离散型随机变量均值与方差练习题
离散型随机变量的均值与方差
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(3)设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为 Ex＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋ x＋(－2)×0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29)，9分 依题意，Ex≥4.73， 即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%. 12分
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(2)EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3 ＝2×(－13)＋3＝73； DY＝D(2X＋3)＝4DX＝4×59＝290. 【名师点评】 ξ是一个随机变 量，则η＝f(ξ)一般仍是一个随机变 量，在求η的期望和方差时，要应用期 望和方差的性质．
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考点四 均值与方差的实际应用
利用期望和方差比较随机变量的 取值情况，一般是先比较期望，期望 不同时，即可比较出产品的优劣或技 术水平的高低，期望相同时，再比较 方差，由方差来决定产品或技术水平 的稳定情况．
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P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
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考点二 求离散型随机变量的期记与方差
求离散型随机变量X的均值与方差 的步骤：
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(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投 篮得分超过3分与选择上述方式投篮 得分超过3分的概率的大小．
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【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
离散型随机变量的分布列及均值与方差
第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差课时训练练题感提知能【选题明细表】一、选择题1.抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是( D )(A)2颗都是4点(B)1颗是1点,另1颗是3点(C)2颗都是2点(D)1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点解析:所得点数之和为4的有1+3,2+2,故选D.2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为:则q等于( C )(A)1 (B)1±(C)1-(D)1+解析:由分布列的性质知∴q=1-,故选C.3.已知某一随机变量ξ的概率分布列如下,且E(ξ)=6.3,则a值为( C )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:由分布列的性质可得0.5+0.1+b=1,解得b=0.4.由E(ξ)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,解得a=7.故选C.4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为( C )(A) (B)(C) (D)解析:P(X=4)==,故选C.5.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5),则P(<ξ<)等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:由已知,分布列为由分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.∴P(<ξ<)=P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)=++=.故选C.6.有10件产品,其中3件是次品,从这10件产品中任取两件,用ξ表示取到次品的件数,则E(ξ)等于( A )(A)(B)(C)(D)1解析:ξ服从超几何分布P(X=ξ)=(x=0,1,2),∴P(ξ=0)===,P(ξ=1)===,P(ξ=2)===.∴E(ξ)=0×+1×+2×==.故选A.7.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为( D )(A)(B)(C)(D)解析:由题意得,+++=1,解得a=.于是P(<X<)=P(X=1)+P(X=2)=+=a=,故选D.8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b, c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=|a-b|,则E(ξ)为( A )(A)(B)(C)(D)解析:∵抛物线的对称轴在y轴的左侧,∴-<0,即>0,即a,b同号.∴随机变量ξ的分布列为∴E(ξ)=0×+1×+2×=.故选A.二、填空题9.设随机变量ξ等可能取1,2,3,…,n,若P(ξ<4)=0.3,则n= .解析:因为1,2,3,…,n每个值被取到的概率为,故P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=++==0.3,所以n=10.答案:1010.已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8,每次罚球命中得1分,罚不中得0分,则他罚球一次得分ξ的期望为.解析:由题意,他得分的分布列为,∴E(ξ)=1×0.8+0×0.2=0.8.答案:0.811.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是.解析:P===.答案:12.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)= .解析:X的分布列如下:所以期望E(X)=0×+1×+2×==.答案:三、解答题13.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.解:(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=+=.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)==;P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=++=.故X的分布列为X的数学期望为E(X)=2×+3×=.14.在一次购物抽奖活动中,假设某10张奖券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列并求期望E(ξ).解:(1)P=1-=1-=,即该顾客中奖的概率为.(2)ξ的所有可能取值为0,10,20,50,60元.P(ξ=0)==,P(ξ=10)==,P(ξ=20)==,P(ξ=50)==,P(ξ=60)==.故ξ的分布列为从而期望E(ξ)=0×+10×+20×+50×+60×=16.15.(2014四川雅安中学检测)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列;(3)从该流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的质量超过505克的概率.解:(1)质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12(件);(2)Y的所有可能取值为0,1,2,P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,Y的分布列为(3)从流水线上任取5件产品,恰有2件产品的质量超过505克的概率为===.。
高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)
高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)1.事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个6点”，求条件概率P(A|B)和P(B|A)。
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则求P(-1<ξ<3)。
3.随机变量X的取值为1和2，若P(X=0)=0，E(X)=1，则求D(X)。
4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.1587，则求P(2<X<4)。
5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是多少？6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是多少？7.下面说法中正确的是：A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值。
8.每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？9.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)的分布列为多少。
10.现在有10张奖券，其中7张未中奖，3张中奖，某人从中随机无放回地抽取1张奖券，则此人得奖金额的数学期望为多少？11.已知X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1.6，则n和p的值分别为多少？12.袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，则它们的和的数学期望为多少？1.一个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A。
5B。
9C。
10D。
25.答案：C。
10.2.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A。
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为
随机变量 X 的均值或 数学期望 ，它反映了离
散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差 n
称
D(X)＝
∑
i＝1
(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的
方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的 平均偏离程度 ，其算术平方根 DX 为
2．方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程 度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说 明 X 的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的 取值越集中，由方差定义知，方差是建立 在期望这一概念之上的．在 E(X)附近，统 计中常用 DX来描述 X 的分散程度．
基础自测
1．随机变量 ξ 的分布列如下：
