高考数学创新题型

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高考数学创新题型解读

高考数学创新题型解读1. 选择题：(1) 下列哪个函数的图像在x=1处取得最小值？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5(2) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1时取得最大值，则a的取值范围是？A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 0(3) 下列哪个函数的图像在y轴上截距为1？A. f(x) = x^2 + 2x + 1B. f(x) = x^2 - 2x + 1C. f(x) = x^2 + 2x - 1D. f(x) = x^2 - 2x - 1(4) 已知f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)的图像是开口向上的抛物线，则a的取值范围是？A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0(5) 下列哪个函数的图像在x=0时取得最大值？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5(6) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=2时取得最小值，则a的取值范围是？A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 0(7) 下列哪个函数的图像在x=0时取得最小值？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5(8) 已知f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)的图像是开口向下的抛物线，则a的取值范围是？A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0(9) 下列哪个函数的图像在y轴上截距为-1？A. f(x) = x^2 + 2x + 1B. f(x) = x^2 - 2x + 1C. f(x) = x^2 + 2x - 1D. f(x) = x^2 - 2x - 1(10) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=3时取得最大值，则a的取值范围是？A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 02. 填空题：(1) 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1时取得最小值，则a的取值范围是________。

2023年新高考数学创新题型微专题12 立体几何专题(新定义)(解析版)

专题12 立体几何专题（新定义）一、单选题1．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长，在球中，D 表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为a ），正方体（棱长为a ），球（直径为a ）的“立圆率”分别为1k ，2k ，3k ，则123::k k k =（） A ．:1:46ππB ．:2:46ππC ．3:2:2πD ．111::64π【答案】A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为231=2a V a k a π⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱，所以14k π=，因为332V a k a ==正方体，所以21k =，因为333432a V k a π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球，所以36k π=，所以123::k k k =:1:46ππ.故选：A.2．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V =16h（S +4S 0+S'），其中S ，S'分别是上､下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车【答案】B【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积188S =⨯，中截面积0199S =⨯，下底面积12010S =⨯，所以该建筑材料的体积为V =()1514114468420063⨯⨯++=立方米，所以建筑材料重约514325732⨯=（吨），需要的卡车次为257464.25÷=，所以至少需要运65车. 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例1 1.6182⎛⎫⎝≈ +⎪⎪⎭，胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若2h as =，则由勾股定理，22as s a =−，即210s sa a⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，因此可求得s a 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形(2856)a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（）．A ．611.6B ．481.4C ．692.5D ．512.4【答案】C【解析】由2856a =和PH s ==可得【详解】解：12PH s a ==，2856a =8566922.5PH s ==≈ 故选：C【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为62π8π4π⨯−=. 故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[]2326,2326δ''∈−︒︒．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427'''︒，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A ．北纬5527'''︒B ．南纬5527'''︒C ．北纬5533'''︒D ．南纬5533'''︒【答案】D【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角()9039542745θδ'''=︒−︒−=︒可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角()9039542750533θδδ''''''=︒−︒−=︒+，由华表的高和影长相等可知45θ=︒，所以45505335533δ''''''=︒−︒=−︒. 所以该天太阳直射纬度为南纬5533'''︒，故选：D.6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600πC ．200πD ．300π【答案】A【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为20π5=100π⨯．故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率为()()1223111 1.2,3,32k i Q PQ Q PQ Q PQ Q i k π−∠+∠+⋯+∠=⋯≥其中，为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，23Q PQ ，……，1k Q PQ 遍及多面体M 的所有以P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a ，b ，c ，d ，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a d c >>>D ．c d b a >>>【答案】B【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a 、b 、c 、d 的值即可比较大小. 【详解】对于正四面体，其离散曲率为111(3)232a ππ=−⨯=，对于正八面体，其离散曲率为111(4)233b ππ=−⨯=，对于正十二面体，其离散曲率为1311(3)2510c ππ=−⨯=，对于正二十面体，其离散曲率为111(5)236d ππ=−⨯=，则111123610>>>，所以a b d c >>>. 故选：B.8．（重庆市2023届高三第七次质量检测数学试题）如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为2πS RH =，球缺的体积公式为()21π33V R H H =−，其中R 为球的半径，H 为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:2，则这两个球缺的体积之比为（）．A ．19B ．1120C ．720D ．310【答案】C【分析】根据已知条件求得123R h =，243R h =，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=，① 由题意可得：122π12π2Rh Rh =，即：212h h =，② 所以由①②得：123R h =，243R h =，所以小球缺的体积23112228ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=−⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，大球缺的体积2321480ππ333381R R V R ⎛⎫=−⨯=⎪⎝⎭，所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081R V R V ==.故选：C.9．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）碳60（Co ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（）.A ．12B ．20C ．32D ．60【答案】B【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有x 个，正六边形有y 个，根据面数和棱数即可得关于,x y 的方程组，解得y 的值，即可求解.【详解】根据题意，碳60（Co ）由60个顶点，有32个面，由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为6032290+−=，设正五边形有x 个，正六边形有y 个，则3256902x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩，解得：1220x y =⎧⎨=⎩，所以六元环的个数为20个，故选：B.10．（2018春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设b a >，定义区间[,)a b 、(,]a b 、(,)a b 、[,]a b 的长度均为b a −.在三棱锥A BCD −中，2AB BC CA ===，AD BD ⊥，则CD 长的取值区间的长度为AB ．2C ．D ．4【答案】B【解析】由题意画出图形，得到三棱锥A - BCD 存在时CD 的范围，则答案可求. 【详解】如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，取AB 中点O ,连接CO ，DO ,可得CO因为AD ⊥BD ,当AD =BD 时，OD 最长为1,则当等腰直角三角形ABD 在平面ABC 上时，CD1，则要使三棱锥A - BCD 存在，CD ∈所以CD 长的取值区间的长度为-1)=2. 故选：B【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.二、多选题11．（2022·全国·高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A B．侧面积为C ．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π D．底面积为【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．【详解】不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形ABCD BFDE 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知45ABF ∠=︒，则BF ，设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，则22a b ，a =，2c ==，所以离心率为c e a ==A 正确； EG BF ⊥，垂足为G ，则EG 6=，易知45EBG ∠=︒，BE =4CE AF AB ===，所以斜圆柱侧面积为22(4224S ππ=⨯⨯+−⨯⨯=，B 正确；24b =，2b =，2a =，a =椭圆面积为ab π=，D 正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为24216ππ⨯=，C 错．故选：ABD ．12．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在每个顶点的曲率为233πππ−⨯=，故其总曲率为4π．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（）A ．正方体在每个顶点的曲率均为2π B ．任意四棱锥的总曲率均为4π；C ．若一个多面体满足顶点数V ＝6，棱数E ＝8，面数F ＝12，则该类多面体的总曲率是3π；D ．若某类多面体的顶点数V ，棱数E ，面数F 满足2V E F −+=，则该类多面体的总曲率是常数【答案】ABD【分析】根据曲率的定义依次判断即可.【详解】对于A ，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为2322πππ−⨯=，故A 正确；对于B ，由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数−各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()254214ππππ⨯−⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有2V E F −+=，而选项C 中所给的多面体的顶点数、面数、棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C 不正确；对于D ，设每个面记为[]()1,i n i F ∈边形，则所有的面角和为()()1122222FFi i i i n n F E F E F ππππππ==−=−=⋅−=−∑∑，根据定义可得该类多面体的总曲率()224V E F πππ−−=为常数，故D 正确. 故选：ABD.13．（2020秋·山东济南·高三统考期末）给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯．规定：①a b ⨯为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；③ sin a b a b a b ⨯=〈〉，．如图2，在长方体1111ABCD A B C D −中，124AB AD AA ===，，则下列结论正确的是（） A ．1AB AD AA ⨯= B ．AB AD AD AB ⨯=⨯C ．111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ D ．11111()ABCD A B C D V AB AD CC −=⨯⋅ 【答案】ACD【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =AD =2，14AA =，A ：1AA 同时与AB AD ，垂直，sin =22sin 904AB AD AB AD AB AD ︒⨯=⨯⨯=，，又因为1=4AA ，所以AB AD ⨯=1AA ，且AB AD ，，1AA 构成右手系，故1=AB AD AA ⨯成立，故A 正确；B ：根据a b a b ⨯，，三个向量构成右手系，可知1=AB AD AA ⨯，1=-AD AB AA ⨯，则AB AD ⨯≠AD AB ⨯，故B 错误；C ：11()224sin 90AB AD AA AC AA ︒+⨯=⨯==1AC AA ⨯与DB 同向共线，124sin 908AB AA ︒⨯=⨯=，且1AB AA ⨯与DA 同向共线，又124sin 908AD AA ︒⨯=⨯=，且1AD AA ⨯与AB 同向共线，即1AD AA ⨯与DC 同向共线，所以1182AB AA AD AA ⨯+⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯与DB 同向共线，所以1()AB AD AA +⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯，故C 正确； D ：长方体1111ABCD A B C D −的体积22416V =创=，2111()416AB AD CC AA CC ⨯⋅=⋅==，所以1111ABCD A B C D V −=1()AB AD CC ⨯⋅，故D 正确.故选：ACD14．（2022春·全国·高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（） A ．长方体中含有两个相同的等腰四面体B ．“等腰四面体”C ．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D ．三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”【答案】ABC【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项．【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −有两个相同的等腰四面体：11ACB D 和11A C BD ，A 正确；如等腰四面体11A C BD 中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，如图，设11111,,A D A B AA 的长分别为,,x y z ，不妨设x y z ≥≥，则11B D =1AD =1AB =1BD 最大，其所对角的余弦值为222222211cos 0B AD ∠==>，最大角11B AD ∠为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B 正确；把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，如等腰四面体11ACB D ，沿11,,AB AD AC 剪开摊平，11,ND PD 共线，同理可得,CM DP 共线，11,B M B N 共线，MNP △11ACB D 的面相似），且1111,,B C B D CD 是这个三角形的中位线，因此C正确；如上等腰四面体11A C BD 中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外D 错。

2023年新高考数学创新题型微专题10 解析几何专题(新定义)(解析版)

