范氏气体的热力学特性
等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体
等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体
范氏气体是一种可以近似为理想气体的气体模型。
它是由19世纪末的荷兰物理学家范德瓦尔斯提出的，用来描述实际气体在一定条件下的行为。
范氏气体模型考虑了气体分子
之间的相互作用力和分子体积，并且可以在一些特定情况下转化为理想气体模型。
在压力较低、温度较高的条件下，范氏气体具有类似于理想气体的性质。
理想气体是
一种理论上的模型，假设气体分子之间是没有相互作用力的，并且分子体积可以忽略不计。
实际上，气体分子之间常常存在一定的相互作用力，并且占据一定的体积空间，因此实际
气体的行为不能完全用理想气体模型来描述。
根据范德瓦尔斯方程，范氏气体的状态方程可以表示为：
(p + a/V_m^2)(V_m - b) = RT
p是气体的压力，V_m是气体的摩尔体积，a和b分别是范德瓦尔斯常数，R是气体常数，T是气体的温度。
当范氏气体的压力足够低，分子之间的相互作用力可以忽略不计时，上述方程简化为
理想气体状态方程：
pV_m = RT
在高压条件下，范氏气体的分子之间的相互作用力和分子体积不能忽略不计，范氏气
体的状态方程与理想气体的状态方程有所不同。
在高压情况下，范氏气体的分子之间的相
互作用力会增加气体的压力，分子体积会减小气体的体积。
范氏气体在高压条件下无法近
似为理想气体，需要考虑分子之间的相互作用力和分子体积。
对范氏气体的讨论
对范氏气体的讨论在热力学中，范氏气体是一个重要的概念，它是一种由特定温度和压强形成的气体，它使我们能够建立起热力学世界和化学世界之间的关系。
范氏气体的研究不仅有重要的实际应用价值，而且极大地丰富了物理学的理论知识。
范氏气体的发现追溯到1834年，当时由爱尔兰物理学家爱德华范恩斯首先提出了他的制冷实验。
他发现，当给蒸汽室加入一定数量的冷凝物时，它的温度显著降低，而压强保持不变。
这一实验表明，气体在特定的条件下可以达到压强平衡态，我们称之为范氏气体。
范氏气体的定义是指一定温度和压强下的气体，它具有一定的潜力和热力学性质，可以用来描述气体的多种物理性质，如温度、压强、比焓、比容等。
在不同的条件下，它的状态可以有很大的变化，可以进行吸收或放出热量，这一特性决定了它在热力学中的重要性。
在许多工程学科中，范氏气体也有广泛的应用，如制冷、气体燃烧、空气动力学、电力设备、气象学和空间科学等等。
范氏气体在热力学方面的研究一直是物理学家们研究的重点，这也正是它如此重要的原因。
由于它的深奥和复杂性，研究者们长期致力于揭示范氏气体的本质，以及由此产生的理论和实验研究。
其中，最具代表性的是马斯克斯拉普拉斯发现的“定压定温定状态”，它把范氏气体系统分解成一系列热力学状态，更好地阐释了范氏气体系统的运行原理。
另外，物理学家也使用一些描述性的方法来研究范氏气体的行为，其中最重要的性质是能力比（Cp/Cv），它可以说明气体在不同条件下的性质及其变化规律。
此外，还有许多研究者利用实验、理论分析和计算机模拟技术来深入了解范氏气体的特性。
他们利用实验方法研究了温度、压强及其变化和物质的各种性质之间的关系；利用理论分析方法探究范氏气体系统的特性及其变化；甚至还有利用计算机模拟技术模拟范氏气体系统的真实运行情况，以便更好地深入了解它的性质。
范氏气体的研究取得了重大成果，不仅为我们理解自然界的某些物理现象提供了基础，而且为许多工程学科的发展做出了贡献。
范德瓦尔斯气体的热力学性质研究
（１３）
上式对 Ｖ 积分为：
S=Rl n(v-b)+φÕ(T)
（１４）
积分后出现的任意函数 φ（Ｔ）与 Ｖ 无关，
它可以这样确定： 当 Ｖ →∞时， 范氏气体将
连 续 的 过 渡 为 理 想 气 体 。而 我 们 知 道，理
想气体的熵式 Ｓ为：
将上式代入（ １ ４ ）式中得：
于是可得范氏气体得熵函数为：
（７） 由热力学第二定律可以导出：
（８） 将 上 式 代 入 （ ６ ） 式得：
（９） 所以有：
（１０）
而
将上式代入（ １ ２ ）式可得：
（１１） 故：
（１２）
由 上 式 可 见，范 氏 气 体 得 内 能 依 赖 于 温 度 ，与 理 想 气 体 是 一 致 的 。
２．１．２ 熵 Ｓ 由 Ｍａｘｗｅｌｌ 关系式得：
３ 结语 本文在 Ｓｕｔｈｅｒｌａｎｄ 模型的基础上，对范
德瓦尔斯气体的热力学性质进行了详细的 分 析 和 讨 论，首 先 通 过 公 式 推 导 得 出 了 范 氏 气 体 的 多 方 过 程 的 过 程 方 程 ，该公式对 于更好的认识并研究范氏气体的多方过程 有一定的理论意义；另一方面， 在多方过程 方 程 分 析 的 基 础 上，讨 论 了 范 氏 气 体 在 热 力 学 方 面 的 各 个 参 数，重 点 对 范 氏 气 体 在 各热力学过程中的热容量及能量的转换变 化进行了分析探讨。
参数的性质进行了讨论， 并在此基础上重点对范氏气体在各个热力学过程中的热容量及能量的转换变化进行了探讨， 加深了对范氏气体
的热力学性质的研究认识。
关键词：范德瓦尔斯气体 多方过程 热力学性质
中图分类号： Ｏ ４
文献标识码： Ａ
《热力学与统计物理》第二章 均匀物质的热力学性质
§2.2 内能、焓、自由能、吉布斯函数的全微分
本节要求： ①掌握状态函数的全微分； ②记住热力学偏导数和麦克斯韦关系。
一.状态函数的全微分
