安徽省屯溪一中2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题
【解析】安徽省黄山市屯溪一中2015届高三上学期第二次月考数学(文)试卷Word版含解析
2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={y|y≤﹣1}，则A∪B=（）A．（﹣2，﹣1] B． [﹣1，4） C．∅ D．（﹣∞，4）2．复数z满足（2+i）z=﹣3+i，则z=（）A． 2+i B． 2﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真4．已知向量，，若与共线，则m的值为（）A． B． 2 C． D．﹣25．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A． B． 4 C． 2 D．6．已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 37．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增 D．在[﹣，]单调递减8．若实数x，y满足则的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C． [﹣2，1] D． [﹣2，0]10．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A．；甲比乙成绩稳定 B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣4x+2y=0的相切，则m= ．12．已知角，且，则cos（π﹣α）= ．13．在执行如图的程序框图时，如果输入N=6，则输出S= ．14．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）=﹣f（x），当x ∈（0，1]时，f（x）=2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．15．给出以下四个结论：①函数f（x）=的对称中心是（﹣，﹣）；②若不等式mx2﹣mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则0＜m＜4；③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0两侧，则2a+1＜3b；④若将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位后变为偶函数，则Φ的最小值是．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．17．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x﹣y|≤5}，事件F={|x﹣y|＞15}，求P（E∪F）．18．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F 在CE上．（1）求证：DE⊥BE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．19．已知函数（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．20．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l 的方程及椭圆C的方程．21．已知数列{c n}的前n项和S n满足：S1=5，S n+1=2S n+3n，又设a n=S n﹣3n，b n=1+2log2a n（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若T n=b1a1+b2a2+…+b n a n，且T n≥m恒成立，求T n和常数m的范围；（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，不等式••…•＞．2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={y|y≤﹣1}，则A∪B=（）A．（﹣2，﹣1] B． [﹣1，4） C．∅ D．（﹣∞，4）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的并集即可．解答：解：∵A=（﹣2，4），B=（﹣∞，﹣1]，∴A∩B=（﹣∞，4）．故选：D．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．复数z满足（2+i）z=﹣3+i，则z=（）A． 2+i B． 2﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则即可求得（2+i）z=﹣3+i中的复数z．解答：解：∵（2+i）z=﹣3+i，∴z====﹣1+i，故选D．点评：本题考查复数的除法运算，将复数z=的分母实数化是关键，也可以设出复数z=a+bi（a，b∈R），利用两复数相等求得，属于基础题．3．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；反之成立，由充分必要条件即可判断；②由存在性命题的否定是全称性命题，即可判断．解答：解：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；若“¬p”为假，则p为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故①正确；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．故②正确．故选：D．点评：本题考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题．4．已知向量，，若与共线，则m的值为（）A． B． 2 C． D．﹣2考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．分析：先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．解答：解：由题意可知=m（2，3）+4（﹣1，2）=（2m﹣4，3m+8）=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）∵与共线∴（2m﹣4）×（﹣1）=（3m+8）×4∴m=﹣2故选D．点评：本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A． B． 4 C． 2 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．据此即可计算出其体积．解答：解：由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．∴V P﹣ABC===4．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴e=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．7．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增 D．在[﹣，]单调递减考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可．解答：解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为y=sin2（x+）=sin（2x+）．对于A，当x=﹣时，y=sin（﹣）≠0．图象不关于点（﹣，0）中心对称，∴A不正确；对于B，当x=﹣时，y=sin0=0，图象不关于x=﹣轴对称，∴B不正确对于C，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，x=﹣时，函数取得最小值，∵[﹣，﹣]⊂[﹣，]，∴在区间[﹣，﹣]单调递增，∴C正确；对于D，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，∴在[﹣，]单调递减不正确，∴D不正确；故选：C．点评：本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键8．若实数x，y满足则的取值范围是（）A． B． C． D．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（﹣1，﹣3）构成的直线的斜率范围．解答：解：不等式组满足表示的区域如图，则的几何意义是可行域内的点与点（﹣1，﹣3）构成的直线的斜率问题．当取得点A（0，4）时，则的值为7，当取得点B（3，0）时，则的取值为，所以答案为，故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．9．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C． [﹣2，1] D． [﹣2，0]考点：其他不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．解答：解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D点评：本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．10．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A．；甲比乙成绩稳定 B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：由茎叶图，得出5场比赛甲、乙的得分，再计算平均数与方差，即可得到结论．解答：解：5场比赛甲的得分为16、17、28、30、34，5场比赛乙的得分为15、26、28、28、33∴=（16+17+28+30+34）=25，=（15+26+28+28+33）=26=（81+64+9+25+81）=52，=（121+4+4+49）=35.6∴，乙比甲成绩稳定故选D．点评：本题考查茎叶图、平均数及标准差等知识，考查计算能力．属基础题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣4x+2y=0的相切，则m= ﹣3．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：利用直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣4x+2y=0的相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求出m的值．解答：解：圆x2+y2﹣4x+2y=0的圆心坐标为（2，﹣1），半径为因为直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣4x+2y=0的相切，所以=，所以m=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，比较基础．12．已知角，且，则cos（π﹣α）= ．考点：同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围及tanα的值小于0，判断出cosα小于0，将所求式子利用诱导公式化简后，利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，将tanα代入即可求出cosα的值．解答：解：∵α∈（，），tanα=﹣＜0，∴α∈（，π），∴cosα＜0，∴cos（π﹣α）=﹣cosα==．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．13．在执行如图的程序框图时，如果输入N=6，则输出S= ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每一次循环k，S的值，当有k=6，第6次执行循环体，有S=1++++++，此时k＜N不成立，从而输出S的值．解答：解：执行程序框图，有N=6，k=1，S=1第1次执行循环体，S=1+，k＜N成立，有k=2，第2次执行循环体，S=1++k＜N成立，有k=3，第3次执行循环体，S=1+++k＜N成立，有k=4，第4次执行循环体，S=1++++k＜N成立，有k=5，第5次执行循环体，S=1+++++k＜N成立，有k=6，第6次执行循环体，S=1++++++=k＜N不成立，输出S的值，故答案为：．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．14．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）=﹣f（x），当x ∈（0，1]时，f（x）=2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为6043 ．考点：函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：分析函数的周期性和对称性，进而画出函数在一个周期上的图象，分析一个周期内零点的个数，进而得到f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故函数f（x）是T=4的周期函数，又∵函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），∴函数f（x）的对称中心为（0，0），即函数f（x）为奇函数，∵当x∈（0，1]时，f（x）=2x﹣1，∴在一个周期[﹣2，2）上的图象如下图所示：由图可得在一个周期[﹣2，2）上函数有6个零点，故每个周期[4k﹣2，4k+2），k∈Z上函数都有6个零点，[﹣2014，2014）上共有[2014﹣（﹣2014）]÷4=1007个周期，故[﹣2014，2014）共有6×1007=6042个零点，由f（2014）=0，故f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为6043，故答案为：6043点评：本题考查函数图象的作法，函数的周期性，函数的对称性，函数的零点，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．15．给出以下四个结论：①函数f（x）=的对称中心是（﹣，﹣）；②若不等式mx2﹣mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则0＜m＜4；③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0两侧，则2a+1＜3b；④若将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位后变为偶函数，则Φ的最小值是．其中正确的结论是③④．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：①函数f（x）=的对称中心应该是（﹣，）．②若不等式mx2﹣mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则m=0满足题意；m≠0，可得，解得0＜m＜4，即可判断出．③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0两侧，可得（2a﹣3b+1）（2﹣0+1）＜0，解出即可．④若将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位化为f（x）=sin[2（x﹣Φ）﹣]，变为偶函数，则﹣2Φ﹣=2kπ（k∈Z），解出即可．解答：解：①函数f（x）=的对称中心是（﹣，），因此不正确；②若不等式mx2﹣mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则m=0满足题意；m≠0，可得，解得0＜m＜4，因此m的取值范围是[0，4），因此不正确；③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0两侧，则（2a﹣3b+1）（2﹣0+1）＜0，则2a+1＜3b，正确；④若将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位化为f（x）=sin[2（x﹣Φ）﹣]变为偶函数，则﹣2Φ﹣=2kπ（k∈Z），当k=0时，﹣2Φ=﹣，可得Φ的最小值是．其中正确的结论是③④．故答案为：③④．点评：本题考查了分式函数的中心对称性、一元二次不等式恒成立问题、点与直线的位置关系、三角函数的平移变换及其奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知和正弦定理求得a2+b2﹣c2=ab，由此求得cosC=，从而求得C的值．（2）由（1）中a2﹣c2=ab﹣b2 求得b的值，再根据△ABC的面积为，运算求得结果．解答：解：（1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a﹣c）=b（a﹣b）…（2分）故a2﹣c2=ab﹣b2，故a2+b2﹣c2=ab，故，…（4分）故C=60°…（6分）（2）由（1）中a2﹣c2=ab﹣b2，得25﹣49=5b﹣b2，得b2﹣5b﹣24=0，解得b=8或b=﹣3（舍），故b=8．…（9分）所以，△ ABC的面积为：．…（12分）点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．17．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x﹣y|≤5}，事件F={|x﹣y|＞15}，求P（E∪F）．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先由第六组的人数除以样本容量得到第六组的频率，然后用1减去出第七组外各组的频率和即可得到第七组的频率；（Ⅱ）因为过中位数的直线两侧的矩形的面积相等，经计算前三组的频率和小于0.5，后四组的频率和大于0.5，由此断定中位数位于第四组，设出中位数m，由0.04+0.08+0.2+（m ﹣170）×0.04=0.5即可求得中位数m的值；（Ⅲ）分别求出第六组和第八组的人数，利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的总的方法，再分别求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公式进行计算．解答：解：（Ⅰ）第六组的频率为，所以第七组的频率为1﹣0.08﹣5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06；（Ⅱ）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×5=0.04，身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5=0.08，身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5=0.2，身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5=0.2，由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175由0.04+0.08+0.2+（m﹣170）×0.04=0.5得m=174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．（Ⅲ）第六组[180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190，195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E={|x﹣y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故．由于|x﹣y|max=195﹣180=15，所以事件F={|x﹣y|＞15}是不可能事件，P（F）=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以．点评：本题考查了频率分布直方图，考查了列举法求基本事件及事件发生的概率，解答此题的关键是明确频率直方图中各矩形的频率和等于1，中位数是频率分布直方图中，过该点的直线把各矩形面积均分的点的横坐标，此题是基础题．18．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F 在CE上．（1）求证：DE⊥BE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）根据BC的平行线DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，从而AE⊥BC，再结合AE ⊥BF，利用线面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，从而AE⊥BE，再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE；（2）作EH⊥AB于H，根据面面垂直的性质可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中结合已知条件的数据，算出，最后用锥体体积公式可求出四棱锥E﹣ABCD的体积；（3）设P是BE的中点，连接MP，FP．利用三角形中位线定理结合线面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，从而平面MPF∥面DAE，由此得到直线MF∥面DAE，可得点N就是点F．解答：解：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF…（2分）∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC，又∵BE⊂平面BEC，∴AE⊥BE∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE，∵DE⊂面DAE，∴DE⊥BE…（4分）（2）作EH⊥AB于H，∵DA⊥平面ABE，DA⊂面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE，∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，∴等腰Rt△AEB中，…（6分）因此，…（8分）（3）设P是BE的中点，连接MP，FP∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中点…（10分）∵△ECB中，FP是中位线，∴FP∥BC∥DA∵DA⊂平面DAE，FP⊈平面DAE∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE，因此，直线MF∥面DAE，可得点N就是点F所以CE的中点N满足MN∥平面DAE．…（12分）点评：本题以一个特殊的四棱锥为例，证明了线线垂直和线面平行，并且求了四棱锥的体积，着重考查了空间平行与垂直位置关系的证明和锥体体积公式等知识，属于基础题．19．