专题10 解析几何专题（新定义）一、单选题1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy 中（O 为坐标原点），把到定点1(,0)F c −和2(,0)F c 距离之积等于2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知()00,P x y 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题： ①双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−； ②12F PF △面积最大值为212c ；③022c c y −≤≤；④PO ．其中所有正确命题的序号是（）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】由已知212PF PF c ⋅=，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，即可判断④.【详解】对于①，由定义212PF PF c ⋅=2c =，即()()222222400000022x y c cx x y c cx c +++⋅++−=，整理可得()()22222200002x y c x y +=−，所以双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−，故①正确；对于②，1212121sin 2F PF SPF PF F PF ∠=221211sin 22c F PF c ∠=≤，故②正确；对于③，因为12212001122F PF SF F y c y c =⨯=≤，所以022c cy −≤≤，故③正确；对于④，12F PF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠，所以2222121242cos PF PF c c F PF ∠+=+. 又因为122PO PF PF =+，所以()()22122POPF PF =+uu u ruuu r uuu r 2212122PF PF PF PF =++⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 221212122cos PF PF PF PF F PF =++⋅∠uuu r uuu r uuu r uuu r.所以，()22122PO F F +22212212121221212c 2cos os PF PF PF PF PF PF PF F PF F P PF F =++⋅∠++−⋅⋅∠()22122PF PF =+，即()22221244242cos PO c c c F PF ∠+=⨯+，整理可得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，所以||PO ≤，故④正确.故选：D.2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆 22221(1)x y a b a b +=>>中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”．则椭圆221259x y +=中所有 “好弦” 的长度之和为（）A ．162B ．166C ．312D ．364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦” 的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得 5,3a b ==，所以4c =，即椭圆221259x y +=的右焦点坐标为()4,0，对于过右焦点的弦AB ，则有：当弦AB 与x 轴重合时，则弦长210AB a ==，当弦AB 不与x 轴重合时，设()()1122:4,,,,AB x my A x y B x y =+，联立方程2241259x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2292572810m y my ++−=，则()()()()2221212227281Δ72492581810010,,925925m m m m x x x x m m =−+⨯−=+>+=−=−++，故()22290116101925925m AB m m +⎛⎫==− ⎪++⎝⎭， ∵20m ≥，则221192525,092525m m +≥<≤+，可得21616025925m −≤−<+，即29161125925m ≤−<+， ∴18,105AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上所述：18,105AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10，由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ()445678910166⨯++++++=．故选：B ．3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点()()1122,,,A x y B x y ，定义两点间“距离”为()1212,d A B x x y y =−+−，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“距离”之和等于定值（大于()12,d F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分横坐标在1F 、2F 之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可. 【详解】解：根据题意，横坐标在1F 、2F 之外的区域，不能出现与x 轴垂直的线段，否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值；横坐标在1F 、2F 之内的区域，则必须与x 轴平行，否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值. 故选：A.4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率5c e a ==，所以a =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 3c =. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径，所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==.因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当MP MQ ==时，等号成立，所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，a =，故椭圆C 的长轴长为故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 22:154x y C +=的两条切线2x y =的交点在圆上，所以3R ==，故选：A6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（） A ．22184x y +=B ．22135x y +=C ．22162x y +=D ．22169x y +=【答案】A. 【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b 与半焦距c 相等的椭圆是“对偶椭圆”，对于A ，22844c b =−==，即b c =，A 是“对偶椭圆”；对于B ，22532c b =−=≠，即b c ≠，B 不是“对偶椭圆”；对于C ，22624c b =−=≠，即b c ≠，C 不是“对偶椭圆”；对于D ，22963c b =−=≠，即b c ≠，D 不是“对偶椭圆”. 故选：A7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线0(),f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A ．210x y +−=B ．10x =C ．2210x y x x +−−−=D ．2310x xy −+=【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A ：因为210x y +−=，即21y x =−是抛物线，没有自公切线，故A 错误；B ：因为10x =，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B 错误；C ：因为2210x y x x +−−−=，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C 正确；D ：因为2310x xy −+=，即13y x x=+是双勾函数，没有自公切线，故D 错误；故选：C.8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义x y +称为点(,)P x y 的“δ和”，其中O 为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点(,)P x y 的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P 是直线240x y −−=上任意一点，则点(,)P x y 的“δ和”的最小值为2；（3）设P 是直线0ax y b −+=上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是1a =；（4）设P 是椭圆2212y x +=上任意一点，则“δ和”的最其中正确的结论序号为（） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2）（4） C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【解析】根据新定义“δ和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当1x y +=时，点(,)P x y 的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）P 是直线240x y −−=上的一点，24y x ∴=−，24x y x x ∴+=+−43,0,4,02,34,2,x x x x x x −≤⎧⎪=−<<⎨⎪−≥⎩可知，0x ≤，02x <<时递减，2x ≥时递增，故x y +的最小值在2x =时取得，min ()2x y +=，正确；（3）同（2），x y x ax b +=++，可知当1a =±时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为,,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩cos x y θθ∴+=，. 故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“δ和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1，且存在12PF F △，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（）A ．2213632x y +=B ．2211615x y +=C ．22154x y −=D ．22115y x −=【答案】C【分析】求出满足条件1221PF PF =时的1PF 和2PF ，再求出12F F ，验证1PF ，2PF ，12F F能否是三角形的三边长，即可得．【详解】1221PF PF =，则122PF PF =，若是椭圆，则12232PF PF PF a +==，223a PF =，143a PF =，若是双曲线，则1222PF PF PF a −==，14PF a =，A 中椭圆，6,2a c ==，24PF =，18PF =，124F F =，不存在12PF F △；B 中椭圆，4,1a c ==，183PF =，1163PF =，122F F =，不存在12PF F △C中双曲线，3a c ==，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是233ac a −=<，2PF =1PF =126F F =，构成12PF F △，存在“Ω点”，D 中双曲线，1a =，4c =，22PF =，14PF =，128F F =，不存在12PF F △ 故选：C ．【点睛】本题考查新定义“Ω点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的P 点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=的焦点为1F 、2F ，若点P 在椭圆上，且满足212PO PF PF =⋅（其中O 为坐标原点），则称点P 为“★”点.下列结论正确的是（） A ．椭圆C 上的所有点都是“★”点 B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★”点 C ．椭圆C 上的所有点都不是“★”点D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点【答案】B【分析】设点(),P x y ，由212PO PF PF =⋅得出关于x 、y 的等式，由2214xy =−，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点(),P x y ，则2214x y =−，()1F、)2F ，122PF x ===+，21442222PF PF ⎛⎫=−=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭，由212PO PF PF =⋅，得222222x y ⎛⎫⎛⎫+=+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22331444x x +=−，解得x =2y =±，所以，椭圆C 上有且只有4个点是“★”点. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点()1,0M −，()1,0N ，若直线上存在点P ，使||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”，给出下列直线，其中是“A 型直线”的是（） ①1y x =+；②2y =；③3y x =−+；④23y x =−+ A ．①③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】D【分析】易得点P 在以M 、N 为焦点的椭圆22143x y +=上，“A 型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.【详解】两定点()1,0M −，()1,0N ，||||4PM PN +=， P ∴在以M 、N 为焦点的椭圆上，且22,1,3a c b ===，故椭圆的方程为22143x y +=，满足题意的“A 型直线”和椭圆有公共点，联立1y x =+和22143x y+=，消y 整理可得27880x x −−=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”，联立2y =和22143x y+=，显然无交点，故不是“A 型直线”，联立3y x =−+和22143x y +=，消y 整理可得2724240x x −+=，故Δ0<，故不是“A 型直线”，联立23y x =−+和22143x y +=消y 整理可得21948240x x −+=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”，故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |≤4，则称该直线为“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是( ) ①1y x =+;②2y =;③43y x =;④21y x =+. A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】C【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算.【详解】对于①，点M 到直线y =x +1的距离14d ==，故不存在点P 使|PM |≤4，故①不是；对于②，点M 到直线y =2的距离d 2=2＜4，故存在点P 使|PM |≤4，故②是；对于③，直线方程为4x -3y =0，点M 到直线4x -3y =0的距离3543045d ⨯−⨯== ，故存在点P 使|PM |≤4，故③是；对于④，点M 到直线y =2x +1的距离44d =，故不存在点P 使|PM |≤4，故④不是. 综上可知符合条件的有②③.故A ，B ，D 错误. 故选：C.二、多选题13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo .设计师的灵感来源于曲线C ：||1n nx y +=.其中星形线E ：22331x y =+常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（） A ．E 关于y 轴对称B ．E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C ．E 上的点到原点距离的最小值为14D ．曲线E 所围成图形的面积小于2 【答案】ABD【分析】A 由(,)x y 、(,)x y −均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式2233x y ≥+即可判断；C 由22223333()()x y x y +=+，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据2233x y +与||||x y +图形的位置关系判断.【详解】若(,)x y 在星形线E 上，则(,)x y −也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由12233312||x y xy =≥=+，则1||8xy ≤当且仅当||||x y =时等号成立，B 正确；由222222222233233333333()1()())3()31([(])4x y x y x y x y xy xy +=+=+=−+−≥，当且仅当||||x y =时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(1,0)±，(0,1)±，由2233||||1x y x y ++≥=，则2233x y +在||||x y +所围成的区域内部，而||||1x y +=所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有2233x y ≥+由22223333()()x y x y +=+及立方和公式求两点距离，利用2233x y +与||||x y +图形的位置判断面积大小.14．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{}(,)|() 0,T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（）A ．22143x y +=B ．221x y −=C ．22y x =D ．1y x =+ 【答案】AC【分析】问题转化为11(,)P x y T ∈，存在22(,)Q x y T ∈，使得OP OQ ⊥，根据这一条件逐一判断即可.【详解】A ：22143x y +=的图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点11(,)P x y T ∈，存在着点Q （x 2，y 2）使得OP OQ ⊥，所以满足；B ：221x y −=的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P ，Q 在双曲线同一支上，此时90POQ ∠<︒，当P ，Q 不在双曲线同一支上，此时90POQ ∠>︒，所以90,POQ OP OQ ∠≠︒⊥不满足；C ：22y x =的图象是焦点在x 轴上的抛物线，且关于x 轴对称，设P 为抛物线上一点，过O 点作OP 的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q 点，所以90,POQ ∠=︒，所以OP OQ ⊥D ：取P （0，1），若OP OQ ⊥，则有20y =显然不成立，所以此时OP OQ ⊥不成立，故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.15．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线C 上存在点P ，使点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，则称曲线C 为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（）A ．5x y +=B ．229x y +=C ．221259x y +=D ．216x y =【答案】ACD【分析】利用有用曲线的定义逐项判断即可. 【详解】解：设点P 的坐标为(),x y ，因为点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，由椭圆的定义可得点P 的轨迹方程为：2212516x y +=，对A ，由22512516x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2412502250x x −+=2Δ250441225256000=−⨯⨯=>因此曲线5x y +=上存在点P 满足条件，所以5x y +=是“有用曲线”，故A 正确；对B ，因为曲线229x y +=在曲线2212516x y +=的内部，无交点，所以229x y +=不是“有用曲线”，故B 错误；对C ，曲线221259x y +=与2212516x y +=有交点()5,0与()5,0−，所以221259x y +=是“有用曲线”，故C 正确；对D ，曲线216x y =与2212516x y +=也有交点，所以216x y =是“有用曲线"，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题利用所给曲线的定义进行判断，关键是由题意得出点P 满足的方程，所给选项中的曲线只要与点P 满足的方程有交点即符合题意.16．