2019年中考数学试题分类汇编28:圆的基本性质

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2019中考数学考试知识点分析:圆

2019中考数学考试知识点分析:圆

2019中考数学考试知识点分析:圆圆的初步理解一、圆及圆的相关量的定义(28个)1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心,定长称为半径。

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个的公共点叫做切点。

6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

二、相关圆的字母表示方法(7个)圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、相关圆的基本性质与定理(27个)1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离):P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是直角。

圆的基本性质练习(含答案)

圆的基本性质练习(含答案)

圆的基本性质练习(含答案)圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形,又是 _________ ②____ 对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。

它的对称中心是_ ④ _____________________ 。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示:轴对称图形的对称轴是一条直线,因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理:垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。

常用推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于__________ ⑦ _______ ,并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。

温馨提示:垂径定理是中考中的重点考查内容,每年基本上都以选择或填空的形式出现,一般分值都在3分左右,这个题目难度不大,只要在平时的练习中,多注意总结它所用的数学方法或数学思想等,以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下:(1)垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法,其关键是构造直角三角形;(2)常用的辅助线:连接半径;过顶点作垂线;(3)另外要注意答案不唯一的情况,若点的位置不确定,则要考虑优弧、劣弧的区别;(4)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④ 平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧;考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ,所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有:(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角—a ______________ ,所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ,所对的弧 __________ 14方法点拨:为了便于理解和记忆,圆心角、弧、弦之间的关系定理,可以归纳为:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应地其余各组量也都相等。

中考数学复习之圆的基本性质,考点过关与基础练习题

中考数学复习之圆的基本性质,考点过关与基础练习题

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆,圆心为O ,半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧:圆上任意_____的部分叫做弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧; ①弦:连接圆上任意两点的____叫做弦,经过_____的弦叫做直径. ①等圆:能够_____的两个圆叫做等圆;①等弧:在_____或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性:①圆是中心对称图形,其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形,其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理:垂直于弦的直径______这条弦,并且平分这条弦所对的______; ①推论:平分弦(非直径)的直径______于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示,圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点,若D AB=150°,A=65°,D=60°,则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图,线段AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点H ,点M 是弧CBD 上任意一点,AH =2,CH =4.(1)求⊙O 的半径r 的长度; (2)求sin ∠CMD ;(3)直线BM 交直线CD 于点E ,直线MH 交⊙O 于点N ,连接BN 交CE 于点F ,求HE •HF 的值.➢ 真题演练1.如图,AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,连接AO 并延长,交⊙O 于点E ,连接BE ,DE .若DE =3DO ,AB =4√5,则△ODE 的面积为( )A .4B .3√2C .2√5D .2√62.如图,⊙O 的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点,则线段OM 的长的最小值为( )A .3B .4C .6D .83.在正方形网格中,以格点O 为圆心画圆,使该圆经过格点A ,B ,并在点A ,B 的右侧圆弧上取一点C ,连接AC ,BC ,则sin C 的值为( )A .√32B .12C .1D .√224.如图,半径为5的⊙A 与y 轴交于点B (0,2)、C (0,10),则点A 的横坐标为( )A .﹣3B .3C .4D .65.如图,在⊙O 中,直径AB =10,CD ⊥AB 于点E ,CD =8.点F 是弧BC 上动点,且与点B 、C 不重合,P 是直径AB 上的动点,设m =PC +PF ,则m 的取值范围是( )A .8<m ≤4√5B .4√5<m ≤10C .8<m ≤10D .6<m <106.在⊙O 中内接四边形ABCD ,其中A ,C 为定点,AC =8,B 在⊙O 上运动,BD ⊥AC ,过O 作AD 的垂线,垂足为E ,若⊙O 的直径为10,则OE 的最大值接近于( )A .52B .5√23C .4D .57.如图,点A ,B ,C 都在⊙O 上,B 是AC ̂的中点,∠OBC =50°,则∠AOB 等于 °.8.如图,将半径为rcm 的⊙O 折叠,弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ,已知弦AB 的长为4√15cm ,则r = cm .9.如图,AB是⊙O的直径,∠BOD=120°,C为弧BD的中点,AC交OD于点E,DE =1,则AE的长为.10.如图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为优弧ABÊ的中点,CD⊥AB,垂足为D.若AE=8,DB=2,则⊙O的半径为.11.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连接AD.(1)求证:AD=AN;(2)若AB=8,ON=1,求⊙O的半径.➢课后练习1.如图,在⊙O中,直径CD垂直弦AB于点E,且OE=DE.点P为BĈ上一点(点P不与点B,C重合),连接AP,BP,CP,AC,BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论:①△ABC是等边三角形;②在点P从B→C的运动过程中,CFAP−BP的值始终等于√32.则下列说法正确的是()A.①,②都对B.①对,②错C.①错,②对D.①,②都错2.如图,在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ,AB =8,CD =8,垂足为E .则tan ∠OEA 的值是( )A .1B .√63C .√156D .2√1593.如图,四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ,AB =BC =BE ,AB ⊥BE ,则AD 的长为( )A .5B .5√2C .5√3D .104.如图,点A ,B ,C 在⊙O 上,∠AOC =90°,AB =√2,BC =1,则⊙O 的半径为( )A .√3B .√52C .√102D .√2+125.下列说法正确的是( )A .同弧或等弧所对的圆心角相等B .所对圆心角相等的弧是等弧C .弧长相等的弧一定是等弧D .平分弦的直径必垂直于弦6.如图,A ,B 为圆O 上的点,且D 为弧AB 的中点,∠ACB =120°,DE ⊥BC 于E ,若AC =√3DE ,则BE CE的值为( )A .3B .2C .√33+1D .√3+17.如图所示,在⊙O 中,BC 是弦,AD 过圆心O ,AD ⊥BC ,E 是⊙O 上一点,F 是AE 延长线上一点,EF =AE .若AD =9,BC =6,设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ,则mn =( )A .100B .90C .80D .708.如图,A ,B 是⊙O 上的点,∠AOB =120°,C 是AB̂的中点,若⊙O 的半径为5,则四边形ACBO 的面积为( )A .25B .25√3C .25√34D .25√329.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是半圆上的一个三等分点,点D 是AĈ的中点,点P 是直径AB 上一点,若⊙O 的半径为2,则PC +PD 的最小值是 .10.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为260cm ,下雨前水面宽为100cm ,一场大雨过后,水面宽为240cm ,则水位上升 cm .11.如图,在⊙O 中,点C 在弦AB 上,连接OB ,OC .若OB =5,AC =1,BC =5,则线段OC 的长为 .12.如图,以G(0,3)为圆心,半径为6的圆与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D 两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,点E在⊙G的运动过程中,线段FG的长度的最大值为.13.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB =8,OC=3,则EC的长为.14.如图,射线PE平分∠CPD,O为射线PE上一点,以O为圆心作⊙O,与PD边交于点A、点B,连接OA,且OA∥PC.(1)求证:AP=AO.(2)若⊙O的半径为10,tan∠OPB=12,求弦AB的长.15.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,OF⊥CD,垂足为F.设已知BE=5,AE=12OE,OF=1,求CD的长.➢冲击A+在Rt①ABC中,①BAC=90°,(1)如图1,D、E分别在BC、BA的延长线上,①ADE=2①CAD,求证:DA=DE;(2)如图2,在(1)的条件下,点F在BD上,①AFB=①EFD,求证:①FAD=①FED(3)如图3,若AB=AC,过点C作CN||AB,连接AN,在AN上取一点G,使GA=AC,连接BG交AC于点H,连接CG,试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式,并给出证明;。

中考数学题型热点汇析:圆

中考数学题型热点汇析:圆

2019中考数学题型热点汇析:圆本专题包括圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、正多边形和圆四方面内容,它们是初中数学中最核心的内容之一.2019年各省、市的考题中反映出的考点主要有:1.准确理解与圆有关的概念及性质,能正确辨别一类与圆有关的概念型试题.2.既会从距离与半径的数量关系确定点与圆、直线与圆、•圆与圆的位置关系,又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系探索相应半径与距离的数量关系.3.利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系,解证与角、•线段相关的几何问题.4.会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、•割线定理证明一类与圆相关的几何问题.5.会利用圆内接正多边形的性质,圆的周长、扇形的弧长、圆、扇形、•弓形的面积公式,解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题,并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积.6.会准确表述有关点的轨迹问题,会用分析法证明一类简单的几何问题.7.会用T形尺找出圆形工件的圆心,会选用作垂直平分线的方法寻找在实际背景中的圆心问题,会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形,并会以圆弧和圆的基本元素设计各种优美图案.8.充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、•动态型问题、探索型问题,并会探索平面图形的镶嵌问题,且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计.9.综合运用圆、方程、函数、三角、•相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题.观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。

我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。

备战2019年中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第29讲圆的基本性质(讲练版)