dU TdS pdV 看成是U以S,V为变量的全微分 U (S,V )
1
,得:
T V
U
T U
V
U V
T
U V
T
U
T
V
利用方法1可求出 U
V T
，连同
CV
的定义便得到
T V
U
1 CV
T
p T
V
p
CV
U T
V
U V
T
T
p T
V
p
由此可见，已知 CV 和状态方程便可求得气体的焦耳系数。
方法4.链式关系法
条件：若所求偏导数包含S，且已在分子或分母上，但 不能用热容量的定义或麦氏关系消除时，可用此法。
说明：本章在定义新的态函数和导出普遍热力学关 系时，都以P、V、T 系统为例进行。
§2.1 自由能和吉布斯函数
本节要求：①理解自由能和吉布斯函数的概念； ②理解自由能判据和吉布斯判据
一.自由能
1.定义:
对于等温条件:
引入新的热力学函数: 自由能 F U TS
有: 2.最大功原理：系统自由能的减少是在等温过程中
热力学基本方程
dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp
热力学偏导数
T
U S
V
p
U V
S
以范氏气体为工质的可逆埃里克森热机的性能研究
产能经济以范氏气体为工质的可逆埃里克森热机的性能研究谢石昊 陈 鑫 福建省计量科学研究院摘要：本文应用热力学理论对以范德瓦尔斯气体为工作物质的埃里克森热机循环的性能进行优化分析。
导出了可逆埃里克森循环效率的解析表达式。
并分析了范氏气体的相互作用修正参数及循环过程压力比对优化性能的影响。
获得了一些有意义的新结论。
本文所得结果可望为实际埃里克森热机的优化设计提供一些新的理论依据。
关键词：有限时间热力学；范德瓦尔斯气体；埃里克森循环；优化性能中图分类号：TK212 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2015)024-000279-02一、引言本文建立以范德瓦尔斯气体[8]为工质的埃里克森热机模型[9,10]，探讨范氏方程中相互作用修正参数a 和埃里克森循环两等压过程的压强比对循环功率和效率的影响。
所得结论可为埃里克森热机的研制和优化设计提供理论依据。
二、范氏气体的热力学性质理想气体方程应用到真实气体，必须考虑到真实气体的特征，予以必要的修正。
上世纪以来，许多物理学家先后提出了各种不同的修正意见，建立了各种不同形式的气体状态模型，其中形式较为简单，物理意义比较清楚的就是范德瓦尔斯方程。
对于1mol 的气体系统，范德瓦尔斯方程可表为(1)式中R 为气体普适常量，a 和b 为两修正参量。
b 是考虑到气体分子本身体积的修正量。
对于给定的气体，b 是一个恒量，可由实验来测定，一般约等于1摩尔气体分子本身体积的四倍。
参量a 是由气体分子间的相互作用引起的，决定于气体的性质，可由实验来测定。
三、范氏气体的内能范德瓦尔斯气体的内能是温度和体积的函数，即U =U (T ,V )(2)(3)根据热力学第二定律可以导出(4)将范德瓦尔斯方程(5)(6)所以(7)(8)式中U 0为一常量。
四、范氏气体的定压热容 由热力学知识知，定压热容C p 与态函数焓H 的关系为(9)(10)将式(10)代入式(9)得(11)由式(11)可知，理想气体所遵从的定压摩尔热容与定容摩尔热容之间关系的迈耶公式C p =C V +R 对范氏气体不再成立。
热力学与统计物理习题
T
D 与温度有关。 试求电路为闭路 E
4Hale Waihona Puke 温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能 F 、熵 S 和内能 U 的表达式 分别为
1 2 Ax ， 2 1 dA ； S T , x S T , 0 x 2 2 dT
F T , x F T , 0
1 dA 2 U T , x U T , 0 A T x 。 dT 2
1 L ， L T J L J ， A L T
等温杨氏模量定义为： Y
其中 A 是金属丝的截面。一般说来， 和 Y 是 T 的函数，对 J 仅有微弱的依赖关系。 如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 T1 降 至 T2 时，其张力的增加为 J YA T2 T1 。 1.6、 （1.5）一理想弹性物质的物态方程为 J bT
理想气体，求此气体的物态方程。 补充题：测得某顺磁物质的
磁化强度， C 为常数。试求此顺磁物质的物态方程。 力学参量是张力 J ， 物态方程是 f J , L, T 0 ， 1.5、 （1.4） 描述金属丝的几何参量是长度 L ， 实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为：
PV f T ， U U T ，
试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式。 2.8、 （2.9）证明
范氏气体的热力学特性
（*#）
或
! （- & . ） " ( )） （ $ 常数 * "*
（*$）
+
范氏气体准静态热力学过程
根据式 （)） 和热力学第一定律 /* , /$ & 0 ’ 1 以及作功的表达式 1 $ (
表$
过程 过程方程式 定容 定压 等温 绝热 " & 常数 - & 常数 % & 常数 2 & 常数 态参量间的关系 % & .# - ’ .$ % & .* " ’ .. " , $ ’ .+ " , * ’ ./ （- ’ . （ " , )） ） & 常数 "*
可推导出 -- " ， !