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为2a ，动点M 满足2MA MB a ⋅=，那么M 的轨迹称为双纽线.已知曲线1C =为双纽线，下列选项判断正确的是（） A ．曲线C 过点()0,0B．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣ C ．曲线C 关于x 轴对称D ．P 为曲线C 上的动点，,A B 的坐标为()0,1和()0,1−，则PAB 面积的最大值为2【答案】ABC【分析】将点()0,0代入曲线C 方程可知A 正确；1y ≥−1y ≥+可求得211y −≤，进而求得y 的范围，知B 正确；设曲线C 上的点(),x y 关于x 轴的对称点(),x y −代入曲线C 方程可知C 正确；由1sin 2PABSPA PB θ=⋅知当PA PB ⊥时，PAB 面积最大，验证可知曲线C 上存在点P 使得PA PB ⊥，可知()max 12PAB S=，D 错误. 【详解】对于A ，将()0,0代入曲线C 方程，知方程成立，∴曲线C 过点()0,0，A 正确；对于B ，(21x y y +≥=−（当且仅当0x =时取等号），1y =+（当且仅当0x =时取等号）， 2111y y y ≥−⋅+=−（当且仅当0x=时取等号），即211y −≤，2111y ∴−≤−≤，解得：y ≤即曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣，B 正确；对于C ，设曲线C 上任一点为(),x y ，则其关于x 轴对称的点为(),x y −， 1==，即点(),x y −也在曲线C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，C 正确；对于D ，设APB θ∠=，则1sin 2PABSPA PB θ=⋅， P 为曲线C 上的点，1PA PB ∴⋅=，1sin 2PABSθ∴=，则当sin 1θ=，即PA PB ⊥时，()max 12PABS=，当PA PB ⊥时，设()00,P x y ，则220011x y ⎧+==，解得：0012x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即曲线C 上存在点P ，使得PA PB ⊥，()max 12PAB S ∴=，D 错误. 故选：ABC.17．（2021秋·江苏南通·具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率e =的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（） A ．椭圆2212x =是“黄金椭圆” B ．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，且满足2b ac =，则该椭圆为“黄金椭圆”C ．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，若90ABF ∠=︒，则该椭圆为“黄金椭圆”D ．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21211=⋅F F AF F B ，则该椭圆为“黄金椭圆” 【答案】ABC【分析】定义离心率12e =的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及c e a =、222a b c =+列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”【详解】对于A ：由题意得21a =，22b =，故e ==2212x =是“黄金椭圆”，故A 正确；对于B ：2b ac =，即22a c ac −=，故210e e +−=，解得e =e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”，故B 正确；对于C ：由90ABF ∠=︒得22222()+=+++a c a b b c ，化简可知210e e +−=，解得12e =或e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”，故C 正确；对于D ：由21211=⋅F F AF F B ，得2(2)()()=−+c a c a c ，则e =（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”，故D 错误．故选：ABC三、填空题18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：()221224x y x x +=>−+，O 为坐标原点，点(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆C 关于x 轴对称②卵圆上不存在两点关于直线12x =对称 ③线段PO 长度的取值范围是[1,2] ④OAP △的面积最大值为1 【答案】①③④【分析】利用点(),x y 和(),x y −均满足方程，即可判断①；设()00,x y 和()001,x y −都在卵圆C 上，再解()22000200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩即可判断②；利用两点间的距离公式表示2OP ，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出OAP S △，然后利用导数研究其最值，即可判断④. 【详解】对于①，设(),x y 是卵圆C 上的任意一个点，因为()222212424y x x y x x −+=+=++，所以点(),x y −也在卵圆C 上，又点(),x y 和点(),x y −关于x 轴对称，所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设()00,x y 在卵圆C 上，()00,x y 关于直线12x =对称的点()001,x y −也在卵圆C 上，则()2200200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩，解得0010x y =−⎧⎨=⎩或0020x y =⎧⎨=⎩，所以卵圆上存在()()1,0,2,0−两点关于直线12x =对称，故②错误；对于③，由22124x y x +=+，得22124x y x =−+，所以212x x ≤+，又2x >−，所以12x −≤≤，设点()[],,1,2P x y x ∈−，则2322222241422x x x OP x y x x x ⎛⎫−=+=+−=+ ⎪++⎝⎭，令()[]()3224,1,22x x f x x x −=+∈−+，则()()()[]()2224,1,22x x x f x x x +−'=∈−+，令()0f x '=，则0x =或1−±，当10x −<<或12x −+<<时，()0f x ¢>，当01x <<−()0f x '<，所以函数()f x 在()()1,0,1−−上递增，在(0,1−上递减，又()()(()11,04,12624f f f f −==−=−=，且261−>，所以()()min max 1,4f x f x ==，即[]21,4OP ∈，所以[]1,2OP ∈，故③正确；对于④，点()[],,1,2P x y x ∈−，1122OAPSOA y =⋅=⨯= 令()2,122x g x x x =−≤≤+，则()()()24,122x x g x x x +'=−≤≤+，当10x −<<时，()0g x '<，当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()1,0−上递减，在()0,2上递增，所以()()min 00g x g ==，此时OAP △的面积取得最大值1，故④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 19．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，()1,0A −，()10B ,，若在曲线C 上存在一点P ，使得∠APB 为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）①24x y =；②22132x y +=；③221x y −=；④()()22224x y −+−=；⑤344x y +=．【答案】①④⑤【分析】根据曲线上存在“钝点”的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，若∠APB 为钝角，则1cos 0APB −<∠<，所以0PA PB ⋅<，且,,A P B 不共线，所以()()()()110x x y y −−−+−−<，且0y ≠，化简可得221,0x y y +<≠，反之若221,0x y y +<≠，则∠APB 为钝角，对于曲线24x y =，取曲线上的点11,216E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为221111,021616⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AEB ∠为钝角，故曲线24x y =为有“钝点”的曲线；对于曲线22132x y +=，若曲线上的点()11,F x y 为“钝点”，则2211132x y +=，221111,0x y y +<≠，所以21113x <−，矛盾所以曲线22132x y +=不是有“钝点”的曲线；对于曲线221x y −=，若曲线上点()22,G x y 为“钝点”，则22221x y −=，222221,0x y y +<≠，所以220y <，矛盾所以曲线221x y −=不是有“钝点”的曲线；对于曲线()()22224x y −+−=，取曲线上的点(2M ，因为((2222121,20+=−<≠，所以AMB ∠为钝角，故曲线()()22224x y −+−=为有“钝点”的曲线；对于曲线344x y +=，取曲线上的点()21,32N，因为222111,0322⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ANB ∠为钝角，故曲线344x y +=为有“钝点”的曲线. 所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线. 故答案为：①④⑤.20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日(),17461818Monge −发现：双曲线()2222:10x y a b a bΓ=>>−的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=−，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程为223x y +=，则=a ___________.【答案】2【分析】根据题意写出双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程，可得出关于a 的等式，即可求得正数a 的值.【详解】由双曲线()22210x y a a−=>的方程可得21b =，由蒙日圆的定义可得双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程223x y +=，所以223a b −=，即213a −=，可得2a =. 故答案为：2.21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号) （1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3 （4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面. 【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y −+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________. 【答案】34【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断PM 最小时cos θ最小，再设2,4a P a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得PM 最小值，即得结果.【详解】解：如图，2cos cos cos 212sin APB APM APM θ∠∠∠===−，要使cos θ最小，则1sin AM APM PMPM∠==最大，即需PM 最小.设2,4a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PM =∴当24a =，即2a =±时，min ||PM =1sin APM PM ∠==，此时(1,2)P 或(1,2)−，22min 3(cos )12sin 124APM θ∠=−=−⨯=.故答案为：34.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将cos θ的最小值问题转化为线段PM 最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与原点О重合，称射线OM 与224x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”，曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______【答案】83π 【解析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线2213x y −=的渐近线方程为：y = ，设渐近线与圆224x y +=的交点分别为,,,A C B D ,如下图则曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧,AB CD由题意6AOx π∠=，所以23AOB π∠=所以24233AB ππ=⨯=,则83AB CD π+= 故答案为：83π24．（2020·浙江·高二期末）把椭圆C 的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆C '的长轴､短轴，使椭圆C 变换成椭圆C '，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆(0,1,2,)i C i =Λ“压缩”成椭圆1i C +，得到一系列椭圆123,,C C C ，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆0C 经过(3)n n ≥次“压缩”后能终止，则椭圆2n C −的离心率可能是①2，②5中的______.（填写所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】分类讨论，确定压缩数为2n −时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论. 【详解】解：依题意，若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−a ，半焦距为c ；压缩数为2n −a ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率==同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−c ，半焦距为a ；压缩数为2n −c ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率== 故答案为：①②.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点(2,0),(2,0)M N −,若直线上存在点P ,使得||||6PM PN +=,则该直线为“T 型直线”.给出下列直线,其中是“T 型直线”的是___________. ①2y x =+ ②3y = ③3y x =−+ ④132y x =+ 【答案】①③【分析】根据椭圆的定义将“T 型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题.【详解】由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其方程为22195x y +=，对于①中，直线2y x =+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2143690x x +−=，则236414(9)0∆=−⨯⨯−>，所以2y x =+是“T 型直线”；对于②中，把3y =代入22195x y +=，则29195x +=，此时无解，所以3y =不是“T 型直线”；对于③中，把直线3y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得21454360x x −+=，则254414360∆=−⨯⨯>，所以3y x =−+是“T 型直线”；对于④中，把直线132y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2291081440x x −+=，可得Δ0<，所以132y x =−+不是“T 型直线”，故答案为：①③.26．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中，(1,0)A −，(1,0)B ，若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，有下列曲线①2212x y +=；②21y x =+；③2221y x −=；④2231x y +=；⑤24x y +=，其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号）【答案】①③④【分析】设点(,)P x y ，曲线C 为“合作曲线”⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．解出即可判断出结论．【详解】解：设点(,)P x y ，曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，∴合作曲线⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．①由2212x y +=，则满足存在点(,)x y 使得221x y +<，曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故1为合作曲线； ②令2(,1)P x x +，则222(1)1x x ++<，化为4230x x +<，此时无解，即不满足221x y +<，故2不为合作曲线；③由2221y x −=，可得a =，1b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故3为合作曲线；④由2231x y +=，可得：1a =，b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故4为合作曲线； ⑤因为直线圆心到直线24x y +=的距离1d =>，故曲线C 上不存在一点P 满足221x y +<，故5不为合作曲线；综上可得：“合作曲线”是①③④．故答案为：①③④27．（2016·河北衡水·统考一模）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________.【答案】2210x y xy ++−=【分析】过点P 作 ,PA x PB y ⊥⊥，设(,)P x y 在直角坐标下的坐标为 ()11,P x y ，因为30,BON ON y ∠==，所以 1,2OB y BN y ==，即111,2y y x x y ==+，因为()11,P x y 在单位圆上，所以22111x y +=，即221122y x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2210x y xy ++−=.考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.28．（2022·全国·高三专题练习）称离心率为e =22221(0,0)x y a b a b −=>>为黄金双曲线.如图是双曲线22221(0,0,x y a b c a b −=>>=的图象，给出以下几个说法：①双曲线221=x 是黄金双曲线； ②若2b ac =，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0,b )，B 2(0,-b )且∠F 1B 1A 2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON =90°，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为____________【答案】①②③④【分析】根据双曲线方程求离心率，或由已知条件及双曲线参数关系构造齐次方程求离心率，结合黄金双曲线的定义判断正确命题.【详解】①：双曲线的标准方程为221x =，则2221,a b c ===，故c e a ===，满足； ②：由2222010b ac c ac a e e =⇒−−=⇒−−=，可得e =e =（舍），故满足； ③：由11290F B A ∠=︒，则222112112B F A B F A +=，所以()()222222()c b a b a c b ac +++=+⇒=，由②可得。