备战2019年中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第29讲圆的基本性质(讲练版)
(1)求证:△ABC 为等边三角形; (2)求 DE 的长.
11. (苏州中考)如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连接 BD 并延 长至点 C,使得 CD=BD.连接 AC 交圆 O 于点 F,连接 AE,DE,DF. (1)求证:∠E=∠C; (2)若∠E=55°,求∠BDF 的度数.
解:(1)证明:连接 AD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC. ∵CD=BD,∴AD 垂直平分 BC.∴AB=AC.∴∠B=∠C. 又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C. (2)∵四边形 AEDF 是⊙O 的内接四边形, ∴∠AFD=180°-∠E. 又∵∠CFD=180°-∠AFD, ∴∠CFD=∠E=55°. ∵∠E=∠C=55°, ∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°.
考点 5: 关于圆的基本性质的综合探究 【典例】(2018 包头)(10.00 分)如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,以点 A 为圆心,AC 长为半径的圆交 AB 于点 D,BA 的延长线交⊙A 于点 E,连接 CE,CD,F 是⊙A 上一点,点 F 与点 C 位于 BE 两侧,且∠FAB=∠ABC,连接 BF. (1)求证:∠BCD=∠BEC; (2)若 BC=2,BD=1,求 CE 的长及 sin∠ABF 的值.
(1)图 2 中,弓臂两端 B1,C1 的距离为
cm.
(2)如图 3,将弓箭继续拉到点 D2,使弓臂 B2AC2 为半圆,则 D1D2 的长为
cm.
第 29 讲 圆的基本性质(解析版)
【考题导向】
中考题型以选择题、填空题为主:
1.利用垂径定理及其推论来证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系,或者
利用圆的半径、弦长、圆心角、弦心距和弓形高与这几者之间的关系来设计计

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题30圆的有关性质(含解析)

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题30圆的有关性质(含解析)

圆的有关性质.选择题1. (2019?江苏无锡?3分)如图,PA是O O的切线,切点为A, PO的延长线交O O于点B,若/ P= 40°则/ B的度数为(A. 20 ° B . 25 °C. 40 °D. 50 °【分析】连接0A,如图,根据切线的性质得 / PAO = 90°,再利用互余计算出 / AOP = 50°, 然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算/B的度数.【解答】解:连接OA,如图,•/ PA是O O的切线,••• 0A丄AP,:丄 FAO= 90°•••/ F= 40°•••/ AOF= 50°•/ OA= OB,•••/ B= / OAB,•••/ AOF= / B+ / OAB ,•••/ B= 1 / AOP = 1烦。

=25°2 2故选:B.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径•若出现圆的切线, 必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.2. (2019?浙江杭州?3分)如图,P为圆O外一点,PA, PB分别切圆O于A, B两点,若FA= 3,贝U PB =( )A . 2B . 3 C. 4 D. 5【分析】连接OA、OB、OF,根据切线的性质得出OA丄FA , OB丄PB,然后证得Rt△ AOP B Rt△ BOP,即可求得PB= PA= 3.【解答】解:连接OA、OB、OP ,••• PA, PB分别切圆O于A, B两点,••• OA丄PA, OB 丄PB,在Rt △ AOP 和Rt △ BOP 中,二OB〔OPRP’• Rt △ AOP 也Rt △ BOP (HL ),PB= PA= 3,故选:B.【点评】本题考查了切线长定理,三角形全等的判定和性质,作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.3. (2019?浙江湖州?4分)已知一条弧所对的圆周角的度数是15 °则它所对的圆心角的度数是30°.【分析】直接根据圆周角定理求解.【解答】解::•一条弧所对的圆周角的度数是15°•它所对的圆心角的度数为2X15°= 30°故答案为30°【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半..填空题1. (2019?铜仁凶分)如图,四边形ABCD为O O的内接四边形,/ A= 100 °则/ DCE的【解答】解:•/四边形ABCD为O O的内接四边形,•••/ DCE = / A= 100°故答案为:100°2. (201 9?江苏宿迁?3分)直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为2 .【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长,然后利用直角三角形的内切圆的半径为'2(其中a、b为直角边,c为斜边)求解.【解答】解:直角三角形的斜边={八」「13,所以它的内切圆半径== 2.2故答案为2.【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角;直角三角形的内切圆的半径为_,'2(其中a、b为直角边,c为斜边).3. (2 019江苏盐城3分)如图,点A、B、C、D、E在O O上,且弧AB为50 °则/ E +Z C = _________【答案】155【解析】如图,因为弧AB为50°则弧AB所对的圆周角为25° Z E+ Z C=180° -25 °=155° .4. (2019?广西北部湾经济区?3分)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉•在《九章算术》中记载有一问题今有圆材埋在壁中,不知大小•以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为______________ 寸. 【答案】26【解析】解:设O O的半径为r.在Rt A ADO 中,AD=5 , OD = r-1, OA=r, 则有r2=52+ (r-1) 2,解得r=13,•••O O的直径为26寸,故答案为:26.设O O 的半径为r .在Rt A ADO 中,AD=5 , OD=r-1, OA=r,则有r2=52+ (r-1) 2,解方程即可.本题考查垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.5. (2019?广西贺州?10分)如图,BD是O O的直径,弦BC与OA相交于点E, AF与O O相切于点A,交DB的延长线于点F, / F = 30° / BAC= 120° BC = &(1)求/ ADB的度数;AF丄OA,由圆周角定理好已知条件得出/ F = Z DBC , 证出AF // BC,得出OA丄BC,求出Z BOA = 90°- 30°= 60°由圆周角定理即可得出结果;(2)由垂径定理得出BE = CE = —BC = 4,得出AB = AC,证明△ AOB是等边三角形,2得出AB = OB ,由直角三角形的性质得出OE = —OB , BE= 「OE= 4,求出OE =丄」,2 3即可得出AC= AB = OB= 2OE = ….3【解答】解:(1) ••• AF与O O相切于点A,• AF 丄OA,•/ BD是O O的直径,•••/ BAD = 90°•••/ BAC= 120°,•••/ DAC = 30°•••/ DBC = / DAC = 30°•••/ F = 30°•••/ F = / DBC ,• AF // BC,• OA丄BC,•••/ BOA= 90° - 30°= 60°•••/ ADB = --Z AOB = 30°2(2)•/ OA丄BC,• BE= CE =丄BC = 4,2• AB= AC,•••/ AOB= 60° OA = OB,•△ AOB是等边三角形,• AB= OB,•••/ OBE= 30°• OE= 1OB, BE = 7OE = 4,2• OE「",3• AC= AB= OB = 2OE =:3【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识;熟练掌握切线的性质和圆周角定理,证出OA丄BC是解题的关键.6. (2019?广东省广州市?12分)如图,O O的直径AB = 10,弦AC = 8,连接BC .(1 )尺规作图:作弦CD,使CD = BC (点D不与B重合),连接AD ;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.CB 为半径画弧,交 O O 于D ,线段CD 即为所求.(2)连接BD , OC 交于点E ,设0E = x ,构建方程求出x 即可解决问题.【解答】解:(1)如图,线段 CD 即为所求.(2)连接BD , 0C 交于点E ,设0E = x.•/ AB 是直径,•••/ ACB = 90°••• BC =「_6,•/ BC = CD , • :,= H, • 0C 丄 BD 于 E .• BE = DE ,2 2 2 2 2••• BE 2= BC 2- EC 2= OB 2-OE 2,^2 2 「2 2• 6 -( 5 - x )= 5 - x ,7 解得x =, 5•/ BE = DE , BO = OA ,14• AD = 2OE = ,5 14124 •四边形ABCD 的周长=6+6+10+ '. 55 【点评】本题考查作图-复杂作图,圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是c【分析】(1 )以C 为圆心,学会利用参数,构建方程解决问题.7. ( 2019?贵州省安顺市?12分)如图,在厶ABC中,AB = AC,以AB为直径的O O与边BC,AC分别交于D, E两点,过点D作DH丄AC于点H .(1)判断DH与O O的位置关系,并说明理由;(2)求证:H为CE的中点;【解答】(1)解:DH与O O相切.理由如下:连结OD、AD,如图,•/ AB为直径,•••/ ADB = 90° 即AD 丄BC ,•/ AB= AC,• BD = CD ,而AO = BO,• OD ABC的中位线,• OD // AC,•/ DH 丄AC,• OD 丄DH ,• DH为O O的切线;(2)证明:连结DE,如图,•••四边形ABDE为O O的内接四边形,• / DEC = / B,•/ AB= AC,• / B= / C,• / DEC = / C,•/ DH 丄CE ,••• CH = EH ,即H 为CE 的中点;(3)解:在 Rt A ADC 中,CD = _BC = 5,2•/ COSC = =^-L ,AC 5• - AC = 5 ~,• CE = 2CH = 2 匸,• - AE = AC — CE = 5■甘 3 — 2”;..:门j = 3 7.8. 如图,△ ABC 是O O 的内接三角形,AB 为O O 直径,AB = 6, AD 平分/ BAC ,交BC 于 点E ,交O O 于点D ,连接BD .【分析】(1)根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论;(2)连接OD ,根据平角定义得到/ AEC = 55°,根据圆周角定理得到/ ACE = 90°,求得/ CAE = 35°,得到/ BOD = 2/ BAD = 70°,根据弧长公式即可得到结论.【解答】(1)证明:T AD 平分/ BAC ,•••/ CAD = Z CBD ,在 Rt A CDH 中,• CH =.,:cosC 「=I (1 )求证:/ BAD = Z CBD ;•••/ BAD = Z CBD ;(2 )解:连接OD ,•••/ AEB = 125° ,•••/ AEC= 55 ° ,••• AB为O O直径,•••/ ACE= 90 ° ,•••/ CAE= 35 ° ,•••/ DAB = Z CAE = 35°,•••/ BOD = 2/BAD = 70°,7=—n.69. (2019?广东省广州市?3分)平面内,O O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O O的切线条数为()A. 0条 B . 1条C. 2条 D .无数条【分析】先确定点与圆的位置关系,再根据切线的定义即可直接得出答案.【解答】解:vO O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,• d > r,•••点P与O O的位置关系是:P在O O夕卜,•/过圆外一点可以作圆的2条切线,故选:C.【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系,切线的定义,切线就是与圆有且只有1个公共点的直线,理解定义是关键.三•解答题1. (2019?江苏宿迁?10 分)在Rt A ABC 中,/ C = 90 °(1)如图①,点0在斜边AB上,以点0为圆心,0B长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F .求证:/ 1=7 2;(2)在图②中作O M,使它满足以下条件:①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)【分析】(1)连接OF ,可证得OF // BC,结合平行线的性质和圆的特性可求得7 1=7 OFB =7 2,可得出结论;(2)由(1)可知切点是7 ABC的角平分线和AC的交点,圆心在BF的垂直平分线上,由此即可作出O M .【解答】解:(1)证明:如图①,连接OF ,••• OE丄AC,•••7 C= 90°• OE / BC,•7 1= 7 OFB ,•/ OF = OB,•7 OFB = 7 2,•7 1= 7 2.(2)如图②所示O M为所求.①②作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆,即O M为所求.证明:•/ M在BF的垂直平分线上,••• MF = MB ,•••/ MBF = / MFB ,又••• BF 平分/ ABC,•••/ MBF = / CBF ,•••/ CBF = / MFB ,• MF // BC,•••/ C= 90°• FM 丄AC,•O M与边AC相切.【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用.掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键,2. (2019?贵阳?10分)如图,已知AB是O O的直径,点P是O O上一点,连接OP,点A 关于OP的对称点C恰好落在O O 上.(1)求证:OP // BC;(2)过点C作O O的切线CD,交AP的延长线于点 D .如果/ D= 90° DP = 1,求O O的直径.二/AOC ,再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出/ ABC = 2_/AOC ,利用同位角2 2相等两直线平行,可得出 PO 与BC 平行;(2)由CD 为圆O 的切线,利用切线的性质得到 OC 垂直于CD ,又AD 垂直于CD ,利 用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC 与AD 平行,根据两直线平行内错角相等得到/ APO = Z COP ,由/AOP = Z COP ,等量代换可得出 / APO = Z AOP ,再由OA =OP ,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出三角形 AOP 三内角相等,确定出三角形 AOP 为等边三角形,根据等边三角形的内角为 60°得到Z AOP 为60°,由OP 平行于BC ,利用两直线平行同位角相等可得出Z OBC =Z AOP = 60。

