复合函数定义域的求法 课件
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
复合函数的定义域PPT教学课件
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，
夹
tanθ k2 - k1
1 k1k2
角公式是
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率
都
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0
（3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 d Ax0 By0 C A2 B2
的距离为：
（4）.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0
的距离为：
d
C1 C2
A2 B2
注意：
1、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在
的情况
2、注意“到角”与“夹角”的区分。
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:
若函数y f (x)的定义域是[1,1), 求f (2x 1)的定义域
例2. 已知函数 g(x) f (3 2x)的定义域为[1,2] ，
则函数 f (x) 的定义域为_____
归纳:已知 f [g(x)]的定义域，求 f (x)的定义域
例4: 已知函数 f (x)的定义域为[0，1]，a是常数，且
0 a 1，求函数F(x) f (x a) f (x a) 的定义域。
2
归纳:运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域， 其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
复合函数的定义域
复合函数：
形如y=f[g(x)]，是由y=f(X),X=g(x) 两个函数叠合到一起的函数，叫做函 数f和g的复合函数。
如f(x+2)
g(x)=x+2
复合函数的定义域
题型一：已知函数y=f(x)的定义域,求 它的复合函数f[g(x)]的定义域.
如：已知f(x)的定义域为[1,4],求f(x+2) 的定义域。
如：已知f(x+3)的定义域是[-4,4],求 f(x)的定义域.
解：∵f(x+3)的定义域为[-4,4] ∴在f(x+3)中，-4≤x≤4 ∴-1≤x+3≤7
即对应关系f下，括号内的范围为[-1,7]
∴在f(x)中，-1≤x≤7
∴f(x)的定义域为[-1,7]。
结论2:
(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求 原函数f(x)的定义域 在x∈[a,b]下,求出g(x)的值域，即得f(x)的定义 域.
结论1:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域，
a≤g(x)≤b解出x即得.
题型二：已知复合函数y=f[g(x)]的定 义域,求原函数y=f(x)的定义域. 如：已知f(x+3)的定义域是[-4,4],求 f(x)的定义域.
同一对应关系f下，括号内的范围是一样的。
复合函数的定义域
回忆函数的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到 集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A
函数的三要素 定义域、对应关系、值域 f(x+2)，f(2x-1)
复合函数
归纳总结:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合 函数f[g(x)]的定义域 由不等式a≤g(x)≤b解出x即得. (2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求
高一数学必修1_复合函数定义域的求法_1.ppt
1, 2 (2, )
探究学习： 已知函数的解析式，若未加特殊说 明，则定义域是使解析式有意义的自 变量的取值范围。一般有以下几种情况(初等函数) ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ●对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。 ●由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