在一般的热力学过程中， 外界对系统所作的功和系统从外界吸收的热量的计算公式， 见表 $ *
范氏气体热力学过程的主要关系 式
系统吸收的热量 0 !（ " % * , %$ ） . . ! （ ’（ "* , "$ ） ’ , " %* , %$ ） "$ "* "*, ) ’% !" "$ , ) # 外界对系统作的功 1 # ,（ "* , "$ ） ’% !" "$ , ) . . , ’ "* , ) "* "$ . . , "$ "*
但在高压和低温条件下实际气体与理想气体的偏离较大为了更精确地描述气体的行为范德瓦耳斯方程是常用的物态方程但由于其形式较复杂所以我们对与此相关的热力学量如内能熵热容量以及热力学过程了解的并不多本文对此进行讨范氏气体的内能对于一摩尔气体范德瓦耳斯方程为内能可看作的函数其微分形式为比较小所以系统体积的变化对系统内能的影响并不大定压摩尔热容量和定容摩尔热容量对式求偏导数与体积无关而只依赖于温度把式展开后两边求微分再整理得看作的函数写出其全微分再与上式比较可得熵的关系熵的微分形式为以上两式是熵与热力学参量的关系式在准静态绝热过程中熵保持不变由上式可得范氏气体在准静态绝热过程中压强和体积变化的关系式范氏气体准静态热力学过程根据式和热力学第一定律可推导出在一般的热力学过程中外界对系统所作的功和系统从外界吸收的热量的计算公式见表范氏气体热力学过程的主要关系式过程过程方程式态参量间的关系系统吸收的热量0外界对系统作的功热力学统计物理0北京
热力学统计物理圈题及答案
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT =（1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln TV =αdT κdp -⎰如果11,T Tpακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp VV T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dV dT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .TV dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T Tpακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p），相应地体积由0V 最终变到V ，有ln =lnln,V T p V T p -即000p V pV CTT ==（常量），或.p V C T=（5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.12 假设理想气体的pV CC γ和之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T V 和的关系，该关系式中要用到一个函数()F T ，其表达式为()ln ()1dTF T Tγ=⎰-解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足0.V C dT pdV += （1）用物态方程pVnRT=除上式，第一项用nR T 除，第二项用pV 除，可得0.V C dT dV nR TV+=（2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），,,p V p VC C nR C C γ-==可将式（2）改定为10.1dTdV TVγ+=- （3）将上式积分，如果γ是温度的函数，定义1ln (),1dTF T Tγ=-⎰ （4）可得1ln ()ln F T V C +=（常量）， （5）或()F T V C=（常量）。
热力学答案 第二章
28 第二章 均匀物质的热力学性质2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1）式中()f V 是体积V的函数. 由自由能的全微分dF SdT pdV=--得麦氏关系.T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将式（1）代入，有 ().T VS p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 由于0,0p T >>，故有0TS V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T =试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1）故有().Vp f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（3）所以()0.TU Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.2.3 求证：()0;HS a p ⎛⎫∂< ⎪∂⎝⎭()0.US b V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH=，得0.HS Vp T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU=，得0.US p V T ∂⎛⎫=> ⎪∂⎝⎭ （4）2.4 已知0T U V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，求证0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭解：对复合函数(,)(,(,))U T P U T V T p =（1）求偏导数，有.T T T U U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）如果0TU V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，即有0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂.T TU V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）292.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数pS V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压过程中的熵随体积的变化率，用pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数(,)(,(,))S S p V S p T p V ==（1）求偏导数，有.p p p p pC S S T T V T V T V ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为0,0p C T >>，所以p S V ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭的正负取决于pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负.