＝E(ξ2)＋4E(ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8，
Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
探究提高 ξ 是随机变量，则 η＝f(ξ)一般仍是 随机变量，在求 η 的均值和方差时，熟练应用 均值和方差的性质，可以避免再求 η 的分布列 带来的繁琐运算．
变式训练 2 袋中有 20 个大小相同的球，其中 记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取 球的标号． (1)求 ξ 的分布列、均值和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 例 1(2010·福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，
整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)” 为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的分布列及其均值 E(ξ)．
北师大版数学【选修2-3】练习：2.5 离散型随机变量的均值与方差(含答案)
第二章 §5一、选择题1．(2013·广东理，4)已知离散型随机变量X 的分布列为( )则X 的数学期望E (X )＝( A.32 B ．2 C.52 D ．3[答案] A[解析] E (x )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．已知X ～B (n ，p )，EX ＝8，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2 B ．92,2.8 C ．93,2 D ．93,2.8[答案] B[解析] 去年一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90、90、93、94、93，所以x ＝90＋90＋93＋94＋935＝4605＝92，s 2＝2×(90－92)2＋2×(93－92)2＋(94－92)25＝145＝2.8.二、填空题4．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则Eξ＝________.[答案] 0.75[解析] 本题考查随机变量的数学期望，P (ξ＝1)＝34，P (ξ＝0)＝14，则Eξ＝1×34＋0×14＝34＝0.75. 5．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若EX ＝0，DX ＝1[答案]512 14[解析] 由分布列中概率满足的条件可知a ＋b ＋c ＋112＝1 ①，由均值和方差的计算公式可得－a ＋c ＋16＝0 ②，12×a ＋12×c ＋22×112＝1 ③，联立①②③解得a ＝512，b ＝14.三、解答题6．(2012·山东理，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·23＝736；(2)X ＝0,1,2,3,4,5P (X ＝0)＝14·(13)2＝136，P (X ＝1)＝34·(13)2＝112，P (X ＝2)＝14C 1213·23＝19，P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝13，P (X ＝4)＝14·(23)2＝18，P (X ＝5)＝34·(23)2＝13. EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112＝3512.一、选择题1．设离散型随机变量ξ的可能取值为0,1，且P (ξ＝0)＝23，则Dξ＝( )A.13B.23C.19D.29[答案] D[解析] 由题意知ξ服从两点分布，且P (ξ＝1)＝1－23＝13，故Dξ＝P (ξ＝1)[1－P (ξ＝1)]＝13×23＝29. 2．(2013·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65 C.168125 D.75[答案] B[解析] P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.3．甲、乙两名运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下：A ．甲B ．乙C ．一样D ．无法比较[答案] B[解析] Eξ＝9.2，Eη＝9.2＝Eξ，Dξ＝0.76，Dη＝0.56<Dξ，乙稳定．4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个．则X 的均值为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6[答案] B[解析] 由题意可知，X 可以取3、4、5、6， P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；P (X ＝6)＝C 25C 36＝12，∴EX ＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为d (a ，b ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148 B.124 C.112 D.16 [答案] B[解析] 由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，所以ab ＝16·3a ·2b ≤16·(3a ＋2b 2)2＝16×(12)2＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝16，b ＝14时取“等号”，故选B. 二、填空题6．(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X ，Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49，P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49，∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y 的值为________． [答案] 0.4[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，由此解得y ＝0.4.三、解答题8．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下：[分析] 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是要看次品数的波动情况，即方差值的大小．[解析] 工人甲生产出次品数X 的期望和方差分别为： EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y 的期望和方差分别为： EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由EX ＝EY 知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX >DY ，可见乙的技术比较稳定．9．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天(包括到达的当天)．(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列、数学期望与方差.[i 根据题意，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 14∪A 15，所以P (B )＝P (A 12∪A 15)＝212＝16.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝P (A 13∪A 14)＝212＝16，P (X ＝1)＝P (A 12∪A 15∪A 18∪A 19∪A 20∪A 21)＝612＝12，P (X ＝2)＝P (A 11∪A 16∪A 17)＝312＝14， P (X ＝3)＝P (A 10)＝112，所以X 的分布列为：∴X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×14＋3×112＝54.D (X )＝(0－54)2×16＋(1－54)2×12＋(2－54)2×14＋(3－54)2×112＝1116.10．(2012·湖南理，17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该 顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)[解析] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.。
(完整)离散型随机变量的均值与方差经典例题
离散型随机变量的均值与方差导学案【知识梳理】1。
离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为：(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．（2)D（X)＝（x i－E（X)）2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度,其算术平方根错误!为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE（X)＋b. (2）D（aX＋b）＝a2D（X）(a，b为常数)．（3)D（X）=E（X2)—[E（X）］23.特殊分布的均值与方差【典型例题】【例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝,n ∈N)的函数解析式；（2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝),整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润（单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由．【例2】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品,则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0〈p〈1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．作为p的值．已（2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?【例3】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【例4】有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．【例5】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时,可以额外购买这种零件为备件，每个200元。
离散型随机变量的均值与方差易错点 2019高考绝密资料