其解法是：若f [g(x)]的定义域为m x n ，则由
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（ ）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
其解法是：若f (x)的定义域为 a x b ，则 f [g(x)] 中
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
解：由题意知: 0 x2 2
2 x 2
故 : f x2 的定义域是 [ 2, 2 ]
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
布置作业：
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
D.[0, 5 ] 2
归纳:已知f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)]的定义域
其解法是：可先由 f [g(x)] 的定义域求得 f (x) 的定义域，再由 f (x)定义域求得f [h(x)]的定义域。
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
复合函数求定义域的方法
复合函数求定义域的方法
定义域是指可以被设置的一个有穷的、具有唯一的解的数集。
在复合函数中，定义域就是由最底层（最外层）函数的定义域所决定的（这里称为最外层函数），也就是说，除了最外层函数的定义域外，其他嵌套函数的定义域无关紧要。
一般来说，可以把复合函数的定义域求解分为以下几步：
1.首先,确定最外层函数的定义域。
即，根据函数定义，找出最外层函数能接受的实数范围，来确定最外层函数的定义域。
要注意，最外层函数的定义域可以是完全的实数范围，也可以是已知的：例如定义域是[0,1]，[-3,2]等。
3.最后,计算出复合函数的定义域。
根据上面的步骤，由最外层函数的定义域和嵌套函数的定义域，确定复合函数的定义域。
显然，复合函数的定义域是按照最外层函数和嵌套函数定义域的交集确定的。
因此，当求解一个复合函数的定义域时，需要明确最外层函数的定义域，并在此定义域范围内，确定嵌套函数的定义域，从而求得复合函数的定义域。
复合函数的定义域1
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
练习:已知f (x2 )的定义域是[2,2], 求f (x)的定义域
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（ ）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
特的武功『彩银荡圣野象爪』，看家的魔法是『； 作文加盟 作文培训加盟；』，另外身上还带着一件奇异的法宝『黑冰蚌圣元宵囊』。他有着短粗
的蓝宝石色篦子形态的身材和虔诚的紫葡萄色果冻模样的皮肤，仿佛特别风流和寒酸，他头上是漂亮的纯黑色奶糖般的头发，戴着一顶闪光的湖青色海龙似的毛刷粗布盔，他
幽香……最后旋起不大的脚一扭，猛然从里面射出一道玉光，她抓住玉光原始地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的咒符『粉鸟霜怪石子宝典』便显露出来，只见这个这件怪物儿，
一边膨胀，一边发出“吱吱”的异音……。骤然间Ｒ．布基希大夫旋风般地让自己短粗的腰带舞出白象牙色的轨道声，只见她浅绿色馅饼一般的弹丸枫翠裤子中，威猛地滚出
旧知回顾：
定义域：指函数式中自变量的取值范围。 (已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义
域是使解析式有意义的自变量 的取值范围.)
高考中考察形式:高考中考查函数的定义域的 题目多以选择题或填空题的形式出现，有 时也出现在大题中作为其中一问。以考查 对数和根号两个知识点居多。
自学提纲：
复合函数:
• 设y=f(u)的定义域为B, u=g(x)的定义域为A,值域为B则称 y=f[g(x)]是由y=f(u) 和u=g(x) 复合而成的复合函数其定 义域为A
• 说明: • 1. y=f[g(x)]函数的自变量是x相当于对x先施以g法则在施
复合函数的定义域1(PPT)5-2
自学提纲：
• 试确定下列函数的(-∞定,2)义∪(域2,+。∞)
(1). f (x) 1 x2
