段CD 于点F ，使∠CBF=∠ADE ； (要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)在(1)的条件下，求证：△ADE ≌△CBF ．33.(0分)如图，在直角坐标平面中，O 为原点，点A 的坐标为(20，0)，点B 在第一象限内，BO=10，sin ∠BOA=35．(1)在图中，求作△ABO 的外接圆(尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹)； (2)求点B 的坐标与cos ∠BAO 的值；……○………………○……装………………订○………线……学_____姓名：___级：________________……○………………○……装………………订○………线……34.(0分)如图，作线段d ，使得d=a+b+c ．35.(0分)如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，∠A=30°，边AB 的垂直平分线和AC 相交于点M ，和AB 相交于点N ．(1)作出直线MN(要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)求线段MN 的长．36.(0分)已知平行四边形ABCD ，AB=3，AD=5．(1)先用尺规作出∠ABC 的角平分线交边AD 于E ，再用尺规在边BC 上找出点F ，使得BF=EF ． (2)若在平行四边形ABCD 做随机投一枚小针的实验，则落在△BEF 内的概率是多少？37.(0分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，AE ∥BC ．(1)作∠ADC 的平分线DF ，与AE 交于点F ；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若AD=2，求DF 的长．38.(0分)如图，OA 是⊙O 的半径，OA=1．(1)求作：半径OA 的垂直平分线，与⊙O 交于点B 、C ；(保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)求劣弧BC 的长．(结果保留π)………○……外…………○……○……订………………线…………_______班级______考号：__………○……内…………○……○……订………………线…………39.(0分)根据下列要求画图(不写画法，保留作图痕迹)： (1)已知线段a 、b ，求作线段AB ，使AB=2a-b ．(2)已知∠α、∠β，求作∠AOB ，使∠AOB=∠α-∠β．40.(0分) 已知△ABC 中，∠A=25°，∠B=40°．(1)求作：⊙O ，使得⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 落在AB 边上．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)(2)求证：BC 是(1)中所作⊙O 的切线．41.(0分)已知：∠α和线段m 、n ．求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m ，BC=n ．(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．)42.(0分)阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明同学出了一道题目：在图1正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△ABC ，使AB=AC=√5，BC=√2；小明同学的做法是：由勾股定理，得AB=AC=√22+12=√5，BC=√12+12=√2，于是画出线段AB 、AC 、BC ，从而画出格点△ABC ． (1)请你参考小明同学的做法，在图2正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△A'B'C'(A'点位置如图所示)，使A'B'=A'C'=5，B'C'=√10．(直接画出图形，不写过程)；(2)观察△ABC 与△A'B'C'的形状，猜想∠BAC 与∠B'A'C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．43.(0分)已知平面内两点A 、B ，请你用直尺和圆规求作一个圆，使它经过A 、B 两点．(不写作法，保留作图痕迹)……外……○…………装……○……订…………○…线………学校:________：___________班级______考号：________……内……○…………装……○……订…………○…线………44.(0分)如图，已知∠CAB 及边AC 上一点D ，在图中求作∠ADE ，使得∠ADE 与∠CAB 是内错角，且∠ADE=∠CAB ．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)45.(0分)如图，在△ABC 中． (1)画出△ABC 中AB 边上的高CD (2)画出△ABC 中AB 边上的中线CE ；(3)试判断△ACE 和△BCE 面积的大小关系．46.(0分)如图，一块直角三角形纸片，将三角形ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，点C 与点E 重合，用直尺圆规作出点E 和直线AD ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)47.(0分)图中画出∠A ，∠B 的平分线交于点O ．再画出点O 到AB 的垂线段OE ，点O 到BC 的垂线段OF ，(用圆规和三角尺作图，要求保留作图痕迹)48.(0分)已知一个三角形的两边分别为线段a 、b ，并且边a 上的中线为线段c ，求作此三角形．(要求：用尺规作图，写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法，要写结论)已知：求作： 结论：49.(0分)如图所示，已知：∠α、线段a ，求作等腰三角形△ABC ，使底边BC=a ，顶角∠A=∠α．(要求写出作法，并保留作图痕迹)…………线………○…__ …………线………○… 50.