式（2）也可以用雅可经行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭P S S p S p T p V V p T p V p P PS T T V ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（2）2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭和HT p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为.P TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS=，故有.TP p SPS V T p T T S p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-=⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓(,)H T p 的全微分为.P TH H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH=，故有.T Pp HPH V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2）最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.将式（1）和式（2）相减，得 0.pS H T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.2.7 实验发现，一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即(),().pV f T U U T ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性：(),pV f T = （1）().U U T = （2）由式（2.2.7）和式（2），有0.T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（3）而由式（1）可得30 .Vp T df T T V dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4） 将式（4）代入式（3），有,dfTf dT= 或.df dT f T= （5） 积分得ln ln ln ,f T C =+或,pV CT = （6）式中C 是常量. 因此，如果气体具有式（1），（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式. 确定常量C 需要进一步的实验结果.2.8 证明2222,,p V T Vp TC C p V T T V T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭并由此导出00220022,.⎛⎫⎛⎫∂∂=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰VpV V p p V p V pp p C C T dV C C T dp T T根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数.解：式（2.2.5）给出.V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （1）以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有2222,V T VC S S S T T T V V T T V T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程 pV nRT =知，在V 不变时，p 是T 的线性函数，即220.Vp T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以 0.V TC V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭ 这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VV VV Vp C C T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3）式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出.p pS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4）以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有2222.p p TC S S S T T T p p T T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在p 不变时V是T 的线性函数，即220.pV T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以0.p TC p ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得 0202.pp pp pV C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意31压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）22,V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 范氏方程（式（1.3.12））可以表为22.nRT n a p V nb V=-- （2）由于在V 不变时范氏方程的p 是T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T 的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）0202(,)(,),VV V V Vp C T V C T V T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰（3）我们知道，V →∞时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V →∞，式中的0(,)V C T V 就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度T 不呈线性关系. 根据2.8题式（5）22,V T VC p V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这意味着范氏气体的定压热容量是,T p 的函数.2.10 证明理想气体的摩尔自由能可以表为,,00,002ln ln =⎰+-⎰--=-⎰⎰+--V m m V m m m m V m m m mC dTF C dT U T dT RT V TS T C dT U TS RT V TT解：式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量,T p 的函数的积分表达式. 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量,m T V 的函数的积分表达式. 根据自由能的定义（式（1.18.3）），摩尔自由能为,m m m F U TS =- （1）其中m U 和mS 是摩尔内能和摩尔熵. 根据式（1.7.4）和（1.15.2），理想气体的摩尔内能和摩尔熵为,0,m V m m U C dT U =+⎰ （2）,0ln ,V m mm m C S dT R V S T=++⎰ （3）所以,,00ln .V m m V m m m m C F C dT T dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）利用分部积分公式,xdy xy ydx =-⎰⎰令,1,,==⎰V m x y C dT T可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为,002ln .m V mm m m dTF T C dT RT V U TS T=--+-⎰⎰ （5）2.11 求范氏气体的特性函数m F ，并导出其他的热力学函数.