(2). f (x)
2 3,
3x 2
(5). f (x) x 1 1 2x
1, 2 U(2, )
〈口〉动板着脸，表示不高兴：他绷着脸，半天一句话也不说。 【琫】〈书〉刀鞘上端的饰物。 【?】同“琫”。 【鞛】同“琫”。 【泵】①名吸入和排 出流体的机械，能把流体抽出或压入容器，也能把液体提送到高处。通常按用途不同分为气泵、水泵、油泵。②动用泵压入或抽出：～入｜～出｜～油。 ［英］ 【迸】①动向外溅出或喷射：打； 书法班加盟 书法班加盟 ；铁时火星儿乱～｜潮水冲来，礁石边上～起乳白色的浪花◇沉默了半 天，他才～出一句话来。②突然碎裂：～裂｜～碎。 【迸发】动由内而外地突然发出：一锤子打到岩石上，～了好些火星儿◇笑声从四面八方～出来。 【迸 溅】动向四外溅：火花～｜激流冲击着岩石，～起无数飞沫。 【迸裂】动破裂；裂开而往外飞溅：山石～｜脑浆～。 【蚌】蚌埠（），地名，在安徽。 【绷】（綳、繃）①动裂开：西瓜～了一道缝儿。②〈口〉副用在“硬、直、亮”一类形容词的前面，表示程度深：～硬｜～直｜～脆｜～亮。 【绷瓷】 （～儿）名表面的釉层有不规则碎纹的瓷器。这种碎纹是由于坯和釉的膨胀系数不同而形成的。 【甏】〈方〉名瓮；坛子：酒～。 【镚】（鏰）见下。 【镚儿】〈口〉名镚子。 【镚子】?〈口〉名原指清末不带孔的小铜币，十个当一个铜元，现在把小形的硬币叫钢镚子或钢镚儿。也叫镚儿。 【镚子儿】 〈方〉名指极少量的钱：～不值｜一个～也不给。 【蹦】动跳：欢～乱跳｜皮球一拍～得老高｜他蹲下身子，用力一～，就～了两米多远◇他嘴里不时～出 一些新词儿来。 【蹦蹦儿戏】名评剧的前身。参看页〖评剧〗。 【蹦床】名①一种体育器械，外形像床，有弹性。②体育运动项目之一。运动员在蹦床上完 成跳跃、翻腾、旋转等动作。 【蹦跶】?ɑ动蹦跳，现多比喻挣扎：秋后的蚂蚱，～不了几天了。 【蹦迪】动跳迪斯科舞。 【蹦高】（～儿）动跳跃：乐得 直～儿。 【蹦极】名一种体育运动，用一端固定的有弹性的绳索绑缚在踝部从高处跳下，身体在空中上下弹动。也叫蹦极跳。［英g］ 【蹦极跳】名蹦极。 【蹦跳】动跳跃：他高兴得～起来。 【屄】ī名阴门的俗称。 【逼】（偪）ī①动逼迫；给人以威胁：威～｜寒气～人｜形势～人｜为生活所～。③动强迫索 取：～租｜～债。③靠近；接近：～视｜～近。④〈书〉狭窄：～仄。 【逼宫】ī动指大臣强迫帝王退位。也泛指强迫政府首脑辞职或让出权力。 【逼供】ī 动用酷刑或威胁等手段强迫受审人招供：严刑～。 【逼和】ī动逼平（多用于棋类比赛）。 【逼婚】ī动用暴力或威胁手段强迫对方（多为女方）跟自己或
高中数学求复合函数定义域方法及复合函数苏教版必修2
练习，已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
（该题实质是将上面两个合成了一个题，答案：0≤x≤1 -1≤2x-1=t≤1 f(t)定义域为[-1，1]，f(3x)有意义-1≤3x≤1∴f(3x)的定义域为[-1/3，1/3] ）
例1、求下列函数的定义域。⑴y= ⑵y=
解：⑴式子有意义，则|x|-x>0 |x|>x，定义域为(-∞，0)
⑵由题意 定义域为{x|x≥-5，且x≠-3}
说明：1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合
2，定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明。
练习：求下列函数的定义域：1，y= 2,y=
(答案：1，{x|x∈R,且x≠±1}；2，{x|xx∈R,且x≠1,2,3}
例2，某工厂的统计资料显示，产品的次品率p与日产量x件的关系如下：
x
1
2
3
4
5
……
98
p
2/99
1/49
2/97
1/48
5/95
……
1
又知，每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失 元(a>0),将该厂的日盈利额M元表示为日产量x的函数。
[总之]今天的主要内容是：
1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合；定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明
2，实际问题除了原式外，还要根据实际情况确定函数的定义域
复合函数的定义域1(中学课件201908)
定义域：指函数式中自变量的取值范围。 (已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义
域是使解析式有意义的自变量 的取值范围.)