(0分)如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AB=CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且∠DAF=∠BCE ， (1)求证：AE=CF ；(2)若将此题中的条件改为：“E ，F 分别是AB ，CD 延长线上的点”，其余条件不变，此时，∠ABC=60°，∠BEC=40°，作∠ABC 的平分线BN 交AF 于M ，交AD 于N ，求∠AMN 的度数(要求：画示意图，不写画法，写推理过程)参考答案1.解：如图所示所以选：C2.解：依题意可知出：P点在第二象限的角平分线上∵点P的坐标为(2x，y+1)∴2x=-(y+1)∴y=-2x-1所以选：B3.解：①是边边边(SSS)②是两边夹一角(SAS)③两角夹一边(ASA)都成立依据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形而④则不能所以选A4.解：依据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图所以选C5.解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交EF̂于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB 所以选D6.解：作图的步骤①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D②任意作一点O'，作射线O'A'，以O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'③以C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'④过点D'作射线O'B'所以∠A'O'B'就是与∠AOB相等的角作图完毕在△OCD与△O'C'D'{O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD∴△OCD≌△O'C'D'(SSS)∴∠A'O'B'=∠AOB显然运用的判定方法是SSS所以选：B7.解：要使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积需P甲H=P乙K=2AB故两人皆错误所以选：B8.解：由作法易得OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，依据SSS 可判定△COD ≌△C'O'D'．故选：A ．9.解：作图的步骤①以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点C 、D②作射线O'B'，以O'为圆心，OC 长为半径画弧，交O'B'于点C'③以C'为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点D'④过点D'作射线O'A'所以∠A'O'B'就是与∠AOB 相等的角在△O'C'D'与△OCD 中{O ′C ′=OCO ′D ′=OD C ′D ′=CD∴△O'C'D'≌△OCD(SSS)∴∠A'O'B'=∠AOB显然运用的判定方法是边边边所以选A10.解：连接NC ，MC在△ONC 和△OMC 中∵{ON =OMNC =MC OC =OC∴△ONC ≌△OMC(SSS)∴∠AOC=∠BOC所以选：C11.解：依题意可知出：PQ 是AB 的垂直平分线∴AE=BE∵在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°∴∠CBA=30°∴∠EAB=∠CAE=30°∴CE=12AE =4∴AE=8所以答案是：812.解：13.(1)画线段AB(2)延长线段AB到点C，使BC=2AB(3)反向延长AB到点D，使AD=AC由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB14.解：作三角形，使三角形的一角等于已知角，两边等于已知边，作图的顺序应该是2，3，1，415.解：(1)(2)如图(3)点P到OA的距离为PH长，为1在△PHC中，PH＜PC，在△OPC中，PC＜OC∴PH＜PC＜OC所以答案是：1；PH＜PC＜OC16.解：(1)(2)(3)测量得到：PE=PD得到的结论是：角平分线上一点到角的两边的距离相等17.解：(1)如图(2)如图∵PA=PB ∴∠PAB=∠B如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC∴∠PAB=∠PAC=∠B∵∠ACB=90°∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°∴∠B=30°时，AP平分∠CAB所以答案是：3018.解：(1)、(2)、(3)、(4)，如下图所示(5)=理由：两三角形同高等底，故面积相等19.解：(1)∵AB=CD=√12+22=√5∴AB∥CD且AB=CD所以答案是：AB∥CD且AB=CD(2)S▱ABCD =3×5-12×1×2-12×1×4-12×1×2-12×1×4=15-1-2-1-2=9所以答案是：9(3)∵AB=√5，S▱ABCD=9∴AB•CH=9，即CH=√5=9√55所以答案是：9√5520.解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线∴CE=AE∴∠C=∠CAE∵AC=BC，∠B=70°∴∠C=40°∴∠AED=50°所以答案是：5021.解：(1)(2)如图所示(3)∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°∵∠BOC=120°∴∠QBC+∠PCB=60°∵∠PCB+∠ACP=60°∴∠QBC=∠ACP在△ACP和△BCQ中{∠A=∠BCA AC=BC∠ACP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ(ASA)22.解：如图所示：△A'B'C'即为所求23.解：如图所示，射线DM、DN为平角CDE的三等分线如图所示，射线OP、OQ为∠AOB=45°三等分线24.解：25.