2012年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年安徽省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012•安徽）复数z满足（z﹣i）i=2+i，则z=（）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+3i D．1﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：复数方程两边同乘i后，整理即可．
解答：解：因为（z﹣i）i=2+i，所以（z﹣i）i•i=2i+i•i，即﹣（z﹣i）=﹣1+2i，所以z=1﹣i．
故选B．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
2．（5分）（2012•安徽）设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B为函数y=lg（x﹣1）的定义域，则A∩B=（）
A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2 ）D．（1，2]
考点：对数函数的定义域；交集及其运算．
专题：计算题．
分析：由集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}={x|﹣1≤x≤2}，集合B为函数y=lg（x﹣1）的定义域，知B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，由此能求出A∩B．
解答：解：∵集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}={x|﹣1≤x≤2}，
集合B为函数y=lg（x﹣1）的定义域，
∴B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，
∴A∩B={x|1＜x≤2}，
故选D．
点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意交集的求法．
3．（5分）（2012•安徽）（log29）•（log34）=（）
A．B．C．2D．4
考点：换底公式的应用．
专题：计算题．
分析：直接利用换底公式求解即可．
解答：
解：（log29）•（log34）===4．
故选D．
点评：本题考查对数的换底公式的应用，考查计算能力．
4．（5分）（2012•安徽）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）
A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
考点：命题的否定．
专题：计算题．
分析：根据存在命题（特称命题）否定的方法，可得结果是一个全称命题，结合已知易得答案．
解答：解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选C
点评：本题以否定命题为载体考查了特称命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定命题的格式和方法是解答的关键．
5．（5分）（2012•安徽）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．1B．2C．4D．8
考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．
分析：由公比为2的等比数列{a
n} 的各项都是正数，且a3a11=16，知．故a7=4=，由此能求出a5．
解答：解：∵公比为2的等比数列{a n} 的各项都是正数，
且a3a11=16，
∴．
∴a7=4=，
解得a5=1．
故选A．
点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6．（5分）（2012•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）
A．3B．4C．5D．8
考点：循环结构．
专题：计算题．
分析：列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．
解答：解：由题意循环中x，y的对应关系如图：
x 1 2 4 8
y 1 2 3 4
当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．
故选B．
点评：本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
7．（5分）（2012•安徽）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．
向左平移个单位D．
向右平移个单位
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：常规题型．
分析：化简函数y=cos（2x+1），然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可．
解答：
解：因为函数y=cos（2x+1）=cos[2（x+）]，
所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位．
故选C．
点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，注意平移时x的系数必须是“1”．
8．（5分）（2012•安徽）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0C．D．3
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的最小值．
解答：
解：约束条件，表示的可行域如图，
解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；
由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；
所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；
故选A．
点评：本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型．
9．（5分）（2012•安徽）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）
A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，
+∞）
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．
解答：解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点
∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为
∴|a+1|≤2
∴﹣3≤a≤1
故选C．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．
10．（5分）（2012•安徽）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．
考点：等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解答：解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；
则两球颜色为一白一黑的概率P==；
故选B．
点评：本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2012•安徽）设向量=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，
则||=．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．
专题：计算题．
分析：
由=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），知=（3，3m），由（+）⊥，
知（）=3（m+1）+3m=0，由此能求出|．
解答：
解：∵=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），
∴=（3，3m），
∵（+）⊥，
∴（）=3（m+1）+3m=0，
∴m=﹣，即
∴=．
故答案为：．
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
12．（5分）（2012•安徽）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于56．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：通过三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据求出几何体的体积即可．
解答：解：由题意可知几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，
所以几何体的体积为：=56．
故答案为：56．
点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．
13．（5分）（2012•安徽）若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．
考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：
根据函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，即可求得a的值．
解答：
解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），
∴
∴a=﹣6
故答案为：﹣6
点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．
14．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值．
解答：