连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质

连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质

基础知识知识点一、圆的有关概念1. 圆的定义①(动态定义)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆记做“⊙O”.②(静态定义)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.即:圆上各点到圆心的距离都等于定长(半径),反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上;2.等圆:能够完全重合的圆叫等圆.同圆或等圆的半径相等.3.确定圆的条件确定一个圆有两个基本条件①圆心(定点)——用来确定圆的位置;②半径(定长)——用来确定圆的大小.经过不在同一直线上的三点确定一个圆.知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念1. 弦与直径:①弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,记做:弦AB,弦CD等.②直径:经过圆心的弦叫做直径,直径等于半径的2倍.直径是圆中最长的弦.2. 弧与半圆①弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示,如以A、B为端点的弧记做AB,②半圆:圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,其中的每条弧都叫做半圆.③劣弧、优弧:小于半圆的弧叫做劣弧,用弧上的两点表示;大于半圆的弧叫做优弧,用弧上三点表示.④等弧:能够完全重合的弧叫等弧.知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系1. 圆的旋转不变性把圆绕着圆心旋转任意一个角度,都与原来的图形重合,我们把这种性质称为圆的旋转不变性.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点四、垂径定理1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.如图,用符号语言叙述为:∵ CD为⊙O的直径,CD⊥AB于点E∴ AE=EB,AC BC,AD DB3. 垂径定理基本图形的性质:(1)有4对全等的直角三角形:Rt△CAD与Rt△CBD;Rt△CAM与Rt△CBM;Rt△OAM与Rt△OBM;Rt△MAD与Rt△MBD;特别在Rt△CAD与Rt△CBD中,直径CD是它们公共的斜边,AM、BM是CD上的高.(2)有3个等腰三角形;△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边,直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线.(3)有3对弧相等:AC BC,AD BD,CAD CBD.(4)添加辅助线的方法:连接半径或作垂直于弦的直径,是两种重要的添线方法.知识点五.圆周角定理1. 定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角.2. 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等,3. 圆周角定理的推论①半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.②圆内接四边形的对角互补.典型例题解析例1.(菏泽)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则BD弧的度数为_____.例2. (山西)如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为( )A.30° B.40° C.50° D.80°例3. (绍兴)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图,⊙O与矩形ABCD边BC,AD分别相切和相交(E,F是交点).已知EF=CD=8,则⊙O的半径为___________.例4. (黑龙江)直径为10cm的⊙O中,弦AB=5cm,则弦AB所对的圆周角是.例5. (济南) 如图,⊙O的半径为1,△ABC是⊙O的内接等边三角形,点D、E在圆上,四边形BCDE为矩形,这个矩形的面积是()A. 2. 3 C. 32D.3例6. (安徽)如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与⊙O的交点.若OE=4,OF=6,求⊙O的半径和CD的长.例7. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与A,C重合),延长BD至E.(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,且△ABC底边BC边上高为1,求△ABC外接圆的周长.巩固练习1. (湖州)如图,已知AB是△ABC外接圆的直径,∠A=35°,则∠B的度数是()A. 35 °B.45°C. 55°D.65°2. 如图所示,在⊙O中,,那么()A.AB>2CD B.AB<2CD C.AB=2CD D.无法比较3. (嘉兴)如图,○O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8则AB的长为()(A)2 (B)4 (C)6 (D)84. (钦州)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,连接AO1并延长交⊙O1于点C,则∠ACO2的度数为()A.60° B.45° C.30° D.20°5. (南通)如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_______度.6. (广元)若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°,则弦AB所对的圆周角的度数为 .7 . (龙岩) 如图,A、B、C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC= 。

2019年中考数学圆

2019年中考数学圆

2019年中考数学圆·初中数学圆知识点“圆”作为初中几何知识点中的一部分,几乎年年都会出现在中考数学试卷中,但得分率却依然很低,原因很简单,就是因为这部分的知识点复杂且难。

圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

圆的垂径定理解读由上图可见,圆的部分要掌握知识点实在是多且杂,为了帮助同学们在解答与圆相关的试题时能够游刃有余,小编搜集了圆的知识运用中关键的定理—垂径定理,这条定理于圆的运用来说,使用频率不亚于多边形中的勾股定理。

1、垂径定理定义:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

2、推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:学霸必备—圆的常用知识点解读圆的概念有很多,其中圆的有关性质和计算是必须掌握的,这时你必须要弄懂弦弧圆心角三者之间的转化和关系,为以后的计算打下坚实的基础,这是除开垂径定理之外另一重要的知识点。

点与圆的关系相对比较简单,用两点间的距离和圆的半径比较就知道属于三种关系中的哪种。

如下:关于圆的知识点总结关于圆的知识点总结:1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2019年中考数学试题分类汇编28:圆的基本性质[1]

2019年中考数学试题分类汇编28:圆的基本性质[1]

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一、选择题1. (2019山东滨州,6,3分)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )A.60°B.50°C.40°D.20°【答案】B【解析】如图,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.【知识点】圆周角定理及其推论2。

(2019山东聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为A。

35° B.38°C。

40°D。

42°第8题图【答案】C【解析】∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C.【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理3。

(2019山东省潍坊市,11,3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,AD=CD.过点D作DE⊥AB于点E.连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35,DF=5,则BC的长为( )A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【思路分析】连接BD,先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE,从而可得AF=DF=5,根据sin∠CAB=3 5 ,求得EF和AE的长度,再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB,根据sin∠CAB=35求得BC的长度.【解题过程】连接BD.∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD.∵AB为直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.∴∠DAB+∠ABD=90°.∵DE⊥AB,∴∠DAB+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠ABD.∵∠ABD=∠ACD,∴∠DAC=∠ADE.∴AF=DF=5.在Rt△AEF中,sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3,AE=4.∴DE=3+5=8.由DE2=AE▪EB,得228164DEBEAE===.∴AB=16+4=20.在R t△ABC中,sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12.【知识点】圆周角,锐角三角比4。

中考总复习:圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)

中考总复习:圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)