解：(1)尺规作图正确(以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点) (2))∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个(3)如图，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上∴ME=4，NE=3∴MN=5PM=4，PH=2时，HM=2√5构成勾股数同理可得或PH=2或PH'=3PH″=13426.解：如图：27.解作出线段2a得2分，全部作出得2分，画法得2分．(其中必须指出所求作的线段)28.解答：三角形的边长为√3r；正方形的边长为√2r29.解(1)从圆上任意找两条弦(2)分别作这两条弦的垂直平分线(3)垂直平分线的交点就是圆心(4)过圆心画一条直径此直径就是所求的直线30.解(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点(如图(2))(2)画点B关于AC的对称点B'，延长DB'交AC于点P，点P为所求(不写文字说明不扣分)(说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分)31.解：(1)文文的作法较好(或彬彬的较好)依据三线合一的定理(2)在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ∴AD是△ABC的中线BD=CD=12BC=12×8=4在Rt△ABD中，AB=10，BD=4，AD2+BD2=AB2∴AD=√AB2−BD2=√102−42=2√2132.(1)解：作图基本正确即可评3分(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，AD=BC…5分∵∠ADE=∠CBF…6分∴△ADE≌△CBF(ASA)33.解：(1)如图所示(2)如图，作BH⊥OA，垂足为H在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA=35∴BH=6∴OH=8∴点B的坐标为(8，6)∵OA=20，OH=8∴AH=12在Rt△AHB中∵BH=6∴AB=√62+122=6√5∴cos∠BAO=AHBA =2√55(3)①当BO=AO时∵AO=20∴OH=10∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位②当AO=AB'时∵AO=20∴AB=20过B'作B'N⊥x轴∵点B的坐标为(8，6)∴B'N=6∴AN=√202−62=2√91∴点B沿x轴正半轴方向平移2√91+20−8=2√91+12个单位③当AO=OB'时∵AO=20∴OB″=20过B″作B″P⊥x轴∵点B的坐标为(8，6)∴B″P=6∴OP=√202−62=2√91∴点B沿x轴正半轴方向平移(2√91−8)个单位34.解：如图线段AD就是所求35.解：(1)如图所示：MN即为所求(2)在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6∴AB=12∵MN垂直平分AB∴AN=12AB=6在Rt△AMN中，∠A=30°，AN=6∴tan30°=MNAN =MN6∴MN=2√336.解：(1)作图如下所示(2)：∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠EBF=∠AEB∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE∵AO ⊥BE∴BO=EO在△ABO 和△FBO 中{∠ABO =∠FBOBO =BO∠AOB =∠BOF∴△ABO ≌△FBO(ASA)∴AO=FO∵AF ⊥BE ，BO=EO ，AO=FO∴四边形ABFE 为菱形∴△BEF 的面积是菱形ABFE 的面积的12 ∵菱形ABFE 的面积是平行四边形ABCD 面积的35∴△BEF 的面积是平行四边形ABCD 面积的310 故落在△BEF 内的概率是31037.解：(1)如图所示，DF 就是所求作；(2)∵AD ⊥BC ，AE ∥BC∴∠DAF=90°又∵DF 平分∠ADC∴∠ADF=45°∴AD=AF ，DF=√AD 2+AF 2=√22+22=2√238.解：(1)如图所示(2)连接BO 、AB 、AC 、OC∵BC 是OA 的垂直平分线∴BO=AB ，CO=AC∵BO=AO=CO=1∴△BAO 和△CAO 都是等边三角形∴∠BOA=60°，∠COA=60°∴∠BOC=120°BC ̂=nπR 180=120π•1180=23π39.解：(1)如图线段AB就是所求(2)∠AOB就是所求40.解：(1)作图如图1(2)证明：如图2，连接OC ∵OA=OC，∠A=25°∴∠BOC=50°又∵∠B=40°∴∠BOC+∠B=90°∴∠OCB=90°∴OC⊥BC∴BC是⊙O的切线41.解：如图所示的△ABC就是所要求作的图形．42.解(1)正确画出△A'B'C'(画出其中一种情形即可)(6分)(2)猜想：∠BAC=∠B'A'C'(8分)证明：∵ABA′B′=ACA′C′=√55，BCB′C′=√2√10=√55∴ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′，(10分)∴△ABC∽△A'B'C'∴∠BAC=∠B'A'C'(13分)43.解：如图44.解：答题图如下图45.解：(1)作图正确(2分)(2)作图正确(4分)(3)△ACE和△BCE面积相等．(5分)46.解：如图所示，直线AD和点E为所求47.解：如图，AO是所求的∠A的平分线，BO是所求的∠B的平分线OE、OF是所求的垂线段48.解：已知：线段a、b、c；(1分)求作：△ABC，使AC=b，BC=a，D是BC的中点，且AD=c；(2分) (或：求作△ABC使AC=b，BC=a，BC边上的中线AD=c)结论：如图，△ABC即为所求．(6分)49.解：作法：①作线段BC=a，BM、CN交于点A②分别以B、C为顶点作∠MBC=∠NCB=180−α2△ABC就是所要求作的三角形如图50.解：(1)∵AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形∴∠D=∠B∵∠DAF=∠BCE∴△ADF≌△CBE∴BE=DF∴AE=CF∠ABC=30°(2)∵∠ABM=∠CBM=12又∵AD∥BC∴∠MND=∠CBM=30°∵∠ABC=∠E+∠BCE∴∠BCE=∠ABC-∠E=60°-40°=20°∴∠FAD=∠BCE=20°又∵∠MND=∠FAD+∠AMN∴∠AMN=∠MND-∠FAD=30°-20°=10°。