高考数学创新题(附答案)

高考数学创新题一、选择题（共9题）1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C2．（福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,oC ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选B.3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.4．（辽宁卷）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

2023年新高考数学创新题型微专题04 三角函数(新定义)(解析版)

专题04 三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为2π3，则角θ的正弦值为（） A．2B ．12C ．12−D．【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角θ的弧度数，继而求得答案. 【详解】设角θ所在的扇形的半径为r ，则2212π23r r θ=，所以4π3θ=，所以4ππsin sin sin 33θ==−=，故选：D ．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos xx x xm m x +=+≥，即422sin 15sin cos xx xm ≥−. 因为()2x k k Z ππ≠+∈，所以2cos (0,1]x ∈，则422sin 15sin cos x x x −()222222(1-cos )1=151cos =17+16cos cos cos x x x x x −−−⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21716cos 9x x≤−=，当且仅当21cos 4x =时等号成立,故9m ≥，故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若2(sin cos )2sin cos αααα−=，则角α可取的值用密位制表示错误．．的是（） A ．12-50 B ．2-50 C ．13-50 D ．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出α，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为2(sin cos )2sin cos αααα−=，即22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα−+=，即4sin cos 1αα=，所以1sin 22α=，所以22,6k k Z παπ=+∈，或522,6k k Z παπ=+∈，解得,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈ 对于A ：密位制1250−对应的角为125052600012ππ⨯=，符合题意；对于B ：密位制250−对应的角为2502600012ππ⨯=，符合题意；对于C ：密位制1350−对应的角为135092600020ππ⨯=，不符合题意；对于D ：密位制3250−对应的角为3250132600012ππ⨯=，符合题意；故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算sin x ，cos x ，πx ，ln x 些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如357sin 3!5!7!x x x x x =−+−+，246cos 12!4!6!x x x x =−+−+，其中!12n n =⨯⨯⨯，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x 和cos x 的值也就越精确.运用上述思想，可得到3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的近似值为（）A ．0.50B ．0.52C ．0.54D ．0.56【答案】C【分析】将3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭化为cos1，根据新定义，取1x =代入公式246cos 12!4!6!x x x x =−+−+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，3sin 1cos12π⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，故246111111cos1112!4!6!224720=−+−+=−+−+10.50.0410.0010.54=−+−+⋯≈，故选：C ．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的16000称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数()2cos f x x =−，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为（） A ．15—00 B ．35—00 C ．40—00 D ．45—00【答案】C【分析】利用导数研究()f x 在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定()f x 取到最大时x 用密位制.【详解】由题设，()2sin f x x '=，在4[,)23x ππ∈时()0f x '>，在43(,]32x ππ∈时()0f x '<，所以()f x 在4[,)23x ππ∈上递增，在43(,]32x ππ∈上递减，即max 4()()3f x f π=，故()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为40—00. 故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P与原点O 之间距离为r ，比值rx 叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值x y 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=−；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：5sec 4β=−错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0）， 4tan 3y x β∴==或4tan 3β=−，∴丙：3tan 4β=−不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=−，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=−=−，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁．故选：D ．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设,a b R ∈，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为（）A ．1−B ．C ．12−D ．0【答案】B【分析】由定义先得出sin sin cos ()cos cos sin x x xf x x x x ≥⎧=⎨>⎩，然后分sin cos x x ≥，cos sin x x >两种情况分别求出()f x 的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得sin sin cos ()sin cos cos cos sin x x xf x x x x x x ≥⎧=⊗=⎨>⎩当sin cos x x ≥时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−≥ ⎪⎝⎭则22,4k x k k Z ππππ≤−≤+∈，即522,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈此时当52,4x k k Z ππ=+∈时，sin x 有最小值为当cos sin x x >时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭则222,4k x k k Z πππππ+<−<+∈，即5922,44k x k k Z ππππ+<<+∈此时，cos x >所以()f x 的最小值为故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割()secant 及余割()cos ecant 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔⋅威发首先引入的．定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x ⋅+≥对任意的实数π,2k x x k ⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】由参变量分离法可得出2211716cos cos m x x ⎛⎫≥−+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得m 的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos m x m x x x x ⋅+=+≥，可得422sin 15sin cos x m x x≥−，因为()Z 2x k k ππ≠+∈，则(]2cos 0,1x ∈，因为()()2242222221cos sin 115sin 151cos 1716cos cos cos cos x x x x x xxx −⎛⎫−=−−=−+ ⎪⎝⎭179≤−=，当且仅当21cos 4x =时，等号成立，故9m ≥. 故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合{}12,,,k a a a ⋯和常数m ，把()()()222122sin sin sin k a m a m a m kσ−+−++−=定义为集合{}12,,,k a a a ⋯相对于m 的“正弦方差"，则集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为（）A ．32B C ．12D ．与m 有关的值【答案】C【分析】先确定集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为2222sin sin sin 6263m m m πππσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1cos 21cos 21cos 21333222m m m πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−− ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()13cos 2cos 2cos 2633m m m πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−++−+−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦把()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()cos 2cos 2m m π−=−， ()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，代入上式整理得，212σ=.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为36o 的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得126sin =（） AB12CD【答案】D【分析】如图作三角形，先求出5cos364=126sin 的值. 【详解】如图，等腰三角形ABC ，36ABC ∠=,,AB BC a AC b ===，取AC 中点,D 连接BD .b a =，由题意可得1511512sin 22224bABC b a a ∠−−====，所以22cos 12sin 12ABC ABC ∠∠=−=−= 所以5cos364=所以5126364sin cos ︒==. 故选：D. 11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算a bad bc c d=−，如果()()105,(0,0)2sin 2f x x πωϕωϕ=><<+的图像的一条对称轴为,4x πϕ=满足等式2cos 3tan ϕϕ=，则ω取最小值时，函数()f x 的最小正周期为（） A ．2πB ．πC ．3π2D ．2π【答案】C【分析】根据2cos 3tan ϕϕ=，利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin ϕ的二次方程，可求出ϕ的值，结合对称轴可求出ω，最后利用周期公式进行求解即可．【详解】105()10sin()102sin()f x x x ωϕωϕ==+−+，因为2cos 3tan ϕϕ=，所以sin 2cos 3cos ϕϕϕ=，即22cos 3sin ϕϕ=，22(1sin )3sin ϕϕ−=，所以(sin 2)(2sin 1)0ϕϕ+−=，解得1sin 2ϕ=或2−（舍去），而02πϕ<<，所以6πϕ=，即()10sin()106f x x πω=+−，而()y f x =的图象的一条对称轴为4x π=，所以10sin 1046ππω⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，即462k πππωπ⨯+=+，Z k ∈，解得443k ω=+，Z k ∈，所以正数ω取最小值为43，此时函数()f x 的最小正周期为23423ππ=．故选：C ．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，定义：()()()22210200cos cos cos n x x x x x x n−+−+⋅⋅⋅+−Ω=为集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅相对于0x 的“余弦方差”，则集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”为（） A ．14B ．12CD【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得Ω的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”代入公式可得2222000032cos cos cos cos 1051054x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ω=0000321cos 21cos 21cos 21cos 210510522224x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=0000321cos 21cos 21cos 21cos 21051058x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=00002344cos 2cos 2cos 2cos 255558x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=因为0000423cos 2cos 20,cos 2cos 205555x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=++−= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原式4182Ω==，故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π，则1T ππωπ===，所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12−，则m 的取值范围是（） A ．,62ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．5,66ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．5,66ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由下确界定义，()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，由余弦函数性质可得．【详解】由题意()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，又21()3cos()13cos163332f ππππ−=−−+=+=−，由13cos(2)132x π−+≥−，得1cos(2)32x π−≥−，22222333k x k πππππ−≤−≤+，,62k x k k Z ππππ−≤≤+∈，0k =时，62x ππ−≤≤，所以62m ππ−<≤．故选：A ．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有()()()1212n n f x f x f x x x x f nn ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若sin y x =在区间()0,π上是凸函数，那么在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是（）A ．32B ．3CD 【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为π，即可求出最大值．【详解】因为sin y x =在区间[0，]π上是“凸函数”，所以sin sin sin sin sin 333A B C A B C π++++=…得sin sin sin A B C ++…即：sin sin sin A B C ++的最大值是2故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ−+−++−=为集合{}12,,,n A θθθ=相对常数0θ的“余弦方差”.若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则集合,03A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对θ的“余弦方差”的取值可能为（） A ．38B ．12C ．34D ．45【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据0θ的取值范围，求出026θπ+的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意()2200cos cos 0πθθμ⎛⎫−+− ⎪ 22000cos cos sin cos 332sin ππθθθ=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭220001cos cos 22θθθ⎛⎫+ ⎝⎪⎭=2220000013cos sin sin cos 4242θθθθθ++=200013cos sin 2242θθθ+= 001cos 221442θθ+=00111cos 224222θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+⎪ 011sin 2462πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，因为00,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,7666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以01s 22n 1i 6,πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎣−⎝⎭⎦，所以33,84μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值，{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值；关于函数：(){}min sin ,sin f x x x x x =；(){}max sin ,sin g x x x x x =，有如下四个命题，其中是真命题的是（） A ．()f x 与()g x 的最小正周期均为π B ．()f x 与()g x 的图象均关于直线32x π=对称 C ．()f x 的最大值是()g x 的最小值 D ．()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称【答案】BD【分析】先求出()f x ，()g x ，结合函数()f x 与()g x 的图象即可求解【详解】设()sin 2sin(),()sin 2sin(),33h x x x x t x x x x ππ==+==−则{}32sin(),22,322()min (),()2sin(),22,322x k x k f x h x t x x k x k ππππππππππ⎧++≤≤+⎪⎪==⎨⎪−−+<<+⎪⎩，{}32sin(),22,322()max (),()2sin(),22,322x k x k g x h x t x x k x k ππππππππππ⎧−+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+−+<<+⎪⎩函数()f x 与()g x 的大致图象如下所示：对A ，由图知，()f x 与()g x 的最小正周期均为2π；故A 错误；对B ，由图知，32x π=为函数()f x 与()g x 的对称轴，故B 正确. 对C ，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图知∶函数()f x 的值域为[]2,1−，函数()g x 的值域为[]1,2−，故C 错误；对D ，由图知，()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称，故D 正确；故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角θ和ϕ都是任意角，若满足2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则称θ与ϕ“广义互余”.若()1sin 4πα+=−，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有（）A ．sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【分析】由题可得1sin 4α=，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可. 【详解】若α与β广义互余，则2()2k k Z παβπ+=+∈，即2()2k k Z πβπα=+−∈．又由()1sin 4πα+=−，可得1sin 4α=．对于A ，若α与β广义互余，则sin sin(2)cos 24k πβπαα=+−===±，由sin β=可得α与β可能广义互余，故A 正确；对于B ，若α与β广义互余，则1cos cos(2)sin 24k πβπαα=+−==，由()1cos 4πβ+=可得 1cos 4β=−，故B 错误；对于C ，综上可得sin β=1cos 4β=，所以sin tan cos βββ==C 正确，D 错误．故选：AC ．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题正确的是（） A ．161sin32ver π= B ．