已知函数（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f（x）的最小值；（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a≥0时，ax2+x﹣1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；当a＜0时，令g（x）=ax2+x﹣1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零解答：解：（1）a=0时，…..（2分）当0＜x＜1时f'（x）＜0，当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）∴f（x）min=f（1）=1…．（7分）（2）当a≥0时，ax2+x﹣1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）当a＜0时，令g（x）=ax2+x﹣1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零故△=1+4a≤0或，解得：a≤∴a的取值范围是…（14分）点评：本题以函数为载体，考查导函数，考查函数的单调性，注意分类讨论．20．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立，OP⊥OQ，可得，利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．解答：解：（Ⅰ）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．…（9分）∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…（13分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．21．已知数列{c n}的前n项和S n满足：S1=5，S n+1=2S n+3n，又设a n=S n﹣3n，b n=1+2log2a n（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若T n=b1a1+b2a2+…+b n a n，且T n≥m恒成立，求T n和常数m的范围；（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，不等式••…•＞．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意得S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n），又s1﹣31=2，数列{S n﹣3n}是首项为2，公比为2的等比数列，求得s n，即可求得结论；（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和即可；（Ⅲ）利用放缩法==+≥2=，累乘即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵S n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n），又s1﹣31=2，∴数列{S n﹣3n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n﹣3n=2n，∴S n=3n+2n，∴a n=S n﹣3n=2n，b n=1+2log2a n=1+2n．（Ⅱ）T n=b1a1+b2a2+…+b n a n=3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，∴2T n=3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n+（2n+1）•2n+1∴﹣T n=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1=6+2×﹣（2n+1）•2n+1=﹣1+（1﹣2n）•2n+1，∴T n=1+（2n﹣1）•2n+1∵T n=1+（2n﹣1）•2n+1≥5，∴要使T n≥m恒成立，只需m≤5即可．（Ⅲ）∵b n=1+2n．∴==+≥2=，∴••…•≥=．点评：本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，错位相减法求数列的和及放缩法证明不等式成立问题，考查学生的运算求解能力，属于难题．。
安徽省黄山市屯溪一中2015届高三上学期期中数学(文)试卷
2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2+3﹣4＜0}，则A∩B等于（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，﹣4）2．i是虚数单位，复数z=的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C． 1 D． 23．在△ABC中，已知M是BC中点，设=，则=（）A． B． C． D．4．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．将函数y=sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移6．等比数列{a n}中，已知a3=2，a4﹣a2=，则前5项和S5=（）A． 7±3 B． 3±7 C． 7+3 D． 3﹣77．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A． 2 B． 3 C． 6 D． 98．如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A． i＞100，n=n+1 B． i＞100，n=n+2 C． i＞50，n=n+2 D． i≤50，n=n+29．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间[]上为增函数B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置11．已知α是钝角，cosα=﹣，则sin（﹣α）= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为．13．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，63的分解式为63= ．14．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC= ．15．点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内一动点，定点是坐标原点，则的取值范围是．三、解答题：（本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（cosB，2cos2﹣1）与向量=（2a﹣b，c）共线．（1）求角C的大小；（2）若c=2，S△ABC=2，求a，b的值．17．汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．18．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段A1C1的中点，AC∩BD=F．（1）求证：CE⊥BD；（2）求证：CE∥平面A1BD；（3）求三棱锥D﹣A1BC的表面积．19．已知数列{a n}的前n项之和为S n，满足a n+S n=n．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣1}为等比数列，并求通项a n；（Ⅱ）设b n=（2﹣n）•（a n﹣1），求数列{b n}中的最大项的值．20．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．21．设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求实数b的最大值；（3）函数g（x）=f′（x）﹣a（x﹣x1）若x1＜x＜x2，且x2=a，求函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．（用a表示）2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2+3﹣4＜0}，则A∩B等于（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，﹣4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞）；由B中的不等式变形得：（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，即B=（﹣4，1），则A∩B=（0，1）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．i是虚数单位，复数z=的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C． 1 D． 2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将复数进行除法运算，化简为最简形式的代数形式，再根据虚部的概念，得出虚部．解答：解：∵复数z====﹣i，∴复数的虚部是﹣1，故选 B．点评：本题考查复数的除法运算，复数的虚部的概念，本题解题的关键是写出复数的代数形式的标准形式．3．在△ABC中，已知M是BC中点，设=，则=（）A． B． C． D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量加法的平行四边形法则，及向量的减法即可用表示．解答：解：=；故选A．点评：考查向量加法的平行四边形法则，向量的减法运算，及相反向量．4．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．分析：由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选B．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．5．将函数y=sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．解答：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，当k=0时，ρ=﹣，向右平移，故选B．点评：本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质﹣﹣对称性，考查计算能力，常考题型之一．6．等比数列{a n}中，已知a3=2，a4﹣a2=，则前5项和S5=（）A． 7±3 B． 3±7 C． 7+3 D． 3﹣7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，解方程组代入求和公式可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则，解得或，∴当时，数列{a n}的前5项和S5==7+3，当时，数列{a n}的前5项和S5==7﹣3，故选：A点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及方程组的解法，属基础题．7．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A． 2 B． 3 C． 6 D． 9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．8．如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A． i＞100，n=n+1 B． i＞100，n=n+2 C． i＞50，n=n+2 D． i≤50，n=n+2考点：循环结构．专题：图表型．分析：写出前三次循环的结果，观察归纳出和的最后一项的分母i的关系，得到判断框中的条件．解答：解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母=2（i﹣1）令2（i﹣1）=100解得i=51即需要i=51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n=n+2故选C点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目，常采用写出前几次循环的结果，找规律．9．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C． D．考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩==88.4+当X=8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=故选C点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键．10．已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间[]上为增函数B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：将f（x）与g（x）分别化简，再对A，B，C，D四个选项逐一分析即可．解答：解：∵f（x）=sin（π﹣2x）=sin2x，y=sinx在[0，]上单调递增，在区间[，π]上单调递减，∴f（x）=sin2x在区间[]上单调递减，故A错误；又g（x）=2cos2x=1+cos2x，∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴其周期T=π，由2x+=kπ+（k∈Z）得，x=+，k∈Z，当k=0时，x=；故B错误，C正确；对于D，f（x）=sin2x f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=﹣sin2x≠1+cos2x=g（x），故D错误．综上所述，只有C正确．故选C．．点评：本题考查二倍角的余弦，考查正弦函数的性质的应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合性强，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置11．已知α是钝角，cosα=﹣，则sin（﹣α）= ﹣．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由同角三角函数的平方关系，求出sinα，再由两角差的正弦公式，即可得到答案．解答：解：由于α是钝角，cosα=﹣，则sinα==，则sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=（﹣﹣）=﹣．故答案为：﹣点评：本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和两角差的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．12．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为 6 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故答案为：6．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．13．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，63的分解式为63= 29+31+35+37+39+41 ．考点：类比推理；归纳推理．专题：规律型．分析：由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法．解答：解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，即从23到53，用去从3开始的连续奇数共=14个故63的分解式中第一个奇数为29，且共有6个连续奇数相加故63=29+31+35+37+39+41故答案为：29+31+35+37+39+41点评：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC= 60°．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．解答：解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，则=．故∠BAC=60°．点评：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．15．点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内一动点，定点是坐标原点，则的取值范围是[0，18] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的平面区域Ω，利用向量的坐标运算得到=3x+y，然后利用角点法求出满足约束条件时，使Z=3x+y的值取得最大（小）的点M的坐标，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域Ω如下图所示：则=（ 3，），=（x，y）则=3x+y，则当M与O重合时，取最小值0；当M点坐标为（ 3，3）时，取最大值18，故则（O为坐标原点）的取值范围是[0，18]故答案为：[0，18]．点评：本题考查的知识点是简单线性规划，及平面向量的数量积的运算，其中根据约束条件画出可行域，进而根据角点法求出最优解是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（cosB，2cos2﹣1）与向量=（2a﹣b，c）共线．（1）求角C的大小；（2）若c=2，S△ABC=2，求a，b的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）根据向量共线建立条件关系，利用三角函数的关系式，即可求角C的大小；（2）根据三角形的面积公式，以及余弦定理建立方程组，即可得到结论．解答：解：（1）∵向量=（cosB，2cos2﹣1）与向量=（2a﹣b，c）共线，∴ccosB=（2a﹣b）cosC，根据正弦定理得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，∴sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，即sinA═2sinAcosC，∴cosC=，即C=．（2）∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+s2﹣ab=12，①∵S△ABC=2=，∴ab=8，②，由①②得或．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理和公式．17．汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；轿车A 轿车B 轿车C舒适型 100 150 z标准型 300 450 600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅲ）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果．解答：解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a=2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，故P（E）=，即所求概率为．（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，∴P（D）=，即所求概率为．点评：本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．18．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段A1C1的中点，AC∩BD=F．（1）求证：CE⊥BD；（2）求证：CE∥平面A1BD；（3）求三棱锥D﹣A1BC的表面积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证CE⊥BD，而CE⊂平面ACC1A1，可先证BD⊥平面ACC1A1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面ACC1A1内两相交直线垂直，根据正方体的性质BD⊥AC，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则BD⊥AA1，又AC∩AA1=A，满足定理所需条件；（2）欲证CE∥平面A1BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CE与平面A1BD内一直线平行，连接A1F，根据AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1，可得ACC1A1为平行四边形，根据中位线可知CE∥FA1，FA1⊂面A1BD，CE⊄平面A1BD，满足定理所需条件；（3）先求出正三角形△A1BD的面积，然后根据BC⊥平面A1B1BA，则BC⊥A1B，求出直角三角形△A1BC的面积，同理求出△A1CD的面积和△BCD面积，最后将四个面积相加即可．解答：解：（1）证明：根据正方体的性质BD⊥AC，（2分）因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AA1，又AC∩AA1=A，所以BD⊥平面ACC1A1，CE⊂平面ACC1A1，所以CE⊥BD．（4分）（2）证明：连接A1F，因为AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1，所以ACC1A1为平行四边形，因此A1C1∥AC，A1C1=AC，由于E是线段A1C1的中点，所以CE∥FA1，（6分）因为FA1⊂面A1BD，CE⊄平面A1BD，所以CE∥平面A1BD．（8分）（3）△A1BD是边长为的正三角形，其面积为，（9分）因为BC⊥平面A1B1BA，所以BC⊥A1B，所以△A1BC是直角三角形，其面积为，同理△A1CD的面积为，（12分）△BCD面积为．（13分）所以三棱锥D﹣A1BC的表面积为．（14分）点评：本小题主要考查直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，以及三棱锥的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项之和为S n，满足a n+S n=n．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣1}为等比数列，并求通项a n；（Ⅱ）设b n=（2﹣n）•（a n﹣1），求数列{b n}中的最大项的值．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由数列前n项和S n与a n的关系式，结合题中等式化简得2a n=a n﹣1+1（n≥2），再配方得到，可得{a n﹣1}为公比为的等比数列，利用等比数列通项公式即可算出通项a n；（2）根据题意，得，利用作差研究得到b n+1﹣b n=（3﹣n），因此可得当n≤3时数列{b n}递增，而当n≥4时数列{b n}递减，进而得到数列{b n}中的最大项为b3=b3=．