中考总复习:圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解(基础)责编:常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点,但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势,不会有太复杂的大题出现;2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系,对应用、创新、开放探究型题目,会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题,进一步体现数学来源于生活,又应用于生活.【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1.圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆;弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧;三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角.要点诠释:等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;圆具有旋转不变性.3.圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点诠释:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.4.垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.要点诠释:在图中(1)直径CD ,(2)CD ⊥AB ,(3)AM =MB ,(4)C C A B =,(5)AD BD =.若上述5个条件有2个成立,则另外3个也成立.因此,垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三. 注意:(1)(3)作条件时,应限制AB 不能为直径.5.圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等. 6.圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论1 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释:圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.考点二、与圆有关的位置关系 1.点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ,点P 到圆心的距离OP =d ,则有:点P 在圆外⇔d >r ; 点P 在圆上⇔d =r ; 点P 在圆内⇔d <r . 要点诠释:圆的确定:①过一点的圆有无数个,如图所示.②过两点A 、B 的圆有无数个,如图所示.③经过在同一直线上的三点不能作圆.④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.2.直线和圆的位置关系(1)切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(会过圆上一点画圆的切线)(2)切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.(3)切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释:直线l是⊙O的切线,必须符合两个条件:①直线l经过⊙O上的一点A;②OA⊥l.3.圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义.(2)请看下表:要点诠释:①相切包括内切和外切,相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点. ②同心圆是内含的特殊情况.③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解. ④“R-r ”时,要特别注意,R >r .【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂:圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1.已知:如图所示,在⊙O 中,弦AB 的中点为C ,过点C 的半径为OD .(1)若AB =OC =1,求CD 的长; (2)若半径OD =R ,∠AOB =120°,求CD 的长.【思路点拨】如图所示,一般的,若∠AOB =2n °,OD ⊥AB 于C ,OA =R ,OC =h ,则AB =2R ·sin n °=2n ·tan n °=CD =R -h ;AD 的长180n Rπ=. 【答案与解析】解:∵半径OD 经过弦AB 的中点C , ∴半径OD ⊥AB .(1)∵AB=AC=BC∵OC=1,由勾股定理得OA=2.∴CD=OD-OC=OA-OC=1,即CD=1.(2)∵OD⊥AB,OA=OB,∴∠AOD=∠BOD.∴∠AOB=120°,∴∠AOC=60°.∵OC=OA·cos∠AOC=OA·cos60°=12 R,∴1122CD OD OC R R R =-=-=.【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形,其中一个锐角为弦所对圆心角的一半,可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题.举一反三:【变式】在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点(如图所示),此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解:过M、N、B三点作圆,显然A点在圆外,设MA交圆于C,则∠MAN<∠MCN.而∠MCN=∠MBN,∴∠MAN<∠MBN.因此在B点射门较好.即甲应迅速将球回传给乙,让乙射门.2.(2015•大庆模拟)已知AB是⊙O的直径,C是圆周上的动点,P是弧AC的中点.(1)如图1,求证:OP∥BC;(2)如图2,PC交AB于D,当△ODC是等腰三角形时,求∠A的度数.【思路点拨】(1)连结AC,延长PO交AC于H,如图1,由P是弧AC的中点,根据垂径定理得PH⊥AC,再根据圆周角定理,由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°,然后根据OP∥BC;(2)如图2,根据圆心角、弧、弦的关系,以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】(1)证明:连结AC,延长PO交AC于H,如图1,∵P是弧AB的中点,∴PH⊥AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC;(2)解:如图2,∵P是弧AC的中点,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠PAO=∠PCO,当DO=DC,设∠DCO=x,则∠DOC=x,∠PAO=x,∴∠OPC=∠OCP=x,∠PDO=2x,∵∠OPA=∠PAO=x,∴∠POD=2x,在△POD中,x+2x+2x=180°,解得x=36°,即∠PAO=36°,当CO=CD,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD=2x,∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x,在△POC中,x+x+5x=180°,解得x=()°,即∠PAO=()°.综上所述,∠A的度数为36°或()°.【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理.举一反三:【变式】(2015•温州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.(1)求BE的长;(2)求△ACD外接圆的半径.【答案】解:(1)∵∠ACB=90°,且∠ACB为圆O的圆周角(已知),∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),又AD是△ABC的角平分线(已知),∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),在Rt△ACD和Rt△AED中,,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE(全等三角形的对应边相等);∵△ABC为直角三角形,且AC=5,CB=12,∴根据勾股定理得:AB==13,∴BE=13﹣AC=13﹣5=8;(2)由(1)得到∠AED=90°,则有∠BED=90°,设CD=DE=x,则DB=BC﹣CD=12﹣x,EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8,在Rt△BED中,根据勾股定理得:BD2=BE2+ED2,即(12﹣x)2=x2+82,解得:x=,∴CD=,又AC=5,△ACD为直角三角形,∴根据勾股定理得:AD==,根据AD是△ACD外接圆直径,∴△ACD外接圆的半径为:×=.类型二、圆的切线判定与性质的应用3.如图所示,AB=AC,O是BC的中点,⊙O与AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明,因此只能过点O向AC作垂线段OE,长等于⊙O的半径,则垂足E必在⊙O上,从而AC与⊙O相切.【答案与解析】证明:连接OD,作OE⊥AC,垂足为E,连结OA.∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB.∵AB=AC,OB=OC,∴∠1=∠2,∴OE=OD.∵OD为⊙O半径,∴AC与⊙O相切.【总结升华】如果已知直线经过圆上一点,那么连半径,证垂直;如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出,那么作垂直,证半径.举一反三:【变式】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求△ABC的内切圆的半径.【答案】解:设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F,根据切线长定理可得:AE =AF ,BF =BD ,CD =CE ,而AE+CE =b ,CD+BD =a ,AF+BF =c , 可求2a b cCE +-=. 连接OE 、OD ,易证OE =CE .即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=.4.如图所示,已知:△ABC 内接于⊙O ,点D 在OC 的延长线上,1sin 2B =,∠D =30°. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若AC =6,求AD 的长.【思路点拨】(1)连接OA ,根据圆周角定理求出∠O 的度数,根据三角形的内角和定理求出∠OAD ,根据切线的判定推出即可;(2)得出等边三角形AOC ,求出OA ,根据勾股定理求出AD 的长即可. 【答案与解析】(1)证明:连接OA ,∵1sin 2B =,∴∠B =30°. ∵∠AOC =2∠B ,∴∠AOC =60°. ∵∠D =30°,∴∠OAD =180°-∠D -∠AOD =90°. ∴AD 是⊙O 的切线.(2)解:∵OA =OC ,∠AOC =60°,∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=6.∵∠OAD=90°,∠D=30°,∴AD=【总结升华】证明直线是圆的切线的方法:①有半径,证垂直;②有垂直,证半径.举一反三:【变式】如图所示,半径OA⊥OB,P是OB延长线上一点,PA交⊙O于D,过D作⊙O的切线交PO于C 点,求证:PC=CD.【答案】证明:连接OD.∵CE切⊙O于D,∴OD⊥CE.∴∠2+∠3=90°.∵OA⊥OB,∴∠P+∠A=90°.∵OD=OA,∴∠3=∠A..∴∠P=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠P=∠1.∴PC=CD.类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5.已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC 的平分线交AC于点D,求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC,根据题意,可知OC⊥PC,∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°,可推出∠DPA+∠A=45°,即∠CDP=45°.【答案与解析】解:连接OC,∵OC=OA,,PD平分∠APC,∴∠CPD=∠DPA,∠A=∠ACO,∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°,∴∠DPA+∠A=45°,即∠CDP=45°.【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质,解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形,求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°,即可求出∠CDP=45°.【高清课堂:圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6.如图所示,AB是⊙O的直径,AF是⊙O的弦,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF于点D,交AB的延长线于点C.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若DE=4,sinC=35,求AE的长.【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形.【答案与解析】解:(1)证明:连接OE,BF,交于点G,则BF⊥AF,BF∥CD.∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA.∵∠OAE=∠FAE,∴∠OEA=∠FAE.∴OE∥AF,∵AF⊥DE,∴OE⊥CD.∴CD为⊙O的切线.(2)解:∵ BF∥DE,OE∥AF,∠D=90°,∴四边形DEGF为矩形.∴BF=2GF=2DE=8.∵BF∥CD,∴∠C=∠ABF.可求得OA=OB=5,OG=3.∴DF=EG=2,AF=AB·sinC=6.∴AD=8,AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质,将分散的条件sinC=35,DE=4,集中到一个直角三角形中,使问题最终得到解决;(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练,如改为:若DF=2,sinC=35,求AE的长;(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM=DE=4,sin∠AOM=sinC=35加以解决.。