sin sin 2ver cover πθθ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．若sin 12sin 1cover x ver x −=−，则()21sin sin 5cover x ver x −=D ．函数()sin 2020sin 202036f x ver x cover x ππ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为2【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A 错误，B 正确；化简已知等式得到tan x ，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出tan x 求得结果，知C 正确；利用诱导公式化简整理得到()22sin 20206f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，由此可知最大值为4，知D 错误.【详解】对于A ，16163sin 1cos 1cos 51cos 33332ver πππππ⎛⎫=−=−+=+= ⎪⎝⎭，A 错误；对于B ，sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；对于C ，sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1cover x x x ver x x −−−===−−−， ()()22222sin cos sin sin 1sin 1cos 12sin cos 1sin cos x xcover x ver x x x x x x x∴−=−−+=−=−+22tan 411tan 15x x =−=−+15=，C 正确；对于D ，()1cos 20201sin 202036f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=−−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 2020266x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−++−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin 20206x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，∴当sin 202016x π⎛⎫+=− ⎪⎝⎭时，()max 224f x =+=，D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:•定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，•定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题中正确的是（） A ．函数sin y ver x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．函数sin sin ver xy cover x=的最小正周期为πC ．sin(sin 2ver )cover πθθ−=D ．sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+=⋅+⋅ 【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A 选项；验证得()()y x y x π≠+，可判断B 选项；由定义的诱导公式可判断C 选项；取4παβ==，代入验证可判断D 选项.【详解】因为sin 1cos y ver x x ==−，而cos y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数sin 1cos y ver x x ==−在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故A 正确；函数versin 1cos 1cos ();()coversin 1sin 1sin π−+==+=−+x x xy x y x x x x，所以()()y x y x π≠+，所以B 错误；sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；取4παβ==，sin(1cos12ver )παβ+=−=，sin sin sin sin ver cover cover ver αβαβ⋅+⋅1cos 1sin 1sin 1cos 34444+ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⋅−−⋅−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+≠⋅+⋅，故D 错误, 故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把2221cos ()cos cos ()3y B A B B A ⎡⎤=+++−⎣⎦叫做B 对A 的余弦方差，那么对任意实数B ，B 对π3的余弦方差是______．【答案】12##0.5【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案. 【详解】依题意，B 对π3的余弦方差是：2221ππcos ()cos cos ()333y B B B ⎡⎤=+++−⎢⎥⎣⎦2π2π1cos(2)1cos(2)11cos 2333222B B B ⎡⎤+++−⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12π2π3cos(2)cos 2cos(2)633B B B ⎡⎤=++++−⎢⎥⎣⎦12π2π2π2π3cos 2cos sin 2sin cos 2cos 2cos sin 2sin 63333B B B B B ⎛⎫=+−+++ ⎪⎝⎭ 11113cos 2cos 2cos 26222B B B ⎛⎫=−+−= ⎪⎝⎭. 故答案为：1222．（2022·全国·高一专题练习）已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，若存在实数,m n ，使得()()()h x mf x ng x =+，则称()h x 是()f x ，()g x 在R 上生成的函数.若()()22cossin ,sin 22=−=x xf xg x x ，以下四个函数中：①π6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭；②ππcos 2424x x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③2π2cos 124xy ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭； ④22sin 2=y x .所有是()(),f x g x 在R 上生成的函数的序号为________. 【答案】①②③.【详解】()()22cossin cos ,sin 22x xf x xg x x =−==.①：πππcos sin sin )666y x x x x x ⎛⎫=−=+= ⎪⎝⎭，因此有m n ==()(),f x g x 在R 上生成的函数；②：πππcos )24242x x y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此有0m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ③：2ππ2cos 1cos()sin 242xy x x ⎛⎫=−−=−= ⎪⎝⎭，因此有0,1m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ④：2222sin 28sin cos y x x x ==，显然不存在实数,m n ，使得228sin cos cos sin x x m x n x =+成立，因此本函数不是()(),f x g x 在R 上生成的函数，故答案为：①②③23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如a bc d 的式子叫做行列式，其运算法则为a b ad bc c d=−，则行列式sin15cos15︒︒的值是___________. 【答案】12−【分析】根据新定义计算即可．【详解】由题意sin151sin 45sin15cos 45cos15cos 602cos15︒=︒︒=︒︒−︒︒=−︒=−︒．故答案为12−．24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①()1sin cos f x x x =+；②()2f x x =()3sin f x x =；④())4sin cos f x x x =+．其中“同形”函数有__________．（选填序号）【答案】①②【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，()1sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，())4sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②.25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数.在[],x ππ∈−上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①sin y x =；②e 1x y =−；③ln y x =；④2y x = 【答案】①②③【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断．【详解】当[],x ππ∈−时，函数sin y x =，e 1x y =−的图象只经过一个格点()0,0，符合题意；函数ln y x =的图象只经过一个格点()1,0，符合题意；函数2y x =的图象经过七个格点，()()()()()()()3,9,2,4,1,1,0,0,1,1,2,4,3,9−−−，不符合题意．故答案为：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系xoy 中，已知任意角θ以坐标原点o 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00y x sos rθ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣； ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线34x π=对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）【答案】①④⑤.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数)4y sosx x π==+，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．详解：①中，由三角函数的定义可知00cos ,sin x r x y r x ==，所以00sin cos )[4y x y sosx x x x r π+===+=+∈，所以是正确的；②中，)4y sosx x π==+，所以()0)104f π=+=≠，所以函数关于原点对称是错误的；③中，当34x π=时，33()sin()0444f ππππ+==≠34x π=对称是错误的；④中，)4y sosx x π==+，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的；⑤中，因为)4y sosx x π==+，令22242k x k πππππ−≤+≤+，得322,44k x k k Z ππππ−≤≤+∈，即函数的单调递增区间为3[2,2],44k k k Z ππππ−+∈，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为①④⑤．点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数y sosx =的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________【答案】54【详解】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴()22255cos sin sin sin 1sin 144y x x x x x =+=−++=−−+≤ 由题意可得，()22215cos sin ,sin cos cos 224f x x x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+−=−=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数的最大值54考点：三角函数的最值四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，则曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =−+−，余弦相似度为：()cos ,A B =()1cos ,A B −(1)若()1,2A −，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(),d A B 和余弦距离；(2)已知()sin ,cos M αα，()sin ,cos N ββ，()sin ,cos Q ββ−，若()1cos ,5M N =，()2cos ,5M Q =，求tan tan αβ的值【答案】(1)145，15−(2)3−【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到1sin sin cos cos 5αβαβ+=，2sin sin cos cos 5αβαβ−=，计算得到答案.【详解】（1）()3414,12555d A B =−−+−=，()34cos ,55A B ==，故余弦距离等于()1cos ,15A B −=−；（2）()cos ,M N =1sin sin cos cos 5αβαβ=+=；()cos ,M Q =2sin sin cos cos 5αβαβ=−=故3sin sin 10αβ=，1cos cos 10αβ=−，则sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==−. 29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()sad ．如图，在ABC 中，AB AC =．顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60的值为（）A ．12 B ．1 C D ．2 (2)对于0180A <∠<，A ∠的正对值sad A 的取值范围是______． (3)已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值．【答案】(1)B(2)()0,2(3)sad α=【分析】（1）在等腰ABC 中，取60A ∠=，AB AC =，利用正对的定义可得出sad60sad A =的值；（2）在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，推导出sad 2sin 2AA =，结合正弦函数的基本性质可求得sad A 的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出cos α，利用二倍角公式可求得sin 2α，由此可得出sad 2sin2αα=的值.【详解】（1）解：在等腰ABC 中，60A ∠=，AB AC =，则ABC 为等边三角形，所以，sad60sad 1BCA AB===，故选：B.（2）解：在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，则2sad 2cos 2cos 902sin 22BC BD A A A B AB AB ⎛⎫====−= ⎪⎝⎭，因为0180A <∠<，则0902A <<，故()sad 2sin 0,22AA =∈. 故答案为：()0,2.（3）解：π02α<<，则π024α<<，所以，24cos 12sin 52αα===−，所以，sin2α=sad 2sin 2αα==. 30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数()()sin cos ,f x a x b x a b =+∈R ，平面内一点坐标(),M a b ，我们称M 为函数()f x 的“相伴特征点”，()f x 为(),M a b 的“相伴函数”．（1）已知()1sin sin cos 2222x x x f x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，求函数()f x 的“相伴特征点”；（2）记122M ⎛' ⎝⎭的“相伴函数”为()g x ，将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()h x ，作出()h x 在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象．【答案】（1）11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出()11sin cos 22f x x x =−，由此可得出函数()y f x =的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数图象变换得出()52sin 312h x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，然后通过列表、描点、连线，可得出函数)y h x =在区间529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象. 【详解】（1）()211cos sin 111sinsin cos sin cos 222222222x x x x x f x x x −=+−=+−=−Q ，故函数()y f x =的“相伴特征点”为11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）由题意可得()1sin sin 23g x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()y g x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），可得到函数2sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，可得到函数()52sin 32sin 34312h x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，当529,3636x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，503212x ππ≤−≤，列表如下：故函数()y h x =在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 五、双空题31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间I ，I M 表示函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间I 上的最大值，则0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=______，若[0,][,2]2t t t M M =，则t 的值为______．【答案】 1；23π或π 【分析】由题可得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；对t 分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t 即可.【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当62x ππ+=时，max 1y =，∴0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；当62t ππ+<，即3t π<时，[0,]sin 6t M t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[,2][0,]sin 6t t t M t M π⎛⎫+= ⎪>⎝⎭，这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾，当62t ππ+≥且5262t ππ+<，即736t ππ≤<时，[0,]1t M =，[,2]sin 6t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或[,2]sin 26t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由[0,][,2]2t t t M M =可得，1sin 62t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1sin 262t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以23t π=或t π=，当5262t ππ+≥，即76t π≥时，[0,]1t M =，[,2]1t t M =，这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾；综上所述，t 的值为23π或π. 故答案为：1；23π或π.32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立．（1）给出下列两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．（2）若函数()sin f x kx M =∈，则实数k 的取值集合为__________．【答案】 2()f x {|,}k k m m Z π=∈ 【分析】（1）根据集合M 的性质判断．（2）根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】（1）若1()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，则x T Tx +=，(1)0T x T −+=对x R ∈恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；若2()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，则22a Ta =，对x R ∈恒成立，1T =，2()f x M ∈；（2）函数()sin f x kx M =∈，则存在非零点常数T ，使得()()f x T T f x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x R ∈知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈−，sin ()[1,1]k x T +∈−，因此要使sin ()sin k x T T kx+=成立，只有1T =±，若1T =，则sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，若1T =−，则sin()sin kx k kx −=−，即sin()sin kx k kx π−+=，2k m ππ−+=，(21),k m m Z π=−−∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈．故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．。