解：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，
则点A到准线l：x=﹣1的距离为3．
得3=2+3cosθ⇔cosθ=，又m=2+mcos（π﹣θ）⇔=．
故答案为：．
点评：本题考查抛物线的定义的应用，考查计算能力．
15．（5分）（2012•安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则②④⑤（写出所有正确结论编号）
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
考点：棱锥的结构特征．
专题：压轴题；阅读型．
分析：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．结合长方体的性质判断
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．
③由②，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三
角形内的三个内角，它们之和为180°．
④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分
⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别
为，，易知能构成三角形．
解答：解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．
由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确
③由②，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的
三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．③错误
④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确
⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别
为，，，任意两边之和大于第三边，能构成三角形．⑤
正确
故答案为：②④⑤
点评：本题考查空间几何体的结构特征，线线位置故选，要具有良好的转化，推理、论证能力．
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（12分）（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有
2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．
考点：余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；
（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，
可求AD的长．
解答：解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
∴2sinBcosA=sin（A+C）
∵A+C=π﹣B
∴sin（A+C）=sinB＞0
∴2sinBcosA=sinB
∴cosA=
∵A∈（0，π）
∴A=；
（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3
∴b2=a2+c2
∴B=
∵D为BC的中点，
∴AD=．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．17．（12分）（2012•安徽）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）根据a＞0，x＞0，利用基本不等式，可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，建立方程组，即
可求得a，b的值．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=ax++b≥2+b=b+2
当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，可得：
f（1）=，∴a++b=①
f'（x）=a﹣，∴f′（1）=a﹣=②
由①②得：a=2，b=﹣1
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及基本不等式的应用，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．
18．（13分）（2012•安徽）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组频数频率
[﹣3，﹣2）0.10
[﹣2，﹣1）8
（1，2]0.50
（2，3]10
（3，4]
合计50 1.00
（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．
考点：几何概型；极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布．
专题：综合题；概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据题意，频数=频率×样本容量，可得相关数据，即可填写表格；
（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3]内的概率为0.5+0.2=0.7；
（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为．
解答：解：（Ⅰ）根据题意，50×0.10=5，8÷50=0.16，50×0.50=25，10÷50=0.2，50﹣5﹣8﹣25﹣10=2，2÷50=0.4，故可填表格：
分组频数频率
[﹣3，﹣2） 5 0.10
[﹣2，﹣1）8 0.16
（1，2]25 0.50
（2，3]10 0.2
（3，4] 2 0.04
合计50 1.00
（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3]内的概率为0.5+0.2=0.7；
（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为．
点评：本题考查统计知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
19．（12分）（2012•安徽）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．
（Ⅰ）证明：BD⊥EC1；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=，OE⊥EC1，求AA1的长．
考点：直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．
专题：计算题；证明题．
分析：（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，推出底面A1B1C1D1是正方形．然后证明BD⊥平面EACC1，
即可证明BD⊥EC1；
（Ⅱ）通过△OAE∽△EA1C1，利用已知条件以及，求出AA1的长．
解答：解：（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，⇒E，A，C，C1共面，
长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC1，⇒BD⊥EC1；
（Ⅱ）在矩形ACC1A1中，OE⊥EC1，⇒△OAE∽△EA1C1，
AB=2，AE=得⇔，AA1=3．
点评：本题考查直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力计算能力．
20．（13分）（2012•安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦
点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．
考点：椭圆的简单性质；余弦定理．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40，直接求a，b 的值．
解答：
解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，
在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°
⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．
△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°
⇔=40
⇔a=10，
∴c=5，b=5．
点评：本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．
21．（13分）（2012•安徽）设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列
为{x n}．
（Ⅰ）求数列{x n}．
（Ⅱ）设{x n}的前n项和为S n，求sinS n．
考点：利用导数研究函数的极值；数列的求和；三角函数的化简求值．
专题：综合题；压轴题．
分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；令f′（x）＜0，确定函数的单调减区间，从而可得f（x）的极小值点，由此可得数列{x n}；
（Ⅱ）S n=x1+x2+…+x n=2π（1+2+…+n）﹣=n（n+1）π﹣，再分类讨论，求
sinS n．
解答：
解：（Ⅰ）求导函数可得，令f′（x）=0，可得
．
令f′（x）＞0，可得；
令f′（x）＜0，可得；
∴时，f（x）取得极小值，
∴x n=．
（Ⅱ）S n=x1+x2+…+x n=2π（1+2+…+n）﹣=n（n+1）π﹣，
∴当n=3k（k∈N*）时，sinS n=sin（﹣2kπ）=0；
当n=3k﹣1（k∈N*）时，sinS n=sin=；
当n=3k﹣2（k∈N*）时，sinS n=sin=﹣．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数与数列之间的综合，属于中档题．。