江西省中考数学一轮复习专题27——圆的基本性质

江西省中考数学一轮复习专题27——圆的基本性质

江西省中考数学一轮复习专题27——圆的基本性质姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题;共20分)1. (2分)(2021·通山模拟) 如图,在直径为的半圆中,为半圆上一点,连接,,利用尺规在,上分别截取,,使;分别以,为圆心、以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点;作射线交于点 .若,,为上一动点,则的最小值为()A . 2B .C . 4D . 无法确定2. (2分) (2020九上·齐河期末) 如图,已知⊙O的半径为4,M是⊙O内一点,且OM=2,则过点M的所有弦中,弦长是整数的共有()A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条3. (2分)如图,AB为⊙O的直径,∠ DCB=30°, ∠ DAC=70°,则∠D的度数为A . 70°B . 50°C . 40°D . 30°4. (2分)(2019·西藏) 如图,在⊙ 中,半径垂直弦于,点在⊙ 上,,则半径等于()A .B .C .D .5. (2分) (2016九下·重庆期中) 在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是()A . 3,5,9B . 1,,2C . 4,6,8D . ,,6. (2分)过点Q(0,4)的一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点P(1,2),则这个一次函数图象的解析式是()A . y=2x+4B . y=-2x+4C . y=2x-4D . y=-2x-47. (2分) (2019八下·北流期末) 若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线长是()A . 6B . 5C . 7D . 不能确定8. (2分)如图,把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:cm),那么光盘的直径是()A . 5cmB . 8cmC . 10cmD . 12cm9. (2分)如图,经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A(2,0)和点B(0,2), C是优弧AB上的任意一点(不与点O,B重合),则tan∠BCO的值为()A .B .C .D .10. (2分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()A . 2B .C .D .二、填空题 (共6题;共6分)11. (1分) A、B是半径为2的⊙O上不同两点,则AB的取值范围是________ .12. (1分) (2020八下·抚顺期末) 如图,正方形的边长为,其面积标记为,以为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为,按照此规律继续下去,则的值为________.13. (1分) (2019九上·武邑月考) 已知⊙O的直径CD为4,的度数为80°,点B是的中点,点P在直径CD上移动,则BP+AP的最小值为________.14. (1分)(2016·毕节) 如图,分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为________15. (1分) (2020九上·无棣期末) 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P 为切点,如果AB=8cm ,小圆直径径为6cm ,那么大圆半径为________cm .16. (1分) (2019九上·山亭期中) 在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,P是AD上的动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD 于点F,则PE+PF=________ .三、解答题 (共9题;共74分)17. (5分)已知:如图所示,AD=BC。

九年级数学中考一轮复习 微专题二讲义:圆的基本性质

九年级数学中考一轮复习 微专题二讲义:圆的基本性质

微专题二:圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的;圆又是对称图形,是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分,并且平分;平分弦(不是直径)的垂直于弦,并且平分.4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量,那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角,都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角.8.圆的周长为,1°的圆心角所对的弧长为,n°的圆心角所对的弧长为,弧长公式为 .9.圆的面积为,1°的圆心角所在的扇形面积为,n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式:S=rlπ.(其中为的半径,为的长);圆锥的全面积:S全=S侧+S底=πrl+πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一.选择题:1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊙AB于点G,点F是CD上一点,且满足CF:FD =3:7,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=3,AF=3,给出下列结论:⊙FG=2;⊙5 tanE;⊙495DEFS=;其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题:1.在半径为1的⊙O中,两条弦AB,AC的长分别为3和2,则弧BC的长度为.三、解答题:1.已知:如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB⊙CD,E为垂足,AE=CD=8,F是CD延长线上一点,连接AF交圆O于G,连接AD、DG.(1)求圆O的半径;(2)求证:⊙ADG⊙⊙AFD;(3)当点G是弧AD的中点时,求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比.重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图,抛物线与x轴交于A、B两点,以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C,与y轴交于D点,设⊙BCD=α,则的值为()A.sin2α B.cos2α C.tan2α D.tan﹣2α2.如图,点C为⊙ABD外接圆上的一点(点C不在上,且不与点B,D重合),且⊙ACB=⊙ABD=45°,若BC=8,CD=4,则AC的长为()A.8.5B.5C.4D.二、填空题1.如图,⊙O是⊙AB C的外接圆,AD⊙B C于D,CE⊙AB于E,AD交CE于H点,交⊙O于N,OM⊙B C于M,BF为⊙O的直径,下列结论:⊙四边形AH CF为平行四边形;⊙AH=2OM,⊙BF=2F C;⊙DN=DH;其中正确的有______(第1题) (第2题)2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A (0,2)、B(0,2+m)、C(0,2-m)(m>0),点P 在以D(4,6)为圆心,1 为半径的圆上运动,且始终满足⊙BPC=90°,则m的最大值是3.如图,AB,BC是⊙O的弦,⊙B=60°,点O在⊙B内,点D为上的动点,点M,N,P 分别是AD,DC,CB的中点.若⊙O的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是三.解答题1.请完成以下问题:(1)如图1,=,弦AC与半径OD平行,求证:AB是⊙O的直径;(2)如图2,AB是⊙O的直径,弦AC与半径OD平行.已知圆的半径为r,AC=y,CD=x,求y与x的函数关系式.2.如图,已知等腰直角三角形ABC ,点P 是斜边BC 上一点(不与B ,C 重合),PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径.(1)求证:⊙APE 是等腰直角三角形; (2)若⊙O 的直径为2,求PC 2+PB 2的值.3.如图1,已知四边形ABCD 内接于圆0,AD=BC ,延长AB 到E ,使BE=AB ,连接EC ,F 是EC 的中点,连接BF(1)若圆0的半径为3,⊙DAB=120°,求劣弧BD 的长; (2)如图2,连接BD ,求证:BF=21BD ; (3)如图3,G 是BD 的中点,过B 作AE 的垂线交圆0于点P ,连接PG ,PF ,求证:PG=PF图1 图2 图34.如图1,圆O的两条弦AC、BD交于点E,两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想:、、⊙α的度数之间的等量关系,并说明理由﹒(2)如图2,若⊙α=60°,AB=2,CD=1,将以圆心为中心顺时针旋转,直至点A与点D 重合,同时B落在圆O上的点,连接CG﹒⊙求弦CG的长;⊙求圆O的半径.重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 一、选择题1.如图,点A 的坐标为A (8,0),点B 在y 轴正半轴上,且AB=10,点P 是⊙AOB 外接圆上一点,且⊙BOP=45°,则点P 的坐标为( )A .(7,7)B .(7,7)C .(5,5)D .(5,5)2.如图所示,四边形ABCD 中,DC⊙AB ,BC=2,AB=AC=AD=3.则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图,⊙ABC 内接于圆O ,延长AO 交BC 于点P ,交圆O 于点D ,连结OB ,OC ,BD ,DC ( )A .若AB=AC ,则BC 平分ODB .若OCBD ,则CD :AB=:3C .若⊙ABO=30°,则OC BDD .若BC 平分OD ,则AB=AC二.填空题1.在⊙ABC 中,45AB =5AC =,11BC =,则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图,⊙ABC内接于⊙O,其外角平分线AD交⊙O于D,DM⊙AC于M,下列结论中正确的是.⊙DB=DC;⊙AC+AB=2CM;⊙AC﹣AB=2AM;⊙S⊙ABD=S⊙ABC.重难点4弧长及扇形面积的有关计算一.选择题1.如图,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积为()A.π﹣1B.2π﹣1C.2π﹣2D.π﹣2二.填空题1、如图,一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上,竹竿AB的倾斜角为α,当竹竿的顶端A下滑到点A'时,竹竿的另一端B向右滑到了点B',此时倾斜角为β.(1)线段AA'的长为.(2)当竹竿AB滑到A'B'位置时,AB的中点P滑到了P',位置,则点P所经过的路线长为(两小题均用含a,α,β的代数式表示)2、如图,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画一弧交AC于E点,若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为_ __3、如图,AB为半圆O的直径,C为AO的中点,CD⊙AB交半圆与点D,以C为圆心,CD为半径画弧DE交AB于E点,若AB=4cm,则图中阴影部分面积为cm2.三、简答题1、在⊙O中,己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补.(1)求⊙BOC的度数.(2)若⊙O的半径为4,求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积.。

九年级数学圆的性质及习题

九年级数学圆的性质及习题

一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒无交点⇒d R r>+;外切(图2)⇒有一个交点⇒d R r=+;相交(图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+;内切(图4)⇒有一个交点⇒d R r=-;A内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)

中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)

圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主;其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。

【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点:圆的有关概念圆的定义:在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。

圆的表示方法:以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。

圆的特点:在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件:1)圆心;2)半径。

备注:圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。

【补充】1)圆心相同且半径相等的圆叫做同圆;2)圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆;3)半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性:1)圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念:连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如:右图中的AB)。

直径的概念:经过圆心的弦叫做直径(例如:右图中的CD)。

备注:1)直径是同一圆中最长的弦。

2)直径长度等于半径长度的2倍。

⏜.读弧的概念:圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念:在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念:在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念:小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念:从圆心到弦的距离叫做弦心距。