高考满分数学压轴题26 创新型问题(可编辑可打印)

【方法综述】创新型问题主要包括：（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）. （Ⅱ）创新性问题①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.【解题策略】类型一实际应用问题【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c 且a 、b 、c ∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．乙和丙都有可能【答案】B 【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数,,a b c 的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果. 【详解】根据题中所给的五人的得分，可知5()40a b c ++=，所以有8a b c ++=，又因为a b c >>，且,,a b c N *∈，所以,,a b c 的值为5,2,1或4,3,1，创新型问题又因为乙投弹获得了第一名，且得分为9分，所以4,3,1不合题意，所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名，因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.【例2】某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.【来源】数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月22日）【答案】3【解析】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，23CD =67.5CAD ∴∠=，则23AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，2CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得32sin 6023sin 4522CE BC ===在ABC 中，23AC =3BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=，由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【举一反三】1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是（）A ． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表：购票人数 1~50 51~100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b ，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.【答案】70 40 【解析】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a +b ≥51，（1）若51≤a +b ≤100，则11 （a +b ）＝990得：a +b ＝90，① 由共需支付门票费为1290元可知，11a +13b ＝1290 ② 解①②得：b ＝150，a ＝﹣60，不符合题意．（2）若a +b ≥100，则9 （a +b ）＝990，得 a +b ＝110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100，得11a +13b ＝1290 ④，解③④得：a ＝70人，b ＝40人，故答案为：70，40．【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．类型二创新性问题【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】试题分析：将(1,1)y x --带入221x y +=，化简得1x y +=，显然不行，故集合A 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入1y x =-，即111x y -=--，整理得1x y +=，显然不行，故集合B 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入11x y -+=，即1111y x --+-=，化简得11x y -+=，故集合C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称，故选B.【例4】对于向量(1,2,...,)i PA i n =，把能够使得12...n PA PA PA +++取到最小值的点P 称为(1,2,...,)i A i n =的“平衡点”.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD CD 、于,F G 两点.下列的结论中，正确的是（）A ．A C 、的“平衡点”为O .B ．DC E 、、的“平衡点”为DE 、的中点. C ．AFG E 、、、的“平衡点”存在且唯一. D ．A B E D 、、、的“平衡点”必为F 【答案】D【解析】对A ，A 、C 的“平衡点”为线段上的任意一点，故A 错误；对B ，D 、C 、E 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为120︒的点，故B 错误；对C ，A 、F 、G 、E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；对D ，因为矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点，所以A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．故选：D ．【举一反三】1．对任一实数序列()123,,,A a a a =，定义序列()213243,,,A a a a a a a ∆=---，它的第n 项为1n n a a +-.假定序列()A ∆∆的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（） A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006【来源】湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题【答案】D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列,设其首项为a ,通项为n b ，则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==⎡⎤-++---⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑由于1820170a a ==,即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩,解得11016,17136a a =-=.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选：D2.（2020兰州高三联考）若数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( ) A ．个 B ．个C ．个D ．个【答案】C 【解析】令，则，所以数列是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，所以数列是“数列”．综上，“数列”的个数为．本题选择C 选项.3．（2020·河南高考模拟）在实数集R 中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意.关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3； ②函数为奇函数； ③函数的单调递增区间为.其中所有正确说法的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】试题分析：在（3）中，令，可得，则，易知函数是非奇非偶函数，故②错；又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又，由可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中运算.利用新定义将运算转化为常规运算.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.【强化训练】一、选择题1．对于n ，*k ∈N ，若正整数组()12,,,k F a a a 满足12k a a a ≤≤≤，12k a a a n +++=，则称F为n 的一个拆，设F 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为()S n ，()T n ，则（） A ．存在2021n ≥，使得()0S n = B ．不存在2021n ≥，使得()0T n = C ．存在2021n ≥，使得()()S n T n =D ．不存在2021n ≥，使得()()S n T n <【来源】浙江省宁波市宁海中学2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题【答案】D【解析】对于任意的2021n ≥，至少存在一个全为1的拆分，故A 错误；当n 为奇数时，()0T n =，故B 错误；当n 为偶数时，()12,,,k a a a 是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了()1,1,,1和()121,1,,1,1,,1k a a a ---的均为奇数的拆，当2n =时，偶数拆为()2，奇数拆为()1,1，()()221S T ==；当4n =时，偶数拆为()2,2，()4，奇数拆为()1,1,1,1，()1,3；n≥时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故故当6()()>，故C错误，D正确.S n T n故选：D2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令，则，解得．故选B．3．（2020·福建高考模拟）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：设数列{}的前n项和为，则由题意可得，∴，，∴，∴．4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（） A ．3972 B ．3974 C ．3991 D ．3993【答案】D 【解析】【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n 次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．【详解】第1此染色的数为1=11⨯ ，共染色1个，第2次染色的最后一个数为6=23⨯，共染色3个，第3次染色的最后一个数为15=35⨯，共染色5个，第4次染色的最后一个数为28=47⨯，共染色7个，第5次染色的最后一个数为45=59⨯，共染色9个， …∴第n 次染色的最后一个数为n 2n 1⨯-（），共染色2n-1个，经过n 次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n 2个，而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯，且相邻两个数相差2， ∴2019＝458912⨯-＝3993．故选D ．6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155≈）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【解析】【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则1255414,...4()77nn a a a =⨯=⨯=⨯，，. 1251()57...414(1())5717nn n a a a -+++=⨯=⨯--. 令1251()57...414(1())135717nn n a a a -+++=⨯=⨯-≤-，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个. 应选B.7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（） A ．415B ．730C ．15D ．16【答案】C 【解析】【分析】分别求出事件A 与事件B 的基本事件的个数，用()|P B A =()AB P P A （）计算结果.【详解】由题意知，事件A 共有4454C A =120个基本事件，事件B ：“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个. 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，()24|120P B A ∴==15.故选C. 8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( ) A ．4 B ．3C ．8D ．6【答案】D 【解析】根据已知中的点E ，F 的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G ，G 在DA 上，且DG ，第三次碰撞点为H ，H 在DC 上，且DH ，第四次碰撞点为M ，M 在CB 上，且CM，第五次碰撞点为N ，N 在DA 上，且AN ，第六次回到E 点，AE ．故需要碰撞6次即可．故选：D ．9．几何中常用表示L 的测度，当L 为曲线、平面图形和空间几何体时，L 分别对应其长度、面积和体积．在ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，P 为ABC 内部一动点（含边界），在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则L 等于（） A ．612π+B ．2263π+ C ．20123π+ D ．22123π+ 【来源】专题4.3 立体几何的动态问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题【答案】D【解析】空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面ABC 的角度看，如下图所示：其中：BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为,,C B A ；ABC 区域内的几何体是高为2的直三棱柱. 四边形BCDF 和ACEI 为矩形，2DCB ECA π∴∠=∠=，2DCE ACB ACB πππ∴∠=--∠=-∠，同理可得：FBG ABC π∠=-∠，HAI CAB π∠=-∠，()332DCE FBG HAI ACB ABC CAB ππππ∴∠+∠+∠=-∠+∠+∠=-=，∴CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，则CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体的体积之和3144133V ππ=⨯=；又BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体的体积之和()221134562V ππ=⨯⨯++=；ABC 区域内的直三棱柱体积31342122V =⨯⨯⨯=，4226121233L πππ∴=++=+.故选：D.10．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（）A 5B ．12C 25D ．2【来源】热点08 立体几何-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）【答案】D【解析】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AA BB CC DD 交于,,,,M N P Q 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=， 1BN ∴=在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP 交1BB 于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠, 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===. 故选：D. 二、填空题11.（2020安徽省宣城市二调）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_________.【答案】【解析】解：由＝2n，得a 1+2a 2+…+2n ﹣1a n ＝n •2n ，①n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣1）•2n ﹣1，②①﹣②得2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n +1）•2n ﹣1，即a n ＝n +1，对n ＝1时，a 1＝2也成立，所以 .12．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为【答案】154【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:切点为,A A ',与圆柱面相交于,C C ',此时可知CC '即为椭圆的长轴2a ,在直角三角形ABO ∆ 中,2022212,8,sin 284AB AB BO AOB OB -⨯===∴∠===,又因为sin rAOB OC ∠=,所以28sin a OC AOB ===∠,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即24b =,则求得22215c a b =-=15c e a ∴==,故选A.点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴a 的值,需要先利用切线性质求出AOB ∠,再利用相似求出OC 长,即为a ,短轴长为底面半径,故b 比较容易求出,根据椭圆中的关系式222a b c =+,得出c 值,进而求出离心率. 13.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______. 【答案】1 【解析】若为线周期函数则满足对任意，恒成立即，即则本题正确结果：14．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.【答案】【解析】d （O ，C ）＝|x |+|y |＝1，首先证明：，两边平方得到变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：．故答案为：．15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB 的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF 的面积最大值为____m2.【答案】【解析】以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，设边缘线OM上一点，则，设EF与边缘线OM的切点为,因为，所以，故EF所在直线方程为，因此，其中，从而因为当时，，当时，，即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.16．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：①数列是等比数列；②数列是递增数列；③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.【答案】②④【解析】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，，所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即④正确；③错误，综上可知正确的由②④.17．（2020河南省十所名校联考）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）①；②；③.【答案】①②【解析】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”. 对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.18．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=；③()322f π=；④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】②③④【解析】1()2f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为12的圆弧长组成，因此13π()24f = (1)f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为1 的圆弧长组成，因此3π(1)2f = 2)f 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为1,,B D A 半径为1 的圆弧长组成，因此13π(2)32π142f =⨯⨯⨯= 21()3f 由如图三段相同弧长组成，圆心角为π6 ，半径为23 ，因此21π23π()33633f =⨯⨯=，因此选②③④ 19．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE ＝α，∠ADE ＝β，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4米，大雁塔高度H ＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d ，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d 为_____米．【答案】1615【解析】由题意得46415BD d BD BD d =∴=+ ，因此6460tan tan 4tan()646064601tan tan 646081512d d d d d d d dαβαβαβ---===≤=⨯+⨯+⋅+⋅，当且仅当15d =时取等号，因此当15d =时，tan()αβ-取最大值，即αβ-取最大，即标杆到大雁塔的距离d 为1615【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点,,A B C 在半径为1的圆上，且3BAC π∠=，分别以ABC ∆各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC ∆构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的最大值是__________．【答案】332 【解析】设三个半圆圆心分别为G,F ，E ，半径分别为123r r r ,，，M,P,N 分别为半圆上的动点，则PM≤12r r ++GF= 12r r ++AC 2=123a b c r r r 2++++=，当且仅当M,G ,F,P 共线时取等；同理：PN ≤123r r r ,++MN≤123r r r ++,又ABC 外接圆半径为1，πBAC 3∠=，所以BC 2πsin 3=,∴BC=a=2sin π3=3,由余弦定理()2222b c b c bc 3,b c 33bc 3,2+⎛⎫+-=+-=≤ ⎪⎝⎭即解b+c≤23,当且仅当b=c=3取等；故123a b c 33r r r 22++++=≤21．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列{}n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列{}n x 为“p ﹣摆动数列”.①若21n a n =-，(10)n n b q q =-<<，*n N ∈，则数列{}n a _____“p ﹣摆动数列”，{}n b _____“p ﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p ﹣摆动数列”{}n c 满足111n n c c +=+，11c =.则常数p 的值为_____.【答案】不是是12【解析】①由21n a n =-知道{}n a 是递增数列，故不存在满足定义的p又因为(10)nn b q q =-<<可知n b 正负数值交替出现，故0p =时满足定义②因为数列{}n c 是“p ﹣摆动数列”，故1n =时有()()210x p x p --< 可求得：112p <<又因为使对任意正整数n ，总有()()10n n c p c p +--<成立，即有()()210n n c p c p ++--<成立则()()20n n c p c p +-->所以1c p >，3c p >，…，21n c p ->同理2c p <，4c p <，…，2n c p <所以221n n c p c -<<，即212111n n c c --<+，解得2112n c->，即12p ≤ 同理2211n n c c +>，解得2n c<p ≥综上，p =本题正确结果：不是；是；12。