解：考虑1mol 的范氏气体. 根据自由能全微分的表达式（2.1.3），摩尔自由能的全微分为 ,m m m dF S dT pdV =-- （1）故2,m m m m TF RT ap V V b V ⎛⎫∂=-=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2） 积分得()(),ln ().m m m maF T V RT V b f T V =---+ （3）由于式（2）左方是偏导数，其积分可以含有温度的任意函数()f T . 我们利用V →∞时范氏气体趋于理想气体的极限条件定出函数()f T . 根据习题2.11式（4），理想气体的摩尔自32 由能为,,00ln .V m m V m m m m C F C dT dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）将式（3）在m V →∞时的极限与式（4）加以比较，知,,00().V m V m m m C f T C dT T dT U TS T=-+-⎰⎰（5）所以范氏气体的摩尔自由能为()(),,00,ln .V m m m V m m m m m C a F T V C dT T dT RT V b U TS TV =----+-⎰⎰（6）式（6）的(),mm F T V 是特性函数范氏气体的摩尔熵为(),0ln .V m m m m m C F S dT R V b S T T ∂=-=+-+∂⎰（7）摩尔内能为,0.m m m V m m maU F TS C dT U V =+=-+⎰（8）2.15 计算热辐射在等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量.解：根据式（1.14.3），在可逆等温过程中系统吸收的热量为.Q T S =∆ （1）式（2.6.4）给出了热辐射的熵函数表达式34.3S aT V =（2） 所以热辐射在可逆等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量为 ()4214.3Q aT V V =- （3）2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为41,3p aT = （1）因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T 与体积V 的关系3().T V C =常量（2）将式（1）与式（2）联立，消去温度T ，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p 与体积V的关系43pV C '=（常量）. （3）下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p V-图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.下图是相应的TS -图. 计算效率时应用T S -图更为方便.在由状态A 等温（温度为1T ）膨胀至状态B 的过程中，平衡辐射吸收的热量为()1121.Q T S S =- （4）在由状态C 等温（温度为2T ）压缩为状态D 的过程中，平衡辐射放出的热量为()2221.Q T S S =-循环过程的效率为()()2212211211111.T S S Q T Q T S S T η-=-=-=-- （6）2.18 试证明磁介质H C 与M C 之差等于3320H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：当磁介质的磁化强度有dM 的改变时，外界所做的功是0đ,W V HdM μ=（1）式中H 是电场强度，V 是介质的体积.不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换0p H,V VM μ→-→（2）下，简单系统的热力学关系同样适用于磁介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有0H M M HH M C C T T T μ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（4）式中H C 是磁场强度不变时介质的热容量，M C 是磁化强度不变时介质的热容量. 考虑到1H M TM T H T H M ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）（5）式解出HM T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭,代入(4)式,得 20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2.19 已知顺磁物质遵从居里定律：().CM H T=居里定律 若维物质的温度不变，使磁场由0增至H ，求磁化热.解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q 与其在过程中的熵增加值∆S 满足.Q T S =∆ （1）在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7））0.T HS m H T μ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）如果磁介质遵从居里定律(),CVm H C T=是常量 （3） 易知2Hm CV H T T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭, （4） 所以0.TCV H S H T μ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭2（5） 在可逆等温过程中磁场由0增至H 时，磁介质的熵变为202.2HTCV H S S dH H T μ∂⎛⎫∆==- ⎪∂⎝⎭⎰（6）吸收的热量为20.2CV H Q T S Tμ=∆=- （7）补充题1 温度维持为25C，压强在0至1000n p 之间，测得水的实验数据如下：()363114.510 1.410cm mol K .pV p T ----∂⎛⎫=⨯+⨯⋅⋅ ⎪∂⎝⎭ 若在25C的恒温下将水从1n p 加压至1000n p ，求水的熵增加值和从外界吸收的热量.解：将题给的pV T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭记为.pV a bp T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 由吉布斯函数的全微分dG SdT Vdp =-+得麦氏关系34.p TV S T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 因此水在过程中的熵增加值为()222111∂∂⎛⎫⎛⎫∆==-=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰p p p P p p Tp S V S dp dp a bp dp P T ()()222121.2b a p p p p ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦（3）将11,1000n n n p p p p ==代入，得110.527J mol K .S --∆=-⋅⋅根据式（1.14.4），在等温过程中水从外界吸收的热量Q 为 ()112980.527J mol 157J mol .Q T S--=∆=⨯-⋅=-⋅补充题2 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为(),,23.21p m V m m m R C C a V b V RT-=--解：根据式（2.2.11），有,,.m m p m V m V pV p C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）由范氏方程2m mRT ap V b V =--易得()232,.