1.(2021秋•顺义区期末)如图.在⊙O中.如果=2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是()A.AB=AC B.AB=2AC C.AB>2AC D.AB<2AC【答案】D【解答】解:如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则=2=2.∵=2.∴==.∴AD=BD=AC.在△ABD中.AD+BD>AB.∴AC+AC>AB.即AB<2AC.故选:D.2.(2021秋•平原县期末)下列语句.错误的是()A.直径是弦B.相等的圆心角所对的弧相等C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解:直径是弦.A正确.不符合题意;在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意;弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意;平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意;故选:B.3.(2021秋•玉林期末)如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆.有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行(怕被猫吃掉).就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是()A.猫先到达B地B.老鼠先到达B地C.猫和老鼠同时到达B地D.无法确定【答案】C【解答】解:以AB为直径的半圆的长是:π•AB;设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d=AB.则老鼠行走的路径长是:a+πb+πc+πd=π(a+b+c+d)=π•AB.故猫和老鼠行走的路径长相同.故选:C.考点:垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。

中考数学复习圆的基本性质练习题含答案解析

中考数学复习圆的基本性质练习题含答案解析

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图,A,B,C,D是⊙O上的点,则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图,点A,B,C均在⊙O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠A=40°,则∠C=()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的2倍,则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠DCB=110°,则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6.(2019西安高新一中模拟)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠DAB=48°,则∠AOC的度数是()A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图,在⊙O中,弦AB∥CD,连接BC,OA,OD.若∠BCD=25°,CD=OD,则∠AOD的度数是()A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 交⊙O 于点C ,点D 是⊙O 上一点,∠ADC =30°,则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图,AD 是⊙O 的直径,AB ︵=CD ︵,若∠AOB =40°,则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D .70°第9题图10. 如图,△ABC 内接于⊙O ,∠BAC =120°,AB =AC ,BD 为⊙O 的直径,AD =6,则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图,AB 为⊙O 的直径,∠CAB =30°,CB =3,∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ,则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 32第11题图12. 如图,B 、C 是⊙A 上的两点,AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点,与线段AC 交于点D ,连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC =20°,则∠DBC =( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图,已知△ABC 内接于⊙O ,EF 为⊙O 的直径,且点F 是弧BC ︵的中点.若∠B =40°,∠C =60°,则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图,在半径为3的⊙O 中,弦BC 、DE 所对的圆周角分别是∠A 、∠F ,且∠A +∠F =90°.若BC =4,则DE 的长为( )A. 13B. 4C. 5D. 25第14题图15.在圆内接四边形ABCD中,∠ACB=∠ACD=60°,对角线AC、BD交于点E.已知BC=32,CD =22,则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB 相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD=________度.第16题图17.(2019安徽)如图,△ABC内接于⊙O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若⊙O的半径为2,则CD的长为________.第17题图18.已知半径为5的⊙O中,弦AB=52,弦AC=5,则∠BAC的度数是________.点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图,AD是⊙O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P,下列结论错误的是()A. AP=2OPB. CD=2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图,已知⊙O的内接五边形ABCDE,连接BE、CE,若AB=BC=CE,∠EDC =130°,则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为________.5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心,1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP、OA,则△AOP面积的最大值为________.第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中,∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角,∴∠A =∠D .2. A 【解析】∵OB =OC ,∴∠OCB =∠OBC =40°.∴在△OBC 中,∠BOC =180°-∠OCB -∠OBC =180°-40°-40°=100°.∴∠A =12∠BOC =12×100°=50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∠A =40°,∴∠C =180°-∠A =140°.4. C 【解析】如解图,设圆心为O ,半径为r ,则AB =2r .连接OA 、OB ,则r 2+r 2=(2r )2,∴△OAB 为等腰直角三角形,∠AOB =90°.∴∠ASB =12∠AOB =45°.第4题解图5. B 【解析】如解图,连接AC ,∵AB 为直径,∴∠ACB =90°,∴∠ACD =∠DCB -∠ACB =110°-90°=20°,∴∠AED =∠ACD =20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ,∴∠B =180°-∠DAB =132°,∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∴∠D =180°-∠B =48°,由圆周角定理得,∠AOC =2∠D =96°.7. C 【解析】如解图,连接OC ,∵AB ∥CD ,∴∠B =∠BCD =25°,∴∠AOC =50°,∵CD =OD ,OD =OC ,∴OC =OD =CD ,∴△COD 为等边三角形,∴∠COD =60°,∴∠AOD =∠AOC +∠COD =110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ,∴点C 是AB ︵的中点,即AC ︵=BC ︵.∴∠BOC =∠AOC =2∠ADC =60°. 9. B 【解析】∵AB ︵=CD ︵,∴∠COD =∠AOB =40°,∴∠BOC =100°,∴∠BPC =12∠BOC =50°.10. C 【解析】∵∠BAC =120°,AB =AC ,∴∠BCA =12×(180°-120°)=30°.∴∠D =∠BCA =30°.∵BD为⊙O 的直径,∴∠BAD =90°.在Rt △BAD 中,BD =AD cos30°=632=4 3. 11. D 【解析】如解图,连接BD ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =∠ADB =90°,在Rt △ABC 中,∵∠CAB =30°,∴AB =2CB =6,∵CD 平分∠ACB ,∴∠BCD =45°,∵∠BAD =∠BCD =45°,∴△ABD 为等腰直角三角形,∴AD =22AB =22×6=3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC =20°,∴∠BAC =2∠BFC =40°,∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB =12(180°-40°)=70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AD =BD ,∴∠ABD =∠BAC =40°,∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =70°-40°=30°.13. A 【解析】如解图,连接OC 、CF .∵∠B =40°,∠ACB =60°,∴∠BAC =80°,∠AFC =∠ABC =40°,∵点F 是弧BC ︵的中点,∴∠BAF =∠CAF =40°,∴∠COF =2∠CAF =80°,∵OF =OC ,∴∠OFC =12(180°-80°)=50°,∴∠AFE =∠OFC -∠AFC =10°.第13题解图14. D 【解析】如解图,连接DO 并延长,交⊙O 于点G ,连接EG 、FG ,则∠DFG =∠DEG =90°,又∵∠A +∠DFE =90°,∠GFE +∠DFE =90°,∴∠A =∠GFE .则GE =BC =4.∵⊙O 的半径为3,∴DG =6.在Rt △DEG 中,DE =DG 2-GE 2=62-42=2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图,作BM ⊥AC 于点M ,DN ⊥AC 于点N ,则BM ∥DN ,∴△BME ∽△DNE ,∴MENE =BM DN ,∵∠ACB =∠ACD =60°,∴∠CBM =∠CDN =30°,∴CM =12BC =322,CN =12CD =2,∴BM =3CM =362,DN =3CN =6,∴MN =CM -CN =122,∴ME NE =32,∴EN =25MN =25,∴CE =CN +EN =2+25=625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,且OC ⊥AB ,∴∠ADC =12∠AOC =45°.∵∠AEC=65°,且∠AEC 是△ADE 的一个外角,∴∠BAD =∠AEC -∠ADC =20°.17. 2 【解析】如解图,连接OA 、OC ,∵∠CBA =45°,∴∠AOC =90°.又∵OA =OC =2,∴AC =2 2.在Rt △ACD 中,∠CDA =90°,∠CAD =30°,∴CD =AC ·sin30°= 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图,连接OC ,OA ,OB .∵OC =OA =AC =5,∴△OAC 是等边三角形,∴∠CAO =60°,∵OA =OB =5,AB =52,∴OA 2+OB 2=AB 2,∴△OAB 是等腰直角三角形,∠OAB =45°,点C 的位置有两种情况,如解图①时,∠BAC =∠CAO +∠OAB =60°+45°=105°;如解图②时,∠BAC =∠CAO -∠OAB =60°-45°=15°.综上所述,∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图,连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形,OD =OB ,∴四边形OBCD 是菱形.∴OD =OC =CD .∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ACD =90°.∵CD ∥OB ,∴CD =2OP ,OB ⊥AC .故B 、C 选项正确.∵△CBP ≌△COP (HL),∴BP =OP .故D 选项正确.第1题解图2. B 【解析】如解图,连接OA ,OB ,OC ,OE ,∵AB =BC =CE ,∴AB ︵=BC ︵=CE ︵,∠1=∠2=∠3,在四边形BCDE 中,∵∠D =130°,∴∠CBE =50°,∠2=2∠CBE =100°,∴∠1=∠3=∠2=100°,∠AOE=360°-3×100°=60°,∴∠ABE =12∠AOE =30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB +∠AEC =∠D +∠AEC =180°,∠D =80°,∴∠AEB =∠D =80°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠B =∠D =80°,AB =BC ,∴∠B =∠AEB .∴∠BAE =180°-2∠B =20°,∠BAC =∠ACB =12(180°-∠B )=50°.∴∠EAC =∠BAC -∠BAE =30°.4. 52 【解析】如解图,四边形ABCD 为正方形,BD 为⊙O 的直径,OA 为半径,则OA =OB =5,OA ⊥OB ,∴AB = OA 2+OB 2=52+52=5 2.第4题解图5. 174【解析】如解图,延长AO 至C 点,过点D 作DF ⊥AC 于点F ,延长FD 交⊙D 于点P ′,连接AP ′,OP ′,要使△AOP 面积最大,则只需AO 边上的高最大,此时P ′满足条件,即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高.∵DF =AD ·CD AC =4×342+32=125,∴P ′F =DF +DP ′=125+1=175,AO =12AC =52,∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F =12×52×175=174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图,连接AC 、AO ,得到等腰三角形AOC ,过A 点作AD ⊥OC ,垂足为点D ,∴∠CAD =12∠CAO =∠OBC ,∵点C 坐标为(0,2),∴CD =OD =1,∴在Rt △ACD 中,AD =AC 2-CD 2=32-12=22,∴tan ∠OBC =tan ∠CAD =CD AD =122=24.第1题解图。