高考数学新题型分类

高考数学新题型分类新课标以来，高考数学中显现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。

2021年高考数学新题型分类为以下几点：(一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中显现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都显现了运动问题。

即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。

因此考生需要把握在运动过程中关于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直截了当变量与间接变量的关系、以及专门值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。

在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的专门多思想，加上题目中所给信息相融合。

在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。

(二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要明白得坐标系中坐标差的原理，关于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清晰就行了。

近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，但是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情形下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。

比如2021年压轴题，关于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情形均相同，故只需考虑一个位就行了。

在大题具体解题中笔者会详细叙述。

(三)新名词关于题目中显现了新名词新性质，考生完全能够从新性质本身动身，从数学思维角度明白得新性质所代表的数学含义。

此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。

新课标数学追求对数学思维的自然描述，即可不能给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2021届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于专门规思路)。

比如2009年北京卷文科填空压轴题，确实是让学生直观形象的去明白得什么叫做孤立元，如此肯快就能够得到答案。

北京市高考数学创新题小题精选

1. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）( )（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）10932. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.3. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数；（ii ）女学生人数多于教师人数；（iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为． ②该小组人数的最小值为．4. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多5. 设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤① 若0a =，则()f x 的最大值为；② 若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是． 6. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛（B ）5号学生进入30秒跳绳决赛（C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛7. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店① 第一天售出但第二天未售出的种；② 这三天售出的商品最种．8. 汽车的“燃油效率”是指每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（A ）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米（B ）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多（C ）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油（D ）某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油9. 设函数2,1,()4()(2), 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥① 若1a =，则()f x 的最小值为_______；② 若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_______． 10. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，① 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_______；② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_______．11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．总成绩年级名次总成绩年级名次 267语文成绩年级名次数学成绩年级名次OO注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A ）6升（B ）8升（C ）10升（D ）12升12. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（A ）2人（B ）3人（C ）4人（D ）5人13. 设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）．若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性，且π2ππ()()()236f f f ==-，则()f x 的最小正周期为．14. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率分钟）满足函数关系2p a t b t =++（,,a b c 是常数），下图记录了三次实验数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（A ）3.50分钟（B ）3.75分钟（C ）4.00分钟（D ）4.25分钟 15. 顾客请一位工艺师把A, B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为个工作日．16. 设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=．求得m 的取值范围是（A ）4(,)3-∞（B ）1(,)3-∞（C ）2(,)3-∞-（D ）5(,)3-∞-17. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上．点P 到直线1CC 的距离的最小值为．18. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（A ）3 （B ）4个（C ）5个（D ）6个20. 已知点(1,1)A -, (3,0)B , (2,1)C ．若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ−−→−−→−−→=+（12λ≤≤, 01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为．21. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为22. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是． 23. 设,，,.记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 ( )． A ． B ． C ． D ． 24. 曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹．给出下列三个结论： ① 曲线过坐标原点；② 曲线关于坐标原点对称； ③若点在曲线上，则的面积大于．其中，所有正确结论的序号是． 25. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x轴滚动，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD ()N t {}9,10,11{}9,10,12{}9,11,12{}10,11,12C ()11,0F -()21,0F ()21a a >C C P C 12F PF ∆212a （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11面积为_______.说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动.26. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，动点,E F 在棱11A B 上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若1EF =，DP x =，1A E y =（,x y 大于零），则三棱锥P EFQ -的体积（A ）与,x y 都有关（B ）与,x y 都无关（C ）与x 有关，与y 无关（D ）与y 有关，与x 无关DABC A 1 B 1C 1D 1P QEF· ·· ·。

数学试卷高考创新卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √9B. -√16C. πD. 0.252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(x)的图像是（）A. 一个开口向上的抛物线B. 一个开口向下的抛物线C. 一条直线D. 一个圆3. 下列各方程中，无解的是（）A. x + 3 = 0B. 2x - 4 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. 3x^2 - 2x + 1 = 04. 若a、b是实数，且a + b = 0，则下列等式中正确的是（）A. a^2 = b^2B. a^2 = -b^2C. a^2 = 2b^2D. a^2 = b^2 + 15. 下列各函数中，单调递增的是（）A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = -xD. f(x) = |x|6. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1 + a2 + a3 = 18，则数列{an}的第10项是（）A. 26B. 28C. 30D. 327. 若复数z满足|z - 2| = |z + 2|，则复数z的实部是（）A. 0B. 2C. -2D. 无法确定8. 下列各三角形中，是等边三角形的是（）A. 三边长分别为3，4，5的三角形B. 三边长分别为5，5，5的三角形C. 三边长分别为6，8，10的三角形D. 三边长分别为7，7，12的三角形9. 下列各不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5B. 2x - 3 < 5C. 2x + 3 ≤ 5D. 2x - 3 ≥ 510. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，那么f(x)的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 3]上单调递增，则x的取值范围是______。

12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是______。

高考数学创新题型精选(含解析)

高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy （x+y ），z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A ．0B ．6C ．12D ．182．设○+是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x ym n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是A ．43B ．72C ．86D ．904．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ． 5B ． 4C ． 3D ． 25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A ．48B ．18C ．24D ．366．点P 到点A （21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－21的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是A ．21B ．23C ．21或23D ．－21或21 7．如果二次方程 x 2-px-q=0（p,q ∈N*）的正根小于3, 那么这样的二次方程有A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）,使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A B ⨯=A ．6EB ．72C ．5FD ．B010．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCA S S∆∆，λ3＝ABCPAB S S ∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则A ．点Q 在△GAB 内B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。