⎛⎫∂∂⎛⎫==-+ ⎪ ⎪∂-∂⎝⎭-⎝⎭m V m m mT m p R p RT a T V b V V V b（2）但1,m m V m Tp V p T T V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()323,2∂⎛⎫⎪∂-⎝⎭∂⎛⎫=-= ⎪∂⎛⎫∂⎝⎭-- ⎪∂⎝⎭m V m m m p m m m Tp T RV V b V T p RTV a V b V（3）代入式（1），得 (),,23.21p mV m m mR C C a V b RTV -=--（4）补充题3 承前1.6和第一章补充题3，试求将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量和内能的变化.解：式（2.4.4）给出，以,T V 为自变量的简单系统，熵的全微分为.V VC p dS dT dV T T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 对于本题的情形，作代换 ,,V L p →→-J （2）即有.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （3）将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量Q 为2.L L LQ TdS T dL T ∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭⎰⎰J （4） 由2020L L J bT L L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得220002200021,L L L dL J L L b bT T L L L L L dT ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）代入式（4）可得0002222200022002L L L L L L L L Q bT dL bT a dL L L L L ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰350051,2bTL a T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（6） 其中001.dL L dTα=过程中外界所做的功为2220020,L L L L L L W JdL bT dL bTL L L ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰（7） 故弹性体内能的改变为2005.2U W Q bT L α∆=+= （8）补充题4 承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.解：上题式（3）已给出.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （1）在可逆绝热过程中0dS =，故有.S L L T T J L C T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（2）将习题2.15式（5）求得的LJ T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭代入，可得2200022002.S L L L T bT L L T L C L L L L α⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）补充题5 实验测得顺磁介质的磁化率()T χ. 如果忽略其体积变化，试求特性函数(,)f M T ，并导出内能和熵.解：在磁介质的体积变化可以忽略时，单位体积磁介质的磁化功为（式（2.7.2））0đ.W HdM μ= （1）其自由能的全微分为0.df SdT MdM μ=-+将()χ=T M H代入，可将上式表为.Mdf SdT dM μχ=-+ （2）在固定温度下将上式对M 积分，得20(,)(,0).2()M f T M f T T μχ=+ （3）(,)f T M 是特性函数. 单位体积磁介质的熵为(),MS f T M T ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦2021(,0).2d M S T dTμχχ=+ （4）单位体积的内能为220002.22M d U f TS M T U dTμμχχχ=+=++ （5）。
热力学第一定律对范氏气体的应用
66
第 15 卷第 3 期
Vo l. 15 No. 3
广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报
JO U RNAL O F W UZ HO U T EAC HERS C O LLEG E O F G U AN GXI
1999 年 7 月
J u l . 1999
这个功也可由定义式求出 :
( 南宁师专物理系 , 广 西 [摘 龙州 532400)
要 ] 用热力学基本方程导出了范氏气体 的内能公 式 。 将热力学 第一定 律应用于 范氏气 体 ,
得出了范氏气体的各种过程方程 , 并讨论了范氏气体在各种等值过程中能量转换关系 。 [ 关键词 ] 热力学第一定律 ; 范氏气体 ; 过程方程 ; 能量转换
热力学第一定律是热学教学的重点内容之一 , 它反映了系统在过程中功、 热量、 内能增量 三者之间的量值关系。一般热学教材[ 1] [ 2 ] 由于受篇幅的限制 , 仅把该定律应用于理想气体 , 而较接近于实际气体的范德瓦耳斯气体 ( 以下简称为范氏气体) 却没有讨论。本文先用热力学 基本方程导出范氏气体的内能公式 , 然后用热力学第一定律导出范氏气体的各种过程方程, 讨 论该气体在各种等值过程中能量的转换关系。 1 范氏气体的内能公式 均匀闭系的热力学基本方程为 : dU= T dsYi dx i ( 1) 在无限邻近的两平衡态之间, 只有单项压缩功时变为: d U = T dS - Pd V
[ 参考文献 ] [ 1] 李椿 . 热学 . 黑龙江 : 人民教育出版社 , 1978 年 9 月 , 第 171 页 - 第 180 页 . [ 2] 李平 . 热学 . 北京 : 北京师范大学出版社 , 1987 年 6 月 , 第 67 页 , 第 277 页 . [ 3] 刘连寿 . 理论物理简明教程 . 武昌 : 华中师范大学出版社 , 1986 年 7 月 , 第 233 页 . [ 4] 吴瑞贤 . 热学研究 . 成都 : 四川大学出版社 , 1987 年 4 月 , 第 22 页 - 第 75 页。 [ 责任编辑 韦文生 ]
热力学习题答案