中考考试数学考点解析:圆的基础性质

中考考试数学考点解析:圆的基础性质

2019年中考考试数学考点解析:圆的基础性质学习是一个边学新知识边巩固的过程,对学过的知识一定要多加练习,这样才能进步。

因此,精品编辑老师为大家整理了2019年中考考试数学考点解析,供大家参考。

⑴垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。

逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。

③R=2S△L(R:内切圆半径,S:三角形面积,L:三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线:两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等,圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

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一、选择题1. (2019山东滨州,6,3分)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为()A.60°B.50°C.40°D.20°【答案】B【解析】如图,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.【知识点】圆周角定理及其推论2. (2019山东聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°第8题图【答案】C【解析】∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C.【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理3. (2019山东省潍坊市,11,3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,AD=CD.过点D作DE⊥AB于点E.连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35,DF=5,则BC的长为()A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】C【思路分析】连接BD,先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE,从而可得AF=DF=5,根据sin∠CAB=35,求得EF和AE的长度,再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB,根据sin∠CAB=35求得BC的长度.【解题过程】连接BD.∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD.∵AB为直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.∴∠DAB+∠ABD=90°.∵DE⊥AB,∴∠DAB+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠ABD.∵∠ABD=∠ACD,∴∠DAC=∠ADE.∴AF=DF=5.在Rt△AEF中,sin∠CAB=35 EFAF∴EF=3,AE=4.∴DE=3+5=8.由DE2=AE▪EB,得228164DEBEAE===.∴AB=16+4=20.在R t△ABC中,sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12.【知识点】圆周角,锐角三角比4. (2019四川省凉山市,7,4)下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数(▲)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;两点之间线段最短;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,所以只有①是对的,故选A.【知识点】点到直线的距离概念;线段基本事实;在同圆或等圆中圆心角与弧的关系;垂径定理的推论5. (2019四川省眉山市,10,3分)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E,∠CAO=22.5°,OC=6,则CD的长为A.62B.32C.6 D.12【答案】A【思路分析】【解题过程】解:∵∠A=22.5°,∴∠COE=45°,∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,OC=6,∴∠CEO=90°,∵∠COE=45°,∴CE=OE=22OC=32,∴CD=2CE=62 D.【知识点】三角形的外角的性质,垂径定理,锐角三角形函数6.(2019浙江省衢州市,8,3分)一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为(A)A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD,OB,则O,C,D三点在一条直线上,因为CD垂直平分AB,AB=8dm,所以BD=4dm,OD=(r-2)dm,由勾股定理得42+(r-2)2=r2,r=5dm,故选B。