离散型随机变量的均值与方差易错点主标题：离散型随机变量的均值与方差易错点副标题：从考点分析离散型随机变量的均值与方差易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：离散型随机变量，均值，方差，易错点难度：3重要程度：4内容：【易错点】1．离散型随机变量的均值与方差(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.(√)2．均值与方差的性质(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)(4)已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为73.(√)(5)设等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差为1，若随机变量X等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(X)＝30.(√)[剖析]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．2．方差的意义D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度，如(5).【典例】(2015·石家庄调研)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[错解](1)由条件和概率的加法有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋2D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由(1)知，在降水量X至少是300 mm条件下，工期不超过6天的概率为P＝P(Y＝2)＋P(Y＝6)＝0.4＋0.2＝0.6.[错因]第(2)问中，在降水量X至少是300 mm的条件下，这一条件说明是在延误工期的条件下，求工期延误不超过6天的概率，错解中没有在这条件下求概率．[正解](1)同上述解法．(2)由概率加法，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝P(300≤X<900)P(X≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7.[注意](1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式，本题是条件概率，应利用条件概率公式计算．(2)解决均值和方差问题时，认真计算，正确利用均值和方差公式，避免失误．导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
第十一篇 第7讲 离散型随机变量的均值与方差
第7讲 离散型随机变量的均值与方差A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·西安模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A.65B.65C. 2D ．2解析 由题意，知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)25＝2.答案 D2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )．A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 B3．若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为则E (ξ)的最大值为( )．A ．1B.32C.23D ．2解析 由p ≥0，12－p ≥0，则0≤p ≤12，E (ξ)＝p ＋1≤32.答案 B4．(2013·广州一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( )．A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.① 又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 0.4 6.(2013·温州调研)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.答案 512 14三、解答题(共25分)7．(12分)若随机事件A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在一次试验中发生的次数．(1)求方差D (X )的最大值；(2)求2D (X )－1E (X )的最大值．解 随机变量X 的所有可能的取值是0.1， 并且有P (X ＝1)＝p ，P (X ＝0)＝1－p . 从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2. (1)D (X )＝p －p 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋14. ∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (X )取最大值，最大值是14. (2)2D (X )－1E (X )＝2(p －p 2)－1p ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p ＋1p .∵0<p <1，∴2p ＋1p ≥2 2. 当2p ＝1p ，即p ＝22时取“＝”．因此当p ＝22时，2D (X )－1E (X )取最大值2－2 2.8．(13分)(2013·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为( )．A.323 B.283 C.143 D.163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1. 又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D. 答案 D2．(2012·上海)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)、D (ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，则( )．A ．D (ξ1)>D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 解析 利用期望与方差公式直接计算．E (ξ1)＝0.2x 1＋0.2x 2＋0.2x 3＋0.2x 4＋0.2x 5 ＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)． E (ξ2)＝0.2×x 1＋x 22＋0.2×x 2＋x 32＋…＋0.2×x 5＋x 12＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)． ∴E (ξ1)＝E (ξ2)，记作x ，∴D (ξ1)＝0.2[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]＝0.2[x 21＋x 22＋…＋x 25＋5x 2－2(x 1＋x 2＋…＋x 5)x ] ＝0.2(x 21＋x 22＋…＋x 25－5x 2)．同理D (ξ2)＝0.2⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－5 x 2. ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122<x 25＋x 212， ∴⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122<x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25.∴D (ξ1)>D (ξ2)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分) 3．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是________．解析根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得：a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59.答案 594．(2013·滨州一模)设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析 当l 的斜率k 为±22时，直线l 的方程为±22x －y ＋1＝0，此时坐标原点到l 的距离d ＝13；当k 为±3时，d ＝12；当k 为±52时，d ＝23；当k 为0时，d ＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：所以E (ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47. 答案 47三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a (0<a <1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. (1)求ξ的分布列及数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3)中，若P (ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围． 解 (1)P (ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1－a )2＝12(1－a )2，P (ξ＝1)＝12(1－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a (1－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1－a )a ＝12(1－a 2)，P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 2＋12(1－a )a ＋12a (1－a )＝12(2a －a 2)，P (ξ＝3)＝a 22. 所以ξ的分布列为ξE (ξ)＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a )2＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12. (2)P (ξ＝1)－P (ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )， P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2， P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a )≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0及0<a <1，得0<a ≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.6．(13分)(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．解(1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝126200＝0.63，P(ξ＝2)＝50200＝0.25，P(ξ＝1)＝20200＝0.1，P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. 探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可.。
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离散型随机变量的均值练习题
•选择题:
2•某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了
1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补
种2粒，补种的种子数记为 X ,则X 的数学期望为
( )
A . 100
B . 200
C. 300
D . 400
3.