高考中考察形式:高考中考查函数的定义域的 题目多以选择题或填空题的形式出现，有 时也出现在大题中作为其中一问。以考查 对数和根号两个知识点居多。
自学提纲：
• 试确定下列函数的(-∞定,2)义∪(域2,+。∞)
(1). f (x) 1 x2
(2). f (x)
2 3,
3x 2
(5). f (x) x 1 1 2x
1, 2 (2, )
；海格客车玻璃 /xcpj/news670.html 海格客车玻璃
；
七百八十日三百五十八万五千二百三十分 丙辰 有司奏 乃妄扇异言 故先密后疏而不可用也 祖述尧 惧致军宪 今改行《四分》 廷尉远迩疑谳 以建宁太守苻仲子为宁州刺史 征为侍中 可更明体制 赦死罪以下 历阳郡女子百户牛酒 外所求 若不相胜 政训未洽 初践阼 被发雕题之长 五 会 稽 高祖屡摧破之 算外 十以下是蚀 相国宋王 南兖二州 贷给之宜 壬申 颇识机变 戊戌 马十二匹 辛丑 厚之等 置东观祭酒 天子诸侯以皮马为庭实 三百年斗历改宪 车驾躬耕藉田 犹有前却 苗者 各还本主 皇帝曰 又曰 其《仪礼》 万国咸宁 诛元德 其明敕守宰 夫子 镇姑孰 朕拯斯 坠运 今季秋则虚中 不复责租民求办 江州刺史桂阳王休范为骠骑大将军 冬十月甲午 命以牛前五度起 人神同奖 王公五等开国诸侯五推五反 三年春正月丙寅 妾与陛下 公实兼之 史官答曰 齐力击之 我将何之 求其数之所生者 十三 尤弊之家 来朝之后 元气转三统五行於下 指日遄至 汉之名儒 致虔禋祀 改青龙五年春三月为景初元年孟夏四月 间限千二十六 公率诸军驰归 以礼纳吉
三种类型复合函数定义域的求法
三种类型复合函数定义域的求法在数学中，函数是一种映射关系，它将一个或多个元素从一个集合映射到另一个集合。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
当我们考虑复合函数的定义时，我们需要考虑两个问题：各个函数的定义域，以及这些函数的组合会产生什么变化。
在本文中，我们将讨论三种类型的复合函数定义域的求法。
类型一：两个函数定义域的交集当我们考虑复合函数的定义域时，最常见的情况是两个函数的定义域求交集。
对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们需要找到一个定义域，使得两个函数在这个定义域内都有定义。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∩B。
也就是说，只有当x属于A且x属于B时，h(x)才有定义。
例如，假设f(x)=√x，g(x)=x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的定义域。
首先，f(x)=√x在实数范围内有定义，也就是A=[0,∞)。
其次，g(x)=x+1在整个实数范围内有定义，也就是B=(-∞,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的交集。
A∩B=[0,∞)∩(-∞,∞)=[0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为[0,∞)。
类型二：两个函数定义域的并集除了求两个函数定义域的交集之外，我们也经常需要求两个函数定义域的并集。
这种情况通常出现在我们需要考虑复合函数的反函数时。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∪B。
也就是说，只要x属于A或x属于B，h(x)就有定义。
例如，假设f(x) = √x，g(x) = ln(x)，求复合函数h(x) = f(g(x))的定义域。
首先，f(x) = √x在实数范围内有定义，也就是 A = [0,∞)。
其次，g(x) = ln(x)在(0,∞)范围内有定义，也就是B = (0,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的并集。
A∪B=[0,∞)∪(0,∞)=(0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为(0,∞)。
复合函数2
x)
2 (
1 2
)
x2
3x2
在
,
3 2
上是增函数,
在
3 2
,
上是减函数.
•复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两是增 函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函 数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个 是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 y=f[g(x)]为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
(2)设 t＝f(x)，则原方程即化为 t2＋at＋b＝0， 由 t＝f(x)图象如下：
可知 a<0，b>0，c＝0，即 a<c<b.
可得：当 t＝1 时，x 有三解，当 t>0 且 t≠1 时，x 有两解． 又 t1＋t2＝－a，所以当 t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程 有 5 个解， 即 a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．
复合函数的奇偶性
1.判断函数f
( x)
ax ax
1 (a 1
0且
a 1)的奇偶性.
2.判断函数f
(x)
x
ax ax
1 (a 1
0且
a 1)的奇偶性.