【知识点】垂径定理勾股定理7. (2019山东泰安,9题,4分) 如图,△ABC是O的内接三角形,∠A=119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°第9题图【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A=119°,∴∠BFC=61°,∴∠BOC=122°,∴∠COP=58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P=90°-∠COP=32°,故选A.【知识点】圆的内接四边形,圆周角定理,直角三角形两锐角互余8. (2019四川南充,6,4分)如图,四边形ABCD 内接于O ,若40A ∠=︒,则(C ∠= )A .110︒B .120︒C .135︒D .140︒【答案】D【解析】解:四边形ABCD 内接于O ,180C A ∴∠+∠=︒,18040140C ∴∠=︒-︒=︒.故选:D .【知识点】圆内接四边形的性质9.(2019甘肃天水,9,4分)如图,四边形ABCD 是菱形,⊙O 经过点A 、C 、D ,与BC 相交于点E ,连接AC 、AE .若∠D =80°,则∠EAC 的度数为( )A .20°B .25°C .30°D .35°【答案】C【解析】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠D =80°,∴∠ACB ∠DCB (180°﹣∠D )=50°, ∵四边形AECD 是圆内接四边形,∴∠AEB =∠D =80°,∴∠EAC =∠AEB ﹣∠ACE =30°,故选:C .【知识点】菱形的性质;圆周角定理10. (2019甘肃武威,9,3分)如图,点A ,B ,S 在圆上,若弦AB 的长度等于圆半径的2倍,则ASB ∠的度数是( )A .22.5︒B .30︒C .45︒D .60︒【答案】C【解析】解:设圆心为O ,连接OA 、OB ,如图,∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍, 即2AB OA =,∴222OA OB AB +=,∴OAB ∆为等腰直角三角形,90AOB ∠=︒, ∴1452ASB AOB ∠=∠=︒, 故选C .【知识点】圆周角定理11. (2019甘肃省,8,3分)如图,AB 是O 的直径,点C 、D 是圆上两点,且126AOC ∠=︒,则(CDB ∠= )A .54︒B .64︒C .27︒D .37︒【答案】C 【解析】解:∵126AOC ∠=︒,∴18054BOC AOC ∠=︒-∠=︒,∴1272CDB BOC ∠=∠=︒,故选C . 【知识点】圆的有关概念及性质12.(2019湖北宜昌,12,3分)如图,点A,B,C均在⊙O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°【答案】A【解析】解:∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=180°﹣40°﹣40°=100°,∴∠A∠BOC=50°.故选:A.【知识点】圆周角定理13.(2019江苏连云港,8,3分)如图,在矩形ABCD中,22AD AB=.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①CMP∆是直角三角形;②点C、E、G不在同一条直线上;③6PC MP=;④2BP AB=;⑤点F是CMP∆外接圆的圆心,其中正确的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】解:∵沿着CM折叠,点D的对应点为E,∴DMC EMC∠=∠,∵再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,AMP EMP∴∠=∠,180AMD ∠=︒,1180902PME CME ∴∠+∠=⨯︒=︒, CMP ∴∆是直角三角形;故①正确;∵沿着CM 折叠,点D 的对应点为E ,90D MEC ∴∠=∠=︒,∵再沿着MP 折叠,使得AM 与EM 重合,折痕为MP ,90MEG A ∴∠=∠=︒,180GEC ∴∠=︒,∴点C 、E 、G 在同一条直线上,故②错误; 2AD =,∴设AB x=,则AD =,∵将矩形ABCD 对折,得到折痕MN ;12DM AD ∴=,CM ∴==, 90PMC ∠=︒,MN PC ⊥,2CM CN CP ∴=,2CP ∴==,2PN CP CN x ∴=-=,PM ∴==,∴PC PM ==PC ∴=,故③错误; 2PC =,2PB ∴==,∴2AB xPBx=,2PB AB∴=,故④,CD CE=,EG AB=,AB CD=,CE EG∴=,90CEM G∠=∠=︒,//FE PG∴,CF PF∴=,90PMC∠=︒,∵CF PF MF==,∴点F是CMP∆外接圆的圆心,故⑤正确;故选B.【知识点】翻折变换(折叠问题);三角形的外接圆与外心;矩形的性质;直角三角形的性质14.(2019山东德州,9,4分)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若40ABC∠=︒,则ADC∠的度数是()A.130︒B.140︒C.150︒D.160︒【答案】B【解析】解:由题意得到OA OB OC OD===,作出圆O,如图所示,∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,180ABC ADC ∴∠+∠=︒,40ABC ∠=︒,140ADC ∴∠=︒,故选B .【知识点】圆内接四边形的性质15. (2019山东菏泽,6,3分)如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上的两点,且BC 平分∠ABD ,AD分别与BC ,OC 相交于点E ,F ,则下列结论不一定成立的是( )A .OC ∥BDB .AD ⊥OC C .△CEF ≌△BED D .AF =FD【答案】C【解析】解:∵AB 是⊙O 的直径,BC 平分∠ABD ,∴∠ADB =90°,∠OBC =∠DBC ,∴AD ⊥BD ,∵OB =OC ,∴∠OCB =∠OBC ,∴∠DBC =∠OCB ,∴OC ∥BD ,选项A 成立;∴AD ⊥OC ,选项B 成立;∴AF =FD ,选项D 成立;∵△CEF 和△BED 中,没有相等的边,∴△CEF 与△BED 不全等,选项C 不成立,故选C .【知识点】圆周角定理16.(2019台湾省,24,3分)如图表示A 、B 、C 、D 四点在O 上的位置,其中180AD =︒,且AB BD =,BC CD =.若阿超在AB 上取一点P ,在BD 上取一点Q ,使得130APQ ∠=︒,则下列叙述何者正确?A .Q 点在BC 上,且BQ QC >B .Q 点在BC 上,且BQ QC <C .Q 点在CD 上,且CQ QD > D .Q 点在CD 上,且CQ QD <【答案】B【解析】解:连接AD ,OB ,OC ,180AD =︒,且AB BD =,BC CD =,45BOC DOC ∴∠=∠=︒,在圆周上取一点E 连接AE ,CE ,167.52E AOC ∴∠=∠=︒,122.5130ABC ∴∠=︒<︒,取BC 的中点F ,连接OF ,则67.5AOF ∠=︒,123.25130ABF ∴∠=︒<︒,Q ∴点在BC 上,且BQ QC <,故选:B .【知识点】圆心角,弧,弦的关系;圆内接四边形的性质;圆周角定理二、填空题1. (2019四川省凉山市,15,4)如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于H ,∠A =30°,CD 3,则⊙O 的半径是 .第15题图【答案】2【解析】连接OC,则OA=OC,∴∠A=∠ACO=30°,∴∠COH=60°,∵OB⊥CD,CD=23,∴CH=3,∴OH=1,∴OC=2.第15题答图【知识点】等腰三角形性质;三角形外角性质;垂径定理;勾股定理2.(2019天津市,18,3分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A在格点上,B是小正方形边的中点,∠ABC=50°,∠BAC=30°,经过点A,B的圆的圆心在边AC上,(1)线段AB的长等于;(2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点P,使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB,并简要说明点P的位置是如何找到的(不需要证明)【答案】(1)(2)如图,取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交,得圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长,交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【解析】(1)如图,Rt △ABD 中,AD=2,BD=21,由勾股定理可得AB=(2)由于点A 在格点上,可得直角,根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径,又因为圆心在AC 上,所以取圆与网格线的交点E,F 连接EF 与AC 相交,得圆心O ;AB 与网格线相交于点D ,则点D 为AB 的中点,连接DO 并延长,根据垂径定理可得则DO 垂直平分AB ,连接BO ,则∠OAB=∠OBA=30°,因为∠ABC=50°,所以∠OBC=20°,DO 的延长线交O 于点Q ,连接QC 并延长,与点B,O 的连线BO 相交于点P ,连接AP ,则点P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【知识点】勾股定理,圆周角的性质,垂径定理3. (2019浙江湖州,12,4)已知一条弧所对的圆周角的度数为15°,则它所对的圆心角的度数是 .【答案】30°.【解析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍,可知答案为30°.【知识点】圆周角定理.4. (2019浙江台州,14题,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC =64°,则∠BAE 的度数为________.第14题图【答案】52°【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D =180°,∵∠B =64°,∴∠D =116°,又∵点D 关于AC 的对称点是点E,∴∠D =∠AEC =116°,又∵∠AEC =∠B+∠BAE,∴∠BAE =52°.【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性5. (2019安徽省,13,5分)如图,ABC ∆内接于O ,30CAB ∠=︒,45CBA ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,若O 的半径为2,则CD 的长为 .【答案】2【解析】解:连接CO 并延长交O 于E ,连接BE ,则30E A ∠=∠=︒,90EBC ∠=︒,O 的半径为2,4CE ∴=,122BC CE ∴==, CD AB ⊥,45CBA ∠=︒,22CD BC ∴==. 故答案为2.【知识点】圆周角定理6.(2019江苏连云港,13,3分)如图,点A、B、C在O上,6∠=︒,则O的半径BACBC=,30为.【答案】6【解析】解:260∠=∠=︒,又OB OC=,BOC BAC∴∆是等边三角形BOCOB BC∴==,6故答案为6.【知识点】圆周角定理7.(2019江苏泰州,16,3分)如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O上,点A在⊙O内,且AP=3,过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为.【答案】y x.【解析】解:连接PO并延长交⊙O于D,连接BD,则∠C=∠D,∠PBD=90°,∵P A⊥BC,∴∠P AC=90°,∴∠P AC=∠PBD,∴△P AC∽△PBD,∴,∵⊙O的半径为5,AP=3,PB=x,PC=y,∴,∴y x ,故答案为:yx .【知识点】圆周角定理;相似三角形的判定和性质8. (2019江苏盐城,14,3分)如图,点A 、B 、C 、D 、E 在O 上,且AB 为50︒,则E C ∠+∠= °.【答案】155【解析】解:连接EA ,AB 为50︒,25BEA ∴∠=︒,四边形DCAE 为O 的内接四边形,180DEA C ∴∠+∠=︒,18025155DEB C ∴∠+∠=︒-︒=︒,故答案为:155.【知识点】圆周角定理;圆内接四边形的性质9.(2019山东德州,17,4分)如图,CD 为O 的直径,弦AB CD ⊥,垂足为E ,AB BF =,1CE =,6AB =,则弦AF 的长度为 .【答案】485【解析】】解:连接OA 、OB ,OB 交AF 于G ,如图,AB CD ⊥,132AE BE AB ∴===, 设O 的半径为r ,则1OE r =-,OA r =,在Rt OAE ∆中,2223(1)r r +-=,解得5r =,AB BF =,OB AF ∴⊥,AG FG =,在Rt OAG ∆中,2225AG OG +=,①在Rt ABG ∆中,222(5)6AG OG +-=,②解由①②组成的方程组得到245AG =, 4825AF AG ∴==. 故答案为485. 【知识点】垂径定理;勾股定理 10. 15. (2019四川宜宾,15,3分)如图,O 的两条相交弦AC 、BD ,60ACB CDB ∠=∠=︒,23AC =则O 的面积是 .【答案】16π【解析】】解:A BDC ∠=∠,而60ACB CDB ∠=∠=︒,60A ACB ∴∠=∠=︒,ACB ∴∆为等边三角形,23AC =,∴圆的半径为4,O ∴的面积是16π,故答案为:16π.【知识点】圆周角定理11. (2019浙江嘉兴,14,4分)如图,在O 中,弦1AB =,点C 在AB 上移动,连结OC ,过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ,则CD 的最大值为 .【答案】12【解析】解:连接OD ,如图,CD OC ⊥,90COD ∴∠=︒,2222CD OD OC r OC ∴=-=-,当OC 的值最小时,CD 的值最大,而OC AB ⊥时,OC 最小,此时221()2OC r AB =-, CD ∴的最大值为2221111()14222r r AB AB --==⨯=, 故答案为:12. 【知识点】垂径定理;勾股定理三、解答题1. (2019浙江宁波,26,14分)如图1,O 经过等边三角形ABC 的顶点A,C(圆心O 在△ABC 内),分别与AB,CB 的延长线交于点D,E,连接DE,BF ⊥EC 交AE 于点F.(1)求证:BD =BE;(2)当AF:EF =3:2,AC =6时,求AE 的长;(3)设AF EF=x,tan ∠DAE =y. ①求y 关于x 的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍,求y 的值.第26题图【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED =∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG ,BG 长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE 的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH 的代数式,进而求得y 关于x 的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y 的值.【解题过程】(1)∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC =∠C =60°,∠DEB =∠BAC =60°,∠D =∠C =60°,∠DEB =∠D,BD =BE.(2)如图,过点A 作AG ⊥EC 于点G,∵△ABC 为等边三角形,AC =6,∴BG =12BC =12AC =3,在Rt △ABG 中,AG =3=33∵BF ⊥EC,∴BF ∥AG,∴=AF BG EF EB ,∵AF:EF =3:2,∴BE =23BG =2,∴EG =BE+BG =3+2=5,∴在Rt △AEG 中,AE 22213AG EG +;第26题答图(1) (3)①如图,过点E 作EH ⊥AD 于点H,∵∠EBD =∠ABC =60,在Rt △BEH 中,EH EB=sin60=3,EH =3BE,BH =12BE,=BG AF EB EF =x,BG =xBE,AB =BC =2BG =2xBE,AH =AB+BH =2xBE+12BE =(2x+12)BE,Rt △AHE 中,tanEAD =332=122BE EH AH x BE =⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴y =3;第26题答图(2)②如图,过点O 作OM ⊥EC 于点M,设BE =a,∵=BG AF EB EF=x,∴CG =BG =xBE =ax,∴EC =CG+BG+BE =a+2ax,∴EM =12EC =12a+ax,∴BM =EM -BE =ax -12a,∵BF ∥AG,∴△EBF ∽△EGA,∴1===1BF BE a AG EG a ax x ++,∵AG =3BG =3ax,∴BF =11x+AG =3ax ,△OFB 的面积=131222BF BM ax ax a ⋅⎫=-⎪⎝⎭,△AEC 的面积=()13222EC AG ax a ax ⋅=+,∵△OFB 的面积是△AEC 的面积的10倍,∴1311022ax ax a ⎫⨯-⎪⎝⎭=()1322ax a ax +,∴2x 2-7x+6=0,解之,得x 1=2,x 2=32,y 33.第26题答图(3)【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程2.(2019四川省自贡市,21,8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC,求证:(1);(2)AE=CE.【思路分析】(1)连接AO,BO,CO,DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD,从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到;(2)试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解:(1)连接AO,BO,CO,DO,∵AB=CD,∴∠AOB=∠COD,∴∠AOD=∠BOC,∴.(2)∵,∴AD=BC,∵,∴∠ADC=∠ABC,又∵∠AED=∠CEB,∴△ADE≌△CBE,∴AE=CE.【知识点】圆的性质,圆周角定理,全等三角形判定.3. (2019四川攀枝花,24,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y 3x的图象上运动(不与O重合),连接AP,过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ。

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