第1章 《热力学》习题解答1-1若一打足气的自行车内胎在7.0C 时轮胎中空气压强为54.010Pa ⨯，则在温度变为37.0C 时，轮胎内空气压强为多少？（设内胎容积不变）[解]：轮胎内的定质量空气做等容变化状态1 Pa P K T 511100.4,280⨯== 状态2：?,28022==P K T 由查理定律得Pa Pa P T T P T T P P 55112212121043.4100.4280310⨯=⨯⨯==⇒= 1-2 氧气瓶的容积为233.210m -⨯，其中氧气的压强为71.310Pa ⨯，氧气厂规定压强降到61.010Pa ⨯时，就应重新充气，以免经常洗瓶. 某小型吹玻璃车间平均每天用去30.40m 在51.0110Pa ⨯压强下的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变）[解]：设氧气瓶的容积为320102.3m V -⨯=，使用过程的温度T 保持不变使用前氧气瓶中，氧气的压强为Pa P 71103.1,⨯= 根据克拉帕龙方程nRT PV =得： 使用前氧气瓶中，氧气的摩尔数为RTV P n 011,=氧气压强降到Pa P 62100.1,⨯=时，氧气瓶中，氧气的摩尔数为RTV P n 022,=所以能用的氧气摩尔数为()21021,P P RTV n n n -=-=∆ 平均每天用去氧气的摩尔数RTV P n 333,=故一瓶氧气能用的天数为()()5.91001.140.010113102.3,562332103=⨯⨯⨯-⨯=-=∆=-P V P P V n n N 1-3在湖面下50.0m 深处（温度为4.0C ），有一个体积为531.010m -⨯的空气泡升到湖面上来. 若湖面的温度为17.0C ，求气泡到达湖面的体积.（取大气压为50 1.01310Pa p =⨯）[解]：空气泡在湖面下50.0m 深处时，3511100.1,277m V K T -⨯==Pa P gh P 5530110013.610013.15010100.1⨯=⨯+⨯⨯⨯=+=ρ气泡到达湖面时，Pa P K T 522100.1,290⨯==由理想气体状态方程222111T V P T V P =得： 35351122121029.6100.12772900.1013.6m m V T T P P V --⨯=⨯⨯⨯=⋅=1-4如图所示，一定量的空气开始时在状态为A ，压力为2atm ，体积为l 2, 沿直线AB 变化到状态B 后，压力变为1 atm ，体积变为l 3. 求在此过程中气体所作的功。
关于范氏气体的几点讨论
因为分子的有效直径 与气体的温度有关，故由(14)、(15)、(20)三式可以说明，范德瓦尔斯方程中的修正量 和 不但与气体的性质有关，同时也与气体的温度有关。
2.范德瓦尔斯气体的各种过程
2.1多方过程
热力学第一定律为:
而1mol范氏气体的内能为:
表 1 各种过程的热容量
过程
等温过程
绝热过程
等压过程
等容过程
热容量
需要注意的是，定压摩尔热容量与定容摩尔热容量的差值不再是理想气体的
，现推导如下：
范德瓦尔斯气体内能是状态函数，若取 作独立变量，即
将上式微分，得
由热力学第一定律，得
由定容摩尔热容量的定义式，
将上式代入式 ，得
若体积取 作独立变量，即
将上式微分，得
代入 ，得
由定压摩尔热容量的定义式，
将式 ,得
所以，
对于1mol范德瓦尔斯气体,内能为
则
将范德瓦尔斯方程式展开，得
则
所以，
将式 代入式 ，得
即
式 即为范德瓦尔斯气体定压摩尔热容与定容量摩尔热容量的差值，理想气体时则变为Mayer公式,即 。这明显表现出于理想气体的不同，因为在等呀过程中，对外做功膨胀时，吸收的热量用于增加热运动对应的动能，还要用一部分热量作为克服表面净引力作的功，这一部分额外的功，造成了 。那么范氏气体的热容量之比也与理想气体不同。
对于理想气体,热容量之比为：
对于范德瓦尔斯气体：
2.3各种准静态过程的多方指数
将各种过程热容量代入 式，利用 式就可得到范德瓦尔斯气体各种准静态过程方程及相应的多方指数 的值(表2)。
表2范德瓦尔斯气体各种过程方程和多方指数
范德瓦耳斯气体的热力学性质3
范德瓦耳斯气体的热力学性质陈东2008061144(黔南民族师范学院物理与电子科学系，贵州都匀 558000)【摘要】讨论范德瓦尔斯气体的内能、熵、焓和自由能，给出相应的数学表达式，并对相应问题进行讨论。
【关键词】范德瓦尔斯气体；内能；熵；焓；自由能；绝热过程；节流过程Van der Waals gas thermodynamic propertiesChen Dong200806114( Qiannan Normal College for Nationalities Department of physics and electronic science, Guizhou Tuyun 558000)[ Abstract ] to discuss Van Der Waals gas internal energy, entropy, enthalpy and free energy, the corresponding mathematical expressions, and the relative problems are discussed.[ Key words ] Van Der Waals gas; energy; entropy; enthalpy; free energy; adiabatic process; throttling process理想气体是反映各种实际气体在压强趋于零时所共有的极限性质的气体，是一种理想模型。
在一般的压强和温度下，可以把实际气体近似地当作理想气体出来，但是在压强太大或温度太低（接近于其液化温度）时，实际气体与理想气体有显著的偏离。
为了更精确地描述实际气体的行为，人们提出很多实际气体的状态方程，其中最重要、最有代表性的是范德瓦尔斯方程。
1、范德瓦尔斯气体的状态方程范德瓦尔斯方程是在理想气体状态方程的基础上修改而得到的半经验方程。
理想气体是完全忽略除分子碰撞瞬间外一切分子间的相互作用力的气体，而实际气体就不能忽略分子间的作用力，原因是实际气体因压强大，分子数密度也大，分子间平均距离比理想气体小得多所致。
范氏气体
对理想气体模型需要做两方面的修正：
▲考虑气体分子本身的体积
▲考虑分子之间的相互作用力
f
f
斥力
合力
r0
s
简化
0
10 -9m r
0
d
引力
d
s r
分子力曲线
范氏气体模型 10
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/28
范氏气体模型：
（1）分子是直径为d 的刚球； 弱引力的弹性刚球
（2）在 d s 的范围内，
p
0，Ep曲线斜率为4 正
一、理想气体微观模型
1、在标准状态下，分子本身的大小与分子 间的平均距离相比要小得多。因此，分 子的线度可忽略不计，视分子为质点。
n0
6.02 1023 22.4 103
m3
2.7 1025 m 3
L
(
1 n0
)1 / 3
(
1 2.7 1025
)1/ 3 m
这层气体分子由于受到指向
气体内部的力所产生的总效 果相当于一个指向内部的压
R
强，叫内压强 Pi。
15
所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实
验可测得的压强为
RT
p Vm b pi
pi的相关因素
与表面层分子（类似 ）
Pi
的数密度 n 成正比
表面层分子受到内
部分子的通过单位 面积的作用力
C1' r s1
C2' r t1
式中C1'
C1 s 1
;
C2'
C2 t 1
热力学函数的范氏形式
热力学函数的范氏形式
作者：刘亚慧
来源：《东方教育》2016年第09期
摘要：讨论了范德瓦尔斯气体的热力学函数：内能、熵和焓。
关键词：范德瓦尔斯方程；内能；熵；焓
范德瓦爾斯气体方程是对理想气体方程进一步的修正，此方程对气体的液化理论起了很大的指导作用，并且很多真实气体的性质与用范德瓦尔斯方程算得很接近。
一摩尔气体的范德瓦尔斯方程：
1 内能
设定容摩尔热容量是常数[2]，因为热力学系统的内能U是状态参量的函数，其中只有两个参量是独立的.这里取则：
2 熵
3 焓
在这篇文章中阐述了范式气体的热力学函数，对我们认识范式气体方程的性质和深入的学习它有一定的帮助。
参考文献：
[1].张三慧.大学物理学.热学.第二版.北京：清华大学出版社，1999，66-72.
[2].程守洙，江之永.普通物理.第五版.北京：高等教育出版社，2001，343-345.