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S n=n﹣a n，所以S n﹣1=n﹣1﹣a n﹣（）1，两式相减得S n﹣S n﹣1=1+a n﹣1﹣a n，整理，得2a n=a n﹣1+1，（n≥2）配方得：2（a n﹣1）=a n﹣1﹣1∴，可得{a n﹣1}为公比为的等比数列由已知式可得a1+s1=1，得∴，可得，n=1时也符合因此，数列{a n}的通项公式为…（7分）（Ⅱ）可得=（3﹣n）∴当n=1，2时，b n+1﹣b n≥0；当n=3时，b n+1﹣b n=0；当n≥4时，b n+1﹣b n＜0∴当n=3或4时，b n达到最大值．即数列{b n}中的最大项为b3=b3=．…（14分）点评：本题给出数列中S n与a n的关系式，求数列的通项公式并讨论另一个数列的最值，着重考查了等比数列的通项公式与数列的单调性等知识，属于中档题．20．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．解答：（本小题满分13分）解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…（5分）（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，由，得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，∴|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，综上，|AB|的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…（13分）点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：直线与圆的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．21．设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求实数b的最大值；（3）函数g（x）=f′（x）﹣a（x﹣x1）若x1＜x＜x2，且x2=a，求函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．（用a表示）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）．由得，（或由f'（﹣1）=0，f'（2）=0，解得a=6，b=﹣9．）由此能求出f（x）的解析式．（2）由x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点，知x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，由△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，，a＞0，知x1•x2＜0，由此能求出b的最大值．（3）由x1、x2是方程f'（x）=0的两根，f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0），，知，，由此能求出函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．解答：解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）．（1分）∵x1=﹣1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，由，得，（3分）（或由f'（﹣1）=0，f'（2）=0．∴3a﹣2b﹣a2=0，12a+4b﹣a2=0，解得a=6，b=﹣9．）∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x，（4分）（2）∵x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点，∴f'（x1）=f'（x2）=0，∴x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，∵△=4b2+12a3，∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，而，a＞0，∴x1•x2＜0，∴|x1|+|x2|=|x1﹣x2|===，（6分）由，得=2，∴b2=3a2（6﹣a）．（7分）∵b2≥0，∴3a2（6﹣a）≥0，0＜a≤6．（8分）令h（a）=3a2（6﹣a），则h'（a）=﹣9a2+36a．0＜a＜4时，h'（a）＞0∴h（a）在（0，4）内是增函数；4＜a＜6时，h'（a）＜0，∴h （a）在（4，6）内是减函数．∴a=4时，h（a）有极大值为96，∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，∴b的最大值是．…（10分）（3）∵x1、x2是方程f'（x）=0的两根，f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）∵，∴，（11分）∴∴g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）=，（12分）对称轴为，∵a＞0，∴，∴．（15分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
屯溪一中2015届高三月考4
屯溪一中2015届高三年级第四次月考英语试题本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
满分为150分，考试时间120分钟。
请将答案写在答题卡上。
★祝考试顺利★第一卷（满分115分）一、第一部分：听力（共两节，每小题1.5分，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）请听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What may cause the woman’s problem?A. Too much work.B. Too much coffee.C. Too much exercise.2.Why is the woman waiting to order her card?A. She can’t decide which color to choose.B. She will be getting a new address.C. She will have a new telephone number.3.Where is the man going?A. To a theatre.B. To a school.C. To his house.4.What does the man suggest the woman should do?A. Take the course next year.B. Decide whether to drop the course.C. Find out if any place opens up in the course later.5.What does the woman mean?A. Her sweater is not warm enough.B. Her sweater is similar to the man’s coat.C. She needs to buy a new coat.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）请听下面5段对话或独白。
【解析】安徽省黄山市屯溪一中2015届高三上学期第四次月考数学(理)试卷Word版含解析
2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）A．和不为偶数的两个整数都为偶数B．和为偶数的两个整数都不为偶数C．和不为偶数的两个整数不都为偶数D．和为偶数的两个整数不都为偶数3．已知集合，则集合∁R（M∪N）为（）A．{x|x≥1} B．Φ C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＞1}4．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．16．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，D是BC边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，=，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．8．以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若S5＞S6，则下列不等关系不一定成立的是（）A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1+6a6C．a5+a4﹣a3＜0 D．a3+a6+a12＜2a79．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．10．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为（）A．3 B． 4 C． 5 D． 6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．11．在极坐标系中，点到直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0的距离为．12．已知平面向量，，且，则向量与的夹角为．13．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．14．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式为．15．定义全集U的非空子集P的特征函数f p（x）=，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）；②对于任意x∈U，都有f∁UA（x）=1﹣f A（x）；③对于任意x∈U，都有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对于任意x∈U，都有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．则正确命题的序号为．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PC=．求PA．（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．20．现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（3）当n≥2时，证明：．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R 作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．解答：解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）A．和不为偶数的两个整数都为偶数B．和为偶数的两个整数都不为偶数C．和不为偶数的两个整数不都为偶数D．和为偶数的两个整数不都为偶数考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用命题的否定写出结果即可．解答：解：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选：D．点评：本题考查命题的否定，注意命题的否定形式以及否定词语的应用．3．已知集合，则集合∁R（M∪N）为（）A．{x|x≥1} B．Φ C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＞1}考点：交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：先利用分式不等式解法化简M，再进行计算，得出结果．解答：解：M={x|（x+3）（x﹣1）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，M∪N={x|﹣3＜x＜1}∪{x|x≤﹣3}={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}．故选A．点评：本题考查集合的基本运算，要注意对M正确化简，是基础题．4．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．解答：解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．5．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．解答：解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积S==2=2（﹣cosx）|=2（1﹣cos）=2×，故选：D点评：本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于基础题．6．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可．解答：解：因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A．当x=1时，y＞0，所以排除C．因为，所以当x→+∞时，y→1，所以排除D．故选B．点评：本题主要考查函数图象的识别，要充分利用函数的性质去判断．7．在△ABC中，D是BC边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，=，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以=．解答：解：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；∴；∴；又；∴；∴；∴；∴=．故选C．点评：考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量的减法．8．以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若S5＞S6，则下列不等关系不一定成立的是（）A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1+6a6C．a5+a4﹣a3＜0 D．a3+a6+a12＜2a7考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：a5＞0，a6＜0，这个数列是递减数列，公差d＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．解答：解：∵S n表示等差数列{a n}的前n项和，S5＞S6，∴S6﹣S5=a6＜0，则2a3＞3a4有可能成立，即A有可能成立；∵5a5﹣（a1+6a6）=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6＞0，∴5a5＞a1+6a6不成立，即B不成立；∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，∴a5+a4﹣a3＜0有可能成立，即C是有可能成立；∵a3+a6+a12﹣2a7=（3a1+18d）﹣（2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，∴a3+a6+a12＜2a7，故D成立．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．10．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为（）A．3 B．4 C． 5 D． 6考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；数形结合．分析：先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．解答：解：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，，5个根，，6个根．故选A．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于难题之列．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．11．在极坐标系中，点到直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P化为直角坐标P（0，1）．直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0化为2x﹣y+2=0．∴点P到直线的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．12．已知平面向量，，且，则向量与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：将两边平方，整理得出=，再根据cos＜，＞=═求出夹角余弦值，最后求出夹角大小．解答：解：将两边平方，得，化简整理得=.=由向量的夹角公式cos＜，＞===0，所以向量与的夹角为90°故答案为：90°点评：本题考查向量夹角的计算，向量模、向量数量积的运算．属于基础题．13．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式为y=sin （x+）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y=sin （x+）的图象；再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；故得到的图象所表示的函数解析式为y=sin（x+），故答案为：y=sin（x+）．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．定义全集U的非空子集P的特征函数f p（x）=，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）；②对于任意x∈U，都有f∁UA（x）=1﹣f A（x）；③对于任意x∈U，都有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对于任意x∈U，都有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．则正确命题的序号为①②③．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：综合题；集合．分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．解答：解：∵f A（x）=，f B（x）=，而C U A中可能有B的元素，但C U B中不可能有A的元素∴f A（x）≤f B（x），即对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）故①正确；对于B，∵f∁UA（x）=，结合f A（x）的表达式，可得f∁UA（x）=1﹣f A（x），故②正确；对于C，f A∩B（x）==•=f A（x）•f B（x），故③正确；对于D，f A∪B（x）=当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f A∪B（x）=1，而f A（x）=1且f B（x）=0，可得f A∪B（x）≠f A（x）•f B（x）由此可得④不正确．故答案为：①②③．点评：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由x的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则•的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（﹣2β）的值．解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，∴﹣1≤cos（）≤．当，即x=0时，f（x）取得最大值1，当，即x=4时，f（x）取得最小值﹣2．因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．则．∴•=0﹣2=﹣2；（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，则，，则sin2β=2sinβcosβ=2×=，cos2β=2cos2β﹣1=2×=．∴sin（﹣2β）=sin（）===．点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PC=．求PA．（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠PBC=，可得∠PBC=60°，从而BP=BCcos60°=．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大小．（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中根据正弦定理建立关于α的等式，解出sinα的值，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP 的面积S．解答：解：（1）∵在Rt△BPC中，PC=，BC=1，∴sin∠PBC==，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=．∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°，∴△APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB•AB•cos∠PBA，得PA2=+3﹣2×=，解得PA=（舍负）．（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α，在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°﹣α）=sinα，△ABP中，由正弦定理得，∴sinα=2sin（30°﹣α）=2（cosα﹣sinα），化简得4sinα=cosα，∴结合α是锐角，解得sinα=，∴PB=sinα=，∴△ABP的面积S=AB•PB•sin∠PBA=．点评：本题在直角三角形中求线段PA的长与角的正切值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．19．对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．考点：函数的值；抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f （n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．解答：解：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0．（1分）又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）（2）显然g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；（4分）也满足条件②g（1）=1．（5分）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则=，即满足条件③，（8分）故g（x）理想函数．（9分）（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．（11分）若x0＜f（x0），则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；（13分）若x0＞f（x0），则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．（15分）故x0=f（x0）．（16分）点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．20．现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（3）当n≥2时，证明：．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n ，由此能求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式．﹣1（2）由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列，从而能求出．（3）当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，=；当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而，由此能证明当n≥2时，．解答：（本小题满分13分）（1）解：a1=0，a2=5，第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n﹣1，∴当n≥2时，…（5分）（2）解：由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列．从而，故．…（9分）（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，==＜6•==＜==当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而综上，当n≥2时，．…（13分）点评：本题考查a n与a n﹣1（n≥2）的关系式的求法，考查数列是等比数列，考查数列{a n}的通项公式的求法，考查不等式的证明，注意构造法的合理运用．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R 作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（II）先设t=e x，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．解答：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．∴b的取值范围是．（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，y min=4+2b．综上所述：（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题．。