新高考数学创新好题1情境创新之知识综合

新高考数学创新好题1情境创新之知识综合新高考数学创新好题主题一情境创新之知识综合学科知识综合1.[平面向量与三角函数综合]已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则sin=()A.B.C.D.2.[三角函数与数列综合]已知数列{an}的通项公式是an=f(),其中f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|.-1B.-C.1D.3.[逻辑联结词与二项式、正态分布综合]已知命题p:(x2-)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为495.命题q:随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.7,则P(0给出四个命题:①p∧q,②p∨q,③p∧(?q),④(?p)∨q,其中真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④4.[数列与平面向量综合]设{an}是首项为-10,公差为2的等差数列,{bn}是首项为-,公差为的等差数列.O为原点,向量=(-1,1),=(1,1),点Pn满足=an+bn(n∈N).若存在点Pk(k∈N)位于第一象限,则k=()A.5或6B.6C.7D.6或75.[导数与三角函数综合]已知函数f(x)的定义域为R,f()=-,对任意的x∈R,满足f''(x)>4x.当α∈[0,2π]时,不等式f(sinα)+cos2α>0的解集为()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)6.[函数与数列综合]定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足:当0≤x<2时,f(x)=2x-x2;当x≥2时,f(x)=3f(x-2).若函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,…,bn,…,则a1b1+a2b2+…+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+17.[椭圆与平面向量综合]已知椭圆C:=1,F1,F2分别是其左、右焦点,若对椭圆C上的任意一点P,·>0恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-3,0)∪(0,3)B.[-3,0)∪(0,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3]∪[3,+∞)8.[抛物线与平面向量综合]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若=4,则|MN|=()A.B.3C.D.9图1-29.[立体几何与函数综合]如图1-2所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的正方形,侧棱AA1=t,P为矩形CDD1C1上及内部的动点,M为BC 的中点,∠APD=∠CPM,三棱锥A1-PCD的体积的最大值记为V(t),则下列关于函数V(t)的结论正确的是()A.V(t)为奇函数B.V(t)在(0,+∞)上单调递增C.V(2)=3D.V(3)=10.[双曲线与解三角形综合]已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,M是E上一点,且△ABM为等腰三角形,其外接圆的半径为a,则双曲线E的离心率为()A.B.+1C.D.+111.[解三角形与平面向量、基本不等式综合] 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a-b,sinC),n=(c-b,sinA+sinB),m=λn(λ≠0),则tanC的最小值为()A.B.2C.D.12.[直线斜率与三角恒等变换综合]若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,.?13.[数列与双曲线综合]已知一族双曲线En:x2-y2=(n∈N,n≤2019),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a2019=.?跨学科知识综合14.[数学与化学综合]溶液的酸碱度是通过pH来刻画的,已知某溶液的pH等于-lg[H+],其中[H+]表示该溶液中氢离子的浓度,且该溶液中氢离子的浓度为10-6mol/L,则该溶液的pH为()A.4B.5C.6D.715.[数学与物理综合]长江流域内某地南北两岸平行,如图1-3所示,已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4km/h,设v1和v2所成的角为θ(0行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cosθ等于()图1-3A.-B.-C.-D.-16.[数学与物理综合]体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于图1-4所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为()图1-4(参考数据:重力加速度大小取g=10m/s2,≈1.732)A.63kgB.69kgC.75kgD.81kg17.[2020山东,4,5分][数学与地理综合]日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A 处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°图1-518.[数学与体育综合]台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图1-5,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tanα的值为()A.B.C.或D.19.[2020全国卷Ⅱ,12,5分][理][数学与通信技术综合]0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010…B.11011…C.10001…D.11001…20.[数学与化学综合]稠环芳烃类化合物中有不少致癌物质,比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘,它可看作是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳烃类化合物,长期食用会致癌.下面是一组稠环芳烃的结构简式和分子式:名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推断并十苯的分子式为.?答案主题一情境创新之知识综合1.B解法一由已知知|a|=|b|=1,|c|=|a+b|==3,则cos=,因为∈(0,π),所以sin=.解法二由题可设a=(1,0),b=(0,1),则c=(,),cos=,因为∈(0,π),所以sin=,故选B.2.B由题图可得(T为f(x)的最小正周期),则T=π,ω==2.将(,-1)代入f(x)=sin(2x+φ)中,可得+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|n=f()=sin,则{an}为周期为6的数列,因为a1=,a2=0,a3=-,a4=-,a5=0,a6=,所以S2020=336S6+(a1+a2+a3+a4)=0-=-.故选B.3.C对于命题p,(x2-)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,即最大,所以n=12.展开式的通项公式为Tr+1=··=(-1)r··x24-3r,令24-3r=0,得r=8,故展开式中的常数项为(-1)8·=495,所以p为真命题.对于命题q,根据正态分布的对称性可知P(0假命题.所以p∧q,(?p)∨q为假命题,p∨q,p∧(?q)为真命题,即②③为真命题.故选C.4.D由已知得an=2n-12,bn=-1.因为=an+bn=(2n-12)·(-1,1)+(-1)·(1,1)=(11-,-13),所以点Pn的坐标为(11-,-13),可得Pk(11-,-13).若存在点Pk(k∈N)位于第一象限,则解得造函数g(x)=f(x)-2x2+1,则g''(x)=f''(x)-4x>0,所以函数g(x)在R上为增函数.因为f()=-,所以g()=f()-2×()2+1=0.又f(sinα)+cos2α>0,所以g(sinα)=f(sinα)-2sin2α+1=f(sinα)+cos2α>0=g(),所以sinα>.因为0≤α≤2π,所以α>0的解集为(,).故选D.6.A当0≤x<2时,f(x)=2x-x2=1-(x-1)2,可得f(x)的极大值点a1=1,极大值b1=1,当2≤x<4,即0≤x-2<2时,可得f(x)=3f(x-2)=3[1-(x-3)2],可得a2=3,b2=3,当4≤x<6,即0≤x-4<2时,可得f(x)=9f(x-4)=9[1-(x-5)2],可得a3=5,b3=9,…,即有a20=39,b20=319.记S20=a1b1+a2b2+…+a20b20,则S20=1×1+3×3+5×9+…+39×319①,3S20=1×3+3×9+5×27+…+39×320②,①-②得-2S20=1+2×(3+9+27+…+319)-39×320=1+2×-39×320,化简可得S20=19×320+1,故选A.7.C当点P为短轴上的顶点时,∠F1PF2最大,要使·>0恒成立,则∠F1PF2为锐角,即∠F1PO<45°(O为坐标原点),即tan∠F1PO=<1,所以c29,所以93或m,M(xM,yM),N(xN,yN),因为=4,所以(2,-t)=4(1-xM,-yM),所以解得因为MN为过抛物线焦点的弦,由焦点弦的常用结论(详见主书P215【规律总结】)可得xM·xN==1,所以xN=2,所以xM+xN=.由抛物线的定义,得|MN|=xM+xN+p=+2=,故选C.解法二设准线l与x轴交于点E,点N在第一象限,如图D1-1所示,作MM''⊥l于点M'',NN''⊥l于点N'',则由抛物线的定义知,|MM''|=|MF|,|NN''|=|NF|.因为=4,所以|PF|∶|PM|=4∶3.因为△PFE∽△PMM'',所以,即,解得|MF|=,所以|PF|=6.又△PFE∽△PNN'',所以,即,解得|NF|=3,所以|MN|=|MF|+|NF|=+3=,故选 C.9.D由题意知,AD⊥PD,MC⊥PC.因为∠APD=∠CPM,所以Rt△PDA∽Rt△PCM.又M为BC的中点,所以=2,即PD=2PC,即PD2=4PC2.在平面DCC1D1中,以DC的中点为坐标原点,以DC所在直线为x轴,DC的垂直平分线为y轴,以的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D(-,0),C(,0).设P(x'',y'')(-≤x''≤,0≤y''≤t),则(x''+)2+(y'')2=4(x''-)2+4(y'')2,整理得(y'')2=-(x'')2+5x''-,易知当x''=时,y''取得最大值.若0,则(S△PCD)max=.又A1到平面PCD的距离为3,所以V(t)=所以V(t)为非奇非偶函数,故A错误;函数V(t)在(0,+∞)上不是单调函数,故B错误;V(2)=,故C错误;V(3)=,故D正确.故选D.10.C解法一不妨设M在第一象限,M(x0,y0),因为△ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令∠MAB=θ,则∠AMB=θ,∠ABM=π-2θ,∠MBx=2θ,在△MAB中,由正弦定理可得=2×a,所以sinθ=,则cos2θ=1-2sin2θ=,sin2θ=,则x0=a+2acos2θ=,y0=2asin2θ=,即M(,).又点M在双曲线上,所以·=1,解得=2,则e2=1+=3,则e=,故选C.解法二不妨设M在第一象限,因为△ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令∠MAB=θ,则∠AMB=θ,∠ABM=π-2θ,∠MBx=2θ,由正弦定理可得=2×a,所以sinθ=,则cosθ=,tanθ=,即kMA=,cos2θ=1-2sin2θ=,则sin2θ=,tan2θ==2,即kMB=2,根据kMA·kMB=2=,得e2=1+=3,则e=,故选C.11.C∵m=λn(λ≠0),∴m∥n,∴(a-b)(sinA+sinB)=sinC(c-b),由正弦定理得(a-b)(a+b)=c(c-b),整理得a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=.∵A∈(0,),∴A=,又C∈(0,),∴,∴tanC=tanC.∵△ABC是锐角三角形,且A=,∴解得,∴tanC=tanC≥+2,当且仅当tanC,即tanC=2时等号成立,故tanC的最小值为,选C.图D1-212.-3如图D1-2,以A为原点建系,AC的斜率为2,设AB的倾斜角为θ,则AC的倾斜角为θ+,则tan(θ+)=2.kAB=tanθ=tan(θ+)=,则kAD=-=-3.所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为和-3.13.设An(x0,y0),可得.双曲线En:x2-y2=(n∈N,n≤2019)的渐近线方程为x-y=0,x+y=0.已知点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,不妨设Bn在第一象限内,可得|AnBn|=,|AnCn|=,易知双曲线En的两条渐近线互相垂直,可得AnBn⊥AnCn,则△AnBnCn的面积an=|AnBn|·|AnCn|=··,则a1+a2+a3+…+a2019=×2019×2020=.14.C由题意可得,该溶液的pH为-lg10-6=6.故选C.15.B设游船的实际速度为v,v1与河流南岸上游的夹角为α,v1=,v2=.以AD,AC为邻边作平行四边形如图D1-3所示,要使得游船正好航行到B处,则|v1|cosα=|v2|,即cosα=.又θ=π-α,所以cosθ=cos(π-α)=-cosα=-,故选B.16.B作出示意图,如图D1-4所示,设图中重力为G,两只胳膊的拉力分别为F1,F2,F1与F2的合力为F'',则|G|=|F''|.由余弦定理得|F''|2=4002+4002-2×400×400×cos=3×4002(N2),解得|F''|=400N.所以|G|=400N.所以该学生的体重约为≈69(kg).故选B.图D1-517.B过球心O,点A以及晷针的轴截面如图D1-5所示,其中CD为晷面,GF为晷针所在直线,EF为点A处的水平面,GF⊥CD,CD∥OB,∠AOB=40°,∠OAE=∠OAF=90°,所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.故选B.18.C由题意知,可分为两种,且仅有两种情况.第一种情况,球碰撞CD与AB边内沿后进入角落C的球袋中,如图D1-6所示.根据台球碰撞障碍物后也遵从反射定律知,AE=EF=FC,于是根据图形的对称性知E,F分别为CD与AB的三等分点,则DE=DC=AD,所以tanα=tan∠AED=.第二种情况,球碰撞BC与AD边内沿后进入角落C的球袋中,如图D1-7所示.同理,由第一种情况的解法知M,N分别为BC,AD的三等分点,所以BM=BC=AB=AB,所以tanα=.综上可知,选C.图D1-6图D1-719.C对于A,因为C(1)=,C(2)=,不满足C(k)≤,故A不正确;对于B,因为C(1)=,不满足C(k)≤,故B不正确;对于C,因为C(1)=,C(2)==0,C(3)==0,C(4)=,满足C(k)≤,故C正确;对于D,因为C(1)=,不满足C(k)≤,故D不正确.综上所述,故选C.20.C42H24因为表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标分别是10,14,18,…,H的下标分别是8,10,12,…,所以表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标构成等差数列,设为{am},则首项a1=10,公差为4,所以其通项公式为am=10+(m-1)·4=4m+6,表格中所给的稠环芳烃的分子式中H的下标构成等差数列,设为{bm},首项b1=8,公差为2,所以其通项公式为bm=8+(m-1)·2=2m+6.易知m=n-1,所以并n苯的分子式为C4n+2H2n+4(n≥4,n∈N),所以并十苯的分子式为C42H24.第8页共8页。