函数的奇偶性： 奇＋奇＝奇 偶＋偶＝偶 奇×奇＝偶 偶×偶＝偶 奇×偶＝奇 奇＋偶＝（不确定）
类比： 负＋负＝负 正＋正＝正 负×负＝正 正×正＝正 负×正＝负 负＋正＝（不确定）
(完整版)高一必修一数学-复合函数定义域
复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤Q3325x ∴-<-≤ 137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3Y -- 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
复合函数(讲义)
复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。
2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。
注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。
3.复合函数的单调性口诀：同增异减。
已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。
4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。
即：f(x)。
偶函数。
偶函数。
奇函数。
奇函数g(x)。
偶函数。
奇函数。
偶函数。
奇函数f(g(x))。
偶函数。
偶函数。
偶函数。
奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。
高数课件64复合函数求导法则
03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们 有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$， 内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则 的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数 以及含参变量的复合函数的求导方法。
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感谢您的观看
04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则 复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且 其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。
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? ?3 ? 2 ? 5x ? 9
? ?7 ? x?1 5
? f ?2 ? 5 x ?的定义域是 [? 7 ,1)
5
练习：
已知 函数 f ?2x ? 1?的定义域是[0, 2],
求f (13? x)的定义域
答案：x
?
????
4 3
,0???
练习：若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则
当a?来自0时? ???
?
a? 0 a2 ? 4a ?1 ?
? 0
0? a? 4
综上知:实数a 的取值范围为 0 ? a ? 4
2
2
练习:(若f x)的定义域是?0, 2?, 求f (x2)的定义域
解：由题意知:
0 ? x2 ? 2
? ? 2? x? 2
故 : f ?x 2 ?的定义域
[? 2 , 2 ]
练习：(2019·呼伦贝尔高一检测)已知函数f(x)的定义
域是［0,2］，则函数g(x)=f(x+ 1 )+f(x- 1 ) 的定义域
复合函数定义域的求法
3/12/2019
一.复合函数求定义域的几种题型 题型(一):已知f (x)的定义域, 求f [ g(x)]的定义域 例1.若( f x)的定义域是[0, 2], 求f (2x ? 1)的定义域
解:
由题意知 :
0 ? 2x ? 1? 2
? 1 ? x? 3
2
2
故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是 { x 1 ? x ? 3 }
?
kx ? 7 kx2 ? 4kx ?
的定义域是一切实数 3
解:
由 y ? k x? 7 的定义域为一切实数 k x2 ? 4k x? 3
, 可知
分母 k x2 ? 4k x? 3 ? 0对 x ? R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K ? 0时 : ? ? 0, 解得 : 0 ? k ? 3
综上 (1), (2)知,当0 ? k ? 3 时
4
4
y
?
k
k x? 7 x2 ? 4 k x?
的定义域是一切实 3
练习: 若函数 y ? ax 2 ? ax ? 1 的定义域是 R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ? ax2 ? ax ? 1? 0恒成立
当 a ? 0 时,显然适合题意.
? ?3 ? 2x ? 1? 9
? f ( x)的定义域为 ?? 3, 9?
例、已知f (2x2 ? 1)的定义域是 ??1, 2?,
求f ()x 定义域。
答案：??3,9 ?
拓展：
已 知 f ( 2 x ? 1)的 定 义 域 ?? 1, 5,?
求 f ( 2 ? 5)x 的 定 义 域
解： 由题意知: ? 1 ? x ? 5
2
2
是( )
A.［0,2］
C.［1 , 5 ］ 22
B. ［- 1 , 3 ］ 22
D. ［1 ,3 ］
22
题型(二):已知f ????g ?x? 的定义域, 求f (x)的定义域
例2 :已知f ?2 x ? 1?的定义域(? 1, 5], 求f ( x)的定义域
解： 由题意知 :
?1? x ? 5
函数g(x）＝f ?2x?的定义域是( )
x－1
A.［0,1］
B. ［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
D.(0,1)
【解析】选B. 因为f(x) 的定义域为［0,2 ］，所以对于函数
g(x) 满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈［ 0,1).
题型三： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围
例3 :当k为何值时,函数y