安徽省黄山市屯溪第一中学高三上学期第二次月考——数学(理)数学理
安徽省黄山市屯溪第一中学 2015届高三上学期第二次月考数学（理）试题一、选择题 (本大题共10小题；每小题5分，共50分。
)1．已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则等于（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知命题p ：，使；命题q ：，都有．给出下列命题：（1）命题“”是真命题；（2）命题“”是假命题； （3）命题“”是真命题；（4）命题“”是假命题．其中正确的是（ ） A.(2)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(4)3．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足的x 的取值范围是( )A ．，2]B ．[0，2]C ．[1，+)D ． [0，+)4．设5.13529.01)21(y ,2log 2y ,4y -===，则( )A 、B 、C 、D 、5．若函数是R 上的奇函数，且对于0)]f(x -))[f(x x -(x R,x ,x 212121<∈∀, 则的解集是（ ）A 、B 、C 、D ．6．在ΔABC 中，角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.已知函数min11,(1)()4ln ,(1)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩则方程f(x) ＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8．已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+,当x=a 时,取得最小值,则在直角坐标系中,函数的大致图象为9．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且xN }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设 A ＝{y |y ＝3x ， x ∈R}，B ＝{y |y ＝－，x ∈R}，则A ⊕B 等于( ) A ．[0,2) B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)10. 已知方程|cos(|2x k xπ-=在（0，+∞）上有两个不同的解a ，b （a ＜b ），则下面结论正确的是（ ）A ．sina=acosbB ．sina=-acosbC ．cosa=bsinbD ．sinb=-bsina第二卷（共100分）二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分） 11.若(a ＋1)＜(3－2a)，则a 的取值范围是__________．12. 设f (x )＝lg 2＋x2－x ，则的定义域为__________________.13.设函数f(x)=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=_____. 14.已知f(x)定义在(0,+∞)的可导函数，恒成立，则 的解集是_______________.15. 非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有, 则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
安徽省黄山市屯溪一中高三(上)第四次月考数.docx
高中数学学习材料唐玲出品2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（12月份）一、选择题1．若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2}2．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列有关命题的说法中错误的是（）A．“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是真命题B．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（1，2）C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥05．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（）A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．106．函数f（x）=的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．07．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=（）A．﹣5 B．0 C．3 D．58．如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于（）A．B．C．D．.2010．如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且（n≥2），则a100=（）A．B． C． D．11．已知双曲线﹣=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，点C（0，b），则△ABC面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于（）A．B．C．D．二.填空题13．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=________．14．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为________．15．已知实数x，y满足，z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围为________．16．抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是________．三.解答题17．从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：质量指标值分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频数 2 3 4 5 4 2（Ⅰ）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？质量指标值分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频数0.15 0.2（Ⅱ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）．18．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）在的值域；（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，a=2csinA，若f（A+）=，求cosB的值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E位PC的中点（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）求E到平面PBD的距离．20．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值；（2）求试讨论f（x）的单调性；（3）若b=c﹣a（实数c是a与无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0），离心率为，且过点A（﹣1，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（﹣x）≥4；（Ⅱ）证明：f（x）+f（﹣）≥2．2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（12月份）参考答案与试题解析一、选择题1．若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】直接求出集合M，N，然后求解M∩N．【解答】解：M={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}；={x|0＜x＜2}；所以M∩N={x|1＜x＜2}．故选A．2．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．【解答】解：==在复平面上对应的点位于第二象限．故选：B．3．△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．4．下列有关命题的说法中错误的是（）A．“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是真命题B．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（1，2）C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题判断A；利用函数零点存在性定理判断B；写出命题的逆否命题判断C；写出特称命题的否定判断D．【解答】解：“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题，故A正确；函数f（x）=e x+x﹣2是增函数，若有零点，则唯一，又f（0）=﹣1，f（1）=e﹣1＞0，∴f （x）的零点所在区间是（0，1），故B错误；命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，故C正确；对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D正确．∴错误的命题是B．故选：B．5．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（）A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10【考点】正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】观察f（x）的解析式可看出，函数y=ax5+bx3+sinx为奇函数，从而可以求出f（﹣2）+f（2），然后根据f（﹣2）=10便可得出f（2）的值．【解答】解：根据f（x）解析式得：f（﹣2）+f（2）=﹣16；又f（﹣2）=10；∴f（2）=﹣26．故选A．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数零点的判定定理．【分析】令函数f（x）=0，求解即可，注意x的取值范围．【解答】解：∵x﹣1＞0，x2﹣5x+5＞0，∴x＞令函数f（x）==0∴x+1=0，或ln（x2﹣5x+5）=0，∴x2﹣5x+5=1．解得x=4，∴所求零点的个数是1个．故选C．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=（）A．﹣5 B．0 C．3 D．5【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．【解答】解：∵=+，=+，∴+=+++=﹣，∴（+）•（+）=（﹣）•（+）=2﹣2=22﹣32=﹣5．故选：A．8．如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3；第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13；第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69；第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431；第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500；跳出循环，输出i=6．故选B．9．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于（）A．B．C．D．.20【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，把该四棱锥放入棱长为4的正方体中，容易计算出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥D﹣CBEC1，把该四棱锥放入棱长为4的正方体中，如图所示；则该四棱锥的体积为V=S四边形CBEC1•CD=××4×4=．故选：C．10．如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且（n≥2），则a100=（）A．B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】要求a100，只要根据已知递推公式求出通项即可，而由整理可得，结合a1=2，a2=1可求a n，从而可求【解答】解：∵∴∵a1=2，a2=1∴，，是等差数列，首项为，公差为∴∴∴故选：D11．已知双曲线﹣=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，点C（0，b），则△ABC面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出A，B的坐标，可得△ABC面积，利用基本不等式求出△ABC面积的最大值．【解答】解：∵双曲线﹣=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，∴A（﹣，0），B（，0），∵点C（0，b），∴△ABC面积S=×2×b=×b=≤=2当且仅当b=时取等号，∴△ABC面积的最大值为2，故选：B．12．已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】从这四点中的任意两点的连线共有=6条，从这四点中的任意两点的连线中取2条，基本事件总数n==15，利用列举法求出这两条直线是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这两条直线是异面直线的概率．【解答】解：从这四点中的任意两点的连线共有=6条，其中A，B，C三点中任意两点连线有3条，AB、AC、BC，D与A，B，C中的每一个点都构成一条直线，AD、BD、CD，从这四点中的任意两点的连线中取2条，基本事件总数n==15，这两条直线是异面直线包含的基本事件有：AC与BD，AB与CD、BC与AD，共3种，∴这两条直线是异面直线的概率p=．故选：B．二.填空题13．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，可得P点坐标为（0，1），|AB|=，再由△PAB的面积等于π，可得：=π，求出周期后，可得ω的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，由x=0时，2sin=1可得：P点坐标为（0，1），函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与A，B，故|AB|=，∵△PAB的面积等于π，∴=π，∴T=4π=，∵ω＞0，∴ω=，故答案为：14．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为4．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．15．已知实数x，y满足，z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再根据题意建立关于a的不等式组，解之即可得出实数a的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，﹣3），B（3，9），C（﹣3，3），设z=F（x，y）=2x﹣y，把A、B、C坐标分别代入得F（3，﹣3）=3a﹣3，F（3，9）=3a+9，F（﹣3，3）=﹣3a+3结合题意，可得，解之得﹣1≤a≤1．∴实数a的取值范围为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]16．抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，则|PF |=|PM |，可得=，求出过A 抛物线的切线方程，即可得出结论．【解答】解：过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，则|PF |=|PM |， ∵抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），点A （﹣2，0）∴=，设过A 抛物线的切线方程为y=k （x +2），代入抛物线方程可得k 2x 2+（4k 2﹣8）x +4k 2=0， ∴△=（4k 2﹣8））2﹣16k 4=0， ∴k=±1∴∈[．故答案为：．三.解答题17．从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：质量指标值分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）频数2 3 4 5 4 2 （Ⅰ）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？质量指标值分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60）[60，70）频数0.15 0.2 （Ⅱ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 【分析】（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表，由此能求出该企业生产这种产品的合格率． （Ⅱ）众数是频率最大的区间的“中间值”，平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值”之和，中位数左边和右边的频率相等，由此能估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表如下： 质量指标值分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.2 0.1 ∴该企业生产这种产品的合格率为： p=0.2+0.25+0.2+0.1=0.75．（Ⅱ）∵众数是频率最大的区间的“中间值”，∴众数为：=45，∵平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值”之和，∴平均数为： =15×0.1+25×0.15+35×0.2+45×0.25+55×0.2+65×0.1=41． ∵中位数左边和右边的频率相等，从表中可知，中位数落在区间[40，50）内，设中位数为x，则0.1+0.15+0.2+0.25×，解得x=42，∴这种产品质量指标值的中位数的估计值为42．18．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）在的值域；（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，a=2csinA，若f（A+）=，求cosB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+）﹣1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）即可；（2）根据x的范围求出x+的范围，从而求出函数f（x）的值域即可；（3）先求出A的三角函数值，再求出A+B的值，根据两角和的余弦公式计算即可．