[3].李椿，章立源，钱尚武.热学.第一版.北京：高等教育出版社.1979，229
[4].李椿，章立源，钱尚武.热学.第一版.北京：高等教育出版社.1979，160-162。
等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体
等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体
范氏气体是一种常见的气体模型，它在不同温度和压力下呈现出不同的特性。
在高温和低压的情况下，范氏气体的行为表现得非常类似于理想气体。
因此，在一定条件下，范氏气体可以被看作是理想气体的一种特例。
然而，在一些更高的压力下，范氏气体的离子相互作用将变得明显，导致其无法符合理想气体的特性。
范氏气体模型将气体分子视为刚性球体，其中分子与分子之间的相互作用由一定的势能函数表示。
对于一定体积的范氏气体，可以用以下方程式来描述其状态：
$$PV=Nk_BT+ N^2A/V$$
其中，P表示压力，V是气体的体积，N是气体分子数，k_B是Boltzmann常数，T是气体的温度，A是分子之间的吸引能常数。
当范氏气体接近一定的压力范围时，其实验数据将不再符合这种模型的预测，因为分子之间的相互作用开始显现。
在这个点上，范氏气体通常被转化为更实际的气体模型。
理想气体是一种理论模型，它对一些特定的气体行为进行了描述。
简单来说，理想气体模型假设气体由无限小，相互独立的分子组成。
在理想气体模型中，分子之间相互作用被忽略，因此理想气体模型更适用于低压和高温的情况。
总的来说，范氏气体可以被看作是一种介于真实气体和理想气体之间的模型。
它对气体行为进行了准确的描述，对于一些实际问题的解决具有重要意义。
当范氏气体的压力接近于一定的范围时，该气体的特性会开始发生明显的变化，此时范氏气体通常不再被视为理想气体。
因此，在现实应用中，需要根据具体情况来选择合适的气体模型，以便更准确地解决问题。
范氏气体的体膨胀系数
范氏气体的体膨胀系数范氏气体的体膨胀系数，也称为热膨胀系数，是指单位温度变化时气体体积的变化率。
范氏气体是热力学中的一种理想气体，其体膨胀系数与温度变化有关。
一、背景知识在热力学中，热膨胀系数常用于描述物质的体积变化情况。
它定义为单位温度变化时物体体积的变化量与初时体积的比值，通常用α表示。
数学表达式为：α= (1/V) * (dV/dT)其中，α表示热膨胀系数，V表示体积，T表示温度，dV表示体积的变化量，dT表示温度的变化量。
二、范氏气体的特点范氏气体是一种理想气体，它的分子之间不存在相互作用力，分子与容器壁之间的碰撞完全弹性，且分子体积可以忽略不计。
这些特点使范氏气体的性质遵循一定的规律，便于热力学的研究。
三、范氏气体的状态方程范氏气体的状态方程可以用以下形式表示：PV = nRT其中，P表示压强，V表示体积，n表示物质的物质的摩尔数，R表示气体常数，T表示温度。
四、范氏气体的体积变化与温度变化的关系对于范氏气体而言，它的体积变化与温度变化之间存在一定的关系。
根据范氏气体的状态方程PV = nRT，假设在恒压下考察物体的体积变化，即压强P保持不变。
根据状态方程，有：V = (nR/P)T从上述状态方程可以看出，范氏气体的体积与温度呈正比例关系，即体积随温度的增加而增加，体积随温度的降低而降低。
五、范氏气体的体积膨胀系数的求解范氏气体的体积膨胀系数是指单位温度变化时，气体体积的变化率。
由范氏气体的状态方程PV = nRT可以推导出范氏气体的体积膨胀系数与压强、温度之间的关系。
对V进行微分，得：dV = (nR/P)dT将dV/dT替换到热膨胀系数的定义中，得：α= (1/V) * (dV/dT)α= (1/V) * [(nR/P)dT/dT]简化后得：α= (1/V) * (nR/P)根据PV = nRT，可以得到：α= (1/V) * (RT/PV)由此可见，范氏气体的体积膨胀系数与温度成正比，与压强、体积和物质的摩尔数成反比。
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定压摩尔热容量和定容摩尔热容量
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理想气体反映实际气体在压力趋于零时的极限性质， 在一般的温度和压力下， 也可以把实 际气体近似地当作理想气体 ! 但在高压和低温条件下， 实际气体与理想气体的偏离较大， 为了 更精确地描述气体的行为， 范德瓦耳斯方程是常用的物态方程， 但由于其形式较复杂， 所以我 们对与此相关的热力学量如内能、 熵、 热容量以及热力学过程了解的并不多， 本文对此进行讨 论!
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范氏气体准静态热力学过程
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范氏气体的内能
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参考文献：
［$ ］ 汪志诚 * 热力学统计物理 ［ 0］ * 北京： 高等教育出版社， $)(# * 11 3%( * ［* ］ 赵凯华， 罗蔚茵 * 新概念物理教程 热学 ［ 0］ 高等教育出版 社， * 北京： $))) * $%( *
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文章编号：#"")$’’#! （!""#） "*$"")"$"(
范 氏 气 体 的 热 力 学 特 性
刘 保义
（天水师范学院 物理系， 甘肃 天水 )*#""#）
摘
要： 对范氏气体的内能、 热容量以及熵的表达 式进行了 推导， 并 给出了范 氏气体 准静态 热力学
过程的主要关系式 & 关键词： 范氏气体； 内能； 热容量； 熵； 准静态过程 中图分类号： +,,( &( 文献标识码： -