已知 Y =
5X + 1, E(Y)= 6,贝U E(X)的值为
( )
A . 6
B . 5
C. 1
D . 7
4 .今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为和，设发现目标的雷达
台数为X ,则E(X)=
(
)
A .
B.
C.
D .
5 .设随机变量 X 的分布列如下表，且
E(X)=，则a — b =
(
)
.填空题:
6.设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期
望为 _________ . 7 .随机变量X 的分布列为
贝U E(3X + 4)= ________ 2 3
3，乙解出的概率为3两人独立解题.记X 为解出该题
的人数，则E(X)= ________________
9 .袋中装有6个红球，4个白球，从中任取 1个球，记下颜色后再放回，连续摸取
4次,
设X 是取得红球的次数，则 曰X) = _________ .
10.
某学校要从 5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量
X
已知E 的分布列为
B •- 1
E 的均值为 A . 0
&对某个数学题，甲解出的概率为
表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(X)= _________ (结果用最简分数表示). 11. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数
0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_____________ .
12 .若随机变量X〜B(n,,且E(X)= 3,贝U P(X= 1)的值是___________ .
三•解答题：
13.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下:
(1)求P(X= 3)及P(X= 5)的值；
⑵求E(X) ⑶若n= 2X- E(X),求曰n)
14.某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张
1
奖券的中奖概率为才，若中奖，商场返回顾客现金100元•某顾客现购买价格为 2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张.
(1)设该顾客中奖的奖券张数为X,求X的分布列；
⑵设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y,并求Y的数学期望.
D( 32)，则自动包装机
的质量较好.
离散型随机变量的方差练习题
•选择题:
2 •已知 X 〜B(n , p), E(X)= 2, D(X)=，贝U n , p 的值分别为
( )
A . 100,
B . 20,
C . 10,
D . 10,
—
1 , A 发生，
3 .设一随机试验的结果只有 A 和A,且P(A) = m ,令随机变量E =
则E 的方
0, A 不发生，
差 D( 3
等 于
( ) A . m
B. 2m(1 — m) C . m(m — 1)
D. m(1 — m)
2 k 1 n — k
4. (2012东莞高二检测)设随机变量3的分布列为P(3= k)= C S 3 3
, k = 0, 1 , 2,…,
n ,且曰3= 24,则D(3的值为 A . 8
B . 12
D. 16 2
一
4
5 .甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为 3,乙命中目标的概率为 5,设 命中目标
的人数为X ,则D(X)等于
( )
二.填空题：
6 .下列说法正确的是 _________ 填序号.
①离散型随机变量 X 的期望E(X)反映了 X 取值的概率的平均值；②离散型随机变量 X 的 方差V(X)反映了 X 取值的平均水平；③离散型随机变量 X 的期望EX)反映了 X 取值的平 均水平；④离散型随机变量 X 的方差V(X)反映了 X 取值的概率的平均值 7 .有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量
3 , 3 2,已知E( 3)= E( 3), D(3) >
值
的
D(3
已知 E 的分布列为:
&若随机变量E的分布列如下:
且E(3=，则D(3= _________ .
9 .一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确,
每选一个正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为_____________ ；方差为________ . 三•解答题：
10.设E是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：
试求日3、D(3.。