【解答】解：（1）f（x）=sin（ϖx）﹣2•=sin（ϖx）+cos（ϖx）﹣1=2sin（ϖx+）﹣1，依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即=3π，解得ϖ=，所以f（x）=2sin（x+）﹣1；（2）x∈时：x+∈（﹣，），∴x+=﹣时：f（x）取得最小值﹣2，x+=时：f（x）取得最大值1，故函数f（x）的值域是（﹣2，1]；（3）a=2csinA，由正弦定理得∴==，…又sinA≠0，∴sinC=，…又因为a＜b＜c，所以C=，由f （A +）=，得：2sin [（+）+]﹣1=，∴2sin （A +）﹣1=，∴cosA=，sinA=，而A +B=π﹣C=，∴cos （A +B ）=cos，∴cosAcosB ﹣sinAsinB=， ∴676cos 2B ﹣24×26cosB +69=0，解得：cosB=或．19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E 位PC 的中点 （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）求E 到平面PBD 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知推导出PD ⊥底面ABCD ，BC ⊥BD ，由此能证明BC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）由 BC ⊥平面PBD ，能求出E 到平面PBD 的距离． 【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面PCD ⊥底面ABCD 于CD ，PD ⊂面PCD ，PD ⊥CD ， ∴PD ⊥底面ABCD ，∵BC ⊂面ABCD ，∴PD ⊥BC在Rt △ABD 中，AB=AD=1，故，在直角梯形ABCD 中，AB=AD=1，CD=2，故由BC 2+BD 2=CD 2，得BC ⊥BD ， 又∵PD ⊥BC ，PD ∩DB=D ， ∴BC ⊥平面PBD ．… 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC ⊥平面PBD ， E 为平面PBD 的斜线段PC 的中点，故E 到平面PBD 的距离．20．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值；（2）求试讨论f（x）的单调性；（3）若b=c﹣a（实数c是a与无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（0）•f（﹣a）=b（a3+b）＜0，根据函数的单调性求出c的值即可．【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+b，f′（x）=3x2+2ax，若函数f（x）在x=1处取得极值2，则，解得：；（2）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣a，∴f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，0）递减，在（0，+∞）递增，a=0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞﹣a，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增；（3）由（2）得：函数f（x）有2个极值，分别是：f（0）=b，f（﹣a）=a3+b，则函数f（x）有3个零点等价于f（0）•f（﹣a）=b（a3+b）＜0，∴或，又b=c ﹣a ，∴a ＞0时， a 3﹣a +c ＞0或a ＜0时， a 3﹣a +c ＜0，设g （a ）=a 3﹣a +c ，∵函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，∴（﹣∞，﹣3）上，g （a ）＜0，在（1，）∪（，+∞）上，g （a ）＞0均恒成立，从而g （﹣3）=c ﹣1≤0，且g （）=c ﹣1≥0，故c=1；此时，f （x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（x +1）[x 2+（a ﹣1）x +1﹣a ]，∵f （x ）有3个零点，则x 2+（a ﹣1）x +1﹣a=0有2个异与﹣1的不等实根， ∴△=（a ﹣1）2﹣4（1﹣a ）=a 2+2a ﹣3＞0， 且（﹣1）2﹣（a ﹣1）+1﹣a ≠0，解得：a ∈，综上：c=1．21．已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0），离心率为，且过点A （﹣1，0）． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）若椭圆E 的任意两条互相垂直的切线相交于点P ，证明：点P 在一个定圆上． 【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）根据且b=1，则a=，c=1；（Ⅱ）设P （x 0，y 0），分两类讨论：①当直线l 的斜率存在且非零时，得出；②当直线l 的斜率不存在或斜率等于零时，P 也符合上述关系．【解答】解析：（Ⅰ）由已知，且椭圆的焦点在y 轴上，所以，b=1，则，a=，c=1，所以椭圆E 的方程为：；（Ⅱ）设两切线的交点P （x 0，y 0），过交点P 的直线l 与椭圆相切，①当直线l 的斜率存在且非零时，x 0≠±1．设其斜率为k ，则直线l ：y=k （x ﹣x 0）+y 0，联立方程，消y得：，因为直线l与椭圆相切，△=0，即，化简得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（*）因椭圆外一点所引的两条切线互相垂直，则k1k2=﹣1，而k1，k2为方程（*）的两根，故，整理得：；②当直线l的斜率不存在或斜率等于零时，易求得P点的坐标为，显然，点P也满足方程：，综合以上讨论得，对任意的两条相互垂直的切线，点P的坐标均满足方程x2+y2=3，故点P在定圆x2+y2=3上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（﹣x）≥4；（Ⅱ）证明：f（x）+f（﹣）≥2．【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简可得|x﹣1|+|x+1|≥4，从而讨论以去绝对值号，从而解得；（Ⅱ）f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣|=|x﹣a|+|+a|≥|x+|≥2．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，∵f（x）+f（﹣x）≥4，∴|x﹣1|+|x+1|≥4，当x≤﹣1时，﹣2x≥4，故x≤﹣2，当﹣1＜x＜1时，2≥4，不成立，当x≥1时，2x≥4，故x≥2；综上所述，不等式f（x）+f（﹣x）≥4的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（Ⅱ）证明：∵f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣|=|x﹣a|+|+a|≥|x+|≥2，故f（x）+f（﹣）≥2．2016年9月7日。
2015届安徽省屯溪一中高三第四次月考(数学理)试题及答案
屯溪一中2015届高三第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足()1z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是 （ ）A ．和不为偶数的两个整数都为偶数B ．和为偶数的两个整数都不为偶数C ．和不为偶数的两个整数不都为偶数D ．和为偶数的两个整数不都为偶数3．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=013x x xM ，{}3-≤=x x N ，则=⋃)(N M C R （ ）A ．{}1≤x xB ．{}1≥x xC ．{}1<x xD ．{}1>x x 4.“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．BC．1 6．函数x xx xe e y e e---=+的图像大致为（ ）7. 在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，4||,2||,==⎭⎫⎝⎛=λ． 若记b AC a AB ==,，则用b a,表示所得的结果为 （ ）12A ．b a 2121- B ．b a 3131- C ．b a 3131+- D ．b a 3121+8．以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项的和，若65S S >，则下列不等关系不一定成立的是（ ）A ．4332a a >B ．61565a a a +>C ． 0345<-+a a aD ．712632a a a a <++9． 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(/x f ，0)0(/>f ，对于任意的实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1(/f f 的最小值为（ ） A ．23B ． 2C ．25 D ． 310．已知函数，则关于x 的方程（）的根的个数不可能为（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ． 6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置． 11.在极坐标系中，点(1,)2π到直线2cos sin 20ρθρθ-+=的距离为 ．12.已知平面向量,a b 满足：||1,||2a b ==，且|2|10a b +=，则向量a 与2a b -的夹角为 ．13.在数列{}n a 中，若7211a a a ≤≤≤= ，且1a 、3a 、5a 、7a 成公比为q 的等比数列，2a 、4a 、6a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ．14.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 ． 15.定义全集U 的子集A 的特征函数为⎩⎨⎧=,0,1)(x f A AC x Ax U ∈∈，这里A C U 表示集合A 在全集U 中的补集．已知U B U A ⊆⊆,，给出以下结论：①若B A ⊆,则对于任意U x ∈，都有)(x f A ≤)(x f B ；31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩2(2)f x x a +=2a >②对于任意U x ∈，都有)(1)(x f x f A A C U -=； ③对于任意U x ∈，都有)()()(x f x f x f B A B A ⋅=⋂； ④对于任意U x ∈，都有)()()(x f x f x f B A B A +=⋃．其中正确的结论有 ．（写出全部正确结论的序号）三．解答题：（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数)36cos(2)(ππ+=x x f )50(≤≤x ，点A 、B 分别是函数)(x f y =图像上的最高点和最低点．（1）求点A 、B 的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点A 、B 分别在角α、β（[]πα2,0∈）的终边上，求)22sin(βα-的值．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中, 090=∠ABC ，3=AB ,1=BC ，P 为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒.(1)若2PC =,求PA ； (2)若0120=∠APB ,求ABP ∆的面积S .18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2a 、5a 、14a 构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n n n a b a b a b 2112211-=+++ ，+∈N n ，求{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）对于定义域为[]1,0上的函数)(x f ，如果同时满足下列三条：①对任意的[]1,0∈x ， 总有)(x f ≥0；②1)1(=f ；③若1x ≥0，2x ≥0，21x x +≤1，都有)(21x x f +≥)()(21x f x f +成立，则称函数)(x f 为理想函数．(1) 若函数)(x f 为理想函数，求)0(f 的值；(2) 判断函数12)(-=x x g （[]1,0∈x ）是否为理想函数，并给出证明； (3) 若函数)(x f 为理想函数，假定存在[]1,00∈x ，使得)(0x f []1,0∈，且[])()(00x f x f f =，求证：00)(x x f =．20．（本小题满分13分）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n 次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为n a . (1) 求出1a 、2a 的值，并写出n a 与1-n a n (≥)2的关系式；(2) 证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-615nn a 是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； (3) 当n ≥2时，证明：10311132<+++n a a a .21．（本小题满分14分） 已知函数x x f ln )(=，bx ax x g +=221)(（0≠a ）. (1) 若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求实数b 的取值范围； (2) 在（1）的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be ex x xϕϕ求函数∈+=的最小值；(3) 设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.屯溪一中2015届高三第四次月考数学（理科）一．选择题（本题满分50分，每小题5分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置。
屯溪一中高三上学期数学第四次月考试题理科含答案
屯溪一中2015届高三上学期数学第四次月考试题（理科含答案）屯溪一中2015届高三上学期数学第四次月考试题（理科含答案）【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】复数的基本概念．L4【答案】【解析】A解析：由，得．∴在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．【思路点拨】由复数的除法运算化简复数，得到对应点的坐标得答案．【题文】2.命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）A．和不为偶数的两个整数都为偶数B．和为偶数的两个整数都不为偶数C．和不为偶数的两个整数不都为偶数D．和为偶数的两个整数不都为偶数【知识点】命题的否定．A2【答案】【解析】D解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选：D．【思路点拨】直接利用命题的否定写出结果即可．【题文】3．已知集合，，则（）A．B．C．D．【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法．A1【答案】【解析】B解析：={x|（x+3）（x﹣1）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，={x|﹣3＜x＜1}∪{x|x≤﹣3}={x|x＜1}，∴{x|x≥1}．故选B．【思路点拨】先利用分式不等式解法化简，再进行计算，得出结果．【题文】4.“”是“函数的最小正周期为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2C3【答案】【解析】A解析：函数，它的周期是，;显然“”可得“函数的最小正周期为”后者推不出前者，故选A．【思路点拨】化简，利用最小正周期为，求出，即可判断选项．【题文】5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【知识点】定积分在求面积中的应用．B13【答案】【解析】D解析：作出对应的图象如图：则对应的区域面积，故选：D【思路点拨】先根据题意画出直线及所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．【题文】6．函数的图像大致为（）【知识点】函数的图象．B8【答案】【解析】B解析：因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A．当x=1时，y＞0，所以排除C．因为，所以当x→+∞时，y→1，所以排除D．故选B．【思路点拨】利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可．【题文】7.在中，是边上的一点，．若记，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．【知识点】平面向量的基本定理及其意义．F2【答案】【解析】C解析：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；∴；∴；又；∴；∴；∴；∴．故选C．【思路点拨】B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以．【题文】8．以表示等差数列的前项的和，若，则下列不等关系不一定成立的是（）A．B．C．D．【知识点】等差数列的性质．D2【答案】【解析】B解析：∵表示等差数列的前项的和，，∴S6﹣S5=a6＜0，则有可能成立，即A有可能成立；∵5a5﹣（a1+6a6）=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6＜0，∴不成立，即B不成立；∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，∴有可能成立，即C是有可能成立；∵a3+a6+a12﹣2a7=（3a1+18d）﹣（2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，∴，故D成立．故选：B．【思路点拨】a5＞0，a6＜0，这个数列是递减数列，公差d＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．【题文】9．已知二次函数的导数为，，对于任意的实数都有，则的最小值为（）A．B．C．D．【知识点】导数的运算．B11【答案】【解析】B解析：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．【思路点拨】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【题文】10．已知函数，则关于的方程（）的根的个数不可能为（）A．B．C．D．【知识点】函数与方程的综合运用．B9【答案】【解析】A解析：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，，5个根，，6个根．故选A．【思路点拨】先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．【题文】二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．【题文】11.在极坐标系中，点到直线的距离为．【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3【答案】【解析】解析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．∴点P到直线的距离d==．故答案为：．【思路点拨】点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x ﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．【题文】12.已知平面向量满足：，且，则向量与的夹角为．【知识点】数量积表示两个向量的夹角．F3【答案】【解析】解析：将两边平方，得，化简整理得, 因为，由向量的夹角公式，所以向量与的夹角为.故答案为：.【思路点拨】将两边平方，整理得出，再根据，求出夹角余弦值，最后求出夹角大小．【题文】13.在数列中，若，且、、、成公比为的等比数列，、、成公差为的等差数列，则的最小值是．【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5【答案】【解析】解析：∵；、、成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1，且、、、成公比为的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，故答案为。
2015年安徽省高考模拟试题_安徽省屯溪一中高三上学期期中考试数学(理)卷
cos ( ) 2 0 ， 则 两 曲 线 交 点 之 间 的 距 离
4
②
(e
0
1
x
sin x)dx e cos 1
1 4 9 的最小值为 ； 2 a b a x ④若点 (a,9) 在函数 y 3 的图象上，则 tan 的值为 3 ； 3 k ⑤函数 f ( x) 2 sin(2 x ) 1的对称中心为 ( ,0)(k Z ) 3 2 6
x 2 cos （ 为参数） ，在极坐标 y 1 2 sin
系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 o 为极点，以 x 轴正半轴为极轴） 中 ， 曲 线 C2 的 方 程 为 为 15．下列几个结论： ①“ x 1 ”是“ x 2 ”的充分不必要条件； 。
）
( A.) f ( x) 在 (0, ) 单调递减； (C.) f ( x) 在 (0, ) 单调递增；
6．在 ABC 中，若 b 5 ， C
4
5 ( B.) f ( x) 在 ( , ) 单调递减； 4 4 5 ( D.) f ( x) 在 ( , ) 单调递增； 4 4
③已知 a 0 ， b 0 ， a b 2 ，则 y 其中正确的是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题 75 分. 16.（本小题 12 分）已知函数 f ( x) 2 cos 2 x sin x 4 cos x 。
P 在 ABC 所在的平面内， NA NB NC 0 ， 13． 已知点 O 、 且 OA OB OC ， N、
PA PB PB PC PC PA ，则点 O 、 N 、 P 依次 ABC 是的
安徽省屯溪一中2016届高三上学期第四次(12月)月考数学(文)试卷含答案
安徽省屯溪一中2016届高三上学期第四次（12月）月考数学（文）试卷1 •若集合M {x|log2(x 1) 1}, N1 1{x|4 (2)x 1}，则A. {x|1 x 3}B. {x|1 x 2}C. {x |0 x 3}D. {x|0 x 2} 2•复数3 i在复平面上对应的点位于（3.4.5. A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限ABC中，角A,B,C成等差数列是si nC （ 3 cos A si n A）cos B成立的（）A.充分不必要条件C•充要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件F列有关命题的说法中错误的是2 2A. “若x y °,则x,y全为0”的否命题是真命题B.函数f xC.命题“若D.对于命题已知f（x）(A) 266.函数f(x) x2P:5ax(xe x 2的零点所在区间是1,23x 2 0,则x 1”的逆否命题为：“若x h则x R，使得x2bx3sin x(B) 2621)l n(x 5xC.1D.0x 1 0,则P： x8 且f( 2)10,(C) 105）的零点个数为（那么R,均有x2f (2)2x 3x 2”(D) 10A.3B.27.如图，在平面四边形ABCD中，若AB 2,CD AC DB ? AB CD =(A. 5B. 0C. 3D.8.如图所示程序框图，输出结果是(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 89.已知一个几何体的三视图如图 4所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于：（项为（）最大值为（）12 •已知A, B,C, D 是球面上的四个点，其中 A, B,C 在同一圆周上，若 D 不在代B,C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于( ).111 (A )(B )(C )65313 .已知函数f(x) 2sin( x ),(0)的图象与y 轴交于P ,与x 轴的相邻两个交点6结束A. 10320 B —340 C.—3D. 2010.数列｛a n ｝满足ai2,a 2 an a n 11,且--------- an 1 anan an 1(na n an 12）,则数列｛a n ｝的第100（A ）2L(B )1 ?50(C )1 100(D)5011.已知双曲线2 x24 b2 y21 b2与x 轴交于A,B 两点, 点C 0,b ，贝U ABC 面积的(A ) 1(B ) 2(C ) (D ) 8(D )记为A, B,若△ PAB的面积等于n，贝U 3= ____________ .14.已知等差数列｛a n｝的公差d 0 ,且64,63成等比数列，若a i 1 , S n是数列｛a n｝前2S n16n项的和，贝U ----------- (n N )的最小值为a n 315.已知实数x y 6 0 x, y满足x y 0x 3若z ax y的最大值为3a 9 ,最小值为3a 3 ,则实数a的取值范围为____________________ .216•抛物线y 8x的焦点为F ,点P(x, y)为该抛物线上的动点，，又已知点A( 2,0)，则|PA|1 PF 1的取值范围是_______________________________ .(17) (12分)从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下:(I)请你填写下面的频率分布表；若规定"质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则这种产品的合格率是多少?业生(n)请你估计这种产品质量指标值的众数、 平均数、中位数的值(同一组中的数据用该组区间的中间值作代表)•18. (12分)已知函数f (x) 3sin x 2sin 2—X (0)的最小正周期为32(1)求函数f(x)的表达式； (2) 求函数f X 在— 的值域；2，(3) 在 ABC 中，a,b,c 分别为角A , B, C 所对的边，且a b c, 3a 2csinA3 11 若 f (2A2)13，求 C0SB 的值.19. (12分)在四棱锥 P ABCD 中，侧面PCD 底面 ABCD , PD 底面ABCD 是直角梯形， AB//DC , ADC 90 ,AB AD PD 1 , CD 2,点E 位PC 的中点(I )求证：BC 平面PBD ; (n )求E 到平面PBD 的距离。
【解析】安徽省黄山市屯溪一中2015届高三上学期第四次月考数学(文)试卷Word版含解析
2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．函数f（x）=﹣lg（x﹣1）的定义域是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，2] D．（1，+∞）2．已知复数z满足，则|z|=（）A．B．C．D．23．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．124．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题5．如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1206．函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）A．B．C．1 D．48．已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n ﹣1（n∈N+）9．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．D．10．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足，则点O （）A．在AB边的高所在的直线上B．在∠C平分线所在的直线上C．在AB边的中线所在的直线上D．是△ABC的外心二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）=e x（x+1）图象在点（0，f（0））处的切线方程是．12．已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．14．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．15．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：①函数y=f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2）；③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．其中判断正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．17．大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：（Ⅰ）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合计附：K2=18．如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．19．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=2S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n项和T n．20．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．函数f（x）=﹣lg（x﹣1）的定义域是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，2] D．（1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据偶次根式被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组进行求解，再用集合或区间的形式表示出来．解答：解：要使函数f（x）=﹣lg（x﹣1）有意义则解得1＜x≤2∴函数f（x）=﹣lg（x﹣1）的定义域是（1，2]故选C点评：本题主要考查了函数定义域的求法，考查了运算求解的能力，以及计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足，则|z|=（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．解答：解：∵，∴=，所以|z|=故选A．点评：本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．3．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．12考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．解答：解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．5．如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k ＜m，输出p的值为360．解答：解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，ρ=1第一次执行循环体，ρ=3满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360不满足条件k＜m，输出p的值为360．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．6．函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合．分析：解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．解答：解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选B．点评：利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f（x）的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．7．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）A．B．C．1 D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by（a＞0，b＞0），再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by（a＞0，b＞0），过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线z=ax+by（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而．故选B．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8．已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n ﹣1（n∈N+）考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列的前n项和．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，∴该数列的前n项和，n∈N+．故选B．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，容易出错，要细心解答．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．D．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标；将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，即可得到结论．解答：解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）所以p=2c∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c，）将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc∴e2﹣2e﹣1=0∵e＞1∴e=故选A．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足，则点O（）A．在AB边的高所在的直线上B．在∠C平分线所在的直线上C．在AB边的中线所在的直线上D．是△ABC的外心考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：取AB的中点D，利用，化简可得，从而可得点O在AB边的高所在的直线上．解答：解：取AB的中点D，则∵∴∴∴∴∴点O在AB边的高所在的直线上故选A．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）=e x（x+1）图象在点（0，f（0））处的切线方程是y=2x+1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．解答：解：由f（x）=e x（x+1），得f′（x）=e x（x+1）+e x=e x（x+2），∴f′（0）=2，又f（0）=1，∴函数f（x）=e x（x+1）图象在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=2（x﹣0），即y=2x+1．故答案为：y=2x+1．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．解答：解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．点评：本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是，求出表面积及球的表面积即可得出比值．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为，这个几何体的表面积为8×1×=2∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查正多面体与外接球之间的关系，本题是一个考查的知识点比较全的题目．14．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知条件得2na n+1﹣（n+1）a n=0，即=，再用累乘法，即可求出通项公式a n．解答：解：∵2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0，∴（2na n+1﹣（n+1）a n）•（a n+1+a n）=0，∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1+a n≠0，∴2na n+1﹣（n+1）a n=0，∴=，∴=，=，=，…=，两边累乘得，==n•∴a n=，故答案为：，点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用递推数列，利用累乘法是解决本题的关键．15．（5分）（2014•南昌二模）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：①函数y=f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2）；③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．其中判断正确的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数的图象．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．解答：解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②正确．③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：综合题．分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行（3），，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值解答：解：（1）=∴（2）x0 π2πsin（）0 1 0 ﹣1 0yy=sinx向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为最后再向上平移个单位得到（3），∵，∴∴，∴，∴m=2，∴当即时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．17．大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：阅读过莫言的作品数（篇）0～25 26～50 51～75 76～100 101～130男生3 6 11 18 12女生4 8 13 15 10（Ⅰ）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合计附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）求出阅读莫言作品在50篇以上的频率，估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；（Ⅱ）利用独立性检验的知识进行判断．解答：解：（Ⅰ）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为P=…..（5分）（Ⅱ）非常了解一般了解合计男生30 20 50女生25 25 50合计55 45 100…..（8分）根据列联表数据得，所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关．…..（12分）点评：本题主要考查独立性检验的应用，利用列联表计算出K2，是解决本题的关键．这类题目主要是通过计算数据来进行判断的．18．如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．（3）由V A﹣CFD=V C﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．解答：（1）证明：依题AD⊥BD，∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．（2）证明：Rt△BCE中，CE=，BC=，∴BE=2，Rt△ABD中，AB=2，AD=，∴BD=3．∴．∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，∴AD∥平面CEF．（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1，∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．∴S△FAD==．∵CE⊥平面ABD，∴V A﹣CFD=V C﹣AFD===．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=2S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由数列递推式得到另一递推式，作差后得到，再求出a2后由=3综合得到数列{a n}是等比数列，由此得到等比数列的通项公式；（2）由b n是与的等比中项求得{b n}的通项公式，然后利用错位相减法求得b n的前n项和T n．解答：解：（1）由a n+1=2S n+2，得a n=2S n﹣1+2（n≥2），两式作差得：a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，即．又a2=2S1+2=2a1+2=6，∴．∴数列{a n}是以2为首项，以3为公比的等比数列．则；（2）∵数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，∴，．∴．．作差得：==．∴．点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，属中档题．20．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）代入点M，即可得到抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程是，联立抛物线方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理即可得证；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，由数量积的坐标公式，结合抛物线方程，即可得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0，再由直线方程，即可得到定点．解答：（1）证明：抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），即有16=8p，解得，p=2．则抛物线方程为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程是，由，得y2﹣8y+8m=0，，则直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，即，化简，得y1y2﹣4（y1+y2）+32=0，则过PQ的直线为==，则直线恒过定点（8，4）．点评：本题考查抛物线方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的方程，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。
2015年安徽省高考模拟试题_安徽省屯溪一中高三上学期期中考试数学(文)卷
x x x cos( ) cos( ) 4 2 4 2
，此函数的“友好点对”有 C．2 对 D．3 对
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 设 a
1 cos 50 1 3 2 tan 13o c cos 6o sin 6o ， b ， ，则 a 、 b 、 c 的 2 2 2 1 tan 2 13o
D.
1 10
8.已知 x A．2
1 1 0, y 0, lg 2 x lg 8 y lg 2, 则 的最小值是( x 3y
B．2
2
x
)
C．4
x
D．2 3
9. 若 函 数 f ( x) (k 1)a a
(a 0, a 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 则
f [ f ( x 6)], ( x 10)
， 2, ( x 10) 5.设 f ( x)
则 f (5) 的值为（ D. 13
A. 10
B. 11
C. 12
6．函数 f ( x) sin(2 x ) 3 cos(2 x ) 为奇函数，且在 [ 以是（ A． ） B．
上的单调递增区间和值域； 2
（1）求函数 f ( x) 在区间 0,
（2）在 ABC 中 a , b , 面积 S
c 分别是角 A, B, C 的对边,
f ( A) 1 ，且 b 1 ，ABC 的
3 ，求边 a 的值.
3 2
19． （本小题满分 13 分）定义在 R 上的函数 f ( x) ax bx cx 3 同时满足以下条件： ① f ( x) 在 0,1 上是减函数，在 1, 上是增函数； ② f ( x ) 是偶函数； ③ f ( x) 在 x 0 处的切线与直线 y x 2 垂直. （1）求函数 y f ( x) 的解析式； （2）设 g ( x) 4ln x m ，若存在 x 1, e ，使 g ( x) f ( x) ，求实数 m 的取值范围.[ 20. （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) cos
安徽省黄山市屯溪一中2021届高三上学期第四次月考数学(理)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z 满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限2．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）A．和不为偶数的两个整数都为偶数B．和为偶数的两个整数都不为偶数C．和不为偶数的两个整数不都为偶数D．和为偶数的两个整数不都为偶数3．已知集合，则集合∁R（M∪N）为（）A．{x|x≥1} B．Φ C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＞1}4．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．16．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，D是BC 边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，=，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．8．以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若S5＞S6，则下列不等关系不肯定成立的是（）A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1+6a6C．a5+a4﹣a3＜0 D．a3+a6+a12＜2a79．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．10．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不行能为（）A．3 B． 4 C． 5 D． 6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．11．在极坐标系中，点到直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0的距离为．12．已知平面对量，，且，则向量与的夹角为．13．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．14．把函数y=sinx（x∈R）的图象上全部的点向左平移个单位长度，再把所得图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式为．15．定义全集U的非空子集P的特征函数f p（x）=，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）；②对于任意x∈U，都有f∁UA（x）=1﹣f A（x）；③对于任意x∈U，都有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对于任意x∈U，都有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．则正确命题的序号为．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=2cos （x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B 的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC 内一点，∠BPC=90°．（1）若PC=．求PA．（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．18．设公差不为0的等差数列{a n }的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．对于定义域为[0，1]的函数f（x），假犹如时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f （1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为抱负函数．（1）若函数f（x）为抱负函数，求f（0）的值；（2）推断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为抱负函数，并予以证明；（3）若函数f（x）为抱负函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．20．现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开头传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（3）当n≥2时，证明：．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．2022-2021学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z 满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．解答：解：由，得=．∴z 在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）A．和不为偶数的两个整数都为偶数B．和为偶数的两个整数都不为偶数C．和不为偶数的两个整数不都为偶数D．和为偶数的两个整数不都为偶数考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：直接利用命题的否定写出结果即可．解答：解：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选：D．点评：本题考查命题的否定，留意命题的否定形式以及否定词语的应用．3．已知集合，则集合∁R（M∪N）为（）A．{x|x≥1} B．Φ C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＞1}考点：交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：先利用分式不等式解法化简M，再进行计算，得出结果．解答：解：M={x|（x+3）（x﹣1）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，M∪N={x|﹣3＜x＜1}∪{x|x≤﹣3}={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}．故选A．点评：本题考查集合的基本运算，要留意对M正确化简，是基础题．4．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：计算题．分析：化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可推断选项．解答：解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax ，它的周期是，a=±1明显“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的推断，是基础题．5．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：先依据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最终转化成等价形式．解答：解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积S==2=2（﹣cosx）|=2（1﹣cos）=2×，故选：D点评：本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于基础题．6．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行推断即可．解答：解：由于，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排解A．当x=1时，y＞0，所以排解C．由于，所以当x→+∞时，y→1，所以排解D．故选B．点评：本题主要考查函数图象的识别，要充分利用函数的性质去推断．7．在△ABC中，D是BC 边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，=，则用表示所得的结果为（）A．B．C．D．考点：平面对量的基本定理及其意义．专题：平面对量及应用．分析：B，D，C 三点共线，所以依据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以=．解答：解：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；∴；∴；又；∴；∴；∴；∴=．故选C．点评：考查共线向量基本定理，以及平面对量基本定理，向量的减法．8．以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若S5＞S6，则下列不等关系不肯定成立的是（）A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1+6a6C．a5+a4﹣a3＜0 D．a3+a6+a12＜2a7考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：a5＞0，a6＜0，这个数列是递减数列，公差d＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．解答：解：∵S n表示等差数列{a n}的前n项和，S5＞S6，∴S6﹣S5=a6＜0，则2a3＞3a4有可能成立，即A有可能成立；∵5a5﹣（a1+6a6）=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6＞0，∴5a5＞a1+6a6不成立，即B不成立；∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，∴a5+a4﹣a3＜0有可能成立，即C是有可能成立；∵a3+a6+a12﹣2a7=（3a1+18d）﹣（2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，∴a3+a6+a12＜2a7，故D成立．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用是中档题，解题时要认真审题，留意等价转化思想的合理运用．9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，由于对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又由于，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．10．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不行能为（）A．3 B． 4 C． 5 D． 6考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；数形结合．分析：先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类争辩的数学思想争辩f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．解答：解：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，，5个根，，6个根．故选A．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类争辩的数学思想，属于难题之列．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．11．在极坐标系中，点到直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0的距离为．考点：简洁曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P化为直角坐标P（0，1）．直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0化为2x﹣y+2=0．∴点P到直线的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算力量，属于基础题．12．已知平面对量，，且，则向量与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：将两边平方，整理得出=，再依据cos＜，＞=═求出夹角余弦值，最终求出夹角大小．解答：解：将两边平方，得，化简整理得=.=由向量的夹角公式cos ＜，＞===0，所以向量与的夹角为90°故答案为：90°点评：本题考查向量夹角的计算，向量模、向量数量积的运算．属于基础题．13．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．把函数y=sinx（x∈R）的图象上全部的点向左平移个单位长度，再把所得图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式为y=sin（x+）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件依据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上全部的点向左平移个单位长度，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；故得到的图象所表示的函数解析式为y=sin（x+），故答案为：y=sin（x+）．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．定义全集U的非空子集P的特征函数f p（x）=，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）；②对于任意x∈U，都有f∁UA（x）=1﹣f A（x）；③对于任意x∈U，都有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对于任意x∈U，都有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．则正确命题的序号为①②③．考点：集合的包含关系推断及应用．专题：综合题；集合．分析：依据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．解答：解：∵f A（x）=，f B（x）=，而C U A中可能有B的元素，但C U B中不行能有A的元素∴f A（x）≤f B（x），即对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）故①正确；对于B，∵f∁UA（x）=，结合f A（x）的表达式，可得f∁UA（x）=1﹣f A（x），故②正确；对于C，f A∩B（x）==•=f A（x）•f B（x），故③正确；对于D，f A∪B（x）=当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f A∪B（x）=1，而f A（x）=1且f B（x）=0，可得f A∪B（x）≠f A（x）•f B（x）由此可得④不正确．故答案为：①②③．点评：本题给出特征函数的定义，推断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等学问，属于中档题．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=2cos （x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B 的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin （﹣2β）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面对量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由x 的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B 的坐标，则•的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，开放两角差的正弦公式求得sin （﹣2β）的值．解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，∴﹣1≤cos （）≤．当，即x=0时，f（x）取得最大值1，当，即x=4时，f（x）取得最小值﹣2．因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．则．∴•=0﹣2=﹣2；（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，则，，则sin2β=2sinβcosβ=2×=，cos2β=2cos2β﹣1=2×=．∴sin （﹣2β）=sin （）===．点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面对量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PC=．求PA．（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠PBC=，可得∠PBC=60°，从而BP=BCcos60°=．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大小．（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中依据正弦定理建立关于α的等式，解出sinα的值，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP的面积S．解答：解：（1）∵在Rt△BPC中，PC=，BC=1，∴sin∠PBC==，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=．∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°，∴△APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB•AB•cos∠PBA，得PA2=+3﹣2×=，解得PA=（舍负）．（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α，在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°﹣α）=sinα，△ABP 中，由正弦定理得，∴sinα=2sin（30°﹣α）=2（cosα﹣sinα），化简得4sinα=cosα，∴结合α是锐角，解得sinα=，∴PB=sinα=，∴△ABP的面积S=AB•PB•sin∠PBA=．点评：本题在直角三角形中求线段PA的长与角的正切值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式等学问，属于中档题．18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，留意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n =，n∈N*．又T n =+++…+，则T n =++…++．两式相减，得T n =+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．19．对于定义域为[0，1]的函数f（x），假犹如时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f （1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为抱负函数．（1）若函数f（x）为抱负函数，求f（0）的值；（2）推断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为抱负函数，并予以证明；（3）若函数f（x）为抱负函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．考点：函数的值；抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）抱负函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n ﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．解答：解：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0．（1分）又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）（2）明显g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；（4分）也满足条件②g（1）=1．（5分）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则=，即满足条件③，（8分）故g（x）抱负函数．（9分）（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．（11分）若x0＜f（x0），则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后冲突；（13分）若x0＞f（x0），则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后冲突．（15分）故x0=f（x0）．（16分）点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，留意挖掘题设的中的隐含条件，留意性质的机敏运用．20．现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开头传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（3）当n≥2时，证明：．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n﹣1，由此能求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式．（2）由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列，从而能求出．（3）当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，=；当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而，由此能证明当n≥2时，．解答：（本小题满分13分）（1）解：a1=0，a2=5，第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n﹣1，∴当n≥2时，…（5分）（2）解：由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列．从而，故．…（9分）（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，==＜6•==＜==当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而综上，当n≥2时，．…（13分）点评：本题考查a n与a n﹣1（n≥2）的关系式的求法，考查数列是等比数列，考查数列{a n}的通项公式的求法，考查不等式的证明，留意构造法的合理运用．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；两条直线平行的判定．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（I）依据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（II）先设t=e x，将原函数化为关于t的二次函数，最终将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如消灭冲突，则不存在；若不消灭冲突，则存在．解答：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．∴b 的取值范围是．（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，y min=4+2b．综上所述：（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N 的横坐标为．C1在点M 处的切线斜率为．C2在点N 处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）冲突！点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数争辩函数的单调性、两条直线平行的判定等基础学问，属于中档题．。
(全优试卷)安徽省屯溪高三数学上学期第四次(12月)月考试题 理
屯溪一中 2016届高三12月份月考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21i ai++的实部和虚部相等，则实数a 等于（ ）A ．12B ．2-C ．13-D ．32.设全集U R =，集合{}2+2|A x y y x ==，则U C A =（ ）A ．)1-+∞⎡⎣，B ．)(1-+∞，C ．(1-∞-⎤⎦，D ．()1-∞-， 3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.已知()1,1=-a ，()1,2=-b ，则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25. 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定6.已知点M 的极坐标为-⎛⎝⎫⎭⎪53，π，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标有（ ）A ．53，-⎛⎝⎫⎭⎪π B ．543，π⎛⎝⎫⎭⎪C ．523，-⎛⎝⎫⎭⎪πD ．--⎛⎝⎫⎭⎪553，π 7.设O 为坐标原点，()1,2M ，若(),N x y 满足{24020x y x y +-≤-+≥，则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥，3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（ ）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P 9. 设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.甲罐中5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中4个红球，3个白球和3个黑球。
安徽省黄山市屯溪一中、歙县中学、休宁中学联考2015年高考数学模拟试卷(文科)
安徽省黄山市屯溪一中、歙县中学、休宁中学联考2015年高考数学模拟试卷〔文科〕一、选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〕1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．解答：解：=i〔1+i〕=﹣1+i，对应复平面上的点为〔﹣1，1〕，在第二象限，故选：B．点评：此题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．设U=R，M={x|x2﹣x≤0}，函数的定义域为N，则M∩N=〔〕A．D．{1}考点：交集及其运算．分析：先分别计算出集合M，N，再计算M∩N．解答：解：∵M={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，N={x|x＜1}，∴M∩N=上的两个函数，假设对任意的x∈，都有|f〔x〕﹣g〔x〕|≤1，则称f〔x〕和g〔x〕在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设f〔x〕=x2﹣3x+4与g〔x〕=2x﹣3在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是〔〕A．B．C．D．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式|x2﹣3x+4﹣〔2x﹣3〕|≤1，求出解集即可得到它的“密切区间”．解答：解：因为f〔x〕与g〔x〕在上是“密切函数”，则|f〔x〕﹣g〔x〕|≤1即|x2﹣3x+4﹣〔2x﹣3〕|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，因为x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“密切区间”是故选B点评：考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求学生会解绝对值不等式．二、填空题：〔本大题共5小题，每题5分，共25分.〕11．已知函数f〔x〕的导函数为f′〔x〕，且满足f〔x〕=3x2+2xf′〔2〕，则f′〔5〕=6．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：将f′〔2〕看出常数利用导数的运算法则求出f′〔x〕，令x=2求出f′〔2〕代入f′〔x〕，令x=5求出f′〔5〕．解答：解：f′〔x〕=6x+2f′〔2〕令x=2得f′〔2〕=﹣12∴f′〔x〕=6x﹣24∴f′〔5〕=30﹣24=6故答案为：6点评：此题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．12．假设△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．13．阅读下面的流程图，假设输入a=6，b=1，则输出的结果是2．考点：设计程序框图解决实际问题．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量x的值，模拟程序的运行，并将运行过程的各变量的值列表进行分析，不难得到最终输出的结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a b x 是否继续循环循环前 6 1∥第一圈∥5 是第二圈 4 6 2 否故输出的结果为：2故答案为：2．点评：根据流程图〔或伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图〔或伪代码〕，从流程图〔或伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．已知M是曲线y=1nx+上的一点，假设曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是a≤2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则曲线在M点处的切线的不小于1，即曲线在M点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：设M〔x，y〕，f〔x〕=1nx+∵f〔x〕=1nx+∴f′〔x〕=+〔1﹣a〕≥3﹣a∵曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，∴3﹣a≥1∴a≤2故答案为：a≤2点评：此题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a的不等式是解答此题的关键．15．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是〔写出所有正确结论的编号〕①③④⑤．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．考点：由三视图复原实物图；简单空间图形的三视图．专题：综合题；压轴题．分析：由题意可知三视图复原的几何体是正四棱柱，从正四棱柱中选择四个顶点，不难判断①②③④⑤的正误，顶点正确结果．解答：解：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的正四棱柱；这四个顶点的几何形体假设是平行四边形，则其一定是矩形．①正确；②不正确；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；如图中H﹣ABC四点的几何体；④每个面都是等腰三角形的四面体；如图中的EGDB四点就满足题意．⑤每个面都是直角三角形的四面体．如图中EABC四点的几何体满足题意．故答案为：①③④⑤．点评：此题是基础题，考查正四棱柱的结构特征，基本知识的掌握的熟练程度，考查空间想象能力，做到心中有图，灵活应用．三、解答题：〔本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过或演算步骤.〕16．已知向量〔ω＞0〕，函数，且f〔x〕图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．〔1〕求f〔x〕的解析式；〔2〕在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac，求角B的大小以及f〔A〕的取值范围．考点：三角函数的最值；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式；余弦定理．专题：综合题．分析：〔1〕由已知中向量〔ω＞0〕，函数，根据向量的数量积公式，结合辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据f〔x〕图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．我们求出函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值即可得到f〔x〕的解析式；〔2〕又a2+c2﹣b2=ac由余弦定理及求出B的大小，进而根据三角形内角和为π确定A的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求出f〔A〕的取值范围．解答：解：〔1〕∵向量∴=sinωx+cosωx==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔2分〕∵f〔x〕图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．∴，∴T=π，于是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔5分〕所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔6分〕〔2〕∵a2+c2﹣b2=ac，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7﹣分又0＜B＜π，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔8分〕∵．于是，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕所以f〔A〕∈．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔12分〕点评：此题考查的知识点是三角函数的最值，正弦型函数解析式确实定，余弦定理，其中〔1〕的关键是根据已知条件确定函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值，〔2〕的关键是根据已知的形式，选择使用余弦定理做为解答的突破口．17．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩〔均为整数〕分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，答复以下问题：〔Ⅰ〕求分数在=2n+﹣＜2n+．∴2n＜c1+c2+…+c n＜2n+成立．点评：熟练掌握公式、“错位相减法”、基本不等式的性质和“裂项求和”是解题的关键．21．已知f〔x〕=xlnx，g〔x〕=x3+ax2﹣x+2．〔Ⅰ〕如果函数g〔x〕的单调递减区间为，求函数g〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求函数y=g〔x〕的图象在点P〔﹣1，1〕处的切线方程；〔Ⅲ〕假设不等式2f〔x〕≤g′〔x〕+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：〔I〕求出g〔x〕的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．〔II〕求出g〔x〕的导数在x=﹣1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．〔III〕求出不等式，别离出参数A，构造函数h〔x〕，利用导数求出h〔x〕的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．解答：解：〔I〕g′〔x〕=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．∴g〔x〕=x3﹣x2﹣x+2．〔4分〕〔II〕由〔Ⅰ〕知：g′〔x〕=3x2﹣2x﹣1，∴g′〔﹣1〕=4，∴点p〔﹣1，1〕处的切线斜率k=g′〔﹣1〕=4，∴函数y=g〔x〕的图象在点p〔﹣1，1〕处的切线方程为：y﹣1=4〔x+1〕，即4x﹣y+5=0．〔8分〕〔III〕∵2f〔x〕≤g′〔x〕+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈〔0，+∞〕上恒成立可得对x∈〔0，+∞〕上恒成立设，则令h′〔x〕=0，得〔舍〕当0＜x＜1时，h′〔x〕＞0；当x＞1时，h′〔x〕＜0∴当x=1时，h〔x〕取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞〕．〔13分〕点评：解决不等式恒成立问题，常用的方法是别离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．。
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安徽省屯溪一中2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1、函数()lg(1)f x x =--的定义域是（ ）A ．(, 2]-∞ B.(2,)+∞ C.(1,2] D.(1,)+∞2、已知复数 z 满足(1)1z i +=+，则||z =（ ）21 D.2 3、平面向量a 与b 的夹角为60°，a =(2,0)，|b | =1，则|a +2b |等于（ ）A.B.C. 4 4、下列有关命题说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x ，则1=x 或1-=x ”的否命题为：“若12≠x ，则1≠x 或1-≠x ”B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有012>++x x ”D ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为真命题5、如果执行如图的程序框图,若输入n ＝6,m ＝4,那么输出的p 等于( )A.720B.360C.240D.1206、()1sin 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间]2,0[π上的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.47、若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩且最大值为40，则51a b+的最小值为（ ）A.256B. 4C. 94D. 18、已知函数21,(0),()(1)1,(0),x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩把方程()0f x x -=的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和为（ ）A.21(N )n n S n +=-∈ B .(1)(N )2n n n S n +-=∈ C .1(N )n S n n +=-∈ D .12(N )n n S n -+=∈ 9、已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ( )A ．2＋2B ．5＋1C ．3＋1D ．2＋1 10、已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →·OA →＋|BC →|2＝AB →·OB →＋|AC →|2， 则点O ( )A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在∠C 平分线所在的直线上 C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是△ABC 的外心第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、函数)1()(+=x e x f x 图象在点()()0,0f 处的切线方程是 . 12、已知不等式22241122x mx m x x-+++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .13、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 ．14、已知正项数列{}n a 的首项11a =，且22*112(1)(1)0()n n n nna n a a n a n N +++--+=∈， 则{}n a 的通项公式为n a = ．15、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,点B 恰好经过原点.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数； ②对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-； ③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是 （写出所有正确的结论序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解答写在答题卡上的指定区域内） 16、（本小题满分12分）设)cos ,sin 3(x x a =，)cos ,(cos x x b =，记b a x f ∙=)((1)求函数()f x 的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数()f x 在区间111212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图，并指出该函数的图象可由sin ()y x x =∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；（3）若63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值.17、（本小题满分12分）大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下表， 并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2218、（本小题满分13分）如图，C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积．19、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =2，221+=+n n S a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的各项均为正数，且{}n b 是n n a 与2n n a +的等比中项，求n b 的前n 项和为n T ； 20、（本小题满分13分）抛物线2:2C y px =经过点(4,4)M -，（1）不过点M 的直线分别交抛物线于A B 、两点，当直线的斜率为12，求证：直线MA 与直线MB 的倾斜角互补。
（2）不经过点M 的动直线交抛物线C 于P Q 、两点，且以PQ 为直径的圆过点M ，那 么直线是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由． 21、（本题满分13分）已知函数1()(2)ln 2(R).f x a x ax a x=-++∈ (1)当0=a 时，求()f x 的极值； (2)当0<a 时，求()f x 的单调区间；(3)若对任意当(3,2)a ∈--及12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x +->-成立，求实数 m 的取值范围．屯溪一中高三第四次月考试卷文科数学答案一、选择题1、C2、A3、B4、D5、B6、B7、C8、B9、D 10、A 二、填空题11、12+=x y 12、)5,3(- 13、 14、11()2n n -⋅15、①②④三、解答题16、设,cos ),(cos ,cos ),x x x x ==a b 记()f x =a b. (1)求函数()f x 的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数()f x 在区间111212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图，并指出该函数的图象可由sin ()y x x =∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到； （3）若63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值.解析：（1）21cos 2()3sin cos cos 22xf x x x x x +==+=+a b 1sin(2)62x π=++， ∴2.T ππω==………………………………（3分） （2）sin y x =向左平移6π得到sin()6y x π=+，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原的12变为sin(2)6y x π=+，最后再向上平移12个单位得到1sin(2)62y x π=++.……………（8分） （3）1()()sin(2)62g x f x m x m π=+=+++，51,2,sin(2),1,6366662x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-∴+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，max 337(),,2,()=.222g x m m m g x m ⎡⎤∴∈+∴=∴=+⎢⎥⎣⎦当2=62x ππ+即=6x π时()g x 取得最大，最大值为7.2………………………………（12分）17、大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下表，并判断能否有附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22解析：由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为100795050101513121811=++++++，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为=P 10079………..5分（Ⅱ）………..8分根据列联表数据得()323.1010.1455550502520253010022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，18、如图，C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积．解析：（1）证明：依题⊥AD BD ⊥CE 平面ABD ∴⊥CE AD BD E CE =∴⊥AD 平面BCE ．（2）证明：BCE Rt ∆中，2=CE ，6=BC ∴2=BEABD Rt ∆中，32=AB ，3=AD ∴3=BD ． ∴32==BD BE BA BF ．∴EF AD // AD 在平面CEF 外 ∴//AD 平面CEF ．（3）解：由（2）知EF AD //，⊥AD ED ，且1=-=BE BD ED ∴F 到AD 的距离等于E 到AD 的距离为1． ∴231321=⋅⋅=∆FAD S ． ⊥CE 平面ABD ∴662233131=⋅⋅=⋅⋅==∆--CE S V V FAD AFD C CFD A ．19、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =2，221+=+n n S a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的各项均为正数，且{}n b 是n n a 与2n na +的等比中项，求nb 的前n 项和为n T ； 解析：当n ≥2时，由221+=+n n S a ，得221+=-n n S a ，两式相减得n n n n n a S S a a 2)(211=-=--+，故)2(31≥=+n a a nn ， …………2分当1=n 时，62222112=+=+=a S a ，此时312=a a ， 故当1≥n 时，31=+nn a a ，则数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列， ∴132-⨯=n n a . ………………6分 (没有检验当1=n 时扣1分) （2）n n n n n n n n n a n a n b 323232112⨯=⨯⨯⨯=⨯=+-+. ………………8分 所以)3...3231(212n n nT +++=. 则n n n T 3...333231232++++=. ①，则14323...33323132+++++=n n nT . ②则①－②得：111323232213311])31(1[31331...31313134+++⨯+-==--=-++++=n n n n n n n n n T . 所以nn n T 383283⨯+-= ………………13分20、抛物线2:2C y px =经过点(4,4)M -，（1）不过点M 的直线分别交抛物线于A B 、两点，当直线的斜率为12，求证：直线MA 与直线MB 的倾斜角互补。